3

CAPÍTULO 1

REVISÃO DA MATEMÁTICA BÁSICA

1 REGRAS DOS SINAIS

1.1 Adição e Subtração

Regras: ü Sinais iguais: Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal. ü Sinais diferentes: Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior.

Exemplos: a) 3 + 3 = 6 b) −3 −3 = −6

c) 9 − 3 = 6 d) −9 + 3 = −6

1.2 Multiplicação e Divisão

Regras: ü Sinais iguais: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo. ü Sinais diferentes: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo.

Exemplos: a) (+3).(+5) = 15 b) (−3).(−5) = 15 c) (+3).(−5) = −15 d) (−3).(+5) = −15

e) (+12)¸ (+3) = 4 f) (−12) ¸ (−3) = 4 g) (−12)¸ (+3) = −4 h) (+12)¸ (−3) = −4

1.3 Potenciação

ab

, onde a é a base e b é o expoente. Regras: ü Uma potência é um número (base) elevado a um expoente. ü A base repete-se em fatores, quantas vezes o expoente indicar.

Exemplos: a) 23 = 2. 2. 2 = 8

b) (−2)3 = (−2).( −2).( −2) = −8

Propriedades 1) a1 = a

2) a0 = 1

c) ( ) mnmn aa ´=

d) n

nn

b

a

b

a=÷

ø

öçè

æ

4

1.4 Radiciação

n a , onde n é o índice e a é o radicando. Exemplos: a) 9 = 3 b) 25 = 5 c) 3 8- = −2

Obs. A radiciação é uma forma de potência, n a = na

1

1.5 Seqüência de operações

As expressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação:

ü 1º Potenciação e Radiciação; ü 2º Multiplicação e Divisão; ü 3º Adição e Subtração.

Essas operações são assim realizadas:

ü 1º Parênteses; ü 2º Colchetes; ü 3º Chaves.

Exercícios 1) Calcule as operações de soma, multiplicação e divisão (ANALISE OS SINAIS): a) 2 + 7 =

b) –2 + 9 =

c) –2 – 5 =

d) –5 + 2 =

e) 2 ´7 =

f) –2 ´ 7 =

g) (–2) ´ (– 7) =

h) –35 ¸ 7 =

i) 55 ¸11 =

j) –28 ¸ 7 =

k) (–2) ¸ (– 7) =

l) –36 ¸ 9 =

2) Calcule: a) 2. 40 − 6

2 : 9 =

b) −3 . 4 + 25 . 24 = c) (-4)3 =

d) =3

1

64 3) Encontre a solução das seguintes sentenças: a) 15 –9 + 2. (–3) + 5 b) (8 + 2) . (4 –3) c) –6 + 9 + 2. (–4) –10

5

2 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

2.1 Adição e Subtração

Para adicionar ou subtrair frações, devemos proceder da seguinte maneira:

ü Reduzimos as frações ao mesmo denominador, isto é, devemos calcular o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos denominadores;

ü Adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum; ü Simplificamos o resultado sempre que possível.

Exemplos:

a) 3

10

3

2

3

8=+ b)

6

25

6

916

2

3

3

8=

+=+ c)

12

11

12

386

4

1

3

2

2

1=

-+=-+

2.2 Multiplicação

Para multiplicarmos frações, procedemos da seguinte forma:

ü Multiplicam-se os numeradores entre si; ü Multiplicam-se os denominadores entre si; ü Simplifica-se a fração resultante, sempre que possível.

Exemplos:

a) 9

16

3

2

3

8=× b) 4

6

24

2

3

3

8==× c)

12

1

4

1

3

2

2

1=××

Observação:

Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-la.

2.3 Divisão

Para dividir duas frações, procedemos da seguinte forma:

ü Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda fração; ü Simplifica-se o resultado sempre que possível.

Exemplos:

a) 12

35

4

5

3

7

5

4

3

7=×=¸ b) ( )

3

4

2

1

3

82

3

8-=÷

ø

öçè

æ-×=-¸

2.4 Potenciação

Para elevar uma fração a um expoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente. Exemplos:

a) 9

1

3

12

=÷ø

öçè

æ b)

9

4

3

2

3

22

22

==÷ø

öçè

æ- c) 16

9

4

3

3

422

=÷ø

öçè

æ=÷ø

öçè

æ-

6

Observações: ü Elevando um número ao expoente par, o resultado será positivo, conforme o exemplo a. ü Elevando um número a um expoente ímpar, o resultado terá o sinal do próprio número.

2.5 Radiciação

Para obter a raiz de uma fração, extrai-se as raízes do numerador e do denominador. Exemplos:

a)5

4

25

16=

b) 2

1

8

13 =

c) R9

4Ï-

Observações:

ü Quando o índice da raiz for par não existirá a raiz de um número negativo, conforme o exemplo c.

ü R é o conjunto dos números reais. Exercícios 4) Calcule as operações numéricas:

a) =-2

1

3

7

b) =-+ 33

2

5

1

c) =÷ø

öçè

æ-×2

1

3

7

d) =÷ø

öçè

æ-¸2

1

3

7

e) =×× 33

2

5

1

f) =÷ø

öçè

æ2

5

1

g) =÷ø

öçè

æ-2

3

7

h) =49

36

i) 36

25- =

5) Calcule as operações numéricas:

7000 ÷ø

öçè

æ +100

201 R: 8.400

c) 8060

4000

´ R: 0,833...

7

3 RAZÕES E PROPORÇÕES

3.1 Razão

É o quociente entre dois valores de mesma grandeza. Você já deve ter ouvido expressões como: “de cada 20 habitantes, 5 são analfabetos”, “de

cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática”, “um dia de sol, para cada dois de chuva”. Em cada

uma dessas frases sempre clara uma comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso, destacamos 5 entre 20; no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2.

Todas as comparações serão matematicamente expressas por um quociente chamado

razão. Veja os exemplos:

a) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos: Razão = 20

5

b) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática: Razão =10

2

c) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = 2

1

A razão entre dois números a e b, com b ¹ 0, é o quociente b

a, ou a : b.

Exemplos a) Uma garrafa de cerveja tem capacidade para 600 ml e uma garrafa de refrigerante tem capacidade para 300 ml. A razão entre as capacidades da garrafa maior para a menor é:

2300

600=

Isso significa que na garrafa de cerveja é possível colocar duas vezes o que cabe em uma garrafa de refrigerante.

