Rlq Desesperados - Aula 18 - Cr - 2010

1 CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS

PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES

www.pontodosconcursos.com.br

AULA 18 – Estimadores. Estimativa por ponto e por intervalo

I. ESTIMADORES PONTUAIS ..................................................................................................................... 2

1. Estimador para a média ........................................................................................................................ 3

2. Estimador para a variância ................................................................................................................... 5

3. Estimador para uma proporção .......................................................................................................... 10

II. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA ........................................................................................ 14

1. X como uma variável aleatória ........................................................................................................ 14

2. Intervalo de confiança para a média ................................................................................................... 32

3. Intervalo de confiança para a média quando a variância da população não é conhecida ...................... 42

III. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÕES ................................................................................. 55

1. p̂ como uma variável aleatória ......................................................................................................... 55

2. Intervalo de confiança para uma proporção ........................................................................................ 59

IV. INTERVALO DE CONFIANÇA E TAMANHO DA AMOSTRA ...................................................................... 65

V. CARACTERÍSTICA DOS ESTIMADORES.................................................................................................. 88

1. Estimador não tendencioso ................................................................................................................ 89

2. Estimador de variância mínima. .......................................................................................................... 91

3. Estimador de mínimos quadrados ...................................................................................................... 92

4. Estimador de máxima verossimilhança ............................................................................................... 93

VI. FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÕES FINITAS ........................................................................... 103

VII. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO ........................................................................................... 107

VIII. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO ................................................................................... 126

IX. TABELA I........................................................................................................................................... 127

X. TABELA II .......................................................................................................................................... 128




I. ESTIMADORES PONTUAIS Voltemos ao bairro Nova Vila, lá da aula 13.

Relembrando o nosso exemplo, fizemos uma pesquisa salarial com alguns moradores do bairro, o que resultou no seguinte rol (dados em R$ 1.000,00):

Salário dos moradores da Nova Vila – amostra com dez salários: R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00.

Já vimos que o conjunto dos salários de todos os moradores é a nossa população. Já vimos também que qualquer subconjunto não vazio da população é uma amostra (matéria da aula 13).

Queremos descobrir o salário médio dos moradores do bairro. A grandeza de interesse (média salarial) se refere à população. Ou seja, estamos interessados no salário médio de todos os moradores. A média populacional é o nosso parâmetro.

Parâmetro é qualquer característica populacional.

Se, por algum motivo, não pudermos realizar um censo, nós faremos uma amostragem (ao longo do curso, trabalharemos basicamente com a amostragem aleatória simples).

Muito bem. Selecionamos uma amostra de dez pessoas. Fizemos isso lá na aula 13. Obtivemos a média desta amostra. A média amostral é de R$ 3.600,00.

A partir desta amostra, vamos estimar a média da população. Usamos a média amostral (=R$ 3.600,00) como um estimador da média populacional, desconhecida.

Dizemos que R$ 3.600,00 é a média estimada, a partir da amostra feita. É uma estimativa por ponto. Esse valor médio de 3.600 é uma característica da amostra. Dizemos que se trata de uma estatística.

→ Parâmetro: é uma característica da população

Estatística: é uma característica da amostra

Novamente: a média amostral é R$ 3.600,00. Estamos dizendo que uma estimativa para a média populacional é R$ 3.600,00. Ou seja, usamos a média amostral como estimador da média populacional.

A estimação por ponto se contrapõe à estimação por intervalo. Nesta última, não definimos um valor único para a estimativa; sim um intervalo de valores. Um exemplo são aquelas pesquisas eleitorais de intenção de voto. Lembram quando se diz que os “candidatos estão tecnicamente empatados”?

Se o candidato A tem entre 30% e 34% das intenções de voto, e o candidato B tem entre 28% e 32% das intenções de voto, não dá para afirmar quem vai ganhar. Aí o William Bonner diz que eles estão tecnicamente empatados.




Nesse segundo caso, a partir de uma amostra, procurou-se estabelecer um intervalo de valores provável para as intenções de voto de cada candidato. Para o candidato A, o intervalo é de 30% a 34%. Dizemos que se trata de uma estimativa por intervalo.

Por enquanto, vamos nos concentrar na estimativa por ponto.

Já dissemos isto em outras aulas, mas não custa relembrar. O motivo de fazer uma amostragem é o fato de haver alguma dificuldade em analisar toda a população. Pode ser muito caro, muito demorado. Ou pode ser inviável. Seria o caso de ver qual a tensão máxima que um material suporta. Se tivermos que submetê-lo a tensões cada vez maiores, até que ele arrebente, então não podemos analisar todos os objetos, sob pena de destruirmos todos e não sobrar mais nenhum.

Se fosse possível analisar a população inteira, conseguiríamos com exatidão saber sua média e seu desvio padrão (estes valores reais são nossos parâmetros).

Quando fazemos uma amostragem, conseguimos apenas saber a média e o desvio padrão da amostra feita. Nosso objetivo, portanto, é, a partir dos valores de média e desvio padrão da amostra, estimar quais os valores de média e desvio padrão da população. Nosso objetivo é estimar o valor do parâmetro desconhecido.

Claro que poderíamos estar interessados em outros parâmetros que não a média e o desvio padrão. Mas, em concursos, na grande maioria das questões, são cobrados apenas esses dois parâmetros (além da variância, intimamente relacionada com o desvio padrão, e da proporção, que veremos nesta aula).

Quando escolhemos um estimador, podemos estar interessados em diversas características. Alguns tipos de estimadores são:

· Não tendenciosos (ou não viciados)

· De máxima verossimilhança

· De variância mínima

· De mínimos quadrados

Posteriormente, falamos um pouquinho sobre as características de cada tipo de estimador (ver folha 88Erro! Indicador não definido.).

1. Estimador para a média Vamos padronizar nossa linguagem. Já vimos dois símbolos para média. Até agora não nos preocupamos muito em dar alguma diferença mais rigorosa entre eles. Mas, a partir de agora, isto vai ser importante porque as duas médias vão aparecer juntas.

Quando temos uma variável aleatória, a média desta variável é designada por μ . Às vezes podemos modelar uma população como uma variável aleatória. Então, sempre que quisermos nos referir à média de uma variável aleatória, ou à média de uma população, vamos usar o símbolo μ .

Seja X a variável aleatória que designa o resultado do lançamento de um dado. Já vimos que a média desta variável aleatória (= esperança) é de 3,5 (lembra? Foi o exemplo usado na aula 16, quando falamos de esperança).




5,3=μ

Podemos pensar que 3,5 é a média da variável aleatória X. Ou então, se pensarmos em uma população formada por todos os resultados que poderiam ser obtidos quando se lança o dado infinitas vezes, dizemos que a média dessa população é 3,5.

Pegamos o dado de seis faces e lançamos três vezes, obtendo: 6, 2, 3.

Estes três lançamentos são uma amostragem dos infinitos resultados que poderiam ocorrer. Se quisermos nos referir à média de uma amostra, vamos utilizar o símbolo X (“X barra”):

311

3326

=++

=X

Outro exemplo. Suponha que a média dos salários de todos os moradores do bairro Nova Vila (o mesmo bairro utilizado no exemplo retomado no início da aula) seja R$ 2.000,00.

000.2=μ

Já a amostra que fizemos, entrevistando 10 pessoas, resultou em uma média de R$ 3.600,00.

600.3=X

Entenderam?

Resumindo:

· Falou em média populacional: o símbolo é μ

· Falou em média de variável aleatória: o símbolo é μ (pois variáveis aleatórias são usadas para modelar populações)

· Falou em média amostral: símbolo é X

Nosso objetivo é, a partir de uma amostra, estimar qual o parâmetro populacional. Partindo da amostra das dez pessoas acima, estimamos a média populacional em R$ 3.600,00.

O valor da média da amostra ( X ) é um estimador da média populacional ( μ ). É um estimador não tendencioso, de variância mínima, de mínimos quadrados e, se a variável aleatória for normal, é também um estimador de máxima verossimilhança.

Mais adiante falamos sobre o que significa cada uma destas características dos estimadores (ver folha 88Erro! Indicador não definido.).

EP 1 De uma população foi extraída uma amostra com os seguintes valores: 4, 6, 8, 8. Qual a estimativa para a média da população?

Resolução.

Não sabemos a média da população ( μ ). Neste caso, vamos utilizar a média da amostra ( X ) para estimar a média da população.

A estimativa da média da população fica:




5,64

8864=

+++=X

Estimamos a média populacional em 6,5.

EP 2 De uma população foi extraída uma amostra com os seguintes valores: 3, 5, 5, 7. Qual a estimativa para a média da população?

Exercício bem parecido com o anterior.

Não sabemos a média da população ( μ ). Neste caso, vamos utilizar a média da amostra ( X ) para estimar a média da população.

A estimativa da média da população fica:

54

7553=

+++=X

Estimamos a média populacional em 5.

2. Estimador para a variância Novamente, vamos padronizar a simbologia. Quando quisermos nos referir à variância populacional ou à variância de uma variável aleatória, vamos usar o símbolo 2σ . Ou então, podemos usar o símbolo V(X). Outro símbolo possível nos exercícios é Var(X).

Quando quisermos nos referir à variância de uma amostra, usamos 2s .

· Variância da população (ou da variável aleatória): )()(2 XVarXV ==σ

· Variância da amostra: 2s

Para variância, o estimador que vamos usar geralmente é:

( )1

2

2

−

−= ∑

nXX

s i ,

que é a mesma fórmula vista para a variância lá na aula 13. Lá, nós a chamamos de variância amostral.

Lá na aula 13, quando demos a fórmula para a variância amostral, dissemos que o denominador era “ 1−n ”. Na hora eu não expliquei muita coisa. Pois bem, quando queremos estimar a variância da população, um dos fatores que tem influência nesse denominador é justamente a característica desejada para o estimador. Para que o estimador tenha uma certa característica de tal forma que ele possa ser enquadrado como não tendencioso, é necessário que o denominador seja “ 1−n ”.

Este estimador acima é o mais utilizado. Ele é não tendencioso. Contudo, no caso da variável normal, ele não é o estimador de máxima verossimilhança. O estimador de máxima verossimilhança é:




( )n

XXs i∑ −

=2

2

Se por acaso o exercício der uma amostra de uma variável normal e pedir para calcular o estimador de máxima verossimilhança da variância utilizamos n no denominador (em vez de

1−n ). Mas acho que é improvável que isto ocorra. O que deve vai cair mesmo é com o denominador 1−n . É improvável, mas não impossível, conforme veremos em alguns exercícios de concursos durante a aula.

EP 3 Considere a seguinte amostra de uma variável aleatória normal:

1, 2, 3.

Calcule:

a) o estimador não tendencioso da variância populacional

b) o estimador de máxima verossimilhança da variância populacional

Resolução

a) O estimador não tendencioso é aquele em que temos ‘ 1−n ’ no denominador.

Fica assim:

( )1

2

2

−

−= ∑

nXX

s i

( ) 113

101 2222 =

−++−

=s

b) O estimador de máxima verossimilhança é aquele com ‘n’ no denominador.

( )n

XXs i∑ −

=2

2

( ) 3/23

101 2222 =

++−=s

EC 1 SEFAZ RJ 2008 [FGV]

Considere uma Amostra Aleatória Simples de n unidades extraídas de uma população na qual a característica, X, estudada tem distribuição Normal com média μ e variância 2σ , ambas

desconhecidas, mas finitas. Considere, ainda, as estatísticas média da amostra, X = ∑=

n

iiX

n 1

1,

e variância da amostra ( )∑=

−=n

ii XX

ns

1

22 1 . Então, é correto afirmar que:




(A) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e da variância da população, respectivamente.

(B) X é não-tendencioso, mas é 2S tendencioso para a estimação da média e da variância da população, respectivamente.

(C) X é tendencioso, mas 2S é não-tendencioso para a estimação da média e da variância da população, respectivamente.

(D) X e 2S são, ambos, tendenciosos para a estimação da média e da variância da população, respectivamente.

(E) X e 2S são, ambos, não-tendenciosos para a estimação da média e da variância da população, mas apenas X é consistente.

Resolução:

Nesta questão, temos:

- a média aritmética da amostra como um estimador da média populacional: vimos que a média da amostra é um estimador não-tendencioso.

- a variância da amostra como um estimador da variância populacional: vimos que, quando se usa n no denominador, o estimador é tendencioso.

Gabarito: B

Resumindo: há diversos tipos de estimadores. Por hora, ainda não sabemos exatamente o que eles significam.

Só sabemos que, no caso de estimarmos a variância da população a partir de uma amostra, o denominador pode ser “ 1−n ” ou “n”.

Se o exercício não falar nada, utilize “ 1−n ”. Este é o estimador mais utilizado. Ele é não tendencioso.

Se o exercício pedir o estimador de máxima verossimilhança e a distribuição for normal, utilize “n”.

EC 2 CGU 2008 [ESAF]

Qual o estimador de máxima verossimilhança da variância de uma variável X normalmente distribuída obtido a partir de uma amostra aleatória simples X1, X2, X3, ..., Xn, desta variável, sendo nXm i /∑= o estimador de máxima verossimilhança da média?

a) 1

)( 2

−

−∑n

mX i

b) 2

)( 2

−

−∑n

mX i




c) 5,02

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−∑n

mX i

d) ∑ − 2)( mX i

e) n

mX i∑ − 2)(

Resolução.

O enunciado está usando a letra “m” para indicar a média amostral.

Vimos que o estimador de máxima verossimilhança da variância para a distribuição normal é aquele que apresenta “n” no denominador.

Gabarito: E.

EC 3 Prefeitura de Manaus 2004 [CESGRANRIO]

Com base em uma amostra aleatória simples (X1, X2, ..., Xn), de média

nXXXX n+++

=...21 , um estimador não viciado da variância da população é:

a) 1

)(...)()( 222

21

+−++−+−

nXXXXXX n

b) n

XXXXXX n22

22

1 )(...)()( −++−+−

c) 1

)(...)()( 222

21

−−++−+−

nXXXXXX n

d) 2

222

21 ... X

nXXX n −

+++

e) 2

222

21

1... X

nXXX n −

−+++

Resolução.

Quando queremos o estimador não-viciado, o denominador é igual a 1−n .

Gabarito: C

EC 4 SEFAZ SP 2009 [ESAF]

(Dados da questão anterior: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.)




Considerando que as observações apresentadas na questão anterior constituem uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., Xn de uma variável aleatória X, determine o valor mais próximo da variância amostral, usando um estimador não tendencioso da variância de X.

Considere que:

38823

1

=∑=i

iX

867623

1

2 =∑=i

iX

a) 96,85

b) 92,64

c) 94,45

d) 90,57

e) 98,73

Resolução.

A média fica:

23388

23

23

1 ==∑

=iiX

X

A média dos quadrados das observações fica:

2386762 =X

A variância (com n no denominador), é dada por: 22 XX −

= 2

23388

238676

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Para o estimador não tendencioso (ou não viciado, ou não enviesado), nós usamos 1−n no denominador. Portanto, precisamos ajustar o denominador.

O resultado acima considera uma divisão por 23 (= n). Precisamos multiplicar por 23, para cancelar esta divisão.

Em seguida, dividimos por 22, para que o denominador seja igual a 1−n .

O estimador não tendencioso da variância fica:

×=22232s

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2

23388

238676

=2s2223

38822

8676 2

×−




= 394,36 – 297,52 = 96,84

Gabarito: A

3. Estimador para uma proporção Considere que a proporção de moradores de uma cidade que pretendem votar num candidato A é de 40%. É um valor que se refere à população inteira. É um parâmetro. Vamos padronizar. Sempre que nos referirmos à proporção da população, usamos o símbolo p .

%40=p

Suponha que nós não conhecemos esta proporção referente à população (40%) e, para estimá-la, entrevistamos 10 pessoas. Destas, 5 pretendem votar no candidato A.

A proporção verificada na amostra é 50%. Chamamos de p̂ .

%50ˆ =p

Vamos usar p̂ como estimador de p .

Resumindo:

· Proporção da população: p

· Proporção amostral: p̂

EP 4 Para uma pesquisa de intenções de voto para a Prefeitura de uma cidade, foram entrevistadas 100 pessoas. Verificou-se que, nesta amostra, 30 eleitores pretendem voltar no candidato A. Qual a estimativa da proporção populacional de intenções de voto do candidato A?

Resolução.

Não sabemos qual a proporção populacional (ou seja, referente a todos os eleitores da cidade). Vamos usar a proporção verificada na amostra para estimar a proporção populacional.

Na amostra temos:

3,0%30ˆ ==p

Dizemos que a estimativa da proporção populacional é de 30%.

EC 5 Paraná Previdência/2002. [CESPE]

Parte das atribuições do analista previdenciário é a participação na elaboração de sistemas de informações previdenciárias. As informações, em geral, vêm de diversas fontes. É importante que um sistema de informações forneça com detalhes todo o processo metodológico, desde a obtenção dos dados até a sua disponibilização para o usuário final. Para assegurar a fidedignidade dos dados, as possíveis fontes de erros devem ser monitoradas e os erros, quando detectados, devem ser corrigidos. Nesse sentido, considere por hipótese, que o departamento DDD de determinada empresa deva coletar e enviar diariamente um conjunto




de informações para a previdência. Ao longo do procedimento de envio dessas informações, há várias situações problemáticas, como dificuldades de transmissão dos dados, perda acidental de dados, atraso na coleta dos dados etc. Suponha que, ocorrendo uma dessas situações problemáticas, uma nova tentativa seja feita apenas no dia seguinte. Suponha ainda que, em 1.000 dias, um relatório gerencial tenha apresentado os seguintes resultados.

Situação Quantidade de ocorrências

em dias Impossibilidade de coleta das informações dentro do prazo

300

Problema na transmissão dos dados coletados 140 Problema na recepção dos dados transmitidos 56

Julgue os itens seguintes, com base na situação hipotética descrita acima.

1. Uma estimativa da probabilidade de sucesso na coleta das informações dentro do prazo é de 0,7.

2. A estimativa da probabilidade de ocorrer problema de transmissão dos dados coletados é igual a 0,14.

3. Assumindo que as probabilidades permaneçam constantes ao longo do tempo e considerando que a previdência não tenha, em um determinado dia, recebido o conjunto de informações do departamento DDD, a probabilidade de o DDD ainda não haver coletado o conjunto de dados naquele dia é superior a 0,50.

Resolução.

No primeiro item queremos estimar a probabilidade de sucesso na coleta de informações. Dizendo de outra forma: queremos calcular a proporção de sucessos.

Só que não conhecemos toda a população. Conhecemos apenas os resultados de uma amostra de tamanho 1000.

Neste caso, utilizamos a proporção verificada na amostra ( p̂ ) para estimar a proporção real ( p ).

Nó já até fizemos isto, intuitivamente, em exercícios anteriores.

Assim, a estimativa da proporção de sucesso na coleta de informações dentro do prazo é:

1000700ˆ =p

Isto porque, na nossa amostra, de 1000 dias selecionados, em 700 as informações foram coletadas dentro do prazo.

Portanto:

7,0ˆ =p

Gabarito: certo.




No segundo item, nova estimativa envolvendo proporção. Queremos estimar a proporção de problemas na transmissão de dados. Não conhecemos toda a população. Conhecemos apenas o resultado para uma amostra. Vamos usar o resultado da amostra para estimar o parâmetro.

Os dados só puderam ser transmitidos nos dias em que houve coleta de dados dentro do prazo. Isto porque se os dados sequer chegaram a ser coletados, nem transmissão houve.

Portanto, em 700 dias os dados chegaram a ser transmitidos. Destes 700 dias, em 140 houve problemas na transmissão.

Portanto, a estimativa fica:

20,0700140ˆ ==p

Gabarito: errado.

Vamos ao próximo item.

Estamos em um dia em que os dados não foram recebidos.

Então podemos estar num dos 300 dias em que os dados não foram coletados. Ou em um dos 140 dias em que houve problema na transmissão. Ou em um dos 56 dias em que houve problema na recepção.

São 496 casos possíveis.

A probabilidade de ter sido um dia em que os dados não foram coletados no prazo é:

5,0496300

>=P .

Repare que não precisa fazer a conta. Basta ver que a fração acima é maior que 0,5.

Gabarito: certo.

EC 6 Basa/2007 [CESPE]

Um programa de controle de qualidade foi implementado em uma agência bancária. A cada 10 clientes que entram na fila para solicitar um certo tipo de serviço S, um atendente entrega um pequeno questionário, que deve ser preenchido pelo cliente e devolvido ao caixa do banco. Um dos quesitos monitorados diariamente é a proporção de clientes que estão satisfeitos com o atendimento de um modo geral. Em determinada semana, foram observados os resultados mostrados na tabela a seguir.

Dia da semana 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª Número de clientes observados 30 40 20 50 70 proporção de clientes satisfeitos 0,9 0,8 0,9 0,8 0,6

Com base nesses dados, julgue o item que se segue.

1. A estimativa da proporção média de clientes satisfeitos com o atendimento de um modo geral ao longo dessa semana é superior a 0,8.

Resolução.

Vamos utilizar a proporção da amostra para estimar a proporção da população.




O número de clientes satisfeitos foi de: 1596,0708,0509,0208,0409,030 =×+×+×+×+×

O número total de clientes entrevistados foi: 2107050204030 =++++

A proporção de clientes satisfeitos na amostra é:

7571,0210159ˆ ==p .

Portanto, o item está errado. A estimativa é de 75,71%. É inferior a 80%.

Gabarito: errado. Texto para EC 7 e EC 8. Uma amostra escolhida aleatoriamente dentre os candidatos a uma instituição de ensino foi consultada sobre a dificuldade do exame de seleção aplicado. Os resultados são apresentados na tabela a seguir.

EC 7 INEP 2008 [CESGRANRIO]

Estime a proporção de candidatos, dentre os homens, que NÃO considerou o exame fácil. O valor estimado é

(A) 22,0%

(B) 38,4%

(C) 48,5%

(D) 84,6%

(E) 85,2%

Resolução.

Utilizamos a proporção amostral para estimar a proporção populacional. Na amostra, a proporção de homens que achou o exame difícil ou médio é de:

%61,8478

3630=

+




Gabarito: D

EC 8 INEP 2008 [CESGRARNIO]

Estime a proporção de candidatos que considerou o exame fácil. O valor estimado é

(A) 57,3%

(B) 34,4%

(C) 15,3%

(D) 14,7%

(E) 13,7%

Resolução.

Novamente, utilizamos a proporção amostral para estimar a proporção populacional.

Na amostra, 20 pessoas consideraram o exame fácil (= 812 + ). A amostra tinha 136 pessoas (= 5878 + ). A proporção amostral é dada por:

%7,1413620

=

Gabarito: D

→

ESTIMADORES PONTUAIS:

- Usamos a média amostral para estimar a média populacional ( X é um estimador de μ );

- Usamos a variância amostral para estimar a variância populacional. Se o estimador for não-viciado (ou não-tendencioso) usamos 1−n no denominador. Se o estimador for de máxima verossimilhança e a variável for normal, usamos n no denominador.

- Usamos a proporção amostral para estimar a proporção populaconal.

II. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA

1. X como uma variável aleatória Muitas populações podem ser modeladas segundo uma variável aleatória. Como exemplo, considere a temperatura de um local, medida com nosso termômetro mágico de infinitas casas após a vírgula.

Nosso objetivo é estimar a temperatura média do local em um dado dia. Para tanto, consideramos que a temperatura se comporta como uma variável aleatória X.

