Rosa Maria Barbosa Capa -...

Universidade do MinhoInstituto de Educação

outubro de 2015

A aprendizagem de tópicos da circunferência com recurso ao GeoGebra: uma experiência com alunos do 9.º ano de escolaridade

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5

Rosa Maria Barbosa Capa


outubro de 2015


Trabalho efetuado sob a orientação doDoutor Floriano Augusto Veiga Viseu

Relatório de Estágio Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário

Universidade do MinhoInstituto de Educação

ii

DECLARAÇÃO

Nome: Rosa Maria Barbosa Capa

Endereço eletrónico: [email protected]

Telefone: 936602047

Número do Bilhete de Identidade: 9921392

Título do Relatório:


Supervisor:

Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu

Ano de conclusão: 2015

Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário

É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO INTEGRAL DESTE RELATÓRIO APENAS PARA EFEITOS DE INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE COMPROMETE.

Universidade do Minho, ____ / ____ / ____

Assinatura: ______________________________________________________________

iii

AGRADECIMENTOS

Foram várias as pessoas que ao longo deste meu percurso contribuíram, de forma direta

ou indireta, para a concretização deste trabalho.

Ao Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu pelo seu apoio, principalmente nos momentos

mais difíceis, disponibilidade e interesse demonstrado ao longo do projeto, pelos seus

comentários e sugestões que se revelaram sempre muito importantes.

Ao meu orientador, Dr. Marco Pereira, pelos seus concelhos, sugestões e apoio prestado

ao longo da intervenção pedagógica.

À escola por permitir a realização e concretização do projeto, e pela disponibilidade de

recursos colocados à disposição.

Aos alunos da turma pela sua disponibilidade e colaboração, na implementação do

projeto.

À Manuela, minha amiga e colega de estágio, pela sua amizade e apoio concedido em

todos os momentos difíceis deste percurso.

À minha família, mãe, irmãos e sobrinhos, por todo o carinho, força, incentivo e apoio

prestado nos momentos mais críticos desta fase da minha vida profissional.

À Ana pela sua amizade, disponibilidade, colaboração e ajuda em todos os momentos.

v

A APRENDIZAGEM DE TÓPICOS DA CIRCUNFERÊNCIA COM RECURSO AO GEOGEBRA: UMA

EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO 9.º ANO DE ESCOLARIDADE.


Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário

Universidade do Minho, 2015

RESUMO

Este estudo teve como principal objetivo identificar as vantagens e as desvantagens da utilização

do GeoGebra na aprendizagem de alunos do 9.º ano de escolaridade no estudo de tópicos da

circunferência, através da resolução de tarefas de natureza exploratória. Com este objetivo,

formularam-se as seguintes questões de investigação: (1) Que atividades desenvolvem os alunos

no estudo sobre a circunferência com recurso ao GeoGebra? (2) Que dificuldades manifestam os

alunos na aprendizagem do estudo da circunferência? Qual o contributo do GeoGebra na

clarificação dessas dificuldades? (3) Que perceções têm os alunos sobre a utilização do

GeoGebra na aprendizagem do estudo da circunferência? Para responder a estas questões,

recorreu-se a diferentes métodos de recolha de dados: análise documental (planos de aula,

reflexões, projeto educativo da escola, registo dos diálogos da aula), dois questionários (um no

início e outro no final da intervenção pedagógica), questões de aula e produções dos alunos.

Da análise dos dados recolhidos constatou-se que a utilização do GeoGebra permitiu aos alunos

desenvolveram atividades de exploração, discussão de processos e resultados, o que contribuiu

para estabelecerem conjeturas e o envolvimento da maior parte dos alunos na formalização de

conceitos e no estabelecimento de relações de tópicos da circunferência. Constatou-se que os

alunos manifestaram maior dificuldade na prova de resultados matemáticos que obtiveram,

assim como na justificação e argumentação de ideias. Os alunos mencionaram que o GeoGebra

foi um recurso facilitador na superação de algumas das suas dificuldades, uma vez que puderam

praticar, explorar e construir elementos geométricos. Destacaram o GeoGebra como um recurso

vantajoso para a compreensão de conceitos, que contribuiu para uma melhor aprendizagem dos

tópicos estudados e para despertar um maior interesse pela Geometria. Apesar das vantagens

apresentadas, a utilização do GeoGebra requer, por parte dos alunos, uma maior concentração

na realização das tarefas, e mais tempo para a sua execução. A realização de tarefas

exploratórias com recurso ao GeoGebra favoreceu um maior envolvimento dos alunos na

formalização de conceitos e relações.

vii

THE LEARNING OF CIRCUMFERENCE TOPICS USING GEOGEBRA: AN EXPERIENCE WITH

STUDENTS OF THE 9th YEAR.


Master's in Mathematics teaching in the third cycle of Basic Education and on the Secondary

Education

University of Minho, 2015

ABSTRACT

This study aimed to identify the advantages and disadvantages of using GeoGebra learning in

students of the 9th grade in studying circumference topics, by solving exploratory tasks. With this

objective, we formulated the following research questions: (1) what activities do students develop

in the study on the circumference using the GeoGebra? (2) What difficulties do students manifest

in the study of the circumference? What is the contribution of GeoGebra in clarifying these

difficulties? (3) What perceptions do students have on the use of GeoGebra in the study of the

circumference? To answer these questions, we used different methods of data collection:

document analysis (lesson plans, reflections, school educational program, registration of the

class dialogues), two questionnaires (one at the beginning and one at the end of the teaching

intervention), school issues and student productions.

From the analysis of the data collected we concluded that the use of GeoGebra allowed students

to develop exploration activities, discussion processes and results, which helped to establish

conjectures and involvement of most students to formulate concepts and establishing relations

topics of the circle. It was found that students showed greater difficulty in the proof of

mathematical results obtained, as well as in the justification and reasoning mind. Students

mentioned that GeoGebra was a facilitating resource to overcome some of its difficulties since it

allowed them to practice, explore and build geometric elements. They highlighted the GeoGebra

as a useful resource for understanding concepts, which contributed to a better learning of the

studied topics and to arouse greater interest in geometry. Despite the advantages presented,

using the GeoGebra requires, on the part of students, a higher concentration in the tasks, and

more time for its implementation. Conducting exploratory tasks using the GeoGebra favored

greater involvement of students in the formalization of concepts and relationships.

ix

ÍNDICE

DECLARAÇÃO ............................................................................................................................ ii AGRADECIMENTOS .................................................................................................................. iii RESUMO ................................................................................................................................... v ABSTRACT............................................................................................................................... vii ÍNDICE ..................................................................................................................................... ix ÍNDICE DE TABELAS................................................................................................................. xi ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................................ xiii CAPÍTULO 1 ............................................................................................................................. 1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................... 1 1.1. Tema, objetivo e questões do estudo.................................................................................. 1 1.2. Pertinência do estudo ........................................................................................................ 5 1.3. Estrutura do relatório ......................................................................................................... 8 CAPÍTULO 2 ........................................................................................................................... 11 ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO ........................................................................ 11 2.1. Enquadramento Contextual .............................................................................................. 11

2.1.1. Caracterização da Escola............................................................................................ 11

2.1.2. Caracterização da turma ............................................................................................ 14

2.2. Enquadramento Teórico ................................................................................................... 16 2.2.1. O estudo da circunferência no Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007... 16

2.2.2. Teoria da atividade .................................................................................................... 18

2.2.3. Atividade matemática................................................................................................ 20

2.2.4. Contributo das novas tecnologias na aprendizagem da matemática .......................... 34

2.3. Estratégias de intervenção ............................................................................................... 42 2.3.1. Metodologias de ensino e de aprendizagem .............................................................. 43

2.3.2. Estratégias de avaliação ............................................................................................. 48

CAPÍTULO 3 ........................................................................................................................... 51 INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA .................................................................................................. 51 3.1. Tópicos, tarefas e atividades desenvolvidos na intervenção pedagógica ............................. 51 3.2. Ensino e aprendizagem de tópicos da Circunferência ....................................................... 52

3.2.1. Ângulo inscrito num arco de circunferência ............................................................... 52

3.2.2. Ângulo com vértice no interior da circunferência ....................................................... 57

3.2.3. Área de polígonos regulares inscritos numa circunferência ........................................ 64

3.3. Perceção dos alunos sobre a estratégia de ensino ............................................................ 68 3.3.1. Perceção dos alunos sobre as estratégias de ensino no final de algumas aulas........... 68

3.3.2. Perceção dos alunos sobre as estratégias de ensino após a intervenção pedagógica .. 73

CAPÍTULO 4 ........................................................................................................................... 81 CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES E RECOMENDAÇÕES ................................................................. 81 4.1. Conclusões ...................................................................................................................... 81

x

4.1.1. Que atividades desenvolvem os alunos no estudo sobre a circunferência com recurso ao GeoGebra? ..................................................................................................................... 81

4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos na aprendizagem do estudo da circunferência? Qual o contributo do GeoGebra na clarificação dessas dificuldades? .......... 83

4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a utilização do GeoGebra na aprendizagem do estudo da circunferência? ................................................................................................... 84

4.2. A prática pedagógica à luz da teoria da atividade .............................................................. 85 4.3. Limitações e recomendações ........................................................................................... 86 BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 89 ANEXOS ................................................................................................................................. 95 ANEXO 1 – Questionário inicial ............................................................................................... 96 ANEXO 2 – Questionário final.................................................................................................. 98 ANEXO 3 – Plano de lição: Ângulo inscrito num arco de circunferência .................................. 100 ANEXO 4 – Plano de lição: Ângulo com vértice no interior da circunferência .......................... 104 ANEXO 5 – Plano de lição: Área de polígonos regulares ......................................................... 107 ANEXO 6 – Questões de aula ................................................................................................ 109 ANEXO 7 – Aplicações práticas: Ângulo com vértice no interior da circunferência .................. 110 ANEXO 8 – Exercício sobre uma situação do quotidiano ........................................................ 111

xi

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1: Escolaridade dos Pais e Encarregados de Educação (Projeto Educativo da Escola) ...12

Tabela 2: Distribuição das idades dos alunos (n 30) ..………………………………………………….14

Tabela 3: Métodos para aprender Geometria …..…………………………………………………………….15

Tabela 4: Tópico da circunferência nos três ciclos ..………………………………………………………..16

Tabela 5: Momentos na realização de uma investigação (Ponte et al., 2003, p. 21) ……………..32

Tabela 6: Fases de uma aula de ensino exploratório .……………………………………………………..45

Tabela 7: Tópicos lecionados ……..…………………………………………………………………………......51

Tabela 8: Distribuição das respostas dos alunos à primeira tarefa (n=14) ..………………………...65

Tabela 9: Respostas dos alunos sobre os conceitos abordados na aula do tópico ângulo ao centro ..……………………………………………………………………………………………………….............69

Tabela 10: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra na aula do tópico ângulo ao centro…………………………………………………………………………………………………………………….70

Tabela 11: Respostas dos alunos sobre as dificuldades sentidas na aula do tópico ângulo a centro ..………………………………………………………………………………………………………………….70

Tabela 12: Respostas dos alunos sobre os conceitos abordados na aula do tópico ângulos com vértice no interior da circunferência ..…………………………………………………………………………..71

Tabela 13: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra na aula do tópico ângulos com vértice no interior da circunferência ..…………………………………………………………………………..72

Tabela 14: Respostas dos alunos sobre as dificuldades sentidas na aula do tópico ângulos com vértice no interior da circunferência …………………………………………………………………………….72

Tabela 15: Percentagem de respostas dos alunos sobre a perceção da utilização do GeoGebra na aprendizagem do estudo da circunferência ………………………………………………………………73

Tabela 16: Percentagem das respostas dos alunos sobre atitudes e capacidades desenvolvidas na aprendizagem do estudo da circunferência ……………………………………….………………………74

Tabela 17: Percentagem de respostas dos alunos sobre as atividades desenvolvidas na aprendizagem do estudo da circunferência ………………..…………………………………………………75

Tabela 18: Percentagem de respostas dos alunos sobre a dificuldade do estudo do tópico da circunferência ..………………………………………………………………………………………………………..76

Tabela 19: Respostas dos alunos sobre o que mais gostaram nas aulas em que utilizaram o GeoGebra ..……………………………………………………………………………………………………………..76

Tabela 20: Respostas dos alunos sobre o que menos gostaram nas aulas em que utilizaram o GeoGebra ……………………………………………………………………………………………………………….77

Tabela 21: Respostas dos alunos sobre as dificuldades sentidas no estudo do tópico da circunferência ………………………………………………………………………………………………………….77

Tabela 22: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra no esclarecimento das dificuldades sentidas no tópico da circunferência …………………………………………………………..78

xii

Tabela 23: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra na aprendizagem dos conceitos e propriedades relacionadas com a circunferência ……………………………………………78

xiii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Modelo da 1ª Geração (Engeström 2001) ………………………………………………………..18

Figura 2: Modelo da 2.ª geração. Estrutura de um sistema de atividade humana (Engeström 2001) …………………………………………………………………………………………………………………….19

Figura 3: Modelo da 3.ª geração. Interação de dois sistemas de atividade (Engeström, 2001) ..19

Figura 4: Tipologia das tarefas relativamente ao grau de desafio e abertura (Ponte, 2005) …….23

Figura 5: Modelo para o ensino do raciocínio (Hirschhorn & Thompson, 1996) ……………………36

Figura 7: Diferença entre um ângulo ao centro e um ângulo inscrito numa circunferência segundo o par P5 …………………………………………………………………………………………………….53

Figura 8: Diferença entre um ângulo ao centro e um ângulo inscrito numa circunferência segundo o par P9 …………………………………………………………………………………………………….54

Figura 9: Justificação do par P10 sobre a amplitude de um arco com ângulo ao centro ……….54

Figura 10: Determinação no GeoGebra da amplitude de um ângulo inscrito num arco de circunferência …………..……………………………………………………………………………………………..54

Figura 11: Conjetura sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo inscrito num arco de circunferência apresentada pelo par P10 …………………………………………………………………55

Figura 12: Prova da relação que determina a amplitude de um ângulo inscrito num arco de circunferência apresentada pelo par P2 ……………………………………………………………………….56

Figura 13: Conjetura sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P1 …………………………………………………………58



Figura 16: Conjetura errada sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P4 …………………………………………..58

Figura 17: Registo das amplitudes do ângulo interno BAC e dos correspondentes arcos CB e DE pelo par P4 …………………………………………………………………………………………………………….59

Figura 18: Ângulo com vértice no interior da circunferência ……………………………………………..60

Figura 19: Prova da relação sobre a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P5 ……………………………………………………………………….61

Figura 20: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência do aluno A2 com erros de cálculo …………………………………………………………...62

Figura 21: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência sem justificação do aluno A5 ………………………………………………………………….63

Figura 22: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência com justificação do aluno A1 ………………………………………………………………….63

Figura 23: Expressão errada do perímetro do hexágono apresentada pelo par P10 ………………65

xiv

Figura 24: Expressão da área de cada triângulo em função do apótema apresentada pelo par P6 ……………………………………………………………………………………………………………………………..65

Figura 25: Expressão incorreta da área de cada triângulo apresentada pelo par P7 ……………..65

Figura 26: Expressão da área de um hexágono regular apresentada pelo par P7 …………………66

Figura 27: Expressão da área de um hexágono regular apresentada pelo par P8 …………………66

Figura 28: Expressão da área de um polígono regular apresentada pelo par P5 ………….……….68

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Este capítulo está dividido em três secções: Na primeira, apresenta-se o tema, o objetivo

e as questões de investigação do projeto. É ainda referida a pertinência do estudo e uma breve

descrição da estrutura do relatório.

1.1. Tema, objetivo e questões do estudo

A Matemática é a disciplina na qual, ao longo dos tempos, os alunos têm demonstrado

maior dificuldade. De forma generalizada, ouvimos falar de uma grande percentagem de alunos

com insucesso nesta disciplina. Em Portugal, assim como em outros países, esta questão tem

merecido a atenção de vários estudos na procura de analisar e compreender as razões para o

insucesso dos alunos em Matemática. Ponte (1994a) refere que o insucesso é uma realidade

complexa, com múltiplas causas, todas interrelacionadas, em que cada um dos intervenientes

no processo de ensino-aprendizagem tem uma visão própria sobre esta questão. São várias as

causas do insucesso apresentadas ao longo dos tempos. Os professores responsabilizam os

alunos, as famílias, os currículos e as características próprias da disciplina. Nesta perspetiva,

Ponte (1994a) menciona que “as causas apontadas andam todas à volta dos mesmos pontos,

muito embora com ênfases diferentes: a disciplina, o currículo, o professor, o aluno, razões de

ordem social e cultural” (p. 2). Outros fatores que levam ao insucesso desta disciplina são: os

currículos, que impõem um nível de abstração precoce dando privilégio à quantidade de

assuntos abordados em relação à qualidade de aprendizagem; e a instrumentalização da

Matemática na seleção dos alunos (Ponte, 1994a). A nível curricular, Ponte (2002) menciona

três fatores que contribuem para os problemas de aprendizagem: “(I) Tradição pobre de

desenvolvimento curricular em Matemática; (II) Insuficiente concretização prática das

orientações curriculares dos programas em vigor; (III) Carácter difuso das finalidades do ensino

na Matemática e das expectativas de desempenho dos alunos” (p. 19). Atendendo a todos estes

fatores, o que poderá ser feito para atenuar o insucesso dos alunos nesta disciplina?

Considerando o insucesso desta disciplina Ponte (1994a, p. 4) declara que “a conceção que se

tem da Matemática e os objetivos que se perseguem no seu ensino surgem deste modo como os

2

elos fundamentais por onde se pode agir em relação ao problema do insucesso”. Reorientando o

ensino da Matemática é possível tornar esta disciplina uma experiência de sucesso, através de

uma intervenção nos diversos níveis abrangendo as práticas pedagógicas, o currículo, o sistema

educativo e a sociedade em geral (Ponte, 1994a). O autor menciona que para conduzir esta

disciplina ao sucesso é necessário: (I) Criar uma imagem diferente da Matemática, como

atividade humana multifacetada, capaz de oferecer experiências desafiantes; (II) Divulgar uma

visão ampla dos processos de pensamentos e das competências da matemática; (III) A formação

dos professores deve promover uma nova visão da matemática e das formas de trabalho,

valorizando o trabalho de grupo, a execução de projetos, as atividades exploratórias e de

investigação, a resolução de problemas, a discussão e a reflexão crítica; (IV) Reformular os

currículos, valorizando a componente metodológica, e uma diferenciação dos programas de

diversas áreas no ensino secundário; (V) Diversificar as formas e instrumentos de avaliação; (VI)

Alterar os critérios de acesso ao ensino superior, diversificando os indicadores de seleção.

Fernandes e Silva (s.d) salientam que se o professor não adequar as suas práticas

pedagógicas aos interesses e à realidade dos seus alunos, poderá contribuir para aumentar o

desinteresse e desmotivação do aluno pela Matemática. Tendo em consideração estes aspetos,

um dos objetivos para combater o insucesso será o de fomentar o interesse do aluno pela

Matemática. Fernandes e Silva (s.d) salientam que, no sentido de promover o sucesso, os

professores devem explorar a componente lúdica da Matemática e sempre que possível

relacioná-la com o quotidiano dos alunos, envolvendo-os em atividades diversificadas,

interessantes e motivadoras. Os autores referem igualmente que a existência de materiais

didáticos, entre os quais a tecnologia, permite aos professores satisfazer os interesses dos

alunos oferecendo-lhes aulas mais divertidas e mais práticas, constituindo também uma forma

de cativar os alunos mais desmotivados alargando os horizontes das suas aprendizagens. Desta

forma, é essencial que os professores estejam cientes de que o ensino da Matemática deve ser

algo mais do que mera transmissão da matéria, ou memorização, que é importante selecionar o

que é indispensável para desenvolver a capacidade de raciocínio dos alunos, e que interajam

com eles criando momentos para a discussão (Chagas, 2004). Assim, uma tarefa desafiante

para o professor será conquistar o interesse dos alunos, através de aulas que promovam a sua

autonomia e a mobilização de conhecimento.

A Matemática é, por vezes, considerada a ciência dos números e dos cálculos, das

formas e padrões, desde sempre utilizada pelo homem para facilitar a sua vida na sociedade, e

3

que está presente em tudo o que nos rodeia, na arquitetura, nos computadores, nos meios de

comunicação social através de, por exemplo, evidências estatísticas (Ponte, Boavida & Abrantes

1997). Numa perspetiva utilitarista, a Matemática está também presente em várias disciplinas

escolares, como por exemplo na Economia, Informática, Física e Química, Educação Visual

particularmente através da Geometria, entre outras. Por estas razões, o NCTM (2007) considera

que nunca foi tão importante e indispensável compreender a Matemática e ser capaz de a usar

no quotidiano e no local de trabalho. Por vezes, os alunos questionam o professor sobre as

razões do estudo desta disciplina. Relativamente a esta questão, a APM (1988) aponta que

alguns dos objetivos do seu estudo advêm da sua aplicação a uma diversidade de problemas

práticos e à sua crescente utilização em áreas de conhecimento, às próprias características da

Matemática enquanto ciência e disciplina que lhe confere um importante valor formativo. Esta

combinação permite promover o desenvolvimento de capacidades e hábitos intelectuais, forma

de raciocínio e comunicação, assim como estratégias de resolução de problemas (APM, 1998).

Ao analisar os programas do ensino da Matemática de 1991 e de 2007 constatei que a

Geometria é um tema sempre presente, tendo continuamente como objetivos o desenvolvimento

do raciocínio, da comunicação e da intuição geométrica. Para o desenvolvimento da intuição

geométrica os alunos devem usar modelos físicos, assim como objetos do mundo real de forma

a trabalhar ideias abstratas apoiando-se em experiências concretas (NCTM, 1991). O Programa

de Matemática do Ensino Básico de 2007 dá particular importância ao raciocínio, à formulação

de conjeturas e à comunicação. Particularmente, no tema da Geometria do 3.º ciclo, este

programa refere a importância de os alunos realizarem experiências, elaborarem estratégias,

formularem conjeturas, descreverem processos e justificá-los, permitindo-lhes desta forma

familiarizarem-se com o processo de demonstração e iniciar o raciocínio geométrico dedutivo. A

brochura de apoio ao Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2011)

para o ensino da Geometria e Medida menciona que “a geometria propicia um contexto favorável

para que os alunos se envolvam em atividade matemática e desenvolvam a comunicação

matemática” (p. 13). A aprendizagem dos factos e dos procedimentos de Geometria

proporciona, segundo o NCTM (2007), “um meio de descrição, análise e compreensão do

mundo e da beleza visual das suas estruturas” (p. 365), podendo as ideias geométricas serem

vantajosas em diferentes áreas da Matemática. Os alunos desenvolvem, a partir dos primeiros

anos de escolaridade, a capacidade de visualização através da realização de experiências

4

concretas utilizando uma diversidade de objetos geométricos e através da utilização de recursos

tecnológicos (NCTM, 2007).

No programa de Matemática do ensino básico (Ministério da Educação, 2007), o estudo

da Geometria encontra-se presente nos três ciclos tendo como ideia central o desenvolvimento

do sentido espacial dos alunos. Para o seu estudo ao longo do 2.º e 3.º ciclos, este artefacto

curricular recomenda o recurso a programas computacionais de geometria dinâmica, os quais

favorecem a compreensão dos conceitos e relações geométricas, principalmente na realização

de tarefas exploratórias e de investigação. Relativamente ao 1.º ciclo, apesar de não fazer

referência à sua utilização, refere a importância de utilizar o computador na sala de aula de

forma a proporcionar explorações que podem enriquecer as aprendizagens realizadas no âmbito

deste tema. O uso das novas tecnologias na educação proporcionam ao aluno a possibilidade de

novas experiências na aquisição de conhecimento permitindo envolver-se no processo de ensino-

aprendizagem. Para o NCTM (2007) os recursos tecnológicos são essenciais no ensino e na

aprendizagem da matemática, porque “influencia a matemática que é ensinada e melhora a

aprendizagem dos alunos; (…) as possibilidades de envolver os alunos em desafios matemáticos

aumentam de forma acentuada, com a utilização de tecnologias especiais” (pp. 26-27).

As recomendações do Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da

Educação, 2007) e do NCTM (2007) apontam para um papel mais interventivo do aluno no

processo de ensino aprendizagem, assim como para a realização de uma variedade de tarefas,

incluindo as de carácter exploratório. O estudo da circunferência é um dos conteúdos com

destaque no tema da Geometria, mantendo-se nas reformulações atuais dos programas de

matemática do ensino básico. O seu estudo tem como objetivos específicos o estabelecimento

de relações entre os ângulos, arcos e cordas, de forma a estabelecer propriedades, assim como

a resolução de problemas envolvendo a circunferência e outros lugares geométricos. O Programa

de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007) pretende que os alunos sejam

capazes de estabelecer e formar propriedades e relações que encontram através da realização

de tarefas de exploração. Para a concretização destes objetivos, o programa propõe a utilização

de softwares de geometria dinâmica nas construções geométricas. Tendo em consideração estes

pressupostos, neste estudo recorreu-se à utilização do software de geometria dinâmica

GeoGebra, por permitir apresentar simultaneamente diversas representações de um mesmo

objeto, que interagem entre si. Para contemplar estas orientações na prática pedagógica foram

apresentadas tarefas que permitissem aos alunos envolverem-se na exploração das propriedades

5

relacionadas com o estudo da circunferência, dando-lhes oportunidade de estabelecer as suas

relações.

Com base nestes pressupostos, este estudo pretende identificar as vantagens e as

desvantagens da utilização do GeoGebra na aprendizagem de alunos do 9.º ano de escolaridade

no estudo da circunferência. Com este objetivo, pretendo responder às seguintes questões de

investigação:

– Que atividades desenvolvem os alunos no estudo sobre a circunferência com

recurso ao GeoGebra?

– Que dificuldades manifestam os alunos na aprendizagem do estudo da

circunferência? Qual o contributo do GeoGebra na clarificação dessas dificuldades?

– Que perceções têm os alunos sobre a utilização do GeoGebra na aprendizagem do

estudo da circunferência?

O Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007) e o NCTM

(2007) recomendam a utilização de programas de geometria dinâmica para os alunos

explorarem relações, formularem e testarem conjeturas. Neste sentido, com a utilização do

GeoGebra pretendeu-se proporcionar um ambiente de aprendizagem favorável para a obtenção

de relações da circunferência. Como refere Ponte (2005), as novas tecnologias possibilitam o

envolvimento dos alunos em atividades matemáticas intensas e significativas, promovendo

atitudes positivas e uma visão mais completa desta disciplina.

