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Aula 1 – resumo teórico

Tema: LÓGICA PROPOSICIONAL

Noção preliminar.

Frase: Toda palavra ou conjunto de palavras que usamos para comunicar com alguém e possua sentido

completo.

As frases podem ser de vários tipos:

Declarativa: O Brasil é um país do continente americano.

Imperativa: Faça seu trabalho corretamente.

Interrogativa: Que horas são? Como vai você?

Exclamativa: Bom dia!

A lógica formal tem como objetivo utilizar frases declarativas e que não possuam ambigüidade.

PROPOSIÇÕES

Definição: Uma proposição é toda sentença declarativa (com sujeito e predicado) á qual pode se atribuir,

sem ambiguidade, apenas um do valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F).

Tema: Princípios Fundamentais da lógica

Princípio da Identidade:

Todo objeto é idêntico a si mesmo, isto é, uma proposição verdadeira é sempre verdadeira e uma

proposição falsa é sempre falsa.

Principio da Não-contradição

Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.

Principio do Terceiro Excluído

Toda proposição ou é só verdadeira ou é só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso.

Tema: CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES

As proposições podem ser simples ou compostas.

Proposição simples ou atômica: É uma frase declarativa que expressa um pensamento completo acerca de

um objeto, isto é, possui um único objeto de estudo.

Proposição composta ou molecular: É formada por duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos

lógicos.

Tema: operadores lógicos

DISJUNÇÃO: p q : p ou q

P ou q ou ambos

P e/ou q (documentos legais)

Disjunção exclusiva: “p q” (lê-se: ou p ou q).

CONJUNÇÃO: p q: p e q / p, mas q / Tanto p como q / p, apesar de q

Em provas de concurso já foi cobrado às seguintes formas:

p e q

p, mas q

Tanto p como q

CONDICIONAL

As outras formas filosóficas de escrever a condicional são :

Se p, então q p implica q

p é suficiente para q q é necessário para p

p conseqüentemente q Quando p, q

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No caso de p, q q, contanto p

q, se p q, no caso de p

Todo p é q.

Já foram cobradas as formas: p implica q; p é suficiente para q; q é necessário para p ,

p consequentemente q; q, se p e todo p é q.

BICONDICIONAL

Dadas duas proposições p e q, a proposição “p se, e somente se, q”, que será indicada por “p q”, é

chamada de bicondicional.

p q ( lê-se : p se e somente se q)

RESUMO:

Conectivo Símbolo Forma simbólica Sentido

Disjunção inclusiva p q Ocorre p ou ocorre q ou ambos

Disjunção exclusiva

p q Ocorre p ou ocorre q mas não ocorre ambos

Conjunção p q Ocorre p e q

Condicional

p q Se ocorre p então q também ocorre

Bicondicional

p q Ou ocorre p e q , ou não ocorre p e q

Resumo da tabela.

Conectivo Forma simbólica Dica

Disjunção inclusiva p q 1 V = V

Disjunção exclusiva p q Símbolos diferentes (VF ou FV) = V

Conjunção p q 1 F = F

Condicional p q VF = F

Bicondicional p q Símbolos iguais (VV ou FF ) =V

Tema: Negação de proposições compostas

Negação da disjunção: ~( p q ) ~ p ~q

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Cuidado: As expressões : ~( p q) e ~ p q não representam a mesma coisa , a primeira expressão a

negação da conjunção e a segunda a negação de p “ou” q

Dica: Negar a primeira proposição ( simples ou composta ) depois colocar o conectivo “e” e negar a

segunda proposição ( simples ou composta).

Negação da conjunção: ~( p q ) ~ p ~q

Dica: Negar a primeira proposição (simples ou composta) depois colocar o conectivo “ou” e negar a

segunda proposição (simples ou composta).

Negação da condicional: ~ ( p q) p ~q

Dica: Conserva a primeira proposição (simples ou composta) colocar o conectivo “e” e depois negar

somente a segunda proposição ( simples ou composta)

Negação da bicondicional: ~ ( p q ) = ~ p q outra opção p ~ q.

Dica: conserva o conectivo e nega apenas uma proposição

EQUIVALÊNCIA LÓGICA

EQUIVALÊNCIA LÓGICA

As proposições P e Q são equivalentes quando apresentam tabelas verdades idênticas.

Indicamos que p é equivalente a q do seguinte modo: p q.

Para confirmar a equivalência lógica deve-se construir a tabela verdade das proposições e se apresentarem a

mesma valoração ( na ordem das linhas correspondentes) , então as proposições são equivalentes.

Vamos estudar, as equivalências mais cobradas em provas de concurso.

A condicional possui duas expressões equivalentes

p q ¬ q ¬p ¬ p q

1ª forma: p q q p (contra-positiva)

Dica: Inverte as proposições e nega.

2ª forma: p q p q ( a negação da negação da condicional)

Dica: Nega a primeira proposição colocar o conectivo “ou” e mantém a segunda proposição na forma original.

Resumo:

Se corro ,então canso.( p q)

Se não canso , então não corro. ( q p)

Não corro ou canso. ( p q )

Equivalente da bicondicional: (p q) (p q) ^ (q p)

Quantificador Universal ( )

O símbolo pode ser lido das seguintes formas:

Todo

Qualquer que seja.

Exemplo: Todo homem é mortal.

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Na representação do diagrama lógico seria.

Cuidado todo homem é mortal, mas nem todo mortal é homem.

A forma Todo A é B pode ser escrita na forma Se A então B.

A forma simbólica da expressão Todo A é B é a expressão ( (x) / A (x) B)

Quantificador existencial ( )

O símbolo pode ser lido das seguintes formas:

Pelo menos um

Existe

Algum

Exemplo: Algum matemático é filósofo

O diagrama lógico dessa frase é

O quantificador existencial tem a função de elemento comum. A palavra algum do ponto de vista lógico

representa termos comuns, por isso Algum A é B possui a seguinte forma simbólica: ( (x)) ( A(x) B)