Deste modo, encontrar a temperatura média do local é o mesmo que encontrar a esperança de X.

?)( == μXE

Num dado dia, vamos lá nesse local e, em dez instantes diferentes, medimos a temperatura. Agora temos uma amostragem de tamanho 10 para a temperatura no local.

Suponha que esta média tenha sido 21 =X °C.




Neste ponto, não custa nada lembrar a simbologia que padronizamos.

· X é a média de uma amostra

· μ é a média da população (é o valor que pretendemos estimar)

Só que os instantes em que realizamos a amostragem foram aleatoriamente escolhidos. Se, por acaso, outros instantes tivessem sido escolhidos, cada uma das medições poderia ser ligeiramente diferente. Seria possível ter obtido uma segunda média igual a 1,22 =X °C.

Ou também seria possível ter obtido uma terceira média 051,23 =X °C.

Quando nos referimos a uma única amostra, X representa um número, a média aritmética daquela amostra.

Mas também podemos nos referir a X de forma diferente. Podemos pensar em inúmeras amostras, com X assumindo valores diferentes em cada uma delas. Assim, X seria uma variável aleatória.

→ X pode ser vista como uma variável aleatória!

É possível demonstrar que:

μ=)(XE

Ou seja, o valor esperado para a média amostral (vista como uma variável aleatória) é igual à média da população.

Explicando melhor.

Se fosse possível fazer muitas e muitas amostras, de tal modo que, em cada uma delas, calculássemos a média amostral ( X ), a média de todos os valores de X seria justamente a média da população ( μ ).

Outro exemplo.

Considere um tetraedro regular. Nas suas faces temos os números 1, 2, 3, 4.

Lançamos o tetraedro sobre uma mesa. X representa o valor da face que fica em contato com a mesa.

Vamos realizar um estudo dos possíveis resultados deste lançamento. Para tanto, lançamos duas vezes (amostra de tamanho 2).

Saíram os resultados 1 e 3. Para esta amostra em particular a média amostral foi:

22

31=

+=X

Ok, fizemos uma única amostra. Neste caso, X é um número. É simplesmente a média aritmética dos valores pertencentes à amostra.




Acontece que não estamos interessados em uma amostra específica, que fornece um valor único para X . Estamos interessados na variável aleatória X .

O resultado do lançamento do dado é aleatório. Seria possível que tivéssemos obtido outras amostras. Se o tetraedro for homogêneo, as possíveis amostras seriam:

1 e 1 1 e 2 1 e 3 1 e 42 e 1 2 e 2 2 e 3 2 e 43 e 1 3 e 2 3 e 3 3 e 44 e 1 4 e 2 4 e 3 4 e 4

Seriam 16 amostras possíveis, todas elas com a mesma probabilidade de ocorrer. O valor da média amostral em cada uma dessas amostras seria:

Valores da amostra

X

1 e 1 1 1 e 2 1,5 1 e 3 2 1 e 4 2,5 2 e 1 1,5 2 e 2 2 2 e 3 2,5 2 e 4 3 3 e 1 2 3 e 2 2,5 3 e 3 3 3 e 4 3,5 4 e 1 2,5 4 e 2 3 4 e 3 3,5 4 e 4 4

Repare que X pode ser visto como uma variável aleatória que assume diversos valores.

A média de todos os possíveis valores de X fica:

)45,335,25,335,2235,225,15,225,11(161)( +++++++++++++++×=XE

5,2)( =XE

Vamos agora calcular a média da variável aleatória X.

A variável aleatória X assume os valores 1, 2, 3, 4, cada um com probabilidade 1/4.

Portanto:

4413

412

411

41)( ×+×+×+×== μXE

5,2=μ




Concluindo: a esperança da média amostral é igual à esperança da população. Isto significa que, se fosse possível fazer um número muito grande de amostras, a média de todas as médias amostrais seria igual à média da população.

→ X pode ser vista como uma variável aleatória com esperança μ . Ou seja, a média das médias amostrais é a média da população.

Ainda não falamos sobre as diversas características dos estimadores. Mas já podemos antecipar uma delas: o estimador não tendencioso (ou não viciado).

O fato da média de X ser igual à média da população nos permite classificar X como estimador não tendencioso (ou não viciado). Usando esse estimador, em média (considerando as inúmeras amostras que poderiam ser feitas), nós estamos realmente acertando o valor do parâmetro desconhecido.

Sempre que a esperança de um estimador for igual ao parâmetro estimado, estamos diante de um estimador não tendencioso.

μ=)(XE : a média de X é igual ao parâmetro estimado; se fizéssemos inúmeras amostragens, em média, acertaríamos a média populacional.

Sabendo que X pode ser vista como uma variável aleatória, é possível calcular a sua variância.

Seja 2σ a variância da população.

É possível demonstrar que, sendo ‘n’ o tamanho das amostras, a variância de X fica:

nXV

2

)( σ=

Um outro símbolo possível para a variância de X seria: 2X

σ . Portanto:

nX

22 σσ =

A variância da média amostral é igual à variância da população dividido por n.

Por conseqüência, o desvio padrão da média amostral é:

nX

σσ =

Ou seja, o desvio padrão de X é igual ao desvio padrão da população dividido por raiz de n. Estas fórmulas da variância e desvio padrão só são válidas se a variável aleatória tiver população infinita (ou seja, assume infinitos valores, como no caso de uma variável aleatória contínua).

Caso a população seja finita (como foi o caso do lançamento do tetraedro), o resultado continua valendo, desde que a amostragem seja feita com reposição.

Caso a população seja finita e a amostragem seja feita sem reposição, as fórmulas devem ser adaptadas. Veremos esta adaptação posteriormente (ver fl. 103). Para a maior parte dos




concursos, esta correção para população finita pode simplesmente ser ignorada, pois quase nunca é cobrada.

Por hora, vamos nos concentrar na fórmula que é mais cobrada:

nX

22 σσ =

Por conseqüência:

nX

σσ =

Vamos ver a aplicação desta fórmula da variância para o caso do tetraedro.

A variável aleatória X pode assumir os valores 1, 2, 3 e 4, cada um com probabilidade 1/4.

Sua variância fica: X Quadrado do desvio em relação à

média ( 2e ) Probabilidade

( P ) Pe ×2

1 2,25 0,25 0,5625 2 0,25 0,25 0,0625 3 0,25 0,25 0,0625 4 2,25 0,25 0,5625

TOTAL 1 1,25

E variância de X fica:

25,1125,1)( 2 === σXV

A variável aleatória X , quando fazemos amostras de tamanho 2, assume os seguintes valores:

X Probabilidade 1 1/16

1,5 2/16 2 3/16

2,5 4/16 3 3/16

3,5 2/16 4 1/16

E sua variância fica: X Quadrado do desvio em relação à

média ( 2e ) Probabilidade

( P ) Pe ×2

1 2,25 1/16 0,140625 1,5 1,00 2/16 0,125 2 0,25 3/16 0,046875

2,5 0,00 4/16 0 3 0,25 3/16 0,046875

3,5 1,00 2/16 0,125 4 2,25 1/16 0,140625

TOTAL 1 0,625




A variância de X é dada por:

625,01625,0)( ==XV

A variância da população foi de 1,25.

25,12 =σ

A variância de X foi 0,625.

625,0)( =XV

As amostras tinham tamanho 2. 2=n

Portanto:

nXV

2

)( σ=

225,1625,0 =

→

X pode ser vista como uma variável aleatória com esperança μ e variância n

2σ (e,

consequentemente, desvio padrão n

σ).

Ou seja, a média de X é igual à média da população. E a variância de X é igual à variância da população dividida por n. O desvio padrão de X é igual ao desvio padrão da população dividido por raiz de n.

Agora vem o grande detalhe. Pelo teorema do limite central é possível demonstrar que a variável aleatória X tem distribuição aproximadamente normal. A aproximação é melhor quanto maior o tamanho das amostras (quanto maior o valor de n). Isto vale mesmo que a variável X não seja normal.

Caso a variável X seja normal, a variável X também será normal (aí já não é aproximação).

Ou seja, para a variável X nós podemos utilizar a tabela de áreas para a variável normal. Isto é de extrema utilidade na determinação dos chamados intervalos de confiança.

→

X pode ser vista como uma variável aleatória normal (ou aproximadamente normal),

com média μ , variância n

2σ e desvio padrão

nσ

.

A aproximação vale mesmo que X não seja normal. Quanto maior o tamanho das amostras, melhor a aproximação.





Denotando-se a média e a variância amostral, respectivamente, por X e 2s , o erro padrão da estimativa da média populacional (M) é definido como

a) MX −

b) MX ±

c) ns

d) ns

e) n

s 2

Resolução.

Cobrança direta da fórmula estudada. Vimos que X é uma estimativa para a média

populacional. O erro-padrão (ou ainda, desvio-padrão) de X é dado por: n

σ .

Quando não conhecemos o desvio-padrão da população (σ ), a fórmula é alterada. Substituímos σ pelo desvio-padrão amostral (s), pois já vimos que s é um estimador para σ .

A fórmula fica:

ns

Gabarito: D

EC 10 CAPES 2008 [CESGRANRIO]

A questão seguinte refere-se aos resultados de um exame aplicado a uma amostra de 150 alunos de certa instituição, apresentados na seguinte tabela:

Analisando-se as estatísticas da tabela, conclui-se que

(A) mais da metade dos alunos alcançou nota acima da média.

(B) no mínimo três quartos dos alunos alcançaram nota 66,57.

(C) o coeficiente de variação é igual a 4,16%.

(D) o coeficiente de variação quartil é igual a 24,03%.




(E) o erro padrão da média é igual a 1,0.

Resolução.

Letra A.

A mediana é igual a 49,03. Logo, metade dos alunos têm nota acima de 49,03. A outra metade tem nota abaixo de 49,03.

A média é igual a 52,93. A média é maior que a mediana. Logo, é errado afirmar que mais da metade dos alunos tirou nota acima da média. Alternativa errada.

Letra B.

O terceiro quartil é igual a 66,57. Portanto, apenas um quarto dos alunos tirou nota acima de 66,57. E três quartos dos alunos tirou nota abaixo de 66,57. Alternativa incorreta.

Letra C.

===93,5272,12

XsCV 0,24

Alternativa incorreta.

Letra D.

A questão fala em coeficiente de variação quartil. Confesso que eu não conhecia esta medida. Só fui pesquisar depois de ver esta questão.

A fórmula do coeficiente de variação quartil é:

13

13

QQQQ

+−

23,069,4157,6669,4157,66

≅+−

=

Letra E.

O desvio-padrão de X é n

σ .

Quando não conhecemos o desvio-padrão da população (σ ), a fórmula é alterada. Substituímos σ pelo desvio-padrão amostral (s), pois já vimos que s é um estimador para σ .

A fórmula fica:




ns

03,1150

72,12≅=

Gabarito: E Talvez a idéia da questão fosse que o candidato marcasse a letra “e” por exclusão, sem precisar fazer a raiz quadrada.

Caso você queira realmente fazer a conta, aí é importante conhecer uma forma aproximada para cálculo de raiz quadrada.

Basta fazer assim. Primeiro, achamos o quadrado perfeito mais próximo. No caso, trata-se do 144.

Ok, agora podemos aproximar a raiz de 150. Fica assim:

25,1224294

1442144150150 ==

+≅

Usando a calculadora, temos:

2474,12150 =

Notem que a aproximação foi muito boa.

Genericamente, sempre que você quiser achar a raiz quadrada de um número X0, você pode fazer assim:

· localize o quadrado perfeito mais próximo (vamos chama-lo de X1);

· utilize a seguinte aproximação: 1

010 2 X

XXX

+≅

EC 11 CGU - 2008 [ESAF]

Seja T um estimador de um parâmetro θ de uma população. Se θ=)(TE , diz-se que T é um estimador de θ :

a) eficiente

b) não enviesado

c) consistente

d) de mínimos quadrados

e) de máxima verossimilhança

Resolução.

Vimos que o fato da esperança do estimador ser igual ao parâmetro permite classificar o estimador como não viciado (ou não tendencioso, ou não enviesado). Todas essas expressões são sinônimas.

Gabarito: B.




EC 12 TRF 1ª Região/2001 [FCC]

Para responder à questão seguinte, considere a tabela abaixo, referente à distribuição normal padrão.

z )(zF 1,20 0,885 1,60 0,945 1,64 0,950

Uma máquina de empacotar leite em pó o faz segundo uma normal com média μ e desvio padrão 10g. O peso médio μ deve ser regulado para que apenas 5,5% dos pacotes tenham menos do que 1000 g. Com a máquina assim regulada, a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 4.040 g é:

a) 0,485

b) 0,385

c) 0,195

d) 0,157

e) 0,115

Resolução.

A tabela fornecida nos deu a FDP da distribuição normal. Ou seja, nos deu as probabilidades de Z assumir valores menores ou iguais a 1,20, a 1,60 e a 1,64.

Da tabela acima, concluímos que a área verde da figura abaixo é igual a 0,945%.

Uma vez que a área total é igual a 1, concluímos que a área vermelha é igual a 5,5%. Como o gráfico é simétrico, sabemos que a área amarela abaixo também é igual a 5,5%.




Seja X a variável aleatória que indica o peso dos pacotes de leite em pó.

A transformação para encontrar a variável reduzida é:

σμ−

=XZ

Sabemos que 5,5% dos valores de Z são menores ou iguais a -1,6. Sabemos que 5,5% dos valores de X são menores ou iguais a 1.000 g. Logo, quando Z vale -1,6, X vale 1.000.

101610001610

10006,1 =⇒−=−⇒−

=− μμμ

Encontramos o peso médio dos pacotes.

Os pesos dos pacotes se comportam como uma variável normal de média 1016 e desvio padrão de 10 gramas.

A pergunta é: qual a probabilidade de o peso total de uma amostra de 4 pacotes ser inferior a 4040g?

Lembrando que 10104

4040= , temos que essa pergunta equivale a:

Qual a probabilidade de o peso médio de uma amostra de 4 pacotes ser inferior a 1010 g?

Seja X a variável aleatória que designa o peso médio em amostras de 4 pacotes. X tem distribuição normal. Sua média é dada por:

1016][ == μXE

Sua média é igual à média da população.

Seu desvio padrão é dado por:

52

10][ ====n

XVX

σσ

X é uma variável aleatória com média 1016 e desvio padrão igual a 5.




Queremos saber a probabilidade de X ser inferior a 1010g. Precisamos consultar a tabela de áreas fornecida na prova. Para tanto, precisamos achar o valor da variável normal reduzida Z que corresponde a 1010.

E agora cuidado!

A variável aleatória de estudo é X . Na hora de obter a variável Z, temos que fazer uma subtração e uma divisão.

Subtraímos a média da variável X (no caso, 1016). E dividimos pelo desvio padrão de X (no caso, 5).

X

XZσ

μ−=

Quando X vale 1010, Z vale:

2,15

10161010−=

−=Z

Vamos achar a probabilidade de Z ser menor que -1,2.

A tabela fornecida nos diz que a área verde da figura abaixo é de 0,885.

Como a área total é igual a 1, a área vermelha é igual a 0,115 (=1-0,885). Uma vez que o gráfico é simétrico, a área amarela da figura abaixo também é de 0,115.




A probabilidade de Z ser menor que -1,2 é de 0,115. Consequentemente, a probabilidade de X ser menor que 1010 também é de 0,115.

Gabarito: E.

EC 13 MPU/2007 [FCC]

[Considere que você já sabe que X tem variância igual a 12]

Se retirarmos uma amostra aleatória de 1200 observações de uma população com distribuição uniforme no intervalo [17; 29], a distribuição da média amostral X será, aproximadamente,

a) uniforme com média 23 e variância 12

b) normal com média 23 e desvio padrão 0,1

c) uniforme com média 23 e variância 1

d) normal com média 23 e desvio padrão 12.

e) normal com média 23 e desvio padrão 1.

Resolução.

Quando a população tem distribuição normal, X também é uma variável aleatória normal. Quando a população não for normal, X será aproximadamente normal. A aproximação será tanto melhor quanto maior for a amostra.

Nesse caso, em que X é uniforme, X é aproximadamente normal. Note que a amostra é bem grande (n = 1200).

Estudamos na aula passada que, para calcular a média de uma variável aleatória uniforme, basta pegar o ponto médio do intervalo em que ela é diferente de zero. Neste caso, a esperança de X fica:

232

1729][ =+

=XE




A média de X coincide com a média populacional.

23][ == μXE

Para terminar a questão, ainda falta achar o desvio padrão da média amostral. Para tanto, precisamos da variância da população (não informada). E nós não estudamos como calcula-la.

Então acho que entender a questão até aqui já está ótimo. Mais que isso, para um concurso aberto a candidatos de todas as áreas, acho que já não seria razoável.

Foi por isso que adaptei a questão. No enunciado eu disse para considerarmos que já sabemos qual a variância de X.

Supondo que já sabemos que X tem variância 12, temos:

01,01200122

2 ===nX

σσ

1,0=X

σ

Portanto, X tem distribuição aproximadamente normal, com média 23 e desvio padrão 0,1.

Gabarito: B.

Para resolver o enunciado original, sem a adaptação, ficaríamos com: 29

17

329

17

222

3121

17291)(][ xdxxdxxfxXE ×=×−

×=××= ∫∫∞

∞−

5413

1729121

3121][

3329

17

32 =

−×=×=

xXE

1223541][][ 222 =−=−= μXEXV

E, por fim:

01,01200122

2 ===nX

σσ

1,0=X

σ

Portanto, X tem distribuição aproximadamente normal, com média 23 e desvio padrão 0,1.

Nunca é demais lembrar: esta questão foi tirada de uma prova da área de estatística. Envolve conceitos que não estudamos. Por isso tivemos que adaptar o enunciado (fornecendo a variância de X).

Não é razoável a cobrança do enunciado original em uma prova aberta a candidatos de todas as áreas.

EC 14 Ministério da Saúde/2007 [FCC]

Para responder à questão seguinte, considere, dentre os dados abaixo, aqueles que julgar apropriados. Se Z tem distribuição normal padrão, então:

023,0)2( =>ZP ; 445,0)6,10( =<< ZP ; 84,0)1( =<ZP ; 49,0)33,20( =<< ZP




Suponha que o peso de crianças de 10 anos, numa determinada população, tenha distribuição normal com média μ desconhecida e desvio padrão 4 kg. A probabilidade de que o peso médio de uma amostra aleatória simples de 100 crianças, selecionadas desta população, difira por mais de 400 gramas de μ é, aproximadamente, igual a:

a) 0,10

b) 0,16

c) 0,20

d) 0,27

e) 0,32

Resolução.

X é uma variável aleatória de média μ e desvio padrão:

4,0104

===nX

σσ

Vamos achar a probabilidade de X distar menos de 0,4 kg da média populacional.

Isso ocorre quando X assume valores entre 4,0−μ e 4,0+μ .

Vamos achar os valores de Z correspondentes. Quando X é igual a 4,0−μ , Z é igual a:

14,04,0

−=−−

=−

=μμ

σμ

X

XZ

Quando X é igual a 4,0+μ , Z é igual a:

14,04,0

=−+

=−

=μμ

σμ

X

XZ

Fomos informados que:

84,0)1( =<ZP

Desta forma, a área verde da figura abaixo é igual a 0,84.




Logo, a probabilidade de Z ser maior que 1 é de:

16,084,01)1( =−=>ZP

Esta probabilidade corresponde à área amarela da figura abaixo:

Como a fdp da normal reduzida é simétrica em torno de zero:

16,0)1( =−<ZP .

Ou seja, a área vermelha abaixo é igual à amarela e cada uma delas vale 0,16.




Deste modo, a probabilidade de Z estar entre -1 e 1 é de:

68,016,016,01)11( =−−=<<− ZP

Esta probabilidade corresponde à área verde abaixo:

A probabilidade de Z assumir valores entre -1 e 1 é de 68%. Portanto, a probabilidade de X assumir valores entre 4,0−μ e 4,0+μ também é de 68%. Ou seja, a probabilidade de X distar menos de 0,4 kg da média populacional é de 68%. Consequentemente, a probabilidade de X distar mais de 0,4 kg da média populacional é de 32%.

Gabarito: E

Antes de passarmos para o próximo tópico, vale dizer que as fórmulas estudadas nesta seção são diretamente obtidas a partir das propriedades da esperança.

Vamos checar?

Vamos iniciar pela esperança de X .

A média amostral é calculada assim:

- somamos todas as extrações




- dividimos por n.

Quando pensamos em todas as amostras possíveis, cada extração é uma variável aleatória.

Ficamos com:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∑

=

n

XiEXE

n

i 1)(

Se dividirmos as variáveis por uma constante, a esperança também é dividida por esta constante:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×= ∑

=

n

iXiE

nXE

1

1)(

A esperança da soma é igual à soma das esperanças:

( )XiEn

XEn

i∑

=

×=1

1)(

∑=

×=n

inXE

1

1)( μ

μμ =××= nn

XE 1)(

Agora vamos para a variância:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∑

=

n

XiVXV

n

i 1)(

Quando dividimos as variáveis por n, a variância sofre a divisão ao quadrado.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×= ∑

=

n

iXiV

nXV

12

1)(

Se a amostra aleatória for feita a partir de uma população infinita (ou finita, mas com reposição), cada extração é independente das demais. Neste caso, a variância da soma é igual à soma das variâncias.

( )XiVn

XVn

i∑

=

×=1

2

1)(

22

1)( σ××= nn

XV = n

2σ




2. Intervalo de confiança para a média Seja X uma variável aleatória que representa uma população infinita com variância conhecida ( 2σ ). Este “infinita” é só para ser um pouco rigoroso. Caso a população seja finita, os resultados que veremos só se aplicam se a amostragem for feita com reposição. No concurso só vai cair assim. Muitas questões nem se preocupam em detalhar isto... fica implícito. Eu diria que vocês não precisam se preocupar com o caso de população finita e amostragem sem reposição. De todo modo, pelo sim, pelo não, coloquei um tópico sobre populações finitas (ver fl. 103).

Pois bem, então X é nossa variável aleatória com variância conhecida ( 2σ ). X representa nossa população. Apesar de conhecermos sua variância, não conhecemos sua média ( μ ). Nosso objetivo será obter uma amostra e, a partir dela, definir o chamado intervalo de confiança para μ .

Vamos supor que a variância da população seja de 16.

16)( 2 == σXV

A média da população, esta nós não conhecemos. Vamos chamá-la de μ .

?)( == μXE

Vamos obter uma amostra de tamanho 4. 4=n

A média de uma amostra de tamanho 4 é X .

Antes de efetivamente fazer uma amostragem (o que nos fornecerá um valor específico para X ), vamos pensar em todas as amostras que poderiam ser obtidas (com tamanho 4). Em cada uma delas, X assume um valor diferente. Conforme visto no começo da aula, X pode ser vista como uma variável aleatória normal (ou aproximadamente normal) de média μ .

Sabemos também que X tem uma variância dada por:

nXV

2

)( σ=

44

16)( ==XV

Portanto, o desvio padrão da variável X é dado por:

24 ==X

σ

Vamos criar a seguinte variável transformada:

X

XZσ

μ−=

A variável Z, conforme já estudado na aula anterior, tem média zero e desvio padrão unitário. É a nossa variável normal reduzida.




Sabemos que Z tem média zero e desvio padrão unitário. E Z também é uma variável normal (ou aproximadamente normal).

