ResolucaoGrafica

3/14/12

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© 2009 Pearson Pren:ce Hall. Todos os direitos reservados. slide 1

Capítulo 2 Programação Linear Resolução Gráfica


Conteúdo do Capítulo

•  Problemas de Programação Linear

–  Resolução pelo método gráfico

–  O Problema do Pintor

–  Minimização

–  Restrições Redundantes

–  Solução Múl:pla, Ilimitada e Inviável

•  Caso Alumilâminas S.A.

•  Caso Esportes Radicais S.A.

2


Modelos Matemá:cos

•  Em casos de informação estruturada ou semiestruturadas, entre os modelos matemá:cos já u:lizados, encontramos:

–  Programação Linear e Inteira

–  Modelos de Previsão

–  Simulação

–  Sistemas Especialistas

–  PERT/CPM -‐ Gráficos de Gan[

–  Árvore de Decisão

–  Métodos de Apoio Mul:critério

3 © 2009 Pearson Pren:ce Hall. Todos os direitos reservados. slide 4

Problemas de O:mização

•  Em problemas reais de o:mização, busca-‐se maximizar ou minimizar uma

quan:dade específica, chamada obje:vo, que depende de um número finito

de variáveis de entrada.

•  As variáveis de entrada podem ser:

–  Independentes uma das outras.

–  Relacionadas uma com as outras por meio de uma ou mais restrições.

4


Aplicações de O:mização Matemá:ca

•  Determinação de Mix de Produtos

•  Scheduling

•  Roteamento e Logís:ca

•  Planejamento Financeiro


Programação Matemá:ca

•  Um problema de programação matemá:ca é um problema de o:mização

no qual o obje:vo e as restrições são expressos como funções

matemá:cas e relações funcionais

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

=

≤

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

nnn

n

n

n

b

bb

xxxg

xxxgxxxgxxxfz

:),...,,(

:),...,,(),...,,(

:a Sujeito

),...,,( :Otimizar

2

1

21

212

211

21

6

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Variáveis de Decisão

•  x1 , x2,...,xn , são as chamadas Variáveis de Decisão.

w  As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o cerne do

problema, e que podemos escolher (decidir) livremente.

w  As variáveis de decisão representam as opções que um administrador têm

para a:ngir um obje:vo.

w  Quanto produzir para maximizar o lucro?

w  Quanto comprar de uma ação para minimizar o risco da carteira?


Programação Linear

•  Um problema de programação matemá:ca é linear se a função-‐obje:vo

e cada uma das funções que representam as restrições forem lineares, isto

é, na forma abaixo:

e

nnn xcxcxcxxxf +++= ...),...,,( 221121

g x x x a x a x a xi n i i in n( , ,..., ) ...1 2 1 1 2 2= + + +

) ,..., , ( 2 1 n x x x f

8


Quebrando a Linearidade

•  A presença de qualquer das expressões abaixo tornam o problema não linear.

–  Exemplos:

• 

• 

• 

( ) 1 para 1 ≠nx n

( ) a basequalquer para log 1xa

aax devalor qualquer para 1



Exemplos

0,60020180

2042s.r.max

21

21

21

21

≥

≤+

≤+

+

xxxx

xx

xx

0,60020180

2032s.r.

2min

21

21

21

21

≥

=+

≥+

+

xxxx

xx

xx

10


Programação Linear Áreas de Aplicação •  Administração da Produção

•  Análise de Inves:mentos

•  Alocação de Recursos Limitados

•  Planejamento Regional

•  Logís:ca

–  Custo de transporte

–  Localização de rede de distribuição

•  Alocação de Recursos em Marke:ng entre diversos meios de

comunicação. 11



Problema na Forma Padrão •  Existem 4 caracterís:cas para um problema na forma padrão:

–  A função-‐obje:vo é de Maximizar;

–  As restrições têm sinal de menor ou igual;

–  As constantes de todas as restrições são não nega:vas;

–  As variáveis podem assumir valores não nega:vos.

12

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0x,...x,x,xbxa...xaxa

bxa...xaxabxa...xaxa

xc...xcxcZ

n321

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

nn2211

≥

≤+++

≤+++

≤+++

+++=

:a Sujeito Maximizar

Não negaAvos


Problema na Forma Padrão


Exemplos

•  Forma Padrão w Forma Não Padrão

0,60020180

2032s.r.

