Resoluções de problemas pelo método de resíduos ponderados

por quadratura gaussianas no simulador de processos EMSO

Programa de Engenharia Química - COPPEUniversidade Federal de Janeiro (UFRJ)

Rafael Raoni Lopes de Britto

Descrição da metodologia

• Problemas a serem resolvidos: EDOVC e EDPs

• Método dos resíduos ponderados (MRP):

• Critérios de ponderação:

Método dos Momentos

Método da colocação ortogonalUtiliza como pontos nodais raízes de polinômios ortogonais no intervalo. O resíduo não é mais diretamente ortogonalizado e sim aproximado por um polinômio ortogonal que se anula nos pontos de colocação.

• Integração numérica:

Quadratura de Gauss-Jacobi

Quadratura de Gauss-Radau

Quadratura de Gauss-Lobatto

• Característica da metodologia

• Exemplo: Reator de leito fixo com dispersão axial adiabático, modelo estacionário.

Resultados obtidos: Modelo estacionário do reator de leito fixo com dispersão axial adiabático.

ParâmetrosPeh Pem Da β γ m2 2 3,36 0,045 17,6 1

yf θf Pontos internos

α β

1 1 10 1 1

Perfil de y(x) Perfil de θ(x)

Resíduos

R(zk) Resíduo de y(x) do método dos momentos aprimoradosRc(zk) Resíduo de y(x) do método da colocação ortogonal

Resíduos

Tm(zk) Resíduo de θ(x) do método dos momentos aprimoradosTc(zk) Resíduo de θ(x) do método da colocação ortogonal

Resultados obtidos: Modelo dinâmico do de leito fixo com dispersão axial adiabático.

ParâmetrosPeh Pem Da β γ m yf

2 2 3,36 0,056 17,6 1 1θf Pontos

internosα β yinicial θinicial Tsimulação

(s)

1 10 1 1 0 1 2

Perfil de y(x) Perfil de θ(x)

Resíduos

R(zk) Resíduo de y(x) no tempo igual a 1 s do método dos momentos aprimoradosRc(zk) Resíduo de y(x) no tempo igual a 1 s do método da colocação ortogonal

Resíduos

Tm(zk) Resíduo de θ(x) no tempo igual a 1 s do método dos momentos aprimoradosTc(zk) Resíduo de θ(x) no tempo igual a 1 s do método da colocação ortogonal

• Exemplo: Reator de leito fixo com dispersão axial não adiabático, modo estacionário.

Resultados obtidos: Modelo estacionário do reator de leito fixo com dispersão axial não adiabático.

Parâmetros

Perfil de y(x) Perfil de θ(x)

Peh Pem Da β γ λ λr

2 2 3,36 0,056 17,6 1 0.3m yf θf Pontos

internosα β

1 1 1 3 1 1

Perfil de θr(x)

Resíduos

R(zk) Resíduo de y(x) do método dos momentos aprimoradosRc(zk) Resíduo de y(x) do método da colocação ortogonal

Resíduos

Tm(zk) Resíduo de θ(x) do método dos momentos aprimoradosTc(zk) Resíduo de θ(x) do método da colocação ortogonal

Resíduos

Trm(zk) Resíduo de θr(x) do método dos momentos aprimoradosTrc(zk) Resíduo de θr(x) do método da colocação ortogonal

Resultados obtidos: Modelo dinâmico do de leito fixo com dispersão axial não adiabático.

Parâmetros

Perfil de y(x) Perfil de θ(x)

Peh Pem Da β γ λ λr

2 2 3,36 0,056 17,6 1 -0.3m yf θf θrf Pontos internos α β1 1 1 1 3 1 1yinicial θinicial θrinicial Tsimulação (s)  0 1 1 2  

Perfil de θr(x)

Resíduos

R(zk) Resíduo de y(x) no tempo igual a 1 s do método dos momentos aprimoradosRc(zk) Resíduo de y(x) no tempo igual a 1 s do método da colocação ortogonal

Resíduos

Tm(zk) Resíduo de θ(x) no tempo igual a 1 s do método dos momentos aprimoradosTc(zk) Resíduo de θ(x) no tempo igual a 1 s do método da colocação ortogonal

Resíduos

Trm(zk) Resíduo de θr(x) no tempo igual a 1 s do método dos momentos aprimoradosTrc(zk) Resíduo de θr(x) no tempo igual a 1 s do método da colocação ortogonal

• A resolução dos problemas pelas duas metodologias apresentaram resultados semelhantes.

• Os resíduos se apresentaram com baixos valores, o que valoriza os resultados obtidos.

• Apesar do sistema da resolução do problema ser simplificado para a resolução de um sistema que tem como solução valores que zeram a equação do resíduo, em alguns gráficos esse resultado não é observado. Podendo ser explicado por problemas implementacionais, ou em função da resolução de sistemas de equações geradas por equações diferenciais de diferentes ordens.

Conclusões

FIM