SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SEEDUNIVERSIDADE EST. DO NORTE DO PARANÁ-UENPPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

Vandira Loiola Nogueira

USO DA GEOMETRIA NO COTIDIANO

Jataizinho, Paraná2008

VANDIRA LOIOLA NOGUEIRA

USO DA GEOMETRIA NO COTIDIANO

Produção Didático-Pedagógica: Caderno Pedagógico apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria Estadual de Educação do Estado do Paraná sob a orientação do professor Ederson Marcos Sgarbi.

JATAIZINHO, PARANÁ2008

Apresentação

A Matemática não pode ser estudada apenas com o uso de definições e fórmulas, não pode ficar alheia à realidade de nossos alunos e sem estar presente em nossa vidas e aplicada em nosso cotidiano com situações problemas.

Este caderno pedagógico foi elaborado com finalidade didática para ser aplicado no Ensino Fundamental séries finais e procura apresentar o uso da Geometria no cotidiano como recurso didático de Ensino de alguns conteúdos como: paralelismo e perpendicularismo, figuras planas e espaciais, área, perímetro, sólidos geométricos, simetrias e tem como objetivo motivar o aluno e interagir com o meio em que vive observando o seu cotidiano e, conseqüentemente, despertar o interece, a concentração, a comparação, o raciocínio lógico, alcançando dessa forma um bom desempenho no processo se ensino-aprendizagem interagindo com a comunidade e o meio que o cerca.

O caderno apresenta quatro unidades entre teoria e atividades com situações problema de observação e comparação com objetos e situações encontradas no seu cotidiano.

Boa sorte e bons estudos.

Vandira Loiola Nogueira

Agradecimentos

Agradeço em especial, meu orientador mestre, Ederson Marcos Sgarbi, que me instruiu e me ajudou, não medindo esforços, sempre motivando, com dedicação e paciência na execução deste caderno pedagógico.

Agradeço também minha família, que silenciosamente suportou minha ausência nas horas de dedicação intensiva a este trabalho, colaborando também para a que o mesmo se realizasse.

Sumário

● Aprendendo sobre a origem da Geometria;

● Conceituando e observando em nosso cotidiano o uso de paralelas e perpendiculares;

● Conhecendo, observando sólidos geométricos e relacionando figuras geométricas em construções de casas, prédios, estruturas metálicas e etc;

● Simetrias observadas na natureza;

Unidade 1

Origem da Geometria

● Fatos históricos

A Geometria (do grego geo = terra, mais metria = medida, significa “medir

terra”), estuda as formas planas e espaciais bem como suas propriedades. Esta ciência

teve origem no Egito, advinda da necessidade dos povos em medir os terrenos, pois

as inundações causadas pelo Rio Nilo destruíam as marcas de delimitação entre as

propriedades, dificultando o cultivo e pagamento de impostos. Cada vez que isso

ocorria tinham que medir e demarcar as terras novamente.

Na Grécia, foram dados os primeiros passos para o desenvolvimento da

Geometria, por meio da contribuição de diversos sábios. Porém, foi com o

matemático Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), que ela se sistematizou.

Em seu tratado, intitulado “Elementos”, ele reuniu em treze livros, toda a

Geometria conhecida na sua época.

E não pense que conhecer e usar os conhecimentos geométricos é coisa só

para grandes sábios ou matemáticos. Nós estamos lidando com ela o tempo todo em

atividades simples, como andar na rua e desviar de algo, observar os ponteiros de um

relógio para verificar as horas, calcular o melhor ponto para atravessar a rua, e uma

infinidade de outras situações corriqueiras.

● Geometria e Artes

Primeira Pirâmide

Huni construiu uma pirâmide de degraus em Meidum. Seu filho, Sneferu transformou-a em

uma pirâmide de faces lisas. Mas o novo revestimento caiu, carregando consigo grande parte da

pirâmide em degraus. Agora à pirâmide não servia mais para nada. A qualquer momento o resto da

pirâmide poderia cair, e levar o corpo do faraó consigo, era necessário construir outra pirâmide para

abrigar o corpo do faraó!