A altura de Beatriz é 1,50 m e a altura de Clovis é de 120 cm. A razão entre a altura de Beatriz e

a altura de Clovis é:

2514

5

120

150,==

Exercícios 6) Calcule a razão entre os números.

a) ÷ø

öçè

æ +3

12 e 7 R:

3

1

b) 1,25 e 3,75 R: 3

1

c) 5 e 3

1 R: 15

d) 2

1 e 0,2 R:

2

5

e) ÷ø

öçè

æ -5

12 e 3 R:

5

3

f) 27 km e 3 litros de álcool. R: 9 km/l g) 40 g e 5 cm. R: 8 g/cm

8

h) 24 kg e 80 kg. R: 10

3

7) Carlos acertou 10 exercícios em 20 e Mário acertou 15 em 35 exercícios. Quem

apresentou o melhor resultado?

8) Numa prova de 60 questões uma pessoa acertou 24. Calcule a razão entre o número de acertos e o número de questões.

3.2 Proporção

Proporção é a igualdade de duas razões. Exemplo:

Dessa maneira, quando uma pesquisa escolar revelar que, de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gosta de Matemática. Na verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80.

Escrevemos: 80

20

40

10=

A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção.

Dadas duas razões b

a e

d

c , com b e d ¹ 0, teremos uma proporção se

b

a =

d

c.

Propriedade da Proporção Das várias propriedades que existem em proporções, vamos abordar a seguinte:

fdb

dca

f

e

d

c

b

a

++++

===

Essa propriedade é a base da regra de sociedade, vista numa das seções deste curso. Exercícios 9) Qual o valor de x nas proporções:

a) 5

1224=

x

b) 63

7 x=

9

4 REGRA DE TRÊS SIMPLES

Trata-se de problemas onde relacionamos grandezas. Elas podem ser simples ou compostas. Vamos estudar apenas as simples que são muito úteis na solução de várias situações do dia a dia, como por exemplo, no cálculo de porcentagens que estudaremos em aulas posteriores.

Nas regras de três relacionamos duas grandezas, que podem ser direta ou inversamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentado ou diminuindo uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma razão. Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção e vice-versa. Como utilizar a regra de três: · Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e

mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

· Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

· Montar a proporção e resolver a equação. Exercícios 10) Se 8 m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido? 11) Um carro, à velocidade de 60 km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do

carro fosse de 80 km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso? 12) Um automóvel fez 60 km com 5 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse

automóvel gastaria para percorrer 120 km ? 13) Se 10 operários gastam 60 minutos em um processo de montagem de uma determinada

peça, quanto tempo gastarão neste mesmo processo se o número de operários for reduzido para 3?

14) Se 33 coelhos comem 126 quilos de cenoura por dia, quantos quilos comerão 77

coelhos? Resposta: 294 kg 15) Em 9 minutos uma torneira despeja em um tanque 18 litros de água. Quantos litros de

água despejará nesse mesmo tanque, se funcionar durante 2 horas e 15 minutos? Resposta: 270 litros

16) Para construir um muro foram necessários 15 operários trabalhando durante 20 dias.

Quantos dias levariam 12 operários para construir outro muro igual? Resposta: 25 dias

10

5 Regra de Sociedade

A regra de sociedade é uma aplicação da divisão proporcional. Nos problemas de regra de sociedade admite-se que os lucros ou prejuízos sejam distribuídos entre os vários sócios em partes que serão diretamente proporcionais aos capitais empregados por eles e também diretamente proporcionais aos tempos durante os quais cada capital esteve empregado.

5.1 Regra de Sociedade Simples

Primeiro caso: Os capitais são diferentes, mas aplicados durante períodos de tempo iguais. Nesse caso podemos afirmar que: Os lucros ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos capitais

investidos. Exemplo: Maria e Ana montaram uma casa de chocolates caseiros. Os capitais investidos foram:

Sócios Capital investido (R$) Maria 2.500,00 Ana 2.000,00

Ao final de um ano, o balanço apurou um lucro de R$ 13.500,00. Quanto cada pessoa deverá receber? Chamando de x e y o que Maria e Ana devem respectivamente receber, teremos:

2500

x=

2000

y e x + y = 13500

Aplicando as propriedades das proporções já vistas, temos:

2500

x =

2000

y =

20002500 ++ yx

= 4500

13500= 3

2500

x= 3 Þ x = 7500

2000

y= 3 Þ y = 6000

Portanto Maria receberá R$ 7.500,00 e Ana R$ 6.000,00 Segundo caso: Os capitais são iguais, mais aplicados durante períodos de tempo diferentes. Nesse Caso podemos afirmar que:

Os lucros ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos

períodos de tempo em que os capitais ficaram investidos.

11

Exemplo: Três amigas, Márcia, Ellen e Joana, juntaram-se numa sociedade com idêntica participação no capital inicial. Márcia deixou seu capital no negócio durante 4 meses, Ellen por 6 meses e Joana durante 3 meses e meio. Dividir com justiça, o lucro auferido de R$ 162.000,00. Neste problemas há a necessidade de, inicialmente, transformarmos os períodos de tempo para uma mesma unidade: ou meses, ou dias. Vamos usar a unidade dias, considerando o mês comercial com 30 dias.

120

x =

180

y=

105

z

x + y + z = 162.000 Aplicando as propriedades, temos:

120

x =

180

y=

105

z =

105180120 ++++ zyx

= 405

000162 = 400

120

x = 400 Þ x = 48000

180

y= 400 Þ y = 72000

105

z = 400 Þ x = 42000

Desta maneira, os lucros auferidos por Márcia, Ellen e Joana serão, respectivamente, R$ 48.000,00, R$ 72.000,00 e R$ 42.000,00.

5.2 Regra de Sociedade Composta

Nas sociedades compostas, tanto os capitais quanto os períodos de investimentos são

diferentes para cada sócio. Trata-se, portanto, de dividir os lucros ou os prejuízos em partes diretamente proporcionais, tanto ao capital quanto ao período de investimento.

Quando os capitais e os períodos de tempo forem diferentes, os lucros ou os prejuízos

serão divididos em partes diretamente proporcionais ao produto dos capitais pelos períodos de tempo respectivos.

