8/19/2019 Semana 5 Modelos Var

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Econometŕıa de Series de Tiempo

José Gabriel CastilloESPOL, Guayaquil

Noviembre 26, 2015

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Modelos de volatilidad

Autoregressive conditional heteroskedasticity (Engle 1982)

Es común encontrar en series de tiempo que los residuos tienen unavarianza volatil.

Una aproximación para modelar este fenómeno es el modelo  ARCH.

La idea fundamental es que la varianza del error de MCO en elpeŕıodo  t  depende de realizaciones previas  t  − h, en otras palabras, semodela empleando la heteroscedasticidad.

Un modelo ARCH(p) puede escribirse de la siguiente forma:

u t  = σt t ;   σ2t   = E (u 

2t |Ωt −1) = α0 +

q i =1

αi u 2t −1

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Modelos de volatilidad

Autoregressive conditional heteroskedasticity (Engle 1982)

Note que a pesar de que los errores no son independientes, no estáncorrelacionados:   E (u t u t −1) = 0

Si el proceso (u 2t ) es estacionario, la varianza es independiente de  t (homoscedástica), en cuyo caso el proceso se reduce a:

σ2t   = α0 +q 

i =1

αi u 2t −1  = α0 + σ

2p 

i =1

αi  = σ2

σ2 =  α0

1 −p 

i =1 αi 

En donde la condición para estacionariedad involucra que 

p i =1 α  0 para asegurar obtener varianzas positivas.

Emṕıricamente una aplicación limitada.

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Modelos de volatilidad

GARCH: ARCH Generalizado (Bollerslev 1986)

Un porceso  GARCH(p,q) generaliza la volatilidad incluyendo  q rezagos de la varianza.

u t  = σt t ;   σ2t   = E (u 

2t |Ωt −1) = α0 +

p 

i =1

αi u 2t −1 +

q 

 j =1

δ  j σt − j 

Similar al caso previo, si el proceso (u 2t ) es estacionario, la varianza es:

σ2 =  α0

1 −p i =1

αi  −q  j =1

δ  j 

Es un proceso emṕıricamente más exitoso, y la versión más popular esel GARCH(1,1).

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Vectores Autoregresivos-VAR

Desarrollado por Christopher Sims (1980), no requiere unconocimiento detallado de la dinámica causal de los fenómenos. Loscoeficientes estimados no son coeficientes estructurales.

En la práctica puede ser de nuestro interés estimar varios modelos, y

sus relaciones dinámicas, simultaneamente.

La intuición es:  existen fenómenos externos, denominados: shocksexógenos, shocks idiosincráticos o innovaciones, que afectansimultaneamente a las variables de un sistema, por lo tanto queremos

estudiar su dinámica simultaneamente.Todas las variables son  end´ ogenas .

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Vectores Autoregresivos-VAR

Analicemos un caso sencillo, un modelo con 2 variables (x t , y t ).

En un modelo VAR, este modelo tiene dos ecuaciones, una para cadaregresor.

y t  = β 0 + β 1x t −1 + β 2y t −1 + u 1t 

x t  = γ 0 + γ 1x t −1 + γ 2y t −1 + u 2t 

En general, si tenemos  h  regresores, tendremos  h  ecuaciones.

Es por lo tanto un sistema de  h  ecuaciones.

Idealmente, si  Cov (u 1t , u 2t ) = 0 podemos estimar estos modelosindependientemente (con los métodos estudiados hasta estemomento). Sin embargo, ganamos consistencia en la estimación VAR.

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Vectores Autoregresivos-VAR

Podemos escribir este sistema de ecuaciones de una forma simplificada para

aproximarnos a una forma intuitiva de un modelo AR y su correspondencia con unmodelo MA:   y t x t 

 =

β 0γ 0

+

β 1   β 2γ 1   γ 2

x t −1y t −1

+

u 1t u 2t 

Y t  = A0 +  A1Y t −1 +  U t 

Y t  = (I − A1L)−1 ∗ (A0 +  U t ) = B (L)A0 +  B (L)U t 

Si reemplazamos recursivamente el vector autoregresivo, podemos identificar unaexpresión expĺıcita de la  Función Impulso/Respuesta.