Sneferu, começou a construir uma outra pirâmide de faces lisas em Dachur. Na metade da construção os engenheiros descobriram que o ângulo das faces estava ingreme demais, e o modificaram para uma rampa mais suave, criando a Pirâmide inclinada.

Arte no Egito

A arte no Antigo Egito, era totalmente dedicada à morte, com construções de

templos, esculturas de deuses, túmulos, pinturas e projetos arquitetônicos.

As tumbas dos primeiros faraós, eram réplicas de suas casas, construídas nas

formas de retangulares recebendo o nome de mastábas, das mastábas originaram as

pirâmides.

A construção da pirâmide Djaser na região de Sacará, construída pelo arquiteto Imotep, foi uma das primeiras obras de grande destaque no Egito.

Com 147 metros de altura e ocupando uma superfície de 54300 metros quadrados, foram necessários 2,3 milhões de blocos para construir a maior pirâmide já construída no Egito a de

Queóps, com 100 mil operários trabalhando durante 20 anos para construir está maravilha da arquitetura. Nestas construções, os egípcios não utilizavam nem um tipo de argamassa ou substância para formar as imensas paredes que constituíam as pirâmides.

As pirâmides de Gizé foram construídas por Quéops, seu filho Quéfren e seu neto Miquerinos.

Ao redor das pirâmides dos reis e das rainhas há fileiras de mastabas de pedra para o resto da família real e os cortesãos. O local é guardado pelo deus-Sol na forma de Esfinge.

A esfinge, outra obra gigantesca, com 20 metros de altura por 74 de comprimento, representa a imagem do faraó Quéfren.

Pintura e Escultura

A pintura nos baixos-relevos se destacou por seguir regras, principalmente a da frontalidade,

que caracterizou a arte egípcia. Essa lei determinar que o tronco da pessoa fosse representada de frente, com a cabeça, pernas e pés vistos de perfil.

Essa arte não apresenta uma reprodução naturalista, os artistas não podiam trabalhar com estilos próprios e nem fugir das regras da frontalidade.

Mas foi no Antigo Império que as esculturas ganharam belas apresentações no Egito. Está arte surpreende o observador com tantos detalhes de fisionomia, traços raciais, junto de sua condição social, facilmente destaca na escultura.

Depois no Médio Império houve uma conservação de técnicas, produzindo esculturas e pinturas destacando mais os faraós, para fortalecer, a idéia de que eles eram deuses, e que possuíam poderes mágicos sobre todo o Egito.

Logo depois no Novo Império que o Egito voltou a se destacar na cultura, com grandes construções como as dos templos de karnak e Luxor, dedicados ao deus Amon. Esses templos se destacaram por suas formas expiradas no papiro e na flor de Lotus, destacadas nas suas colunas. Vale também destacar o túmulo da rainha Hatshepsut, que reinou de 1511 à 1480 a.C. no lugar de Tutmés I, pois não possuía idade suficiente para assumir o trono.

Na pintura os artistas deixaram de lado a lei da frontalidade, e começaram a variar as cores das pinturas dando movimento as imagens, fato que só pode acontecer por causa das mudanças políticas provocadas por Amenofís IV.

Amenofís IV

Ramsés II demonstrou o seu reinado de poder através da arte, com construções de estátuas gigantescas e imensas colunas, para comemorar suas vitórias políticas. Mas, com sua morte, o reino enfraqueceu, e entrou em crise, sendo invadido logo depois.

Atividades

1. Atualmente, como são feitas as medições de terrenos ?

2. Quais figuras geométricas ocorrem com maior freqüência nas divisões de terras (sítios, fazendas, chácaras, datas, etc) ?

3. Explique porquê isso ocorre.

4. Faça um desenho do terreno onde você mora. Que figura geométrica representa ?

5. O que você pode observar de Geometria na Arte do Egito ?

6. Que figura geométrica representa as faces das pirâmides ?

7. Desenhe uma pirâmide e marque sua base. Que figura representa a base ?

Fonte:

http://br.geocities.com/marcusu2/artes.html

Unidade 2

Paralelas e perpendiculares

Retas Paralelas:

Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não possuem qualquer ponto em comum. Se as retas são coincidentes ("a mesma reta") elas são paralelas.