1.2. Pertinência do estudo

A Geometria é uma componente importante do currículo de Matemática porque o

conhecimento, as relações e as ideias geométricas, para além se serem úteis em situações de

todos os dias, estão relacionados com diversos tópicos matemáticos e outras matérias escolares

(NCTM, 1991). Este tema é há muito considerado como o tema do currículo da matemática

onde os alunos aprendem a raciocinar e a compreender a estrutura axiomática da Matemática

(NCTM, 2007). As ideias geométricas revelam-se muito úteis na representação e resolução de

problemas. Com o estudo da Geometria os alunos poderão aprender as formas e estruturas

geométricas e o modo de analisar as suas características e relações (NCTM, 2007). Para o

NCTM (2007), a Geometria é um tema importante no currículo, pois favorece o desenvolvimento

da capacidade de visualização espacial, de raciocínio e de argumentação dos alunos. Para Matos

6

e Serrazina (1996), a aprendizagem do estudo da Geometria proporciona aos alunos “uma das

formas privilegiadas de adquirir uma intuição e uma orientação espacial crucial para o mundo

moderno” (p. 265). A visualização espacial facilita a aprendizagem da Geometria, é desenvolvida

através de experiências geométricas em contexto de sala de aula, e engloba a forma como os

alunos percecionam o mundo que os rodeia e a capacidade de interpretar, modificar e antecipar

transformações de objetos (Matos & Gordo, 1993).

O Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007 refere como capacidades

transversais a desenvolver o raciocínio, a comunicação e a argumentação, as quais podem ser

desenvolvidas com o estudo da Geometria através da partilha de ideias, nomeadamente na

realização de trabalhos de pares e de grupo, assim como na sistematização e institucionalização

de conhecimentos e ideias matemáticas com a turma. Matos e Serrazina (1996) referem que a

Geometria, para além do desenvolvimento da capacidade de visualização, permite também

desenvolver a verbalização, a construção e manipulação de objetos geométricos, assim como a

capacidade de aplicar os conhecimentos geométricos noutras situações.

A Geometria, ao longo de todos os ciclos, proporciona aos alunos oportunidades de

desenvolverem o gosto por investigar propriedades e relações geométricas, aptidão para

formular argumentos válidos recorrendo à visualização e ao raciocínio espacial, assim como

sensibilidade para apreciar a Geometria no mundo real (Ministério da Educação, 2001). Como

corrobora o NCTM (1991), "o estudo da geometria ajuda os alunos a representar e a dar

significado ao mundo” (p. 133). Para desenvolver a intuição e a orientação espacial, Matos e

Serrazina (1996) referem que é fundamental uma metodologia que assente na visão do aluno,

proporcionando-lhe os meios e o ambiente no qual possa desenvolver o seu próprio

conhecimento. Para os autores o estudo da Geometria deve passar por um reforço da intuição,

pelo recurso à utilização de computadores, e pela manipulação de figuras elementares e

consequentemente a investigação de algumas das suas propriedades. No que respeita às tarefas

e recursos o Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007) advoga

que os alunos na resolução de problemas geométricos, nas tarefas exploratórias e de

investigação devem ter um tempo adequado para a realização de experiências, elaboração de

estratégias, formulação de conjetura, descrição de processos e respetiva justificação. A

importância desta abordagem advém do facto que os alunos “ao elaborarem justificações,

produzindo pequenas cadeias dedutivas, familiarizam-se com o processo de demonstração e

iniciam o processo geométrico dedutivo” (Ministério da Educação, 2007, p. 51).

7

As atuais indicações metodológicas para o ensino da Matemática recomendam o uso

das novas tecnologias. Os alunos ao longo de todos os ciclos devem usar entre outros recursos

tecnológicos os computadores na realização de cálculos complexos, na representação de

informação e na representação de objetos geométricos (Ministério da Educação, 2007). De

acordo com o NCTM (2007) “as possibilidades de envolver os alunos em desafios matemáticos

aumentam de forma acentuada, com a utilização de tecnologias especiais” (p. 27). As novas

tecnologias são um recurso que, segundo Ponte, Oliveira e Varandas (2003), podem promover

nos alunos o desenvolvimento de importantes competências, assim como atitudes mais positivas

em relação à Matemática e uma perspetiva mais completa desta ciência.

No estudo da Geometria, as Competências Essenciais da Matemática (Ministério da

Educação, 2001) consideram que os alunos devem desenvolver “aptidão para realizar

construções geométricas e para reconhecer e analisar propriedades de figuras geométricas,

nomeadamente recorrendo a materiais manipuláveis e a software geométrico” (p. 62).

Relativamente ao uso das novas tecnologias, o Programa de Matemática do Ensino Básico

(Ministério da Educação, 2007) para o 3.º ciclo, recomenda o uso de softwares de geometria

dinâmica nas construções geométricas, sobretudo na realização de tarefas exploratórias e de

investigação. Relativamente a este tipo de tarefas Fernandes e Viseu (2011) mencionam que

estas associadas a ambientes de geometria dinâmica tendem a favorecer a descoberta de

propriedades e a produção de prova. Os alunos ao envolverem-se ativamente em conceitos

geométricos, com a utilização de modelos concretos e de software de geometria dinâmica,

através de atividades bem concebidas e apoiados pelo professor, poderão formular conjeturas e

aprender a raciocinar cuidadosamente sobre noções geométricas (NCTM, 2007).

Oliveira e Domingos (2008) num debate sobre o tema Software no ensino e

aprendizagem da Matemática, destacam a importância que os ambientes de geometria dinâmica

adquiriram nas práticas profissionais dos professores, aparentemente por serem de fácil

integração e articularem-se com uma certa facilidade às orientações curriculares dos vários

níveis de escolaridade. Os autores referem que existem evidências de modos de utilização muito

variados, porém destacam como elementos comuns a possibilidade de favorecer a integração de

várias representações e o estabelecimento de conexões matemáticas. Os softwares de geometria

dinâmica, através da construção e manipulação de objetos, são um recurso favorável à

descoberta de propriedades e de relações geométricas, promovendo a aprendizagem do aluno,

auxiliando-o na obtenção de conhecimentos assim como na construção de provas (Healy &

8

Hoyles, 2001). Para Ponte, Matos e Abrantes (1998) o ensino da Geometria com a utilização de

software dinâmico cria um ambiente de trabalho em que a motivação e atitudes, relativamente à

disciplina de Matemática, tendem a progredir. Proporcionam ao aluno um papel mais

interventivo no processo de ensino aprendizagem, significa que segundo Viseu, Nogueira e

Santos (2009), no estudo da Geometria, aprender relações e propriedades recorrendo a software

de geometria dinâmica liberta o aluno de atividades mecânicas proporcionando-lhe espaço para

um trabalho mais dinâmico e ativo.

Um processo de ensino e aprendizagem inovador concebe situações de aprendizagem

estimulantes e que desafiem os alunos a pensar, apoiando-os no seu trabalho, favorecendo a

divergência e a diversificação dos percursos de aprendizagem (Ponte, Oliveira & Varandas,

2002).

1.3. Estrutura do relatório

O presente relatório está estruturado em quatro capítulos. O primeiro capítulo –

Introdução – apresenta o tema, o objetivo e as questões de investigação que orientaram a minha

prática pedagógica. É também mencionada a pertinência do estudo, e com base na literatura, as

razões que estiveram na origem desta escolha e, por fim, a estrutura do relatório.

O segundo capítulo -- Enquadramento contextual e teórico – dividido em três secções. Na

primeira seção é descrito a escola e a turma onde realizei a minha prática pedagógica. Na seção

seguinte é analisado o estudo da circunferência, ao longo dos três ciclos, no programa de

Matemática do ensino básico de 2007. É também feita uma breve abordagem à Teoria da

Atividade, de forma a compreender os objetivos e motivações da atividade humana. Seguindo-se

uma análise da atividade Matemática, onde são focadas algumas recomendações de autores,

sobre o que poderá o professor fazer para provocar a atividade Matemática dos alunos.

O terceiro capítulo – Intervenção pedagógica – Numa primeira fase são apresentados os

tópicos lecionados sobre o estudo da Circunferência na intervenção pedagógica, é realizada uma

análise dos dados resultantes de algumas atividades desenvolvidas pelos alunos. No final são

analisadas as perceções dos alunos relativamente à estratégia delineada.

No quarto capítulo – Conclusões, Limitações e Recomendações – apresentam-se as

conclusões e os resultados relativos às questões de investigação formuladas. Segue-se uma

breve análise da prática pedagógica à luz da teoria da atividade. Por último, refere-se as

9

dificuldades e limitações na concretização deste estudo, assim como algumas recomendações

para trabalhos futuros.

11

CAPÍTULO 2

ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO

Este capítulo começa por caraterizar a escola e a turma onde foi desenvolvido o projeto

de intervenção pedagógica, tendo como referência os princípios orientadores do Projeto

Educativo e as atividades relacionadas com a Matemática no Projeto Curricular da Escola. De

seguida, efetua-se o enquadramento teórico deste estudo, tendo como referência a análise do

programa do 3º ciclo em relação ao estudo da circunferência e atendendo à natureza do objetivo

trabalho, a concetualização da teoria da atividade e a atividade matemática. Na fase seguinte,

referem-se as estratégias utilizadas para a concretização do projeto, assim como a

fundamentação das mesmas.

2.1. Enquadramento Contextual

Esta seção trata da caraterização da Escola e da Turma onde foi desenvolvido o Projeto

de Intervenção Pedagógica Supervisionada.

2.1.1. Caracterização da Escola

A intervenção pedagógica decorreu numa Escola do 3.º Ciclo e Secundária do distrito de

Braga. A mesma entrou em funcionamento em 1984 e atualmente pertence a um Agrupamento

de Escolas do concelho, que foi constituído em 2012 e resultou da fusão entre um Agrupamento

de Escolas e uma Escola Secundária. A sua área de influência pedagógica abrange as freguesias

que constituem o concelho.

A escola está inserida numa zona com amplos espaços verdes, é constituída por 4

pavilhões, edifício de serviços, bloco I, bloco II e pavilhão polidesportivo. Os espaços são, de um

modo geral, adequados às necessidades educativas dos alunos. Possui salas de informática,

laboratórios de Física e Química e Biologia/Geologia, Biblioteca e um Centro de Recursos

Escolares. O serviço prestado pela Biblioteca e Centro de Recursos Escolares é direcionado,

como refere o Projeto Educativo da Escola, para a promoção da informação e do conhecimento

do processo formativo dos membros da comunidade educativa, numa perspetiva de

aprendizagem ao longo da vida,

12

Os alunos encontram-se distribuídos pelo 3.º ciclo do Ensino Básico, Ensino Secundário,

cursos Científico-Humanísticos, Cursos de Educação e Formação para Jovens, Cursos

Profissionais e Cursos de Educação e Formação de Adultos. Além do corpo estudantil, fazem

parte dos recursos humanos da mesma cerca de 120 professores, 39 funcionários não

docentes. Os níveis salariais dos pais e encarregados de educação são muito baixos o que pode

ser constatado pelo número de alunos com apoio da Ação Social Escolar. Mais de 60% dos

alunos do 3º ciclo e ensino profissional têm escalão A ou B. No ensino secundário, a

percentagem é menor, mas continua acima dos 50%. Relativamente às habilitações literárias dos

encarregados de educação, os dados apontam para 37% com o 1.º ciclo, 18,4 % com o 3.º ciclo,

9,3% com o ensino secundário e 2,9% com o ensino superior, verifica-se também, pela leitura da

tabela 1 que os níveis são ainda mais baixos nos dos alunos dos Cursos de Educação e

Formação e Ensino Profissional.

Tabela 1: Escolaridade dos Pais e Encarregados de Educação (Projeto Educativo da Escola).

Os níveis de escolarização e formação dos pais e encarregados de educação são muito

reduzidos, o que, segundo o Projeto Educativo da Escola, não favorece o acompanhamento dos

seus educandos relativamente ao contexto escolar.

Na avaliação externa efetuada pela Inspeção Geral da Educação, a escola obteve a

classificação de “Bom” em todos os domínios: resultados dos alunos, prestação do serviço

educativo, organização e gestão escolar, liderança e capacidade de autorregulação. Foram ainda

identificados como pontos fortes a evolução positiva da percentagem de alunos que transitam

com sucesso pleno, as taxas de transição e conclusão superiores às nacionais, a eliminação do

abandono escolar no 3.º ciclo, como também a redução das desistências no ensino secundário.

13

O Projeto Educativo da escola tem como princípios promover a emergência de práticas

educativas inovadoras e a melhoria da qualidade educativa, favorecendo a aprendizagem

integrada de todos os saberes disciplinares, numa perspetiva cultural transversal. Tais princípios

têm como finalidade assegurar a formação escolar e profissional tendo em consideração os

interesses e aptidões dos alunos no seu contexto sociocultural. Neste sentido, o Plano Anual de

Atividades contempla ações promotoras de interdisciplinaridade e participação das turmas em

atividades curriculares e extracurriculares, entre elas, visitas de estudo, apoios, exposições,

comemorações de efemérides, campanhas de solidariedade e desporto escolar.

A escola, ao longo do ano letivo, desenvolveu alguns projetos, entre os quais, o Plano

Anual da Matemática e o Plano Tecnológico da Educação. O primeiro visou desenvolver no aluno

atitudes positivas face à disciplina, à capacidade de apreciar esta ciência, permitindo ainda

promover competências a nível da resolução de problemas, da comunicação matemática e do

raciocínio matemático. Constituiu a equipa de trabalho, todos os professores de Matemática. O

segundo visou promover a utilização das TIC nas atividades letivas e não letivas, rentabilizando

os meios informáticos disponíveis, generalizando a sua utilização por todos os elementos da

comunidade educativa, e apoiar a sua integração no ensino, na aprendizagem, na gestão e na

segurança ao nível da Escola (Projeto Curricular da Escola).

De forma a promover a evolução dos alunos relativamente às competências previstas

para a Matemática, no âmbito do Projeto Curricular de Escola, foram desenvolvidas diversas

atividades. Assim, decorreu ao longo do ano o Campeonato de Jogos, tendo como destinatários

todos os alunos do agrupamento, e com os seguintes objetivos: desenvolver o raciocínio lógico –

abstrato; aumentar o gosto pela Matemática; adquirir métodos/estratégias de resolução de

problemas; desenvolver a capacidade de atenção/concentração; usar as TIC. Foi também

desenvolvida a atividade “Problema do mês”, destinada a alunos do 5.º e 6.º anos, que

pretendeu promover o desenvolvimento do raciocínio lógico – abstrato; da capacidade de

resolução de problemas, da capacidade de comunicação matemática e da capacidade de leitura

e/ou interpretação/compreensão de enunciados (Plano Anual de Atividades).

Analisando os princípios e objetivos da educação presentes no Projeto Educativo é

possível constatar que a escola pretende promover o desenvolvimento de uma pedagogia

inovadora e de qualidade. Através do Plano Tecnológico da Educação, referenciado no Projeto

Curricular de Escola, a escola pretende difundir a utilização das novas tecnologias no ensino e

na aprendizagem dos seus alunos.

14

2.1.2. Caracterização da turma

A turma interveniente neste projeto é uma turma do 9.º de escolaridade do ensino

básico, constituída por 30 alunos, sendo 14 do sexo feminino e 16 do sexo masculino, com

idades compreendidas entre os 13 e os 15 anos e uma média da faixa etária aproximadamente

de 14 anos (Tabela 2).

Tabela 2: Distribuição das idades dos alunos (n 30).

Idades Rapazes Raparigas Total Percentagem de alunos

13 - 1 1 3,3% 14 13 10 23 76,7 % 15 3 3 6 20 %

Dos alunos da turma, sete tinham retenções, seis dos quais em anos anteriores, apenas

um estava a repetir o 9.º ano tendo já obtido uma retenção no 7.º ano. No final do ano letivo,

dos 30 alunos 53% reprovaram à disciplina de Matemática, estando as classificações distribuídas

da seguinte forma: 1 aluno obteve nível um, 15 alunos obtiveram nível dois, 6 alunos

alcançaram nível três, 7 alunos obtiveram nível quatro e 1 aluno atingiu nível cinco.

Da análise do plano de turma, apenas dois alunos referiram a Matemática como a

disciplina preferida. As restantes preferência distribuíram-se pelas disciplinas de Educação Física

e Ciências da Natureza, ambas com oito alunos, seguiu-se o Inglês com duas preferências e por

fim a História, Francês e Educação Visual, todas com uma preferência. É de salientar ainda que

sete alunos não mencionaram qualquer preferência. Relativamente à disciplina com mais

dificuldade, dezoito alunos consideraram a Matemática como sendo a mais complicada,

apontando como justificações a falta de empenho, a complexidade dos conteúdos, e a rapidez

com que as matérias são lecionadas.

Questionados sobre quais os temas mais apreciados na disciplina de Matemática, sete

alunos manifestaram preferência pela Geometria, os restantes mencionaram outros temas, tais

como as Probabilidades e Funções, referindo ser uma matéria mais simples. Relativamente aos

temas menos preferidos, cinco alunos assinalaram a Geometria, por ser uma matéria de difícil

compreensão. Em relação ao entendimento que tinham da Geometria, referiram que este tema

consistia no estudo das figuras geométricas. Quanto ao uso do computador para o estudo da

Matemática apenas dois indicaram usar as novas tecnologias, porém nenhum aluno tinha usado

software de geometria dinâmica.

15

Quando questionados sobre os diferentes métodos de aprendizagem da Geometria, a

maioria dos alunos mencionou preferir a transmissão da matéria pelo professor, passar a

matéria para o caderno o que é feito no quadro e a realização de trabalhos com colegas em

pares ou em grupo. Apenas um aluno referiu preferir estabelecer as definições, as regras e as

propriedades (Tabela 3).

Tabela 3: Métodos para aprender Geometria.

Métodos para aprender Geometria Nº de alunos

Transmissão da matéria pelo professor 15 Resolver problemas relacionados com situações do quotidiano 5 Realizar trabalhos com colegas em pares ou em grupo 10

Resolver exercícios do manual escolar 8

Passar para o caderno o que é feito no quadro 12

Ser o aluno a estabelecer as definições, regras e propriedades 1

Resolver exercícios/problemas com recurso a softwares de geometria dinâmica 8

Ao longo do 1.º período, pela observação em contexto de sala de aula, pude verificar que

alguns alunos mostravam ter dificuldades à disciplina de Matemática, embora revelassem

empenho para as colmatar. Um número reduzido de alunos não mostrava interesse pela

disciplina. No geral, os alunos da turma eram empenhados e participativos nas atividades das

aulas. Porém, no decorrer do 2.º e 3.º períodos, devido à avaliação do final de cada período,

pude verificar um aumento do número de alunos com falta de interesse e empenho o que

originou um decréscimo no desempenho escolar dos mesmos. Relativamente ao seu

comportamento em contexto de sala de aula estavam inúmeras vezes distraídos e pouco

empenhados nas tarefas propostas. É de salientar ainda que na reunião de início de ano, o

Plano de Turma, mencionava que estes alunos apresentavam graves lacunas a nível das

competências básicas, que se prendem com fragilidades na análise e interpretação de

documentos de diversa natureza, as quais se refletiam na aplicação e relacionamento das ideias.

Contudo, verifiquei um maior empenho e vontade de alcançar melhores resultados por parte dos

alunos mais interessados e participativos. Os alunos menos interessados não participavam nas

atividades propostas na aula limitavam-se a passar para o caderno o que o professor escrevia no

quadro, e a maioria não dedicava tempo ao estudo dos conteúdos matemáticos.

Devido às características dos alunos, as condições para a realização das tarefas

propostas, assim como o envolvimento da turma nas atividades de aprendizagem, não eram as

16

mais adequadas ao desenvolvimento dos objetivos delineados para cada aula. Desta forma, a

falta de empenho e de gosto pela Matemática, por parte dos alunos, foi a maior dificuldade com

que me defrontei ao longo de cada aula.

2.2. Enquadramento Teórico

Esta seção trata da fundamentação teórica do projeto desenvolvido com base na

literatura e apresenta as metodologias e as estratégias de avaliação da ação desenvolvidas ao

longo do mesmo.

2.2.1. O estudo da circunferência no Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007

O Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007 propõe o estudo da

circunferência como um ensino progressivo. A tabela seguinte (Tabela 4) descreve o tópico da

circunferência e os objetivos específicos ao longo dos três ciclos.

Tabela 4: Tópico da circunferência nos três ciclos.

Tópicos Objetivos específicos

1º Ciclo Círculo e circunferência Distinguir círculo de circunferência e relacionar o raio e o diâmetro

2º Ciclo Círculo e circunferência: propriedades

e construção Identificar as propriedades da circunferência e distinguir círculo de circunferência

3º Ciclo

Circunferência

Ângulos ao centro, inscrito e excêntrico.

Lugares geométricos. Circunferência inscrita/circunscrita

a um triângulo. Polígono regular inscrito numa

circunferência.

Relacionar a amplitude de um ângulo ao centro com a do arco correspondente e determinar a área de um sector circular.

Relacionar a amplitude de um ângulo inscrito e de um ângulo excêntrico com a dos arcos associados.

Identificar e construir circunferência e círculo. Construir a circunferência inscrita e a

circunferência circunscrita a um triângulo dado. Inscrever um polígono regular numa

circunferência (conhecidos o centro da circunferência e um vértice do polígono).

Determinar a amplitude de um ângulo interno e de um ângulo externo de um polígono regular.

Estabelecer relações entre ângulos, arcos, cordas e tangentes.

Resolver problemas envolvendo a circunferência e outros lugares geométricos.

Analisando o Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007)

verificamos que o estudo da circunferência se inicia no 1º ciclo, começando por identificar e

representar círculos, no 1.º e 2.º ano. Nesta fase, é sugerido que os alunos desenhem círculos e

17

contornem figuras planas de modelos sólidos geométricos. No 3.º e 4.º ano, pretende-se que os

alunos distingam círculo de circunferência, que relacionem o raio e o diâmetro da mesma, e

utilizem o compasso para a realização de algumas tarefas. Ponte e Serrazina (2000) referem

que “a aprendizagem da Geometria neste nível deve ser feita de um modo informal partindo de

modelos concretos do mundo real das crianças, de modo a que elas possam formar os

conceitos essenciais” (p. 165). Os alunos devem realizar tarefas que lhes possibilitem fazer

observações, descrições e representações de objetos, assim como identificar propriedades que

as caracterizam, desenvolvendo, gradualmente, a capacidade de raciocínio através de

representações mentais (Ministério da Educação, 2007). É ainda fundamental que os alunos

registem o trabalho realizado com os materiais e que reflitam sobre ele, permitindo-lhes uma

melhor consolidação das aprendizagens (Ministério da Educação, 2007). Relativamente aos

recursos utilizados para o tema da Geometria, nomeadamente para o estudo da circunferência,

é recomendado o uso de materiais manipuláveis, pois “permitem estabelecer relações e tirar

conclusões, facilitando a compreensão dos conceitos” (Ministério da Educação, 2007, p. 21).

No 2.º ciclo, o estudo do círculo e circunferência prossegue com a construção e

identificação das suas propriedades, é sugerido a realização de tarefas experimentais para

descobrir as fórmulas do perímetro e da área do círculo. Os alunos devem igualmente resolver

problemas envolvendo propriedades do círculo, do perímetro e da área. Neste ciclo, o programa

refere que o raciocínio e a visualização devem ser aprofundados através da utilização de

instrumentos e materiais manipuláveis – régua, esquadro, compasso e transferidor, geoplanos,

tangrans, peças poligonais encaixáveis – que são considerados importantes para a exploração,

análise e resolução de problemas, assim como no desenho e construções com algum rigor. Os

softwares de geometria dinâmica são aconselhados a serem utilizados pois favorecem a

compreensão dos conceitos e relações.

No 3.º ciclo, aprofunda-se o estudo da circunferência e do círculo tendo como objetivo

estudar as suas propriedades e relações, relacionando os elementos que lhe estão diretamente

associados, tais como ângulos ao centro e excêntricos, arcos, cordas, tangentes, polígonos

inscritos. As recomendações metodológicas do programa sugerem o envolvimento dos alunos na

construção do conhecimento, visto que se acredita que a aprendizagem da Matemática resulta

do trabalho realizado pelo aluno nas tarefas propostas pelo professor. Os alunos devem ter a

possibilidade de explorar conceitos e propriedades geométricas através de diversas atividades,

tais como a resolução de problemas geométricos, tarefas exploratórias e de investigação. Estas

18

atividades possibilitam elaborar estratégias, formular conjeturas, descrever processos e justificá-

los com rigor progressivo. O programa aponta para uma maior intervenção dos alunos no

processo de ensino-aprendizagem, o que pode acontecer no estudo das relações da

circunferência, através da elaboração de construções geométricas com recurso a softwares de

geometria dinâmica, por permitir desenvolver a intuição geométrica e a capacidade de

visualização. Na construção de representações geométricas, estes softwares permitem aos

alunos determinar as medidas dos arcos, ângulos e segmentos, proporcionando um ambiente

favorável à investigação das propriedades e relações, como também possibilita efetuar

conjeturas e explorar diversas figuras com a finalidade de validarem o seu raciocínio (NCTM,

1991).

Subjacente a essas construções emerge a atividade que os alunos realizam na sala de

aula, através da realização das tarefas propostas pelo professor. Poderemos ser levados a

questionarmo-nos sobre o que motiva e como pode ser estimulada a atividade de qualquer

pessoa, em particular a dos alunos.

2.2.2. Teoria da atividade

A teoria da atividade, iniciada por Vygotsky e posteriormente desenvolvida por Leontiev,

evoluiu ao longo de três gerações. Numa primeira fase, Vygotsky introduziu a ideia de mediação,

geralmente expressa pelo modelo triangular sujeito, objeto e artefacto mediador (Figura 1),

abandonando a separação entre o meio social envolvente e o indivíduo. Vygotsky defendeu que o

ser humano não podia ser entendido sem ter em conta o seu meio cultural, assim como a

sociedade não podia ser compreendida sem considerar a atividade dos indivíduos que usam e

produzem artefactos (Engeström, 2001).

Figura 1: Modelo da 1ª Geração (Engeström 2001).

Para Engeström (2001), este primeiro modelo apresentava limitações, uma vez que a

unidade de análise era o indivíduo. Para o autor a segunda geração desta teoria centrou-se em

Leontiev, que deixou para trás a análise individual e passou a agregar ações individuais e de

grupo num sistema de atividade coletiva (Figura 2).

