Revisão · 2018-01-26 · Uma fração é uma ou mais parcelas de um todo que foi dividido em ......

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Conteúdo Operações com frações ........................................................................................................... 2

Adição e subtração ............................................................................................................... 2

Frações com denominadores iguais .................................................................................. 2

Frações com denominadores diferentes ........................................................................... 2

Passo 1: ......................................................................................................................... 3

Passo 2: ......................................................................................................................... 3

Passo 3: ......................................................................................................................... 3

Passo 4: ......................................................................................................................... 3

Exemplo: ........................................................................................................................ 4

Exercícos .............................................................................................................................. 5

Multiplicação e divisão de frações ........................................................................................ 1

Multiplicação ...................................................................................................................... 1

Exercícios ............................................................................................................................. 1

Praticando............................................................................................................................. 3

Potenciação ............................................................................................................................. 6

Tipos de potenciação ............................................................................................................ 7

Base real e expoente inteiro .............................................................................................. 7

Propriedades da potenciação ............................................................................................... 8

Produto de potências de mesma base .............................................................................. 8

Divisão de potências de mesma base: .............................................................................. 8

Potência de potência: ........................................................................................................ 9

Potência de um produto .................................................................................................... 9

Exercícios ............................................................................................................................. 9

Radiciação ............................................................................................................................. 14

Propriedades da radiciação. ............................................................................................... 14

Exercícios ........................................................................................................................... 16

Porcentagem .......................................................................................................................... 18

Exercícios ........................................................................................................................... 18

Respostas ........................................................................................................................... 25

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Operações com frações

Adição e subtração

Uma fração é uma ou mais parcelas de um todo que foi dividido em partes iguais. Desse modo, somá-las ou subtraí-las é um pouco diferente das mesmas operações envolvendo números inteiros. Existem dois casos para adição ou subtração de frações: o primeiro para aqueles objetos que foram divididos em uma mesma quantidade de partes e o segundo para aqueles objetos que foram divididos em um número diferente de partes. Lembre-se de que o número de partes em que um objeto foi dividido é representado pelo denominador de uma fração. Desse modo, os dois casos de adição de frações são: frações com denominadores iguais e frações com denominadores diferentes.

Primeiro caso

Frações com denominadores iguais Quando for necessário somar ou subtrair frações com denominadores iguais, some (ou subtraia) apenas os numeradores e mantenha o denominador intacto. Observe o exemplo a seguir: 6 – 4 = 6 – 4 = 2 3 3 3 3 Segundo caso

Frações com denominadores diferentes Quando as frações possuem denominadores diferentes, é necessário encontrar outras frações equivalentes a essas que possuam denominadores iguais. Veja:

10 + 12 – 3 4 5 6

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Passo 1: Calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. O valor encontrado será o denominador comum que possibilitará substituir as frações dadas por outras com denominadores iguais. No exemplo, temos: 4,5,6| 2 2,5,3| 2 1,5,3| 3 1,5,1| 5 1,1,1| 60 Passo 2: Reescrever as frações com o novo denominador, deixando o espaço do numerador para os números que serão encontrados no passo seguinte. 10 + 12 – 3 = + – 4 5 6 60 60 60 Passo 3: Encontre os numeradores das novas frações. Para isso, o seguinte cálculo deverá ser feito: Para encontrar o numerador da primeira fração, divida o MMC pelo denominador da primeira fração e multiplique o resultado pelo seu numerador. O resultado obtido por esse cálculo será o numerador da primeira fração que possui denominador igual ao MMC. Repita o procedimento para todas as frações presentes na soma ou subtração. 10 + 12 – 3 = 150 + 144 – 30 4 5 6 60 60 60 Observe que o novo numerador da primeira fração é 150, pois 60 dividido por 4 é 15, e 15 vezes 10 é 150. Repita o procedimento para cada fração separadamente: 60 dividido por 5 é 12, e 12 vezes 12 é 144 – numerador da segunda fração. Por fim, 60 dividido por 6 é 10, e 10 vezes 3 é 30. Logo, os numeradores do lado direito da igualdade, em ordem, são: 150, 144 e 30.

Passo 4: Somar as novas frações utilizando o caso anterior (de denominadores iguais). Após encontrar as novas frações, basta repetir o procedimento anterior, no qual somamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador intacto. 10 + 12 – 3 = 150 + 144 – 30 = 150 + 144 – 30 = 264 4 5 6 60 60 60 60 60

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Exemplo: Lúcio comprou duas pizzas pequenas, uma de calabresa, outra de frango com catupiri. Da primeira, comeu metade e, da segunda, conseguiu comer apenas a sexta parte. Que fração representa a quantidade total de pizzas que Lúcio comeu, considerando que as pizzas possuem o mesmo tamanho? Solução: Basta observar que a metade é representada pela fração um meio (1/2) e que a sexta parte é representada por um sexto (1/6). Somando essas frações, teremos a quantidade ingerida por Lúcio.