Para a variável Z nós podemos consultar a tabela da variável normal reduzida. Vamos determinar o intervalo, centrado na média, que contém 95% dos valores de Z.

Consultando a TABELA I, colocada ao final da aula, temos que o intervalo de 0 a 1,96 contém 47,5% dos valores. Portanto, o intervalo de -1,96 a 0 também contém 47,5% dos valores.

Juntando os dois, temos que 95% dos valores estão entre -1,96 e 1,96 (área verde abaixo).

Isto quer dizer que 95% dos valores de Z estão entre -1,96 e 1,96.

Mas quem é Z?

Lembrando:

X

XZσ

μ−=

Ou seja, se fizéssemos várias amostras e para cada uma delas obtivéssemos um valor para X ,

em 95% dos casos o valor X

Xσ

μ− estaria entre -1,96 e 1,96.

Portanto, a probabilidade de X

Xσ

μ− assumir valores entre -1,96 e 1,96 é de 95%.

Ok. Agora nós pegamos e realmente fazemos uma amostra com 4 valores. Esta amostra resultou em:

1, 5, 3, 1.

Para esta amostra específica, o valor de X foi 2,5. Com base nesta amostra específica, temos um valor específico para X . Se considerarmos apenas esta amostra, X não é mais variável. É um valor único (2,5).

E para esta amostra específica o valor de Z é:




25,2 μ−

=Z .

A probabilidade de este valor estar no intervalo de -1,96 a 1,96 não é mais 95%. Isto porque a expressão acima não assume mais valores diversos, aleatórios. É um valor único.

2,5 é um número, uma constante.

O valor de μ é também um número, constante. É desconhecido. Mas é constante. A média da população é um número, um valor único.

E, por fim, o denominador 2 também é constante.

Fazendo a conta 25,2 μ− , obtemos um valor que pode ou não estar no intervalo -1,96 a 1,96.

Quando substituímos a variável X por um valor obtido para uma dada amostra específica, não falamos mais em probabilidade.

É errado afirmar que, com probabilidade de 95%, o valor 25,2 μ− estará entre -1,96 e 1,96.

Mas, supondo que este valor esteja entre -1,96 e 1,96, ficamos com:

96,125,296,1 ≤

−≤−

μ

92,35,292,3 ≤−≤− μ

5,292,392,35,2 −≤−≤−− μ

42,142,6 ≤−≤− μ

42,642,1 ≤≤− μ

Este intervalo entre -1,42 e 6,42 é chamado de intervalo de 95% de confiança para a média da população.

Repare que não temos certeza de que a média da população ( μ ) esteja neste intervalo. Nem podemos dizer que a probabilidade de ela estar neste intervalo seja de 95%.

Tentando explicar de outra forma o que foi feito.

Em 95% dos casos, X está distante menos de 1,96 desvios padrão da média μ .

Como o desvio padrão de X é 2, temos que em 95% dos casos X dista menos que 3,92 da média μ .

Ou seja, em 95% dos casos X está entre 92,3−μ e 92,3+μ .




Fazemos a amostragem. Obtemos um específico valor para X (=2,5). Este valor pode estar ou não no intervalo entre 92,3−μ e 92,3+μ . Se fizéssemos inúmeras amostragens, em 95% delas o valor de X de fato estaria contido no referido intervalo. Para este valor em particular (2,5), não temos como saber.

Vamos supor que este valor esteja neste intervalo. Se isto for verdade, qual o intervalo que contém μ ?

O valor encontrado para X é de 2,5. Este valor pode tanto estar à esquerda de μ quanto à direita. Vamos fazer os dois casos extremos.

Se X estiver à esquerda de μ , o caso mais extremo seria justamente quando:

92,3−= μX

92,35,2 −= μ

Este caso extremo ocorreria se 42,6=μ

Se X estiver à direita de μ , o caso mais extremo seria justamente quando:

92,3+= μX

92,35,2 += μ

Este caso extremo ocorreria se:

42,1−=μ

Resumindo, supondo que o valor encontrado para X dista menos de 1,96 desvio padrão de μ , os valores extremos que μ pode assumir são -1,42 e 6,42. Portanto, com 95% de confiança, μ está neste intervalo.

Esta estimativa da média da população é por vezes chamada de estimativa por intervalo. Não estamos lhe atribuindo um valor único, mas uma faixa de valores.




No começo desta aula vimos como fazer a estimativa por ponto. Na estimativa por ponto não determinávamos uma faixa de valores. Sim um valor único. Estimávamos o valor de μ com o valor de X .

Vamos fazer mais um exemplo. Desta vez vou colocar o “passo a passo”, para gente começar a fixar como fazer.

EC 15 SEFAZ MS 2006 [FGV] – Questão adaptada

Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a média desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,2. A variância da população é 1,44.

O intervalo de 96,06% de confiança para a média populacional é (utilize a tabela I do final da aula):

(A) 4,2 ± 0,49

(B) 4,2 ± 0,64

(C) 4,2 ± 0,71

(D) 4,2 ± 0,75

(E) 4,2 ± 0,81

Resolução.

Para determinação do intervalo de confiança, seguimos 4 passos.

Primeiro passo: precisamos determinar o intervalo, para a variável normal reduzida (Z) que contém 96,06% dos valores (pois este é o nível de confiança solicitado no enunciado). Chamamos este valor de Z0 associado a 96,06% de confiança.

Consultando a tabela da distribuição normal (tabela I ao final do arquivo), temos que 96,06% dos valores de Z estão entre -2,06 e 2,06

06,20 =Z

Segundo passo: determinar o valor específico de X para a amostragem feita.

2,4=X (fornecido no enunciado)

Terceiro passo: determinar o desvio padrão de X .

A amostra tem tamanho 25. (n = 25)

O desvio padrão de X fica:

24,052,1

2544,1

2544,1)(

2

===

==

X

nXV

σ

σ

Quarto passo: determinar o intervalo de confiança.




Para tanto, sabemos que em 96,06% dos casos o valor de Z estará entre -2,06 e 2,06.

00 ZZZ ≤≤−

Vamos substituir Z:

00 ZXZX

≤−

≤−σ

μ

Isolando a média populacional:

XXZXZX σμσ ×+≤≤×− 00

O que isto significa? Significa que a probabilidade de a média populacional estar no intervalo acima definido é de 96,06%. Adotando a abordagem frequentista da probabilidade, temos o seguinte. Se fosse possível realizar, inúmeras vezes, uma amostragem de tamanho n, em 96,06% das vezes o intervalo acima definido conteria a média populacional.

Muito bem. Aí a gente pega e faz uma única amostra, obtendo um único valor para a média amostral. Com isso, obtemos:

49,02,449,02,4 +≤≤− μ

Agora não falamos mais em probabilidade. É errado dizer que a probabilidade de a média populacional estar no intervalo acima é de 96,06%. Isto porque, acima, não temos mais nenhuma variável. 4,2 é um número, 0,49 é outro número, μ é um número (desconhecido, mas é constante, fixo).

Quando substituímos a variável X pelo seu valor específico obtido para a amostra feita, falamos em confiança. Dizemos que, com 96,06% de confiança, a média populacional está contida no intervalo entre 4,2 – 0,49 e 4,2 + 0,49

Gabarito: A

Vocês podem guardar que o intervalo de confiança será sempre da forma

XXZXZX σμσ 00 +≤≤−

E, para memorizar, é só pensar assim.

Nós obtemos a média da amostra (no caso 4,2). Nós queremos achar um intervalo que contenha a média da população. É razoável supor que a média da população seja próxima de 4,2.

Então, para achar esse intervalo, nós andamos um pouco para esquerda e um pouco para a direita, ao longo da reta real. Ou seja, a média populacional deve estar no seguinte intervalo:

?2,4 ±

Nós partimos de 4,2 (média amostral). A partir deste número, nós vamos andar um pouquinho para esquerda (vamos subtrair alguma coisa) e um pouquinho para direita (vamos somar alguma coisa). E que coisa é essa?

Nós vamos andar um certo número de desvios-padrão para um lado e para o outro.

?2,4 ×±X

σ




?24,02,4 ×±

E quantos desvios-padrão nós vamos andar?

O exercício é que vai dizer o quanto vamos andar para um lado e para o outro. Isto será dito pelo nível de confiança. Nós vamos andar Z0 desvios-padrão.

06,224,02,4 ×±

O intervalo de confiança nos permite determinar uma faixa de valores em que se pode estar a média populacional. É uma estimativa “por intervalo”, pois não atribui à média populacional um valor único, sim um intervalo real.

→

RESUMO: cálculo do intervalo de confiança para a média da população.

1° Passo: Achar o valor de Z0 associado ao nível de confiança dado no exercício.

2° Passo: Encontrar o valor específico de X para a amostra feita.

3° Passo: Encontrar o desvio padrão de X . Utilizar a fórmula: nX

σσ =

4° Passo: Determinar o intervalo de confiança: XX

ZXZX σμσ ×+≤≤×− 00


Construa um intervalo de 95% de confiança para a média de uma população normal a partir dos dados de uma amostra aleatória simples de tamanho 64 desta população, que forneceu uma média de 48 e um desvio-padrão amostral de 16, considerando que F(1,96) = 0,975, onde F(z) é a função de distribuição de uma variável aleatória normal padrão Z.

a) 44,08 a 51,92.

b) 41,78 a 54,22.

c) 38,2 a 57,8.

d) 35,67 a 60,43.

e) 32,15 a 63,85.

Resolução:

Repare que não conhecemos a variância da população. Sempre que isso acontece, nós devemos adotar os seguintes procedimentos:

- utilizamos a variância da amostra no lugar da variância da população

- consultamos a tabela da distribuição T, em vez da tabela da distribuição normal.

Nós falaremos um pouco mais sobre isso no próximo tópico que vamos estudar.

Dito isso, concluímos que o certo seria utilizar a distribuição T. Contudo, o exercício não forneceu a tabela da distribuição T. Forneceu apenas alguns valores da função distribuição de probabilidade da variável normal reduzida (= variável normal padrão).




Não temos saída, teremos que utilizar os valores da variável reduzida. O mais exato seria resolver o exercício considerando a distribuição T. Mas não vamos “brigar” com o enunciado. Se o enunciado só deu informações sobre a variável normal, vamos usar a variável normal.

Vamos considerar que essa amostra já é razoavelmente grande, de forma que a diferença entre usar a distribuição normal no lugar da distribuição T não é tão grande.

Primeiro passo: determinando o valor de Z0 associado a 95% de confiança.

Vimos que a função distribuição de probabilidade (FDP) também serve para cálculos de probabilidade.

Se F(1,96) = 0,975, isto significa que a probabilidade de Z assumir valores menores ou iguais a 1,96 é de 97,5%.

Ou seja, a área verde da figura abaixo é de 97,5%.

Sabemos que a área inteira da figura acima é igual a 1 (a probabilidade de Z assumir um valor qualquer é de 100%).

Portanto, a área amarela é de 2,5%. Como o gráfico é simétrico, a área à esquerda de -1,96 também é de 2,5%. Deste modo, a área verde da figura abaixo é de 95%.




Os valores -1,96 e 1,96 delimitam o intervalo de confiança de 95% para a variável reduzida Z. Ou seja, o valor de Z0 associado a 95% é 1,96.

96,10 =Z

Segundo passo: determinar o valor de X específico para a amostra feita.

48=X


A amostra tem tamanho 64 (n = 64).

O desvio padrão de X é dado pela fórmula:

nX

σσ =

Não conhecemos o desvio padrão da população. Estamos considerando que a amostra é muito grande a tal ponto que a sua variância seja um excelente estimador da população. Vamos considerar que a variância amostral é igual à variância da população. Portanto, o desvio padrão da população também é igual ao desvio padrão da amostra (=16).

16=σ

264

16==

Xσ

Quarto: determinar o intervalo de confiança.

O intervalo de confiança é da forma: XX

ZXZX σμσ ×+≤≤×− 00

Substituindo os valores:


296,148296,148 ×+≤≤×− μ

92,34892,348 +≤≤− μ

92,5108,44 ≤≤ μ




Gabarito: A.

EC 17 BACEN/2006 [FCC].

Os preços de um determinado produto vendido no mercado têm uma distribuição normal com desvio padrão populacional de R$ 20,00. Por meio de uma pesquisa realizada com uma amostra aleatória de tamanho 100, com um determinado nível de confiança, apurou-se, para a média destes preços, um intervalo de confiança sendo [R$ 61,08; R$ 68,92]. A mesma média amostral foi obtida quadruplicando o tamanho da amostra e utilizando também o mesmo nível de confiança. Nos dois casos considerou-se infinito o tamanho da população. O novo intervalo de confiança encontrado no segundo caso foi:

a) [R$ 63,04; R$ 66,96]

b) [R$ 62,06; R$ 67,94]

c) [R$ 61,57; R$ 68,43]

d) [R$ 61,33; R$ 68,67]

e) [R$ 61,20; R$ 68,80]

Resolução.

O intervalo de confiança é da seguinte forma:


Para calcular a amplitude deste intervalo, fazemos assim. Tomamos o limite superior. Tomamos o limite inferior. Em seguida subtraímos um do outro.

−+= )( 0 XZXA σ

XXZZX σσ ××=− 00 2)(

Substituindo o valor de X

σ :

An

Z σ××= 02

→

Amplitude do intervalo de confiança:

XZ σ×× 02

nZ σ

××= 02

Na primeira pesquisa, o intervalo de confiança foi [R$ 61,08; R$ 68,92].

A média amostral )(X corresponde ao ponto médio do intervalo de confiança.

Portanto, nesta primeira amostragem, a média amostral obtida foi:

652

08,6192,68=

+=X

A amplitude do intervalo é dada por:

=− 08,6192,68 7,84

Na segunda pesquisa, a mesma média amostral foi obtida.




Já a amostra teve seu tamanho quadruplicado. O novo tamanho da amostra fica: nn 4'=

Com isso, a nova amplitude do intervalo de confiança fica:

A’244

2'

2 00AA

nZ

nZ ==×=××=

σσ

Quando quadruplicamos o tamanho da amostra, a amplitude do intervalo fica reduzida pela metade. A nova amplitude é dada por:

==284,7'A 3,92

Com isso, o novo intervalo é centrado em 65, com amplitude de 3,92.

Isto nos permite achar os limites do novo intervalo de confiança:

=+292,365 66,96

=−292,365 63,04

Logo:

96,6604,63 ≤≤ μ

Gabarito: A.

3. Intervalo de confiança para a média quando a variância da população não é conhecida

A maior parte dos exercícios de concursos sobre intervalo de confiança não são resolvidos por meio da distribuição normal. Eles envolvem o conhecimento da distribuição T de Student. A grande vantagem é que a forma de se resolverem os exercícios de intervalo de confiança por meio da distribuição T é exatamente a mesma daquela vista acima, para a distribuição normal. A única coisa que muda é a tabela em que fazemos a consulta. No final da aula há duas tabelas. A única coisa que vai mudar é que vamos consultar a tabela II, em vez da tabela I.

Sabemos que X pode ser visto como uma variável aleatória normal (ou aproximadamente normal). Portanto, para X podemos utilizar a tabela de áreas da variável normal.

Para utilizar esta tabela, precisamos encontrar a variável normal reduzida Z:

X

XZσ

μ−= .

Onde X

σ é o desvio padrão da variável X . Sua fórmula é: nX

σσ = .

Entretanto, se não soubermos a variância da população ( 2σ ), não temos como calcular X

σ .

Nestes casos, utilizamos a variância da amostra no lugar da variância da população. Em problemas assim, na verdade, nós estamos estimando duas grandezas ao mesmo tempo. Estamos estimando a média e a variância da população.




Como não temos certeza nem sobre o valor da média nem sobre o valor da variância da população, nosso intervalo de confiança tem que ser maior que aquele que seria obtido caso conhecêssemos o valor de 2σ , para mantermos o mesmo nível de confiança. É exatamente esta a idéia da distribuição T.

Para ilustrar, seguem alguns gráficos gerados com o excel.

As curvas em azul e vermelho indicam as distribuições T com 2 e 4 graus de liberdade. Por hora, apenas fiquem com a informação de que o número de graus de liberdade tem relação com o tamanho da amostra. Quanto maior o tamanho da amostra, maior o número de graus de liberdade.

Quando a amostra é pequena (como é o exemplo da curva azul, com 2 graus de liberdade), o gráfico é diferente da curva normal (em verde).

À medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição T se aproxima da normal. Notem que a curva em vermelho já está mais próxima da curva verde. Isto é até intuitivo. Se a amostra for muito muito grande, então conhecer a variância da amostra é praticamente o mesmo que conhecer a variância da população. É como se estivéssemos caindo novamente num problema em que a variância populacional é conhecida.

Portanto, se no problema não soubermos a variância da população, as únicas coisas que mudam são:

· Utilizamos a variância da amostra no lugar da variância da população.

· Em vez de consultar a tabela de áreas da variável reduzida normal, consultamos a tabela da distribuição T

Ao final desta aula consta uma tabela para a distribuição T (TABELA II). O seu gráfico de fdp é muito parecido com o da distribuição normal. Ele continua sendo simétrico, em um formato que lembra o de um sino.

Agora dá para gente ver o exercício de Fiscal de Rendas do Mato Grosso do Sul sem a adaptação que tínhamos feito.

Seu enunciado original era:




EC 18 SEFAZ MS 2006 [FGV]

Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a média desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,2, e a variância amostral foi 1,44.

O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é:

(A) 4,2 ± 0,49

(B) 4,2 ± 0,64

(C) 4,2 ± 0,71

(D) 4,2 ± 0,75

(E) 4,2 ± 0,81

Resolução.

Primeiro passo: determinando 0t associado a 95% de confiança. Note que agora não é mais o valor de Z0. Z0 era quando consultávamos a tabela de áreas para a variável normal reduzida.

Só que, neste exercício, por não conhecermos o valor da variância da população, precisaremos utilizar a variância da amostra. Nestes casos, consultamos a tabela da distribuição T (TABELA II em anexo).

Para encontramos 0t associado a 95% de confiança, precisamos de uma tabela para a distribuição T. Ao final desta aula consta uma tabela, gerada com a função INVT do excel (TABELA II).

Esta tabela é um pouco diferente da tabela para a variável normal. Para consultá-la, precisamos de saber:

· O nível de confiança desejado.

· O número de graus de liberdade

O nível de confiança desejado foi informado no enunciado: 95%.

O número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1.

1__ −= nliberdadedegraus

Neste caso, o número de graus de liberdade é 24.

Consultamos o valor de 0t que delimita 95% dos valores de t, para 24 graus de liberdade. O valor é:

064,20 =t


2,4=X (fornecido no enunciado)






nXV

2

)( σ=

Só que não sabemos a variância da população ( 2σ ). Portanto, não temos como calcular a variância de X . Neste caso, vamos substituir a variância da população ( 2σ ) pela variância da amostra fornecida no exercício. Isto porque vimos nesta aula que a variância da amostra é um estimador da variância da população.

Estimador da variância da população:

44,12 =Xs

E o estimador da variância de X fica:

2544,144,12 ==

ns

X

Agora podemos calcular a estimativa do desvio padrão de X :

24,052,1

2544,1

===X

s


Para tanto, sabemos que em 95% dos casos o valor de t estará entre -2,064 e 2,064.

064,2064,2 ≤≤− t

Mas quem é t? A variável t é quem está substituindo a variável Z.

Para obter a variável t, o procedimento é análogo ao procedimento para a variável Z.

Xs

Xt μ−=

A única diferença é que não sabemos o desvio padrão de X . Por isto utilizamos a sua estimativa (

Xs ).

Ok, continuando o problema. Sabemos que em 95% dos casos o valor de t estará entre -2,064 e 2,064.

064,2064,2 ≤≤− t

064,2064,2 ≤−

≤−X

sX μ




06,224,0

2,406,2 ≤−

≤−μ

24,0064,22,424,0064,2 ×≤−≤×− μ

24,006,22,42,424,006,2 ×+−≤−≤−×− μ

24,0064,22,424,0064,22,4 ×+≤≤×− μ

49,02,449,02,4 +≤≤− μ

Gabarito: A

Outra forma de fazer é lembrar que o intervalo de confiança da média é da forma:

XXstXstX 00 +≤≤− μ

Substituindo os valores, chegamos a:

49,02,449,02,4 +≤≤− μ .


Para responder à questão seguinte, considere as tabelas a seguir. Elas fornecem alguns valores da função de distribuição F(x). A tabela 1 refere-se à variável normal padrão, as tabelas 2 e 3 referem-se à variável t de Student com 10 e 15 graus de liberdade, respectivamente.

Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3 x F(x) x F(x) x F(x)

1,20 0,885 1,37 0,90 1,75 0,95 1,60 0,945 1,81 0,95 2,25 0,98 1,64 0,950 2,36 0,98 2,60 0,99

O peso de crianças recém-nascidas do sexo feminino numa comunidade tem distribuição normal com média μ e desvio padrão desconhecido. Uma amostra de 16 recém-nascidos indicou um peso médio de 3,0 kg e desvio padrão amostral igual a 0,8 kg. Um intervalo de confiança para μ , com coeficiente de confiança de 96% é dado por:

a) 37,00,3 ±

b) 41,00,3 ±

c) 45,00,3 ±

d) 68,00,3 ±

e) 73,00,3 ±

Resolução.

Primeiro passo: obter t0 associado a 96% de confiança.

Como a amostra tem tamanho 16, o número de graus de liberdade é igual a 15. Consultaremos a tabela 3 dada no enunciado.

A probabilidade de t ser menor ou igual a 2,25 é de 0,98 (área verde da figura abaixo). Portanto, a probabilidade de t ser maior que 2,25 é de 2% (área vermelha abaixo).




Como o gráfico da fdp é simétrico, a probabilidade de t ser menor que -2,25 também é de 2%.

Cada uma das áreas vermelhas abaixo vale 2%.

Sabemos que a área total é igual a 1. Concluímos que a área verde abaixo é de 96%.




Assim, a probabilidade de t estar entre -2,25 e 2,25 é de 96% (=100% - 2% - 2%).

Concluímos que o valor de t0 que está associado a 96% é 2,25.

Segundo passo: obter o valor específico de X para a amostra feita

3=X (fornecido no enunciado)

Terceiro passo: obter o desvio padrão de X

2,0168,0

===nss

X


O intervalo de confiança é da forma:

XXstXstX ×+≤≤×− 00 μ

2,025,232,025,23 ×+≤≤×− μ

45,0345,03 +≤≤− μ

Gabarito: C

EC 20 MPE PE/2006 [FCC]

Para resolver a questão abaixo, considere as tabelas a seguir. Elas fornecem alguns valores da distribuição F(x). A tabela 1 refere-se à variável normal padrão, as tabelas 2 e 3 referem-se à variável t de Student com 15 e 16 graus de liberdade, respectivamente:




Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3 X F(x) X F(x) x F(x)

1,60 0,945 1,753 0,95 1,746 0,95 1,64 0,950 2,248 0,98 2,235 0,98 2,00 0,977 2,583 0,99 2,567 0,99

Supondo-se que a porcentagem da receita investida em educação, dos 600 municípios de uma região, tem distribuição normal com média μ , deseja-se estimar essa média. Para tanto se sorteou dentre esses 600, aleatoriamente e com reposição, 16 municípios e se observou os percentuais investidos por eles em educação. Os resultados indicaram uma média amostral de 8% e desvio padrão amostral igual a 2%. Um intervalo de confiança para μ , com coeficiente de confiança de 96%, é dado por:

a) )%124,18( ±

b) )%117,18( ±

c) )%877,08( ±

d) )%870,08( ±

e) )%755,08( ±

Resolução.