19

Figura 2: Modelo da 2.ª geração. Estrutura de um sistema de atividade humana (Engeström 2001).

O sistema de atividade passa então a apresentar as relações entre o sujeito e o objeto da

atividade, mediado pela utilização de artefactos, pela comunidade que partilha o objeto, pela

divisão do trabalho e pelas regras que intervêm nas relações entre o sujeito e a comunidade

(Engeström, 2001). Relativamente ao modelo da segunda geração, este autor refere que:

O sub-triângulo superior (...) pode ser visto como ‘a ponta do iceberg’ representando ações individuais e de grupo agregadas num sistema de atividades coletivo. O objeto é representado com a ajuda de uma figura circular, indicando que ações orientadas para o objeto são sempre, explicita ou implicitamente, caracterizadas por ambiguidade, surpresa, interpretação, produção de sentido e potencial para a mudança. (Engeström, 2001, p. 134)

Para Engeström (2001), a necessidade de desenvolver ferramentas concetuais para

compreender o diálogo, as múltiplas perspetivas, e a noção de redes de atividades interagindo

entre sistemas, levaram à emergência da terceira geração, cujo modelo se centra no mínimo em

dois sistemas de atividade (Figura 3).

Figura 3: Modelo da 3.ª geração. Interação de dois sistemas de atividade (Engeström, 2001).

O autor salienta que o objeto se move de um estado inicial não refletido (objeto 1), para

um objeto coletivamente significativo construído pelo sistema de atividade (objeto 2), e para um

objeto potencialmente partilhado ou construído conjuntamente (objeto 3). O objeto da atividade é

portanto um alvo em movimento, não redutível a metas conscientes de curto prazo (Engeström,

2001).

20

O conceito de atividade, segundo Leontiev (1978), ocorreu quando o ser humano passou

a viver em sociedade. Resultante da divisão do trabalho, esta distribuição originou o

aparecimento de processos ou ações. A mais simples divisão de trabalho leva necessariamente

à obtenção de resultados parciais, que por si só não conseguem satisfazer as necessidades

individuais. Assim, a ligação entre uma necessidade e a sua satisfação deixou de ser direta

(Leontiev, 1978). A atividade dos participantes no trabalho coletivo é evocada pelo resultado

final, que inicialmente responde diretamente à necessidade de cada um. Desta forma, as

necessidades são satisfeitas através da ligação dos resultados parciais, adquiridos pelos

diferentes participantes da atividade coletiva, isto é, através de ações coletivas de um grupo em

interação social (Leontiev, 1978). Para este autor, as atividades são diferentes entre si de acordo

com a sua forma, métodos de realização, necessidades de tempo e de espaço. O que distingue

uma atividade de outra é a diferença dos seus objetos, são eles que lhe dão uma determinada

direção. O objeto é o verdadeiro motivo de uma atividade, seja material ou ideal.

Leontiev (1978) refere que a atividade humana só é concretizada através da realização

de ações ou conjunto de ações, subordinadas a objetivos específicos provenientes do objetivo

geral. As ações têm um aspeto intencional, o que deve ser alcançado, e um aspeto operacional,

como e por que meios, isto é, como se realizam as operações (Leontiev, 1978). Ações e

operações têm várias origens dinâmicas e destinos, cada operação resulta de uma ação que por

sua vez tem como resultado o seu envolvimento noutra ação. Desta forma, cada ação inclui

diferentes operações (Leontiev, 1978). Atividade e motivação são conceitos que estão

necessariamente relacionados, uma atividade não existe sem um motivo, assim como as ações

se relacionam com os objetivos a alcançar (Leontiev, 1978).

2.2.3. Atividade matemática

A questão central no ensino da matemática é a natureza das atividades que os alunos

realizam na sala de aula (APM, 1988). O ensino da Matemática aponta para a construção de um

conjunto individual de informação – factos, rotinas, procedimentos e formulações em símbolos e

linguagem – assim como para a construção de critérios da natureza do tema tratado, do

conhecimento e aplicabilidade da Matemática, de formas de trabalho e procedimentos gerais no

processo matemático (Christiansen & Walther, 1986).

Estes autores reforçam que estes dois tipos de conhecimento, aquisição de um

repertório de informação e tomada de consciência sobre a aplicação da mesma deverão ser

21

acessíveis em relações apropriadas. Assim, uma diversidade de atividades deverá interagir no

aluno para que o ensino da Matemática produza resultados. A aprendizagem ocupa níveis

cognitivos diferentes na realização de qualquer atividade matemática. Como exemplo, os autores

mencionam que, se é pedido a um aluno para desenvolver uma determinada prova, este estará

preocupado com o conteúdo matemático, assim como com os processos gerais de provar e ler

um texto matemático, isto é, com o contexto de aprendizagem. Para os autores, estas

considerações apresentam uma grande amplitude da aprendizagem com que o professor tem de

se preocupar. Nesta perspetiva, a contribuição básica da teoria da atividade, é que um indivíduo

que está motivado para agir sobre um objeto, aprende através da sua atividade, ações e

reflexões, havendo assim uma relação de controlo entre o objeto e atividade.

Para Christiansen e Walther (1986) aprender não pode unicamente ser assegurado

pelas tarefas, uma vez que a dependência recíproca entre tarefa e atividade é de natureza

indireta. Através de várias tarefas dadas pelo professor, os alunos podem ser envolvidos em

atividades matemáticas, no entanto é necessário um conjunto de ações da parte do professor

para assegurar que a atividade educacional em causa resulte na aprendizagem pretendida

(Christiansen & Walther, 1986). Assim, os autores referem que:

1. Qualquer atividade deriva diretamente das finalidades de ações dirigidas que lhe são ‘inerentes’, mas não ‘dadas pela’ tarefa;

2. Tarefas específicas são necessárias para motivar tipos específicos de atividades (exploração ou resolução de problemas);

3. Qualquer atividade contribui para aprender de maneiras diferente e em níveis cognitivos diferentes;

4. As ações específicas do professor são necessárias para assegurar que o conhecimento pessoal é desenvolvido num grau apropriado dentro do conhecimento partilhado (p. 14).

Neste sentido, é fundamental que a estrutura de qualquer atividade seja clara quanto à

sua intencionalidade e aos meios adequados para atingir os objetivos pretendidos, possibilitando

mudanças de rumos consoante as interações que vão surgindo entre os alunos, o professor e o

novo objeto da aprendizagem.

Em contexto de sala de aula, os alunos podem resolver uma série de atividades

matemáticas, relacionadas com a resolução de exercícios, problemas, explorações e

investigações. Ponte (2005) e APM (1988) defendem que a aprendizagem dos alunos decorre da

atividade que realizam e da reflexão que efetuam sobre ela. Por outro lado, o envolvimento numa

atividade pressupõe a realização de uma tarefa (Ponte, 2005). Stein e Smith (1998) definem

22

tarefa “como um segmento da atividade da sala de aula dedicada ao desenvolvimento de uma

ideia matemática particular” (p. 269). Desta forma, as tarefas estão relacionadas com o modo

de construção do conhecimento, o que leva a distinguir tarefa de atividade. Para Christiansen e

Walther (1986), a “tarefa é interpretada sob a influência de muitos fatores e a atividade é

condicionada pelas ações do professor, que são uma vez mais feitas e interpretadas sob a

influência de atitudes e conceções do professor e do aluno respetivamente” (p. 10). Numa

perspetiva educacional os autores identificam a tarefa com o trabalho proposto pelo professor,

tornando-se desta forma no objeto da atividade do aluno. A atividade é, assim o que o aluno faz

para realizar uma determinada tarefa. Os autores distinguem ainda a atividade como atividade

educacional, sendo esta o resultado do planeamento educacional, e atividade de aprendizagem,

quando a atividade educacional resulta na aprendizagem intencionada. Ponte (2005) define

tarefa como o objetivo de uma ação e descreve a atividade do aluno como aquilo que espera que

este desenvolva, o que faz e a forma como se envolve na aula, num determinado contexto e

período de tempo estabelecido pelo professor. Bispo, Ramalho e Henriques (2008) consideram

que as tarefas “são pretextos de interação e colaboração entre alunos e professor, funcionando,

por isso, como ‘motores’ que promovem a aprendizagem e o desenvolvimento do conhecimento

matemático” (p. 4).

O envolvimento dos alunos no processo de ensino-aprendizagem depende, entre outros

aspetos, do interesse pela disciplina de Matemática, das capacidades e motivações de cada um.

Ponte (2005) refere que estabelecendo uma estratégia adequada, com uma diversidade de tipos

de tarefa e criando momentos que permitam explorar, refletir e discutir, o professor concebe

oportunidades que favorecem a aprendizagem dos alunos. Assim, o modo de construção do

conhecimento está ligado ao desempenho realizado pelo aluno, quando procura aprender ou

explorar e descobrir o que é proposto, apoiado pelo professor e em negociação com a turma

(Ponte, 2005). Este autor sugere ainda que o professor para suscitar a atividade do aluno, além

de ter de selecionar boas tarefas, precisa de ter atenção à forma como as propõe e à condução

da sua realização na sala de aula.

Na caracterização de qualquer currículo as tarefas são um elemento fundamental,

determinam em grande medida as oportunidades de aprendizagem proporcionadas aos alunos,

pelo que o professor deverá estabelecer uma estratégia que contemple diversos tipos de tarefas,

criando momentos próprios de exploração, reflexão e discussão (Ponte 2005). O autor classifica

as tarefas em quatro tipos de acordo com o grau de desafio e o grau de estrutura (Figura 4).

23

Figura 4: Tipologia das tarefas relativamente ao grau de desafio e abertura (Ponte, 2005).

De acordo com esta tipologia, uma tarefa é fechada quando é mencionado claramente o

que é dado e o que é pedido; é aberta quando admite um grau de indeterminação significativo

no que é dado, no que é pedido, ou em ambas as coisas (Ponte 2005). Relativamente ao grau

de desafio, este varia entre “reduzido” e “elevado”, o que se relaciona com a perceção da

dificuldade de uma questão sugerida aos alunos, tanto na sala de aula como em momentos de

avaliação (Ponte, 2005). Segundo Stein e Smith (1998), tarefas que pedem aos alunos a

execução de procedimentos memorizados, de forma rotineira, e tarefas que exigem que os

alunos pensem conceptualmente e que os estimulem a fazer conexões representam diferentes

tipos de oportunidade para os alunos pensarem. O NCTM (2007) recomenda a utilização de

tarefas significativas para introduzir conceitos matemáticos, para envolver e desafiar

intelectualmente os alunos. De forma a suscitar diferentes atividades matemáticas é essencial

realizar diferentes tipos de tarefas. Ponte (2005) menciona que é necessário diversificar as

tarefas. Esta diversificação é necessária, pois cada tipo de tarefa desempenha um papel

importante para atingir determinados objetivos curriculares. Relativamente à importância da

natureza das tarefas o autor refere que:

As tarefas de natureza mais fechada (exercícios, problemas) são importantes para o desenvolvimento do raciocínio matemático nos alunos, uma vez que este raciocínio se baseia numa relação estreita e rigorosa entre dados e resultados.

As tarefas de natureza mais acessível (explorações, exercícios), pelo seu lado, possibilitam a todos os alunos um elevado grau de sucesso, contribuindo para o desenvolvimento da sua autoconfiança.

As tarefas de natureza mais desafiante (investigações, problemas), pela sua parte, são indispensáveis para que os alunos tenham uma efetiva experiência matemática.

24

As tarefas de cunho mais aberto são essenciais para o desenvolvimento de certas capacidades nos alunos, como a autonomia, a capacidade de lidar com situações complexas (p. 17).

Para além de diversificadas, as tarefas propostas pelo professor deverão proporcionar

um percurso de aprendizagem coerente, que permita a construção dos conceitos fundamentais,

a compreensão dos procedimentos matemáticos, o domínio das notações e formas de

representação relevantes, assim como estabelecer conexões dentro e fora da Matemática (Ponte,

2005).

Christiansen e Walther (1986) consideram que a matemática escolar deve basear-se

mais na atividade pessoal dos alunos dando prioridade a atividades do tipo construir, explorar e

resolver problemas. Os autores sugerem que o processo de ensino e aprendizagem da

matemática inclua tarefas que apoiem o desenvolvimento de estratégias cognitivas relativamente

à atividade de: Investigação, inquirição, exploração, construção; Argumentação racional;

Matematização, modelando situações externas ou internas à Matemática. As tarefas podem

relacionar-se com situações práticas da realidade dos alunos ou surgirem de contextos

puramente matemáticos. No entanto, a seleção correta poderá motivar a curiosidade dos alunos

assim como envolvê-los na atividade matemática, de forma a ajudá-los a explorar e a desenvolver

ideias matemáticas cada vez mais complexas (Ministério da Educação, 2007; NCTM, 2007).

A aprendizagem dos alunos não resulta apenas das suas capacidades cognitivas, mas

de vários fatores, é influenciada entre outros, pelas suas conceções e atitudes relativamente à

disciplina, pela cultura de sala de aula, pelos contextos e situações pedagógicas (Ponte, Matos e

Abrantes, 1998). Ponte e Quaresma (2012) mencionam que um fator fundamental e favorável à

aprendizagem é o contexto de trabalho na sala de aula, o qual deve resultar do trabalho do

professor como orientador das aprendizagens, e estimular a interação construtiva entre os

alunos para que possam apresentar o seu pensamento e argumentar as suas opiniões. Os

alunos têm de trabalhar em diversos contextos matemáticos: realísticos, de semi-realidade e

matemáticos, cabendo ao professor determinar qual a natureza das tarefas a propor em cada

momento (Skovsmose, 2000). Bispo, Ramalho e Henriques (2008) referem que é importante

utilizar tarefas recorrendo a situações problemáticas reais para justificar e criar uma razão para

aplicação do conhecimento matemático adquirido. Para os autores, a aplicação desses

conhecimentos em contextos matemáticos realísticos transmite significado à aprendizagem, pois

permite uma utilização desta ciência enquanto instrumento de compreensão da realidade.

25

Segundo Ponte, Matos e Abrantes (1998) num contexto favorável, no qual sejam propostas

tarefas desafiantes, os alunos desenvolvem capacidades de raciocínio, de resolução de

problemas, de utilização da Matemática em situações reais, assim como uma visão mais

alargada desta ciência.

O ensino-aprendizagem da matemática deve prever momentos de confronto de

resultados, discussão de estratégias, institucionalização de conceitos e representações

matemáticas, deve igualmente dar destaque a situações concretas, a aspetos intuitivos e ao

raciocínio, privilegiando atividades de exploração, conjetura e prova (Ministério da Educação,

2007). Neste sentido, as orientações metodológicas do Programa de Matemática do Ensino

Básico (Ministério da Educação, 2007) mencionam que as atividades de ouvir e praticar são

importantes na aprendizagem mas que fazer, argumentar e discutir surgem com relevância

crescente, salientando que se espera que os alunos:

Sejam capazes de realizar atividades matemáticas com autonomia, tanto na resolução de problemas como na exploração de regularidades, formulando e testando conjeturas, sendo capazes de as analisar e sustentar. Deste modo, poderão sentir-se mais envolvidos na elaboração do seu conhecimento matemático e conseguir uma apropriação mais profunda desse conhecimento (Ministério da Educação, 2007, p. 6).

A APM (1988) destaca que a aprendizagem da Matemática escolar é produto da

atividade, e se esta se reduz à resolução repetitiva de exercícios para aplicação de fórmulas, é

isso que os alunos aprendem e perdurará na sua memória. Assim, a matemática escolar deverá

passar pela resolução e formulação de problemas, desenvolvimento de modelos matemáticos,

atividades de exploração, investigação e descoberta, formulação de conjeturas, discussão e

comunicação, construção de conceitos, argumentação e prova (APM, 1988). Sendo a

aprendizagem da Matemática um processo complexo, esta deve ser desenvolvida em momentos

diversificados (Ponte, 2002). Para o autor, ouvir o professor e resolver exercícios permite adquirir

certas competências matemáticas, no entanto o ensino-aprendizagem tem de envolver os alunos

em diversas situações e experiências. Assim, compete ao professor diversificar situações de

aprendizagem desafiando os alunos a aprender fazendo e a refletir sobre a atividade realizada

(Ponte, 2002). Atendendo a esta diversidade, é importante que a planificação do professor

recorra a diferentes tipos de tarefas, pois cada um desempenha um determinado papel na

obtenção de certos objetivos curriculares (Ponte, 2005).

26

Resolução de exercícios

Considerando a tipologia de tarefas caracterizada por Ponte (2005), um exercício é uma

tarefa fechada com um grau de desafio reduzido, com o propósito dos alunos consolidarem e

colocarem em prática os conhecimentos anteriormente obtidos. Um exercício é “geralmente de

resolução mecânica e repetitiva, em que apenas se aplica um algoritmo que conduz diretamente

à solução” (Ministério da Educação, 2001, p. 68). Christiansen e Walther (1986) caracterizam

os exercícios como tarefas rotineiras, isoladas umas das outras em que o aluno através da

prática e do treino sabe qual o objetivo e o que tem de fazer para a sua realização. Para estes

autores, a atividade resultante deste tipo de tarefa contribui para a consolidação cognitiva do

conhecimento e competências obtidas, não contribuindo para o desenvolvimento genuíno do

conhecimento, uma vez que a atividade de aprendizagem matemática que prevalece é limitada

ao treino e à prática relacionada com conceitos e procedimentos previamente abordados.

Também Ponte, Matos e Abrantes (1998) mencionam que a prática repetitiva de exercícios

reduz a responsabilidade do aluno na aprendizagem, valorizando pouco as suas capacidades

para construir conhecimento válido em matemática, contribuindo antes para uma compreensão

e assimilação de conceitos. Relativamente ao desenvolvimento da capacidade de comunicação,

Menezes (2000) refere que, sendo os exercícios uma tarefa rotineira que assenta num algoritmo

já conhecido, não é geradora de muita discussão entre os alunos.

A resolução de exercícios proporciona ao aluno a aplicação de regras, como forma de

desenvolver técnicas de resolução, permitindo-lhe consolidar os conhecimentos adquiridos

anteriormente. Segundo Ponte (2005) o professor ao sugerir a realização de exercícios prevê que

o aluno possa aplicar os conhecimentos apresentados, e eventualmente poderá formular e

esclarecer dúvidas. Apesar de os exercícios não favorecerem o envolvimento dos alunos na

construção do conhecimento, Matos e Serrazina (1996) referem que a resolução de exercícios é

fundamental para a aquisição de competências matemáticas.

Na resolução de exercícios, os alunos não necessitam de realizar um grande esforço

mental, no entanto esta atividade revela-se importante, pois permite consolidar aspetos rotineiros

da aprendizagem, proporcionando uma prática compreensiva de procedimentos (ministério da

educação, 2007). Este facto pode ser constatado no estudo de Dias, Viseu, Cunha e Martins

(2013) realizado com alunos de uma turma do 11.º ano de escolaridade sobre a natureza das

tarefas e o envolvimento dos alunos nas atividades da aula de matemática. O estudo teve como

objetivo averiguar a influência da natureza das tarefas no envolvimento dos alunos no estudo da

27

derivada de uma função. Da análise das atividades os autores constaram que os exercícios,

sendo uma tarefa de estrutura fechada, exigiram um menor esforço cognitivo por parte dos

alunos e permitiu-lhes a aplicação do conhecimento anteriormente adquirido. Este resultado

evidencia que os exercícios “causam uma sobrevalorização dos produtos em detrimento dos

processos na aprendizagem da Matemática” (Christiansen & Walther, 1986, p. 4).

Resolução de problemas

A distinção entre um exercício e um problema advém, segundo a APM (1988), do facto

de um problema poder ser definido como uma questão para a qual o aluno não dispõe de um

processo ou algoritmo que previamente o conduzirá à solução. Santos e Ponte (2002) definem

um problema como sendo uma dificuldade, não trivial, que se pretende ultrapassar. Para Krulik

e Rudnik (1993) um problema é uma situação, com que se confronta um indivíduo ou grupo,

para a qual não tem resposta imediata, onde é necessário raciocinar e sintetizar conhecimento

anteriormente aprendido, de forma a encontrar uma solução. As Competências Essenciais da

Matemática (Ministério da Educação, 2001) definem problemas como “situações não rotineiras

que constituem desafios para os alunos e em que, frequentemente, podem ser utilizadas várias

estratégias e métodos de resolução. (p. 68).

Relativamente à tipologia de tarefas apresentada por Ponte (2005), o autor classifica os

problemas como tarefas de estrutura fechada com um grau de desafio elevado em que o aluno

não conhece o processo imediato de resolução. Para Christiansen e Walther (1986), problemas

são tarefas não rotineiras para o qual o procedimento de resolução é desconhecido,

proporcionam condições favoráveis ao desenvolvimento cognitivo e de conhecimento construído

pelo indivíduo. Podemos destacar que um problema é uma situação para a qual o indivíduo não

tem uma resposta imediata, nem um processo específico de resolução. Contudo, segundo Ponte

e Sousa (2010), uma questão será um problema ou um exercício dependendo do indivíduo,

consoante disponha, ou não de um método rápido de resolução. Assim, para um indivíduo, num

dado momento, uma determinada questão poderá ser um problema e noutro não passar de um

simples exercício (Ponte & Sousa, 2010).

Lester (1993) caracteriza a resolução de problemas como um desafio complexo, que

envolve mais do que o simples recordar de factos para a aplicação de procedimentos

aprendidos. Segundo a APM (1988), a resolução de problemas deve estar, em todos os níveis

escolares, no centro do ensino e aprendizagem da Matemática. A resolução de problemas é uma

28

capacidade transversal a toda a aprendizagem matemática e considerada em qualquer ano de

escolaridade (Ministério da Educação, 2007; NCTM, 2007), sendo evidenciada nas finalidades

do ensino da Matemática, assim como nos objetivos gerais de aprendizagem de cada tema do

atual programa. Para Pólya (1977), a resolução de problemas é uma atividade humana

fundamental, visto que uma grande parte do nosso pensamento consciente relaciona-se com

problemas, procurando meios para a sua resolução. O autor salienta que o professor deve

envolver os alunos em atividades matemáticas criativas e não em procedimentos rotineiros que

anulam o seu interesse e inibem o desenvolvimento intelectual dos alunos. O NCTM (2007)

menciona que a resolução de problemas implica o envolvimento numa tarefa em que não é

conhecido antecipadamente o método de resolução. Desta forma, os alunos deverão encontrar a

solução através da exploração dos seus conhecimentos, permitindo-lhes desenvolver novos

conceitos matemáticos. Num sentido mais lato, a APM (1988) refere a resolução de problemas

como “o trabalho à volta de situações problemáticas variadas e envolvendo processos e

atividades como experimentar, conjeturar, matematizar, provar, generalizar, discutir e

comunicar” (p. 44). Também Schoenfeld (1996) destaca que através da resolução de problemas

os alunos podem ser desafiados intelectualmente ao envolverem-se em atividades de

comunicação, análise, exploração, conjetura e prova.

O Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007 enuncia a resolução de

problemas, em conexão com o raciocínio e a comunicação, como uma atividade propícia para os

alunos consolidarem, ampliarem e aprofundarem o seu conhecimento matemático, na qual

deverão utilizar diferentes estratégias (Ministério da Educação, 2007). Podemos considerar que

a resolução de um problema não é sempre evidente, o aluno tem que interpretar a tarefa e

através da reflexão elaborar uma estratégia para a sua execução.

Na resolução de um problema, Pólya (1977), considera quatro fases essenciais:

Compreender o problema – perceber o que é necessário, de forma a encontrar a incógnita, os dados e as condições apresentadas;

Estabelecer um plano – Encontrar a conexão entre os dados e a incógnita. De um modo geral, obtém-se um plano quando, sabemos quais os cálculos, ou estratégias de forma a obter a incógnita;

Executar o plano - O plano proporciona um roteiro geral. Realizar a estratégia delineada, examinando e verificando os pormenores, assegurando que esta é apropriada;

Reflexão – Refletir sobre a solução e o trabalho realizado. Verificar a solução encontrada, assim como a possibilidade de utilizar o método na resolução de outros problemas.

29

Analisando as quatro fases propostas por Pólya (1977) é possível constatar que através

da resolução de problemas os alunos poderão envolver-se em várias atividades, como evidencia

o Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007:

Possuir a capacidade de resolver problemas matemáticos significa ser capaz de realizar com sucesso atividades como compreender o problema, identificando a incógnita e as condições; selecionar as estratégias e os recursos apropriados e aplicá-los, explorando conexões matemáticas para superar dificuldades; e verificar soluções e rever processos (p. 62).

Um dos objetivos curriculares importantes a desenvolver é a capacidade de

comunicação por parte do aluno (Ministério da Educação, 2007). Menezes (2000) considera que

as intervenções dos alunos dependem muito do espaço discursivo que o professor proporciona,

tendo em consideração os modelos de ensino-aprendizagem que privilegia. Segundo o autor, o

professor através da resolução de exercícios poderá estimular os alunos a apresentarem,

exporem, explicarem e comentarem as várias resoluções. Os professores deverão proporcionar

oportunidades aos alunos de formularem, discutirem e resolverem problemas, e estimulá-los a

refletirem sobre os seus raciocínios (NCTM, 2007). Para Pólya (1977) o professor poderá

suscitar o interesse pelo raciocínio proporcionando os meios para alcançar esse objetivo,

desafiando a curiosidade dos alunos, apresentando-lhes problemas compatíveis com os seus

conhecimentos e auxiliando-os através de explorações estimulantes.

A resolução de problemas estimula os alunos a refletir e a comunicar, a desenvolverem

e aplicarem estratégias, permitindo-lhes também familiarizarem-se com novos conceitos (NCTM,

2007). Alguns estudos têm-se debruçado sobre o contributo da resolução de problemas na

aprendizagem dos alunos, nomeadamente no que respeita às atividades que permitem

desenvolver. Pinto, Viseu, Cunha e Martins (2014) desenvolveram um estudo com alunos de

uma turma do 11.º ano de escolaridade, tendo como objetivo compreender qual o contributo da

resolução de problemas na aprendizagem de derivada de uma função. Os dados observados

permitiram constatar que as principais atividades desenvolvidas foram a interpretação da

informação, a definição de estratégias e a discussão de processos e resultados. Os autores

verificaram que através destas atividades os alunos envolveram-se na formalização dos conceitos

e regras, assim como na sua aplicação a novas situações. Relativamente às dificuldades

reveladas por parte dos alunos, estas centraram-se na tradução da informação dada em

linguagem matemática, para interpretar e resolver problemas da vida real.

