Nyquist e Shannon

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1 A MXIMA CAPACIDADE DE UM CANAL A mxima capacidade de um canal de transmisso de dados a velocidade mxima do

sinal de transmisso que pode passar atravs deste canal. A unidade desta medida o bps (bit por segundo), e os teoremas bsicos para encontrar esta velocidade mxima do sinal so o Teorema de Nyquist e o Teorema de Shannon.

1.1 Relembrando logaritmos 1. Numerador igual base: Logbb=1 2. Exponenciao: Logbn^x=x*logbn 3. Mudana de base: Logbn=logan/logab 4. Exponenciao: b^(logbn)=n

5. Relembrando decibel O dB uma unidade logartmica muito usada em telecomunicaes, representando

relaes entre duas grandezas de mesmo tipo, como relaes de potncias, tenses ou outras relaes adimensionais (http://paginas.terra.com.br/lazer/py4zbz/teoria/odb.htm), principalmente pois:

O ouvido humano tem resposta logartmica (sensao auditiva versus potncia acstica);

Em telecomunicaes, se usam nmeros extremamente grandes ou pequenos. O uso de logaritmos facilita sua utilizao.

Por definio, uma quantidade Q em dB igual a 10 vezes o logaritmo decimal da

relao de duas potncias, ou seja : Q(dB) = 10 log ( P1 / P2 ).

A tabela seguinte fornece alguns valores tpicos :

Q(dB) P1/P2 V1/V2

60 1.000.000 1.000

30 1.000 31,6

20 100 10

10 10 3,16

6 4 2

3 2 1,414

0 1 1

-3 0,5 0,707

-6 0,25 0,5

-10 0,1 0,316

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-20 0,01 0,1

-30 0,001 0,0316

-60 0,000001 0,001

Observe que 0 dB (zero dB) eqivale a uma relao de 1; 3 dB eqivale a uma relao de 2 ( em potncia), e 10 dB eqivale a uma relao de 10. Assim:

3 dB eqivale a multiplicar por 2 10 dB eqivale a multiplicar por 10 3 dB eqivale a dividir por 2 10 dB eqivale a dividir por 10

fcil converter qualquer valor inteiro de dB na relao correspondente, usando apenas 3 e 10 dB. Por exemplo, 17 dB: 17 = 10 + 10 - 3 dB ou em unidades lineares 10 x 10 / 2 = 50. Portanto 17 dB eqivale a uma relao de 50.

1.1.1 Outras unidades logartmicas (http://paginas.terra.com.br/lazer/py4zbz/teoria/odb.htm)

O dBA: zero dBA eqivale a uma intensidade sonora (presso sonora) de 20 microPascal, e eqivale aproximadamente ao limiar de audio. O limiar de dor se situa em torno de 120 dBA, ou seja, uma presso 1 000 000 de vezes maior ou uma potncia sonora 1 000 000 000 000 de vezes maior (a potncia sonora proporcional ao quadrado da presso). O A se refere a um tipo de filtro de ponderao, que leva em conta a no linearidade do ouvido em freqncia.

O Neper: Uma unidade bastante usada em calculo o Neper, que igual ao logaritmo neperiano da razo de duas tenses (ou correntes) na mesma impedncia. Obs.: 1 N = 8,65 dB.

O dBr: uma unidade relativa de medida de nvel, em relao ao ponto zero de transmisso, (0 TLP), onde geralmente o nvel do tom de teste de 0 dBm. Apenas indica o somatrio dos ganhos e atenuaes num ponto qualquer em relao ao ponto de referencia, ou ponto zero de transmisso.

O dBm: uma unidade de medida de potncia : 0 dBm = 1 mW. P (dBm) = 10 log P (mW). Portanto : 3 dBm = 2 mW , 30 dBm = 1W , -30 dBm = 1 microW

O dBm0: uma unidade de medida de potncia relativa ao ponto zero. Geralmente, usado para indicar o nvel de outros sinais, como pilotos, tons de sinalizao, rudo, fuga de portadora, diafonia, etc., em relao ao tom de teste. Ex.: um tom de sinalizao de 20dBm0 ter uma potncia (ou nvel) de 28 dBm num ponto onde o tom de teste tem 8dBm. ( ponto de 8dBr). Ex.: se num determinado ponto o nvel do rudo de 34 dBm e o nvel do tom de teste de 4dBm, ento o nvel do rudo de 30dBm0.