É usual a notação a||b, para indicar que as retas a e b são paralelas.

Propriedade da paralela: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta paralela. Este fato é verdadeiro apenas na Geometria Euclidiana, que é a Geometria do nosso cotidiano.

Construção de paralela com régua e compasso

Dada uma reta r e um ponto C fora dessa reta, podemos construir uma reta paralela à reta dada que passa por C. Este tipo de construção gerou muitas controvérsias e culminou com outras definições de geometrias denominadas "não Euclidianas", que embora sejam utilizadas na prática, não se comportam da forma usual como um ser humano olha localmente para um objeto geométrico.

Centrar o compasso no ponto C, traçar um arco que corta a reta em E.

Com a mesma abertura do compasso, colocar a ponta seca do mesmo no ponto E e traçar um outro arco cortando a reta em F.

Do ponto E, com abertura igual à corda CF, traçar um arco para obter D.

Traçar uma reta ligando os pontos C e D e observar que a reta que passa

em CD é paralela à reta que passa em EF.

Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se possuem um único ponto em comum. Um exemplo de retas concorrentes pode ser obtido pelas linhas retas que representam ruas no mapa de uma cidade e a concorrência ocorre no cruzamento das retas (ruas).

Ângulo reto: Um ângulo que mede 90 graus. Todos os ângulos retos são congruentes. Este tipo de ângulo é fundamental nas edificações.

Retas perpendiculares

São retas concorrentes que formam ângulos de 90 graus. Usamos a notação

a b para indicar que as retas a e b são perpendiculares.

Propriedade da reta perpendicular: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta perpendicular.

Construir perpendicular com régua e compasso (1)

Dada uma reta e um ponto fora da reta, podemos construir uma outra reta perpendicular à primeira, da seguinte forma:

Centrar o compasso no ponto P e com uma abertura maior do que a distância de P à reta e traçar um arco cortando a reta em dois pontos A e B;

Centrar o compasso no ponto A e com um raio igual à medida do segmento AB traçar um arco;

Centrar o compasso no ponto B e com a mesma abertura que antes traçar outro arco cortando o arco obtido antes no ponto C;

A reta que une os pontos P e C é perpendicular à reta dada, Portanto AB é perpendicular a PC.

Construir perpendicular com régua e compasso (2)

Dada uma reta e um ponto P na reta, podemos obter uma reta perpendicular à reta dada, do seguinte modo:

Centrar o compasso no ponto P e marcar os pontos A e B sobre a reta que estão à mesma distância de P;

Centrar o compasso no ponto A e raio igual à medida de AB para traçar um arco;

Centrar o compasso no ponto B e com o mesmo raio, traçar um outro arco;

Os arcos cruzam-se em C;

A reta contendo PC é perpendicular à reta contendo o segmento AB.

Você já cruzou uma perpendicular?Seja de carro, ônibus ou a pé, andamos sobre formas. Você pode não

perceber, mas muitas vezes está cruzando perpendiculares, andando porparalelas ou por formas geométricas. Em muitas orientações que vocêdá ou recebe para localizar-se em determinada rua estão presentes estesconceitos de forma, como por exemplo, em siga reto e dobre a 1ª esquerda,poderíamos dizer também siga este segmento de reta e vire a

perpendicular à esquerda.

Atividades:1. Identificar e registrar quais ruas do mapa acima são paralelas e

quais são perpendiculares.

2. Quando podemos dizer que uma rua é paralela à outra?

3. Descrever a diferença entre paralela e perpendicular.

4. Observe o local onde você mora e faça uma relação das paralelas e perpendiculares que você observou.

5. Use sua criatividade e descubra outros lugares ou objetos onde podemos encontrar paralelas e perpendiculares.

6. Que importância têm, em nossa vida, as paralelas e as perpendiculares?

Curiosidades• Você sabia que construir casas, observar e prever o movimento dos astros são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas.• Você sabia que o crescimento acelerado da população e a construção desordenada que desobedece

as regras matemáticas contribuiu para grandes problemas sociais, como o processo de favelização, conurbação, enchentes etc.