2min

21

21

21

21

≥

=+

≥+

+

xxxx

xx

xx

0 , 600 20 180

20 4 2

s.r. max

2 1

2 1

2 1

2 1

≥

≤ +

≤ +

+

x x x x

x x

x x

0 , 600 20 180

20 4 2

s.r. max

2 1

2 1

2 1

2 1

≥

≤ +

≤ +

+

x x x x

x x

x x

14



Hipótese de Adi:vidade

•  Considera as a:vidades (variáveis de decisão) do modelo como en:dades

totalmente independentes, não permi:ndo que haja interdependência

entre as mesmas, isto é, não permi:ndo a existência de termos cruzados,

tanto na função-‐obje:vo como nas restrições.

•  Esta é a própria hipótese de linearidade do PPL



Hipótese de Proporcionalidade

•  O valor da função-‐obje:vo é proporcional ao nível de a:vidade de cada

variável de decisão, isto é, o valor da função-‐obje:vo se altera de um valor

constante dada uma variação constante da variável de decisão;

16



Hipótese de Divisibilidade

•  Assume que todas as unidades de a:vidade possam ser divididas em

qualquer nível de fracionamento, isto é, qualquer variável de decisão pode

assumir qualquer valor posi:vo fracionário.

•  Esta hipótese pode ser quebrada, dando origem a um problema especial

de programação linear, chamado de problema inteiro.



Hipótese de Certeza

•  Assume que todos os parâmetros do modelo são constantes conhecidas.

•  Em problemas reais quase nunca sa:sfeita

–  as constantes são es:madas.

•  Requer uma análise de sensibilidade, sobre o que falaremos

posteriormente.

18

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Terminologia

•  Solução

–  No campo de Programação Linear é qualquer especificação de valores

para as variáveis de decisão, não importando se esta especificação se

trata de uma escolha desejável ou permissível.


Exemplo de Solução

0,800100180

2042

max

21

21

21

21

≥

≤+

≤+

+=

xxxx

xxs.r.

xxz

x1 = 3 ; x2 = 2 )2,3(=S

x1 = 3 ; x2 = 4 )4,3(=S

20


Classificação das Soluções

•  Solução Viável –  É uma solução em que todas as restrições são sa:sfeitas;

•  Solução Inviável –  É uma solução em que alguma das restrições ou as condições de

não-‐nega:vidade não são atendidas;


Exemplos de Solução Viável e Inviável

0,800100180

2042

max

21

21

21

21

≥

≤+

≤+

+

xxxx

xxs.r.

xx x1 = 3 ; x2 = 2 S = (3, 2) solução viável: todas as restrições não são violadas

x1 = 3 ; x2 = 4 S = (3, 4) solução inviável: pelo menos uma das restrições é violada

22


Valor da Função-‐Obje:va

•  É especialmente importante verificar como fica o valor da função-‐obje:vo (z) nas soluções viáveis que podemos determinar:

0,800100180

2042

max

21

21

21

21

≥

≤+

≤+

+=

xxxx

xxs.r.

xxz)1,1(=S 2=z

)1,2(=S 3=z

)2,3(=S 5=z


A Solução Ó:ma

•  A Solução ÓAma é uma solução viável especial.

•  Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em) o valor da função-‐obje:vo o:mizado é chamada de ó:ma;

•  A grande questão é como determinar a solução ó:ma.

24

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Solução Gráfica •  Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução

ó:ma de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.

Max Z x x = + 5 2 1 2

1 x (b) ≤ 4 2

x x (c) + ≤ 2 9 1 2

s r x

(a) ≤ 3 . .

x x (d) ≥ ≥ 0 0 1 2 ,



Solução Gráfica

2 1 4

1

2

x1 3

x2

x ≤ 4 2 3

4

x ≤ 3 1

x ≥ 0 1

x ≥ 0 2

26


x ≤ 4 2

Programação Linear Solução Gráfica

9 2 1 2 x x - =

121

29

2 xx −=

x ≤ 3 1

x1

9 2 2 1 x x ≤ +

x ≥ 0 1

x ≥ 0 2

x2

(3,0) (0,0)

(0,4) (3,4)

Limite

Reta 9 2 2 1 x x = +

121

29

2 xx −≤Região Limitada

(1,4)

(3,3)


Programação Linear Solução Gráfica

x2

x1

(0,4) (1,4)

(0,0) (3,0)

Solução Viável

(3,3)

21 2510 xxZ +==

= Solução Ótima

21 x2x521Z +==

(3,3) 21 x2x50Z +==

(0,0)

28



Solução Gráfica – Exercício •  Considere o seguinte o problema de LP

Encontre a solução ó:ma.