Exemplo: Uma sociedade lucrou R$ 117.000,00. O primeiro sócio entrou com R$ 1.500,00 durante 5 meses, e o outro, com R$ 2.000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um? Trata-se de um caso de regra de sociedade composta. Chamando de x o que o primeiro sócio deve receber e de y o que o segundo recebe, temos:

51500´x

= 62000´

y e x + y = 117 000

12

Aplicando as propriedades, vem:

7500

x =

12000

y =

19500

yx + =

19500

117000= 6

7500

x = 6 Þ x = 45000

12000

y = 6 Þ y = 72000

Portanto, o primeiro sócio receberá R$ 45.000,00 e o segundo R$ 72.000,00. Exercícios 17) Dois jovens formaram uma sociedade, entretanto, o primeiro com R$ 4.000,00 e o

segundo com R$ 3.000,00. Ao final de um ano, registrou-se um lucro de R$ 2.100,00. Quanto do lucro cabe a cada sócio? Resposta: R$ 1.200,00 e 900,00

18) Divida o número 2990 em parte proporcionais a 5, 7 e 11.

19) Antônio, José e Pedro fizeram uma sociedade para comprar um terreno no valor de R$

60.000,00. Antônio entrou com R$ 30.000,00, José com R$ 20.000,00 e Pedro com R$ 10.000,00. Um tempo depois, venderam esse terreno por R$ 90.000,00. Qual é a parte que cabe a cada um deles?

20) Três pessoas formaram uma sociedade. A primeira entrou com R$ 6.000,00, a segunda,

com R$ 7.500,00 e a terceira, com R$ 4.500,00. Se houve um lucro de R$ 3.000,00, quanto coube a cada um dos três sócios?

21) Três pessoas formaram uma sociedade, entretanto, cada uma delas com o mesmo

capital. A primeira ficou na sociedade 6 meses, a segunda permaneceu por 8 meses e a terceira, por 10 meses. Que parte do lucro de R$ 1.200,00 caberá a cada um dos três sócios? Resposta: R$ 300,00, R$ 400,00 e R$ 500,00.

22) Determinado prêmio foi dividido entre José, Pedro e Antônio, em partes diretamente

proporcionais a seus tempos de serviço: 2, 3 e 5 anos. Sabendo que a parte de Pedro foi R$ 3.600,00, qual o valor do prêmio? Respostas: R$ 720,00; R$ 1.080,00 e R$ 1.800,00

23) Três sócios lucraram juntos, R$ 38.000,00. O primeiro investiu R$ 5.000,00 durante

um ano, o segundo investiu R$ 4.000,00 durante 6 meses e o terceiro investiu R$ 6.000,00 durante 5 meses. Que parte do lucro cabe a cada um dos três sócios? Resposta: R$ 20.000,00, R$ 8.000,00 e R$ 10.000,00.

13

Exercícios complementares da Unidade I

Operações numéricas

1. Calcule as operações numéricas:

a. −3 + 4

3+

12

1

b. ÷ø

öçè

æ -¸÷ø

öçè

æ +5

231

3

2

c. 3

1

1000

27÷ø

öçè

æ

d. 3 . 5-2

e. 50 . (-3) + 3-3

Razão 2. A razão entre o número 2 e o número 1/3 é:

a) 2 b) 3 c) 1/6 d) 6 e) N.D.A.

Regra de três simples

3. Com a velocidade de 80 km/h, vou de São Paulo ao Rio em aproximadamente 6 horas. Quanto tempo (aproximadamente) levaria, para a mesma viagem, se andasse a 100 km/h?

4. Em 15 dias de trabalho, um operário ganha R$ 600,00. Quanto deverá receber por 40 dias

de trabalho?

5. Uma obra pode ser feita por 63 operários em 20 dias. Quantos dias demorarão 84 operários para fazer a mesma obra? Resposta: 15 dias

Regra de sociedade

6. Divida o número 81 em partes diretamente proporcionais a 2, 4 e 3. 7. Dividir o número 45 em partes diretamente proporcionais a 200, 300 e 400.

8. Três pessoas formaram uma sociedade, entretanto, cada uma delas com o mesmo capital. A

primeira ficou na sociedade 3 meses, a segunda permaneceu por 4 meses e a terceira, por 5 meses. Que parte do lucro de R$ 24.000,00 caberá a cada um dos três sócios?

9. Três amigas resolveram montar uma butique, no qual trabalhavam diariamente 4h, 3h e 5h

respectivamente. No final de um mês, o negócio apresentou um lucro de R$ 6.500,00. Ficou acertado que a divisão do lucro seria proporcional ao tempo que cada uma dedicava à loja diariamente. Dessa forma, quanto coube a cada uma?

10. Três sócios lucraram juntos, R$ 19.000,00. O primeiro investiu R$ 10.000,00 durante 2

anos, o segundo investiu R$ 8.000,00 durante 1 ano e o terceiro investiu R$ 12.000,00 durante 10 meses. Que parte do lucro cabe a cada um dos três sócios?

14

CAPÍTULO 2

FUNÇÕES

1 Função Constante É toda função do tipo y = k, em que k é uma constante real. Verifica-se que o gráfico dessa função é uma reta horizontal, passando pelo de ordenada k, veja o gráfico:

2 Função do 1º Grau

Esse tipo de função apresenta um grande número de aplicações. Uma função é chamada função do 1º grau (ou função afim) se sua sentença for dada por :

y = ax + b,

sendo a e b constantes reais com a ¹ 0. A constante a chamamos de coeficiente angular e a constante b de coeficiente linear. Verifica-se que o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Assim, o gráfico pode ser obtido por meio de dois pontos distintos (pois dois pontos distintos determinam uma reta). O gráfico pode ser crescente ou decrescente:

ü Crescente, quando a > 0; ü Decrescente, quando a < 0.

y

x

y

a > 0 a < 0

y

x

k

x

15

Observações: 1. A constante b é chamada de coeficiente linear e representa no gráfico, a

ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo y. 2. A constante a é chamada de coeficiente angular e é obtida como:

a = 12

12

xx

yy

-

-=

x

y

DD

Exemplo 1: Esboçar o gráfico da função y = 2x + 1.

