1 RESUMO 10 ANO

GEOMETRIA 1

Duas rectas do plano podem ser:

esConcorrent

esCoincident

paralelas teEstritamen Paralelas

Duas rectas no espao podem ser:

scomplanare No

esConcorrent

esCoincident

paralelas teEstritamen Paralelas

sComplanare

Uma recta em relao a um plano pode ser:

Paralela

eConcorrent

Aposta

Importante: Duas rectas no espao so estritamente paralelas se forem complanares e no tiverem pontos em comum. Duas rectas do espao so perpendiculares se por um ponto qualquer do espao possvel traar duas rectas perpendiculares, paralelas s rectas dadas. Uma recta perpendicular a um plano quando perpendicular a todas as rectas apostas ao plano. Dois planos secantes (concorrentes) so perpendiculares quando existem duas rectas, uma em cada um deles, que seja perpendiculares entre si.

PLANO

( )11 y;xA ( )22 y;xB dois pontos do plano e X ( )y;x um

ponto genrico.

Distncia entre dois pontos:

[ ] ( ) ( )2

212

21B,A yyxxd +=

Equao da circunferncia de centro em ( )b;aC e raio r :

( ) ( ) 222 rbyax =+

Equao do crculo de centro em ( )b;aC e raio r :

( ) ( ) 222 rbyax +

Mediatriz de um segmento [A,B] :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )222

22

12

1

22

22

21

21

yyxxyyxx

yyxxyyxx

B,XdA,Xd

+=+

+=+

=

Ponto mdio do segmento [AB]

[ ]

++=

2

yy;

2

xxM 2121AB

ESPAO

( )111 z;y;xA ( )222 z;y;xB dois pontos do espao e X ( )z;y;x um

ponto genrico.

Distncia entre dois pontos:

[ ] ( ) ( ) ( )2

212

212

21B,A zzyyxxd ++=

Equao da superfcie esfrica de centro em ( )c;b;aC e raio r :

( ) ( ) ( ) 2222 rczbyax =++

Equao da esfera de centro em ( )c;b;aC e raio r :

( ) ( ) ( ) 2222 rczbyax ++

Plano mediador de um segmento [A,B]:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

22

22

12

12

1

22

22

22

21

21

21

zzyyxxzzyyxx

zzyyxxzzyyxx

B,XdA,Xd

++=++

++=++

=

Ponto mdio do segmento [AB]

[ ]

+++=

2

zz;

2

yy;

2

xxM 212121AB

2 RESUMO 10 ANO

Vectores no Plano Vectores no Espao

( )21 v;vv

e ( )21 u;uu

vectores no plano .

Dois pontos do plano A e B definem um vector:

( )1212 yy;xx

ABAB

=

=

Norma de um vector (comprimento de um vector):

Se ( )b;av =

ento 22 bav +=

Nota: )B,A(dAB =

Adio de vectores:

( )2211 uv;uvuv ++=+

Multiplicao de um vector por um nmero real k.

( ) ( )2121 kv;kvv;vkvk ==

Dois vectores

v e

u so simtricos se:

(Vectores simtricos tm o mesmo comprimento e direco mas sentidos contrrios).

= uv

Dois vectores

v e

u no nulos so colineares se:

Existir um valor real K (K0) tal que

= uKv

Nota: O vector nulo colinear com qualquer vector.

( )321 v;v;vv

e ( )321 u;u;uu

vectores no espao .

Dois pontos do espao A e B definem um vector:

( )121212 zz;yy;xx

ABAB

=

=

Norma de um vector (comprimento de um vector):

Se ( )c;b;av =

ento 222 cbav ++=

Nota: )B,A(dAB =

Adio de vectores: (Semelhante ao plano)

Multiplicao de um vector por um nmero real k. (Semelhante ao plano)

Rectas no plano e no espao

Equao vectorial da recta no plano

A recta r que contem o ponto ( )00 y;xP e cuja direco

dada por ( )b;av =

tem equao vectorial

( ) Rk,vkPy;x +=

ou seja

( ) ( ) ( ) Rk,b;aky;xy;x 00 +=

Do desenvolvimento da equao vectorial obtemos a

Equao reduzida da recta no plano b+= mxy

em que m o declive e b a ordenada na origem.

