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Mestrado de Engenharia Civil

Laboratório Resistência dos Materiais

Data: 13 de Abril de 2009

Encurvadura de elementos sujeitos a forças axiais

Teoria de Euler, carga crítica

Alexandre Catanho

Gilberto Laranja

Roberto Côrte

Introdução

Objectivos

Registar a encurvadura das mini barras de aço e a força aplicada no seu eixo.

Fundamentos teóricos

A encurvadura de uma barra, que sofre carregamento axial, provoca uma instabilidade

que levará a um agravamento dos esforços.

Euler estudou este fenómeno para o comportamento elástico. Assim Euler apresentou

a fórmula (1) para a determinação da carga crítica que depende da encurvadura.

Também é possível calcular a tensão limite de proporcionalidade, pela fórmula (2)

��� =�

���

�

(1)

��� =� �

�=

��

���

�

(2)

� < ���, a barra está em equilíbrio estável na posição recta;

� = ���, a barra está em equilíbrio neutro tanto na posição recta como na posição

deformada;

� > ���, a barra está em equilíbrio instável na posição rectilínea e irá curvar sobre a

menor inércia;

Figura 1 – Encurvaduras de barras com esforço axial.

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Método Experimental

Material:

- Pesos circulares de 5N e 1N, F

- Barras de aço, Tabela 1

- Suporte graduado que permite criar as condições de apoios, Figura 2

Procedimento:

1- Sobre o apoio colocou-se gradualmente os pesos

2- Registou-se o comprimento da curvatura da barra causado pela carga dos

pesos.

3- Repetiu-se os passos 1 e 2 para as outras condições de apoio. Registou-se os

valores no Quadro 1.

Tabela 1 – Características das barras de aço.

Comprimento das barras [mm] 180

Secção Transversal [mm2] 0,5x12

Material Aço

Módulo de Elasticidade, E [N/mm2] 210 000

Figura 2 – Suporte graduado para criar as condições de apoio e pesos.

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Observação da encurvadura

Figura 3 – caso 1, encurvadura.

Figura 4 – caso 2, encurvadura.

Figura 5 – caso 3, encurvadura.

Figura 6 – caso 4, encurvadura

Tratamento de dados

Tabela 2 – Valores teóricos para carga crítica de Euler.

Caso ��� (N) Le

1 – Bi–Rotulado 8,00 1

2 – Encastrado/Rotulado 16,30 0,7

3 – Encastrado/Encastrado 32,00 0,5

4 – Encastrado/Livre 2,00 2

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Quadro 1 – Calculo da carga crítica a partir do comprimento de encurvadura teórico.

Casos

1 2 3 4

Le [m] 1 0,7 0,5 2

Fcr [Nmm] 7,9962 16,3188 31,9848 1,9991

Quadro 2 – Valores das cargas e das encurvaduras achadas experimentalmente.

Casos

1 2 3 4

Peso [N] 6 13 31 3

Le [m] 1 0,75 0,5 2

Fcr [N] 7,9962 14,2155 31,9848 1,9991

Fcr calculado no Quadro 2 a partir do comprimento de encurvadura medido na

experiencia.

Considerações finais/conclusões

Na experiencia determinou-se o comprimento de curvatura e carga critica

respectivamente apresentado no Quadro 2.

Os valores do comprimento de encurvadura determinados experimentalmente não

deferiram dos valores teóricos, apenas no caso 2. O valor da encurvadura do caso 2

diferiu em 0,5L, isto deve-se a dificuldade de medir o comprimento da encurvadura na

graduação do suporte, ou com uma régua. O cálculo da carga crítica, como depende

neste caso apenas do comprimento de encurvadura, variou a carga critica no caso em

que deferiu a encurvadura.

Com o cálculo da carga crítica, Quadro 2, verificamos que as cargas críticas aumentam

com a diminuição da encurvadura. Isto é facilmente percebido pela fórmula (1).

A inércia e o comprimento de encurvadura não estão relacionados, a encurvadura está

relacionada com o tipo de apoios das barras. A inércia irá influenciar no deslocamento

provocado pela encurvadura, isto é a flecha da barra.

A inércia está relacionada com a configuração da área da secção, o material irá

influenciar, a inércia, no caso da inércia de corpos em movimento onde a massa é

tomada em conta.