30

Atividades de exploração

As atividades de “exploração e de descoberta surgem naturalmente“ (APM, 1988, p.47),

em contextos que valorizem atividades de recolher dados, detetar diferenças, ser sensível às

repetições e às analogias, reconhecer regularidades e padrões (APM, 1988). Os alunos devem,

assim, ser capazes de explorar regularidades, formular e investigar conjeturas matemáticas, e de

fazer matemática de forma autónoma (Ministério da Educação, 2007).

Ponte (2005) caracteriza as tarefas de exploração como tarefas relativamente abertas e

acessíveis nas quais o aluno começa a trabalhar sem muito planeamento. No entanto, um

mesmo enunciado pode corresponder a uma exploração ou a um exercício consoante os

conhecimentos prévios dos alunos. Christiansen e Walther (1986) salientam que a atividade dos

alunos na realização de tarefas de exploração poderá contribuir para a aprendizagem desejada,

uma vez que: (1) motivam e possibilitam a aprendizagem em níveis cognitivos de nível superior;

(2) o conhecimento e os procedimentos adquiridos integram-se como ferramentas e meios

necessários no desempenho de ações orientadas por finalidades; e (3) possuem um efeito

produtivo pois o conhecimento e o saber fazer adquirido previamente não é apenas recordado

para uso imediato, têm frequentemente de ser adaptados, modificados e desenvolvidos para se

ajustarem às necessidades atuais. Ponte (2005) salienta que as atividades de exploração

valorizam “mais os momentos de reflexão e discussão com toda a turma, tendo por base o

trabalho prático já previamente desenvolvido, como momentos por excelência para a

sistematização de conceitos, a formalização e o estabelecimento de conexões matemáticas” (pp.

15,16).

A compreensão dos conceitos matemáticos por parte dos alunos poderá ser moldada, se

forem envolvidos ativamente em tarefas e experiências concebidas para aprofundar e relacionar

o seu conhecimento (NCTM, 2007). Segundo o NCTM (2007), os alunos “aprendem mais e

melhor quando controlam a sua aprendizagem através da determinação dos seus próprios

objetivos, e quando desafiados com tarefas criteriosamente selecionadas, tornam-se mais

confiantes na sua capacidade de lidar com problemas difíceis” (p. 22). Pinto (2012) realizou um

estudo sobre tarefas em contextos significativos no desenvolvimento do raciocínio multiplicativo,

numa turma do 6.º ano de escolaridade. O estudo contemplou tarefas de exploração e tinha

como objetivo perceber o desenvolvimento do sentido da multiplicação e da divisão de números

racionais não negativos. Segundo a autora, os resultados sugeriram que as tarefas de exploração

31

estimularam a atividade de modelação, ajudando os alunos a progredirem na compreensão e

formalização dos conceitos.

Atividades investigativas

Investigar é procurar conhecer, compreender, encontrar soluções para os problemas

com que nos deparamos, pressupõe uma vontade de perceber e de questionar. Trata-se de uma

capacidade importante para todos os cidadãos, a qual deveria fazer parte do trabalho da escola

(Ponte, 2003a). Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) definem investigação matemática como a

atividade de ensino-aprendizagem que ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade

matemática genuína, onde o aluno é “chamado a agir como um matemático, não só na

formulação de questões e conjeturas e na realização de provas e refutações, mas também na

apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor”

(p. 35). Segundo estes autores, ao solicitar a participação dos alunos na formulação de questões

a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu envolvimento na aprendizagem.

Ponte (2005) carateriza uma investigação como uma tarefa aberta mas com um grau de

desafio e complexidade elevados, referindo que a realização de investigações pelos alunos

promove o seu envolvimento ao requerer a sua participação ativa desde a fase inicial do

processo. A realização de atividades de investigação permite aos alunos obterem uma

experiência matemática fundamental, que lhes permite atingir alguns dos objetivos mais

relevantes desta disciplina (Ponte, Ferreira, Varandas, Brunheira & Oliveira, 1999). Para

Fonseca, Brunheira e Ponte (1999), o objetivo numa investigação matemática é explorar todos

os caminhos possíveis a partir de uma determinada situação, é um processo divergente, no qual

é conhecido o ponto de partida mas não se sabe o ponto de chegada. Os autores mencionam

que através das investigações os alunos tentam compreender a situação proposta, organizam os

dados e formulam questões, fazem conjeturas, procuram testá-las e demonstrá-las. Segundo

Skovsmose (2000), um ambiente de investigação proporciona aos alunos a oportunidade de

formularem questões e procurarem explicações, convidando-os a envolverem-se em processos

de exploração e argumentação. Ponte (2003b) salienta que investigar é muito mais do que lidar

com problemas de grande dificuldade, é “trabalhar a partir de questões que nos interessam e

que se apresentam inicialmente confusas, mas que conseguimos clarificar e estudar de modo

organizado” (p. 2). Segundo Ponte (2003b) numa investigação matemática o aluno parte de

uma questão genérica ou de um conjunto de informações pouco estruturadas e tenta formular

32

uma questão mais explícita, sobre a qual procura gerar várias conjeturas, que deverão ser

testadas. Aquelas que ganharem credibilidade irão estimular a realização de provas, e no caso

de serem bem-sucedidas ganharão validade matemática (Ponte, 2003b). Para Fonseca,

Brunheira e Ponte (1999) o processo investigativo compreende diversas etapas fundamentais,

no qual os alunos se envolvem na fase de desenvolvimento de uma determinada tarefa.

Inicialmente, os alunos tentam compreender a situação proposta, organizam os dados e

formulam questões, por fim, realizam conjeturas, procuram testá-las, e em certos casos,

demonstrá-las (Fonseca, Brunheira & Ponte, 1999). Desta forma, uma investigação pressupõe

realizar descobertas através da exploração de hipóteses, realização de conjeturas, construção de

argumentos e demonstrações.

Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) assinalam quatro momentos na realização de uma

investigação matemática. O primeiro, diz respeito ao reconhecimento da situação, à sua

exploração prévia e à formulação de questões. O segundo, refere-se ao processo de formulação

de conjeturas. O terceiro, envolve a concretização de testes e o eventual refinamento das

conjeturas. Por fim, o último, diz respeito à argumentação, demonstração e avaliação do

trabalho realizado. Cada uma destas fases pode incluir diversas atividades matemáticas como

indica a seguinte tabela.

Tabela 5: Momentos na realização de uma investigação (Ponte et al., 2003, p. 21).

Momentos de uma investigação Atividades Exploração e formulação de questões Reconhecer uma situação problemática

Explorar a situação problemática Formular questões

Formulação de conjeturas Organizar dados Formular conjeturas (e fazer afirmações sobre uma conjetura)

Teste e reformulação de conjeturas Realizar testes Refinar uma conjetura

Justificação e avaliação Justificar uma conjetura Avaliar o raciocínio ou o resultado do raciocínio

O Programa do Ensino Básico da Matemática de 2007 recomenda que os alunos sejam

incentivados a expor e a discutir as suas ideias matemáticas em pequenos grupos e perante a

turma, solicitando-lhes que apresentem e expliquem os seus processos e resultados, assim

como a justificação das suas afirmações e argumentos. Segundo Ponte (2005), esta capacidade

pode ser desenvolvida através da execução de tarefas de investigação, em pequeno e em grande

grupo, uma vez que permite criar momentos dedicados à discussão e esclarecimento de ideias

33

adequadas e fundamentadas. Desta forma os alunos podem desenvolver e aperfeiçoar a modo

como raciocinam, possibilitando-lhes obter a capacidade de organizar e esclarecer as suas

opiniões (Ponte, 2005).

A realização de investigações pelos alunos não deve ser uma atividade ocasional, pelo

contrário, deve ser efetuada com frequência, na aula de Matemática (Fonseca, Brunheira e

Ponte, 1999). As Competências Essenciais da Matemática (Ministério da Educação, 2001, p.

68) referem que através de atividades de investigação “os alunos exploram uma situação aberta,

procuram regularidades, fazem e testam conjeturas, argumentam oralmente ou por escrito as

suas conclusões”. Vários estudos têm-se debruçado sobre as vantagens de atividades

investigativas, nos quais é possível verificar alguns dos seus contributos no ensino-aprendizagem

da Matemática. O estudo de Morais (2010), sobre Tarefas de natureza exploratória e

investigativa: Contributos para a compreensão dos conceitos matemáticos no tema das

Sucessões, indica algumas dessas contribuições. A experiência decorreu numa turma do 11.º

ano de escolaridade, no qual foram selecionados três alunos, com o objetivo de compreender de

que forma as tarefas de natureza exploratória e investigativa contribuem para o estudo das

sucessões. A aplicação das tarefas permitiu que os alunos explorassem e validassem conjeturas

estabelecidas por eles e através da sua construção relacionassem algumas propriedades,

possibilitando a utilização de vários processos característicos da atividade matemática. Foi visível

que os alunos tendem a estabelecer raciocínios, no entanto sentem a necessidade de formalizar

esses raciocínios através de uma escrita representada analiticamente, com simbologia e

terminologia matemática. Os resultados obtidos evidenciam que os alunos construíram de forma

correta o conceito de sucessão, e que a discussão em grupo constituiu um momento

fundamental de reflexão.

Outro estudo, realizado por Pereira e Saraiva (2005), sobre tarefas de investigação no

ensino e aprendizagem das sucessões, apresenta algumas atividades matemáticas

desenvolvidas com a realização destas tarefas. A experiência foi desenvolvida com alunos do

11.º ano de escolaridade, com o objetivo de analisar de que forma é possível integrar e

implementar tarefas de investigação nas aulas de matemática, atendendo aos conteúdos a

lecionar, de modo a desenvolver nos alunos as competências explicitadas nos documentos

oficiais, e como articular as investigações com outro tipo de tarefas, como a resolução de

exercícios e problemas e os momentos de exposição de temas matemáticos. O estudo revela

que a diversidade de momentos de descoberta em atividades investigativas, de resolução de

34

problemas e de exercícios, levou a uma melhor perceção da Matemática integrada como um

todo, e promoveu a criatividade e flexibilidade dos alunos ao nível da articulação de conceitos,

estratégias e raciocínios. Os resultados sugerem também que as atividades investigativas

possibilitam o desenvolvimento das capacidades de intuir, experimentar, testar, conjeturar,

generalizar e do pensamento científico, assim como a capacidade de comunicar promovida pela

discussão coletiva dos processos usados.

Na análise de alguns estudos, Ponte (2003b) considera que a realização de

investigações pode ajudar os alunos a mobilizarem e a consolidarem os seus conhecimentos

matemáticos, a desenvolverem capacidades de nível superior e a promover novas

aprendizagens. No entanto, o autor refere que os alunos, na realização destas atividades,

apresentam algumas fragilidades no conhecimento matemático, nomeadamente em conceitos e

ideias que se supõem bem aprendidos. O autor salienta, ainda, que as atividades investigativas

tendem a promover uma diversidade de objetivos curriculares transversais como a capacidade

de comunicação e argumentação, a autonomia e o espírito crítico.

O professor na aula de Matemática não se deve limitar a propor aos seus alunos a

realização de investigações, deve haver também lugar para os exercícios e os problemas (Ponte,

Brocardo & Oliveira, 2003). Para estes autores, o grande desafio é articular diferentes tipos de

tarefas de forma a constituir um currículo interessante e equilibrado, capaz de promover nos

alunos o desenvolvimento matemático com níveis de desempenho distintos.

2.2.4. Contributo das novas tecnologias na aprendizagem da matemática

A atividade dos alunos, além de uma variedade de tarefas, pode ser enriquecida pela

utilização de diversos materiais, nomeadamente as tecnologias. Na elaboração das tarefas, deve

promover-se a utilização da tecnologia, uma vez que esta “é essencial no ensino e na

aprendizagem da Matemática; influencia a Matemática que é ensinada e melhora a

aprendizagem dos alunos” (NCTM, 2007, p. 436). As orientações metodológicas do Programa

de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007) sugerem que o computador é

um bom recurso para apoiar os alunos no estabelecimento de relações entre a linguagem

algébrica e os métodos gráficos, na resolução de problemas, e na realização de tarefas de

exploração e investigação, permitindo que se concentrem nos aspetos estratégicos do

pensamento matemático. Além disso, a utilização da tecnologia promove o desenvolvimento da

autonomia e responsabilidade dos alunos, assim como o seu envolvimento em atividades

35

criativas, constituindo um importante suporte na apropriação de ideias e processos

fundamentais em diversas áreas da Matemática, nomeadamente no âmbito da Geometria e das

Funções (Ponte, Matos & Abrantes, 1998).

O desenvolvimento das tecnologias aliado à sua crescente utilização na sociedade tem-

se refletido na comunidade escolar, em particular no ensino e aprendizagem da Matemática.

Oliveira e Domingos (2008) referem as tecnologias como um elemento fundamental no processo

de mudança do ensino da Matemática, decorrente da inevitável informatização da sociedade,

assim como de novas perspetivas acerca da natureza e aprendizagem desta disciplina. “Vive-se

um tempo de grande prosperidade no que se refere às novas tecnologias (…). Progressivamente,

a escola vem incorporando estas tecnologias tanto na sua atividade geral como nas áreas

curriculares e, em particular, na disciplina de Matemática” (Ribeiro & Ponte, 2000, p. 3). No

ensino da matemática as tecnologias foram progressivamente ficando acessíveis, principalmente

as que apresentam capacidades gráficas, pois possibilitam criar e exibir diversas representações,

e com a vantagem de possibilitarem efetuar ações sobre elas (Gafanhoto & Canavarro, 2011).

Relativamente às práticas pedagógicas dos professores, diversos estudos mencionam que estas

se têm alterado devido à utilização das tecnologias na sala de aula. O professor, ao dispor de

recursos tecnológicos, tem a possibilidade de pensar e implementar mudanças nas aulas de

matemática, em particular no que ensina e na forma como ensina (Fernandes & Vaz, 1998).

Segundo estes autores, a utilização das tecnologias proporcionam uma aprendizagem mais

profunda e significativa, favorecendo uma abordagem indutiva ou experimental, permitindo

alargar as aplicações da Matemática. Para Ponte, Matos e Abrantes (1998), a investigação tem

confirmado que a tecnologia tem um enorme potencial ao serviço da renovação dos processos

de ensino-aprendizagem, numa perspetiva pedagógica que valoriza as atividades de natureza

exploratória e investigativa. Ribeiro e Ponte (2000) defendem o uso das tecnologias porque

possibilita aos alunos utilizarem instrumentos correntes na sociedade, como também os

incentiva a envolverem-se ativamente na exploração de ideias matemáticas. O NCTM (2007)

destaca a demonstração e a justificação como um dos desafios mais importantes no ensino da

Matemática, principalmente em ambientes cada vez mais tecnológicos, os quais podem auxiliar

os alunos neste processo. Segundo Hirschhorn e Thompson (1996) construir e testar conjeturas

são atividades que estão no centro da prova matemática, desempenhando a tecnologia um papel

muito importante no processo de formulação e refinamento de conjeturas e promovendo o

36

desenvolvimento de raciocínios. Os autores descrevem este processo através do seguinte

modelo.

Figura 5: Modelo para o ensino do raciocínio (Hirschhorn & Thompson, 1996).

No entanto, Ponte (1995) refere que a possibilidade de realizar facilmente um grande

número de experiências pode impedir a ocorrência do pensamento mais adequado por parte dos

alunos, principalmente se não forem devidamente encorajados a desenvolver os seus processos

metacognitivos e as suas capacidades críticas. Desta forma, o autor considera que as novas

tecnologias vêm exigir um reformulação do trinomio matematica-aluno-professor de modo que:

(1) na aprendizagem se contacte com uma matematica mais viva, mais próxima do espírito

investigativo; (2) o aluno passe a desempenhar um papel mais ativo e autónomo; (3) o professor

veja reconhecido e valorizado o seu papel na condução e aperfeiçoamento da aprendizagem.

Segundo a APM (1988), o ensino e aprendizagem da Matemática devem, em todos os

níveis de ensino, retirar o proveito possível dos instrumentos que a evolução tecnológica coloca à

disposição de várias atividades dos domínios sociais, profissionais e científicos, nomeadamente

os computadores (APM,1988). A utilização das novas tecnologias permitem libertar tempo

despendido com atividades rotineiras e repetitivas, proporcionando mais tempo para a

exploração, investigação e aplicação em torno de ideias e métodos matemáticos (APM, 1988;

Ponte, 1995). Ponte (1995, p. 2) refere ainda que as novas tecnologias trazem ao ensino e

aprendizagem da Matemática:

Uma relativização da importância das competências de cálculo e de simples manipulação simbólica, que podem ser realizadas agora muito mais rápida e eficientemente;

Um reforço do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem dos mais variados problemas;

Uma atenção redobrada às capacidades intelectuais de ordem mais elevada, que se situam para além do cálculo e da simples compreensão de conceitos e relações matemáticas;

Um crescendo de interesse pela realização de projetos e atividade de modelação, investigação e exploração pelos alunos, como parte fundamental da sua experiência matemática;

Uma demonstração prática da possibilidade de envolver os alunos em atividade matemática intensa e significativa, favorecendo o desenvolvimento

37

de atitudes positivas em relação a esta disciplina e uma visão muito mais completa da sua verdadeira natureza.

Ponte, Matos e Abrantes (1998) observaram, na análise de alguns estudos, resultados

interessantes quando os recursos tecnológicos foram colocados ao dispor de uma abordagem

pedagógica que valoriza atividades exploratórias e investigativas. Os autores destacam que os

recursos tecnológicos estimularam os alunos a formularem e a testarem as suas conjeturas. No

entanto, a compreensão da importância de produzirem justificações e provas revelou ser um

processo mais complexo, por necessitar de mais tempo e intervenção do professor, de forma a

levar os alunos a comunicarem as suas ideias e a argumentarem logicamente. Os autores

consideram ainda que, através da utilização do computador como instrumento para o ensino da

Geometria, os alunos apresentam progressos consideráveis na aprendizagem deste tema. A

motivação dos alunos e as suas atitudes face à Matemática tendem a evoluir de forma positiva,

verificando-se de igual forma uma melhor consolidação dos conceitos. Os alunos ao usarem o

computador evidenciam precisar de mais tempo para experimentar estratégias, procurar

soluções e avaliar resultados. De um modo geral, foi possível constatar que os alunos revelam

um maior interesse pelas aulas em que era utilizado o computador.

Entre os recursos tecnológicos disponíveis para o ensino e aprendizagem da

Matemática, encontra-se o software de geometria dinâmica direcionado para o estudo da

Geometria. As construções geométricas constituíram, desde sempre, um processo de

representar figuras procurando concretizar as suas propriedades (Junqueira, 1994). O NCTM

(2007), menciona que o uso de software de geometria dinâmica permite analisar uma

diversidade de casos, aumentando a capacidade de formular e explorar conjeturas.

Ambientes de Geometria Dinâmica

O envolvimento dos alunos em atividades matemáticas pode ser facilitado tanto pelo tipo

de tarefas, assim como pela presença das tecnologias na sala de aula. O professor tem hoje em

dia à sua disposição uma variedade de recursos tecnológicos, a destacar as calculadoras

científicas e gráficas, os computadores, e os ambientes de geometria dinâmica. O software de

geometria dinâmica possibilita a construção e a manipulação de objetos geométricos, facilitando

assim a exploração de conjeturas e a investigação de relações que antecedem o raciocínio

formal (Ponte, Brocardo & Oliveira, 2003). Gafanhoto e Canavarro (2011) destacam o carácter

38

dinâmico do software de Geometria dinâmica, o qual potencia a exploração de representações e

a sua inter-relação, especialmente de gráficos, tabelas e expressões algébricas.

A Geometria é propícia a um ensino baseado na exploração de situações de natureza

exploratória e investigativa, podendo contribuir para uma compreensão de factos e relações

geométricas que vão para além da simples memorização de técnicas de resolução de exercícios

(Ponte, Brocardo & Oliveira, 2003). A investigação de figuras geométricas pode constituir uma

estratégia importante para a aprendizagem da Geometria (Junqueira, 1994). No entanto, realizar

explorações para procurar invariâncias e regularidades através de papel e lápis pode tornar-se

numa tarefa desmotivadora para os alunos (Junqueira, 1994). Para Viseu, Nogueira e Santos

(2009) aprender relações e propriedades geométricas com recurso ao papel, lápis, régua,

transferidor e compasso é diferente de aprender com software de geometria dinâmica, uma vez

que este liberta o aluno de atividades mecânicas, permitindo-lhe realizar um trabalho mais ativo

e dinâmico. Também Junqueira (1994) destaca que os ambientes de geometria dinâmica

permitem implementar uma abordagem mais ativa, podendo promover nos alunos um maior

empenho na sua aprendizagem. Para Candeias e Ponte (2005), softwares de geometria

dinâmica permitem construir os elementos básicos da geometria - pontos, retas, segmentos de

reta e circunferência – assim como criar as relações entre eles. Aliado ao rigor das construções,

os alunos beneficiam da possibilidade de transformar as figuras arrastando um ou mais

componentes que estão na base da sua construção. De acordo com as indicações

metodológicas do Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007, p.

51), “tantos os recursos computacionais como os modelos geométricos concretos permitem

desenvolver a intuição geométrica, a capacidade de visualização e uma relação mais afetiva com

a matemática”. O estudo da Geometria é propício à realização de demonstrações,

estabelecimento de relações e propriedades. Relativamente a este tema, o NCTM (2007)

menciona que os alunos podem rapidamente, através da utilização de software de geometria

dinâmica, gerar e explorar vários exemplos geométricos, “se não tiverem aprendido a utilidade

da demonstração e da argumentação matemáticas, poderão argumentar que uma conjetura tem

de ser válida, simplesmente porque se verificou em todos os exemplos que experimentaram” (p.

368).

A utilização de software de geometria dinâmica por si só não é suficiente para melhorar

o ensino da Geometria, devendo estar associado a tarefas significativas que tenham como

objetivo desenvolver a competência geométrica dos alunos (Candeias & Ponte, 2005). As

39

competências geométricas a desenvolver deverão incluir a aptidão para realizar construções,

reconhecer e analisar propriedades geométricas; utilizar a visualização e o raciocínio espacial na

análise e resolução de problemas, para formular argumentos; procurar e explorar padrões,

investigar propriedades e relações geométricas (Ministério da Educação, 2001). Desta forma, a

articulação de tarefas que contemplem estes aspetos com software de geometria dinâmica

permite aos alunos uma aprendizagem significativa. Esta ideia é sustentada por Candeias e

Ponte (2005), num estudo realizado numa turma do 8.º ano, sobre Aprendizagem da geometria:

o papel das tarefas, do ambiente de trabalho e do software de geometria dinâmica, recorrendo

ao Geometer’s Sketchpad. Os autores concluíram que, as tarefas associadas ao ambiente

computacional constituíram uma experiência de aprendizagem geométrica significativa, na qual

os alunos puderam desenvolver a sua competência geométrica. Também Junqueira (1994, p.

233), menciona que “a Geometria constitui um domínio privilegiado para o desenvolvimento

dessas capacidades, mais ainda se a aprendizagem se fizer com recurso aos ambientes de

geometria dinâmica”. Healy e Hoyles (2001) consideram o software de geometria dinâmica um

recurso importante na elaboração de conjeturas, uma vez que permite aos alunos construir e

manipular uma variedade de objetos geométricos e relações. A exploração de figuras

geométricas com recurso a ambientes de geometria dinâmica facilita a realização de conjeturas

e provas na sala de aula, possibilitando o aparecimento das suas propriedades (Junqueira,

1994). De Villiers (1997) indica os programas de geometria dinâmica como recursos que

proporcionam aos alunos a possibilidade de verificar verdadeiras conjeturas, e construir

contraexemplos para falsas conjeturas. O autor caracteriza a demonstração como uma atividade

significativa para os alunos, o que requer que sejam incentivados desde muito cedo a formular

problemas, proporcionando oportunidades suficientes para explorar, conjeturar, refutar,

reformular e explicar. Por outro lado, o autor menciona que a investigação com recurso a

software de geometria dinâmica pode auxiliar a elaboração de uma eventual demonstração, uma

vez que através da manipulação de uma construção é possível verificar que algumas

características se mantêm para determinados casos.

Vários estudos têm-se debruçado sobre a utilização de software de geometria dinâmica,

na sala de aula, evidenciando vantagens da sua utilização, assim como dificuldades sentidas

pelos alunos nas atividades desenvolvidas. No estudo realizado por Viseu, Nogueira e Santos

(2009), com alunos do 9.º ano de escolaridade, sobre a aprendizagem do estabelecimento de

relações e propriedades de elementos da circunferência, com recurso a software de geometria

40

dinâmica, em particular o Geometer's Sketchpad, verificou-se que os alunos conseguiram

estabelecer as relações e as propriedades através do registo dos valores obtidos e do seu

relacionamento, no entanto evidenciaram dificuldades na comunicação das suas ideias.

Num outro estudo sobre As investigações na aula de matemática: um projeto curricular

no 8º ano, Brocardo (2001) aplicou, entre outras, tarefas para serem desenvolvidas com a

utilização do Geometer’s Skechpad. Na realização das tarefas era pedido aos alunos a

construção de determinadas figuras, assim como o registo de algumas medidas, solicitando-lhes

que procurassem estabelecer conjeturas sobre possíveis relações entre as medidas obtidas, e

argumentos que as pudessem justificar. Brocardo (2001), constatou que de um modo geral, a

exploração das tarefas despertou muito o interesse nos alunos, e que a utilização do Geometer’s

Skechpad entusiasmou-os bastante. A autora verificou que os alunos, com base na observação

das figuras construídas e dos valores de algumas medidas, avançaram rapidamente para a

formulação de conjeturas, e que, apesar de alguns alunos demonstrarem dificuldades, a procura

de argumentos que validassem as que pareciam ser verdadeiras foi evoluindo ao longo das

tarefas.

Healy e Hoyles (2001) mencionam que os ambientes de geometria dinâmica fornecem o

acesso a uma variedade de objetos geométricos e relações com o qual os alunos podem

interagir. Colaço, Branco, Brito e Rebelo (sd) referem que comparando com outras aplicações, o

GeoGebra tem como vantagem a manipulação gráfica associada à respetiva representação

algébrica, e que a associação destas duas possibilidades o caracterizam e diferenciam de outros

softwares de geometria dinâmica como por exemplo, o Geometer´s Sketchpad, o Cabri-

Géomètre e o Cinderella. Entre os vários softwares de geometria dinâmica disponíveis a escolha

pelo GeoGebra neste trabalho deve-se ao facto de, como referem Oliveira e Domingos (2008),

ser de utilização livre e possibilitar trabalhar simultaneamente num ambiente geométrico e

algébrico. Por outro lado, Gafanhoto e Canavarro (2011) mencionam que o GeoGebra possui

muitas potencialidades no estabelecimento de conexões entre a Geometria e a Álgebra, e

permite trabalhar com diferentes representações de Funções, particularmente representações

tabulares, numéricas, algébricas e gráficas.