Fonte:NEA - Núcleo de Estudos de Educação de Jovens e Adultos e Formação Permanente de Professores - FEUSPEDUCAÇÃO BÁSICA DE JOVENS E ADULTOSSISTEMA TRANSVERSAL DE ENSINO – APRENDIZAGEM©

Unidade 3

Sólidos geométricos, regiões planas e contornos

● Introdução

Tudo o que nos rodeia tem uma forma:os objetos e as construções feitas pelo homem, assim como as feitas pela natureza.

E cada uma dessas formas podemos relacionar figuras geométricas, como nos exemplos seguintes.

Vista do Congresso Nacional, emBrasília (DF).

Basílica de São Pedrohttp://www.lmc.ep.usp.br/people/hlinde/Estruturas/images/Historia%20-%20renascimento_saopedro/pg04.gif

Nesta Unidade você irá ver inúmeras figuras geométricas: seus nomes, suas características e aplicações.

● Classificação das figuras geométricas

Sólidos geométricos

Os sólidos geométricos são também chamados de figuras tridimensionais, pois têm três dimensões: largura, comprimento e altura.

Regiões planasAs regiões planas são também chamadas de figuras bidimensionais, pois têm duas dimensões: Comprimento e largura.

Contornos (linhas fechadas) Linhas abertas

As linhas, fechadas ou abertas, são figuras de uma única dimensão, o comprimento.

IMPORTÂNTE: No estudo das figuras geométricas procure sempre visualizar e manipular

objetos que tenham as suas formas. Isso ajudará muito a conhecê-las melhor.

Atividades

1. Agora observe os desenhos das figuras geométricas. Depois, em seu caderno, faça um esboço de cada um e escreva se indica sólido geométrico, região plana, contorno ou linha aberta. Relacione cada um deles com as construções.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2. Escreva em seu caderno, em cada item, dois exemplos de objetos que dão idéia

de:

a) Sólido geométrico

b) Região plana

c) Contorno ou linha fechada

d) Linha aberta

● Classificação dos sólidos geométricas

A partir das características dos sólidos geométricos podemos fazer uma classificação:

Poliedros: apresentam somente faces planas. Eles não rolam.

Corpos redondos: apresentam partes não-planas (“arredondadas”);por isso rolam.

Outros sólidos geométricos: Possuem partes não planas, mas não rolam.

IMPORTÂNTE: Sempre que tiver dúvida, procure no dicionário o significado das palavras: poli: muitas; edros: faces.

3. Observe os sólidos geométricos. Indique quais são poliedros e quais são corpos arredondados.

a)

b)

c)

d)

e)

5. Cite três objetos que lembram um poliedro e três que lembram um corpo redondo.

Unidade 4

Simetria

Nosso corpo, assim como a Terra em que vivemos é repleta de formas e,

nessas formas, existe uma harmonia que pode ser observada, por exemplo, na

disposição das pétalas das flores, na espiral de alguns caramujos, nas asas das

borboletas, nas formas pentagonais de algumas estrela do mar ou nos hexágonos de

um favo de mel.

Segundo o dicionário Aurélio, Simetria é uma palavra de origem grega que

significa “justa proporção” ou “harmonia resultante de combinações e proporções

regulares”.

Podemos dizer que uma parte do corpo, uma planta ou outro objeto qualquer

são simétricas quando é possível reparti-los em partes que ao serem sobrepostas

coincidem exatamente.

Veja estes exemplos:

Fon

te:

arqu

ivo

pess

oal

Fon

te:

arqu

ivo

pess

oal

Nas figuras acima, a reta r é o eixo de simetria.

Vamos pensar em mais exemplos de simetrias que podem ser encontradas na

natureza. Você se lembra de alguma fruta simétrica? E vegetais? Dê exemplos.

O homem construiu grande parte do seu conhecimento observando e copiando formas e cores dos seres da natureza. Veja as construções a seguir:

Catedral de Notre Dame - Paris Torre de Pisa - Itália

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Catedral_de_Notre-Dame

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Leaning_tower_of_pisa_4.png

- Alguma dessas construções lhe causam estranheza?