Equao vectorial da recta no espao

A recta r que contem o ponto ( )000 z;y;xP e cuja direco dada

por ( )c;b;av =

tem equao vectorial

( ) Rk,vkPz;y;x +=

ou seja

( ) ( ) ( ) Rk,c;b;akz;y;xz;y;x 000 +=

nota: No espao as coordenadas so compostas por uma tripla ordenada.

3 RESUMO 10 ANO

Sendo ( )11 y;xA ( )22 y;xB dois pontos distintos da

recta

12

12

yy

yym

=

Se ( )b;av =

vector director da recta

a

bm = .

Importante: Casos particulares de rectas no plano:

Recta horizontal by = (o declive nulo)

Recta vertical ax = (no tem declive)

Bissectriz dos quadrantes mpares xy = (declive 1)

Bissectriz dos quadrantes pares xy = (declive 1)

Dada uma recta de equao reduzida b+= mxy , se

edecrescent recta a

horizontal recta a

crescente recta a

0m

0m

0m

Duas rectas do plano com o mesmo declive so paralelas. Duas rectas paralelas (no espao ou no plano) tm vectores directores colineares.

4 RESUMO 10 ANO

FUNES I Chama-se funo f de domnio A e conjunto de chegada B a toda a correspondncia unvoca que a cada elemento de A faz corresponder um e um s elemento de B. Generalidades sobre funes: Domnio O domnio de uma funo conjunto dos elementos do conjunto de partida para os quais a funo tem significado. Assim:

Se f da forma ( )( )

)x(d

xqxf = ento { }0)x(d:RxDf =

Se f da forma ( ) ( )n xrxf = e se n for par ento ( ){ }0xr:RxDf =

injectividade

Uma funo f de domnio D injectiva quando, para todos os elementos 1x e 2x de D, se 1x 2x ento f( 1x )f( 2x ).

Nota : Uma funo com mais do que um zero no injectiva. A injectividade pode ser traduzida por : Uma funo injectiva se a objectos distintos correspondem imagens distintas. Paridade Uma funo par se Oy (eixo das ordenadas) for eixo de simetria da funo, i.e.,

( ) ( )xfxf Dx f =

Uma funo mpar for simtrica relativamente origem do referencial, i.e.,

( ) ( )xfxf Dx f =

Monotonia Uma funo crescente num intervalo ]a,b[ se:

] [ ( ) ( )2121f21 xfxf ento x xse Dba, x,qualquer x para > . Uma funo decrescente num intervalo ]a,b[ se:

- ] [ ( ) ( )2121f21 xfxf ento x xse Dba, x,qualquer x para > . Uma funo que crescente (decrescente) em todo o seu domnio diz-se montona crescente (decrescente). Uma funo que simultaneamente crescente e decrescente diz-se montona constante.

5 RESUMO 10 ANO

Funo afim Toda a funo definida analiticamente por um polinmio de grau 0 ou 1. (ver equao reduzida da recta) Funo quadrtica Toda a funo definida analiticamente por um polinmio do 2 grau uma funo quadrtica, ou seja,

( ) { }0\Ra e R cb, com , cbxaxxf 2 ++= . O grfico de uma funo quadrtica uma parbola tal que:

Concavidade:

baixo para viradaeconcavidad 0a

cima para viradaeconcavidad 0a

Binmio discriminante

expresso ac4b 2 = dado o nome de binmio discriminante e permite determinar o nmero de zeros de uma

funo quadrtica.

>

=

6 RESUMO 10 ANO

Funes polinomiais e polinmios

Teorema do resto : Seja P(x) um polinmio, o resto da diviso de P(x) por (x-) igual a P().

Seja P(x) um polinmio e x1 , x2 , ... , xn suas razes reais ento P(x)= Q(x) (x- x1 ) (x- x2 ) ... (x- xn ).

Se P(x) for de grau n e possuir n razes reais ento P(x)= ao (x- x1 ) (x- x2 ) ... (x- xn ), em que ao o coeficiente do termo

de maior grau. Notas :

Um polinmio de grau n tem no mximo n razes reais.

O quociente da diviso de um polinmio P(x) por (ax-) igual ao quociente da diviso de ( )

a

xP por

ax

e o resto desta forma obtido ( )

a

xR em que R(x) o resto da diviso inicial.

Nem todos os polinmios possuem razes reais por exemplo 1x 2 + ... continua no 12 ano.

a0