Temos um exercício de intervalo de confiança em que não se sabe a variância da população. Devemos consultar a tabela para a variável t. Como a amostra tem tamanho 16, o número de graus de liberdade é igual a 15. A tabela a ser utilizada é a tabela 2 do enunciado.

Vamos para os passos de sempre.

Primeiro passo: determinar o valor de t0 associado a 96% de confiança.

Da tabela 2, sabemos que a probabilidade de t assumir valores menores que 2,248 é de 98%. Logo, a probabilidade de t assumir valores maiores que 2,248 é de 2%.

Como o gráfico da fdp da distribuição t é simétrico, a probabilidade de t assumir valores menores que -2,248 também é de 2%.

Como conseqüência, a probabilidade de t estar entre -2,248 e 2,248 é de 96% (=100% - 2% - 2%).

Os valores de t que delimitam 96% dos valores são -2,248 e 2,248.

248,20 =t

Segundo passo: determinando o valor específico de X .

%8=X (dado no enunciado)


16=n (fornecido no enunciado)




4

16

222

σσ

σσσ

=

==

X

X n

Como não sabemos o desvio padrão populacional, substituímos pela sua estimativa. Desse modo, a estimativa do desvio padrão de X é:

4ss

X=

5,042

==X

s

Quarto passo: encontrando o intervalo de confiança.



5,0248,25,0248,28 ×+≤≤×− Xμ

124,1124,18 +≤≤− Xμ

Gabarito: A.


Para responder à questão seguinte considere, dentre os dados abaixo, aqueles que julgar apropriados. Se Z tem distribuição normal padrão, então:

023,0)2( =>ZP ; 445,0)6,10( =<< ZP ; 84,0)1( =<ZP ; 49,0)33,20( =<< ZP

Se t tem distribuição de Student com 24 graus de liberdade, então:

975,0)06,2( =<tP ; 99,0)49,2( =<tP ; 95,0)71,1( =<tP

O índice de massa corpórea é calculado dividindo o peso da pessoa pelo quadrado de sua altura. Para a população de homens de meia idade que mais tarde desenvolvem a doença de diabetes, a distribuição dos índices básicos de massa corpórea é aproximadamente normal com média μ e desvio padrão σ desconhecidos. Para uma amostra de 25 homens selecionados desse grupo, observou-se um índice médio de 2,25=X kg/m2 com desvio padrão 5,2=s kg/m2. Um intervalo de confiança de 95% para a média μ da população é dado por:

a) 15,22,25 ±

b) 56,12,25 ±

c) 03,12,25 ±

d) 86,02,25 ±

e) 68,02,25 ±




Resolução.

Não conhecemos a variância da população. Vamos usar, portanto, os valores da distribuição T. Como a amostra tem tamanho 25, temos 24 graus de liberdade.

Primeiro passo: obter o valor de t0 associado a 95% de confiança.

Sabemos que:

975,0)06,2( =<tP

Portanto:

025,0975,01)06,2( =−=>tP

O gráfico da fdp da distribuição t é simétrico. Logo:

025,0)06,2( =−<tP

Assim:

)06,2()06,2(1)06,206,2( >−−<−=≤≤− tPtPtP

95,0025,0025,01)06,206,2( =−−=≤≤− tP

Os valores -2,06 e 2,06 delimitam 95% dos valores de t.

06,20 =t

Segundo passo: obter o valor específico de X .

2,25=X (fornecido no enunciado).

Terceiro passo: obter o desvio padrão de X .

Como não temos a variância da população, na verdade vamos obter a estimativa do desvio padrão de X :

5,0255,2

===nss

X

Quarto passo: obter o intervalo de confiança.



5,006,22,255,006,22,25 ×+≤≤×− μ

03,12,2503,12,25 +≤≤− μ

Gabarito: C.




EC 22 IPEA/2004 [ESAF]

Deseja-se estimar o gasto médio efetuado por grupos de 4 pessoas, num restaurante, por meio de um intervalo de confiança com coeficiente de 95%. Uma amostra de 16 grupos produziu os valores R$ 150,00 e R$ 20,00 para a média e o desvio padrão amostrais, respectivamente. Assinale a opção que corresponde ao intervalo procurado. Use a hipótese de normalidade da distribuição dos gastos e a tabela abaixo da função de distribuição de Student (Tr) para a escolha do quantil apropriado aos cálculos.

γ

r 0,900 0,950 0,975 0,990

14 1,345 1,761 2,145 2,625 15 1,341 1,753 2,131 2,603 16 1,337 1,746 2,120 2,584 17 1,333 1,740 2,110 2,567

a) [139,34; 160,66]

b) [139,40; 160,60]

c) [141,23; 158,77]

d) [141,19; 158,81]

e) [140,00; 160,00]

Resolução.

O índice ‘r’, na simbologia usada no enunciado, indica o número de graus de liberdade. Creio que isso poderia ser dito expressamente para evitar quaisquer dúvidas.

Não conhecemos a variância da população. Vamos usar, portanto, os valores da distribuição t. Como a amostra tem tamanho 16, temos 15 graus de liberdade. Devemos consultar, portanto, a linha em que r = 15.

Primeiro passo: obter o valor de t0 associado a 95% de confiança.

Da tabela, temos que a probabilidade de t ser menor ou igual a 2,131 é de 0,975.

A área verde da figura abaixo é de 0,975.




Como a área total é igual a 1, então a área vermelha é de 0,025. Concluímos que a probabilidade de t ser maior que 2,131 é de 2,5%.

Como o gráfico da fdp é simétrico, a probabilidade de t ser menor que -2,131 também é de 2,5%. Assim, cada uma das duas áreas vermelhas da figura abaixo é igual a 0,025.

Como a área total é igual a 1, a área amarela é de 0,95.

Portanto, a probabilidade de t assumir valores entre -2,131 e 2,131 é de 95% (=100% - 2,5% - 2,5%)

Desta forma, os valores que delimitam o intervalo centrado em zero que contém 95% dos valores, são -2,131 e 2,131.

131,20 =t

Segundo passo: obter o valor específico de X .

150=X (fornecido no enunciado).

Terceiro passo: obter o desvio padrão de X .




Como não temos a variância da população, na verdade vamos obter a estimativa do desvio padrão de X :

51620

===nss

X

Quarto passo: obter o intervalo de confiança.



5131,21505131,2150 ×+≤≤×− μ

655,10150655,10150 +≤≤− μ

655,160345,139 ≤≤ μ

O intervalo mais próximo é o fornecido na letra A.

Gabarito: A.

EC 23 Senado 2008 [FGV]

Uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., X16, de tamanho 16, de uma distribuição normal foi observada e indicou as seguintes estatísticas:

4,7016

1=∑

=iiX e ∑

−

=−16

1

2 60)(i

i XX

O intervalo usual de 95% de confiança para a média populacional, com duas casas decimais, é:

(A) (3,58 , 5,22).

(B) (3,47 , 5,33).

(C) (3,33 , 5,47).

(D) (3,19 , 5,61).

(E) (3,01 , 5,81).

Resolução:

Como não foi dada a variância da população, precisamos usar a distribuição T para determinação do intervalo de confiança.

Primeiro passo: determinando t0 associado a 95% de confiança.

O número de graus de liberdade é:

graus de liberdade: 151161 =−=−n

Consultando a tabela para um nível de 95% e 15 graus de liberdade, temos:

131,20 =t





===∑

=

164,70

16

16

1iXi

X 4,4



nXV

2

)( σ=

Só que não sabemos a variância da população ( 2σ ). Portanto, não temos como calcular a variância de X . Neste caso, vamos substituir a variância da população ( 2σ ) pela variância da amostra fornecida no exercício. Isto porque vimos nesta aula que a variância da amostra é um estimador da variância da população.

Estimador da variância da população:

41560

116

)(16

1

2

2 ==−

−=

∑=i

X

XXis

E o estimador da variância de X fica:

1642

2 ==n

ss XX

Agora podemos calcular a estimativa do desvio padrão de X :

5,042

164

===X

s


O intervalo de confiança da média é da forma:

XXstXstX 00 +≤≤− μ

5,0131,24,45,0131,24,4 ×+≤≤×− μ

47,533,3 ≤≤ μ

Gabarito: C

III. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÕES

1. p̂ como uma variável aleatória

Seja p a proporção de casos favoráveis em uma população e p̂ a proporção de casos favoráveis em uma amostra. Vimos que p̂ é um estimador para p .




Para ficar mais claro, vamos analisar novamente o exemplo do dado que é lançado três vezes. Consideramos caso favorável quando sai um múltiplo de 3.

Na população (formada por todos os possíveis resultados do lançamento do dado), a proporção de casos favoráveis é igual a 1/3. Por esse motivo, a probabilidade de sucesso em um único lançamento é igual a 1/3. Assim, a proporção de casos favoráveis na população é igual à probabilidade de sucesso em um lançamento.

Ficamos com:

3/1=p (proporção de casos favoráveis na população = probabilidade de sucesso em um lançamento)

3/2=q (proporção de casos desfavoráveis na população = probabilidade de fracasso em um lançamento).

Lançamos o dado três vezes. Obtemos os seguintes resultados: 1, 3, 6.

Na amostra de tamanho 3, a proporção de casos favoráveis foi de 2/3.

3/2ˆ =p

Usamos a proporção amostral para estimar a proporção da população. Caso não soubéssemos que o dado tem 1/3 de faces com múltiplos de 3, a partir do resultado obtido na amostragem acima, estimaríamos esta proporção em 2/3.

Quando temos uma única amostra, p̂ é um valor, um número, fixo, constante.

Mas podemos pensar em p̂ de forma diferente. Podemos pensar em inúmeras amostras possíveis. Se lançássemos o dado três vezes novamente, obtendo outra amostra, p̂ poderia assumir outros valores. Quando consideramos as inúmeras amostras possíveis, p̂ é uma variável aleatória.

Neste exemplo do dado, as amostras de tamanho 3 possíveis seriam: 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 11 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 21 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 31 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 5 1 4 6 1 41 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 51 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 61 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 11 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 21 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 31 2 4 2 2 4 3 2 4 4 2 4 5 2 4 6 2 41 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 51 2 6 2 2 6 3 2 6 4 2 6 5 2 6 6 2 61 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 5 3 1 6 3 11 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6 3 21 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 31 3 4 2 3 4 3 3 4 4 3 4 5 3 4 6 3 41 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 51 3 6 2 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6 3 6

1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1 5 4 1 6 4 11 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 5 4 2 6 4 21 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 5 4 3 6 4 31 4 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 5 4 4 6 4 41 4 5 2 4 5 3 4 5 4 4 5 5 4 5 6 4 51 4 6 2 4 6 3 4 6 4 4 6 5 4 6 6 4 61 5 1 2 5 1 3 5 1 4 5 1 5 5 1 6 5 11 5 2 2 5 2 3 5 2 4 5 2 5 5 2 6 5 21 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 6 5 31 5 4 2 5 4 3 5 4 4 5 4 5 5 4 6 5 41 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 5 5 5 6 5 51 5 6 2 5 6 3 5 6 4 5 6 5 5 6 6 5 61 6 1 2 6 1 3 6 1 4 6 1 5 6 1 6 6 11 6 2 2 6 2 3 6 2 4 6 2 5 6 2 6 6 21 6 3 2 6 3 3 6 3 4 6 3 5 6 3 6 6 31 6 4 2 6 4 3 6 4 4 6 4 5 6 4 6 6 41 6 5 2 6 5 3 6 5 4 6 5 5 6 5 6 6 51 6 6 2 6 6 3 6 6 4 6 6 5 6 6 6 6 6

Todas essas amostras são equiprováveis. Podemos montar o seguinte quadro:




p̂ Probabilidade 0 64/216

1/3 96/216 2/2 48/216 3/3 8/216

A esperança de p̂ fica:

3/12168

33

21648

32

21696

31

216640)ˆ( ˆ =×+×+×+×== ppE μ

A esperança da proporção amostral é igual à esperança da proporção da população.

A variância de p̂ fica:

272

2168

311

21648

31

32

21696

31

31

21664

310

22222

ˆ =×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=pσ

Sabendo que a proporção amostral pode ser vista como uma variável, é importante ver um meio mais rápido para calcular sua média e sua variância.

Nesse exemplo do lançamento do dado, seja X o número de casos favoráveis em ‘n’ lançamentos. Vimos na aula passada que X é uma variável binomial com média e variância dadas por:

npX =μ

npqX =2σ

Onde ‘n’ é o número de experimentos, p é a probabilidade de sucesso e q é a probabilidade de fracasso. Nesse exemplo, n = 3; p = 1/3; q = 2/3.

Ficamos com:

1== npXμ

3/22 == npqXσ

X tem média 1 e variância 2/3. Isso significa que, em três lançamentos, esperamos 1 caso favorável (e dois desfavoráveis). Ou seja, se fosse possível fazer infinitos conjuntos de três lançamentos do dado, o número médio de casos favoráveis seria igual a 1.

Seja ‘ p̂ ’ a proporção de casos favoráveis verificada numa dada amostra de tamanho ‘n’. A variável ‘ p̂ ’ pode ser obtida a partir de X.

nXp =ˆ

Para ficar mais claro, suponhamos um conjunto de lançamentos em particular. Lançamos o dado três vezes, obtendo: 1, 3, 6.

Nessa situação, o número de casos favoráveis é igual a 2 (X = 2). E a proporção de casos favoráveis fica:

nXp =ˆ




32ˆ =p

Em dois terços dos casos, tivemos sucesso.

Fácil, né? Para achar a proporção de casos favoráveis na amostra, basta pegar a variável X e dividir por ‘n’.

Sabemos como calcular a média e a variância da variável binomial. Sabemos que a variável

‘ p̂ ’, que indica a proporção de casos favoráveis na amostra, pode ser obtida por: nXp =ˆ .

Para obtermos ‘ p̂ ’, dividimos a variável ‘X’ por uma constante ‘n’.

Quando dividimos uma variável por uma constante, a média também fica dividida por essa constante. A média de p̂ é:

pn

npn

Xp ===

μμ ˆ

Concluímos que a esperança de p̂ é justamente a probabilidade de sucesso em um experimento.

Quando lançamos o dado três vezes (obtendo uma única amostra de tamanho 3), teremos um determinado valor para a proporção amostral ( p̂ ). Esse valor pode ser igual a 1/3 ou não. No exemplo acima (com resultados 1, 3 e 6), inclusive, foi diferente.

Mas, se fosse possível repetir infinitas vezes o conjunto de três lançamentos, obtendo para cada amostra um valor de p̂ , teríamos que a média de p̂ seria igual a 1/3.

Vejamos agora a variância de p̂ . Quando dividimos uma variável por uma constante, a variância sofre a variação ao quadrado.

npq

nnpq

nnXp X

p ===⇒= 22

22

ˆˆ σσ

E seu desvio padrão fica:

npq

p =ˆσ

Então o que importa para gente é saber isso. Se p̂ for a variável que indica a proporção de casos favoráveis na amostra, então p̂ tem média e desvio padrão dados por:

pp =ˆμ

npq

p =ˆσ




→

PROPORÇÃO DE CASOS FAVORÁVEIS NA AMOSTRA ( p̂ )

Pode ser vista como uma variável com média e desvio padrão dados por:

pp =ˆμ

npq

p =ˆσ

Onde ‘p’ é a proporção de casos favoráveis na população e ‘q’ é a proporção de casos desfavoráveis na população.

2. Intervalo de confiança para uma proporção Quando estudamos intervalo de confiança para uma média, queríamos justamente estimar um intervalo para a média de uma população ( μ ).

Agora queremos estimar uma proporção (p). O procedimento será análogo.

Exemplo:

Maria tem um dado. Só que não é um dado normal (com faces 1, 2, 3, 4, 5 e 6). É um dado especial. Nas suas faces vêm outros números, que não sabemos quais são. Além disso, não sabemos quantas faces há nesse dado. Podem ser 5, 7, 9, 20, etc.

Maria desafia João a descobrir a proporção de faces que contém múltiplos de 3. Se esse fosse um dado normal, João saberia que 1/3 das faces são múltiplas de 3.

O procedimento combinado é o seguinte. Maria lança o dado. Depois de lançá-lo, ela diz o resultado a João, que o anota. Depois disso, Maria lança o dado uma segunda vez. Novamente comunica o resultado a João. E isso se repete por mais duas vezes.

Resumindo: Maria lança o dado quatro vezes. A partir desses resultados, João tem que descobrir qual a proporção de faces do dado que contém múltiplos de 3.

Os resultados dos quatro lançamentos foram: 3, 7, 9, 2.

Nesses 4 lançamentos, tivemos dois casos favoráveis. Ou ainda: na amostra, tivemos 50% de casos favoráveis.

Vimos nesta aula que um estimador para a proporção da população é a proporção da amostra. Desse modo, João estima que metade das faces do dado são múltiplas de 3.

João estima a proporção de múltiplos de 3 como sendo:

21ˆ =p

João fez uma estimativa por ponto.

Mas, e se João quisesse estimar uma “faixa” de valores para a proporção? E se João quisesse estabelecer um intervalo de 95% de confiança?? Como ficaria??




Seja X a variável que indica o número de casos favoráveis nesses quatro lançamentos. Sabemos, desde a aula passada, que X é uma variável binomial com média np e desvio padrão npq .

Vimos, também na aula passada, que X é aproximadamente normal para grandes valores de ‘n’.

Eu sei que, nesse exemplo, ‘n’ nem é tão grande (n = 4). Mas vamos supor que já seja razoável dizer que X é aproximadamente normal.

Ok, então X, além de ser binomial, é aproximadamente normal.

Considere a variável abaixo:

X

XXZσ

μ−=

Z tem média zero e desvio padrão unitário. Z é uma variável normal reduzida. Para a variável Z, nós podemos consultar a tabela I. Sabemos que, em 95% dos casos, Z assume valores entre -1,96 e 1,96.

Assim, em 95% das vezes, temos:

96,196,1 ≤≤− Z

Substituindo o valor de Z:

96,196,1 ≤−

≤−X

XXσ

μ

Substituindo o valor da média e do desvio padrão da variável binomial:

96,196,1 ≤−

≤−npq

npX

npqnpXnpq ×≤−≤×− 96,196,1

Dividindo todos os termos por ‘n’:

npqp

nX

npq

×≤−≤×− 96,196,1

Lembrando que, se X é a variável binomial, então:

nXp =ˆ

npqpp

npq

×≤−≤×− 96,1ˆ96,1

Isolando o ‘p’:

npqpp

npqp ×+−≤−≤×−− 96,1ˆ96,1ˆ

Multiplicando todos os termos por -1:




npqpp

npqp ×+≤≤×− 96,1ˆ96,1ˆ

Lembrando que:

npq

p =ˆσ

Ficamos com:

pp ppp ˆˆ 96,1ˆ96,1ˆ σσ ×+≤≤×−

E esse é o intervalo de confiança de 95% para a proporção. Veja como é bem parecido com o intervalo de confiança para a média.

Vimos que o intervalo de confiança para a média da variável X é dado por:


E o intervalo de confiança para uma proporção é da seguinte forma:

pp ZppZp ˆ0ˆ0 ˆˆ σσ ×+≤≤×−

Então pra gente o que importa é isso. Interessa saber qual o intervalo de confiança para a proporção.

→ INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO:


Vamos voltar ao exemplo do João? Vamos terminar de calcular o intervalo de confiança. Vou colocar o passo a passo, pra gravarmos. Na verdade, é mais para “relembrarmos”. Isso porque é o mesmo passo a passo do intervalo de confiança para a média.

Primeiro passo: determinar o valor de Z0 associado ao nível de confiança pedido.

O nível de confiança é de 95%. Consultando a tabela I, temos que Z0 é igual a 1,96. Em 95% dos casos, a variável reduzida Z está entre -1,96 e 1,96.

96,10 =Z

Segundo passo: obter o valor específico de p̂ para a amostra feita.

5,0ˆ =p

Terceiro passo: encontrar o desvio padrão de p̂




No cálculo do intervalo de confiança para a média, a variável era a média amostral ( X ). Usávamos a média amostral para estimar a média populacional. Portanto, calculávamos o desvio padrão de X .

Agora, a variável é a proporção amostral ( p̂ ). Usamos a proporção amostral para estimar a proporção populacional. Vamos calcular o desvio padrão de p̂ .

npq

p =ˆσ

E aqui temos um problema. Para calcularmos o desvio padrão de p̂ , precisamos conhecer a proporção populacional ( p ), que é justamente o valor que pretendemos estimar. Não temos como calcular o desvio padrão de p̂ . Podemos, no máximo, estima-lo, substituindo p por p̂ .

nqps pˆˆ

ˆ =

A amostra feita resultou em: 5,0ˆˆ == qp

Portanto:

25,025,0

45,05,0

ˆ ==×

=ps

Quarto passo: encontrar o intervalo de confiança. Para tanto, sabemos que o intervalo de confiança é da forma:



25,096,15,025,096,15,0 ×+≤≤×− p

49,05,049,05,0 +≤≤− p

99,001,0 ≤≤ p

Com 95% de confiança, a proporção de faces do dado especial tem está entre 1% e 99%.

Aí você fala e diz: mas que intervalo mais inútil! Estamos englobando praticamente todos os valores possíveis para a proporção.

De fato, ficou um intervalo bem grande. Isso ocorre porque a amostra foi pequena. É bom trabalharmos com amostras maiores, para que o intervalo diminua. Além disso, amostras grandes também têm outra vantagem. Quanto maior a amostra, mais a variável binomial X se aproxima da normal; fica mais adequado o uso da tabela I.

EP 5 Calcule o intervalo de 95% de confiança para a proporção de eleitores de um município que votarão no candidato A. Considere que uma pesquisa com 100 eleitores revelou que, destes, 20% votarão no referido candidato.




Resolução.

Primeiro passo: determinar o valor de Z0 correspondente a 95% de confiança. Sabemos que proporções podem ser tratadas a partir de variáveis binomiais, que podem ser aproximadas pela variável normal. Assim, para determinar Z0, no caso de proporções, também utilizamos a tabela de áreas para a variável normal reduzida.

Consultando a TABELA I, vemos que 96,10 =Z .

Segundo passo: determinar os valores específicos de p̂ e q̂

Para a amostra feita, temos:

20,0ˆ =p (proporção da amostra)

80,0ˆ1ˆ =−= pq

Terceiro passo: determinar o desvio padrão de p̂

nqps pˆˆ

ˆ =

04,010

4,0100

80,020,0ˆ ==

×=ps


pp sZppsZp ˆ0ˆ0 ˆˆ ×+≤≤×−

04,096,12,004,096,12,0 ×+≤≤×− p

%84,27%16,12 ≤≤ p

Com 95% de confiança, a proporção populacional de eleitores que votará no candidato A é está entre 12,16% e 27,84%.

Observação: na verdade, quando escolhemos a amostra de 100 eleitores, é usual que a amostra seja sem reposição. Ou seja, entrevistado um eleitor, o mesmo não será novamente escolhido.

Vimos na aula passada que, em uma situação assim, a variável é apenas aproximadamente binomial (ver fls. 28 e 29 da aula 17). Vimos isto lá no tópico sobre proporções. Demos o exemplo de uma cidade com 100.000 habitantes. Estávamos pesquisando a proporção de pessoas favoráveis a uma política urbana. Fizemos dois exemplos. Um com reposição, outro sem reposição. Mostramos que a diferença nas probabilidades envolvidas era pequena. Finalizei dizendo que, atendidas algumas condições, a variável pode ser considerada aproximadamente binomial.