Obs.: a relao sinal/rudo em db o nvel do rudo em dBm0 com sinal trocado.

Relao entre dBm, dBr e dbm0 : dBm = dBr + dBm0

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1.2 Teorema de Nyquist

Em 1924, Nyquist publicou uma equao determinando a mxima capacidade de um canal desconsiderando a existncia do rudo branco. A equao a seguinte:

MCn = 2*B*log2N

MCn=Mxima capacidade do canal por Nyquist B: largura de banda, medida em Hz; N= nmero de nveis do sinal

O valor de log2N pode ser encarado como a modulao multinvel utilizada, pois se N o nmero de nveis, log2N a modulao multinvel. Por exemplo, para um dibit, 2 bits por baud, N=4 (4 nveis: 00, 01, 10 e 11). log24=> log222 => 2*log22 => 2*1 => 2, ou seja, a prpria modulao multinvel.

Assim, para facilitar a frmula, pode-se representar que:

MCn=2*B*Mmn Mmn: modulao multinvel que est sendo utilizada: monobit: Mmn=1; dibit: Mmn=2;

tribit: Mmn=3; tetrabit: Mmn=4 e assim por diante.

A base do teorema diz que um canal com largura de banda B pode enviar no mximo 2B valores de tenso diferentes por segundo, ou seja, no mximo pode-se alterar a onda portadora a cada meio ciclo a fim de transmitir um sinal binrio.

Assim, por exemplo, caso a largura de banda de um canal seja de 4 KHz e o modem utilizado seja dibit, a mxima capacidade de transmisso de dados pela linha de 16000 bps.

importante ressaltar que o teorema de Nyquist no leva em considerao a existncia de rudo. Assim, possvel teoricamente aumentar indefinidamente a taxa de transmisso do canal, simplesmente aumentando o nmero de nveis da modulao multinvel. Entretanto, isto no verdade, visto que quanto maior o nmero de nveis, mais difcil ser a reconstruo correta do sinal na existncia de rudo, pois os nveis ficam mais prximos entre si.

Para a transmisso digital, o processo parecido. Nyquist provou que o nmero necessrio de amostragens de um sinal analgico para poder ser totalmente recuperado no destino de 2 vezes a largura de banda em Hertz.

1.3 Teorema de Shannon O teorema de Shannon j leva em considerao a existncia do rudo branco, impondo um

limite para a mxima taxa de transmisso do canal, limitando a modulao multinvel que pode ser utilizada.

Shannon provou, em 1948, que se um sinal est sendo enviado com uma potncia S atravs de uma linha, e a potncia do rudo N, ento a mxima capacidade de transmisso deste canal :

MCs=Blog2(1+S/N)

A razo entre a potncia do sinal e a potncia do rudo branco conhecida como relao sinal-rudo, normalmente sendo expressa em decibis (dB). Para extrair o valor real utilizado na frmula de Shannon (nmero adimensional), deve-se utilizar a frmula:

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ndB=10log10(S/N)

Assim, por exemplo, um canal com largura de banda de 4KHz e uma relao sinal rudo de 30dB vai possuir uma mxima capacidade de transmisso calculada da seguinte forma:

primeiramente, deve-se passar de dB para relao entre potncias: assim, 10(30/10)=10log10(S/N) e S/N=1000. A seguir, aplica-se na frmula de Shannon:

MCs=4000 log2(1+1000) = > MCs=4000 (log101001/log102) => MCs=39868 bps. Desta forma, o mximo que pode ser transmitido atravs deste canal 39868 bps, no podendo se utilizar um modem com velocidade de sinal superior a isto.

1.4 BIBLIOGRAFIA /LAT 79/ Lathi, B. P.. Sistemas de Comunicao. Ed. Guanabara Dois. 1979.401p.

/MOE 95/ Moecke, Marcos. Curso de Telefonia Digital - Modulao por Cdigo de Pulso. Escola Tcnica Federal de Santa Catarina So Jos. 1995. 23p.

/MOE 95a/ Moecke, Marcos. Curso de Telefonia Digital - Multiplexao por Diviso de Tempo e Transmisso Digital. Escola Tcnica Federal de Santa Catarina So Jos. 1995. 25p.

/ROE 97/ Roesler, Valter.Desenvolvimento de um PABX digital e detalhes de seu funcionamento. Revista Scientia, Vol. 8 n. 2. Julho a dezembro de 1997. Ed. Unisinos. Pp 83-118.