Atribuindo valores a x de 0 e 1, por exemplo, teremos: x = 0 Þ y = 2 . 0 + 1 = 1

x = 1 Þ y = 2 . 1 + 1 = 3 Dessa forma, a reta procurada passa pelos pontos (0,1) e (1,3) e seu gráfico é

representado da seguinte maneira:

Exemplo 2: Obtenha a função cujo gráfico é dado da seguinte forma:

Resolução: Para determinar a função y = ax + b, devemos encontrar o coeficiente angular (a) e o coeficiente linear (b).

y

x (4,0) 0

(0,2)

y

x

1

0

3

16

· Achando o coeficiente angular, sendo (x1,y1) = (0,2) e (x2,y2) = (4,0)

a = 12

12

xx

yy

-

-=

04

20

--

\ a = –0,5

· Achando o coeficiente angular, substituindo um dos pontos e o coeficientes angular em y = ax + b, encontramos b: Usando o ponto 1, 2 = –0,5 . 0 + b b = 2

· Portanto, y = –0,5x + 2 é a função que representa a reta mostrada no gráfico e

que passa pelos pontos indicados. Exercícios

1) Esboce o gráfico das funções: a. y = 3

b. y = −5

c. y = 5

3

d. y = x + 1

e. y = −x + 2

f. y = −3x

g. h(x) = −3x + 4

h. g(t) = t + 10

i. f(t) = 4 − 2

t

j. f(x) = −2x − 6

k. p(q) = −2q − 1

2) Obtenha a função do primeiro grau que passa pelos pontos A e B.

a. A(1,2) e B(2,7)

b. A(0,3) e B(2,5)

17

3) Obtenha as funções, dados seus gráficos, nos seguintes casos: a)

QUESTÕES OBJETIVAS

4) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f(3) é:

a) 0 b) 2 c) −5 d) −3 e) −1

5) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos (-1,3) e (2,7). O valor de m é: a) 5/3 b) 4/3 c) 1 d) 3/4 e) 3/5

6) O gráfico da função y = mx + n, onde m e n são constantes, passa pelos pontos A(1,6)

e B(3,2). A taxa de variação média da função é: a) −2 b) −1/2 c) 1/2 d) 2 e) 4

7) A função y/2= x + 1 representa em R X R uma reta :

a) paralela a reta de equação y = x + 3 b) igual a reta de equação y = x + 2 c) que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,1) d) que intercepta o eixo das abscissas no ponto (−1,0) e) N.D.A.

8) O valor de um carro novo é de R$9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$4.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é: a) R$8.250,00 b) R$8.000,00 c) R$7.750,00 d) R$7.500,00 e) R$7.000,00

9) Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg.

Suponha que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento de exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo ao fim de a) 67 semanas. b) 68 semanas .c) 69 semanas. d) 70 semanas. e) 71 semanas.

y

x (4,0) 0

(0,3)

·

·

18

3 Aplicações: Funções Custo, receita e lucro do 1º grau Agora vamos procurar dar uma idéia geral das principais utilizadas nas áreas de

administração, economia e finanças. Inicialmente vamos ver aplicações usando a funções como o custo, a receita e o lucro do 1º grau.

3.1 Função Custo Total (C)

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção (ou simplesmente custo) depende da quantidade x. O custo total é igual a soma do custo fixo CF e do custo variável CV.

C = CF + CV

O custo fixo é a soma dos custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. O custo variável depende da quantidade produzida multiplicada por uma constante (que vamos chamar de custo variável por unidade).

C(x) = CF + ax

O gráfico

3.2 Função Receita (R)

Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de função receita a multiplicação de x com o preço de venda p.

R(x) = px

O gráfico

R(x)

x 0

C(x)

x 0

CF

19

3.3 Função Lucro (L)

A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C.

L(x) = R(x) − C(x) Ou

L(x) = (p−a)x − CF A diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade, ou seja, (p−a) é chamada de margem de contribuição por unidade.

O gráfico:

3.4 Ponto de Nivelamento

O ponto de encontro entre a função receita e a função custo é o ponto de nivelamento.

ü Se a quantidade x for maior que a quantidade do nivelamento x* o lucro é positivo;

ü Se a quantidade x for menor que a quantidade do nivelamento x* o lucro é negativo, ou seja, há prejuízo.

O ponto de nivelamento é o ponto em que a receita e o lucro são iguais, ou seja, o lucro é zero.

x 0

R(x)

C(x)

x*

L(x)

x 0

-CF

20

Exercícios

10) Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico), e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso.

a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2x Resolução:

O ponto de nivelamento é dado quando a receita é igual ao custo, vamos achar a quantidade que satisfaz essa igualdade.

Sendo R(x) = C(x) 4x = 50 + 2x 4x − 2 x = 50 2x = 50 \ x = 25 Logo a quantidade é 25. Substituindo essa quantidade ou na função receita ou na função custo obtemos o mesmo valor, R(x) = C(x) = 100. Portanto o ponto de nivelamento é (25,100) Esboçando o gráfico: Como já temos o ponto de nivelamento, então vamos achar outro ponto para cada função:

X C(x) 0 50

25 100

x R(x) 0 0

25 100

b) R(x) = 200x e C(x) = 10000 + 150x

c) R(x) = 2

1x e C(x) = 20 +

4

1x

C(x) , R(x)

x 0 25

100

50

21

11) Obtenha as funções lucro em cada caso do exercício anterior, esboce seu gráfico e faça uma

análise da função. a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2x Resolução:

A função lucro: L(x) = R(x) − C(x) L(x) = 4x −(50 + 2x) L(x) = 2x −50 O gráfico: Se a quantidade vendida for acima de 25 há lucro positivo, caso contrário haverá prejuízo. b) R(x) = 200x e C(x) = 10000 + 150x

c) R(x) = 2

1x e C(x) = 20 +

4

1x

12) Uma editora vende certo livro por R$ 60 a unidade. Seu custo fixo é de R$ 10000 por mês, e o custo variável por unidade é de R$ 40. Qual o ponto de nivelamento?

Resolução:

A função receita é expressa como: R(x) = 60x

A função custo é expressa como: C(x) = 10000 + 40x

O ponto de nivelamento se dá quando a receita e o custo são iguais: R(x) = C(x) 60x = 10000 + 40x 60x − 40x = 10000 20x = 10000 \x = 500

Logo a quantidade é 500, substituindo essa quantidade ou na função receita ou na função custo obtemos o mesmo valor, R(x) = C(x) = 30000. O ponto de nivelamento é (500,30000).

L(x)

x 0

-50

25

22

13) Em relação ao exercício anterior, quantas unidades a editora deverá vender por mês para ter um lucro mensal de R$ 8000?