Alguns estudos sobre o software de geometria dinâmica GeoGebra evidenciam vantagens

e constrangimentos da sua utilização nas aulas de matemática. No estudo, realizado por

Fernandes (2011) sobre o desenvolvimento da capacidade de argumentação com recurso às TIC

de alunos do 9.º ano, constatou-se que as práticas pedagógicas apoiadas por recursos

41

tecnológicos, em particular o GeoGebra, promovem as interações entre professor e alunos,

permitindo aos últimos construir o seu próprio conhecimento sobre as relações e propriedades

no estudo da circunferência. Os alunos evidenciaram uma evolução significativa relativamente à

argumentação matemática, formulação e teste de conjeturas, apesar de terem revelado

dificuldades na sua prova. Nas tarefas que exploraram desenvolveram a aptidão para procurar

regularidades, apresentar generalizações matemáticas, encontrar contraexemplos que

refutassem as afirmações, assim como para identificar argumentos matemáticos que as

validassem. A resolução de tarefas de natureza exploratória e investigativa com recurso a um

ambiente de geometria dinâmica favoreceu a produção de raciocínios mais estruturados e

contribuiu para o desenvolvimento da capacidade argumentativa dos alunos.

Num outro estudo, Caldas (2011) realizou um estudo que pretendeu investigar a

integração das Tecnologias da Informação e Comunicação, tomando como exemplo a Geometria

no Ensino Básico. A autora pretendeu analisar, numa turma do 7º ano de escolaridade, de que

forma o software educativo, em particular o GeoGebra, influencia o processo de ensino e

aprendizagem, a motivação, as atitudes e o rendimento escolar dos alunos. Este estudo permitiu

constatar que o aproveitamento escolar dos alunos que realizaram as atividades de investigação

com recurso ao GeoGebra foi positivamente diferenciado, face aos que trabalharam sem o

software. A autora verificou que a experiência educativa contribuiu para aumentar a motivação

dos alunos para a matemática, alterou positivamente as suas atitudes nas aulas, proporcionou

um ambiente de aprendizagem mais atrativo, em que os principais protagonistas do processo de

ensino e aprendizagem foram os alunos. Foi ainda possível verificar que mediante atividades

orientadas, os alunos em pequenos grupos e em grande grupo/turma procederam a conjeturas

e realizaram conclusões. Constatou também que o software de matemática dinâmica é um

recurso muito eficaz, relativamente ao nível da formulação de conjeturas, à investigação, à

exploração e ao aumento da motivação para a aprendizagem da disciplina de matemática.

A importância do GeoGebra é mencionada num estudo de Gafanhoto e Canavarro

(2012), sobre a adaptação das tarefas matemáticas e como promover o uso de múltiplas

representações. O estudo desenvolveu-se a partir da análise das representações utilizadas por

alunos do 9.º ano de escolaridade, na resolução de tarefas adaptadas no domínio das funções.

Verificaram que a utilização do GeoGebra foi decisiva no trabalho autónomo dos alunos e que

estes o consideraram uma mais-valia na obtenção de diferentes representações, reconheceram-

42

lhe facilidade, rapidez e rigor. Além disso, o GeoGebra permitiu-lhes visualizar simultaneamente

no mesmo ecrã diferentes representações, tornando mais direto o estabelecimento de conexões.

Os estudos realizados evidenciam vantagens da utilização das tecnologias nas aulas de

Matemática, em particular da Geometria, tais como o desenvolvimento da autonomia dos alunos,

aumento da sua motivação, formulação de conjeturas e tentativa de provas, permitindo ainda

proporciona ambientes de aprendizagem mais atrativos.

Podem ser destacadas várias razões para usar as novas tecnologias na sala de aula de

Matemática, nomeadamente como menciona Ponte (1995, p. 2) “podem servir para apoiar a

aprendizagem de tópicos matemáticos específicos, para a execução de algoritmos e processos

rotineiros, como meios auxiliares para o arquivo, análise e apresentação de informação e como

ferramenta para a realização de explorações e investigações”. No entanto, a utilização da

tecnologia nas aulas não dispensa o trabalho com papel e lápis, trata-se de uma questão de a

integrar com outros meios de estudar matemática (Fernandes & Vaz, 1998). Esta ideia é

defendida por Gaspar e Cabrita (2014) ao referirem que as tecnologias não devem substituir as

ferramentas mais tradicionais como a régua e outros materiais manipuláveis, mas que numa

lógica de complementaridade poderá trazer vantagens ao processo educativo.

2.3. Estratégias de intervenção

Ensinar conteúdos matemáticos não é uma tarefa simples, nem existem fórmulas fáceis

para que todos os alunos aprendam ou para que os professores sejam eficientes (NCTM, 2007).

Os professores devem estabelecer e manter um ambiente que oriente a aprendizagem da

Matemática através das decisões que tomam, das tarefas que propõem aos alunos e da

comunicação que estabelecem. É através das suas ações que encorajam os alunos a pensar, a

questionar, a resolver problemas e a discutir as suas ideias, estratégias e soluções (NCTM,

2007). Foi com base nestes princípios que procurei definir as estratégias de ensino dos tópicos

da circunferência, de forma a promover a aprendizagem dos alunos.

Tendo-me sido atribuída no início do ano letivo uma turma do 9.º ano de escolaridade,

de forma a contemplar alguns princípios orientadores da escola, estruturei a minha intervenção

pedagógica com diferentes tipos de tarefas, algumas das quais foram exploradas com recurso ao

GeoGebra, na procura de fomentar o desenvolvimento do raciocínio matemático. Assim, o

recurso ao GeoGebra, no âmbito do estudo da circunferência, permitiu-me propor aos alunos a

realização de tarefas que favorecessem o envolvimento dos alunos na construção do seu

43

conhecimento. Reiterando o que anteriormente foi referido, a comunicação e o raciocínio na sala

de aula foi, no decorrer de toda a minha intervenção, as capacidades que procurei promover.

Desta forma, procurei estimular os alunos através do questionamento frequente no decorrer das

atividades realizadas.

2.3.1. Metodologias de ensino e de aprendizagem

Os professores podem optar por lecionar uma aula de Matemática em que tanto os

conceitos como o conhecimento matemático são introduzidos por si e onde os alunos assumem

o papel de meros recetores de informação (Ponte et al., 1997). Ou então, optar por aquela em

que o saber é construído no decurso da atividade matemática, promovendo uma participação

ativa dos alunos, cabendo ao professor o papel de organizador e dinamizador da aprendizagem

(Ponte et al., 1997).

Na implementação deste projeto pretendi, com a minha intervenção pedagógica,

promover estratégias de ensino que, de acordo com as recomendações do NCTM (2007),

evitassem que os alunos fossem meros espetadores do que acontece na sala de aula. Segundo o

programa de Matemática do ensino básico (Ministério da Educação, 2007), a aprendizagem da

Matemática resulta do trabalho realizado pelo aluno e em grande parte é estruturado pelas

tarefas propostas pelo professor. Desta forma, as preocupações centrais da minha intervenção

pedagógica foram o formato de ensino predominante, o tipo de tarefas, assim como o papel do

professor e do aluno.

Papel do professor e dos alunos. O professor é um elemento fundamental no processo

de ensino-aprendizagem da Matemática, em que as suas ações assim como o seu modo de

estar marcam de forma decisiva as aprendizagens dos seus alunos (Ponte, Matos & Abrantes,

1998). Na minha intervenção pedagógica, nos vários momentos da aula, desempenhei diversos

papéis. Durante a realização das tarefas, procurei intervir o menos possível, desempenhando o

papel de moderadora, com o propósito de proporcionar um maior envolvimento dos alunos nas

atividades propostas. As orientações metodológicas do programa de Matemática do ensino

básico (Ministério da Educação, 2007) indicam que o ensino-aprendizagem tem de “prever

momentos para o confronto de resultados, discussão de estratégias e institucionalização de

conceitos e representações matemáticas” (p. 8). Nos momentos de consolidação dos conceitos,

de modo a esclarecer as questões dos alunos, pretendi criar “momentos de reflexão, discussão

e análise critica envolvendo os alunos, pois estes aprendem, não só a partir das atividades que

44

realizam, mas sobretudo da reflexão que efetuam sobre essas atividades” (Ministério da

Educação, 2007, p. 11). Na fase de discussão e síntese de resultados com a turma, procurei

através do questionamento envolver os alunos na formalização de conceitos e regras.

Os alunos aprendem mais se estão envolvidos no processo de aprendizagem em vez de

serem simples recetores passivos da informação (Matos & Serrazina, 1996). As orientações

metodológicas para o ensino da Matemática sugerem uma participação responsável dos alunos

no processo de ensino-aprendizagem, assim como o desenvolvimento da autonomia e a

cooperação (Ministério da Educação, 2007; NCTM, 2007). Ao longo da minha intervenção

pedagógica procurei atribuir um papel central aos alunos e criar uma dinâmica na sala de aula

no qual tivessem de participar na resolução das tarefas propostas. Com esta dinâmica pretendi

que os alunos fossem capazes de “expressar as suas ideias, mas também de interpretar e

compreender as ideias que lhe são apresentadas e de participar de forma construtiva em

discussões sobre ideias, processos e resultados matemáticos“ (Ministério da Educação, 2007, p.

8).

Estratégias. Entre as estratégias que determinam a atividade do professor na aula de

matemática, Ponte (2005) distingue duas: o ensino direto e o ensino-aprendizagem exploratório.

No ensino direto, o professor adota um papel essencialmente de transmissor do conhecimento,

que fornece tanto quanto possível informação de modo claro, sistematizado e atrativo (Ponte,

2005). Relativamente ao aluno, as principais tarefas desenvolvidas são prestar atenção ao que o

professor diz e sempre que se proporcionar responder às suas questões. Nesta estratégia de

ensino assume-se que os alunos aprendem ouvindo o que é dito, e praticando exercícios, como

forma de mobilizar conceitos e técnicas explicadas e exemplificadas anteriormente, podendo,

eventualmente, formular e esclarecer dúvidas (Ponte, 2005).

No ensino exploratório da Matemática, uma parte importante do trabalho de descoberta

e de construção do conhecimento é realizada pelos alunos. No entanto, não significa que todas

as ideias matemáticas que devem aprender resultem das suas explorações, mas que o professor

não procura explicar tudo (Ponte, 2005). Segundo Canavarro (2011), no ensino exploratório,

através de tarefas desafiantes, os alunos têm a possibilidade de ver surgir os conhecimentos

matemáticos com significado e de desenvolver capacidades matemáticas como a resolução de

problemas, o raciocínio e a comunicação. Numa aula pautada pelo ensino exploratório, o

professor necessita de compreender e interpretar o trabalho desenvolvido pelos alunos, explorar

as suas respostas e articular as suas ideias com o que é esperado que aprendam (Canavarro,

45

2011). Desta forma, o ensino exploratório na disciplina de Matemática é marcado por um

ambiente interativo, em que a atividade desenvolvida na aula envolve o trabalho dos alunos e do

professor.

Uma estratégia de ensino exploratório da Matemática pressupõe a realização de tarefas

de exploração, investigação e problemas. Canavarro, Oliveira e Meneses (2012), com base na

literatura e na análise das práticas de professores, apresentaram um modelo de quatro fases

para a estrutura de uma aula de natureza exploratória, orientadas para a promoção da

aprendizagem matemática (Tabela 6):

Tabela 6: Fases de uma aula de ensino exploratório.

Fases Promoção das aprendizagens matemática Introdução da tarefa Garantir a apropriação da tarefa pelos alunos

Promover a sua adesão

Desenvolvimento da tarefa Garantir o desenvolvimento da tarefa Manter o desafio cognitivo e autonomia dos alunos

Discussão da tarefa Promover a qualidade matemática das apresentações dos alunos Regular as suas interações na discussão

Sistematização das aprendizagens matemáticas

Institucionalizar ideias ou procedimentos relativos ao desenvolvimento do pensamento suscitado pela exploração da tarefa Estabelecer conexões com aprendizagens anteriores

O professor, na definição da sua estratégia de ensino-aprendizagem, determina se vai

optar por uma abordagem essencialmente direta, exploratória ou se vai optar por uma estratégia

que combine estas duas modalidades (Ponte, 2005). Uma das exigências com que o professor

se depara é com a diversificação de tarefas e de experiências de aprendizagem. A escolha das

tarefas que se propõem aos alunos é que determina a estratégia utilizada (Ministério da

Educação, 2007). Para Ponte (2005), os elementos que integram os fatores decisivos dessa

definição são a forma como a informação é apresentada, a natureza das tarefas propostas aos

alunos, assim como a atividade que delas decorre.

A escolha de tarefas que proporcionem experiências diversificadas e interessantes é

particularmente relevante, uma vez que estas têm diferentes potencialidades, e cada uma é

adequada para a obtenção de determinados objetivos (Ponte et al., 1997). Ponte (2005)

classifica as tarefas de acordo com o seu grau de desafio e de abertura. Na minha intervenção

pedagógica recorri a diferentes tipos de tarefas. Nos momentos de aplicação prática e

consolidação de conhecimentos recorri a exercícios, tarefas com grau de desafio e abertura

46

reduzidos. Noutros momentos utilizei problemas, tarefas com grau de desafio elevado mas de

abertura reduzido, uma vez que através da resolução de problemas “os alunos irão adquirir

modos de pensar, hábitos de persistência e curiosidade, e confiança perante situações

desconhecidas, que lhe serão muito úteis fora da aula de matemática” (NCTM, 2007, p. 57).

Sendo a Geometria um tema propício a um ensino baseado na análise de situações de

natureza exploratórias e investigativas (Ponte, Brocardo & Oliveira, 2003), nas aulas de

introdução de novos conceitos procurei aplicar tarefas de natureza exploratória, uma vez que

estas são favoráveis a um maior envolvimento por parte do aluno na atividade matemática

(Ponte, 2005). Numa fase posterior procurei, criar momentos de discussão, balanço e

clarificação relativamente ao que tinham aprendido (Ponte, 2005). Além disso, a exploração

deste tipo de tarefas pode “contribuir para uma compreensão de factos e relações geométricas

que vai além da simples memorização e utilização de técnicas para resolver exercícios-tipo”

(Ponte, Brocardo e Oliveira, 2003, p. 71).

O professor pode propor aos seus alunos a realização de investigações e explorações,

mas deverá igualmente promover a resolução de exercícios e problemas (Ponte, Brocardo &

Oliveira, 2003). Ao longo da minha intervenção pretendi estabelecer uma estratégia adequada,

contemplando diversos tipos de tarefa e momentos próprios para exploração e discussão, e que

possibilitasse aos alunos a obtenção de conhecimentos e procedimentos matemáticos. Procurei

desenvolver uma estratégia de ensino de índole exploratório que fomentasse o envolvimento dos

alunos, na resolução de tarefas concebidas para introduzir, aprofundar e relacionar o seu

conhecimento, como também promovesse interações na turma, pois proporcionam

oportunidades para troca de ideias e reflexões sobre as mesmas, permitindo-lhes desenvolver a

sua capacidade de comunicação, a qual constitui um elemento fundamental da aprendizagem

Matemática (NCTM, 2007).

Organização da atividade dos alunos. A aprendizagem matemática pressupõe que os

alunos “trabalhem de diferentes formas na sala de aula” (Ministério da Educação, 2007, p. 10).

O professor pode organizar a atividade dos alunos de diversas formas em coletivo, em pequeno

grupo, aos pares ou individualmente, cada uma com objetivos adequados para a execução de

determinadas tarefas (Ponte et al., 1997). O trabalho coletivo é indispensável na introdução de

conceitos e ideais matemáticas, assim como na apresentação de tarefas e discussão dos

resultados, sendo determinante na negociação de significados (Ponte et al., 1997). Nestes

47

momentos de trabalho compete ao professor criar condições para uma participação efetiva da

generalidade dos alunos (Ministério da Educação, 2007).

A organização das atividades em grupo é especialmente apropriada para o

desenvolvimento de pequenos projetos que permitem a divisão das tarefas pelos diversos

alunos, podendo ser muito produtivo na resolução de problemas ou realização de uma

investigação matemática (Ministério da Educação, 2007). Segundo Ponte et al. (1997), ao

trabalharem em pequenos grupos os alunos podem expor as suas ideias, ouvir os outros

elementos do grupo, colocar questões, discutir estratégias e soluções, argumentar e comentar

outros argumentos. Matos e Serrazina (1996) sugerem que o trabalho de grupo tem efeitos

positivos no desenvolvimento da compreensão de conceitos, da comunicação assim como na

motivação dos alunos.

O trabalho em pares é particularmente adequado quando a tarefa proposta não é muito

estruturada e não exige um nível elevado de concentração individual (Ponte et al., 1997). Na

resolução de pequenas tarefas o trabalho em pares é particularmente adequado, pois permite

que os alunos troquem impressões entre si, esclareçam dúvidas e partilhem informações

(Ministério da Educação, 2007). Este tipo de trabalho possibilita uma interação significativa entre

os alunos, e permite-lhes participar em dois níveis de discurso da aula, o coletivo e o que

desenvolvem com o seu colega (Ponte et al., 1997).

O aluno deve ser capaz de realizar tarefas com independência e responsabilidade (Ponte

et al., 1997). A realização de trabalho individual, tanto na sala de aula como fora dela, dá

oportunidade ao aluno de ler, interpretar e resolver tarefas matemáticas autonomamente

(Ministério da Educação, 2007). A realização de exercícios e problemas são tarefas adequadas a

esta forma de trabalho, no qual o professor, dialogando em particular com cada aluno, pode

aperceber-se das necessidades e interesses de cada um, apoiando em cada momento, e

permitindo a progressão na compreensão dos diferentes conceitos matemáticos (Ponte et al.,

1997).

Na organização das atividades pretendi envolver os alunos na realização das tarefas

propostas, nos diferentes momentos da aula. O conhecimento que os alunos obtêm na sala de

aula é influenciado, entre outros fatores, pela natureza das situações de comunicação e

interação que ocorrem. Assim, é importante que o professor incentive a produção e partilha de

explicações, principalmente nos momentos de discussão coletiva (Menezes et al., 2014). Na

48

apresentação das tarefas, exposição e discussão de resultados procurei utilizar o tipo de trabalho

coletivo de forma a promover a comunicação na sala de aula.

Para a realização das tarefas exploratórias organizei as atividades dos alunos em grupo.

Com esta forma de organização, pretendi criar um ambiente que permitisse aos alunos discutir

livremente as suas ideias matemáticas (Matos & Serrazina,1996). Optei pelo trabalho de grupo

porque ajuda a promover uma maior reflexão e discussão entre os alunos (Matos &

Serrazina,1996), permitindo-lhes um maior envolvimento nas atividades da aula.

Para consolidar os conceitos e regras definidos com as tarefas exploratórias optei pelo

trabalho individual, na resolução de exercícios, e em alguns casos, pelo trabalho em pares, na

resolução de problemas.

GeoGebra. No ensino e aprendizagem da geometria a utilização de software de

geometria dinâmica permite que os alunos tenham uma experiência interativa com uma vasta

gama de formas bidimensionais (NCTM, 2007). Tarefas que proporcionem oportunidades para

observar, analisar, relacionar e construir figuras geométricas, devem ser a base do estudo da

Geometria (Ministério da Educação, 2007). Tendo em consideração estas recomendações para o

estudo das relações e propriedades da circunferência, recorri ao desenvolvimento de tarefas

exploratórias com recurso a software de geometria dinâmica GeoGebra. Com a resolução de

tarefas de natureza exploratória e com a utilização do GeoGebra pretendi que os alunos

desenvolvessem a capacidade de procurar regularidades e apresentassem generalizações

matemáticas, que formulassem conjeturas e identificassem argumentos que as validassem.

2.3.2. Estratégias de avaliação

Para concretizar o objetivo e as questões de investigação que orientaram a minha

prática pedagógica, e avaliar o impacto da mesma, recolhi informação através de vários

métodos: questionários, questões de aula, observação de aulas, e análise documental.

Questionários. Este método de recolha de dados, composto por um conjunto de

questões, utiliza-se quando se pretende obter informação de natureza diversa tais como

interesses, comportamentos, expectativas, aspirações, valores, sobre determinado grupo de

pessoas (Gil, 2008). O autor, apresenta as seguintes vantagens da aplicação desta técnica:

Possibilita atingir um grande número de pessoas, mesmo que estejam dispersas numa área geográfica extensa, uma vez que pode ser enviado por correio;

49

Garante anonimato das respostas; Permite que as pessoas respondam no momento que julgarem mais

conveniente; Impede que a pessoa inquirida se deixe influenciar pelas opiniões do

pesquisador.

Gil (2008) também apresenta algumas desvantagens da aplicação do questionário, tais

como:

Exclui as pessoas que não sabem ler e escrever, o que, em certas circunstâncias, leva a graves deformações nos resultados da investigação;

Impede a pessoa inquirida quando esta não entende corretamente as instruções ou perguntas;

Impede o conhecimento das circunstâncias em que foi respondido, o que pode ser importante na avaliação da qualidade das respostas;

Não oferece a garantia de que a maioria das pessoas o devolva devidamente preenchido, o que pode implicar a significativa diminuição da representatividade da amostra;

Envolve, geralmente, um número relativamente pequeno de perguntas, porque questionários muito extensos apresentam muita probabilidade de não serem respondidos;

Proporciona resultados bastante críticos em relação à objetividade, pois podem ter significados diferentes de pessoa para pessoa.

Na minha intervenção pedagógica apliquei dois questionários aos alunos da turma, um

no início e outro no final. O questionário inicial (Anexo 1) tinha como objetivo caraterizar a turma

na sua relação com a matemática, averiguar quais as perspetivas que os alunos tinham da

Geometria, e se já tinham utilizado anteriormente algum software de geometria dinâmica. Com a

aplicação do questionário final (Anexo 2) pretendi recolher informação com o objetivo de recolher

as perceções dos alunos sobre as estratégias delineadas. Nas questões do primeiro grupo, os

alunos tiveram de escolher uma das cinco opções segundo uma escala tipo Likert: DT –

Discordo totalmente, D – Discordo, I – Indiferente, C – Concordo e CT – Concordo Totalmente.

Nas questões do segundo grupo, de resposta aberta, pedia-se aos alunos que mencionassem o

que gostaram mais e menos nas aulas em que utilizaram o GeoGebra, quais as dificuldades

sentidas na aprendizagem da circunferência, como o GeoGebra ajudou no esclarecimento das

dificuldades e qual o contributo do GeoGebra na aprendizagem dos conceitos e relações

relacionados com a circunferência.

Questões de aula. As questões soltas (Anexo 6) foram aplicadas no final de cada aula

com ênfase no projeto, de forma a averiguar alguns aspetos considerados relevantes para

50

responder às questões de investigação. Estas questões foram distribuídas numa folha, a todos

os alunos, para que respondessem individualmente, e tinham como objetivo recolher as suas

prestações sobre os conceitos abordados no estudo da circunferência, quais as dificuldades

sentidas e qual o contributo do GeoGebra na sua clarificação.

Análise documental. Na elaboração deste trabalho foram analisados os seguintes

documentos: projeto educativo da escola; programa de Matemática do ensino básico de 2007;

manual escolar adotado pela escola; planificações e reflexões; registo dos diálogos da aula,

realizados pela colega de estágio; produções resultantes da atividade dos alunos, e toda a

informação proveniente dos questionários. Para a planificação da minha intervenção pedagógica,

e de forma a ajustar o objetivo de investigação aos princípios e valores da escola, comecei por

analisar o seu projeto educativo. Com o propósito de orientar a minha intervenção pedagógica de

acordo com as recomendações metodológicas, realizei uma análise ao programa de Matemática

do ensino básico (Ministério da Educação, 2007), tendo sido mais aprofundada no tema da

Geometria, em particular no tópico da circunferência do 3.º ciclo. O manual escolar foi analisado

com o objetivo de perceber a organização e progressão dos tópicos sobre o estudo da

circunferência e conhecer a tipologia das tarefas propostas.

51

CAPÍTULO 3

INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

Neste capítulo são apresentados os tópicos lecionados sobre o estudo da Circunferência

na intervenção pedagógica e analisados os dados resultantes de algumas atividades

desenvolvidas pelos alunos nas tarefas propostas. Posteriormente é feita uma análise das

respostas dos alunos a questões colocadas no final de algumas aulas e a questões colocadas

num questionário no final da intervenção pedagógica.

3.1. Tópicos, tarefas e atividades desenvolvidos na intervenção pedagógica

A intervenção pedagógica decorreu ao longo de 12 aulas (Tabela 7), tendo em

consideração a planificação anual da escola da disciplina de Matemática.

Tabela 7: Tópicos lecionados.

Aula Tempo Tópicos

1 90 min. Propriedades geométricas da circunferência

2 45 min. Propriedades geométricas da circunferência - Aplicações

3 90 min. Ângulo ao centro

4

5

90 min.

45 min.

Arcos de circunferência. Comprimento de um arco de circunferência

Setor circular. Área de um setor circular

6 90 min. Ângulo inscrito num arco de circunferência

7 90 min. Ângulos com vértice no interior da circunferência

8 45 min. Ângulos com vértice no interior da circunferência - Aplicações

9 90 min. Ângulos com vértice no exterior da circunferência

10 90 min. Polígonos inscritos numa circunferência

11 45 min. Polígonos inscritos numa circunferência - Aplicações

12 90 min. Área de polígonos regulares

Atendendo aos objetivos e às questões de investigação descrevo três aulas – relativas ao

ângulo inscrito num arco de circunferência, ângulo com vértice no interior da circunferência e

área de polígonos regulares inscritos numa circunferência – evidenciando em cada uma a tarefa,

a forma como os alunos a executaram e os seus raciocínios. A informação que resulta da

52

atividade dos alunos no estudo destes tópicos é apresentada segundo os momentos da aula em

que foram envolvidos a: (i) Estabelecer relações; (ii) Provar relações.

3.2. Ensino e aprendizagem de tópicos da Circunferência

Com base na informação recolhida na prática pedagógica, descreve-se e analisa-se a

atividade dos alunos às tarefas propostas ao longo das aulas. Os conteúdos geométricos foram

tratados recorrendo a tarefas de natureza exploratória, que foram adaptadas do manual escolar

do aluno. Na sua realização, foi proposto aos alunos, na maior parte das aulas, o trabalho de

pares. Atendendo às características dos alunos da turma, muitos deles com pouca motivação

para aprender, de modo a não provocar demasiada agitação na sala aula e de rentabilizar o

tempo estabeleceu-se que os alunos trabalhariam com o colega de carteira.