0, 2446 1242 ..

33

21

21

21

21

≥

≤+

≤+

+

xxxxxxrsxxMax


Programação Linear Solução Gráfica -‐ Exercício

(0,0)

1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

02 ≥x

01 ≥xx1

(0,3)

(6,0)

1242 21 ≤+ xx

(4,0)

(0,6)

2446 21 ≤+ xx5

4

6

7

30

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1

2

0 1 2 3 4 5 6

3

x2

x1

5

4

6

7

21 330 xxZ +==

21 336 xxZ +==

21 335,13 xxZ +==


Exercício Recomendado 1

max 4x1 + 3x2 s.r. x1 + 3x2 ≤ 7 2x1 + 2x2 ≤ 8 x1 + x2 ≤ 3 x2 ≤ 2 x1, x2≥ 0

32


Solução do Exercício 1

Solução Ó:ma


Exercício Recomendado 2

max 4x1 + 8x2 s.r. 3x1 + 2x2 ≤ 18 x1 + x2 ≤ 5 x1 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0

34



Solução Ó:ma


max 21 3xx +s.r.

0,10216

304

21

21

21

≥

≤+

≥+

xxxx

xx

Exercício 3

36

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w  Sem Soluções Viáveis


O Problema do Pintor

•  Um Pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece

todo dia à noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os

vende por R$5,00 e R$3,00, respec:vamente. Ele só consegue vender 3

quadros grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito

em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos

(detalhado). O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira.

Quantos quadros de cada :po ele deve pintar para maximizar a sua

receita?

38


A Decisão do Pintor

•  O que o desenhista precisa decidir?

•  O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita?



•  O que o desenhista precisa decidir?

•  O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita?

w A decisão dele é como usar as 8 horas diárias.

w Quantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer.

40



•  Precisamos traduzir a decisão do Pintor em um modelo de programação

linear para resolvê-‐lo;

•  Chamemos de x1 e x2 as quan:dades de quadros grandes e pequenos que

ele faz por dia, respec:vamente.

•  O obje:vo do Pintor é aumentar sua receita ao máximo.


O Modelo para a Decisão do Pintor

Máx z x x = + 5 3 1 2

•  Função-‐obje:vo Maximizar a receita

1 s r x ≤ 3 . . w  Restrição de vendas de quadros

grandes

x ≤ 4 2

w  Restrição de vendas de quadros pequenos

x x + ≤ 1,8 8 1 2

w  Restrição de tempo

x ≥ 0 1

, x ≥ 0 2

w  Não nega:vidade

42

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O Modelo para a Decisão do Pintor

9 70

1 3 5

2

2 1 3 70

1 3 5

2

2 1

3 5

3 5 0

+ - =

+ = =

- =

+ = =

x x

x x z

x x

x x z

(3 ; 50/18)

88,1 21 ≤+ xx 31 ≤x



Solução Gráfica -‐ Minimização

0, 2045 1553

6 5

2 ..97 min

21

21

21

2

1

21

21

≥

≥+

≥+

≤

≤

≤+−

+

xxxxxx

xx

xxrsxx

•  Encontre a solução ó:ma:

44


x1 10 8 6

51 ≤x

4 2

62 ≤x

221 ≤+− xx10

14

12

x2

8

6

4

-‐2

2

-‐2

1553 21 ≥+ xx

2045 21 ≥+ xx

02 ≥x

01 ≥x




+ = =

117 415

1 9 7

2

2 1 65 415 9 7

+ - = x x

x x z

1 9 7

2

2 1 9 7 0

- =

+ = =

x x

x x z

(40/13,15/13)

46


Programação Linear Restrições Redundantes •  Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão do conjunto de

restrições de um problema não altera o conjunto de soluções viáveis

deste.

•  É uma restrição que não par:cipa da determinação do conjunto de

soluções viáveis.

•  Existe um outro problema sem essa restrição com a mesma solução ó:ma

e mesmo conjunto de soluções viáveis.


•  Considere o problema

0, 2045 1553

6 5

12 2 ..

