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Cálculo II

São Cristóvão/SE2009

Samuel da Cruz Canevari

CapaHermeson Alves de Menezes

Elaboração de ConteúdoSamuel da Cruz Canevari

C221c Canevari, Samuel da Cruz. Cálculo II / Samuel da Cruz Canevari -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2009.

1. Cálculo. 2. Matemática. I. Título.

CDU 517.2/.3

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Cálculo II

Reimpressão

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Isabela Pinheiro Ewerton

Sumário

Aula 1: Integrais Impróprias 7

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Extremos de Integração Infinitos . . . . . . . . . . 8

1.3 Integrais Impróprias com descontinuidades . . . . . 11

1.4 Convergência de Integrais Impróprias . . . . . . . . 14

1.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Aula 2: Seqüências de Números Reais 19

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Seqüências e Subseqüências . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Seqüências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Seqüências Monótonas e Seqüência Limitadas . . . 29

2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


2.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Aula 3: Séries de Números Reais 37

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


3.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Aula 4: Séries de Potências 59

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2 Série de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Representação de Funções . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


4.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Aula 5: Métodos de Representação de Funções em

Séries de Potências 73

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2 Diferenciação e Integração . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3 Séries de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . 76

5.4 Séries Binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


5.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Aula 6: Equações Paramétricas 91

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.3 Cálculo com Curvas Paramétricas . . . . . . . . . . 95

6.3.1 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3.2 Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . 101

6.3.4 Área de Superfície . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


6.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Aula 7: Curvas Polares 107

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.2 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.3 Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.4 Tangentes as Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . 114

7.5 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares . . 116

7.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


7.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Aula 8: Funções com Valores Vetoriais 123

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.2 Definições e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . 124

8.3 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.4 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.5 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


8.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Aula 9: Curvas Espaciais 133

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.2 Movimentos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.3 Movimento no espaço: Velocidade e Aceleração . . 142

9.4 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147


9.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Aula 10: Funções de Varias Variáveis Reais a Valores

Reais 151

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10.2 Noções Topológicas no R2 . . . . . . . . . . . . . . 152

10.3 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

10.4 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.5 Curvas de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

10.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

10.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169


10.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Aula 11: Limites, Continuidade e Derivadas Parciais 173

11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

11.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

11.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

11.4 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

11.5 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . 187

11.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

11.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191


11.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Aula 12: Funções Diferenciáveis 195

12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

12.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

12.3 Plano Tangente e Reta Normal . . . . . . . . . . . 204

12.4 A Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

12.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

12.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210


12.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Aula 13: Regra da Cadeia e Derivação Implícita 215

13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

13.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

13.3 Derivação de funções definidas implicitamente . . . 218

13.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

13.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223


13.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Aula 14: Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais 225

14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

14.2 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

14.3 Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

14.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

14.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235


14.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Aula 15: Máximos e Mínimos 239

15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

15.2 Pontos de Máximo e Pontos de Mínimo . . . . . . 240

15.3 Máximos e Mínimos sobre Conjuntos Compactos . 246

15.4 Máximos e Mínimos Condicionados . . . . . . . . . 250

15.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

15.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258


15.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

1AULA

1LIVRO

Integrais Impróprias

META

Apresentar os conceitos e pro-

priedades de integrais com extremos

de integrações infinitos e integrais

de funções com descontinuidade.

OBJETIVOS

Calcular áreas de regiões não limi-

tadas.

PRÉ-REQUISITOS

Conceitos de funções reais, funções

contínuas e o Teorema Fundamental

do Cálculo.


1.1 Introdução

Caros alunos, estamos iniciando o curso de Cálculo II. Neste curso,

faremos uso de bastantes conceitos e resultados vistos no curso de

Cálculo I. Esta primeira aula tem por objetivo estender o Teorema

Fundamental do Cálculo (TFC) e definir as Integrais Impróprias.

No TFC, os limites de integração, a e b em∫ b

af(x)dx, são

números reais e f uma função contínua no intervalo [a, b]. Pode

acontecer que, ao aplicarmos estes conceitos, seja preciso ou con-

veniente considerar os casos em que a = −∞, b = +∞, ou f seja

descontínua em um ou mais pontos do intervalo. Nestas condições,

é preciso ampliar conceito de integral e as técnicas de integração,

de modo a incluir estes casos adicionais. Estas integrais, em que

a = −∞, b = +∞ ou f é descontínua em [a, b], são chamadas Inte-

grais Impróprias. Nem sempre uma integral deste tipo representa

um número real, isto é, nem sempre uma integral imprópria ex-

iste. Quando ela existe, seu valor é calculado levando-se em conta

a generalização do conceito de integral definida.