Justamente agora vemos a importância disto. Quando quisermos estabelecer intervalos de confiança para uma proporção, mesmo que a amostragem seja feita sem reposição, podemos considerar que temos uma variável binomial. Sabemos que, atendidas algumas condições, a variável binomial tem distribuição muito próxima da distribuição normal. Portanto, poderemos consultar a tabela de áreas para a variável normal. Foi exatamente o que fizemos no exemplo acima.




EC 24 SEFAZ MS – 2006 [FGV]

Uma amostra aleatória de tamanho 400 revelou que 64% dos torcedores brasileiros acham que conquistaremos o hexacampeonato mundial de futebol. O intervalo de 95% de confiança para a proporção de torcedores na população que acreditam no hexacampeonato é:

(A) 64% ± 3,9%

(B) 64% ± 4,2%

(C) 64% ± 4,7%

(D) 64% ± 5,1%

(E) 64% ± 5,6%

Resolução.

Primeiro passo: determinar o valor de Z0 correspondente a 95% de confiança. Consultando a TABELA I, este valor é de 1,96.

Segundo passo: determinar os valores específicos de p̂ e q̂ .

64,0ˆ =p

36,0ˆ =q


nqps pˆˆ

ˆ =

024,020

6,08,0400

36,064,0ˆ =

×=

×=ps



047,064,0047,064,0 +≤≤− p

Gabarito: C.

→

LEMBRETE DE INTERVALO DE CONFIANÇA:

Se for intervalo de confiança para uma média e conhecermos a variância da população, utilizamos a tabela da variável normal.

Se for intervalo de confiança para uma média e não conhecermos a variância da população, utilizamos a tabela da distribuição T (a menos que o exercício diga para utilizar a tabela da variável normal).

Se for intervalo de confiança para uma proporção, utilizamos a tabela da variável normal.




EC 25 MP RO 2005 [CESGRANRIO]

Uma amostra aleatória de 400 eleitores revelou 64% de preferências pelo candidato X. O intervalo de 95% de confiança para a proporção de eleitores que preferem X é:

(A) 0,64 ± 0,047

(B) 0,64 ± 0,052

(C) 0,64 ± 0,056

(D) 0,64 ± 0,064

(E) 0,64 ± 0,085

Resolução.

Primeiro passo: obtendo o valor de Z0 associado a 95% de confiança.

96,10 =Z

Segundo passo: determinar os valores específicos de p̂ e q̂ .

64,0ˆ =p

36,0ˆ =q


nqps pˆˆ

ˆ =

024,020

6,08,0400

36,064,0ˆ =

×=

×=ps



024,096,164,0024,096,164,0 ×+≤≤×− p

047,064,0047,064,0 +≤≤− p

Gabarito: A

IV. INTERVALO DE CONFIANÇA E TAMANHO DA AMOSTRA São comuns alguns tipos de exercícios em que se pede o tamanho que deve ter a amostra para que se consiga uma determinada amplitude do intervalo de confiança.

Antes de vermos esse tipo de exercício, é bom termos uma noção da relação entre a amplitude do intervalo de confiança e o erro da estimativa.




EP 6 Considere o intervalo de confiança de 90,10% para a média de uma população normal com variância 125, construído a partir da seguinte amostra: 2, 6, 6, 8, 8. Qual o erro máximo cometido na estimativa da média populacional?

Resolução.

Nós já achamos o intervalo de confiança para esse mesmo problema. Foi lá no EP 6 Erro! Fonte de referência não encontrada.(f. 66).

Vimos que a média amostral era:

6=X

E o intervalo de confiança era:

25,1425,2 ≤≤− μ

Com 90,10% de confiança, a média populacional está entre -2,25 e 14,25.

Qual o maior erro que cometemos quando usamos a média amostral para estimar a média populacional? Isso, é claro, considerando um coeficiente de confiança de 90,10%.

A média amostral está bem no meio do intervalo de confiança. Logo, o erro será maior se a média populacional estiver em uma das extremidades do intervalo de confiança. O erro será máximo se a média populacional for igual a -2,25 ou se ela for igual a 14,25.

No primeiro caso, o erro cometido fica:

μ−= Xerro

25,8)25,2(6 =−−=erro

No segundo caso, o erro cometido é:

25,825,146 −=−=erro

Em qualquer um desses dois casos, o módulo do erro é de 8,25. É comum que os exercícios ignorem a palavra módulo e digam apenas “erro”. Desse modo, dizemos que, nos dois casos acima, o erro cometido foi de 8,25.

Então, quando o exercício se referir a erro máximo cometido, ele quer que a gente suponha que a média populacional está justamente na extremidade do intervalo de confiança.

Note que o erro máximo é sempre metade da amplitude do intervalo de confiança. Nesse exemplo, o intervalo de confiança era [-2,25; 14,25]

Sua amplitude é:

50,16)25,2(25,14 =−−=Amplitude

E a metade da amplitude é:

25,8250,16

2==

Amplitude

→ Erro máximo cometido (para um determinado nível de confiança):

Corresponde à metade da amplitude do intervalo de confiança.




No caso do intervalo de confiança para a média, quando a variância da população é conhecida, temos:


A amplitude do intervalo de confiança é:

( ) ( )XXX

ZZXZXAmplitude σσσ 000 2=−−+=

Logo, o erro, que é igual à metade da amplitude, é expresso por:

XZerro σ0max_ =

No caso do intervalo de confiança para a média, quando a variância da população é desconhecida, os cálculos são análogos. Ficamos com:

Xsterro 0max_ =

Por fim, no caso do intervalo de confiança para a proporção, o erro máximo é:

psZerro ˆ0max_ =

→

ERRO MÁXIMO COMETIDO:

Estimação da média, com variância populacional conhecida: X

Zerro σ0max_ =

Estimação da média, com variância populacional desconhecida: X

sterro 0max_ =

Estimação da proporção: psZerro ˆ0max_ =

Sabendo disso, vamos aos exercícios de concurso.

EC 26 Prefeitura de São Paulo 2007 [FCC]

Para responder à questão seguinte, utilize, dentre as informações abaixo, as que julgar adequadas. Se Z tem distribuição normal padrão, então:

341,0)10( =<< ZP

445,0)6,10( =<< ZP

477,0)20( =<< ZP

Uma variável aleatória X tem distribuição normal com média μ e desvio padrão 100. O tamanho da amostra para que a diferença, em valor absoluto, entre a média amostral e μ seja menor do que 2, com coeficiente de confiança de 89% é:

a) 1.000

b) 2.200

c) 2.800

d) 3.600




e) 6.400

Resolução.

No exercício anterior, sabíamos o tamanho da amostra e calculamos o erro máximo cometido. Agora, o exercício fixou o erro máximo a ser cometido e, para que isso ocorra, perguntou que tamanho deve ter a amostra.

O erro máximo cometido é igual a:

XZerro σ0max_ =

Para aplicar a fórmula, temos que encontrar Z0 associado a 89% e o desvio padrão de X .

Sabemos que 445,0)6,10( =<< ZP . Logo, a área verde da figura abaixo é igual a 0,445:

Como o gráfico é simétrico, então a área verde da figura abaixo é igual a 0,89:

Desse modo, a probabilidade de Z estar entre -1,6 e 1,6 é igual a 89%.

6,10 =Z




Vamos ao desvio padrão de X .

nnX

100==

σσ

Encontrados os valores de Z0 e de X

σ , podemos encontrar o erro máximo cometido.

XZerro σ0max_ =

nerro 1006,1max_ ×=

E o exercício disse que o erro máximo é igual a 2.

n1006,12 ×=

Isolando o ‘n’:

6400802

1006,1 =⇒=×= nn

Gabarito: E. Dizemos que, para que o erro máximo cometido seja igual a 2, a amostra deve ter tamanho 6400 (considerando um coeficiente de confiança de 89%).


Uma nova marca de lâmpada está sendo estudada. Baseado em estudos anteriores com outras marcas similares, pode-se admitir que a vida média segue uma distribuição normal com desvio padrão de 8 meses. Tendo como base estes resultados, o tamanho da amostra necessário para que a amplitude do intervalo de 95% de confiança (utilize a aproximação

95,0)21( =≤≤− ZP , onde Z é a normal padrão) para a vida média seja de 4 meses é de:

a) 8

b) 12

c) 16

d) 64

e) 128

Resolução.

Se a amplitude do intervalo de confiança deve ser de 4, então o erro máximo a ser cometido fica:

224max_ ==erro

O erro máximo é de 2 meses.




Lembrando a fórmula do erro máximo:

XZerro σ0max_ =

Precisamos do valor de Z0 e de X

σ .

Z0 foi dado no enunciado:

20 =Z

Sabemos que:

nnX

8==

σσ

Voltando na fórmula do erro máximo:

XZerro σ0max_ =

n822 ×=

Isolando o ‘n’:

648282 =⇒=×= nn

Gabarito: D. Considerando um coeficiente de confiança de 95%, dizemos que a amostra deve ter tamanho 64 para que o erro máximo cometido seja de 2, o que implica em amplitude do intervalo de confiança igual a 4.

EP 7 Deseja-se estimar a proporção de eleitores de um município que votará no candidato A. Para tanto, busca-se que, com um coeficiente de confiança de 95%, o erro máximo cometido seja de 2% (para mais, ou para menos).

a) é possível, com os dados fornecidos, determinar o tamanho da amostra para que o erro máximo seja de 2%? Por quê?

b) supondo variância máxima, qual o tamanho da amostra para que o erro máximo seja de 2%?

c) maximizando o valor de n, qual o tamanho da amostra para que o erro máximo seja de 2%?

d) supondo que a última pesquisa indicou 36% de votos para esse candidato, qual o tamanho da amostra para que o erro máximo seja de 2%

Resolução.

Letra A.

A fórmula do erro máximo é:

psZerro ˆ0max_ =




O erro máximo fixado é igual a 0,02. O nível de confiança é de 95%, o que implica em Z0

igual a 1,96. E sabemos que nqps pˆˆ

ˆ = .

Substituindo todas essas informações:

nqp ˆˆ

96,102,0 ×=

Lembrando que: pq ˆ1ˆ −= .

npp )ˆ1(ˆ

96,102,0 −××=

Temos uma única equação e duas variáveis. Para descobrirmos o valor de ‘n’, precisamos do valor de p̂ . Precisamos do valor da proporção amostral.

Aí ficou difícil. Ainda não fizemos a amostragem. Queremos justamente calcular que tamanho deve ter essa amostra para que o erro seja de, no máximo, 2% (para um coeficiente de confiança de 95%). Depois que soubermos o tamanho da amostra, aí sim fazemos a amostragem. Só então obteremos a proporção amostral.

Resumindo: para descobrir o tamanho de ‘n’, precisamos da proporção amostral. E só faremos a amostragem (obtendo a proporção amostral), depois que soubermos o valor de ‘n’.

Ficamos sem saída. Não dá para resolver o problema com o enunciado fornecido.

O que fazer?

Bom, há duas opções, listadas nas letras B, C e D.

Letras B e C.

Uma forma de resolver o problema listado na letra A é a que segue.

A estimativa da variância de p̂ é dada por:

npp

p)ˆ1(ˆ2

ˆ−×

=σ

pn

pnn

ppp ˆ1ˆ1ˆˆ 2

22

ˆ +−

=−

=σ

Para um dado valor de ‘n’, que valor de ‘ p̂ ’ maximiza a variância acima?

De outra forma: para um valor fixado de ‘n’, qual o valor de ‘ p̂ ’ que torna a variância a maior possível?

Podemos interpretar a equação acima como uma função de segundo grau (o gráfico é uma parábola). Isto é matéria lá do ensino médio. Lá a gente estuda como encontrar o vértice da parábola (que corresponde aos valores de máximo ou mínimo).

Considere uma função de segundo grau do tipo:

cbxaxy ++= 2

O valor de x que maximiza (ou minimiza, dependendo do valor de ‘a’) a função y é:




abx 2/−=

Aplicando este resultado ao nosso caso, temos que o valor de p que maximiza a variância é:

5,0)/1(2

/1ˆ =−×

−=

nnp

O caso em que a variância é a maior possível ocorre quando a proporção populacional é igual a 50%.

Vimos que: fixado n, a variância será máxima se 5,0ˆˆ == qp .

Por outro lado, fixado o valor do erro, n será máximo se 5,0ˆˆ == qp .

Vejam:

psZerro ˆ0max_ =

0max_ Zerro =nqp ˆˆ

×

Logo:

22

0 max)_(ˆˆ

erroqpZn =

22

0 max)_()ˆ1(ˆ

erroppZn −×

=

Para um dado valor de Z0, fixado o erro máximo, temos que n será máximo quando maximizarmos o numerador )ˆ1(ˆ pp −× . Temos uma parábola, em que o vértice ocorre justamente no ponto 0,5.

Ou seja, use 5,0ˆˆ == qp se a questão disser:

- use n máximo;

- use variância máxima

→

No cálculo do tamanho da amostra para estimar uma proporção, supor que 5,0=p sempre que o exercício disser:

- Considere variância máxima

- Considere n máximo

Quando fixamos a proporção em 0,5, para efeitos de determinação do tamanho da amostra, na verdade, estamos trabalhando com a hipótese mais conservadora. Esta é a alternativa que maximiza o valor de ‘n’. Trabalhar com uma amostra maior sempre é algo mais conservador.

Assim, um modo de “fugir” do problema listado na letra “A” é supor que a proporção é igual a 50%. Assim, trabalharemos com um valor de ‘n’ grande.

Agora podemos achar o tamanho da amostra.




psZerro ˆ0max_ =

npp )ˆ1(ˆ

96,102,0 −××=

Supondo que 5,0ˆˆ == qp , temos:

2401495,096,102,0 2 ==⇒×= nn

A amostra precisa ter tamanho 2401 (tanto na letra B quanto na letra C).

Letra D.

Uma outra saída para o problema listado na letra A é fazer uma amostragem preliminar. Pode-se fazer uma amostragem menor, mais rápida, de modo a obter um valor de p̂ . Ou então usar alguma informação anterior disponível. Obtido esse valor preliminar de p̂ , podemos calcular o valor de ‘n’ e, em seguida, fazer a amostragem “pra valer”.

Na letra D, sabemos que a última pesquisa revelou que o candidato tem 36% das intenções de voto.

Vamos usar os dados dessa pesquisa anterior para calcularmos o valor de ‘n’. Vamos supor que p̂ é 36%. Desse modo, temos:

psZerro ˆ0max_ =

n64,036,096,102,0 ×

×=

762,212.28,06,096,102,0 =⇒×

×= nn

Aproximando para o número inteiro seguinte: 213.2=n

A amostra precisa ter tamanho 2.213. Note o tamanho encontrado para a amostra na letra D foi menor que o encontrado nas letras B e C. Isso porque, nas letras B e C, usamos a hipótese em que n é o maior possível. É a hipótese mais conservadora (supor que p = 0,5).



023,0)2( =>ZP ; 445,0)6,10( =<< ZP ; 84,0)1( =<ZP ; 49,0)33,20( =<< ZP

Para estimar a proporção de cura de um medicamento antiparasitário realizou-se um experimento clínico, aplicando-se o medicamento em ‘n’ doentes escolhidos ao acaso. Nesta amostra foi considerado que 80% dos doentes foram curados. Com base nestas informações e utilizando o Teorema Central do Limite, o valor de n, para que o erro cometido na estimação seja no máximo 0,08, com confiança de 89%, é de:

a) 16




b) 25

c) 36

d) 49

e) 64

Resolução.

Podemos interpretar que, na amostra preliminar, a proporção de cura verificada foi de 80%. A partir desse valor, podemos calcular o valor de ‘n’ para uma segunda amostragem, de tal forma que o erro máximo seja de 0,08.


psZerro ˆ0max_ =

Primeiro, vamos encontrar Z0.

Sabemos que 445,0)6,10( =<< ZP . Logo, a área verde da figura abaixo é igual a 0,445:

Como o gráfico é simétrico, então a área verde da figura abaixo é igual a 0,89:




Desse modo, a probabilidade de Z estar entre -1,6 e 1,6 é igual a 89%.

6,10 =Z

Agora vamos achar ps ˆ

nqps pˆˆ

ˆ =

Substituindo os valores da amostra preliminar:

nns p

4,02,08,0ˆ =

×=

Voltando na fórmula do erro máximo:

psZerro ˆ0max_ =

n4,06,108,0 ×=

Isolando n:

64864

=⇒= nn

Gabarito: E.




1,60 0,945 1,753 0,95 1,746 0,95 1,64 0,950 2,248 0,98 2,235 0,98 2,00 0,977 2,583 0,99 2,567 0,99

Um engenheiro encarregado do controle de qualidade deseja estimar a proporção p de lâmpadas defeituosas de um lote, com base numa amostra de tamanho 400. Sabe-se, com base em experiências anteriores, que p deve estar próximo de 0,5. Usando o teorema do limite central para estimar a amplitude do intervalo de confiança de 90% para p, podemos afirmar que a amplitude do intervalo de confiança é, aproximadamente, igual a:

a) 0,041

b) 0,045

c) 0,058

d) 0,070

e) 0,082

Resolução.




O erro máximo cometido é:

psZerro ˆ0max_ =

Vamos achar o valor de Z0 associado a 90% de confiança.

Consultando a tabela 1, temos que 90% dos valores de Z0 estão entre -1,64 e 1,64.

64,10 =Z

Vamos achar o valor de ps ˆ

nqps pˆˆ

ˆ =

025,020

5,0400

5,05,0ˆ ==

×=ps

Voltando na fórmula do erro:

psZerro ˆ0max_ =

041,0025,064,1max_ =×=erro

A amplitude do intervalo de confiança é o dobro do erro máximo.

082,0=Amplitude

Gabarito: E.


Em uma pesquisa de mercado foi estimado que 50% das pessoas entrevistadas preferem a marca X de um produto. Se, com base no resultado dessa pesquisa, quisermos fazer outra para estimar novamente esta preferência, o tamanho de amostra aleatória simples necessário, para que tenhamos um erro amostral de 0,02 com probabilidade de 95%, deverá ser:

a) 1000

b) 1024

c) 2500

d) 1900

e) 2000

Dados: utilize a aproximação 95,0)22( =≤≤− ZP , onde Z é a normal padrão.

Resolução.


psZerro ˆ0max_ =

O valor de Z0 foi dado no enunciado. 20 =Z

O valor de ps ˆ fica:




nnnqps p

5,05,05,0ˆˆˆ =

×==

Substituindo todos esses valores na fórmula do erro, temos:

psZerro ˆ0max_ =

25005,0202,0 =⇒×= nn

Gabarito: C.




1,20 0,885 1,37 0,90 1,75 0,95 1,60 0,945 1,81 0,95 2,25 0,98 1,64 0,950 2,36 0,98 2,60 0,99

Um engenheiro encarregado do controle de qualidade deseja estimar a proporção p de lâmpadas defeituosas de um lote, com base numa amostra de tamanho suficientemente grande. Sabe-se, com base em experiências anteriores, que p deve estar próxima de 0,5. Que tamanho deve ter a amostra se ele deseja que o erro de estimação seja no máximo 0,02, com confiança de 90%.

a) 800

b) 1082

c) 1241

d) 1530

e) 1681

Resolução.

Como se trata de uma proporção usamos a tabela para a distribuição normal.

A fórmula do erro máximo cometido é:

psZerro ˆ0max_ =

Primeiro vamos encontrar o valor de Z0 associado a 90%.

05,0)64,1(95,0)64,1( =>⇒=≤ ZPZP

Como o gráfico da fdp da distribuição normal é simétrico, então:

05,0)64,1( =−<ZP

Como conseqüência: 90,0)64,1164,( =≤≤− ZP




64,10 =Z

nnnqps p

5,05,05,0ˆˆˆ =

×==


psZerro ˆ0max_ =

16815,064,102,0 =⇒×= nn

Gabarito: E.

EC 32 BACEN – 2001 [ESAF]

Um auditor deseja estimar a proporção p de contas incorretamente contabilizadas no processo contábil de uma instituição financeira. Neste contexto decide tomar uma amostra aleatória de tamanho n das contas e estimar p usando a proporção amostral de contas incorretamente contabilizadas. O auditor considera a população de contas infinita e que a proporção amostral tenha distribuição aproximadamente normal com expectância p e variância p(1-p)/n. Supondo variância máxima e que F(2) ≈ 0,975, sendo F(.) a função de distribuição da normal padrão, assinale a opção que dá o valor de n que o auditor deve tomar para estimar p com erro não superior a 5% para mais ou para menos com nível de confiança de 95%.

a) 100

b) 200

c) 400

d) 500

e) 130

Resolução.

psZerro ˆ0max_ =

Primeiro vamos obter o valor de Z0.

Forneceu-se a FDP para Z = 2. Fomos informados que a função distribuição para Z = 2 assume (aproximadamente) o valor 0,975. Na verdade, nós já fizemos tantos exercícios para o nível de confiança de 95% que nós já sabemos que o valor exato seria 1,96. Mas tudo bem, não vamos brigar com o enunciado. Se ele disse para utilizarmos 2 em vez de 1,96, a gente usa o 2.




A área verde da figura acima é de 97,5% (aproximadamente). Portanto, a área amarela é de 2,5%. Como o gráfico é simétrico, a área à esquerda de -2 também é de 2,5%.

A área verde da figura acima é de 95% (aproximadamente). Portanto, o valor de Z0 associado a 95% de confiança é igual a 2. Isto porque o intervalo de -2 a 2 contém 95% dos valores de Z.

20 =Z

Segundo: vamos encontrar o valor de ps ˆ

nqps pˆˆ

ˆ =

Mas o exercício não informou o valor da proporção amostral. Em vez disso, ele disse para considerarmos variância máxima. Conforme visto no EP 7, para que a variância seja máxima, consideramos que a propoção é igual a 0,5

nnnqps p

5,05,05,0ˆˆˆ =

×==





psZerro ˆ0max_ =

4005,0205,0 =⇒×= nn

Gabarito: C.

EC 33 CGU - 2008 [ESAF]

Grande parte de uma população de pessoas possui determinada característica. Deseja-se estimar a proporção de pessoas com esta característica. Qual o valor mais próximo do tamanho de uma amostra aleatória para se obter uma estimativa desta proporção com um erro padrão de 5%.

a) 389

b) 248

c) 156

d) 100

e) 25

Resolução.

Exercício ligeiramente diferente dos anteriores. Em vez de fixar o erro máximo cometido (= diferença entre p̂ e p ), ele fixou o valor de ps ˆ .

nqps pˆˆ

ˆ =

Como não foi dada nenhuma informação sobre a proporção amostral, só nos resta adotar a situação em que ‘n’ é máximo (fazendo a proporção amostral igual a 0,5).

ns p

5,05,0ˆ

×=

1005,05,005,0 =⇒×

= nn

Gabarito: D

EC 34 PETROBRAS 2005 [CESGRANRIO]

Qual é o tamanho mínimo que deve ter uma amostra aleatória simples para estimar, com 95% de confiança e erro máximo de 2 pontos porcentuais, a proporção de eleitores que pretendem votar no candidato X?

(A) 2 500

(B) 2 401

(C) 1 692

(D) 1 200




(E) 912

Resolução.

O erro máximo cometido é:

psZerro ˆ0max_ =

Vamos achar o valor de Z0 associado a 95% de confiança.

