RESUMOS DE ANALISE MATEMATICA II1o Semestre 2010/2011

Teoremas de Stokes e da divergencia

1. Seja ~F um campo vectorial em R3 de classe C1 definido num aberto R ⊂ R3.O rotacional de ~F , que se denota por rot~F , e o campo vectorial

rot~F = ∇× ~F =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣=

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F1

∂z− ∂F3

∂x,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)

A divergencia de ~F , que se denota por div ~F , e o campo escalar

div ~F = ∇ · ~F =∂F1

∂x+

∂F2

∂y+

∂F3

∂z

2. Se f e um campo escalar de classe C2 em R3 entao rot∇f = ~0, ou seja, se umcampo vectorial ~F ∈ C1 e conservativo entao rot~F = ~0

3. Se ~F : R3 → R3 e um campo vectorial de classe C1 em R3 e rot~F = ~0 entao ~Fe conservativo.

4. Se ~F : R3 → R3 e um campo vectorial de classe C2 entao div(rot~F

)= 0.

5. (Bordo de uma superfıcie) Considere-se uma superfıcie S parametrizada pelafuncao r : R → R3 de classe C1 e regular. Seja A ⊂ S uma porcao de superfıciee suponha-se que r−1(A) ⊂ R2 e um conjunto limitado cuja fronteira C e umacurva simples, fechada e seccionalmente suave. Seja ~σ : [a, b] → R2 umaparametrizacao da curva C. O bordo ∂A da superfıcie A e a curva de R3

parametrizada por r ◦ ~σ : [a, b] → R3.

6. (Regra da mao direita) Seja S uma superfıcie orientavel, n o campo vectorialnormal unitario que lhe determina a orientacao e A ⊂ S uma porcao de su-perfıcie limitada por uma curva. A orientacao de S vai induzir uma orientacaono bordo da superfıcie A. Desenhando um quadrado na superfıcie A de modoque um dos seus lados e um dos pedacos do bordo, a orientacao do bordo e ainduzida pela normal unitaria n na circulacao ao longo dos lados do quadradopela regra da mao direita (fechando a mao direita no sentido da circulacao doquadrado, o polegar deve apontar na direccao do vector normal).

7. (Teorema de Stokes) Seja A uma porcao de superfıcie orientavel limitada poruma curva C fechada, simples, seccionalmente suave e com orientacao positiva

1

induzida pela orientacao de A. Seja ~F um campo vectorial de classe C1 definidonuma regiao aberta de R3 contendo A. Entao

∫

C

~F · d~σ =

∫∫

A

rot~F · d~S

8. O Teorema de Green e um caso particular do Teorema de Stokes tomandoS = R× {0} e n = (0, 0, 1).

9. (Teorema da divergencia) Seja E uma regiao solida simples cuja fronteira S

esta orientada segundo a normal exterior a E. Seja ~F um campo vectorial declasse C1 numa regiao aberta do espaco que contem E. Entao

∫∫

S

~F · d~S =

∫∫∫

E

div ~Fdx dy dz.

10. O Teorema da divergencia tambem e valido para regioes que podem ser de-compostas numa uniao finita de regioes simples.

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