3.2.1. Ângulo inscrito num arco de circunferência

Estabelecer a relação entre a amplitude de um ângulo inscrito e a amplitude do arco correspondente numa circunferência

Nas aulas de introdução de tópicos da circunferência, os alunos podiam recorrer ao

software de geometria dinâmica GeoGebra na exploração das tarefas propostas. No entanto, por

falta de disponibilidade da sala de informática, no estudo do tópico em análise não foi possível

proporcionar aos alunos o recurso ao GeoGebra. Assim, para a exploração da tarefa introdutória

deste tópico utilizou-se o GeoGebra no computador da professora e o videoprojector.

No estudo do tópico ângulo inscrito num arco de circunferência comecei por introduzir,

em diálogo com a turma, o conceito de ângulo inscrito num arco de circunferência, evidenciando

as diferenças entre um ângulo ao centro e um ângulo inscrito. Enquanto os lados de cada um

destes tipos de ângulos são formados por semirretas que contêm cordas da circunferência,

diferem da localização do vértice, no centro ou sobre a circunferência. Após a introdução do

conceito de ângulo inscrito propus aos alunos a realização da seguinte tarefa (Anexo 3):

53

Esta tarefa teve por finalidade fazer com que os alunos relacionassem a amplitude de

um ângulo inscrito num arco de circunferência com a amplitude do arco correspondente. Para

esse efeito, tinham que distinguir um ângulo ao centro de um ângulo inscrito num arco de

circunferência e registar algumas amplitudes do ângulo inscrito na circunferência e do arco

correspondente. Dos quinze pares formados na turma, quatro pares não apresentaram qualquer

resposta à tarefa.

Na distinção entre um ângulo ao centro e um ângulo inscrito numa circunferência, dez

pares de alunos referiram que o ângulo AOB é um ângulo ao centro porque o vértice incide no

centro da circunferência e o ângulo ECD é inscrito porque tem o vértice sobre a circunferência.

Entre estes pares, quatro pares apresentaram uma resposta mais detalhada, mencionando que

as cordas do ângulo ao centro são raios da circunferência e que os lados do ângulo inscrito são

cordas da circunferência, como exemplifica a resposta do par P9 (Figura 7).

Figura 7: Diferença entre um ângulo ao centro e um ângulo inscrito numa circunferência segundo o par P5.

54

Um par de alunos mencionou como diferença entre os ângulos o seu tamanho (Figura

8).

Figura 8: Diferença entre um ângulo ao centro e um ângulo inscrito numa circunferência segundo o par P9.

A resposta deste par evidencia falta de atenção na distinção entre o essencial e o

acessório. A diferença de amplitudes entre os ângulos é um facto, mas atendendo que se estava

a estudar os ângulos de uma circunferência, os aspetos essenciais a destacar seriam a

incidência do vértice dos ângulos e a localização dos seus lados e não aspetos não essenciais

como as suas amplitudes.

Na determinação da amplitude do arco correspondente a um ângulo ao centro, os

alunos não revelaram dificuldades. Porém, apenas dois pares justificaram a sua resposta,

mencionando a relação entre a amplitude de um ângulo ao centro e a amplitude do arco

correspondente, como revela o par P10 (Figura 9).

Figura 9: Justificação do par P10 sobre a amplitude de um arco com ângulo ao centro.

A determinação das amplitudes do ângulo ECD e do arco DE foram exploradas com o

GeoGebra, no computador da professora, utilizando o ficheiro previamente construído (Figura

10), e projetado para a turma com recurso ao videoprojector. Para registar as amplitudes do

ângulo e do arco associado, alguns alunos foram ao computador movimentar um dos pontos, E

ou D, de forma a obterem diferentes amplitudes, enquanto os restantes efetuavam os registos.

Figura 10: Determinação no GeoGebra da amplitude de um ângulo inscrito num arco de circunferência.

55

Após registarem e observarem algumas amplitudes do ângulo ECD e do arco DE, os

alunos estabeleceram a conjetura de como determinar a amplitude de um ângulo inscrito numa

circunferência. Relativamente a esta questão, seis pares de alunos estabeleceram a relação

pretendida e cinco não apresentaram qualquer resposta. Nas respostas efetuadas, alguns alunos

descreveram por linguagem corrente a relação que determina a amplitude de um ângulo inscrito

num arco de circunferência, enquanto outros estabeleceram essa relação por linguagem

corrente e também formalmente, como ilustra a resposta do par P10 (Figura 11).

Figura 11: Conjetura sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo inscrito num arco de circunferência apresentada pelo par P10.

A exploração desta questão permitiu aos alunos verificarem que, independentemente da

amplitude do ângulo inscrito num arco de circunferência, esta é sempre metade da amplitude do

arco correspondente. Depois desta constatação, os alunos em diálogo com a professora

debateram as suas ideias sobre a conjetura obtida:

Professora: Com os valores que registaram conseguem encontrar alguma regularidade?

Alunos: Sim. A2: É sempre metade? A1: O arco DE é sempre o dobro do ângulo. Professora: O que é metade e o que é o dobro? Alunos: A do ângulo é sempre metade da do arco. A1: E o arco é sempre o dobro do ângulo. Professor: Sim, se a amplitude do ângulo é metade, a do arco tem de ser o

dobro. Correto? Alunos: Sim. Professora: Então o que podemos concluir em relação a um ângulo inscrito

num arco de circunferência. A3: A amplitude do ângulo é sempre metade da amplitude do arco. Professora: A amplitude de que ângulo? Alunos: Do ângulo inscrito na circunferência.

Com a resolução desta tarefa, os alunos, através da observação de casos particulares,

estabeleceram a relação que determina a amplitude de um ângulo inscrito num arco de

circunferência. De acordo com o sublinhado por Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), as conjeturas

podem surgir por observação direta ou por manipulação dos dados.

56

Prova da relação entre a amplitude de um ângulo inscrito e a amplitude do arco correspondente numa circunferência

Depois de estabelecida a relação que permite determinar a amplitude de um ângulo

inscrito num arco de circunferência, os alunos foram desafiados a provar a conjetura obtida,

tendo sido distribuída a seguinte tarefa (Anexo 3).

Acompanhando os alunos na realização desta atividade, constatei que a maior parte não

a conseguia realizar. De modo a ultrapassar este obstáculo, sugeri que relacionassem a

amplitude do ângulo AOC, externo ao triângulo [BOC], com os ângulos internos não adjacentes

deste triângulo. Após esta sugestão, dois pares conseguiram provar a relação que determina a

amplitude de um ângulo inscrito num arco de circunferência, como exemplifica a resposta do par

P2 (Figura 12).

Figura 12: Prova da relação que determina a amplitude de um ângulo inscrito num arco de circunferência apresentada pelo par P2.

A análise destes dados revela que os alunos têm muitas dificuldades na realização da

atividade de provar conjeturas, o que é sustentado por Healy e Hoyles (2001).

57

3.2.2. Ângulo com vértice no interior da circunferência

Estabelecer a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência

No estudo do tópico ângulo com vértice no interior da circunferência, os alunos

começaram por explorar uma tarefa que, segundo Ponte (2005), tem um grau de desafio

reduzido e grau de estrutura aberto. A tarefa tinha como objetivo relacionar a amplitude de um

ângulo com vértice no interior da circunferência com a amplitude dos arcos associados. Com

esta finalidade, foi proposto aos alunos a realização de uma tarefa exploratória com recurso ao

GeoGebra (Anexo 4).

No preenchimento da tabela com os valores recolhidos no GeoGebra, pretendia-se que

os alunos registassem algumas amplitudes do ângulo com vértice no interior da circunferência,

as amplitudes dos arcos associados, assim como a sua soma, para que conjeturassem a relação

que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência. Os alunos

puderam recolher dados e identificar regularidades entre as amplitudes registadas. Circulando

pela sala de aula e observando a atividade dos alunos foi possível verificar que não foram

notadas dificuldades no preenchimento da tabela, pois conseguiram, através do arrastamento de

um dos pontos, B ou C, ou do vértice do ângulo BAC, interno à circunferência, registar as

amplitudes do ângulo BAC, assim como dos correspondentes arcos CB e DE. A observação de

casos particulares permitiu à maioria dos alunos o estabelecimento da conjetura que estabelece

58

a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência.

Dos quinze pares de alunos, doze pares estabeleceram a relação pretendida, um par deu uma

resposta errada e dois não responderam. Os pares que conseguiram estabelecer a relação

apresentaram respostas similares à do par P1 (Figura 13).

Figura 13: Conjetura sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P1.

Enquanto alguns alunos descreveram por linguagem corrente a relação que determina a

amplitude de um ângulo com vértice no interior de uma circunferência, em função das

amplitudes dos arcos correspondentes, houve alunos que estabeleceram formalmente essa

relação, como exemplifica a resposta do par P2 (Figura 14).


Outros alunos estabeleceram a relação referindo que a soma das amplitudes dos arcos

compreendidos entre os seus lados e os seus prolongamentos era o dobro da amplitude do

ângulo interno, tal como fez o par P3 (Figura 15).


O par P4 apresentou uma resposta errada mencionando que a relação se obtém

aumentando o ângulo (Figura 16).

Figura 16: Conjetura errada sobre a relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P4.

59

Este erro deveu-se ao facto de os alunos deste par não terem calculado a soma das

amplitudes dos arcos CB e DE. Desta forma, não puderam identificar nenhuma relação entre a

amplitude do ângulo interior à circunferência e a soma das amplitudes dos correspondentes

arcos.

Figura 17: Registo das amplitudes do ângulo interno BAC e dos correspondentes arcos CB e DE pelo par P4.

Após o registo na tabela dos valores obtidos e da conjetura que se retira da análise

desses valores, seguiu-se a apresentação dos resultados à turma, que serviu para elucidar que a

conjetura se verifica para qualquer ângulo interno da circunferência.

Professora: Qual a relação que obtiveram da amplitude do ângulo interno à circunferência?

A1: O ângulo é metade da soma das amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus lados e os seus prolongamentos.

Professora: Como é que podemos escrever a relação? A1: é igual ao arco CB mais o arco DE a dividir por dois. A2: Podíamos só dividir o arco…. Professora: Qual arco? A2: O arco CB e já tínhamos a amplitude do ângulo. Professora: O que observaste através dos registos que efetuaste? Professora: A amplitude do ângulo é metade da amplitude do arco CB? Ou é

metade da soma das amplitudes dos arcos? A2: Pois…. é metade da soma das amplitudes dos arcos. Professora: Mais alguém tem dúvidas em relação à amplitude do ângulo ?

Com este diálogo, procurei orientar o trabalho na sala de aula de acordo com a

orientação curricular que destaca o desenvolvimento da capacidade de comunicação dos alunos.

Pretendi, como refere o programa de Matemática do ensino básico (Ministério da Educação,

2007), que os alunos fossem capazes de expressar as suas ideias, interpretar e compreender as

que lhes eram apresentadas e que participassem de forma construtiva na discussão de ideias,

processos e resultados matemáticos. Apesar da tentativa de envolver o maior número de alunos,

apenas dois participaram na discussão da aula. Os alunos A1 e A2 intervenientes no diálogo

estabeleceram corretamente a relação. No entanto, o aluno A2 revelou ter algumas dúvidas que

60

parecem que foram elucidadas através da discussão com a turma. Como refere o NCTM (2007),

através da comunicação as ideias tornam-se objetos de reflexão, discussão e correção,

contribuindo para a consolidação de ideias.

Prova da relação que determina a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência

Depois de estabelecida a relação que permite determinar a amplitude de um ângulo com

vértice no interior da circunferência, os alunos foram desafiados a provar a conjetura obtida

(Anexo 4). Durante a realização desta atividade, a maior parte dos alunos manifestou dificuldade

na sua concretização. Na expetativa da prova ser realizada por um maior número possível de

alunos, optei por desenhar no quadro um ângulo com vértice no interior de uma circunferência.

De seguida, desenhando o triângulo [BAE] e marcando os ângulos a e b (Figura 18), pedi aos

alunos que relacionassem a amplitude do ângulo , externo ao triângulo, com as amplitudes dos

ângulos internos não adjacentes a e b.

Figura 18: Ângulo com vértice no interior da circunferência.

Uma vez que a atividade tinha um grau de complexidade elevado, esta apenas foi

realizada por um par de alunos (Figura 19), os quais tinham um bom desempenho à disciplina

de Matemática. Apesar de conseguirem provar a relação da amplitude de um ângulo com vértice

no interior da circunferência é de salientar que os alunos não procuraram justificar os passos

efetuados.

61

Figura 19: Prova da relação sobre a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência apresentada pelo par P5.

Posteriormente, desenvolveu-se no quadro a prova da conjetura anteriormente

estabelecida, questionando os alunos de modo a envolvê-los nesta atividade.

Professora: Como é que podemos relacionar a amplitude do ângulo com as amplitudes dos ângulos internos do triângulo?

A3: é igual a+b. Professora: Porquê? O ângulo não é um ângulo externo ao triângulo? Alunos: É. Professora: Então porque é que esta igualdade é verdadeira? Turma: (Silêncio). Professora: Porque a amplitude de um ângulo externo a um triângulo é igual à

soma dos seus ângulos internos não adjacentes. Será? Professora: Então agora podemos relacionar os ângulos a e b com os arcos AB

e DE? A4: Sim. A3: a é igual ao AB a dividir por dois e b é igual a DE a dividir por dois. Professora: Porquê? A4: Porque são ângulos inscritos. A3: Assim é igual a AB mais DE a dividir por dois. Professora: Alguém tem alguma dúvida relativamente a esta questão? Alunos: Não.

Com a realização da prova da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior

da circunferência, pretendi questionar os alunos na tentativa que estes expressassem os seus

raciocínios e desenvolvessem a “capacidade de argumentação apoiada em procedimentos,

62

propriedades e conceitos matemáticos” (Ministério da Educação, 2007, p. 63). Pela observação

do diálogo é possível verificar que os alunos revelam dificuldades em argumentar e em expor as

suas ideias, aguardando que o professor partilhe a informação.

Outro aspeto no qual os alunos revelam dificuldades é no rigor da linguagem utilizada,

verificando-se, por exemplo, quando o aluno A3 conclui que “ é igual a AB mais DE a dividir

por dois”, não esclarecendo que é a amplitude dos arcos AB e DE. É também de salientar a falta

de envolvimento dos alunos na discussão, estes limitavam-se a responder às questões colocadas

pela professora de forma breve e sem justificações. Sublinha-se que a dificuldade de provar a

conjetura continua a manifestar-se, uma vez que os alunos intervenientes no diálogo são os que

conseguiram provar a relação estabelecida.

Depois de determinada a relação que estabelecia a amplitude de um ângulo com vértice

no interior da circunferência em função das amplitudes dos seus arcos associados e da respetiva

prova, houve tempo para que os alunos aplicassem essa relação na resolução de tarefas

práticas. Estas tarefas (Anexo 7), realizadas individualmente pelos alunos, foram selecionadas do

manual escolar e tinham como objetivo aplicar e consolidar os conhecimentos adquiridos.

Observando as resoluções dos alunos não se verificaram dificuldades de aplicação da relação

estabelecida. No entanto, alguns alunos manifestaram dificuldade em justificar a aplicação dessa

relação. Apenas oito pares procederam à respetiva justificação. Nesta tarefa, todos os alunos

aplicaram corretamente a relação obtida, verificando-se apenas erros de cálculo em quatro

alunos, como exemplifica os que foram cometido pelo aluno A2 (Figura 20).

Figura 20: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência do aluno A2 com erros de cálculo.

Os erros de cálculo verificaram-se nas alíneas b e c. Por exemplo, na expressão da

alínea b, o aluno A2 terá calculado a soma de 121 com , em vez de . Como os alunos

63

utilizavam a calculadora científica, este erro poderá ter ocorrido por o aluno ter colocado de

forma errada a expressão, o que também parece justificar o erro da alínea c.

Relativamente às respostas corretas dos alunos, a maior parte dos alunos aplicou

somente a fórmula que relaciona a amplitude de um ângulo interior à circunferência com a

amplitude dos arcos associados, como exemplifica a resolução do aluno A5 (Figura 21),

enquanto outros justificaram a aplicação dessa fórmula, como ilustra a resposta do aluno A1

(Figura 22).

Figura 21: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência sem justificação do aluno A5.

Figura 22: Aplicação da relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência com justificação do aluno A1.

Na primeira resolução, o aluno aplica a relação da amplitude de um ângulo com vértice

no interior da circunferência diretamente, não especifica o caso geral, usando diretamente o

caso particular. De forma a não cometer erros de cálculo, o aluno tem o cuidado de calcular a

soma dos ângulos e só depois efetuar a divisão. A resolução indicia que o aluno terá

compreendido a relação da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência.

64

Na segunda resolução, na primeira alínea, o aluno escreve o caso genérico da relação

da amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência e depois concretiza o caso

particular do enunciado. Nas alíneas seguintes, aplica de imediato o caso particular. Por fim,

mostrando que os conteúdos abordados na aula foram compreendidos, justifica a sua resolução.

É notado, neste aluno, rigor e organização na execução da tarefa.

3.2.3. Área de polígonos regulares inscritos numa circunferência

Estabelecer a expressão que determina a área de um hexágono

No estudo deste tópico recorreu-se a duas tarefas exploratórias sem recurso ao

GeoGebra, na qual os alunos tiveram de trabalhar em pares. Nesta aula tinham faltado dois

alunos, desta forma foram formados catorze pares. A aula tinha como objetivo estabelecer a

expressão que representa a área de um polígono regular e finalizar com a resolução de

exercícios e problemas, envolvendo os conceitos adquiridos com a exploração da tarefa.

Nos estudo deste tópico, os alunos começaram por realizar uma tarefa que tinha como

objetivo estabelecer a expressão da área de um hexágono regular. Com esta finalidade foi

proposto aos alunos a realização da seguinte tarefa (Anexo 5).

Com esta tarefa pretendia-se que os alunos relacionassem o apótema do hexágono

regular com a altura de cada triângulo, obtido na decomposição do polígono, que associassem a

65

área total com a área de cada triângulo, e por fim que escrevessem a expressão que representa

a área do hexágono regular. Na realização desta tarefa, a maioria dos grupos conseguiu obter a

relação que determina a área de um hexágono regular, como pode ser observado pelas

respostas dos grupos (Tabela 8).

Tabela 8: Distribuição das respostas dos alunos à primeira tarefa (n=14)

Questão Respostas Corretas Respostas incorretas Não responderam

Q1 14 0 0

Q2 11 3 0

Q3 5 7 2

Q4 9 3 2

Na identificação do número de lados da figura (Q1), como era previsto, todos os grupos

responderam corretamente. No entanto, na determinação da expressão do perímetro do

hexágono regular (Q2), houve três alunos que erraram, a Figura 23 exemplifica um desses erros.

Figura 23: Expressão errada do perímetro do hexágono apresentada pelo par P10.

Na determinação da expressão que representa a área de cada um dos triângulos que

decompõem o hexágono regular (Q3), apenas cinco pares apresentaram a expressão que

representa a área de um triângulo em função do lado do hexágono e do apótema, como ilustra a

resposta do par P6 (Figura 24).

Figura 24: Expressão da área de cada triângulo em função do apótema apresentada pelo par P6.

Das expressões apresentadas incorretamente a esta questão destaco a resposta do par

P6 (Figura 25).

Figura 25: Expressão incorreta da área de cada triângulo apresentada pelo par P7.

66

Este par apresenta a área do triângulo como sendo a área do hexágono, a dividir pelo

número de triângulos obtidos na decomposição do hexágono. Os alunos revelam compreender

que a área de cada triângulo é a sexta parte da área do hexágono regular, no entanto não

conseguiram escrever a expressão usando a área de um triângulo. Este facto poderá dever-se a

dificuldades de interpretação por parte dos alunos.

Na questão 4, apesar de apenas cinco pares de alunos apresentarem a área de cada

triângulo do hexágono em função do apótema, nove pares encontraram a expressão da área do

hexágono, tal como a que deram os pares par P7 (Figura 26) e P8 (Figura 27).

Figura 26: Expressão da área de um hexágono regular apresentada pelo par P7.

A expressão da área do hexágono apresentada pelo par P8 evidencia rigor na escrita. O

par substituiu o perímetro do hexágono por P e apresentou o significado de cada variável

utilizada na expressão.

Figura 27: Expressão da área de um hexágono regular apresentada pelo par P8.

Ao circular pela sala verifiquei que alguns alunos tinham dificuldades em compreender o

conceito de apótema, o que, consequentemente não lhes permitia escrever a expressão da área

do hexágono regular. Em discussão com a turma foi apresentada a expressão que representa a

área de um hexágono regular. Este momento teve como objetivo esclarecer as dúvidas dos

alunos relativamente à tarefa desenvolvida.

Professora: Quantos lados tem o hexágono? A1: Tem 6 lados. Professora: Qual é a expressão que representa o perímetro do hexágono? Alunos: 6푥 Professora: Podemos então escrever 푃 = 6푥. Professora: Para resolver a terceira questão, temos que traçar um segmento de

reta perpendicular a um dos lados do hexágono e que passa pelo centro da figura. Então o que é o apótema do hexágono?

Turma: (Silêncio).

67

Professora: Ao segmento de reta que parte do centro da figura e é perpendicular a um dos lados designa-se de apótema. (…) Neste momento estamos em condições de determinar a expressão da área de cada um dos triângulos do hexágono?

Alunos: Sim. A1: 퐴 = ∗

.

Professor: Com base na área de cada triângulo, podemos determinar a expressão para a área do hexágono?

A2: A área é igual ao número de lados vezes a área do triângulo. Professora: Então neste caso como temos seis lados a área do hexágono é…. A1: 6 ∗ ( ∗ ).

Professora: Há alguma dúvida em relação a esta tarefa?

Depois da introdução da noção de apótema e de estabelecer, com a turma, a expressão

que representa a área de um hexágono regular, foi distribuída a seguinte tarefa (Anexo 5):

A tarefa tinha como objetivo estabelecer a relação que determina a área de um polígono

regular em função do seu perímetro do apótema. Na realização desta tarefa, os alunos tiveram

de registar informação relativamente a quatro polígonos regulares, de forma a conjeturarem

sobre a área de qualquer polígono regular.

Estabelecer a relação que determina a área de um polígono regular

No estabelecimento da relação que determina a área de um polígono regular, dos

catorze pares oito estabeleceram a relação. Dois pares não completaram a tabela e quatro não

68

acabaram o seu preenchimento. Das respostas corretas, um par (P5) escreveu a relação,

partindo da expressão da área de um polígono com 푛 lados, que estabeleceram com o

preenchimento da tabela (Figura 28).

Figura 28: Expressão da área de um polígono regular apresentada pelo par P5.

Os alunos resolvem a equação, mencionando que 푛 ∗ 푥 é o perímetro, fazem a

substituição do produto 푛 ∗ 푥 por P e concluem que a área de um hexágono regular é ∗ 푎푝.

Dois pares apresentaram a expressão 퐴 = ∗ 푎푝, mas só um teve o cuidado de referir que P é

o perímetro do polígono e 푎푝 o apótema. Os outros pares escreveram a expressão ∗ ∗ 푎푝,

encontrada através do preenchimento da tabela.

No momento destinado à apresentação dos resultados obtidos, um aluno foi ao quadro

preencher a tabela, para que os restantes pares estabelecessem e compreendessem a relação

que determina a área de um polígono regular. O aluno foi completando a tabela em conjunto

com a turma, não se tendo verificado dúvidas. Uma vez que alguns alunos ao estabelecer a área

de um polígono regular, não escreveram a relação fazendo a substituição de 푛 ∗ 푥 pela variável

푃, aproveitei este momento para esclarecer que 푛 ∗ 푥 representa o perímetro de qualquer

polígono regular.

3.3. Perceção dos alunos sobre a estratégia de ensino

A recolha de informação que traduz as perceções dos alunos às estratégias de ensino

desenvolvidas aconteceu em dois momentos: no final de algumas aulas e no final da intervenção

pedagógica.

3.3.1. Perceção dos alunos sobre as estratégias de ensino no final de algumas aulas

Nas aulas de introdução de conceitos geométricos pretendia averiguar se os alunos

tinham compreendido os conceitos abordados, qual o contributo do GeoGebra na aprendizagem

e que dificuldades tinham sentido. Para concretizar este objetivo foi solicitado aos alunos, no

final de algumas aulas, que respondessem às questões de aula (Anexo 6). Nem sempre foi

possível a aplicação das mesmas, visto que, tanto o estabelecimento de relações com recurso ao

69

GeoGebra, em tarefas exploratórias, como a realização da prova e respetiva discussão de

resultados, não permitiram recolher a perceção dos alunos em todas as aulas. Desta forma, são

expostas as perceções dos alunos no estudo dos seguintes tópicos: Ângulo ao centro - Verificar

que numa circunferência a ângulos ao centro congruentes correspondem arcos e cordas

congruentes; Ângulos com vértice no interior da circunferência.

Ângulo ao centro - Verificar que numa circunferência a ângulos ao centro congruentes correspondem arcos e cordas congruentes

Nesta aula, para além de introduzir o conceito de ângulo ao centro, pretendia que os

alunos conjeturassem sobre as relações existentes entre um ângulo ao centro de uma

circunferência e os correspondentes arcos e cordas. A Tabela 9 sintetiza as respostas dos alunos

à questão “Na aula de hoje, que relações estabeleceste?”. As respostas a esta questão foram

agrupadas em adequadas e incompletas.

Tabela 9: Respostas dos alunos sobre os conceitos abordados na aula do tópico ângulo a centro.

Questão 1 - Na aula de hoje, que relações estabeleceste? Resposta Frequência Aprendi muita coisa sobre ângulos ao centro. Numa circunferência, a ângulos ao centro congruentes correspondem arcos e cordas congruentes, a arcos congruentes correspondem ângulos e cordas, a cordas congruentes correspondem ângulos e arcos congruentes.

Adequada

1

Numa circunferência a ângulos ao centro congruentes correspondem arcos e cordas congruentes

3

Que dois ângulos ao centro com a mesma amplitude são congruentes, assim como os seus arcos e cordas

5

A relação do ângulo ao centro das suas cordas e dos seus arcos, assim como o vértice, ou seja aprendi que os ângulos ao centro com a mesma amplitude são congruentes.