- Se sim, por que isso ocorre?

- Será que essas construções possuem eixo de simetria?

Muitas vezes é fácil verificar se determinadas figuras são simétricas, pois o que

está desenhado de um lado do eixo simétrico, também está desenhado do outro lado,

vamos testar isso:

Imagine um espelho sobre a reta desenhada em cada figura abaixo, anote se ela é ou não um eixo de simetria.

As figuras ao lado, algumas são formadas por retas e outras por curvas. Quando uma figura geométrica possui lados retos e esses lados se unem sem intervalos, chamamos essa figura de

polígono – do grego: poli (muitos) + gonos (ângulos). Portanto, um polígono é uma figura geométrica plana, fechada com lados retos.

Desafio: Desenhe um polígono com o menor número de lados possíveis. Qual é o nome dessa figura geométrica? Essa figura pode ser simétrica?

Uma figura que tem eixo de simetria é chamada figura geométrica simétrica ou figura simétrica em relação a esse eixo.

Alguns objetos são dotados de simetria bilateral, ou seja, o eixo de simetria,

divide a figura ao meio, por exemplo: garfos, colheres, tesouras, bolas e grande parte

do nosso vestuário. Existem também inúmeros animais e alguns tipos de folhas com

as mesmas características. Você lembra de algum deles?

O corpo humano também, no seu exterior, é substancialmente dotado de

simetria bilateral.

Algumas figuras podem ter mais de um

eixo de simetria. Por meio de dobraduras é

fácil verificar se uma reta é ou não eixo de

simetria de uma figura. Pegue um quadrado de

papel, efetue as dobraduras e verifique se, para

cada uma delas os lados coincidem.

Agora, reproduza os polígonos a seguir em uma folha de papel, recorte-as e por meio de dobraduras procure identificar o número de eixos de simetria que cada um deles possui:

Alguns polígonos têm nomes especiais, de acordo com o número de lados que possuem.

Procure investigar os nomes das figuras, de acordo com o número de lados que possuem.

1 lado – não existe2 lados – não existe3 lados – _____________4 lados – quadrilátero5 lados – _____________6 lados – _____________7 lados – _____________8 lados – _____________9 lados – _____________

10 lados – _____________

Observe as figuras ao lado e procure identificá-las de acordo com o número de lados.

Imagine um espelho em frente a cada figura abaixo, essas figuras são simétri-

cas em relação a esse espelho?

Pois é, quando conseguimos traçar um eixo de simetria em uma figura, dizemos que essa figura possui simetria axial (axial vem de eixo). Por exemplo:

Quadrilátero é um polígono com quatro lados. Por exemplo: o quadrado.Pesquise o nome e desenhe outros polígonos que também possuem quatro lados.

1. 2. 3. 4.

No desenho ao lado, a figura ABC é simétrica a outra em relação ao eixo de simetria. Observe os vértices A e D, B e E, C e F.

Reproduza essas as figuras no papel. Recorte a figura ABC. Com ela, será possível recobrir a figura DEF? Que movimento será preciso fazer para que se possa sobrepor ABC em DEF?

E a figura ABCDE apresenta algum tipo de simetria em relação à figura FGHIJ? Repita o processo realizado na figura anterior (recorte e sobreposição).

Agora vamos olhar essa figura de outra maneira. O desafio vai ser unir através de um segmento de reta os pontos A e F, B e G, C e H, D e I, J e E. Encontre o ponto em comum entre esses segmentos? Represente esse ponto pela letra L.

I

Existem figuras que são simétricas em relação ao eixo de simetria, pois para cada vértice existe outro à mesma distância do eixo de simetria, porém em posição oposta, ou seja, cada vértice tem seu simétrico.

Na figura ao lado identifique e assinale quais pontos são simétricos.

Quando acontece de termos segmentos de reta que passam por um ponto em

comum, dizemos que esse ponto é o centro de simetria das figuras, simetria que diz

respeito a um ponto é chamada simetria central (Ponto L).