1.2 Integrais Impróprias com Extremos de

Integração Infinitos

Exemplo 1.2.1. Consideremos o problema de encontrar área da

região limitada pela curva y = ex , pelo eixo−y e pela reta x =

b > 0 como mostra a Figura 1.1 abaixo.

Se A unidades de área for a área da região, então

A =∫ b

0e−xdx = −e−x

∣∣b0

= 1 − e−b = 1 − 1eb

.

8

Livro de Cálculo II

1AULA

Figura 1.1: Área

Se deixarmos b crescer sem limitações, então

limb→∞

∫ b

0e−xdx = lim

b→∞(1 − 1

eb) = 1. (1.1)

Segue da equação (1.1) que não importa quão grande seja o

valor de b, a área da região será sempre menor do que 1 unidades

de área.

A equação (1.1) estabelece que se b > 0 para todo ε > 0 existe

um N > 0 tal que

se b > N então |∫ b

0e−xdx − 1| < ε.

Em lugar de (1.1) escrevemos∫ ∞

0e−xdx = 1. Em geral temos

as seguintes definições:

Definição 1.1. (i) Se f for contínua para todo x ≥ a, então

∫ ∞

af(x)dx = lim

b→∞

∫ b

af(x)dx

se esse limite existir;

(ii) Se f for contínua para todo x ≤ b, então

∫ b

−∞f(x)dx = lim

a→−∞

∫ b

af(x)dx

9



(i) Se f for contínua para todos valores de x e c for um número

real qualquer, então

∫ ∞

−∞f(x)dx = lim

a→−∞

∫ 0

af(x)dx + lim

b→+∞

∫ b

0f(x)dx


Na definição acima, se o limite existir, diremos que a integral

imprópria é convergente, caso caso contrário, diremos que é diver-

gente.

Exemplo 1.2.2. Calcule a integral, se ela convergir:∫ 2

−∞dx

(4 − x)2.

(Ver Figura 1.2)

Figura 1.2: Área com extremo inferior indefinido.

Resolução:

∫ 2

−∞dx

(4 − x)2= lim

a→−∞

∫ 2

a

dx

(4 − x)2

= lima→−∞

[1

4 − x

]2

a

= lima→−∞(

12− 1

4 − a) =

12.

Exemplo 1.2.3. Estude a convergência da integral:∫ +∞

0xe−xdx.

10


1AULA

Resolução:

∫ +∞

0xe−xdx = lim

a→+∞

∫ a

0xe−xdx

Para calcular essa integral, usaremos integração por partes com

u = x, dv = e−x, du = dx e v = −e−x. Assim,

∫ +∞

0xe−xdx = lim

a→+∞[−xe−x − e−x

]a

0

= lima→+∞(−ae−a − e−a + 1)

= − lima→+∞

a

ea− 0 + 1.

Aplicando a regra de L’Hospital temos que

lima→+∞

a

ea= lim

a→+∞1ea

= 0

e portanto ∫ +∞

0xe−xdx = 1.

1.3 Integrais Impróprias com descontinuidades

Exemplo 1.3.1. Suponha que queremos obter a área da região

do plano limitada pela curva cuja equação é y =1√x

, pelo eixo-x,

pelo eixo-y e pela reta x = 4. Conforme ilustrado na Figura 1.3

abaixo:

Se for possível ter um número que represente a medida da área

dessa região, ele será obtido pela integral

∫ 4

0

1√x

.

Entretanto, o integrando é descontínuo no extremo inferior zero.

Além disso, limx→+∞

1√x

= +∞, assim dizemos que o integrando tem

11


Figura 1.3: Área com descontinuidade no extremo inferior de inte-

gração

uma descontinuidade infinita no extremo inferior. Essa integral é

imprópria e sua existência pode ser determinada da seguinte forma:∫ 4

0

1√x

= limt→0+

∫ 4

t

1√x

= limt→0+

(2√

x∣∣4t) = lim

t→0+(4 − 2

√t) = 4

logo 4 será a medida da área da região dada.