Resolução: Vamos achar a função lucro. L(x) = R(x) − C(x) L(x) = 60x − (10000 + 40x) L(x) = 20x − 10000

Agora a quantidade x, para o lucro L(x) = 8000. 8000 = 20x − 10000 20x − 10000 = 8000 20x = 8000 +10000 20x = 18000 x = 900 Portanto, a editora deverá vender 900 unidades mensais para ter um lucro de R$ 8000.

14) O custo fixo de fabricação de um produto é R$ 1000 por mês, e o custo variável por unidade é

R$ 5. Se cada unidade for vendida por R$ 7, qual o ponto de nivelamento? 15) Sabendo que a margem de contribuição por unidade e R$ 3, o preço de venda é R$ 10 e o custo

fixo é de R$ 150 por dia, obtenha: a) A função receita; b) A função custo total diário; c) O ponto de nivelamento; d) A função lucro diário; e) a quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de R$ 180 por dia.

4 Aplicações: Funções de oferta e demanda do 1º grau

4.1 Função Demanda Linear

Normalmente, a inclinação de uma curva de demanda linear é negativa, isto é, à medida que

o preço aumenta, a quantidade procurada diminui (e à medida que o preço diminui, a quantidade procurada aumenta), ou seja, a função de demanda linear é geralmente decrescente.

preço

quantidade

23

Em certos casos particulares, não há inclinação da curva de demanda, isto é, o preço é

constante, independentemente da demanda.

Observação: Dependendo das informações disponíveis, diferentes formas da reta podem, em cada caso, ser mais convenientes para se obter a função de demanda. Exemplo 1: O número de sorvetes q demandados por semana numa sorveteria relaciona-se com o preço unitário p de acordo com a função demanda, p = 10 – 0,002q. Esboce o gráfico de p em função da quantidade.

Encontrando dois pontos da função demanda Q p 0 10

5000 0 Esboçado o gráfico:

Exercícios 16) Esboce o gráfico das funções abaixo, mostrando os valores que interceptam os eixos:

a. Demanda: p = 30 −3q

b. Demanda: p = 2 −0,5q

c. Demanda: p = −0,25q+100

17) 10.000 relógios são vendidos quando seu preço é R$ 60,00 e 20.000 relógios são vendidos quando seu preço é R$ 40,00. Qual é a função da demanda, sabendo que ela é linear? Esboce o gráfico dessa função de demanda.

18) Quando o preço é R$ 90,00 nenhum relógio é vendido, quando os relógios são liberados

gratuitamente, 30.000 são procurados. Qual é a função da demanda sabendo que ela é linear? Esboce seu gráfico.

19) O preço do leite foi congelado por 6 meses, no valor de R$ 7,00. Qual é a função de demanda

nesse período? Qual o gráfico da curva de demanda? 20) O preço do de um remédio X foi congelado em R$ 34 qualquer que seja a demanda. Qual o

gráfico dessa função?

preço

quantidade

p

q

10

5000

24

4.2 Função Oferta Linear

Normalmente, a inclinação da função oferta linear é positiva, isto é, à medida que o preço aumenta, a oferta aumenta e à medida que o preço diminui, a oferta diminui.

Em certos casos particulares, a inclinação da função oferta linear pode ser zero, isto é, o preço é constante, independentemente da oferta (reta paralela a Ox). Exemplo 2: Admitamos que, para quantidades que não excedam sua capacidade de produção, a função de oferta da sorveteria do exemplo 1, seja do primeiro grau. Suponhamos que, se o preço por sorvete dor R$ 2,10, a quantidade ofertada será 350 por semana e, se o preço for R$ 2,40 a quantidade ofertada será 1400. Determine (a) a função oferta (b) esboce o gráfico.

(a) vamos encontrar o coeficiente angular e linear da função oferta:

Calculando o coeficiente angular: a = q

p

DD

=3501400

102402

-- ,,

= 3500

1

Substituindo o coeficiente angular e um par (q,p) na função oferta obtemos b:

p = aq + b

2,10 =3500

1350 + b

b = 2

Como p está representando o preço e q a quantidade, logo a função oferta é:

23500

1+= qp

(b) O esboço gráfico:

p

q

2,10

2,40

350 1400

preço

quantidade

25

Exercícios 21) Esboce o gráfico das funções abaixo, mostrando os valores que interceptam os eixos:

a. Oferta: p = 3q + 10

b. Oferta: p = 2q − 10

c. Oferta: p = q − 50

22) Quando o preço for de R$ 50,00, 50.000 máquinas fotográficas de um determinado tipo estão

disponíveis no mercado; quando o preço for de R$ 75,00, 100.000 máquinas estão disponíveis no mercado. Qual é a função da oferta? Esboce o gráfico dessa curva de oferta sabendo que ela é linear.

23) Quando o preço for de R$ 25,00 nenhuma bola de um determinado tipo está disponível no

mercado, enquanto que para cada R$ 10.00 de aumento no preço, 20.000 bolas a mais estão disponíveis. Qual é a função da oferta, sabendo que a curva é linear?

24) De acordo com os termos de contrato entre a Companhia A e a companhia telefônica, a

Companhia A paga à companhia Telefônica R$ 1.000,00 por mês para chamadas a longa distância, com duração de tempo limitada. Qual é a função da oferta?

4.3 Equilíbrio do mercado

Foi visto que no caso da função de demanda, uma elevação no preço corresponde

(geralmente) a uma redução na quantidade demandada e no caso da função de oferta, uma elevação no preço corresponde a uma elevação na quantidade ofertada. Então, até que nível variará o preço se de um lado, o consumidor deseja preços sempre menores e de outro, o produtor interessa-se por preços sempre maiores? E a esse preço, quais serão as quantidades consumidas (demanda) e produzidas (oferta)? Haverá um preço que satisfará, em termos de quantidade, aos consumidores e produtores; é o chamado "preço de equilíbrio". O “equilíbrio de mercado” ocorre então num ponto no qual a quantidade de um artigo procurado é igual à quantidade oferecida. Portanto, supondo que as mesmas unidades para a quantidade demandada e a quantidade ofertada sejam usadas em ambas as equações (oferta e demanda), a quantidade de equilíbrio e o preço de equilíbrio correspondem às coordenadas do ponto de interseção das curvas de oferta e de demanda. Algebricamente, as coordenadas desse ponto são encontradas, resolvendo-se o sistema formado pelas equações de oferta e procura.

