Resoluo de problemas em contextos de ensino de Matemtica: uma abordagem por

meio da Teoria dos Grafos

GERSON PASTRE DE OLIVEIRA1

JEFFERSON RICART PZETA2

RESUMO

A resoluo de problemas tem sido objeto de estudos e pesquisas no sentido de definir estratgias que facilitem sua adoo nas escolas. A Teoria dos Grafos se apresenta como uma possibilidade para a modelagem e resoluo de problemas, principalmente em relao aos tpicos que abordam questes relativas a percursos econmicos, colorao, contagem, entre outros, no mbito da matemtica, proporcionando meios para que o aluno estruture e modele o pensamento e as aes de resoluo. As reflexes e observaes dos alunos so trazidas ao longo do texto, favorecendo anlises que levaram em conta as dificuldades dos mesmos na resoluo de problemas e as possibilidades abertas pela teoria dos grafos nas formalizaes e modelagens. O suporte terico foi completado com ideias de autores como Polya e Brousseau, com significativas participaes no embasamento das oficinas e das estratgias aplicadas na elaborao das sequncias empregadas. Palavras-chave: Resoluo de Problemas. Teoria dos Grafos. Teoria das Situaes Didticas. Matemtica Discreta.

ABSTRACT

Problem solving has been the subject of studies and research in order to define strategies to facilitate actions in its resolution. The graph theory is presented as a strategy that enables the modeling and solving problems, especially those that address issues related to economic paths, coloring, counting, among others, in the context of mathematics, providing a means for the student to structure and model the thinking and actions of resolution. This study deals with an investigation into the use of graphs as a theoretical basis in solving problems, and was performed with second and third year students from a high school located in the city of So Paulo. The thoughts and observations of the students are brought along the text, favoring analyzes that took into account the students' difficulties in solving problems and possibilities of Graphs in formalization and modeling strategies. The theoretical support was supplemented by ideas of authors like Polya and Brousseau, with significant holdings in the basis of workshops and strategies applied in the preparation of the sequences used. Keywords: Problem solving. Graph Theory. Theory of Didactic Situations. Mathematics.

Introduo

Este trabalho traz parte dos resultados de uma investigao, cujos resultados culminaram

na dissertao de mestrado profissional em Educao Matemtica de um dos autores, com

foco na resoluo de problemas e tendo por perspectiva de trabalho algumas aplicaes

advindas da teoria dos grafos.

Estabelecer estratgias para resoluo de problemas tem sido um grande desafio para os

educadores. A LDB enfatiza a necessidade de aplicar e modular problemas, designando

1 Doutor em Educao (USP) Professor PEPG em educao Matemtica PUC-SP.

e-mail: gpastre@pucsp.br 2 Mestre em Educao Matemtica (PUC-SP) Professor Colgio Boni Consilii; Faculdades IBTA e-mail: jefferson.pezeta@ibta.edu.br

inclusive um captulo para este assunto, Resoluo de Problemas e o Ensino

Aprendizagem da Matemtica (BRASIL, 1996, p.39-x).

A ateno s situaes ligadas ao cotidiano tambm destacada pelo diploma legal, com a

recomendao de nfase na resoluo de problemas, na explorao da Matemtica a partir

dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas vrias disciplinas (BRASIL, 1996,

p.20).

A investigao, argumentao, comprovao, o estmulo criatividade e a iniciativa pessoal

tambm ocupam papis de destaque. A LDB indica uma preocupao com tcnicas e

estratgias de resoluo de problemas, buscando adequ-las aos ambientes de vivncia do

aluno, estimulando-o a pensar e criar seus caminhos, de modo que o mesmo possa

desenvolver um sentido autnomo na capacidade de resolver e solucionar problemas.

Em relao teoria dos grafos, cujas primeiras ideias podem ser encontradas nos trabalhos

de Lehonard Euler (Gersting, 2001), por meio do conhecido problema das pontes de

Konigsberg, pode-se dizer que a mesma foi sendo sistematizada a partir de abordagens

advindas de pesquisas quase sempre motivadas por questes prticas, como a descoberta

de rotas mais rpidas, percursos mais curtos, gasto mnimo de conexes, entre outras

propostas, configuradas como problemas sobre os quais os matemticos se debruaram.

Uma vez criada a interface de abordagem para determinadas questes, ento, a prpria

teoria pode funcionar como ferramenta para a modelagem e resoluo de problemas,

como campo terico da Matemtica Discreta. De outra forma, o uso da teoria dos grafos

com finalidades didticas se consolidou primeiro como disciplina em si, prevista em

diversos currculos de Cincia da Computao, por exemplo, ou inserida na disciplina

Matemtica Discreta neste mesmo nvel de ensino.