Esses diferentes movimentos realizados com as figuras, ou mesmo figuras

simétricas desenhadas uma ao lado da outra, seguidas vezes, criam um belo efeito

visual. Muitos pintores como Milton Dacosta, Gustav Klimt e Vicente do Rêgo

Monteiro, impressionaram pela criatividade, algo que resultou da harmonia entre

formas, cores.

Fonte:http://www.fazenda.gov.br/portugues/cultura/imagens/espaco/galeria/colecoes/coleco04.jpg

Fonte:http://www.bolsadearte.com/cotacoes/dacosta.htm

Obra: Mulher Sentada

Autor: Vicente do Rego

Vicente do Rego Monteiro nasceu em Recife, em 1899. É um artista múltiplo: pintor, desenhista, muralista, escultor e poeta.

Obra: FiguraAutor: Dacosta Milton Dacosta, nasceu em Niterói, Estado do Rio de Janeiro, em 1915, e faleceu na cidade do Rio de Janeiro em 1988.

Observe as pinturas acima, perceba a articulação entre as formas. Identifique as

formas utilizadas. Será que as pinturas possuem simetria?

Em especial um artista famoso trabalhou muito bem com simetria. Seu nome é

Maurits Cornelius Escher, nasceu na Holanda e viveu de 1892 a 1972. Ele dizia, "é

esquisito que eu pareça abordar teorias matemáticas, sem que eu próprio as conheça".

As obras de Escher ficaram conhecidas pelos seus desenhos impossíveis, pelas

ilusões espaciais que criou e regularidades que desenvolveu. Embora considerado

péssimo aluno em Matemática, através da sua arte conseguiu atrair os mais reputados

matemáticos. O interessante é que os matemáticos admiravam a maneira como

Escher se utilizava dos conceitos matemáticos e só depois descobriram que ele nada

entendia do assunto, que tudo era intuitivo. Conta-nos a história que um professor,

famoso em toda a Europa, admirado com os desenhos de Escher, convidou-o para

assistir a uma de suas aulas. O vexame foi total, pois, Escher simplesmente não

compreendia nada do que estava sendo dito.

Durante as viagens de Escher à Espanha, ele começou a observar e copiar os desenhos que via em algumas igrejas e construções antigas.

Detalhes do Palácio de Alhambra – Espanha

Fonte: Stewart, Desmond. Antigo Islã. Ed. José Olympio. Rio de Janeiro. 1973.p.150,157.

Elas apresentavam mosaicos formados por figuras geométricas misturadas que se encaixavam sem deixar espaço. Para os religiosos, essa ornamentação é comum, ela tem um significado simbólico que transmite sentimentos e tradição. As formas, o tamanho, as cores, tudo tem uma interpretação.

É bem interessante!! Pois podemos perceber simetria em muitos símbolos religiosos. Esses símbolos, normalmente formam um sistema complexo de significados pelos quais se expressam as diferentes tradições religiosas. Observe com atenção os símbolos abaixo, verifique as diferentes simetrias:

Nas construções arquitetônicas, as formas dos espaços sagrados modelam-se nos dogmas de cada tradição religiosa, por exemplo, as torres altas nas igrejas católicas do estilo gótico principalmente, apontam agudamente em direção aos céus indicando a existência de um “Ser Supremo”. Nessas construções, sempre se procurava o belo, como forma de construir santuários para agradar ao Criador.

Fonte: arquivo pessoal

Fonte: arquivo pessoal

Observe a aparência estética da construção dos templos de sua cidade. Elas são simétricas? Existem em sua cidade templos que utilizam mosaicos na ornamentação? Lembre-se que esses mosaicos podem apresentar-se na forma de vitrais ou de

Vamos lá, agora é sua vez de escrever. Pesquise outros símbolos e significados de tradições religiosas que podem apresentar diferentes simetrias.

Outro símbolo também conhecido, é de uma antiga tradição religiosa chinesa, denominada taoísmo, representa o equilíbrio entre duas forças opostas, que segundo eles precisam estar em harmonia, o Yin Yang. Significam:

- yin: o princípio passivo, feminino, noturno, escuro, frio. - yang: o princípio ativo, masculino, diurno, luminoso, quente.Fonte: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Yin_yang>

O pentágono estrelado era o emblema utilizado pela escola Pitagórica (fundada por Pitágoras).