1 + 1 2 6

Pelo primeiro passo, teremos: MMC (2,6) = 6. De fato,

2, 6| 2 1, 3| 3 1, 1| 6 Pelo segundo passo, teremos:

1 + 1 = + 2 6 6 6 Pelo terceiro passo, teremos: (6:2)·1 = 3 e (6:6)·1 = 1 1 + 1 = 3 + 1 2 6 6 6 Pelo quarto passo, teremos:

1 + 1 = 3 + 1 = 4 2 6 6 6 6

Logo, Lúcio comeu quatro sextos, número que, simplificado, é equivalente a dois terços (2/3) da quantidade total de pizza disponível.

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Exercícos 1) Usando a equivalência de frações, descubra o número que deve ser colocado no lugar da

letra x para que se tenha:

a) x

1497

b) 12x

27

c) x9

113

d) x1

186

e) 28x

74

f) 2x

3015

g) 40x

81

h) x

101240

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2) Calcule as operações com frações:

a) 132

137

b) 1110

119

c) 1029

1013

d) 42

45

e) 152

158

e) 37

310

f) 6

17631

g) 65

61

611

3) Calcule as operações com frações:

a) 52

31

b) 32

23

c) 43

672

d) 32

27

f) 31

211

52

=

g) 21

65

43

h) 412

k) 185

127 =

s) 107

321

541

d) 532

513

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Multiplicação e divisão de frações Multiplicação A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. Observe:

Divisão A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil assimilação, que diz: “repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda”.

Exercícios 1) Efetue as multiplicações:

a) 21.

43 c)

58.

41.

32 e)

29.

325.

56

b) 43.

79 d)

649.

72.

514 f)

85.

147.

1516

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g) 87.

58 i)

1645.

31.

158 k)

922.

282.

1218

h) 174.

717 j)

314.

94.

73 l)

214.

499.

18147

2) Efetue as divisões:

a) 32:

54 b) 2:

54 c)

1439:

4913

d) 2527:

581 e)

314:

97 f)

95:

310

g) 81

128:2764 h)

312:

314 i)

83:

43

j) 54:2 k)

32:

156 l)

743:

412

m) 1512:

524 n)

1725:

34100 o)

37:

542

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p)

5432

q) 726

r) 256

s)

32

154

t)

83

2412

Praticando Calcule o valor das expressões numéricas:

a)

32

45

52

23 i)

87

78.

34

43

b)

97

98

65

87 j)

37.

23

52.

31

53.

21

=

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c)

45

47

51

211 k)

51

21.

413

2117 =

d)

61

212

41

31 l)

51.

21

61.

51

31.

21

51.

21 =

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e)

431

311

23

67 = m)

413.

3112.

211

23 =

f)

32

851

41

31

21 n) 4

5.257

103.

32

2.143

74.

23

=

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g)

32

45

52

23 o)

43.

212:

57.

710

53.

31

Potenciação O resultado de uma potenciação é obtido pelo produto de fatores iguais e a sua representação é dada por an = a . a . a . a ...

A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é representada da seguinte forma:

an = a . a . a . a … a = base n = expoente a . a . a . a … = produto de n fatores iguais que gera como resultado a potência. Para compreender melhor, acompanhe os exemplos abaixo:

⇒ 23 = 2 . 2 . 2 = 8 2 = base 3 = expoente 2 . 2 . 2 = produto de fatores 8 = potência (resultado)

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Como o expoente é 3, tivemos que repetir a base, que é 2 três vezes, em um produto.

⇒ 54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625 5 = base 4 = expoente 5 . 5 . 5 . 5 = produto de fatores 625 = potência (resultado) Como o expoente é 4, tivemos que repetir a base, que é 5 quatro vezes, em um produto.

⇒ 102 = 10 . 10 = 100 10 = base 2 = expoente 10 . 10 = produto de fatores 100 = potência (resultado)

Como o expoente é 2, tivemos que repetir a base, que é 10 duas vezes, em um produto.

Tipos de potenciação

Base real e expoente inteiro Quando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo.