Assim, a teoria dos grafos, traz uma srie de problemas tpicos, que podem fomentar, por

meio de uma estratgia pedaggica adequada por parte dos professores, o

desenvolvimento de habilidades importantes e desejveis para alunos do ensino mdio:

modelar problemas por meio de grafos, explorar questes do ponto de vista da existncia

ou no de solues, conjecturar sobre as condies gerais de uma determinada

resoluo.

Entre os problemas tpicos constam, por exemplo, a determinao de rotas mais curtas e

trajetos mais eficientes a partir de certos percursos. Evidentemente, existem algoritmos j

desenvolvidos para problemas desta natureza para a questo dos caminhos mnimos

em grafos, por exemplo, podem ser exploradas as resolues propostas por Dijkstra ou

Floyd (Gersting, 2001), que preveem o armazenamento do grafo como estrutura matricial

e sua manipulao atravs de estratgias baseadas em tabelas de valores

decrescentes, que vo sendo refinados do vrtice de origem para os demais,

considerando todos os outros ns como possveis destinos. So bastante conhecidas as

aplicaes relativas ao problema do carteiro chins, que consiste em realizar a rota mais

eficiente em determinado percurso composto, por exemplo, por um grafo de ruas de um

bairro. O problema em si usa os resultados de Euler para grafos ditos eulerianos, como

estratgia para minimizar as vias que seriam repetidas (no caso, seriam a de menor

extenso) quando se pretende cobrir o trecho de forma completa como em um servio

de entrega de correspondncias, por exemplo (Oliveira, 2004).

Neste trabalho, analisam-se algumas produes de sete estudantes do Ensino Mdio,

especificamente referentes aos conceitos iniciais da teoria dos grafos e suas aplicaes,

obtidas por meio de oficinas didticas. Os elementos tericos norteadores, bem como a

natureza do problema de pesquisa, so esclarecidos a seguir.

Referencial terico e problematizao

Vrias leituras foram realizadas no processo de eleio de um quadro terico deste trabalho.

A opo por Polya (2006) e Brousseau (1986), especificamente quanto resoluo de

problemas, se deu em funo da maior correlao de seus trabalhos no campo de estudo

em questo.

Deste ponto de vista, utilizar aplicaes da Teoria dos Grafos como estratgias uma

medida que deve vir acompanhada dos principais elementos da resoluo de problemas: o

pensar, o analisar, o definir, o concluir. Saber para onde ir e como chegar. Desta forma,

Polya (2006) e Brousseau (1986) aparecem de forma estrategicamente importante no

desenvolvimento deste estudo.

Considerando as contribuies principais dos dois tericos apresentados, as atividades

relativas s oficinas foram elaboradas considerando que um aluno deve ser estimulado, em

relao a um problema, a buscar seus dados, as incgnitas e as condicionantes, alm de

agir, formular, criar conjecturas, enxergar caminhos. Deve o aluno, igualmente, receber

estmulos para buscar situaes correlatas, discutir com seus pares, formar validaes de

seus pensamentos, bem como traar retrospectivas de suas aes, com vistas a validar

continuamente suas formulaes. J o professor deve interferir o mnimo possvel no meio,

sendo um mediador e trabalhando ao mximo com devolutivas que faam o aluno pensar,

formular, concluir, alm de institucionalizar um assunto apenas quando as etapas

investigativas a cargo dos alunos tiverem sido concludas.

De acordo com Gersting (2001), ainda que a ideia seja muito simples, uma quantidade

enorme de estruturas e de situaes tem relaes que levam as mesmas a serem

representadas na forma de grafos. Alm de uma srie de elementos computacionais que

so assim constitudos, podem-se elencar, como grafos, redes computacionais, mapas

rodovirios, rotas de distribuio de servios e/ou produtos, entre outras coisas. Isto torna a

proposta de trabalho didtico com o tema, no mbito do Ensino Mdio, bastante adequada,

em funo de sua natureza modelvel, do rigor e formalismo que podem ser associados s

aplicaes, do ponto de vista matemtico, e da possibilidade da criao de cenrios

investigativos (Skovsmose, 2003), os quais podem ser abordados a partir de uma proposta

desafiadora, calcada na resoluo de problemas do mundo real (English e Sriraman, 2010).

Neste sentido, a propositura encetada a partir desta investigao tinha a inteno de colocar

os estudantes em posio de investigar problemas oriundos de pressupostos da teoria dos

grafos, criando situaes didticas nas quais, do ponto de vista de Brousseau (1986), os

mesmos pudessem, autonomament