Mais geralmente temos a seguinte definição:

Definição 1.2. (i) Se f for contínua para todo x do intervalo

semi-aberto à esquerda (a, b], e se limx−→a+

f(x) = ±∞, então

∫ b

af(x)dx = lim

t→a+

∫ b

tf(x)dx


(ii) Se f for contínua para todo x do intervalo semi-aberto à direita

[a, b), e se limx−→b−

f(x) = ±∞, então

∫ b

af(x)dx = lim

t→b−

∫ t

af(x)dx


(iii) Se f for contínua para todos valores de x no intervalo [a, b]

12


1AULA

exceto c, onde a < c < b e se limx−→c

|f(x)| = +∞, então

∫ b

af(x)dx = lim

t→c−

∫ t

af(x)dx + lim

s→c+

∫ b

sf(x)dx


Exemplo 1.3.2. Calcule a integral, se ela for convergente:∫ 2

0

dx

(x − 1)2.

Resolução:

O integrando tem uma descontinuidade infinita em 1, ou seja,

limx−→1

dx

(x − 1)2= +∞, portanto, pela definição que acabamos de

estabelecer, temos∫ 2

0

dx

(x − 1)2= lim

t→1−

∫ t

0

dx

(x − 1)2dx + lim

s→1+

∫ 2

s

dx

(x − 1)2dx

= limt→1−

(− 1x − 1

)|t0 + lims→1+

(− 1x − 1

)|2s

= limt→1−

(− 1t − 1

− 1) + lims→1+

(1

s − 1− 1)

Como nenhum desses limites existe, a integral imprópria é diver-

gente.

Se no exemplo anterior não tivéssemos notado a descontinuidade

do integrando em 1, teríamos∫ 2

0

dx

(x − 1)2= (− 1

x − 1)|20 = −2.

Esse resultado é obviamente incorreto, uma vez que1

(x − 1)2nunca

é negativo.

Exemplo 1.3.3. Calcule a integral, se ela existir:∫ 1

0x ln xdx.

Resolução:

O integrando tem uma descontinuidade no extremo inferior. Por-

tanto, escrevemos∫ 1

0x ln xdx = lim

t−→0+

∫ 1

tx ln xdx

13


Para calcular essa integral, usaremos integração por partes com

u = ln x, dv = xdx, du = 1xdx e v = x2

2 . Assim,∫ 1

0x ln xdx = lim

t−→0+

∫ 1

tx ln xdx = lim

t−→0+(12x2 ln x − 1

4x)|1t

= limt−→0+

(12ln(1) − 1

4− 1

2t2ln(t) +

14t)

= −14− 1

2lim

t−→0+t2ln(t).

Note que limt−→0+

t2ln(t) é uma indeterminação to tipo 0.(−∞). Para

calcular esse limite, usaremos L’Hospital,

limt−→0+

t2ln(t) = limt−→0+

ln(t)1t2

= limt−→0+

1t

− 2t3

= limt−→0+

− t2

2= 0.

Logo, ∫ 1

0x ln xdx = −1

4.

1.4 Convergência e Divergência de Integrais

Impróprias: Critério de Comparação

Algumas vezes é impossível encontrar o valor exato de uma in-

tegral imprópria, mais ainda assim é importante saber se ela é

convergente ou divergente. Em tais casos o critério de comparação

é útil.

Observamos, inicialmente, que se f for integrável em [a, t], para

todo t > a, e se f(x) ≥ 0 em [0, +∞), então a função

F (x) =∫ x

af(t)dt, x ≥ a

será crescente em [0, +∞). De fato, se x1 e x2 são dois valores reais

quaisquer, com 0 ≤ x1 < x2 então

F (x2) − F (x1) =∫ x2

af(t)dt −

∫ x1

af(t)dt =

∫ x2

x1

f(t)dt ≥ 0.

14


1AULA

Segue que, limx−→∞

∫ x

af(t)dt ou será finito ou +∞; será finito e

existir M ≥ a tal que∫ x

af(t)dt ≤ M para todo x ≥ a.