⇒ Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores. Acompanhe alguns exemplos: 2+2 = 2 . 2 = 4 0,3+3 = 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,027 (½ )+2 = ½ . ½ = ¼ ⇒ Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo. Observe alguns exemplos: 2-2 = 1 = 1 . 1 = 1 2+2 2 2 4 0,3 – 3 = (3)-3 = (10)+3 = 10 . 10 . 10 = 1000 = 37,037 (10)-3 (3)+3 3 . 3 . 3 27 (½ )-2 = (2/1)+2 = 2 . 2 = 4

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⇒ Expoente igual a 1 Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:

a1 = a 21 = 2 41 = 4 1001 = 100 ⇒ Expoente igual a 0 Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:

a0 = 1 10000 = 1 250 = 1

Propriedades da potenciação As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos. Há, no total, cinco propriedades:

Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Exemplos: an . am = an + m

22 . 23 = 22 + 3 = 25

45 . 42 = 45 + 2 = 47

Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplos: an : am = an = an – m

am

56 : 52 = 56 = 56 – 2 = 54

52

92 : 93 = 92 = 92 – 3 = 9-1

93

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Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes. Exemplos: (an)m = an . m

(74)2 = 74 . 2 = 78

(123)2 = 123 . 2 = 126

Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores. Exemplos:

(a . b)n = ( an . bn) (4 . 5)2 = (42 . 52) (12 . 9)3 = (123 . 93)

Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases. Exemplo:

an . bn = (a . b)n

42 . 62 = (4 . 6)2

73 . 43 = (7 . 4)3

Exercícios 1)Calcule:

a)

2

21 e)

2

23 i)

3

21 m)

3

87

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b)

4

31 f)

3

211 j)

2

472 n)

4

52

c)

0

32 g)

2

34 k)

3

313 o)

1

72

d)

5

32 h)

0

911 l)

2

65 p)

1

56

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2) Reduza a uma só potência a) 4³ x 4 ² = b) 7⁴ x 7⁵ = c) 2⁶ x 2² = d) 6³ x 6 =

e) 3⁷ x 3² = f) 9³ x 9 = g) 5 x 5² = h) 7 x 7⁴ =

i) 6 x 6 = j) 3 x 3 = l) 9² x 9⁴x 9 = m) 4 x 4² x 4=

n) 4 x 4 x 4= 0) m⁰ x m x m³ = p) 15 x 15³ x 15⁴x 15 =

3) Reduza a uma só potência a) 5⁴ : 5² = b) 8⁷ : 8³ = c) 9⁵ : 9² = d) 4³ : 4² =

e) 9⁶ : 9³ = f) 9⁵ : 9 = g) 5⁴ : 5³ =

4) Reduza a uma só potência: a) (5⁴)² = b) (7²)⁴ = c) (3²)⁵ = d) (4³)² =

e) (9⁴)⁴ = f) (5²)⁷ = g) (6³)⁵ = h) (a²)³ =

i) (m³)⁴ = j) (m³)⁴ =

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO

Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem : 1°) Potenciação 2°) Multiplicações e divisões 3°) Adições e Subtrações

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Exemplos 1) exemplo 5 + 3² x 2 = 5 + 9 x 2 = 5 + 18 = 23 2) exemplo 7² - 4 x 2 + 3 = 49 – 8 + 3 = 41 + 3 = 44

1) Calcule o valor das expressões: a) 7² - 4 = b) 2³ + 10 = c) 5² - 6 = d) 4² + 7⁰= e) 5⁰+ 5³= f) 2³+ 2⁴ = g) 10³ - 10² = h) 80¹ + 1⁸⁰ = i) 5² - 3² = j) 1⁸⁰ + 0⁷⁰ =

2) Calcule o valor das expressões a) 2³ x 5 + 3² = b) 70⁰+ 0⁷⁰ - 1 = c) 3 x 7¹ - 4 x 5⁰ = d) 3⁴- 2⁴: 8 – 3 x 4 = e) 5² + 3 x 2 – 4 = f) 5 x 2² + 3 – 8 =

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3) calcule o valor das expressões: a) 5² : ( 5 +1 -1)+ 4 x 2 = (R: 13) b) (3 +1)² +2 x 5 - 10⁰ = (R: 25) c) c) 3²: ( 4 – 1) + 3 x 2² = (R: 15) d) 70 –[ 5 x (2² : 4) + 3²] = (R: 56) e) ( 7 + 4) x ( 3² - 2³) = (R: 11) f) 5² + 2³ - 2 x (3 + 9) = (R: 9) g) 6² : 3² + 4 x 10 – 12 = (R: 32) h) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = (R: 26)

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Radiciação A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de

solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir essa operação e analisar suas propriedades.

Dados um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1, chama-se raiz enésima de x o número real não negativo y tal que yn = x. O símbolo utilizado para representar a raiz enésima de x é e é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o radicando e n é o índice.

Pela definição de radiciação, temos que:

Exemplo 1

Propriedades da radiciação.

Exemplo 2

Simplifique a expressão

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Exemplo 3 Racionalize as seguintes frações:Racionalizar a fração é fazer com que no denominador não exista uma raiz enésima de um número.

Exemplo 4

Verifique as propriedades da radiciação.

