resumo

WWW.avagaeminha.com.br z = a + bi

a = parte real

b = parte imaginária

FORMA POLAR OU TRIGONOMÉTRICA

OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

1 (G1 - UTFPR 2007) Sejam z1 e z2 dois números complexos, sendo

z1 = (x1 + x2) + (3 x2 - x3)i e z2 = (2 x1 + 4) + (1 - x3)i. Se z1 =

z2, pode-se afirmar que:

a) x2 = - 3. b) x1 = 11/3. c) x1 = 13/3. d) x2 = 1. e) x2 =

1/3.

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Gabarito

2 (UFPR 2007) Calculando-se a expressão i

917 062 007, onde ,

obtém-se:

a)+i b) i2 c)-1 d) -i e) +1

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Gabarito

3 (UFRRJ 2005) João deseja encontrar o argumento do

complexo O valor correto encontrado por João é

a) π/6 b) π/4 c) π/3 d) π/2 e) 2π/3

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Gabarito

4 (UFRGS 2007) O argumento do número complexo z é π/6 , e o seu

módulo é 2. Então, a forma algébrica de z é

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Gabarito

5 (PUCRS 2008) O número complexo a + bi, diferente de zero, está

assinalado, no plano complexo, sobre o eixo real. É correto afirmar

que seu conjugado está situado

a) sobre o eixo real.

b) sobre o eixo imaginário.

c) no primeiro quadrante.

d) no segundo quadrante.

e) no terceiro quadrante.

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Gabarito

6 (UFU 2006) A representação geométrica do conjugado do número

complexo (2i + 2)2/(3i - 2), em que i é a unidade imaginária,

encontra-se no

a) primeiro quadrante.

b) segundo quadrante.

c) terceiro quadrante.

d) quarto quadrante.

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Gabarito

7 (FGV 2005) Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss

coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura:

Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h55

sua ponta estará sobre o número complexo

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Gabarito

8 (G1 - CFTMG 2004) Sendo o complexo z = 2 [cos (π/6) + sen (π/6)

i], calculando z6 obtemos

a) - 32 i b) - 32 c) - 64 i d) - 64

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Gabarito

9 (G1 - CFTMG 2004) O valor de [(1/2) + (1/2)i]100

é

a) (-1/2)-50

b) (1/2)-50

c) - 2-50

d) 2-50

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Gabarito

10 (UFPR 2006) Considere os números complexos z = cos π/18 + i sen

π/18 e w = 2(cos π/9 + i sen π/9).

a) Mostre que o produto z.w é igual a .

b) Mostre que z18

é igual a -1.

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Gabarito

11 Considere os números complexos z = 20(cos 5π/9 + i sen 5π/9) e

w = 10 (cos π/18 + i sen π/18) , encontre o valor de (z/w)10

:

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Gabarito

12

(UEL 2009) O número complexo escrito na forma

trigonométrica a + bi = ρ[cos(θ) + isen(θ)] é:

a) cos(θ) + isen(θ)

b) cos π/6 + isen π/6

c) cos (2π/3) + isen (2π/3)

d) 3 cos 2π/3 + isen (2π/3)

e)2 [cos (5π/6) + isen (5π/6)]

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Gabarito

1

3 (UFSM 2007) Admitindo que o centro do plano complexo coincida

com o centro de um relógio analógico, se o ponteiro dos minutos tiver

4 unidades de comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre o

número complexo

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Gabarito

14 (UFRJ 2005) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as

extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos

números complexos z e w a seguir: , w =

z2, sendo α um número real fixo, 0 < α < 1

Determine a hora do jantar.

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Gabarito

15 (UFRGS 2005) O ângulo formado pelas representações geométricas

dos números complexos e z4 é

a) π/6. b) π/4. c) π/3. d) π/2. e) π.

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Gabarito

16 (UNESP 2008) Considere o número complexo z = cos (π/6) + i sen

(π/6). O valor de z3 + z

6 + z

12 é:

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Gabarito

17 (UFRGS 2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte

imaginária do número complexo (cos (π/8) + i.sen π/8)n é negativa é:

a) 3. b) 4. c) 6. d) 8. e) 9.

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Gabarito

18 (Mackenzie 2010)

Se y = 2x, sendo e , o valor de (x + y)2 é

a) 9i b) – 9 + i c) –9 d) 9 e) 9 – i

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Gabarito

19 (FGV 2007) A figura indica a representação dos números Z1 e Z2 no

plano complexo.

Se Z1 . Z2 = a + bi, então a + b é igual a

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Gabarito

20 (UFPEL 2008) Considerando o número complexo z = a + bi, em que

i é a unidade imaginária, a < b, módulo de z é igual a 5 e módulo de z

+ i é igual a , é correto afirmar que a diferença entre esse número

z e o seu conjugado é igual a

a) 6i. b) - 8. c) - 6i. d) 8. e) 0.

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Gabarito

21 (UNESP 2007) Considere os números complexos w = 4 + 2i e z = 3a

+ 4ai, onde a é um número real positivo e i indica a unidade

imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é IzI e a base

é a parte real de z.w, determine a de modo que a área do triângulo seja

90 cm2.

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Gabarito

22 (UNIFESP 2004) Considere, no plano complexo, conforme a figura,

o triângulo de vértices z1 = 2, z2 = 5 e z3 = 6 + 2i.

A área do triângulo de vértices w1 = iz1, w2 = iz2 e w3 = 2iz3 é:

a) 8. b) 6. c) 4. d) 3. e) 2.

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Gabarito

23 (UFRJ 2009) No jogo Batalha Complexa são dados números

complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. O tiro

certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w.

Considere a mira z e o alvo w indicados na figura anterior. Determine

o tiro certeiro de z em w.

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Gabarito

24 (UERJ 2005) João desenhou um mapa do quintal de sua casa, onde

enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de coordenadas

retangulares, colocando a origem O na base de uma mangueira, e os

eixos OX e OY com sentidos oeste-leste e sul-norte, respectivamente.

Cada ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de um número

complexo z = x + iy , x ∈ R, y ∈ R e i2 = -1. Para indicar a posição (x1,

y1) e a distância d do cofre à origem, João escreveu a seguinte

observação no canto do mapa:

x1 + iy1 = (1 + i)9

Calcule:

a) as coordenadas (x1, y1);

b) o valor de d.

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Gabarito

25 (UEL 2009) Qual é a parte real do número complexo z = a + bi, com a

e b reais e a > 0 e b > 0 cujo quadrado é -5 + 12i?

a)1/3 b)1/2 c) 1 d) 2 e)3

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