Critério da Comparação: Sejam f e g duas funções integráveis

em [a, t], para todo t > a, e tais que, para todo x ≥ a, 0 ≤ f(x) ≤g(x). Então

a)∫ +∞

ag(x)dx converge =⇒

∫ +∞

af(x)dx converge.

b)∫ +∞

af(x)dx diverge =⇒

∫ +∞

ag(x)dx diverge.

Demostração:

a) limt−→+∞

∫ +∞

ag(x)dx é finito, pois por hipótese,

∫ +∞

ag(x)dx é

convergente. De 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para todo x ≥ a, resulta∫ t

af(x)dx ≤

∫ t

ag(x)dx ≤

∫ +∞

ag(x)dx.

Sendo F (t) =∫ ta f(x)dx crescente e limitada, resulta que lim

t−→+∞

∫ t

af(x)dx

será finito e, portanto,∫ +∞

af(x)dx será convergente.

b) análoga. ��

Exemplo 1.4.1. Verifique que∫ +∞

0e−xsen2xdx é convergente.

Resolução:

Note que,

0 ≤ e−xsen2x ≤ e−x, para todo x ≥ 0

e mais∫ +∞

0e−xdx = lim

t−→∞

∫ t

0e−xdx = lim

t−→∞(e−t + 1) = 1,

15


logo,∫ +∞

0e−xdx é convergente. Segue do critério de comparação

que∫ +∞

0e−xsen2xdx é convergente e, além disso,

∫ +∞

0e−xsen2xdx ≤

1.

Exemplo 1.4.2. Verifique que a integral imprópria∫ +∞

1

x3

x4 + 3dx

é divergente.

Resolução:

Note quemx3

x4 + 3=

1x· x2

1 + 3x4

.

Para todo x ≥ 1,x2

1 + 3x4

≥ 14, e, portanto,

x3

x4 + 3≥ 1

4x> 0.

De∫ +∞

0

14x

dx = +∞, segue, pelo critério de comparação, que∫ +∞

1

x3

x4 + 3dx é divergente.

1.5 Resumo

Nesta aula, você aprendeu calcular a∫ b

af(x)dx onde a = −∞ e

b = +∞; ou f é descontínua em um ou mais pontos do intervalo

[a, b]. Esta ferramenta será bastante útil nas próximas aulas, onde

estudaremos convergências de séries numéricas.

1.6 Atividades

01. Estude a convergência das integrais a seguir:

(a)∫ +∞

−∞xe−xdx (c)

∫ +∞

−∞xe−x2

dx (e)∫ +∞

1

ln x

xdx

16


1AULA(b)

∫ +∞

1

1x

dx (d)∫ +∞

1

1x2

(f)∫ +∞

−∞xdx

02. Calcule as seguintes integrais, se existirem:

(a)∫ 1

0

1√x

dx (c)∫ 1

0ln x dx (e)

∫ 2

−1

14 − x2

dx

(b)∫ 1

0

1x

dx (d)∫ 3

1

x2

√x3 − 1

(f)∫ π

4

0

cos x√sen x

dx

03. Suponha f integrável em [a, t), para todo t ≥ a. Prove que se∫ +∞

0|f(x)|dx é convergente, então

∫ +∞

0f(x)dx também é con-

vergente. (Sugestão: use que 0 ≤ |f(x)| + f(x) ≤ 2|f(x)| e que

f(x) = |f(x)| + f(x) − |f(x)|)

04. Usando o exercício 03., prove que a integral∫ +∞

0e−xsen3xdx

é convergente.

05. A integral∫ +∞

1

sen x

xdx é convergente ou divergente? Justi-

fique sua resposta.

1.7 Comentário das Atividades

A atividade 01. é para você (aluno) praticar os conceitos vistos na

Seção 1.2. Se você conseguiu resolver todos os ítens desta ativi-

dade, então você aprendeu a calcular integrais impróprias com ex-

tremos de integração infinitos.

A atividade 02. é referente a Seção 1.3. Conseguiu resolver to-

dos os ítens desta atividade? Que bom!!! Você aprendeu a calcular

17


integrais impróprias com descontinuidades.

Nas atividades 03., 04. e 05. devem usar os resultados vistos na

Seção 1.4. Tais resultados são muito úteis no cálculo de integrais

impróprias.

1.8 Referências

• GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. 1 e 2).

Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.

• STEWART, J., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Pioneira

Thomson Learning, 2006.

• THOMAS, G. B., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Addison

Wesley, 2002.

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