Em geral, para um equilíbrio ser significativo economicamente, as coordenadas do ponto de equilíbrio (interseção das curvas) devem ser positivas ou nulas, isto é, as curvas devem interceptar-se no 1° quadrante.

26

Exemplos 3: Ache o ponto de equilíbrio e esboce o gráfico das funções de demanda e oferta dos exemplos 1 e 2. Demanda: p = 10 – 0,002q

Oferta: 23500

1+= qp

Vamos achar a quantidade demanda igualando os preços da funções oferta e demanda:

10 – 0,002q = 23500

1+q

q +7000 = 35000 – 7q

q = 3500 Logo a quantidade de equilíbrio é qe = 3500. Ao substituir esse valor ou na função demanda ou na função oferta, obtemos o preço de equilíbrio pe = 3. Portanto o ponto de equilíbrio é: P(3500, 3).

Vamos esboçar o gráfico

Exercícios 25) Determine o ponto de equilíbrio de mercado nas seguintes situações:

a. îíì

-=

+=

qpDemada

qpOferta

20

10

:

:

b. îíì

-=

+=

qpDemada

qpOferta

3160

5020

:

,:

c. îíì

-=

+=

qpDemada

qpOferta

50

320

:

:

d. îíì

-=

+=

qpDemada

qpOferta

2015

306

,:

,:

p

q

3

3500

oferta

demanda

27

26) Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de estacionamento é R$ 20. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for R$ 15, estacionarão 75 automóveis. Admitindo que a função de demanda seja do 1º grau, obtenha essa função.

27) O preço do pão francês é R$ 0,25 qualquer que seja a demanda em uma padaria. Qual o

gráfico dessa função? 28) Quando o preço unitário de um produto é R$ 10, cinco mil unidades de um produto são

ofertadas por mês no mercado, se o preço for R$ 12, cinco mil e quinhentas unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função seja do 1º grau, obtenha sua função.

29) Ache o ponto de equilíbrio para as seguintes funções de oferta e de demanda p = 10 −2q e

p = 3/2q + 1. 30) Em certa localidade, a função de oferta anual de um produto agrícola é p = 0,01q – 3, em que

p é o preço por quilograma e q é a oferta em toneladas. a. Que preço induz uma produção de 500 toneladas? b. Se o preço por quilograma for R$ 3, qual a produção anual? c. Qual o ponto de equilíbrio de mercado se a função de demanda anual for p = 10 –

0,01q. d. Faça um esboço gráfico das funções.

Questões objetivas

31) (receita) Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quantidade que ela consegue vender varia conforme o preço da seguinte forma: a um preço y consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação y = 50 - x/2. Sabendo-se que a receita ( quantidade vendida vezes o preço de venda ) obtida foi de Cz$1250,00, pode-se dizer que a quantidade vendida foi de:

a)25 unidades b)50 unidades c) 40 unidades d) 35 unidades e)20 unidades 32) (Lucro) Para produzir um objeto, uma firma gasta Cz$1,20 por unidade. Além disso há uma

despesa fixa de Cz$4.000,00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é Cz$2,00 por unidade. Qual é o número mínimo de unidades a partir do qual a firma começa a ter lucro ? a)1800 b)2500 c)3600 d)4000 e)5000

Bibliografia MORETTIN, P. A. e BUSSAB, W. O. HAZZAN, S., Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.

28

CAPÍTULO 3

JUROS SIMPLES

1 PORCENTAGEM

Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como estas:

ü Desconto de até 30% na grande liquidação de verão. ü Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira. ü A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%. ü O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99 em dezembro. Se repararmos em nossa volta, vamos perceber que o símbolo % aparece com muita freqüência

em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação. Esse é o símbolo da porcentagem. Mas o que é porcentagem?

Porcentagem é toda razão na qual o denominador é 100.

Note o próprio nome diz: por cem A porcentagem também pode ser representada na forma de número decimal. Observe os

exemplos:

02,0100

2%2 == 37,0

100

37%37 == 115,0

100

5,11%5,11 ==

Exercícios

24) Represente as porcentagens em números decimais: a) 12 % = d) 159 % = g) 60 % =

b) 30 % = e) 2,7 % = h) 45,1 % =

c) 7 % = f) 6,34 % = i) 0,3 % =

25) Transforme números decimais em números na forma de porcentagem. Para tanto, basta

multiplicar por cem. a) 0,25 = d) 0,04 = g) 0,756 = b) 0,7 = e) 5,29 = h) 0,0258 = c) 2,3 = f) 0,069 = i) 0,4963 =

Para encontrar a representação na forma decimal é só fazer a operação de divisão, neste caso 2 ¸ 100

29

A porcentagem é a forma usada para expressar a fração de denominador 100 ou representação equivalente. Exemplo: 50% é o mesmo que 50/100 ou ½ ou 0,5 (metade). Exemplo: Qual é o valor de 30% de 120?

120100

30´ ou 0,3 x 120 = 36

A resposta é 36. Podemos obter a diferença percentual de dois valores apenas dividindo um pelo outro, diminuindo o resultado do número 1. Para obter o resultado do quanto, em percentual, um valor equivale ao outro, é a mesma conta, exceto que não se subtrai do número 1. Exemplo 1: Um produto sobe de R$ 100 para R$ 120. Qual sua variação percentual?

100

120 – 1 = 1,20 – 1 = 0,20 ou 20%

A resposta é 20%. Exemplo 2: Há 1.000 carros produzidos por dia. Deste total, 150 são movidos a diesel. Qual a porcentagem de carros a diesel produzidos por dia?

1000

150 = 0,15 ou 15%

A resposta é 15%. Exercícios 26) Qual o valor de 50% de 175?

a) 87,5 b) 85 c) 80 d) 75 e) 72,5

27) Qual o valor de 25% de 225?

a) 90 b) 125 c) 42,19 d) 52,25 e) 56,25

28) O preço de um produto duplicou em um ano. O aumento percentual, portanto, foi de: a) 100% b) 200% c) 300% d) 400% e) 500%

29) O preço de um produto quadruplicou em um ano. O aumento percentual, portanto, foi de: a) 100% b) 200% c) 300% d) 400% e) 500%

30

Exercícios

30) Calcule: a) 9,4% de 15000

b) 75,8% de 30000

31) Monte uma regra de três para resolver cada um dos problemas abaixo. Atenção: leia e entenda

bem o que está sendo pedido.

a) 31% de certo número é 2015. Qual é o número?

b) Calculei 1% de um número e obtive 99. Qual é o número?

c) 18% de que número vai resultar em 270?