Consultando a tabela colocada ao final da aula, que estava disponível nesta prova da Cesgranrio, temos:

95,10 =Z

Vamos achar o valor de ps ˆ

nqps pˆˆ

ˆ =

Utilizando a hipótese mais conservadora, fazemos com que a proporção amostral seja igual a 0,5.

nns p

5,05,05,0ˆ =

×=


psZerro ˆ0max_ =

n5,096,102,0 ×=

=×=02,05,096,1n 49

=n 2401 Gabarito: B

EC 35 CAPES 2008 [CESGRANRIO] - adaptada


Os limites do intervalo de confiança de 95,0% obtido para a média μ dos escores da população são (50,97; 54,89). Conclui-se, assim, que

(A) quanto maior a amplitude do intervalo, menor o nível de confiança da estimação.




(B) a amplitude do intervalo varia proporcionalmente com o tamanho da amostra.

(C) o erro cometido na estimação do intervalo é 0,95.

(D) o intervalo de 99% de confiança terá amplitude maior que 3,92.

(E) o ponto médio do intervalo é a média da população, μ .

Resolução.

Letra A.

Quanto maior o nível de confiança, maior o valor do intervalo.

Se temos um nível de confiança de 30%, isto significa que, se fosse possível fazer inúmeras amostras, nosso intervalo deveria conter a média populacional em 30% das vezes.

Se queremos aumentar o nível de confiança para 90%, de modo que, em 90% das amostras o intervalo correspondente contenha a média populacional, então devemos trabalhar com intervalos maiores.

Pensando num caso exagerado: se quisermos um intervalo de 100% de confiança, teríamos que tomar toda a reta real. Afirmaríamos que, com 100% de confiança, a media populacional está entre ∞− e ∞+ .

Letra B.

Vimos que a amplitude do intervalo de confiança é o dobro do erro máximo cometido.

Amplitude = ×2X

Zerro σ02max_ =

= n

Z σ×02

Observem que n está no denominador. Portanto, quanto maior o tamanho da amostra, menor a amplitude do intervalo de confiança.

Letra C.

A amplitude do intervalo é dada por:

54,89 – 50,97 = 3,92

O erro máximo cometido é metade da amplitude.

96,1max_ =erro

Dizemos que, com 95% de confiança, o erro máximo cometido é de 1,96.

Letra D.

Alternativa correta. Se aumentamos o nível de confiança, a amplitude do intervalo de confiança também aumenta, como já comentamos na alternativa A.

Letra E.




O ponto médio do intervalo de confiança é a média da amostra. A média populacional, esta nós nem temos certeza se pertence ou não ao intervalo de confiança.

Gabarito: D

EC 36 PM MANAUS 2004 [CESGRANRIO]

O tamanho mínimo que deve ter uma amostra aleatória simples para estimar, com 90% de confiança e erro de 2 pontos porcentuais, a proporção de estudantes com problemas de visão e que não usam lentes corretoras, aproximadamente, vale:

(A) 912

(B) 1 200

(C) 1 692

(D) 4 500

(E) 9 898

Resolução.

psZerro ˆ0max_ =

Consultando a tabela de áreas para a variável normal, temos que o valor de 0Z associado a 90% de confiança está entre 1,64 e 1,65. Vamos adotar o ponto médio entre ambos.

645,10 =Z

O desvio padrão da proporção amostral é:

nqps pˆˆ

ˆ =

ns p

5,05,0ˆ

×=

Logo:

n5,05,0645,102,0 ×

×=

n5,0645,102,0 ×=

125,4102,05,0645,1 =×=n

=n 1691,266

Tomando o número inteiro imediatamente superior: 1692=n

Gabarito: C




Texto para EC 37 e EC 38

Recente pesquisa para avaliar o percentual de eleitores favoráveis a um candidato a senador foi realizada de acordo com um plano de amostragem aleatória simples, sendo a amostra extraída de uma população infinita. O resultado apontou uma intenção de votos no candidato na ordem de 45%.

EC 37 TCE RONDONIA 2007 [CESGRANRIO]

Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos, quantos eleitores foram ouvidos, se o nível de confiança utilizado foi de 95%?

(A) 1 247

(B) 1 684

(C) 1 820

(D) 2 377

(E) 2 642

Resolução.

psZerro ˆ0max_ =

Consultando a tabela de áreas para a variável normal, temos que o valor de 0Z associado a 95% de confiança é igual a 1,96.

96,10 =Z

O desvio padrão da proporção amostral é:

nqps pˆˆ

ˆ =

ns p

55,045,0ˆ

×=

Logo:

n55,045,096,102,0 ×

×=

n5545

100196,102,0 ×

×=

55452196,1 ××=n

99,237655459604,0 =××=n

Gabarito: D





Caso uma amostra de 100 eleitores fosse utilizada, o intervalo aproximado de 95% de confiança para a preferência dos eleitores nesse candidato seria:

(A) 45% ± 6%

(B) 45% ± 8%

(C) 45% ± 10%

(D) 45% ± 12%

(E) 45% ± 14%

Resolução.

Primeiro passo: determinando 0Z . O valor associado a 95% de confiança é:

96,10 =Z

Segundo passo: determinando o valor específico de p̂ e q̂ .

45,0ˆ =p ; 55,0ˆ =q

Terceiro passo: encontrando o valor do desvio padrão da proporção amostral:

nqps pˆˆ

ˆ =

10005545

10055,045,0

ˆ×

=×

=ps

10001153

100011559

ˆ××

=×××

=ps

Encontrando a raiz de 11 (o quadrado perfeito mais próximo é 9):

620

9291111 =

+≅

Logo:

05,0620

100053

ˆ =××

≅ps

Quarto passo: determinando o intervalo de confiança:


05,096,145,005,096,145,0 ×+≤≤×− p

098,045,0098,045,0 +≤≤− p

Gabarito: C





Na estimação da média de uma população cujo desvio-padrão é 4, usando uma amostra aleatória de tamanho 120, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a média: 5 ± 2. O tamanho de amostra que deverá ser considerado para que o comprimento do intervalo de 95% seja reduzido à metade é:

(A) 60.

(B) 240.

(C) 300.

(D) 360.

(E) 480.

Resolução:

A amplitude do intervalo de confiança é dada por:

Amplitude: X

Z σ×× 02

Substituindo o valor do desvio padrão da média amostral:

Amplitude: n

Z σ×× 02

O exercício pediu o seguinte. Devemos reduzir a amplitude acima para metade do seu tamanho original.

Se o nível de confiança é mantido, então o valor de Z0 fica inalterado.

O valor de σ é fixo, constante.

Assim, só podemos mexer no tamanho da amostra, que está no denominador.

Para que a amplitude seja dividida por 2, devemos dobrar o valor do denominador.

Vamos chamar o tamanho da nova amostra de 'n , para diferenciar do tamanho anterior.

Logo:

nn ×= 2'

Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado: nn ×= 4'

480'=n

Gabarito: E


Uma pesquisa recente foi realizada para avaliar o percentual da população favorável à eleição de um determinado ponto turístico para constar no selo comemorativo de aniversário da cidade. Para isso, selecionou-se uma amostra aleatória simples extraída de uma população infinita. O resultado apurou 50% de intenção de votos para esse ponto turístico. Considerando




que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos, e que o nível de confiança utilizado foi de 95%, foram ouvidas, aproximadamente:

(A) 50 pessoas.

(B) 100 pessoas.

(C) 1.200 pessoas.

(D) 2.400 pessoas.

(E) 4.800 pessoas.

Resolução:

O erro máximo é dado por:

nqpZerroˆˆ

max_ 0 ×=

Podemos fazer a consulta de Z0 na tabela da distribuição normal colocada ao final da aula. Mas, de tanto aparecer este percentual de 95%, já sabemos que Z0 é igual a 1,96.


n5,05,096,102,0 ×

×=

n5,096,102,0 ×=

=×=02,05,096,1n 49

=n 2401

Foram ouvidas 2401 pessoas. Aproximando, temos 2.400.

Gabarito: D


Um estatístico de uma companhia telefônica deseja estimar a proporção p de clientes satisfeitos com a introdução de um novo tipo de serviço. Suponha que o número de clientes da companhia seja grande. Sabe-se, com base em experiências anteriores, que p deve estar próxima de 0,50. O menor tamanho de amostra que ele deve considerar de modo a garantir com probabilidade de 95% um erro absoluto de estimação de no máximo 0,02 é:

(A) 800.

(B) 1082.

(C) 1530.

(D) 1681.

(E) 2401.




Resolução:

Exercício idêntico ao anterior. O tamanho da amostra será de 2401.

Gabarito: E


Para examinar a opinião de uma população sobre uma proposta, foi montada uma pesquisa de opinião em que foram ouvidas 1680 pessoas, das quais 51,3% se declararam favoráveis à proposta. Os analistas responsáveis determinaram que a margem de erro desse resultado, em um determinado nível de confiança, era de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos. Considerando que fosse desejada uma margem de erro de 1 ponto percentual, para mais ou para menos, no mesmo nível de confiança, assinale a alternativa que indique o número de pessoas que deveriam ser ouvidas.

(A) 840

(B) 2520

(C) 3360

(D) 5040

(E) 6720

Resolução:

Exercício muito semelhante ao EC 39.

A margem de erro é igual à metade da amplitude do intervalo de confiança.

nqpZerroˆˆ

max_ 0 ×=

Novamente, a única coisa que poderemos alterar é o denominador (valor de n ). Temos que dobrar o denominador, para que o erro máximo seja dividido por 2.

Já vimos no EC 39 que, para que isso aconteça, o tamanho da amostra deve ser quadruplicado.

== nn 4' 6720

Gabarito: E

V. CARACTERÍSTICA DOS ESTIMADORES Como já adiantamos, algumas características dos estimadores são:

· Não tendenciosos (ou não viciados)

· De máxima verossimilhança

· De variância mínima

· De mínimos quadrados




1. Estimador não tendencioso

Seja a um estimador para o parâmetro α . Dizemos que a é um estimador não tendencioso se:

α=)(aE

Nós vimos que a média amostral ( X ) é um estimador não-tendencioso para a média populacional.

Para relembrarmos, vamos rever o caso do tetraedro homogêneo, com faces 1, 2, 3 e 4.

Vamos lança-lo 2 vezes, obtendo uma amostra de tamanho 2. O quadro abaixo traz todas as possíveis amostras.

1 e 1 1 e 2 1 e 3 1 e 42 e 1 2 e 2 2 e 3 2 e 43 e 1 3 e 2 3 e 3 3 e 44 e 1 4 e 2 4 e 3 4 e 4

Seriam 16 amostras possíveis, todas elas com a mesma probabilidade de ocorrer. O valor da média amostral em cada uma dessas amostras seria:

Valores da amostra

X

1 e 1 1 1 e 2 1,5 1 e 3 2 1 e 4 2,5 2 e 1 1,5 2 e 2 2 2 e 3 2,5 2 e 4 3 3 e 1 2 3 e 2 2,5 3 e 3 3 3 e 4 3,5 4 e 1 2,5 4 e 2 3 4 e 3 3,5 4 e 4 4

Repare que X pode ser visto como uma variável aleatória que assume diversos valores.

A média de todos os possíveis valores de X fica:

)45,335,25,335,2235,225,15,225,11(161)( +++++++++++++++×=XE

5,2)( =XE

Vamos agora calcular a média da variável aleatória X.

A variável aleatória X assume os valores 1, 2, 3, 4, cada um com probabilidade 1/4.




Portanto:

4413

412

411

41)( ×+×+×+×== μXE

5,2=μ

Concluindo: a esperança da média amostral é igual à esperança da população. Isto significa que, se fosse possível fazer um número muito grande de amostras, a média de todas as médias amostrais seria igual à média da população.

Vamos aproveitar este exemplo do tetraedro e vamos calcular a variância das amostras. Para tanto, vamos fazer dois cálculos: um com o denominador n e outro com o denominador 1−n .

Para diferenciar, quando utilizarmos o denominador n, vamos adotar o símbolo *s . Valores da

amostra

12

)(2

1

2

2

−

−=

∑=i

i xxs

2

)(*

2

1

2

2∑

=

−= i

i xxs

1 e 1 0 0 1 e 2 0,5 0,25 1 e 3 2 1 1 e 4 4,5 2,25 2 e 1 0,5 0,25 2 e 2 0 0 2 e 3 0,5 0,25 2 e 4 2 1 3 e 1 2 1 3 e 2 0,5 0,25 3 e 3 0 0 3 e 4 0,5 0,25 4 e 1 4,5 2,25 4 e 2 2 1 4 e 3 0,5 0,25 4 e 4 0 0 total 20 10

Note que:

25,11620)( 2 ==sE

625,01610)*( 2 ==sE

Vamos agora calcular a variância da variável aleatória X.

5,24

4321)( =+++

=XE

5,74

16941)( 2 =+++

=XE

22 )()()( XEXEXV −=




25,15,25,7)( 2 =−=XV

O parâmetro é igual a 1,25. Os estimadores foram 1,25 (s2 , com o denominador 1−n ) e 0,625 ( 2*s , com o denominador n).

Por isso dizemos que o estimador variância amostral deve ter 1−n no denominador. Isto garante um estimador não-viciado.

2. Estimador de variância mínima.

Vamos continuar com o exemplo do tetraedro com faces 1, 2, 3, 4 e as possíveis amostras de tamanho 2.

Queremos estimar a variância da população. Quem tem acesso a todas as faces do tetraedro, sabe que:

5,24

4321=

+++=μ

Já quem desconhece as faces do tetraedro, poderá apenas estimar a média da população, com base no resultado de uma amostra de tamanho 2.

Durante toda a aula, nós trabalhamos com o estimador X (média aritmética da amostra).

Pois bem, vamos criar um outro estimador para a média populacional. Vou chama-lo de *X , para diferenciar do símbolo anterior.

Esse nosso novo estimador será uma média ponderada dos valores da amostra, em que o primeiro valor da amostra tem peso 2 e o segundo valor da amostra tem peso 1.

Exemplificando: se a amostra for: (2,3), nosso estimador será:

333,23

1322* =×+×

=X

A tabela abaixo traz todas as amostras possíveis, bem como os valores dos estimadores. Valores da

amostra X *X

1 e 1 1 1 1 e 2 1,5 1,333333 1 e 3 2 1,666667 1 e 4 2,5 2 2 e 1 1,5 1,666667 2 e 2 2 2 2 e 3 2,5 2,333333 2 e 4 3 2,666667 3 e 1 2 2,333333 3 e 2 2,5 2,666667 3 e 3 3 3 3 e 4 3,5 3,333333 4 e 1 2,5 3 4 e 2 3 3,333333 4 e 3 3,5 3,666667 4 e 4 4 4




Valores da amostra

X *X

total 40 40

Interessante observar que:

5,21640)*()( === XEXE

Ou seja, o estimador *X também é não-tendencioso.

Qualquer média ponderada dos valores da amostra será um estimador não-tendencioso da média populacional.

Aí vem a pergunta: Ah, então qualquer média ponderada será um bom estimador?

Não necessariamente. Depende das características que você quer para o seu estimador.

Uma característica interessante é que o estimador tenha variância mínima.

Se você calcular a variância dos estimadores *X e X , verá que eles têm variâncias diferentes. Não vou reproduzir os cálculos aqui, vou apenas dar o resultado:

625,0)( =XV

6944,0)*( =XV

Note que X tem uma variância menor que *X . Isto pode ser interessante. Se fizéssemos inúmeras amostras, em média, acertaríamos o valor do parâmetro nos dois casos (com qualquer um destes dois estimadores).

Só que o estimador *X tem maior dispersão. Ele apresenta, com maior freqüência, valores afastados da média populacional. Por isso, o estimador X é melhor.

Assim, uma característica que se costuma buscar é que o estimador tenha variância mínima. Ou seja, que a variância do estimador escolhido seja menor que a variância de qualquer outro estimador.

Dentre os estimadores lineares (ou seja, aqueles que são obtidos a partir de uma média ponderada com os valores da amostra), é possível demonstrar que a média aritmética simples ( X ) apresenta variância mínima.

É possível comparar a eficiência entre dois estimadores diferentes. Basta dividir suas variâncias. Assim, a eficiência relativa de *X , em comparação com X , é dada por:

%906944,0625,0

=

3. Estimador de mínimos quadrados

Um outro tipo de estimador é aquele que minimiza a soma dos quadrados dos desvios. Por enquanto, não veremos este tipo de estimador com mais detalhes. Falaremos mais a respeito na aula de regressão linear, em que será muito freqüente realizarmos a operação que minimiza a soma dos quadrados dos desvios.




Interessante observar que X e p̂ são estimadores de mínimos quadrados. Ou seja, a média amostral e a proporção amostral estimam a média e a proporção populacionais, obedecendo ao critério de mínimos quadrados.

4. Estimador de máxima verossimilhança

Um estimador de máxima verossimilhança é aquele que maximiza a probabilidade (se a variável aleatória for discreta) ou a densidade de probabilidade (se a variável aleatória for contínua) de a amostra observada ter sido obtida.

Para explicar, vou adaptar um exemplo extraído do livro Estatística para Economistas, do Rodolfo Hoffmann.

Considere um tetraedro que possui faces azuis e brancas. Lançamos o tetraedro. O resultado obtido corresponde à face que fica em contato com o solo.

Caso saia uma face azul, temos um caso favorável. Caso saia uma face branca, temos um caso desfavorável.

O tetraedro é lançado 3 vezes, resultado em 1 caso favorável (1 resultado azul e 2 brancos).

Nós só temos acesso ao resultado desta amostra e temos que estimar a proporção populacional, ou seja, a proporção de faces azuis no tetraedro.

Para achar o estimador de máxima verossimilhança, nós temos que ver qual a proporção que maximiza a probabilidade de esta amostra ter sido obtida. O quadro abaixo resume os cálculos.

Número de faces azuis

probabilidade de sucesso em 1 experimento

Probabilidade de, em 3 lançamentos, termos exatamente 1 caso favorável

0 0 0 1 0,25 0,421875 2 0,5 0,375 3 0,75 0,140625 4 1 0

A maior probabilidade (0,421875) ocorre quando temos 1 face azul. Logo, o estimador de máxima verossimilhança é 0,25.

Neste exemplo, a proporção populacional só poderia assumir alguns valores (0; 0,25; 0,5; 0,75; 1,0). É uma variável discreta.

Acaso a proporção populacional p possa assumir qualquer valor no intervalo entre 0 e 1, então

é possível demonstrar que a proporção amostral (nXp =ˆ , onde X é a variável binomial) é um

estimador de mínimos quadrados e de máxima verossimilhança.

Se a variável aleatória for normal, o estimador de máxima verossimilhança para a variância é dado por:

n

xxs

n

ii∑

=

−= 1

2

2)(

*




Se a variável aleatória for normal, a média aritmética da amostra ( X ) é um estimador de máxima verossimilhança para a média populacional.

Texto para questões EC 43 e EC 44.

Para responder às questões seguintes, considere as distribuições amostrais de cinco estimadores propostos para estimar o parâmetro T de uma população, ilustradas na figura apresentada a seguir.


Se o interesse for um estimador não viesado, deve-se utilizar apenas

(A) T1

(B) T4

(C) T1 ou T4

(D) T2 ou T5

(E) T1 ou T2 ou T3

Resolução.

Estimador não viesado é sinônimo de estimador não tendencioso. Queremos que a média do estimador seja igual a T.

Os únicos estimadores que apresentam esta característica são T1, T2 e T3.

Gabarito: E





Levando-se em conta as propriedades de um bom estimador, o melhor dentre os estimadores propostos é

(A) T1

(B) T2

(C) T3

(D) T4

(E) T5

Resolução.

Entre os estimadores T1, T2 e T3, o que apresenta variância mínima é T2, pois apresenta uma curva mais afilada, o que indica que a proporção de valores próximos à média é maior.

Gabarito: B


Considere as asserções a seguir.

A média amostral é sempre um estimador não viciado para a média de uma população.

PORQUE

O erro padrão do estimador não viciado para a média de uma população é maior do que a variância da população.

Analisando-se as asserções, conclui-se que

(A) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

(B) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(C) a primeira asserção é verdadeira, e a segunda é falsa.

(D) a primeira asserção é falsa, e a segunda é verdadeira.

(E) a primeira e a segunda asserções são falsas.

Resolução.

A primeira frase está correta. A média amostral é um estimador não tendencioso.

A segunda frase está errada. Basta pensar no seguinte exemplo: Variância da população: 100 ( 10=σ ); tamanho da amostra: 25 ( )25=n .

O desvio-padrão da média amostral fica:

25

10==

Xσ

O desvio-padrão da média amostral foi menor que a variância da população.

Gabarito: C





Com base em uma amostra aleatória simples (X1, X2,..., Xn) de uma população de média conhecida μ , um estimador não viciado da variância da população é:

a) ( ) ( )2

...)( 222

21

−−++−+−

nXXX n μμμ

b) ( ) ( )1

...)( 222

21

−−++−+−

nXXX n μμμ

c) ( ) ( )n

XXX n22

22

1 ...)( μμμ −++−+−

d) ( ) ( )1

...)( 222

21

+−++−+−

nXXX n μμμ

e) ( ) ( )2

...)( 222

21

+−++−+−

nXXX n μμμ

Resolução.

Esta é a tal da questão “sacana”. Dissemos a aula toda que o estimador não tendencioso da variância é conseguido com o denominador 1−n . É sempre assim (ou melhor, quase sempre). Em 99,9999% das questões, o que se pede é a estimativa da variância. Para tanto, supõe-se apenas o conhecimento de uma amostra. Neste caso, usamos a média amostral como estimativa da média populacional. E, para acharmos o estimador não tendencioso da variância populacional, fazemos:

( )1

2

2

−

−= ∑

nXX

s i

Acontece que esta questão criou algo novo. Aqui, nós já conhecemos a média populacional. Ela não precisa ser estimada. Só precisamos estimar a variância da população. Quando isso acontece, o estimador dado por:

( ) ( )n

XXX n22

22

1 ...)( μμμ −++−+−

com n no denominador, é não tendencioso.

Para deixar claro, vamos calcular a sua esperança.

O estimador é:

( ) ( )n

XXXs n

222

212 ...)( μμμ −++−+−

=

Temos:

=)( 2sE( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++−+−n

XXXE n

222

21 ...)( μμμ




O n é uma constante, pode ser extraída da esperança.

= ( ) ( )( )222

21 ...)(1 μμμ −++−+− nXXXE

n

Podemos separar a esperança da soma em soma de esperanças.

= ( ) ( )( ) ( )( ){ }222

21 ...)(1 μμμ −++−+−× nXEXEXE

n

{ } )()(1 XVarXnVarn

=×=

A esperança do estimador é igual ao parâmetro, o que permite classifica-lo como não tendencioso.

Gabarito: C


Com relação à teoria geral da amostragem, é incorreto afirmar que:

a) Quanto menor o erro padrão da estimativa, menor será a confiabilidade e a precisão da estimativa.

b) Em uma amostra por conglomerados a população é dividida em sub-populações distintas.

c) A realização de uma amostragem aleatória simples só é possível se o pesquisador possuir uma lista completa de cada unidade amostral.

d) Um estimador é considerado não viciado quando sua esperança é igual ao valor populacional que está sendo pesquisado.

e) Amostragem estratificada consiste na divisão de uma população em grupos segundo alguma característica conhecida. Os estratos da população devem ser mutuamente exclusivos. Letra A.