2

Aprendi várias coisas sobre os ângulos ao centro, os arcos e as cordas

Incompleta

1

Foram estabelecidas as relações do ângulo ao centro e as suas cordas e arcos, bem como o vértice

1

Aprendi sobre ângulos ao centro e como os arcos e as cordas são congruentes

4

Não responderam 13

Apenas onze alunos deram uma resposta adequada, revelando que tinham presente o

que foi trabalhado na aula no que diz respeito ao significado de ângulo ao centro, assim como à

relação existente entre ângulos ao centro congruentes e os correspondentes arcos e cordas. Dos

restantes alunos, seis apresentaram respostas incompletas, o que indicia pouca atenção

prestada ao que foi desenvolvido na aula.

70

As primeiras duas respostas incompletas sugerem que os alunos perceberam que existe

uma relação entre um ângulo ao centro e os correspondentes arcos e cordas. No entanto, não

referem que os ângulos, os arcos e as cordas têm que ser congruentes. Na última resposta

incompleta, os alunos indicam saber que existe uma relação de congruência entre os arcos e as

cordas, mas não mencionam que os ângulos também são congruentes.

As respostas à questão “Qual foi o contributo do GeoGebra nas relações que

estabeleceste?” são apresentadas na tabela 10. Com esta questão pretendi conhecer a opinião

dos alunos sobre o contributo do GeoGebra na determinação da relação existente entre ângulos,

arcos e cordas congruentes.

Tabela 10: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra na aula do tópico ângulo ao centro.

Questão 2 - Qual foi o contributo do GeoGebra nas relações que estabeleceste? Frequência

Ajudou na compreensão dos conceitos dados 3

Contribuiu para uma melhor aprendizagem da matéria, incluindo a técnica de desenho 9

O GeoGebra contribuiu muito para chegar às relações 7 O contributo foi muito, pois ajudou a perceber melhor a matéria e torna as aulas mais interativas

1

Não responderam 10

Da análise das respostas é possível verificar que, de uma forma geral, os alunos

mencionam o GeoGebra como um recurso vantajoso na compreensão dos conceitos abordados

na aula, contribuindo para uma melhor aprendizagem e para a formulação de conjeturas.

As respostas da última questão “Que dificuldades sentiste na aprendizagem dos

assuntos da aula?” são apresentadas na Tabela 11.

Tabela 11: Respostas dos alunos sobre as dificuldades sentidas na aula do tópico ângulo a centro.

Questão 3 - Que dificuldades sentiste na aprendizagem dos assuntos da aula? Frequência

Algumas 1

Marcar as retas, os ângulos e a rotação 7

Medir o raio e os arcos 3

Muitas 9

Não responderam 10

Nesta aula, a maioria dos alunos mencionou ter sentido dificuldades. Dez alunos

referem como dificuldades a construção das retas, dos ângulos, a realização da rotação, assim

como medir o comprimento do raio e dos arcos. Nove alunos indicam ter sentido muitas

dificuldades nos assuntos abordados, mas não expressam quais. A análise das respostas sugere

71

que os alunos sentiram dificuldades no manuseamento dos elementos geométricos em estudo,

este facto poderá dever-se à pouca prática da utilização do GeoGebra, nas aulas de matemática.

Ângulos com vértice no interior da circunferência

A seguinte tabela sintetiza as respostas dos alunos à questão “Na aula de hoje, que

relações estabeleceste?”. Estas respostas foram consideradas adequadas e incompletas.

Tabela 12: Respostas dos alunos sobre os conceitos abordados na aula do tópico ângulos com vértice no interior da circunferência.

Questão 1 - Na aula de hoje, que relações estabeleceste? Resposta Frequência Que a amplitude de um ângulo interno da circunferência é igual à soma dos arcos a dividir por dois

Adequada

4

Na aula de hoje aprendi que consigo obter o resultado de um ângulo,

pelos seus arcos 3

Na aula de hoje estabeleci que a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência é metade da soma da amplitude dos arcos correspondentes

2

A amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência é metade da soma da amplitude dos arcos compreendidos entre os seus lados e os seus prolongamentos

2

Relações do resultado dos ângulos pelos seus arcos

Incompleta

1 Relação de Ângulos excêntricos interiores à circunferência 6 Aprendi que consigo obter os resultados de um ângulo 1 Estabeleci relações entre ângulos 1 Aprendemos a estabelecer o cálculo da amplitude do ângulo 1 Ângulos 3 Não responderam 6

Apenas onze alunos deram uma resposta adequada, revelando que tinham presente o

que foi trabalhado na aula quer no que diz respeito ao significado de ângulo excêntrico interior à

circunferência quer à relação que permite determinar a sua amplitude. Dos restantes alunos,

treze apresentaram respostas incompletas, o que indicia pouca atenção prestada ao que foi

desenvolvido na aula.

A primeira resposta incompleta sugere que o aluno percebe que para obter a amplitude

de um ângulo com vértice no interior da circunferência necessita de saber a amplitude dos arcos

correspondentes. Apesar disso, não identifica o tipo de ângulo da circunferência que a relação

determina. Na segunda resposta incompleta, os alunos mostram que sabem que a relação

estabelecida permite obter a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência,

no entanto não mencionam que têm de saber a amplitudes dos correspondentes arcos. Os

alunos nas últimas quatro respostas incompletas indicam saber que a relação identificada

72

calcula a amplitude de um ângulo, mas não identificam qual é o ângulo, nem o que necessitam

de saber para estabelecer a relação.

As respostas à questão “Qual foi o contributo do GeoGebra nas relações que

estabeleceste?” são apresentadas na Tabela 13. Com esta questão pretendi conhecer a opinião

dos alunos sobre o contributo do GeoGebra no estabelecimento da relação da amplitude de um

ângulo com vértice no interior da circunferência.

Tabela 13: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra na aula do tópico ângulos com vértice no interior da circunferência.

Questão 2 - Qual foi o contributo do GeoGebra nas relações que estabeleceste? Frequência

Foi uma excelente plataforma de apoio 1

Ajudou a estabelecer relações entre os ângulos e os arcos 3

O GeoGebra contribuiu para termos as amplitudes exatas e dar as contas certas 1

Ajudou-me a estabelecer as tarefas 2

Ajudou-me a perceber melhor a matéria 4

Foi um bom contributo 5

Foi muito bom porque aprendemos muito 1

O GeoGebra ajudou-me a compreender melhor 2

O GeoGebra foi bastante útil e divertido de usar 2

Ajudou-nos a perceber a matéria prevista e proposta para esta aula 2

O GeoGebra permitiu-me estabelecer a relação através de exemplos concretos 1

Permitiu-me obter uma melhor conclusão no estudo dos ângulos 1

Nenhum 1

Não Responderam 6

Da análise das respostas é possível verificar que, de um modo geral, os alunos referem

o GeoGebra como um recurso vantajoso para a compreensão do tópico em estudo e para a

formulação da conjetura.

As respostas da última questão “Que dificuldades sentiste na aprendizagem dos

assuntos da aula?” são apresentadas na Tabela 14.

Tabela 14: Respostas dos alunos sobre as dificuldades sentidas na aula do tópico ângulos com vértice no interior da circunferência.

Questão 3 - Que dificuldades sentiste na aprendizagem dos assuntos da aula? Frequência

Nenhumas/Quase Nenhumas 17

Não senti dificuldades pois tive o apoio da professora e do programa GeoGebra 1

Poucas/Muito poucas 3

Muitas 3

Não responderam 6

73

Relativamente às dificuldades, dezassete alunos mencionam não ter sentido

dificuldades. Um aluno refere que o GeoGebra foi útil na superação das dificuldades que sentiu.

Sete alunos indicam ter sentido poucas ou muitas dificuldades nos assuntos abordados, mas

não expressam quais. Estes dados sugerem que os alunos consideram o GeoGebra como um

recurso que os ajuda na compreensão dos assuntos abordados na aula.

3.3.2. Perceção dos alunos sobre as estratégias de ensino após a intervenção pedagógica

No final da intervenção pedagógica os alunos (n=30) tiveram a oportunidade de avaliar

as estratégias delineadas no estudo de tópicos da Circunferência através do questionário final

(Anexo 2). O primeiro grupo do questionário era constituído por questões de resposta fechada

que foram agrupadas segundo as seguintes dimensões: (i) Perceção dos alunos sobre o

GeoGebra; (ii) Capacidades desenvolvidas; (iii) Atividades desenvolvidas; e (iv) Dificuldades

encontradas.

Relativamente à perceção dos alunos sobre a utilização do GeoGebra na aprendizagem

do estudo da circunferência, a Tabela 15 evidencia as respostas dos alunos às questões que

estruturam esta dimensão.

Tabela 15: Percentagem de respostas dos alunos sobre a perceção da utilização do GeoGebra na aprendizagem do estudo da circunferência.

Questões DT/D I C/CT Gosto de Geometria 30% 30% 40% A utilização do GeoGebra nas atividades das aulas fez-me pensar mais do que numa aula em que o professor expõe a matéria.

13% 50% 37%

As aulas em que utilizei o GeoGebra foram as que participei mais nas atividades da aula.

14% 43% 43%

O GeoGebra permite experimentar mais exemplos do que se fosse com papel e lápis.

7% 30% 63%

O GeoGebra ajudou-me a compreender as propriedades da circunferência. 7% 43% 50% Gostaria de aprender outros tópicos matemáticos com recurso ao GeoGebra.

10% 47% 43%

Aprendi melhor os tópicos da Circunferência quando usei o GeoGebra. 10% 47% 43%

Aprendi melhor os tópicos da Circunferência quando usei papel e lápis. 17% 53% 30% Aprendi melhor os tópicos da Circunferência quando combinei o uso de papel e lápis com o GeoGebra.

10% 43% 47%

Nota: DT/D – Discordo Totalmente ou Discordo; I – Indiferente; CT/C – Concordo Totalmente ou Concordo.

Pela leitura da tabela, realçam-se as percentagens elevadas à opção Indiferente

relativamente às questões colocadas. Quanto à relação com a Geometria, verifica-se que

somente 40% dos alunos admitem gostar de Geometria. Já quanto ao uso do GeoGebra no

74

estudo de tópicos deste tema, 37% concordam que os fez pensar mais do que numa aula

expositiva. Relativamente à participação nas atividades das aulas, 43% dos alunos afirmam que

foram as aulas em que recorreram a este recurso em que mais participaram. Uma percentagem

significativa de alunos, 63%, apontam que as atividades desenvolvidas com a utilização do

GeoGebra lhes permitiu experimentar mais exemplos do que com lápis e papel, o que

provavelmente levou a metade da turma a referir que compreenderam assim melhor as

propriedades da circunferência que estudaram. O trabalho realizado com este software fez com

que 43% manifestem interesse em aprender outros tópicos matemáticos com recurso ao

GeoGebra. Quanto às estratégias de ensino desenvolvidas, 43% dos alunos da turma consideram

que aprenderam melhor com este recurso, enquanto 47% preferem a combinação das

estratégias que recorreram simultaneamente ao GeoGebra e ao papel e lápis.

De um modo geral, um número significativo de alunos considerou que tiveram um papel

mais ativo na sua aprendizagem e maior motivação para aprender novos tópicos nas aulas em

que recorreram ao GeoGebra do que nas aulas em que não utilizaram este recurso.

As respostas dos alunos sobre as questões relacionadas com atitudes e capacidades

desenvolvidas, na aprendizagem de tópicos da Circunferência, encontram-se agrupadas na

Tabela 16.

Tabela 16: Percentagem das respostas dos alunos sobre atitudes e capacidades desenvolvidas na aprendizagem do estudo da circunferência.

Questões DT/D I C/CT As tarefas de exploração ajudaram-me a estabelecer as relações entre elementos da Circunferência.

6% 37% 57%

Gostaria de aprender outros tópicos de Matemática a partir de tarefas de exploração.

17% 37% 46%

O estudo do tópico da Circunferência com recurso ao GeoGebra despertou o meu interesse pela Geometria.

13% 50% 37%

Descobrir por mim próprio os conteúdos matemáticos é mais aliciante do que ser o professor a apresentá-los.

16%

47%

37%

Tive a oportunidade de provar as relações que foram estabelecidas no estudo da Circunferência.

17% 43% 40%

O GeoGebra permitiu-me visualizar melhor as construções efetuadas numa Circunferência do que as construções efetuadas no quadro.

7% 50% 43%

O GeoGebra ajudou-me a estabelecer as relações e as propriedades estudadas no tópico Circunferência.

7% 43% 50%

Gostaria de aprender outros tópicos matemáticos com recurso ao GeoGebra.

13% 43,5% 43,5%


75

Relativamente às atitudes desenvolvidas, 46% destacam de que gostariam de aprender

outros tópicos de Matemática com tarefas exploratórias, que ao serem resolvidas com o

GeoGebra despertou o interesse de 37% dos alunos pela Geometria. A integração deste software

nas atividades da aula de Matemática estimulou a curiosidade de 43,5% dos alunos em aprender

outros tópicos matemáticos com a sua utilização.

Quanto às capacidades desenvolvidas, 57% dos alunos consideram que as

características das tarefas de exploração promoveram a sua capacidade de estabelecer relações

entre elementos da circunferência. Nesta atividade, para a metade da turma muito contribuiu a

utilização do GeoGebra. As características das tarefas exploratórias e a valorização da atividade

dos alunos fizeram com que 37% ponderem que se torna mais aliciante aprender conteúdos

matemáticos quando são os alunos a descobrir por si próprios do que ser o professor a

apresentá-los à turma. Os alunos evidenciam considerar o GeoGebra como um facilitador na sua

aprendizagem, permitindo maiores possibilidades de exploração, estabelecimento de relações e

concretização.

Quanto às respostas dos alunos às questões relacionadas com as atividades

desenvolvidas na aprendizagem do estudo da circunferência encontram-se agrupadas na Tabela

17.

Tabela 17: Percentagem de respostas dos alunos sobre as atividades desenvolvidas na aprendizagem do estudo da circunferência.

Questões DT/D I C/CT O tópico da Circunferência permitiu-me reconhecer algumas das relações que estudei em situações do quotidiano.

20% 43% 37%

Tive a oportunidade de estabelecer as definições de tópicos da Circunferência.

16% 47% 37%

Aprendo mais quando tenho a oportunidade de discutir os meus processos e resultados.

13% 40% 47%

O GeoGebra ajudou-me a provar as relações estabelecidas sobre elementos da circunferência.

13% 40% 47%


No estudo de tópicos da Circunferência, 37% dos alunos reconheceram algumas

relações estudadas em situações do seu quotidiano, como por exemplo o exercício retirado do

teste intermédio de abril de 2013 (Anexo 8). Nesse estudo, 37% dos alunos salientam a

oportunidade que tiveram para estabelecer as definições dos tópicos. A interação com os seus

colegas e com a professora fez com que 47% destaquem os momentos de discussão de

76

processos e resultados na sua aprendizagem. Igual número de alunos salienta a exploração com

o GeoGebra na procura de provar as relações que estabeleceram.

Os alunos parecem perceber que as atividades desenvolvidas lhes permitiram aprender,

aplicar os conhecimentos adquiridos a situações do dia-a-dia e discutir processos e resultados

obtidos. Porém, para alguns alunos (40%) o estudo de tópicos da Circunferência tornou-se mais

difícil de compreender do que outros tópicos matemáticos.

Tabela 18: Percentagem de respostas dos alunos sobre a dificuldade do estudo do tópico da circunferência.

Questão DT/D I C/CT Os tópicos da Circunferência foram mais difíceis de compreender do que outros tópicos matemáticos.

27% 33% 40%


Da análise das questões, salienta-se que existe uma percentagem de alunos que se

mostram indiferentes à utilização do GeoGebra na aprendizagem do estudo da Circunferência.

Consequentemente à estratégia desenvolvida, isto poderá dever-se ao facto de não terem

desenvolvido o gosto pela Geometria, tal como analisado na tabela 15, na questão “Gosto de

Geometria”. Nesta questão, mais de 30% dos alunos referem não gostarem de Geometria,

enquanto para 30% este tema lhes é indiferente.

O segundo grupo do questionário, constituído por questões de resposta aberta,

pretendia, relativamente ao estudo do tópico da circunferência, averiguar quais as dificuldades

sentidas e qual o contributo do GeoGebra na aprendizagem dos conceitos e relações.

Tabela 19: Respostas dos alunos sobre o que mais gostaram nas aulas em que utilizaram o GeoGebra.

Questão 2. O que é que gostaste mais nas aulas de Matemática em que usaste o GeoGebra?

Frequência

Medir os ângulos, os comprimentos sem ter de fazer contas 1

Foi a única matéria que aprendi e gostei 1

O GeoGebra ajudou-me a compreender melhor os conteúdos 1 Usar um computador, construir e mexer na circunferência e ver os diferentes resultados

6

Trabalhar em grupo 2

As aulas passavam mais rápido, aprendia melhor 2

Não estive atento nas aulas/Não gosto de Matemática 12

Respostas inadequadas 5

Questionados sobre o que mais gostaram nas aulas em que usaram o Geogebra, quase

metade dos alunos, doze, afirmaram que não estiveram atentos ou não gostavam da disciplina.

77

Estas respostas corroboram o que já foi verificado aquando do questionário inicial, em que

dezoito alunos consideraram esta ser a disciplina de maior dificuldade e menos apreciada. No

entanto, seis alunos concordaram que o uso do software lhes permitiu, explorar, manipular e

visualizar os diferentes resultados. Outros ainda acrescentaram que lhes permitiu focar-se nas

tarefas, dois, compreender melhor os conteúdos, um, concentrar-se nas atividades das aulas,

adquirir novos conceitos, pois aquelas passavam mais rápido e aprendiam melhor, dois. O

trabalho em grupo também foi mencionado como um dos aspetos positivos. As respostas nas

quais os alunos responderam gostar mais de trigonometria e ir para a internet foram

consideradas inadequadas.

Tabela 20: Respostas dos alunos sobre o que menos gostaram nas aulas em que utilizaram o GeoGebra.

Questão 3. O que é que gostaste menos nas aulas de Matemática em que usaste o GeoGebra?

Frequência

Não teve lado negativo 7 Gostaria que a matéria fosse dada antes da utilização do GeoGebra e não posteriormente 1 Não estive atento/Não gosto de matemática 10

Não responderam 5


Sobre o que menos gostaram, destaca-se o número de alunos que concordaram que o

uso do Geogebra não teve aspetos negativos, sete, o que confirma o que foi dito na questão

anterior, pois treze alunos referiram aspetos positivos sobre a utilização do software. É de notar

também a resposta de um aluno que refere preferir que os conteúdos fossem trabalhados antes

do uso do GeoGebra, o que poderá dever-se ao facto de as tarefas exploratórias serem pouco

utilizadas nesta disciplina. Relativamente às respostas inadequadas os alunos referiram gostar

menos de trigonometria e dos números reais.

Tabela 21: Respostas dos alunos sobre as dificuldades sentidas no estudo do tópico da circunferência.

Questão 4. Que dificuldades sentiste na aprendizagem do estudo da circunferência? Frequência

Ter que decorar todas as propriedades 2

Nenhumas, pois o GeoGebra ajudou 11

Muitas/Algumas 10


Um número significativo de alunos, onze, não apontou dificuldades na aprendizagem do

estudo da circunferência tendo o GeoGebra ajudado na superação das mesmas. Dez afirmaram

ter sentido dificuldades sem, no entanto, especificar quais. Relativamente às respostas

78

inadequadas os alunos referiram sentir dificuldades no estudo da trigonometria, e não saber o

que é o estudo da circunferência, revelando, por parte dos alunos, falta de empenho nas aulas

de matemática.

Tabela 22: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra no esclarecimento das dificuldades sentidas no tópico da circunferência.

Questão 5. Como o GeoGebra te ajudou a esclarecer essas dificuldades? Frequência

Percebi melhor 1

A saber que pontos preciso de medir para me dar o resultado que quero 2

Praticar/Construir passo-a-passo 6

Ajudou 4

Não ajudou/Não gosto de Matemática 6

Não responderam 7


Para um número elevado de alunos, treze, o GeoGebra revelou ser um recurso facilitador

no esclarecimento das dificuldades sentidas, pois, perceberam melhor, puderam praticar

explorar e construir.

Tabela 23: Respostas dos alunos sobre o contributo do GeoGebra na aprendizagem dos conceitos e propriedades relacionadas com a circunferência.

Questão 6. Como é que o GeoGebra contribuiu para a aprendizagem dos conceitos e propriedades relacionados com a circunferência?

Frequência

Se não fosse o GeoGebra não teria compreendido algumas propriedades 9

Ajudou a construir melhor as figuras 2

O GeoGebra é uma maneira mais divertida de aprender 1

Ajudou-me a praticar os conceitos estudados 1

Com as medidas que o GeoGebra indica é mais fácil perceber as contas a fazer 1

Não contribuiu/Não gosto de Matemática 6

Não responderam 8


É de sublinhar que um conjunto significativo de alunos salientou que o contributo do uso

do GeoGebra promoveu a aprendizagem do tópico da circunferência, catorze. Permitiu a

compreensão de algumas propriedades da circunferência, estimulou o papel ativo dos alunos na

sua aprendizagem, construindo e praticando. Foi ainda referido como motivador sendo uma

maneira mais divertida de aprender.

79

Em todas as questões é notório o número de alunos que não responde ou apresenta

respostas inadequadas, além disso é também relevante o número daqueles que continuam a

afirmar não gostarem da disciplina de matemática.

81

CAPÍTULO 4

CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES E RECOMENDAÇÕES

O presente estudo procurou analisar o contributo de um software de geometria

dinâmica, o GeoGebra, na aprendizagem de alunos do 9.º ano de escolaridade no estudo da

circunferência. Este capítulo apresenta as principais conclusões do estudo, tendo em

consideração as questões de investigação, o suporte teórico elaborado e a estratégia de ensino

desenvolvida no decorrer da intervenção pedagógica. De seguida, efetua uma breve análise da

prática pedagógica à luz da teoria da atividade. Por fim, apresenta as principais limitações

encontradas ao longo do estudo, assim como algumas recomendações para trabalhos futuros.

4.1. Conclusões

De seguida, apresentam-se as principais conclusões referentes a cada uma das

questões de investigação propostas para o estudo, tendo como referência os dados obtidos,

assim como a análise do quadro teórico.

4.1.1. Que atividades desenvolvem os alunos no estudo sobre a circunferência com recurso ao

GeoGebra?

Christiansen e Walther (1986) enfatizam que, na escola, a Matemática deve assentar

mais na atividade pessoal dos alunos, dando prioridade a atividades do tipo construir e explorar.

Os autores sugerem que o processo de ensino e aprendizagem de tópicos matemáticos inclua

tarefas que apoiem o desenvolvimento de estratégias cognitivas: exploração, questionamento,

construção. Ponte, Brocardo e Oliveira (2003) reforçam que a atividade de ensino-aprendizagem

que ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína é a que chama

o aluno a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjeturas como

também na realização de provas, apresentação de resultados, discussão e argumentação das

suas estratégias e processos com os colegas e o professor. Da análise dos dados recolhidos no

estudo da circunferência com recurso ao GeoGebra, os alunos desenvolveram atividades de

exploração, estabelecer conjeturas, discussão de processos e resultados. O desenvolvimento

82

destas atividades contribuiu para envolver os alunos na formalização de conceitos e no

estabelecimento de relações no estudo da circunferência.

Na tarefa sobre o estabelecimento da relação entre a amplitude de um ângulo inscrito e

a amplitude do arco correspondente numa circunferência, os alunos registaram algumas

amplitudes, observaram os valores recolhidos e estabeleceram a respetiva conjetura. O facto de

poderem ‘manipular’ a figura construída com estes elementos geométricos, os alunos puderam

recolher valores através do GeoGebra e identificar regularidades entre esses valores (Viseu,

Nogueira & Santos, 2009). A constatação de que a alteração dos dados da figura mantinha essa

regularidade ajudou a que a maioria dos alunos estabelecesse a relação pretendida. Os alunos

foram também desafiados a provar a conjetura obtida, embora somente quatro alunos o tenham

conseguido.

Quando desafiados a estabelecer a relação que determina a amplitude de um ângulo

com vértice no interior da circunferência, os alunos recolheram e registaram algumas amplitudes

do ângulo e dos arcos, assim como a sua soma, identificaram regularidades e assim

conjeturaram a relação. A prova desta conjetura apenas foi realizada, por dois alunos.

Os dados indiciam confirmar que o software de geometria dinâmica possibilita a

exploração de conjeturas e a investigação de relações, tal como é referido por Ponte, Brocardo e

Oliveira (2003). Também Fernandes (2011) constatou que práticas apoiada em recursos

tecnológicos, especificamente o GeoGebra, promovem uma melhor comunicação entre o

professor e os alunos, permitindo aos últimos construir o seu próprio conhecimento sobre as

relações e propriedades no estudo da circunferência. Desta forma, foi possível verificar que o

GeoGebra contribuiu de forma significativa para o estabelecimento de tais relações, tendo sido

um recurso fundamental na realização das tarefas de carácter exploratório.

Atendendo aos resultados observados é recomendável que o professor, na sua prática

pedagógica, procure envolver os alunos em tarefas que permitam o seu envolvimento na

elaboração de definições, propriedades e regras de conceitos matemáticos. Por outro lado, no

estudo da Geometria, a utilização do GeoGebra facilita a compreensão dos conceitos

geométricos, permitindo aos alunos formularem conjeturas e estabelecerem relações entre

elementos geométricos.

83

4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos na aprendizagem do estudo da circunferência?

Qual o contributo do GeoGebra na clarificação dessas dificuldades?

Ponte, Matos e Abrantes (1998) concluíram que os recursos tecnológicos motivam os

alunos a formularem e a testarem as suas conjeturas. No entanto, o facto de ser necessário

tempo e a intervenção do professor, leva a que os alunos apresentem dificuldade em

compreender a importância de produzirem justificações e provas, comunicarem ideias e

argumentarem as suas estratégias e as suas formas de pensar. A dificuldade que a maior parte

dos alunos revelou em provar os resultados a que chegaram parece dever-se à pouca frequência

em que se envolvem nesta atividade. Os alunos tendem a ver os conceitos matemáticos como

entes estáticos, sem conexão com outros conceitos, o que tende a impedi-los a articular os

conhecimentos adquiridos anteriormente na prova de um resultado matemático. Esta dificuldade

também foi observada no estudo que Fernandes (2011) realizou com alunos do 9.º ano de

escolaridade. Entre as atividades de exploração, estabelecer conjeturas e provar as conjeturas,

esta autora constatou que a atividade de prova é aquela em que os alunos mostram ter mais

dificuldades.