32) Um aluno acertou, em um exame, 12 das 15 questões apresentadas. Qual foi a sua porcentagem de acerto?

33) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que realiza. Qual foi a sua comissão em uma

venda de R$ 36.000,00?

34) Um funcionário recebeu um reajuste salarial de 15%. Quanto passará a receber, se seu salário atual é de R$ 750,00?

35) Meu salário era R$ 800,00. Recebi um aumento de 2%. Quantos reais a mais vou receber?

36) No mês passado recebi R$ 1200,00. Quanto devo receber neste mês se tive um aumento de

1,2% no meu salário? 37) Uma loja está oferecendo 8% de desconto, para pagamento à vista, na compra de um

automóvel que custa R$ 24 700,00. Quanto uma pessoa pagará por esse carro à vista? 38) Após um aumento de 20% o salário de José Carlos passou a ser R$ 1.800,00. De quanto era o

seu salário? 39) Um salário de R$ 750,00 teve um aumento e passou a R$ 890,00. Qual o percentual de

aumento incidente sobre antigo salário?

31

2 NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

A MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para

aplicação / obtenção de recursos financeiros.

A Matemática Financeira teve seu início exatamente quando o homem criou os conceitos de Capital, Juros, Taxa e Montante. Daí para frente, os cálculos financeiros tornaram-se mais justos e exatos.

A fim de facilitar a aprendizagem, optamos por agrupar algumas definições dos termos usados na disciplina Matemática Financeira.

1.1. O CAPITAL C ou PV = Capital é o valor – normalmente dinheiro – que você quer aplicar ou emprestar. Também chamado Capital Inicial ou Principal, representado pela letra “C” ou “PV”. (Valor

presente – abreviações das palavras em inglês a Present Value. No curso adotaremos a terminologia PV).

1.2. O MONTANTE M = do inglês aMount, Montante (M) ou valor Futuro (FV – abreviação das palavras correspondentes em inglês a Future Value) é o capital inicial acrescido do rendimento obtido durante o período de aplicação e representado pela letra “M” ou “FV”, ou seja:

M = C + J ou ainda,

FV = PV + J, Esta última nomenclatura será adotada neste curso.

1.3. O JURO

J = Juro é a remuneração do capital empregado.

- PARA O INVESTIDOR: é a remuneração do investimento. - PARA O TOMADOR: é o custo do capital obtido por empréstimo.

2.1.1.1

Existem dois regimes de juros: (a) Simples; (b) Compostos.

32

1.4. O TEMPO n = nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período de tempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. Lembre-se da expressão: “ Levou n dias para devolver o dinheiro...”

1.5. A TAXA DE JUROS

i = do inglês Interest, taxa de juros é o índice que determina a remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos etc.).

A taxa de juros pode ser apresentada de duas formas – no formato percentual ou no unitário, por

exemplo:

- Taxa percentual: 34% ao mês, 10% ao semestre, 12% ao ano etc. - Taxa unitário: 0,34 ao mês, 0,10 ao semestre, 0,12 ao ano etc.

No exemplo acima observamos que 34% ao mês nada mais é que 100

34 = 0,34

a.d. = abreviação usada para designar ao dia

a.m. = abreviação usada para designar ao mês

a.b. = abreviação usada para designar ao bimestre

a.t. = abreviação usada para designar ao trimestre

a.q. = abreviação usada para designar ao quadrimestre

a.s. = abreviação usada para designar ao semestre

a.a. = abreviação usada para designar ao ano

Exercícios

1. Represente a taxa de juros na forma unitária: a. 2% a.d.

b. 25% a.m.

c. 32% a.d.

d. 0,5% a.s.

2. Represente a taxa de juros na forma percentual: a. 0,008 a.t.

b. 0,15 a.a.

c. 1,25 a.q.

d. 0,07 a.b.

3. Faça as transformações no tempo do ano: a. 1 ano = .... dias

b. 1 ano = .... meses

c. 1 ano = .... bimestres

d. 1 ano = .... trimestres

e. 1 ano = .... quadrimestres

f. 1 ano = .... semestres

4. Faça as transformações no tempo: a. 1 bimestre = .... meses

b. 1 trimestre = .... meses

c. 1 quadrimestre = ... meses

d. 1 semestre = .... meses

33

3 JUROS SIMPLES

É aquele pago unicamente sobre o capital inicial.

Nesta forma de cálculo, somente o principal (capital inicial), ao longo do tempo, rende juros. Os ganhos de um período não são incorporados para fins de cálculo dos juros, nos períodos seguintes. Portanto, o saldo cresce em progressão aritmética.

É composto da seguinte fórmula:

J = PV . i . n Onde:

J = juros PV = capital inicial i = taxa unitária de juros n = número de períodos que o capital ficou aplicado

Observações:

· A taxa i e o número de períodos n devem referir-se à mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses, e assim sucessivamente;

· Em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros na forma unitária (taxa percentual

ou centesimal, dividida por 100).

1.6. Juro Comercial e Juro Exato É conveniente observar que os juros simples podem ser: Juro Comercial: para operações envolvendo valores elevados e períodos pequenos (1 dia ou alguns dias) pode haver diferença na escolha do tipo de juros a ser utilizado. O juro Comercial considera o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias. Juro Exato: no cálculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365 dias (ou 366 dias se o ano for bissexto) e os meses com o número real de dias (28, 29, 30 ou 31 dias, conforme o caso). Obs.: sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial. Exemplo: Você pediu a seu chefe um empréstimo de R$ 10.000,00 e ele, vai lhe cobrar uma taxa de juros de 5% ao mês, sobre o capital inicial, 6 meses depois você quita sua dívida. Quanto a mais você terá de pagar, a título de juros?

Solução:

Aplicando a fórmula:

J = o que você quer descobrir (incógnita) PV = 10000 i = 5% a.m. = 0,05 a.m.