Erro padrão é sinônimo de desvio padrão. Se a estimativa tem erro padrão pequeno, isso significa que ela pouco varia. Para exemplificar, vamos trabalhar com a estimativa que já estudamos: X .

Se X tem um desvio padrão pequeno, então a média amostral pouco varia de uma amostra para outra. Isso significa que cada média amostral também é bem próxima da média da população. Quanto menor o erro padrão de X , mais precisa é a nossa estimativa. Mais confiável ela é. Nossa estimativa deve estar bem próxima do verdadeiro valor do parâmetro. Alternativa errada.

Letra B.

Alternativa correta. Realmente, na amostragem por conglomerados, busca-se dividir a população em sub-populações, em conjuntos heterogêneos que representem bem a população inteira. Como vimos na aula passada, isso nem sempre se verifica. Como o intuito desse tipo de amostragem é reduzir custos e tempo, os conglomerados são escolhidos de forma que seus




elementos estejam próximos/ligados, o que muitas vezes faz com que um conglomerado não abranja itens tão heterogêneos assim.

Letra C.

Em geral, realmente a amostragem aleatória é feita quando se tem uma listagem de todos os elementos. Assim, para escolher aleatoriamente um grupo de funcionários que participará de uma pesquisa sobre o clima organizacional da empresa, parte-se de uma listagem de todos os empregados. Dessa lista, extraem-se, aleatoriamente, algumas pessoas. O processo de escolha pode se dar de diversas formas. Podemos escrever o nome de todos eles em pedaços de papel de mesmo tamanho, dobrar, colocar num saco, misturar bem, e sortear. Podemos atribuir a cada um deles um número e usar uma tabela de números aleatórios para escolher os números. Podemos colocar seus nomes em planilhas, executar um programa que gere números aleatórios, atribuindo um número a cada pessoa, e depois ordenar de forma crescente. Enfim, há inúmeras formas que, geralmente, partem de uma listagem de todos os elementos, como foi dito no enunciado.

Contudo, há formas de se fazer uma amostragem aleatória sem que exista uma listagem prévia. A banca considerou esse item correto. Ao meu ver, caberia recurso. Cito na seqüência um trecho do livro “Estatística aplicada à administração” do autor William Stevenson:

“Se a população alvo é finita, há essencialmente duas maneiras de escolher uma amostra aleatória. Um método envolve a compilação de uma lista de todos os elementos da população [...]. O segundo método é usado quando os elementos da população não são claramente identificáveis, o que torna impossível a listagem. Por exemplo, no processamento de alimentos, ou na eliminação de resíduos, ou no controle da poluição, em geral, não há o conceito de itens que possam constituir uma amostra. A alternativa seria então selecionar locações em lugar de itens, como, por exemplo, ‘4 polegadas acima e 7 abaixo’. Consegue-se isto encarando a população como se fosse composta de cubos, e selecionando cubos para a amostra. Outra alternativa seria o emprego de um processo de mistura [...]”

Podemos pensar naqueles sorteios de promoções. Você manda uma carta contendo três códigos de barras do produto, respondendo à pergunta: qual a marca de cotonete que leva você para a copa do mundo de 2010???

Domingo, durante o programa do Faustão, é feito o sorteio. Aparecerão um monte de modelos semi-nuas jogando os envelopes para cima. Em tese (eu disse: em tese), supondo que as modelos joguem muito bem os inúmeros envelopes, misturando bem todos eles, quando uma delas pegar o envelope ganhador, a escolha terá sido aleatória. E nenhuma das modelos tinha uma listagem dos concorrentes ao prêmio.

Outro exemplo. Você está preparando uma sopa. Você está em dúvida se colocou muito sal ou não. Para avaliar a quantidade de sal, você mistura bem a sopa, enche uma colher e experimenta. Você está fazendo uma amostragem da sopa. Está avaliando apenas um pequeno pedaço da sua população, para decidir algo sobre a sopa inteira.

Antes de experimentar você não tinha uma listagem de todas as partículas que estavam dentro da sopa (ou seja, uma lista de todos os pedacinhos de batata, cenoura, abobrinha, etc). Aliás, nesse caso, acho que nem dá para falar em lista de todos os elementos.




Supondo que você tenha misturado bem a sopa, quando você encher a colher, você estará fazendo uma amostragem aleatória.

Numa situação como a desta questão da FCC, lá, durante a prova, marque a alternativa “mais correta” (ou “mais errada”, conforme o caso). Costumo dizer que não é pra sair brigando com a prova. A letra “A” está claramente errada. Ela está praticamente “pedindo” para ser marcada como item errado. Já a letra C, apesar de errada, não é tão absurda. A amostragem aleatória, na maioria das vezes, é mesmo feita a partir de uma listagem. Na letra C estamos diante de um caso de imprecisão na escrita do enunciado. Não custa nada deixar essa imprecisão pra lá, marcar a letra A e pronto.

Letra D.

Alternativa correta. Foi exatamente isto que vimos sobre os estimadores não tendenciosos.

Vimos que X pode ser considerada uma variável aleatória e que o fato de a esperança de X ser igual à média da população faz deste um estimador não viciado. Isso vale para qualquer estimador. Se sua esperança for igual ao parâmetro pesquisado, então o estimador é não tendencioso (ou não viciado).

Letra E.

Alternativa correta. Basta lembrar do exemplo dado na aula passada. Dividimos a população em extratos, conforme a idade (jovens, adultos e idosos). A divisão se deu conforme uma característica conhecida (idade). Os extratos são mutuamente exclusivos.

Gabarito: A.


Com relação à teoria geral da amostragem, é correto afirmar que:

a) na amostragem aleatória simples, a seleção das unidades amostrais só pode ser realizada sem reposição.

b) a amostragem por conglomerados em geral é mais eficiente e menos econômica quando comparada com o método de amostragem aleatória simples.

c) na amostragem estratificada, os estratos da população não necessitam ser mutuamente exclusivos.

d) o aumento do tamanho da amostra tem como conseqüência o aumento do erro padrão das estimativas

e) o viés ou vício de um estimador de um parâmetro é a diferença entre o seu valor esperado e o valor do parâmetro.

Resolução:

Letra A.

Uma amostra aleatória pode sim ser feita com reposição. Podemos pensar no sorteio da mega-sena. No primeiro sorteio, temos o número 26 (2 retirado do globo das dezenas e 6 retirado do globo das unidades). Para o segundo sorteio, os globos continuam contendo todas as dezenas




(inclusive o 2) e todas as unidades (inclusive o 6). Os números são aleatoriamente escolhidos e há reposição. Em tese, é possível que o número 26 seja novamente sorteado.

Um outro exemplo são as promoções em que você manda um SMS para um certo número e concorre a inúmeros prêmios. A cada semana é sorteado um prêmio (exemplo: na primeira semana são dez TV’s, na segunda, 10 motos, na terceira, 2 carros e na última é sorteada uma casa). Em muitas premiações, quem manda o SMS logo nos primeiros dias está concorrendo a todos os prêmios. Mesmo que ele seja sorteado na primeira semana (ganhando uma TV), seu nome volta para o bolo de concorrentes, tendo chances de ganhar em qualquer outro sorteio. Supondo que a escolha, em cada sorteio, seja aleatória, temos uma amostragem aleatória com reposição.

Letra B.

Em geral, a amostragem por conglomerados é mais econômica que a aleatória simples. Basta pensar no caso da pesquisa com os chefes de família de uma dada cidade, usado como exemplo na aula passada. Se usássemos uma amostragem aleatória, poderíamos ter que nos dirigir a pontos muito distantes um dos outros, o que encarece a pesquisa. Usando a amostragem por conglomerados (considerando cada bairro/cada quarteirão/cada conjunto de 8 quarteirões/etc) como um conglomerado, muitos dos chefes de família selecionados morarão próximos uns dos outros, o que reduz os custos. Alternativa errada.

Letra C.

Errado. Na amostragem estratificada os estratos são sim mutuamente exclusivos. No exemplo da aula passada, dividimos a população em jovens, adultos e idosos. Um idoso não pode ser também jovem.

Letra D.

Alternativa errada. Quanto maior a amostra, melhor ela representa a população. Como conseqüência, melhoram nossas estimativas (o que implica em menor erro padrão).

Também dá para visualizar isso por meio da fórmula que vimos. Vamos trabalhar com a média amostral. Seu desvio padrão é dado por:

nXV

X

σσ ==][

O “n” está no denominador. Quanto maior o valor de n (ou seja, quanto maior o tamanho da amostra), menor o desvio padrão da estimativa.

Letra E.

Alternativa correta.

Não comentei isso durante a parte teórica. Aproveitando a oportunidade, falemos um pouco sobre o viés do estimador. Vamos trabalhar, novamente, com o estimador para a média ( X ).

O fato da média de X ser igual à média da população nos permite classificar a média aritmética da amostra como estimador não tendencioso (ou não viciado). Usando esse




estimador, na média (considerando as inúmeras amostras que poderiam ser feitas), nós estamos realmente acertando o valor do parâmetro desconhecido.

E se, em vez da média amostral, nós usássemos, por exemplo, a mediana da amostra para estimar a média da população?

Vejamos um exemplo. Considere um tetraedro com faces 1, 2, 3, 5.

Seja X a variável que designa o resultado do lançamento do tetraedro. Sabemos que a esperança de X é igual a 2,75 (basta fazer a média aritmética dos valores acima).

Lançamos o tetraedro três vezes. Vamos ver quais são os possíveis resultados.

Conjuntos de 3 lançamentos




1 1 1 2 1 1 3 1 1 5 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 5 1 2 1 1 3 2 1 3 3 1 3 5 1 3 1 1 5 2 1 5 3 1 5 5 1 5 1 2 1 2 2 1 3 2 1 5 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 5 2 2 1 2 3 2 2 3 3 2 3 5 2 3 1 2 5 2 2 5 3 2 5 5 2 5 1 3 1 2 3 1 3 3 1 5 3 1 1 3 2 2 3 2 3 3 2 5 3 2 1 3 3 2 3 3 3 3 3 5 3 3 1 3 5 2 3 5 3 3 5 5 3 5 1 5 1 2 5 1 3 5 1 5 5 1 1 5 2 2 5 2 3 5 2 5 5 2 1 5 3 2 5 3 3 5 3 5 5 3 1 5 5 2 5 5 3 5 5 5 5 5

Vamos usar a mediana amostral como estimador da média populacional. A mediana amostral tem a seguinte distribuição de probabilidades:

Valor probabilidade 1 10/64 2 22/64 3 22/64 5 10/64

A média da mediana amostral é:

65,2][ ≅DE

Se fosse possível efetuar infinitas vezes os três lançamentos, a média obtida para o nosso estimador seria de cerca de 2,65. É um estimador que, em média, difere do parâmetro (=2,75). Concluímos que é um estimador viesado (ou tendencioso, ou ainda, viciado). O seu viés é




dado pela diferença entre sua média e o parâmetro estudado (qual seja, a média da população). Nesse exemplo, o viés fica:

1,075,265,2][ −=−=⇒−= viesDEvies μ

Gabarito: E

EC 49 CGU - 2008. [ESAF]


a) eficiente

b) não enviesado

c) consistente



Resolução.

Vimos que o fato da esperança do estimador ser igual ao parâmetro permite classificar o estimador como não viciado (ou não tendencioso, ou não enviesado). Todas essas expressões são sinônimas.

Gabarito: B.

Quanto às características dos estimadores, creio que as provas devem se limitar a cobrar questões conceituais. Ou então, se restringir aos estimadores usuais (média amostral, proporção amostral, variância amostral para estimar, respectivamente, a média populacional, a proporção populacional e a variância populacional). Digo isto porque, se for para passar disso, é bastante provável que a questão exija ferramentas de cálculo. Como exemplo, segue questão abaixo.


Com base em uma amostra aleatória ( nxxx ,...,, 21 ) o estimador de máxima verossimilhança do

parâmetro λ na distribuição de Poisson, !

)(x

exXPxλλ−

== para ,...2,1,0=x é a:

(A) média quadrática da amostra.

(B) média geométrica da amostra.

(C) média harmônica da amostra.

(D) média aritmética da amostra.

(E) mediana da amostra.

Resolução.




Seja ),...,,( 21 nxxx a amostra obtida. A probabilidade de obtermos esta amostra é dada por:

)...( 2211 nn xXxXxXP =∩∩=∩=

Supondo que os valores da amostra são independentes entre si, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades:

)...( 332211 xXxXxXP =∩∩=∩= = )(...)()( 2211 nn xXPxXPxXP =××=×=

= !

...!! 21

21

n

xxx

xe

xe

xe nλλλ λλλ −−−

×××

= nxxx

n

n

xxxe +++

−

××××

...

21

21

!...!!λ

λ

Queremos maximizar esta probabilidade, que é uma função de λ . Como a função logaritmica é crescente, se maximizarmos a função acima, também maximizamos seu logaritmo.

Aplicando o logaritmo neperiano:

)!...!!ln()ln()...(!...!!

ln 2121...

21

21nn

xxx

n

n

xxxxxxnxxx

en ×××−×++++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

×××+++

−

λλλλ

Para achar o valor de λ que maximiza esta função, derivamos em relação a λ e igualamos a zero.

01)...( 21 =++++−λnxxxn

nxxx n =+++λ1)...( 21

λ=+++n

xxx n1)...( 21

Ou seja, o valor de λ que maximiza a probabilidade de obtermos uma dada amostra (estimador de máxima verossimilhança) é a média aritmética da amostra.

Gabarito: D

VI. FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÕES FINITAS

Quando a amostragem é feita sem reposição, a partir de uma população finita, cada extração não é independente das demais.

Sempre que pudermos considerar a população bem grande, é razoável considerar que cada extração é independente das demais.

Contudo, quando o tamanho da população (em relação ao tamanho da amostra) não for tão grande, a aproximação fica ruim.

Segundo o autor William J Stevenson, se a amostra for superior a 5% da população, a aproximação fica ruim.

Nestes casos, quando estivermos calculando o intervalo de confiança, precisaremos aplicar um fator de correção. É o chamado fator de correção finita.




O fator de correção é:

1−−

NnN

onde N é o tamanho da população e n é o tamanho da amostra.

Neste caso, os valores dos desvios-padrão da média amostral e da proporção amostral ficam:

1−−

×=N

nNnX

σσ

×=nqps pˆˆ

ˆ 1−−

NnN

EC 51 Petrobras 2008/2 [CESGRANRIO]

Um técnico precisa definir o tamanho da amostra que será utilizada em um plano de amostragem aleatória simples, sem reposição, visando à estimação da média de uma característica X da população. Como a população é finita, ele decide utilizar para a variância da distribuição amostral da média o Fator de Correção para Populações Finitas, definido como

1−−

NnN , sendo N o tamanho da população e n o tamanho da amostra.

Com base na variância populacional 2σ conhecida, de modo a obter uma probabilidade )1( α− de que o erro amostral não ultrapasse ε , para mais ou para menos, a expressão do

tamanho da amostra n, considerando z a abscissa da distribuição normal padrão, é

Resolução.

O erro máximo é igual a ε . A fórmula do erro é:




XZerro σ×= 0max_

XZ σε ×= 0

O desvio-padrão da média amostral é dado por:

1−−

×=N

nNnX

σσ


XZ σε ×= 0

×= 0Zε1−

−×

NnN

nσ

Elevando ao quadrado:

×= 20

2 Zε1

2

−−

×N

nNn

σ

E agora vem um grande trabalho braçal para isolar o n:

×= 20

2 Zε1

2

−−

×N

nNn

σ

×= 20

2 Zε )1(1

2

−×− n

NNσ

11

22

0

22

02

−−×

−=

NZ

nN

NZ σσε

nN

NZ

NZ ×

−=

−+

11

22

0

22

02 σσε

nNZ

NZN 1)

1(1 2

20

222

0

=−

+×− σεσ

( )nN

ZNNZ

N 11

)1(1 220

2

220

=−

+×−×

− σεσ

( )nNZ

ZN 1)1(22

0

220

2

=+×−

σσε

( )220

2

220

)1( σεσ

ZNNZ

n+×−

=

Gabarito: C

EC 52 TJ PARÁ 2009 [FCC]

Uma empresa tem um total de 200 cabos em estoque. Uma experiência com 64 deles, selecionados ao acaso, apresentou uma tensão de ruptura média de 2.000 kg. Consideram-se




as tensões de ruptura dos cabos normalmente distribuídas com desvio padrão populacional igual a 100 kg. Para um nível de significância α na distribuição normal padrão (Z) a probabilidade P(Z > 1) = 2/α . A amplitude do intervalo de confiança de (1 – α) para a

tensão de ruptura média é (em kg), considerando 199136

=k :

(A) 12,5 1−k

(B) 20 1−k

(C) 12,5 k

(D) 20 k

(E) 25 k

Resolução.

Notem que a população finita é pequena (200). A amostra de tamanho 64 representa 32% da população. Vamos usar o fator de correção para populações finitas.

A amplitude do intervalo de confiança é igual ao dobro do erro máximo cometido.

XZA σ×= 02

O valor de 0Z foi fornecido pelo enunciado.

10 =Z

O desvio padrão da média amostral é igual a:

1−−

×=N

nNnX

σσ

120064200

64100

−−

×=X

σ

199136

8100

×=X

σ

kX

×= 5,12σ

Portanto:

kkA 255,1212 =××=

Gabarito: E


A razão das variâncias do estimador de proporção numa população de tamanho N, sob os esquemas de amostragem aleatória simples de tamanho n com reposição e sem reposição é:

(A) 1.

(B) n/N.




(C) N/n.

(D) (N-1)/(N-n).

(E) (N-n)/(N-1).

Resolução:

Quando a amostragem é com reposição, o estimador fica:

nqps pˆˆ

ˆ =

Quando a amostragem é sem reposição, o estimador fica:

×=nqps pˆˆ

ˆ 1−−

NnN

A razão entre ambos é dada por:

nNN

NnN

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

÷1

11

Só que esta relação acima é válida para os desvios-padrão.

Como a questão se referiu à variância, temos que elevar ao quadrado:

nNN

−−1

Gabarito: D

VII. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO EC 1 SEFAZ RJ 2008 [FGV]

Considere uma Amostra Aleatória Simples de n unidades extraídas de uma população na qual a característica, X, estudada tem distribuição Normal com média μ e variância 2σ , ambas

desconhecidas, mas finitas. Considere, ainda, as estatísticas média da amostra, X = ∑=

n

iiX

n 1

1,

e variância da amostra ( )∑=

−=n

ii XX

ns

1

22 1 . Então, é correto afirmar que:

(A) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e da variância da população, respectivamente.

(B) X é não-tendencioso, mas é 2S tendencioso para a estimação da média e da variância da população, respectivamente.

(C) X é tendencioso, mas 2S é não-tendencioso para a estimação da média e da variância da população, respectivamente.




(D) X e 2S são, ambos, tendenciosos para a estimação da média e da variância da população, respectivamente.

(E) X e 2S são, ambos, não-tendenciosos para a estimação da média e da variância da população, mas apenas X é consistente.


Qual o estimador de máxima verossimilhança da variância de uma variável X normalmente distribuída obtido a partir de uma amostra aleatória simples X1, X2, X3, ..., Xn, desta variável, sendo nXm i /∑= o estimador de máxima verossimilhança da média?

a) 1

)( 2

−

−∑n

mX i

b) 2

)( 2

−

−∑n

mX i

c) 5,02

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−∑n

mX i

d) ∑ − 2)( mX i

e) n

mX i∑ − 2)(

EC 3 Prefeitura de Manaus 2004 [CESGRANRIO]

Com base em uma amostra aleatória simples (X1, X2, ..., Xn), de média

nXXXX n+++

=...21 , um estimador não viciado da variância da população é:

a) 1

)(...)()( 222

21

+−++−+−

nXXXXXX n

b) n

XXXXXX n22

22

1 )(...)()( −++−+−

c) 1

)(...)()( 222

21

−−++−+−

nXXXXXX n

d) 2

222

21 ... X

nXXX n −

+++

e) 2

222

21

1... X

nXXX n −

−+++

EC 4 SEFAZ SP 2009 [ESAF]

(Dados da questão anterior: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.)




Considerando que as observações apresentadas na questão anterior constituem uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., Xn de uma variável aleatória X, determine o valor mais próximo da variância amostral, usando um estimador não tendencioso da variância de X.

Considere que:

38823

1

=∑=i

iX

867623

1

2 =∑=i

iX

a) 96,85

b) 92,64

c) 94,45

d) 90,57

e) 98,73

EC 5 Paraná Previdência/2002. [CESPE]

Parte das atribuições do analista previdenciário é a participação na elaboração de sistemas de informações previdenciárias. As informações, em geral, vêm de diversas fontes. É importante que um sistema de informações forneça com detalhes todo o processo metodológico, desde a obtenção dos dados até a sua disponibilização para o usuário final. Para assegurar a fidedignidade dos dados, as possíveis fontes de erros devem ser monitoradas e os erros, quando detectados, devem ser corrigidos. Nesse sentido, considere por hipótese, que o departamento DDD de determinada empresa deva coletar e enviar diariamente um conjunto de informações para a previdência. Ao longo do procedimento de envio dessas informações, há várias situações problemáticas, como dificuldades de transmissão dos dados, perda acidental de dados, atraso na coleta dos dados etc. Suponha que, ocorrendo uma dessas situações problemáticas, uma nova tentativa seja feita apenas no dia seguinte. Suponha ainda que, em 1.000 dias, um relatório gerencial tenha apresentado os seguintes resultados.

Situação Quantidade de ocorrências

em dias Impossibilidade de coleta das informações dentro do prazo

300

Problema na transmissão dos dados coletados 140 Problema na recepção dos dados transmitidos 56

Julgue os itens seguintes, com base na situação hipotética descrita acima.

1. Uma estimativa da probabilidade de sucesso na coleta das informações dentro do prazo é de 0,7.

2. A estimativa da probabilidade de ocorrer problema de transmissão dos dados coletados é igual a 0,14.

3. Assumindo que as probabilidades permaneçam constantes ao longo do tempo e considerando que a previdência não tenha, em um determinado dia, recebido o conjunto de informações do departamento DDD, a probabilidade de o DDD ainda não haver coletado o conjunto de dados naquele dia é superior a 0,50.




EC 6 Basa/2007 [CESPE]

Um programa de controle de qualidade foi implementado em uma agência bancária. A cada 10 clientes que entram na fila para solicitar um certo tipo de serviço S, um atendente entrega um pequeno questionário, que deve ser preenchido pelo cliente e devolvido ao caixa do banco. Um dos quesitos monitorados diariamente é a proporção de clientes que estão satisfeitos com o atendimento de um modo geral. Em determinada semana, foram observados os resultados mostrados na tabela a seguir.

Dia da semana 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

Número de clientes observados 30 40 20 50 70

proporção de clientes satisfeitos 0,9 0,8 0,9 0,8 0,6

Com base nesses dados, julgue o item que se segue.

1. A estimativa da proporção média de clientes satisfeitos com o atendimento de um modo geral ao longo dessa semana é superior a 0,8.


Estime a proporção de candidatos, dentre os homens, que NÃO considerou o exame fácil. O valor estimado é

(A) 22,0%

(B) 38,4%

(C) 48,5%

(D) 84,6%

(E) 85,2%

EC 8 INEP 2008 [CESGRARNIO]

Estime a proporção de candidatos que considerou o exame fácil. O valor estimado é

(A) 57,3%

(B) 34,4%

(C) 15,3%

(D) 14,7%

(E) 13,7%


Denotando-se a média e a variância amostral, respectivamente, por X e 2s , o erro padrão da estimativa da média populacional (M) é definido como

a) MX −

b) MX ±




c) ns

d) ns

e) n

s 2



Analisando-se as estatísticas da tabela, conclui-se que

(A) mais da metade dos alunos alcançou nota acima da média.