Y t  = A0 +  A1Y t −1 +  U t    ;Y t −1  = A0 +  A1Y t −2 +  U t −1

⇒ Y t  = (A0 +  A0A1) + U t  + A1U t −1 +  A1A1Y t −2 +  ...y t x t 

 =

b 01b 02

+

β 1   β 2γ 1   γ 2

u 1,t −1u 2,t −1

+ ...

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Vectores Autoregresivos-VAR

Estimación e inferencia:Bajo los supuestos de VAR, estimaciones individuales de las  hecuaciones mediante de MCO es una estrategia factible.

La inferencia es la misma y la construcción y prueba de hipótesis siguelos criterios que hemos estudiado.

Una mejor estrategia es estimar esas ecuaciones conjuntamente. Facilita la construcción de pruebas de hipótesis conjuntas, a través de

las  h  ecuaciones.

Los coeficientes estimados siguen una distribución normal conjunta engrandes muestras.

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Vectores Autoregresivos-VAR

Estimación e inferencia:

La selección de rezagos es determinante en la estimación por lo tantonecesitamos algún criterio para su selección:

El número de coeficientes de estimación en este sistema se incrementaconsiderablemente por los rezagos a incluir.

Podemos utilizar los   criterios de informaci ́  on: BIC, AIC para identificaruna especificación óptima, únicamente basada en las ventajasestad́ısticas de cada especificación. (ej.   min(BIC , AIC ))

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Vectores Autoregresivos-VAR

En  EViews : Lag Structure

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Vectores Autoregresivos-VAR

Varios criterios de información informan esta decisión (*):

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Vectores Autoregresivos-VAREjemplo:  La inflación, la oferta monetaria y la tasa de interés.

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Vectores Autoregresivos-VAREstimemos el modelo:   VAR (IPC , M 1, spread )

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Vectores Autoregresivos-VARResultados: Si observamos los residuos?

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Vectores Autoregresivos-VARResultados: Si observamos los tests de Ráız Unitaria? (ADF, t and drift)

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Vectores Autoregresivos-VARResultados: Obtenemos la D1 y testeamos ADF (t and drift)

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V A VAR

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Vectores Autoregresivos-VAR

Algunos comentarios:

Estamos modelando un proceso estocástico, por lo tanto la condición deestacionariedad  de las variables es deseable.

Podemos analizar este fenómeno directamente analizando los cambiosporcentuales (elasticidades), por lo tanto obtenemos la primera diferencia delos logaritmos de la inflación y el agregado monetario M1 (que son

estacionarios).El  SPREAD  es una variable estacionaria, y sus unidades son porcentajes. Nonecesita transformación.

Más allá de los coeficientes dinámicos, podemos analizar la  FunciónImpulso/Respuesta (FIR.

Estimar la FIR a nivel puede llevarnos a conclusiones erroneas.

El orden de imputación de la información en la descomposición de Choleskydetermina las restricciones dinámicas de la matriz diagonal inferior.

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V A i VAR

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Vectores Autoregresivos-VARResultados: Estimamos nuevamente el modelo corrigiendo los problemasdescritos.

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V A i VAR

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Vectores Autoregresivos-VARResultados: Obtenemos las Funciones de Impulso Respuesta

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V t A t i VAR

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Vectores Autoregresivos-VARResultados: Obtenemos las Funciones de Impulso Respuesta

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V t A t i VAR

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Vectores Autoregresivos-VARModifique la definición del impulso: varias alternativas

Castillo, J.G. (ESPOL)   Econometrı́a II   Noviembre 26, 2015 22 / 23

Vecto es A to eg esi os VAR

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Vectores Autoregresivos-VARModifique la definición del impulso: varias alternativas

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