Exemplo 5

Obtenha a forma mais reduzida possível da expressão:

Solução: Podemos reescrever cada uma das raízes utilizando as propriedades da radiciação.

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Exercícios 1) Calcule o valor da expressão:

R = 2

2) Calcule o valor da expressão:

R = 2

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3) Simplifique a expressão:

푅 = √2

4) Utilizando o macete visto na primeira aula, calcule as seguintes raízes.

√576 = √1849 =

√3364 = √2025 =

√5184 = √1444 =

√8281 = √3249 =

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Porcentagem A porcentagem está frequentemente ligada a situações de: correção monetária, investimentos, cálculos de juros, descontos, dentre outras.

O termo porcentagem é muito utilizado no cotidiano, principalmente em situações ligadas à Matemática Financeira, correção monetária, investimentos, cálculo de juros, descontos, determinação de valores de impostos entre outras situações. Dado um número qualquer x, temos que x% corresponde à razão centesimal x/100. O símbolo % significa porcento ou divisão por cem. Observe:

ퟏퟓ% (풒풖풊풏풛풆 풑풐풓 풄풆풏풕풐) = ퟏퟓ

ퟏퟎퟎ = ퟑ

ퟐퟎ = ퟎ, ퟏퟓ

Um número que possui a característica de porcentagem pode ser expresso das seguintes formas: fração centesimal ou número decimal, a forma ficará a critério do estudante.

Exercícios

1) Uma determinada loja de eletrodomésticos vende seus produtos em até 10 vezes, incluído os juros. No caso de pagamento à vista a loja oferece um desconto de 15% sobre o preço da mercadoria. Na compra à vista de uma geladeira que custa R$ 1.200,00, qual o valor do desconto?

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2) O atraso no pagamento de qualquer imposto ou até mesmo de prestações particulares gera multas que são calculadas com base em índices percentuais, regularizados pelos órgãos competentes. Qual o valor de uma prestação de R$ 550,00 que foi paga com atraso de 10 dias, sabendo que sobre o valor deverá ser acrescentado 4% de multa?

3) Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia?

4) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?

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5) Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei?

6) Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons ainda me restam?

7) Em uma cesta eu possuía uma certa quantidade de ovos. As galinhas no meu quintal botaram 10% da quantidade dos ovos que eu tinha na cesta e nela os coloquei, mas por um azar meu, um objeto caiu sobre a dita cuja e 10% dos ovos foram quebrados. Eu tenho mais ovos agora ou inicialmente?

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8) Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e consegui vender 60%. Quantas peças de roupa eu vendi?

9) Dos 35 candidatos que prestaram um concurso, 28 foram aprovados . Qual a taxa percentual de aprovados?

10) O preço de um computador é de R$ 2 200,00. Qual será o preço do computador caso ele sofra um reajuste de 18%?

a) R$ 2.956,00

b) R$ 2.596,00

c) R$ 2.5965,00

d) R$ 2.695,00

e) R$ 2.699,00

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11) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?

12) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?

a) 1774

b) 177441

c) 17471

d) 14471

e) 144771

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13) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?

a) 15,00%

b) 10,00%

c) 10,52%

d) 1,50%

e) 0,10%

14) Quanto é 60% de 200% de 80%?

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15) O salário de Luiz Cláudio era de x reais em janeiro . Em maio, ele recebeu um aumento de 20% e outro de 15% em novembro . Seu salário atual é de R$2208,00. Calcule o salário de Luiz em janeiro.

16) (Faee) Um funcionário de uma empresa recebeu a quantia de R$ 315,00 a mais no seu salário, referente a um aumento de 12,5%. Sendo assim, o seu salário atual é de:

a) R$ 2.250,00

b) R$ 2.520,00

c) R$ 2.385,00

d) R$ 2.913,00

e) R$ 3.050,00

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17) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido?

a) 7,20%

b) 72,00%

c) 13,20%

d) 12,00%

e) 10,00%

Respostas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

a x

b x

c x x

d

e x

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1) Questão

O desconto é de R$ 180,00

2) Questão

O valor pago foi de R$ 572,00

3) Questão

Perdi 28%

4) Questão

Paguei ao produto R$ 1.320,00

O valor do desconto foi de R$ 180,00

5) Questão

Sobraram 6 garrafas

Quebraram 34 garrafas

6) Questão

Dos 28 bombons ainda me restam 7

7) Questão

Inicialmente tinha mais ovos do que tenho agora

8) Questão

Eu vendi 18 peças

9) Questão

Foram aprovados 80%

11) Questão

O valor pago foi de R$ 1.200,00

14) Questão

96%

15) Questão

R$ 1.600,00

Revisão · 2018-01-26 · Uma fração é uma ou mais parcelas de um todo que foi dividido em ......

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