A escola era uma associação mística, secreta, política e religiosa. Os membros pensavam muito sobre o mundo, tentando explicá-lo. Fonte: <http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Artigos/Curiosidadesmat/pitagorico.htm>

Cat

edra

l de

Cur

itiba

Vitrais da

Catedral

de C

uritiba

pavimentação.

Escher utilizava-se da mesma técnica que via nas igrejas da Espanha para formar outros mosaicos. Ao fazer essas cópias o artista acabou descobrindo as regras de translação, rotação, reflexão e translação refletida que os matemáticos chamam de isometrias. Existem 17 tipos diferentes de isometrias e Escher conseguiu chegar até elas sem nenhum conhecimento do assunto, para espanto dos matemáticos que se utilizam dos trabalhos do artista para a melhor compreensão desses fenômenos. Se quiser, você pode aprofundar seus conhecimentos pesquisando sobre essas isometrias ou conversando seu professor de matemática.

Cientistas precisam ser tão criativos quanto artistas. Escher pegava seus simples desenhos e repetia-os em série, aplicando múltiplos deslocamentos e deformações geométricas no desenho tomado como base. Fazia repetições destas séries até ao infinito, limitadas apenas pelas bordas do papel! Realmente a arte de Escher mexe com a nossa mente e nos faz questionar sobre o que estamos realmente olhando.

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/images/anjos.jpg

Fazendo repetições de figuras geométricas, estamos criando pavimentações, ou seja, para pavimentar uma superfície, você pode utilizar-se da mesma idéia de simetria.

Veja o exemplo:

Observe a figura a seguir, você sa-beria onde colocar o espelho para verificar a simetria? Aqui existe uma simetria total ou só nas diver-sas porções da figura? Perceba as repetições.

Quando misturamos as figuras geométricas e as colorimos de maneira

diferente, podemos criar pavimentações ou revestimento de superfícies. Normalmente

é comum associar pavimentação a Mosaico. Segundo o dicionário Aurélio, a

definição para mosaico é “pavimento de ladrilhos variados que pela sua disposição

aparentam desenho”. Os seres humanos vêm produzindo mosaicos há milênios, como

forma de expressão artística, muitos deles inspirados em formas da natureza.

Escher trabalhou com mosaicos em boa parte de suas obras. Sempre partindo

de um modelo padrão. Uma característica notável em suas obras, está na forma em

que combinava as figuras, fazendo com que elas encaixassem perfeitamente. Observe

os passos a seguir, eles revelam como Escher fazia suas obras:

1. Tomando um modelo padrão como base.

1.

1

1.

Vamos tomar um quadrilátero como base. Esse quadrilátero chama-se paralelogramo.

Escolha um dos lados do paralelogramo como eixo de simetria e desenhe um paralelogramo simétrico ao primeiro.

Repita este processo sucessivas vezes.

Agora é sua vez, veja se você consegue fazer uma pavimentação utilizando as figuras abaixo:

b)

Algumas delas não deram certo? Porquê?

... E temos então uma pavimentação.

2. Faz cortes e recortes até chegar ao modelo desejado.

3. Alguns enfeites.

4. Está achando nosso mosaico monótono? Basta então inverter o sentido das figuras.

Pronto, aí está... Você acaba de aprender um dos segredos de um grande artista. Tomando como base tudo o que você aprendeu até agora, é a sua vez de criar um modelo estilo Escher. Vamos ao desafio!!!

E então, você gostou da experiência? Continue com esse espírito investigativo, pois ainda poderá descobrir muitas coisas legais!

Ah, se a sua escola possui acesso à Internet, você pode visitar o sítio:<http://www.rekenweb.nl/pt>. Lá tem algumas animações de simetria que com certeza, você vai gostar bastante!!!

OBS.: A critério do professor, obedecendo sempre modelos apresentados em nosso

cotidiano, poderão ser criadas novas atividades.