34

n = 6 meses Logo: J = 10000 ´ 0,05 ´ 6

\ J = R$ 3.000,00 Cuidado com as taxas mensais supostamente baixas. Pelo exemplo acima, fica evidenciado que mesmo taxas pequenas se forem aplicadas por um período mais ou menos longo, pode causar um verdadeiro prejuízo ao bolso. Um grande exemplo do dia-a-dia? Cre-di-á-rio !

1.7. Taxas proporcionais Em muitos casos temos que transformar a taxa de juros ao mês, por exemplo, para a taxa de juros diária. Esse cálculo é muito usado em transações financeiras em geral e as taxas que procuramos são denominadas equivalentes. Duas taxas são proporcionais se fizerem com que um mesmo capital produza o mesmo juro no fim do mesmo prazo de aplicação. No caso de juros simples, o cálculo é simplificado pelo caráter linear desse tipo de capitalização. Pode ser feito por meio de proporcionalidade (usando regra de três simples, por exemplo). Para efeito demonstrativo, vamos colocar a fórmula que pode ser usada para o cálculo dessas taxas.

J1 = J2

2211 niPVniPV ××=××

2211 nini ×=× Exemplo: Calcular a taxa anual em juros simples, equivalente à taxa de 2,5% a.m. Solução: i1 = taxa procurada i2 = 2,5% a.m. n1 = 1 ano n2 = 12 mês

2211 nini ×=×

i1 . 1 = 2,5 . 12

i1 = 30% a.a.

Exercícios 5. Calcular a taxa anual proporcional a:

a) 1,5% a.m. Resposta: 18% a.a. b) 8% a.t. Resposta: 32% a.a. c) 21% a.s. Resposta: 42% a.a. d) 0,05% a.d. Resposta: 18% a.a.

6. Calcular a taxa mensal proporcional a:

a) 9% ao trimestre; Resposta: 3% a.m. b) 24% ao semestre; Resposta: 4% a.m. c) 0,04% ao dia. Resposta: 1,2% a.m.

7. Calcular os juros anuais de R$ 1.250,00 a 5% ao ano.

35

8. Calcular os juros mensais de R$ 1.680,45 à taxa de 9% ao ano. 9. Calcular o juro produzido por R$ 500,00 à taxa de 80% ao ano durante 45 dias. 10. Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante oito meses, rendeu juros de R$ 11.200,00.

Determinar a taxa anual? Resposta: 60% ao ano. 11. Determinar em quantos meses um capital de R$ 32.000,00 aplicado à taxa de 12% ao ano, rendeu

R$ 4.800,00 de juros simples. Resposta: 15 meses. 12. Determinar a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48.000,00 que, em 3 meses e 20

dias, rendeu R$ 440,00 de juros. Resposta: 0,25% ao mês.

1.8. Montante É o capital acrescido de seus juros

FV = PV + J

Substituindo o juro na equação acima, temos

FV = PV + PV. i. n Ou

FV = PV(1 + i . n) Exemplo: Seu chefe, num ato de generosidade desmedida e pressionado pelo Sindicato, informou que, no mês que vem, dará um aumento de 3% no salário de todos os funcionários. Supondo-se que você ganhe R$ 1.100,00, para quanto vai o seu salário?

Solução:

FV = o que você quer descobrir PV = 1.100 i = 3% a.m. = 0,03 a.m. n = 1 mês

Logo: FV = 1100 ´ (1+ 0,03´ 1)

\ FV = R$ 1.133,00

Exercícios

13. Qual é o capital que, à taxa de 10% ao ano, em 25 dias, produz o montante de R$ 7.280,45? 14. Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado a taxa de 24% ao ano, durante

sete meses? 15. Certo capital, acrescido de juros de 6,5% ao ano em 1 ano e 4 meses, importa em R$ 7.824,00.

Determinar o capital. 16. Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 450,00, por 225 dias, à uma taxa de

5,6% ao mês?

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17. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00. Resultante da aplicação de certo

capital à taxa de 42% ao ano, durante 13 meses? Questões Objetivas 18. (Cespe-UNB, CEF Gerente Junior-2000) Um certo capital, aplicado a juros simples durante 15

meses, rendeu um determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em que prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?

a) 5 meses. b) 7 meses e meio. c) 10 meses. d) 12 meses. e) 18 meses.

19. A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil, para que no fim de cinco anos este duplique de valor?

a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 100%

20. Considere o empréstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% ao mês e prazo de 1

ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operação? a) R$ 5 mil. b) R$ 2 mil. c) R$ 10 mil. d) R$ 2,5 mil. e) R$ 1,8 mil.

Exercícios complementares 21. Determinar o capital e os juros cuja soma, no fim de 5 meses, à taxa de 5,5% ao ano, atingiu R$

17.676,00. Resposta: C: R$ 17.280,00 e J: R$ 396,00. 22. Durante 155 dias certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros

é de 4% ao mês, determinar o valor do capital aplicado? Resposta: R$ 53.204,42. 23. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$

125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 25,2% ao semestre? Resposta: 156.500,00. 24. Em quanto tempo um capital de R$ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de

R$ 1.000,00? Resposta: 250 dias ou 8,33 meses. 25. Uma empresa aplicou R$ 2.000,00 no dia 15.07.2001 e resgatou essa aplicação no dia 21.07.2001

por R$ 2.018,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação? Resposta: 4,5% ao mês.

26. Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e três meses,

produz um montante de R$ 600.000,00? Resposta: R$ 281.162,14.

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27. Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, produz R$ 18.600,00 de juros? Resposta: 9,3 meses ou 279 dias.

28. Obteve-se um empréstimo de R$ 10.000,00, para ser liquidado por R$ 14.675,00 no final de oito

meses e meio. Qual a taxa de juros cobrada nessa operação? Resposta: 66% ao ano. 29. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor? Resposta: 2,083 anos ou

25 meses. 30. A que taxa de juros um capital aplicado 10 meses rende juros igual a 1/4 do seu valor? Resposta:

2,5% ao mês. 31. Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de

13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcular o valor do montante? Resposta: R$ 220.720,00. 32. Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzirá juros de R$ 62.304,77 a uma taxa de 5,4%

ao mês? Resposta: 128 dias.

33. Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ 798,00 no final de um ano e

meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre? Resposta: R$ 420,00. 34. A aplicação de R$ 35,60 gerou um montante de R$ 58,03 no final de nove meses. Calcular a taxa

anual? Resposta: 84% ao ano. 35. Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao

mês e o prazo de 8 meses, calcular o valor dos juros? Resposta: R$ 0,29.