Das atividades realizadas nas aulas foi observado que aquela em que os alunos

apresentaram maior dificuldade de realização foi a atividade de prova. Apenas um número

reduzido de alunos é que a conseguiu efetuar com a ajuda das sugestões da professora. É de

salientar que os alunos não procuram justificar os passos efetuados, o que revela lacunas ao

nível da argumentação e comunicação escrita. Também oralmente os alunos parecem revelar

dificuldades em exporem ideias, justificarem e argumentarem, aguardando de forma passiva a

partilha de informação por parte do professor ou dos melhores alunos. Outro aspeto a salientar é

a dificuldade dos alunos no rigor da linguagem usada.

Os alunos referem como dificuldades no estudo da circunferência terem que decorar as

propriedades estabelecidas. No uso do GeoGebra apontam ter dificuldades na construção de

retas, dos ângulos, na realização de rotações, assim como em medir o comprimento dos raios e

dos arcos, o que poderá dever-se à pouca utilização deste recurso nas aulas de Matemática.

No final da estratégia de ensino os alunos foram questionados relativamente ao

contributo do GeoGebra na superação das suas dificuldades. Um número elevado respondeu ser

este um recurso que facilitou a superação das mesmas visto que puderam praticar, explorar e

construir. Estas atividades permitiu-lhes perceber melhor os conceitos abordados do que se as

tivessem realizado somente com papel e lápis. Esta ideia é corroborada por Healy e Hoyles

84

(2001), que consideram o software de geometria dinâmica um recurso relevante para os alunos

construírem, manipularem objetos geométricos e estabelecerem relações.

Tendo em consideração as dificuldades manifestadas pelos alunos, na prática

pedagógica, o professor deverá promover atividades que permitam o desenvolvimento da

capacidade de comunicação, de justificação e de argumentação.

4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a utilização do GeoGebra na aprendizagem do

estudo da circunferência?

Na intervenção pedagógica os alunos apresentaram a sua perceção sobre a estratégia

de ensino delineada. Dessas perceções emerge a importância que atribuem à utilização do

GeoGebra na aprendizagem do estudo da circunferência, considerando-o um recurso vantajoso

na compreensão de conceitos, contribuindo para uma melhor aprendizagem. Quanto às atitudes

desenvolvidas, os alunos destacam a motivação para aprender outros tópicos de Matemática,

assim como maior interesse pela Geometria.

No que diz respeito às capacidades desenvolvidas, as tarefas de exploração promoveram

o estabelecimento de relações entre elementos da circunferência. O tipo de tarefas, exploratórias

com recurso ao GeoGebra, foram consideradas, pelos alunos, aliciantes por permitirem aprender

conteúdos matemáticos de forma autónoma, permitiu maiores possibilidades de exploração e de

estabelecer as relações estudadas. Tal como defendem Ponte, Matos e Abrantes (1998), o

recurso à tecnologia promove o desenvolvimento da autonomia, assim como o seu envolvimento,

e que o software de geometria dinâmica facilita a exploração de conjeturas e relações.

Os momentos de discussão de processos e resultados foram igualmente vistos como

positivos, assim como a possibilidade de manipulação e visualização dos diferentes resultados.

Outros aspetos positivos reportados pelos alunos foram a maior facilidade em focarem-se nas

tarefas e concentrarem-se nas atividades das aulas, o papel ativo dos alunos na sua

aprendizagem e a possibilidade de trabalharem em grupo.

Utilizando o GeoGebra, o professor poderá favorecer o envolvimento dos alunos, nas

atividades da aula, permitindo a exploração de conjeturas e o estabelecimento de relações. Os

alunos podem ainda desenvolver a sua autonomia na forma como aprendem, assim como a

comunicação através da discussão de processos e resultados. A realização de tarefas com

recurso ao GeoGebra permite a manipulação e visualização de diversos resultados, possibilitando

85

aos alunos uma maior facilidade em se focarem nas atividades da aula, promovendo uma

aprendizagem significativa e motivadora.

4.2. A prática pedagógica à luz da teoria da atividade

A teoria da atividade está relacionada com a ideia de satisfação de uma necessidade.

Assim, um indivíduo que está motivado para agir sobre um objeto aprende com a sua atividade,

ações e reflexões. Relacionando a teoria da atividade ao contexto escolar do aluno, este tem de

ser motivado para aprender. Como menciona Leontiev (1978), não existe atividade sem um

motivo, o que leva a que as ações dependam dos objetivos a alcançar. É o motivo que estimula a

ação do aluno, de modo que seja responsável pela sua aprendizagem. A atividade do professor é

motivada pela necessidade de ensinar, devendo focar-se nas necessidades dos alunos,

planificando as suas aulas de forma a criar condições que os motive a envolverem-se nas

atividades da aula e, consequentemente, no processo de ensino-aprendizagem.

Considerando a teoria da atividade, o professor ao propor a realização de determinadas

tarefas deverá procurar criar condições para o envolvimento dos alunos na construção do

conhecimento, definindo bem os seus objetivos, pois a partir deles é que poderá motivar a

atividade dos alunos para a aprendizagem de novos conceitos. Segundo Leontiev (1978), a

atividade humana só é concretizada através da realização de ações ou conjunto de ações,

subordinadas a objetivos específicos. Deste modo, os objetivos definidos pelo professor, numa

determinada tarefa, devem ser explícitos para os alunos, para que percebam o que se pretende

com uma determinada atividade e desenvolvam ações no sentido de obterem os resultados

esperados.

Ao longo da minha prática pedagógica, tendo em consideração as aprendizagens dos

alunos, procurei planificar as aulas com o objetivo de os envolver na construção de conceitos e

relações no estudo de tópicos da circunferência. Selecionei tarefas que motivassem os alunos e

promovessem o seu envolvimento nas atividades das aulas, para que estes se apropriassem de

novos conceitos mobilizados pela sua atividade.

Com a realização das tarefas exploratórias, os alunos conjeturaram sobre determinadas

relações. Numa fase seguinte, procurei formalizar os conceitos e as relações com o grupo turma.

Tendo em conta que as necessidades são satisfeitas pela ligação de um conjunto de resultados,

adquiridos pelos diferentes participantes de uma atividade coletiva, isto é, ações coletivas de um

86

grupo em interação social, a atividade de cada um é evocada pelo resultado final, para um

objetivo comum (Leontiev, 1978).

Na prática pedagógica, o estabelecimento de relações foi mediado pelo software de

geometria dinâmica GeoGebra. Engeström (2001) considera que o sistema de atividade

apresenta as relações entre o sujeito e o objeto da atividade, mediado pela utilização de

artefactos e pelo grupo que partilha o objeto, neste caso os alunos.

4.3. Limitações e recomendações

Com o presente estudo pretendeu-se averiguar quais as vantagens e desvantagens da

utilização do GeoGebra na aprendizagem do estudo da circunferência. O primeiro

constrangimento encontrado deveu-se ao facto de os alunos não terem tido muito tempo para

explorarem e se adaptarem ao GeoGebra. Devido à falta de disponibilidade de espaço e de

tempo, apenas foi realizada uma aula de exploração do software antes desta experiência de

ensino.

A realização de diferentes tipos de tarefa é um fator fundamental no processo de ensino-

aprendizagem. Esta diversidade permite suscitar diferentes atividades matemáticas (Ponte,

2005). Com as tarefas exploratórias pretendeu-se envolver os alunos na formalização de

conceitos e estabelecimento de relações no estudo da circunferência. No entanto, promover o

envolvimento dos alunos com dificuldades de aprendizagem ou desmotivados, neste tipo de

atividades, foi uma dos obstáculos ao longo da intervenção pedagógica. No final de cada tarefa,

de caráter exploratório, os alunos foram incentivados a envolverem-se na discussão dos

resultados obtidos. Tal como referem Menezes et al. (2014), esta é uma fase importante da

atividade matemática, uma vez que, através da comunicação, o professor pode promover o

diálogo e a valorização do pensamento dos alunos. No entanto, esta tarefa foi difícil de realizar,

pois uma grande parte dos alunos não se envolvia na discussão de ideias, talvez por receio de

exporem a sua opinião sobre determinado assunto, ou também por falta de hábito de se

envolverem em atividades desta natureza. A realização de tarefas exploratórias com recurso ao

GeoGebra fez com que algumas atividades não se desenvolvessem conforme planificado. Com a

utilização deste recurso, como mencionam Ponte, Matos e Abrantes (1998), os alunos para

experimentar e procurar soluções necessitam de mais tempo. Outra contrariedade encontrada

ao longo da intervenção pedagógica foi o comportamento dos alunos na sala de aula, que

afetava a forma como trabalhavam e o modo como decorriam as aulas, dificultando a obtenção

87

de um ambiente propício à realização de tarefas exploratórias. O maior desafio, durante a

intervenção pedagógica, foi motivar e envolver os alunos no processo de ensino-aprendizagem.

Como refere Ponte (1994b), este é o principal problema pedagógico que se coloca aos

professores, pois nem todos os alunos mostram disposição para a aprendizagem desta

disciplina.

Apesar de, na intervenção pedagógica, se ter observado um grande número de alunos

desmotivados, durante a realização das tarefas exploratórias com recurso ao GeoGebra, foi

também visível que alunos com dificuldades se envolveram nas atividades da aula. Desta forma,

é recomendável que se valorize o trabalho dos alunos na exploração dos conceitos geométricos,

recorrendo a tarefas exploratórias e, sempre que possível, com recurso a software de geometria

dinâmica. Como referem Candeias e Ponte (2005), a utilização de software de geometria

dinâmica por si só não é suficiente para melhorar o ensino da Geometria, sendo necessário estar

associado a tarefas significativas que permitam desenvolver competências geométricas.

Brocardo (2001) argumenta que a exploração continuada de investigações motiva os alunos e

estabelece um ambiente em que se envolvem nas atividades matemáticas. Mas para que isso

aconteça muito contribui a disponibilidade dos alunos em querer aprender e em se esforçarem

em prol da atividade da turma.

Verificando que a prova é uma atividade na qual são notadas mais dificuldade de

realização, recomenda-se estudar o contributo da utilização do GeoGebra no envolvimento dos

alunos, nas atividades desta natureza. Que relação tem a utilização deste software na prova de

resultados matemáticos? Que diferenças há nesta atividade com ou sem recurso ao GeoGebra?

89

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95

ANEXOS

96

ANEXO 1 – Questionário inicial

Questionário

As tuas opiniões são importantes para o estudo que estou a realizar relativamente à aprendizagem do tópico da circunferência com recurso ao GeoGebra, que é um software de geometria dinâmica que se pode utilizar nas atividades de ensino e de aprendizagem de tópicos matemáticos. Para obter resultados válidos é da maior importância que respondas de forma refletida a todas as questões que te são apresentadas a seguir. Comprometo-me a utilizar os dados apenas para efeitos da investigação e de forma anónima.

Obrigada pela tua colaboração

Informação pessoal

1. Idade: ______ anos.

2. Sexo: Masculino Feminino

3. Qual é a tua disciplina preferida? Porquê? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

4. Em que disciplina tens mais dificuldades? Porquê? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

5. É a primeira vez que frequentas o 9.º ano? Sim Não.

6. Que classificação obtiveste no final dos anos escolares anteriores?

7.º ano: ______; 8.º ano: ______

7. Na disciplina de Matemática quais foram os temas que mais apreciaste? Porquê? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

8. Na disciplina de Matemática quais foram os temas que menos apreciaste? Porquê? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

9. Quando estudas Matemática costumas usar o computador? Sim Não.

10. Se respondeste Sim, indica alguns ‘programas’ que costumas usar no teu estudo: ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

97

Perspetivas sobre a Geometria

1. O que é para ti a Geometria? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

2. Qual a importância que a Geometria tem na compreensão e resolução de situações do quotidiano? Dá alguns exemplos dessas situações. ___________________________________________________________________

_________________________________________________________________

3. Que tópicos sobre Geometria estudaste em anos anteriores? ___________________________________________________________________

_________________________________________________________________

4. Alguma vez utilizaste o computador para o estudo de tópicos de Geometria? Sim Não.

5. Se respondeste Sim, indica que software utilizaste e qual a sua finalidade. ___________________________________________________________________

__________________________________________________________________

6. Dos vários métodos para aprender Geometria, apresentados a seguir, seleciona três da tua preferência:

Transmissão da matéria pelo professor.

Resolver problemas relacionados com situações do quotidiano.

Realizar trabalhos com colegas em pares ou em grupo.

Resolver exercícios do manual escolar.

Passar para o caderno o que é feito no quadro.

Ser o aluno a estabelecer as definições, regras e propriedades.

Resolver exercícios/problemas com recurso a softwares de geometria dinâmica.

98

ANEXO 2 – Questionário final

Questionário

As tuas opiniões são importantes para o estudo que estou a realizar relativamente à aprendizagem do tópico da circunferência com recurso ao GeoGebra. Para obter resultados válidos é da maior importância que respondas de forma refletida a todas as questões que te são apresentadas a seguir. Comprometo-me a utilizar os dados apenas para efeitos da investigação e de forma anónima.


Idade: ______ anos.

Sexo: Masculino Feminino 1. Marca com X o teu grau de concordância a cada uma das afirmações (DT: Discordo Totalmente; D: Discordo; I: Indiferente; C: Concordo; CT: Concordo Totalmente).

DT D I C CT

Gosto de Geometria. Os tópicos da Circunferência foram mais difíceis de compreender do que outros tópicos matemáticos.

As tarefas de exploração ajudaram-me a estabelecer as relações entre elementos da Circunferência.

Gostaria de aprender outros tópicos de Matemática a partir de tarefas de exploração. O tópico Circunferência permitiu-me reconhecer algumas das relações que estudei em situações do quotidiano.

O estudo do tópico Circunferência com recurso ao GeoGebra despertou o meu interesse pela Geometria.

Tive a oportunidade de estabelecer as definições de tópicos da Circunferência. Descobrir por mim próprio os conteúdos matemáticos é mais aliciante do que ser o professor a apresentá-los.

Aprendo mais quando tenho a oportunidade de discutir os meus processos e resultados.

Tive a oportunidade de provar as relações que foram estabelecidas no estudo da Circunferência.

O GeoGebra permitiu-me visualizar melhor as construções efetuadas numa Circunferência do que as construções efetuadas no quadro.

O GeoGebra ajudou-me a estabelecer as relações e as propriedades estudadas no tópico Circunferência.

A utilização do GeoGebra nas atividades das aulas fez-me pensar mais do que numa aula em que o professor expõe a matéria.

As aulas em que utilizei o GeoGebra foram as que participei mais nas atividades da aula.

O GeoGebra permite experimentar mais exemplos do que se fosse com papel e lápis.

99

O GeoGebra ajudou-me a compreender as propriedades da circunferência.

Gostaria de aprender outros tópicos matemáticos com recurso ao GeoGebra. O GeoGebra ajudou-me a provar as relações estabelecidas sobre elementos da circunferência.

Aprendi melhor os tópicos da Circunferência quando usei o GeoGebra.

Aprendi melhor os tópicos da Circunferência quando usei papel e lápis. Aprendi melhor os tópicos da Circunferência quando combinei o uso de papel e lápis com o GeoGebra.

2. O que é que gostaste mais nas aulas de Matemática em que usaste o GeoGebra?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

3. O que é que gostaste menos nas aulas de Matemática em que usaste o GeoGebra?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

4. Que dificuldades sentiste na aprendizagem do estudo da circunferência?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

5. Como o GeoGebra te ajudou a esclarecer essas dificuldades?

____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6. Como é que o GeoGebra contribuiu para a aprendizagem dos conceitos e propriedades

relacionados com a circunferência?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________


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ANEXO 3 – Plano de lição: Ângulo inscrito num arco de circunferência

TÓPICO Ângulo inscrito num arco de circunferência

OBJECTIVOS

Relacionar a amplitude de um ângulo inscrito com a amplitude do arco correspondente. Relacionar a amplitude de um ângulo ao centro com a amplitude do ângulo inscrito com o mesmo do arco de circunferência.

CORREÇÃO DO EXERCÍCIO DA AULA ANTERIOR

Relativamente à figura ao lado sabe-se que o setor circular sombreado tem

cm2 de área.

Determina o raio do circulo, apresentando todos os cálculos que tiveres de efectuar.

CORREÇÃO DO TRABALHO DE CASA

Em relação à figura ao lado, sabe-se que:

o ponto O é o centro da circunferência; a circunferência tem 12 mm de raio; o arco BA tem

mm de comprimento.

Determina a amplitude do ângulo ao centro correspondente ao arco assinalado a vermelho. Explica o teu raciocínio.

ACTIVIDADE MOTIVACIONAL

Tarefa 1 Considera a circunferência de centro O representada na figura.

1. Indica as diferenças entre o ângulo AOB e ECD. 2. Determina a amplitude do arco AB. 3. Regista na seguinte tabela as amplitudes que obténs do ângulo ECD e do arco

DE

EĈD Arco DE

Que relação obténs?

Comentários

Unidade: Circunferência

Corrigir a tarefa da aula anterior de forma a clarificar os conceitos relacionados com a área de um setor circular.

A tarefa prática, assim como o trabalho de casa foram retiradas do manual.

Será distribuída uma cópia desta atividade aos alunos.

Com esta tarefa pretende-se que os alunos relacionem a amplitude do ângulo inscrito na circunferência com a amplitude do arco correspondente e estabeleçam a relação.

Pretende-se que surjam momentos de discussão que ajudem os alunos a esclarecer as relações.

101

EXPLORAÇÃO

1. Analisar com os alunos as características que distinguem um ângulo a centro de um ângulo inscrito numa circunferência

2. Definir ângulo inscrito numa circunferência.

3. Determinar a amplitude do arco AB da circunferência.

4. Da análise das medidas recolhidas das amplitudes de um ângulo inscrito e do arco correspondente estabelecer com os alunos a relação, “A amplitude de um ângulo inscrito é metade da do arco correspondente.”

A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente.

A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.

Ângulos inscritos numa semicircunferência são ângulos retos.

DESAFIO

Prova que a medida da amplitude de qualquer ângulo inscrito numa circunferência é

metade da amplitude do arco correspondente, isto é que ABC

2AC

PRÁTICA

1. Observa as figuras e determina a amplitude do ângulo . a.

b.

Os alunos irão registar algumas conclusões apuradas com a realização da tarefa.

A alínea 3) será explorada com recurso ao GeoGebra e videoprojector, e em diálogo com os alunos serão registados alguns valores do ângulo inscrito e do arco correspondente.

.

Com esta tarefa pretende-se que os alunos provem a relação encontrada anteriormente.

As tarefas práticas, assim como as tarefas adicionais foram retiradas do manual.

102

c.

2. Em cada uma das seguintes situações, determina os valores de x e de y.

a.

b.

c.

SÍNTESE Relacionar a amplitude do ângulo inscrito com a amplitude do arco correspondente. TAREFA ADICIONAL

1. Em cada uma das seguintes alíneas, determina os valores de x e de y. a.

103

b.

c.

2. Observa a figura onde está representada uma circunferência de centro A. Sabendo que

CDE 75º e BE 58º, determina a amplitude do ângulo CAB

3. Relativamente à circunferência de centro A, sabe-se

D, E, C e F são pontos da circunferência; DC é um diâmetro da circunferência; FÊA 27º; AÊD 39º;

Determina, em graus, a amplitude dos ângulos e β. Justifica a tua resposta.

RECURSOS

Cópia da atividade motivacional, caderno diário, computadores (GeoGebra), videoprojector, quadro, canetas.

104

ANEXO 4 – Plano de lição: Ângulo com vértice no interior da circunferência

TÓPICO Ângulos com vértice no interior da circunferência.

OBJETIVO

Relacionar a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência com a amplitude dos arcos associados.

ATIVIDADE MOTIVACIONAL

Tarefa 1: Considera a circunferência de centro O e um ângulo com vértice no interior da circunferência.

4. Movimenta um dos pontos B ou C, ou o vértice do ângulo BAC Regista na seguinte tabela as medidas das amplitudes que obténs do ângulo BAC e dos arcos CB e ED.

5. Da análise dos valores que colocaste na tabela que relação obténs?

6. Prova a relação que obtiveste.

EXPLORAÇÃO

5. Analisar com a turma as características do ângulo BAC e distingui-lo dos ângulos já estudados.

6. Determinar medidas de ângulos com vértice no interior de uma circunferência e dos arcos associados.

7. Estabelecer a relação que existe entre a medida da amplitude do ângulo com vértice no interior de uma circunferência e as medidas das amplitudes dos arcos associados.

BÂC amplitude arco CB amplitude arco ED amplitude (arco CB+arco ED)

Comentários


Será distribuída uma cópia desta atividade aos alunos.

Esta tarefa será explorada com recurso ao GeoGebra e com um ficheiro colocado em cada computador.

Com esta tarefa pretende-se que os alunos relacionem a amplitude de um ângulo com vértice no interior da circunferência com a amplitude dos arcos associados.

Pretende-se que surjam momentos de discussão que ajudem os alunos a esclarecer as relações.

Os alunos irão registar algumas amplitudes do ângulo com vértice no interior da circunferência, as amplitudes dos arcos associados assim como a sua soma, de forma a conjeturarem sobre a amplitude do ângulo com vértice no interior da circunferência.

Com está alínea pretende-se que os alunos estabeleçam a relação do ângulo com vértice no interior da circunferência com os seus arcos associados.

Com a alínea 3 pretende-se que os alunos provem a relação encontrada anteriormente.

105

PRÁTICA

1. Observa as figuras e, para cada uma, calcula a amplitude do ângulo . a)

b)

c)

TRABALHO DE CASA 1. Na figura está representada uma circunferência de centro A, em que:

C, D, E e F são pontos da circunferência; FĜE = 48º; O arco ED = 77º.

Determina a amplitude do arco CF. Explica o teu raciocínio.

.

Será entregue uma ficha de trabalho a cada aluno para a realização das tarefas práticas.

As tarefas práticas, o trabalho de casa, assim como a tarefa adicional foram retiradas do manual.

106

TAREFA ADICIONAL

Considera a figura onde está representada uma circunferência de centro A. Sabe-se que:

F,D, C e E pertencem à circunferência; DĜF = 94º O arco CF = 123º

Determina, em graus, a amplitude do arco DE.

RECURSOS

Quadro, Ficha de apoio, Ficha Prática, Computadores (GeoGebra), Videoprojector.

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ANEXO 5 – Plano de lição: Área de polígonos regulares

TÓPICO

Área de polígonos regulares.

OBJETIVO

Estabelecer a expressão que representa a área de um polígono regular. Resolver problemas envolvendo polígonos.

CORREÇÃO DO TRABALHO DE CASA

Na figura, o octógono ABCDEFGH está inscrito na circunferência de centro O. Determina a amplitude dos ângulos , β, θ e ε

Tarefa1: Expressão que representa a área de um hexágono regular

Considera um hexágono regular inscrito numa circunferência cujo lado mede x cm.

1. Que expressão representa o perímetro do hexágono em função de x? 2. Decompor o hexágono em triângulos geometricamente iguais. Traçar o

segmento de reta perpendicular a um dos lados do hexágono que passa pelo centro da figura. Informar os alunos que este segmento se designa por apótema. Determinar a expressão que representa a área de cada um desses triângulos?

3. Que expressão representa a área do hexágono?

Tarefa2: Expressão que representa a área de um polígono regular

1. Preencher o quadro seguinte:

2. Estabelecer a expressão que representa a área de um polígono regular.

Polígono Regular

n lados

Número de lados do polígono

Perímetro do polígono

Área de cada triângulo em que foi decomposto o polígono

Área do polígono

Comentários


Pretendo que os alunos determinem a expressão que representa a área de um polígono regular em função do apótema e do perímetro do polígono

Esta tarefa é desenvolvida em grupo de dois alunos. É distribuída uma cópia da ficha de apoio, a todos os grupos. Pretendo que surjam momentos de discussão que ajudem os alunos a esclarecer a relação da área de um polígono regular.

Com esta tarefa pretendo que os alunos identifiquem o apótema de um polígono com a altura de cada triângulo, relacionem a área do polígono com a área de cada triângulo obtido, e que encontram a expressão que representa a área do hexágono regular

Na realização desta tarefa os alunos irão registar a informação pedida de forma a conjeturarem sobre a área de qualquer polígono regular, em função do seu perímetro e do apótema.

.

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PRÁTICA

1. Determina a área de cada um dos seguintes polígonos regulares. 1.1.

1.2.

1.3.

2. Na figura está representada uma circunferência de

centro D, na qual está inscrito o triângulo ABC. Sabe-se que DE = 6 cm e DB = 12 cm. Determine a área do triângulo

TRABALHO DE CASA 1. Na figura está representada uma circunferência de

centro E, na qual está inscrito o quadrado ABCD. Sabe-se que EF = 4 cm. Determina: 1.1 a amplitude, em graus, do arco DC; 1.2 a amplitude, em graus, do ângulo ACD; 1.3 a área interior à circunferência e exterior ao quadrado.

TAREFA ADICIONAL

Observa a figura onde está representada uma circunferência de centro G, na qual está inscrito um hexágono regular ABCDEF. Sabe-se que AG = 5 cm. Determina:

a) a amplitude, em graus, do ângulo ACE; b) o comprimento, em cm, do arco FD; c) GM, sabendo que M é o ponto médio do

segmento de reta AF; d) A área do paralelograma AFEG; e) A área interior à circunferência e exterior ao

hexágono. RECURSOS Quadro, cópias da tarefa motivacional, computador e videoprojetor.

Os alunos irão realizar aplicações práticas, utilizando os conceitos abordados ao longo da aula de forma a consolidar a compreensão dos conhecimentos. As tarefas práticas, o trabalho de casa, assim como a tarefa adicional foram retiradas do manual.

Na aula seguinte será corrigido o trabalho de casa, salientando as possíveis dificuldades dos alunos.

Esta tarefa será realizada caso a os alunos terminem as tarefas anteriores antes do final da aula.

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ANEXO 6 – Questões de aula

1. Na aula de hoje, que relações estabeleceste?

2. Qual foi o contributo do GeoGebra nas relações que estabeleceste?

3. Que dificuldades sentiste na aprendizagem dos assuntos da aula?

110

ANEXO 7 – Aplicações práticas: Ângulo com vértice no interior da circunferência

1. Observa as figuras e, para cada uma, calcula a amplitude do ângulo .

a)

b)

c)

111

ANEXO 8 – Exercício sobre uma situação do quotidiano

Rosa Maria Barbosa Capa -...

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