(B) no mínimo três quartos dos alunos alcançaram nota 66,57.

(C) o coeficiente de variação é igual a 4,16%.

(D) o coeficiente de variação quartil é igual a 24,03%.

(E) o erro padrão da média é igual a 1,0.

EC 11 CGU - 2008 [ESAF]


a) eficiente

b) não enviesado

c) consistente




Para responder à questão seguinte, considere a tabela abaixo, referente à distribuição normal padrão.

z )(zF 1,20 0,885 1,60 0,945 1,64 0,950




Uma máquina de empacotar leite em pó o faz segundo uma normal com média μ e desvio padrão 10g. O peso médio μ deve ser regulado para que apenas 5,5% dos pacotes tenham menos do que 1000 g. Com a máquina assim regulada, a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 4.040 g é:

a) 0,485

b) 0,385

c) 0,195

d) 0,157

e) 0,115


[Considere que você já sabe que X tem variância igual a 12]

Se retirarmos uma amostra aleatória de 1200 observações de uma população com distribuição uniforme no intervalo [17; 29], a distribuição da média amostral X será, aproximadamente,

a) uniforme com média 23 e variância 12

b) normal com média 23 e desvio padrão 0,1

c) uniforme com média 23 e variância 1

d) normal com média 23 e desvio padrão 12.

e) normal com média 23 e desvio padrão 1.


Para responder à questão seguinte, considere, dentre os dados abaixo, aqueles que julgar apropriados. Se Z tem distribuição normal padrão, então:

023,0)2( =>ZP ; 445,0)6,10( =<< ZP ; 84,0)1( =<ZP ; 49,0)33,20( =<< ZP

Suponha que o peso de crianças de 10 anos, numa determinada população, tenha distribuição normal com média μ desconhecida e desvio padrão 4 kg. A probabilidade de que o peso médio de uma amostra aleatória simples de 100 crianças, selecionadas desta população, difira por mais de 400 gramas de μ é, aproximadamente, igual a:

a) 0,10

b) 0,16

c) 0,20

d) 0,27

e) 0,32

EC 15 SEFAZ MS 2006 [FGV] – Questão adaptada

Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a média desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,2. A variância da população é 1,44.

O intervalo de 96,06% de confiança para a média populacional é (utilize a tabela I do final da aula):




(A) 4,2 ± 0,49

(B) 4,2 ± 0,64

(C) 4,2 ± 0,71

(D) 4,2 ± 0,75

(E) 4,2 ± 0,81


Construa um intervalo de 95% de confiança para a média de uma população normal a partir dos dados de uma amostra aleatória simples de tamanho 64 desta população, que forneceu uma média de 48 e um desvio-padrão amostral de 16, considerando que F(1,96) = 0,975, onde F(z) é a função de distribuição de uma variável aleatória normal padrão Z.

a) 44,08 a 51,92.

b) 41,78 a 54,22.

c) 38,2 a 57,8.

d) 35,67 a 60,43.

e) 32,15 a 63,85.

EC 17 BACEN/2006 [FCC].

Os preços de um determinado produto vendido no mercado têm uma distribuição normal com desvio padrão populacional de R$ 20,00. Por meio de uma pesquisa realizada com uma amostra aleatória de tamanho 100, com um determinado nível de confiança, apurou-se, para a média destes preços, um intervalo de confiança sendo [R$ 61,08; R$ 68,92]. A mesma média amostral foi obtida quadruplicando o tamanho da amostra e utilizando também o mesmo nível de confiança. Nos dois casos considerou-se infinito o tamanho da população. O novo intervalo de confiança encontrado no segundo caso foi:

a) [R$ 63,04; R$ 66,96]

b) [R$ 62,06; R$ 67,94]

c) [R$ 61,57; R$ 68,43]

d) [R$ 61,33; R$ 68,67]

e) [R$ 61,20; R$ 68,80]

EC 18 SEFAZ MS 2006 [FGV]

Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a média desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,2, e a variância amostral foi 1,44.

O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é:

(A) 4,2 ± 0,49

(B) 4,2 ± 0,64

(C) 4,2 ± 0,71

(D) 4,2 ± 0,75

(E) 4,2 ± 0,81







1,20 0,885 1,37 0,90 1,75 0,95 1,60 0,945 1,81 0,95 2,25 0,98 1,64 0,950 2,36 0,98 2,60 0,99

O peso de crianças recém-nascidas do sexo feminino numa comunidade tem distribuição normal com média μ e desvio padrão desconhecido. Uma amostra de 16 recém-nascidos indicou um peso médio de 3,0 kg e desvio padrão amostral igual a 0,8 kg. Um intervalo de confiança para μ , com coeficiente de confiança de 96% é dado por:

a) 37,00,3 ±

b) 41,00,3 ±

c) 45,00,3 ±

d) 68,00,3 ±

e) 73,00,3 ±




1,60 0,945 1,753 0,95 1,746 0,95 1,64 0,950 2,248 0,98 2,235 0,98 2,00 0,977 2,583 0,99 2,567 0,99

Supondo-se que a porcentagem da receita investida em educação, dos 600 municípios de uma região, tem distribuição normal com média μ , deseja-se estimar essa média. Para tanto se sorteou dentre esses 600, aleatoriamente e com reposição, 16 municípios e se observou os percentuais investidos por eles em educação. Os resultados indicaram uma média amostral de 8% e desvio padrão amostral igual a 2%. Um intervalo de confiança para μ , com coeficiente de confiança de 96%, é dado por:

a) )%124,18( ±

b) )%117,18( ±

c) )%877,08( ±

d) )%870,08( ±

e) )%755,08( ±






023,0)2( =>ZP ; 445,0)6,10( =<< ZP ; 84,0)1( =<ZP ; 49,0)33,20( =<< ZP

Se t tem distribuição de Student com 24 graus de liberdade, então:

975,0)06,2( =<tP ; 99,0)49,2( =<tP ; 95,0)71,1( =<tP

O índice de massa corpórea é calculado dividindo o peso da pessoa pelo quadrado de sua altura. Para a população de homens de meia idade que mais tarde desenvolvem a doença de diabetes, a distribuição dos índices básicos de massa corpórea é aproximadamente normal com média μ e desvio padrão σ desconhecidos. Para uma amostra de 25 homens selecionados desse grupo, observou-se um índice médio de 2,25=X kg/m2 com desvio padrão 5,2=s kg/m2. Um intervalo de confiança de 95% para a média μ da população é dado por:

a) 15,22,25 ±

b) 56,12,25 ±

c) 03,12,25 ±

d) 86,02,25 ±

e) 68,02,25 ±

EC 22 IPEA/2004 [ESAF]

Deseja-se estimar o gasto médio efetuado por grupos de 4 pessoas, num restaurante, por meio de um intervalo de confiança com coeficiente de 95%. Uma amostra de 16 grupos produziu os valores R$ 150,00 e R$ 20,00 para a média e o desvio padrão amostrais, respectivamente. Assinale a opção que corresponde ao intervalo procurado. Use a hipótese de normalidade da distribuição dos gastos e a tabela abaixo da função de distribuição de Student (Tr) para a escolha do quantil apropriado aos cálculos.

γ

r

0,900 0,950 0,975 0,990

14 1,345 1,761 2,145 2,625

15 1,341 1,753 2,131 2,603

16 1,337 1,746 2,120 2,584

17 1,333 1,740 2,110 2,567

a) [139,34; 160,66]

b) [139,40; 160,60]

c) [141,23; 158,77]

d) [141,19; 158,81]




e) [140,00; 160,00]


Uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., X16, de tamanho 16, de uma distribuição normal foi observada e indicou as seguintes estatísticas:

4,7016

1

=∑=i

iX e ∑−

=−16

1

2 60)(i

i XX

O intervalo usual de 95% de confiança para a média populacional, com duas casas decimais, é:

(A) (3,58 , 5,22).

(B) (3,47 , 5,33).

(C) (3,33 , 5,47).

(D) (3,19 , 5,61).

(E) (3,01 , 5,81).

EC 24 SEFAZ MS – 2006 [FGV]

Uma amostra aleatória de tamanho 400 revelou que 64% dos torcedores brasileiros acham que conquistaremos o hexacampeonato mundial de futebol. O intervalo de 95% de confiança para a proporção de torcedores na população que acreditam no hexacampeonato é:

(A) 64% ± 3,9%

(B) 64% ± 4,2%

(C) 64% ± 4,7%

(D) 64% ± 5,1%

(E) 64% ± 5,6%


Uma amostra aleatória de 400 eleitores revelou 64% de preferências pelo candidato X. O intervalo de 95% de confiança para a proporção de eleitores que preferem X é:

(A) 0,64 ± 0,047

(B) 0,64 ± 0,052

(C) 0,64 ± 0,056

(D) 0,64 ± 0,064

(E) 0,64 ± 0,085

EC 26 Prefeitura de São Paulo 2007 [FCC]

Para responder à questão seguinte, utilize, dentre as informações abaixo, as que julgar adequadas. Se Z tem distribuição normal padrão, então:

341,0)10( =<< ZP

445,0)6,10( =<< ZP

477,0)20( =<< ZP




Uma variável aleatória X tem distribuição normal com média μ e desvio padrão 100. O tamanho da amostra para que a diferença, em valor absoluto, entre a média amostral e μ seja menor do que 2, com coeficiente de confiança de 89% é:

a) 1.000

b) 2.200

c) 2.800

d) 3.600

e) 6.400


Uma nova marca de lâmpada está sendo estudada. Baseado em estudos anteriores com outras marcas similares, pode-se admitir que a vida média segue uma distribuição normal com desvio padrão de 8 meses. Tendo como base estes resultados, o tamanho da amostra necessário para que a amplitude do intervalo de 95% de confiança (utilize a aproximação

95,0)21( =≤≤− ZP , onde Z é a normal padrão) para a vida média seja de 4 meses é de:

a) 8

b) 12

c) 16

d) 64

e) 128



023,0)2( =>ZP ; 445,0)6,10( =<< ZP ; 84,0)1( =<ZP ; 49,0)33,20( =<< ZP

Para estimar a proporção de cura de um medicamento antiparasitário realizou-se um experimento clínico, aplicando-se o medicamento em ‘n’ doentes escolhidos ao acaso. Nesta amostra foi considerado que 80% dos doentes foram curados. Com base nestas informações e utilizando o Teorema Central do Limite, o valor de n, para que o erro cometido na estimação seja no máximo 0,08, com confiança de 89%, é de:

a) 16

b) 25

c) 36

d) 49

e) 64







1,60 0,945 1,753 0,95 1,746 0,95 1,64 0,950 2,248 0,98 2,235 0,98 2,00 0,977 2,583 0,99 2,567 0,99

Um engenheiro encarregado do controle de qualidade deseja estimar a proporção p de lâmpadas defeituosas de um lote, com base numa amostra de tamanho 400. Sabe-se, com base em experiências anteriores, que p deve estar próximo de 0,5. Usando o teorema do limite central para estimar a amplitude do intervalo de confiança de 90% para p, podemos afirmar que a amplitude do intervalo de confiança é, aproximadamente, igual a:

a) 0,041

b) 0,045

c) 0,058

d) 0,070

e) 0,082


Em uma pesquisa de mercado foi estimado que 50% das pessoas entrevistadas preferem a marca X de um produto. Se, com base no resultado dessa pesquisa, quisermos fazer outra para estimar novamente esta preferência, o tamanho de amostra aleatória simples necessário, para que tenhamos um erro amostral de 0,02 com probabilidade de 95%, deverá ser:

a) 1000

b) 1024

c) 2500

d) 1900

e) 2000

Dados: utilize a aproximação 95,0)22( =≤≤− ZP , onde Z é a normal padrão.




1,20 0,885 1,37 0,90 1,75 0,95 1,60 0,945 1,81 0,95 2,25 0,98 1,64 0,950 2,36 0,98 2,60 0,99

Um engenheiro encarregado do controle de qualidade deseja estimar a proporção p de lâmpadas defeituosas de um lote, com base numa amostra de tamanho suficientemente grande. Sabe-se, com base em experiências anteriores, que p deve estar próxima de 0,5. Que tamanho deve ter a amostra se ele deseja que o erro de estimação seja no máximo 0,02, com confiança de 90%.

a) 800

b) 1082

c) 1241




d) 1530

e) 1681

EC 32 BACEN – 2001 [ESAF]

Um auditor deseja estimar a proporção p de contas incorretamente contabilizadas no processo contábil de uma instituição financeira. Neste contexto decide tomar uma amostra aleatória de tamanho n das contas e estimar p usando a proporção amostral de contas incorretamente contabilizadas. O auditor considera a população de contas infinita e que a proporção amostral tenha distribuição aproximadamente normal com expectância p e variância p(1-p)/n. Supondo variância máxima e que F(2) ≈ 0,975, sendo F(.) a função de distribuição da normal padrão, assinale a opção que dá o valor de n que o auditor deve tomar para estimar p com erro não superior a 5% para mais ou para menos com nível de confiança de 95%.

a) 100

b) 200

c) 400

d) 500

e) 130

EC 33 CGU - 2008 [ESAF]

Grande parte de uma população de pessoas possui determinada característica. Deseja-se estimar a proporção de pessoas com esta característica. Qual o valor mais próximo do tamanho de uma amostra aleatória para se obter uma estimativa desta proporção com um erro padrão de 5%.

a) 389

b) 248

c) 156

d) 100

e) 25


Qual é o tamanho mínimo que deve ter uma amostra aleatória simples para estimar, com 95% de confiança e erro máximo de 2 pontos porcentuais, a proporção de eleitores que pretendem votar no candidato X?

(A) 2 500

(B) 2 401

(C) 1 692

(D) 1 200

(E) 912

EC 35 CAPES 2008 [CESGRANRIO] - adaptada





Os limites do intervalo de confiança de 95,0% obtido para a média μ dos escores da população são (50,97; 54,89). Conclui-se, assim, que

(A) quanto maior a amplitude do intervalo, menor o nível de confiança da estimação.

(B) a amplitude do intervalo varia proporcionalmente com o tamanho da amostra.

(C) o erro cometido na estimação do intervalo é 0,95.

(D) o intervalo de 99% de confiança terá amplitude maior que 3,92.

(E) o ponto médio do intervalo é a média da população, μ .

EC 36 PM MANAUS 2004 [CESGRANRIO]

O tamanho mínimo que deve ter uma amostra aleatória simples para estimar, com 90% de confiança e erro de 2 pontos porcentuais, a proporção de estudantes com problemas de visão e que não usam lentes corretoras, aproximadamente, vale:

(A) 912

(B) 1 200

(C) 1 692

(D) 4 500

(E) 9 898


Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos, quantos eleitores foram ouvidos, se o nível de confiança utilizado foi de 95%?

(A) 1 247

(B) 1 684

(C) 1 820

(D) 2 377

(E) 2 642


Caso uma amostra de 100 eleitores fosse utilizada, o intervalo aproximado de 95% de confiança para a preferência dos eleitores nesse candidato seria:

(A) 45% ± 6%

(B) 45% ± 8%

(C) 45% ± 10%

(D) 45% ± 12%

(E) 45% ± 14%





Na estimação da média de uma população cujo desvio-padrão é 4, usando uma amostra aleatória de tamanho 120, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a média: 5 ± 2. O tamanho de amostra que deverá ser considerado para que o comprimento do intervalo de 95% seja reduzido à metade é:

(A) 60.

(B) 240.

(C) 300.

(D) 360.

(E) 480.


Uma pesquisa recente foi realizada para avaliar o percentual da população favorável à eleição de um determinado ponto turístico para constar no selo comemorativo de aniversário da cidade. Para isso, selecionou-se uma amostra aleatória simples extraída de uma população infinita. O resultado apurou 50% de intenção de votos para esse ponto turístico. Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos, e que o nível de confiança utilizado foi de 95%, foram ouvidas, aproximadamente:

(A) 50 pessoas.

(B) 100 pessoas.

(C) 1.200 pessoas.

(D) 2.400 pessoas.

(E) 4.800 pessoas.


Um estatístico de uma companhia telefônica deseja estimar a proporção p de clientes satisfeitos com a introdução de um novo tipo de serviço. Suponha que o número de clientes da companhia seja grande. Sabe-se, com base em experiências anteriores, que p deve estar próxima de 0,50. O menor tamanho de amostra que ele deve considerar de modo a garantir com probabilidade de 95% um erro absoluto de estimação de no máximo 0,02 é:

(A) 800.

(B) 1082.

(C) 1530.

(D) 1681.

(E) 2401.


Para examinar a opinião de uma população sobre uma proposta, foi montada uma pesquisa de opinião em que foram ouvidas 1680 pessoas, das quais 51,3% se declararam favoráveis à proposta. Os analistas responsáveis determinaram que a margem de erro desse resultado, em um determinado nível de confiança, era de 2 pontos percentuais, para mais ou para menos. Considerando que fosse desejada uma margem de erro de 1 ponto percentual, para mais ou para menos, no mesmo nível de confiança, assinale a alternativa que indique o número de pessoas que deveriam ser ouvidas.




(A) 840

(B) 2520

(C) 3360

(D) 5040

(E) 6720

Texto para questões EC 43 e EC 44.

Para responder às questões seguintes, considere as distribuições amostrais de cinco estimadores propostos para estimar o parâmetro T de uma população, ilustradas na figura apresentada a seguir.


Se o interesse for um estimador não viesado, deve-se utilizar apenas

(A) T1

(B) T4

(C) T1 ou T4

(D) T2 ou T5

(E) T1 ou T2 ou T3


Levando-se em conta as propriedades de um bom estimador, o melhor dentre os estimadores propostos é

(A) T1




(B) T2

(C) T3

(D) T4

(E) T5


Considere as asserções a seguir.

A média amostral é sempre um estimador não viciado para a média de uma população.

PORQUE

O erro padrão do estimador não viciado para a média de uma população é maior do que a variância da população.

Analisando-se as asserções, conclui-se que

(A) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

(B) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(C) a primeira asserção é verdadeira, e a segunda é falsa.

(D) a primeira asserção é falsa, e a segunda é verdadeira.

(E) a primeira e a segunda asserções são falsas.


Com base em uma amostra aleatória simples (X1, X2,..., Xn) de uma população de média conhecida μ , um estimador não viciado da variância da população é:

a) ( ) ( )2

...)( 222

21

−−++−+−

nXXX n μμμ

b) ( ) ( )1

...)( 222

21

−−++−+−

nXXX n μμμ

c) ( ) ( )n

XXX n22

22

1 ...)( μμμ −++−+−

d) ( ) ( )1

...)( 222

21

+−++−+−

nXXX n μμμ

e) ( ) ( )2

...)( 222

21

+−++−+−

nXXX n μμμ


Com relação à teoria geral da amostragem, é incorreto afirmar que:

a) Quanto menor o erro padrão da estimativa, menor será a confiabilidade e a precisão da estimativa.

b) Em uma amostra por conglomerados a população é dividida em sub-populações distintas.

c) A realização de uma amostragem aleatória simples só é possível se o pesquisador possuir uma lista completa de cada unidade amostral.




d) Um estimador é considerado não viciado quando sua esperança é igual ao valor populacional que está sendo pesquisado.

e) Amostragem estratificada consiste na divisão de uma população em grupos segundo alguma característica conhecida. Os estratos da população devem ser mutuamente exclusivos.


Com relação à teoria geral da amostragem, é correto afirmar que:

a) na amostragem aleatória simples, a seleção das unidades amostrais só pode ser realizada sem reposição.

b) a amostragem por conglomerados em geral é mais eficiente e menos econômica quando comparada com o método de amostragem aleatória simples.

c) na amostragem estratificada, os estratos da população não necessitam ser mutuamente exclusivos.

d) o aumento do tamanho da amostra tem como conseqüência o aumento do erro padrão das estimativas

e) o viés ou vício de um estimador de um parâmetro é a diferença entre o seu valor esperado e o valor do parâmetro.

EC 49 CGU - 2008. [ESAF]


a) eficiente

b) não enviesado

c) consistente




Com base em uma amostra aleatória ( nxxx ,...,, 21 ) o estimador de máxima verossimilhança do

parâmetro λ na distribuição de Poisson, !

)(x

exXPxλλ−

== para ,...2,1,0=x é a:

(A) média quadrática da amostra.

(B) média geométrica da amostra.

(C) média harmônica da amostra.

(D) média aritmética da amostra.

(E) mediana da amostra.

EC 51 Petrobras 2008/2 [CESGRANRIO]

Um técnico precisa definir o tamanho da amostra que será utilizada em um plano de amostragem aleatória simples, sem reposição, visando à estimação da média de uma característica X da população. Como a população é finita, ele decide utilizar para a variância




da distribuição amostral da média o Fator de Correção para Populações Finitas, definido como

1−−

NnN , sendo N o tamanho da população e n o tamanho da amostra.

Com base na variância populacional 2σ conhecida, de modo a obter uma probabilidade )1( α− de que o erro amostral não ultrapasse ε , para mais ou para menos, a expressão do

tamanho da amostra n, considerando z a abscissa da distribuição normal padrão, é

EC 52 TJ PARÁ 2009 [FCC]

Uma empresa tem um total de 200 cabos em estoque. Uma experiência com 64 deles, selecionados ao acaso, apresentou uma tensão de ruptura média de 2.000 kg. Consideram-se as tensões de ruptura dos cabos normalmente distribuídas com desvio padrão populacional igual a 100 kg. Para um nível de significância α na distribuição normal padrão (Z) a probabilidade P(Z > 1) = 2/α . A amplitude do intervalo de confiança de (1 – α) para a

tensão de ruptura média é (em kg), considerando 199136

=k :

(A) 12,5 1−k

(B) 20 1−k

(C) 12,5 k

(D) 20 k

(E) 25 k


A razão das variâncias do estimador de proporção numa população de tamanho N, sob os esquemas de amostragem aleatória simples de tamanho n com reposição e sem reposição é:

(A) 1.




(B) n/N.

(C) N/n.

(D) (N-1)/(N-n).

(E) (N-n)/(N-1).

VIII. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO

1 b

2 e

3 c

4 a

5 certo errado certo

6 errado

7 d

8 d

9 d

10 e

11 b

12 e

13 b

14 e

15 a

16 a

17 a

18 a

19 c

20 a

21 c

22 a

23 c

24 c

25 a

26 e

27 d

28 e

29 e

30 c

31 e

32 c

33 d

34 b

35 d

36 c

37 d

38 c

39 e

40 d

41 e

42 e

43 e

44 b

45 c

46 c

47 a

48 e

49 b

50 d

51 c

52 e

53 d




IX. TABELA I Tabela gerada com o Excel. Z é a variável normal reduzida (média zero e desvio padrão unitário).

PROBABILIDADE DE Z ESTAR ENTRE 0 E Z0 Segunda casa decimal de Z0 Z0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990




X. TABELA II Distribuição T (feita com a função INVT do excel).

A tabela fornece valores de 0t tal que a probabilidade de t assumir valores entre 0t− e 0t+ seja igual a P.

Graus de liberdade

Valores de P (Probabilidade associada ao intervalo) 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,995

1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 127,321 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690

10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 99 1,290 1,660 1,984 2,365 2,626 2,871 120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 ∞ 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807

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