106 min

21

21

21

2

1

21

21

21

≥

≥+

≥+

≤

≤

≥+

≤+−

+

xxxxxx

xx

xxxxrsxx

Programação Linear Restrições Redundantes

48

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Programação Linear Restrições Redundantes

x1 10 8 6

51 ≤x

4 2

62 ≤x

221 ≤+− xx10

14

12

x2

8

6

4

-‐2

2

-‐2

1553 21 ≥+ xx

2045 21 ≥+ xx

02 ≥x

01 ≥x

12 21 ≥+ xx

Restrição Redundante 49


Programação Linear Solução Múl:pla

0, 2045 1553

6 5

2 ..106 min

21

21

21

2

1

21

21

≥

≥+

≥+

≤

≤

≤+−

+

xxxxxx

xx

xxrsxx


50



Solução Múl:pla

x1 10 8 6

51 ≤x

4 2

62 ≤x

221 ≤+− xx10

14

12

x2

8

6

4

-‐2

2

-‐2

1553 21 ≥+ xx

2045 21 ≥+ xx

02 ≥x

01 ≥x

Soluções Múl:plas



Solução Ilimitada

0, 2045 1553

6 2 ..

106 max

21

21

21

2

21

21

≥

≥+

≥+

≤

≤+−

+

xxxxxx

xxxrsxx


52


x1 10 8 6 4 2

62 ≤x

221 ≤+− xx10

14

12

x2

8

6

4

-‐2

2

-‐2

1553 21 ≥+ xx

2045 21 ≥+ xx

02 ≥x

01 ≥x


Solução Ilimitada Cresce indefinidamente


•  Um problema de programação linear é dito inviável quando o conjunto de

soluções viáveis é vazio.

•  Considere o problema

0, 20 12 ..

max

21

21

21

21

≥

≥+

≤+

+

xxxxxxrsxx

Programação Linear Solução Inviável

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Solução Gráfica -‐ Exercício

01 =x

x2

01 ≥x

02 =x 02 ≥x x1

12 21 =+ xx 12xx 21 ≤+ 2021 =+ xx 2021 ≥+ xx

2 4 6 8 10 12 14 0

2

4

6

10

8

12

14


Caso Alumilâminas S.A.

•  A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando

espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para

todos os 3 :pos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa.

Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a

outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16

toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas.

Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada :po de

lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ 100.000,00 para uma

capacidade produ:va de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2

toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é

de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas

médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar

para atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento

da função obje:vo). 56


•  Variáveis de Decisão

–  x1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica de São Paulo

–  x2 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica do Rio de Janeiro

•  Função-‐Obje:vo

–  Minimizar Custo de Produção (mil R$) =

2 1 200 100 x x +



•  Restrições de Demanda –  Placas Finas

–  Placas Médias

–  Placas Grossas

•  Restrições de Não Nega:vidade

16 2 8 2 1 ≥ + x x

6 1 1 2 1 ≥ + x x

28 7 2 2 1 ≥ + x x

0 , 2 1 ≥ x x


58


Caso Alumilâminas S.A. O Modelo

0 , 28 7 2

6 1 1

16 2 8

200 100

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

≥

≥ +

≥ +

≥ +

+

x x x x x x x x

x x min

s.r.


Caso Alumilâminas S.A. Solução Gráfica

Z = 920 x1 = 14/5 e x2 = 16/5

60

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Caso Esportes Radicais S.A.

•  A Esportes Radicais S/A produz pára-‐quedas e asa-‐deltas em duas linhas de

montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais

disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite

de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de

processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o paraquedas requer 3

horas e a asa-‐delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a

comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de

cada paraquedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-‐delta vendida é R$

40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da

Esportes Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função

obje:vo).



•  Variáveis de Decisão

–  x1 – Quan:dade de Paraquedas a serem produzidos

–  x2 – Quan:dade de Asa Deltas a serem produzidos

•  Função-‐Obje:vo

–  max 60x1 + 40x2

62



•  Restrições de Produção

–  Linha 1

–  Linha 2

•  Restrições de Não Nega:vidade

100 10 10 2 1 ≤ + x x

42 7 3 2 1 ≤ + x x

0 , 2 1 ≥ x x


Caso Esportes Radicais S.A. O Modelo

0 , 42 7 3

100 10 10

40 0 6

2 1

2 1

2 1

2 1

≥

≤ +

≤ +

+

x x

x x

x x

x x max

s.r.

64


Caso Esportes Radicais S.A. Solução Gráfica

Z = 600 x1 = 10 , x2 = 0


Exercício: Fazer a lista 2 disponível no ambiente Moodle, de 1 a 9.

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