ESTADO DO PARANÁ

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

CONTRATO DE CESSÃO DE DIREITOS AUTORAIS

Pelo presente instrumento particular, de um lado Vandira Loiola Nogueira, brasileira, casada, professora, CPF nº 360728859-34, Cédula de Identidade RG nº 19610772 residente e domiciliado à Rua Avenida Antônio Brandão de Oliveira, 1067, na cidade de Jataizinho, Estado do Paraná, denominado CEDENTE, de outro lado a Secretaria de Estado da Educação do Paraná, com sede na Avenida Água Verde, nº 2140, Vila Izabel, na cidade de Curitiba, Estado do Paraná, inscrita no CNPJ sob nº 76.416.965/0001-21, neste ato representada por seu titular Yvelise Freitas de Souza Arco-Verde, brasileira, portadora do CPF/MF nº 392820159-04, ou, no seu impedimento, pelo seu representante legal, doravante denominada simplesmente SEED, denominada CESSIONÁRIA, têm entre si, como justo e contratado, na melhor forma de direito, o seguinte:

Cláusula 1ª – O CEDENTE, titular dos direitos autorais do texto intitulado USO DE GEOMETRIA NO COTIDIANO/Caderno Pedagógico, cede, a título gratuito, à CESSIONÁRIA o direito de edição, reprodução, impressão, publicação e distribuição para fins específicos, educativos, técnicos e culturais, nos termos da Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998 – sem que isso implique em ônus à CESSIONÁRIA.

Cláusula 2ª – A CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar o texto ao qual se refere a cláusula 1.ª deste contrato em qualquer tipo de mídia - impressa, digital, audiovisual e web – que se fizer necessária para sua divulgação.

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Cláusula 4ª – Com relação à publicação em meio digital, a CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar o texto em tantas cópias quantas se fizerem necessárias, bem como a reproduzir e distribuir gratuitamente essas cópias.

Cláusula 5ª - Com relação à publicação em meio audiovisual, a CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar o texto tantas vezes quantas se fizerem necessárias, seja em canais de rádio, televisão ou web.

ESTADO DO PARANÁ

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

Cláusula 6ª - Com relação à publicação na web, a CESSIONÁRIA fica autorizada pelo CEDENTE a publicar o texto tantas vezes quantas se fizerem necessárias, em arquivo para impressão, por escrito, em página web e em audiovisual.

Cláusula 7ª – O presente instrumento vigorará pelo prazo de 05 (cinco) anos contados da data de sua assinatura, ficando automaticamente renovado por igual período, salvo denúncia de quaisquer das partes, até 12 (doze) meses antes do seu vencimento.

Cláusula 8ª – O CEDENTE se compromete a comunicar à CESSIONÁRIA as alterações substanciais que fizer na obra, no prazo de 30 dias, ficando resguardado para a CESSIONÁRIA o direito de uso da obra original pelo prazo de 5 anos.

Cláusula 9ª – As partes poderão renunciar ao presente contrato nos casos em que as suas cláusulas não forem cumpridas, ensejando o direito de indenização pela parte prejudicada.

Cláusula 10ª – A CESSIONÁRIA garante a indicação de autoria em todas as publicações em que o texto em pauta for veiculado.

Cláusula 11ª – O CEDENTE poderá publicar o texto em outra(s) obra(s) e meio(s).

Cláusula 12ª – O CEDENTE declara que o texto em pauta é de sua exclusiva autoria com o que se responsabiliza por eventuais questionamentos judiciais ou extrajudiciais em decorrência de sua divulgação.

Cláusula 13ª – Fica eleito o foro de Curitiba, Paraná, para dirimir quaisquer dúvidas relativas ao cumprimento do presente contrato.

E por estarem em pleno acordo com o disposto neste instrumento particular a CESSIONÁRIA e o CEDENTE assinam o presente contrato.

Curitiba, 12 de dezembro de 2008

CEDENTE

ESTADO DO PARANÁ

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

______________________________________CESSIONÁRIA

______________________________________TESTEMUNHA 1

______________________________________TESTEMUNHA 2