SEQÜÊNCIAS Prof. Marcelo de Oliveira Rosa. Seqüências Representação amostral de um sinal...
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SEQÜÊNCIAS
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Seqüências
Representação amostral de um sinal Processo de amostragem
Conversor AD (analógico-digital) Decorrente do uso de computadores em:
Aquisição via sensores e conversores AD Controle digital Atuação via atuadores e conversores DA
Seqüências
Definição
onde: x(t) é um sinal/função contínua (t ∈ R) Ta é o período de amostragem n é o instante de tempo (n ∈ Z)
n é adimensional
Obs: não existe informação em x[n] entre n e n+1
)nT(x]n[x a
Seqüências
Definição Representação gráfica
Seqüência
Efeito do período de amostragem
Sequências
Efeito do período de amostragem Ao invés de reproduzir x(t) em x[n],
reproduzimos outro sinal xT(t) com propriedades espectrais distintas. Aliasing
Componentes de baixa-freqüência de x(t) se transformam em componentes de alta-freqüência em xT(t)
x(t) conversão AD x[n] conversão DA xT(t) x(t) ≠ xT (t)
Resolução do problema Teorema de Nyquist
Seqüências
Seqüências periódicas e não-periódicas
onde σ e ω ∈ R
Incluem-se também
)n(jsen)ncos(Ae
Ae]n[x j
)ncos(A]n[x
Seqüências
Seqüências periódicas e não-periódicas Para todo x(t) periódico, x[n] é periódico?
A freqüência de amostragem influencia a periodicidade da seqüência?
Seqüências
Seqüências periódicas e não-periódicas Definição de periodicidade
x[n] = x[n+N] N ∈ Z*
Para seqüência senoidais, f = ω / 2π = m / N x[n] = A cos(ωn + θ)
Referência para seqüência senoidal f é razão entre números inteiros (f ∈ Q) Condição para x[n] senoidal ser periódica
Seqüências
Seqüências periódicas e não-periódicas Considerando o processo de amostragem
Temos:
Condição para sinal periódico amostrado produzir seqüência periódica
)tcos(A)t(x
)ncos(A]n[x
Qa
a
F
F
T
Tf
N
m
Seqüências
Seqüências periódicas e não-periódicas N = 8, zero ≤ m ≤ 3 zero ≤ f < 0,5
Seqüências
Seqüências periódicas e não-periódicas N = 8, 5 ≤ m < 8 0,5 < f < 1
m=8
Seqüências
Seqüências periódicas e não-periódicas Padrão senoidal discreto se repete a
múltiplos de f
Intervalos úteis zero ≤ f < 1 [ciclos/amostra] zero ≤ ω < 2π [radianos/amostra]
ncosncos
nN
mk2cosn
N
m2cos
nkf2cosnf2cos
Seqüências
Seqüências periódicas e não-periódicas Interpretação
N Número de amostras de um período discreto
m Número de ciclos contínuos reproduzidos em um período discreto
m/N Fração do ciclo contínuo usado na amostragem
f ou ω Freqüência discreta
Seqüências
Seqüências com “singularidades” Similaridade com sinais singulares
Não existe conceito de descontinuidade Representação de fenômenos como
Liga-desliga Amostragem
Representação matemática de séries numéricas
Série de Fourier
Seqüências
Seqüências com “singularidades” Delta unitário
Ou delta de Kronecker
Observe que não há problemas na definição para n=0, como ocorre com o delta de Dirac.
Não há problemas de escala como no delta de Dirac
δ[an] = δ[n]
0n,0
0n,1]n[
Seqüências
Seqüências com “singularidades” Degrau unitário
Observe que para n=0, u[0] = 1, não havendo problema de definição como em u(t)
0n,0
0n,1]n[u
Seqüências
Seqüências com “singularidades” Sinal unitário
Rampa unitária
0n1
0n0
0n1
]nsgn[
]n[un
0n0
0n,n]n[rampa
Seqüências
Seqüências com “singularidades” Pulso unitário
Note que para qualquer N, o total de amostras é sempre ímpar (2N+1). Como representar um pulso unitário com um total par de amostras?
)]1N(n[u]Nn[u
Nn,0
Nn,1]n[rect
Seqüências
Seqüências com “singularidades” Trem de impulsos unitário
k
N ]kNn[]n[
Seqüências
Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais
São realizadas amostra-a-amostra Deslocamento temporal
Operação de atraso ou avanço de seqüências f[n] = g[n + n0] f(t) está adiantado em relação a
g[n] h[n] = g[t – t0] h[n] está atrasada em relação a
g[n]
Escala em amplitude y[n] = α x[n]
Seqüências
Operações básicas Escala no “tempo”
Escala dos instantes “n” y[n] = x[A n] y[n] = x[n/A]
Os resultados da escala no “tempo” para seqüências são equivalentes àqueles obtidos para escala no tempo de sinais?
Seqüências
Operações básicas Escala no “tempo”
Primeiro caso: compressão ou decimação y[n] = x [A n]
Perda de amostras decorrente de n ∈ Z Tal perda não ocorre com y(t) = x(A t)
Se a é par apenas amostras em instantes pares serão
mantidas
Seqüências
Operações básicas Escala no “tempo”
Segundo caso: dilatação ou interpolação y[n] = x [n/A]
Existência de situações com (n/A) ∉ Z Nesses casos, y[n] é indefinido O que fazer?
Seqüências
Operações básicas Escala no “tempo”
Segundo caso: dilatação ou “interpolação” y[n] = x [n/A]
Existência de situações com (n/A) ∉ Z Nesses casos, y[n] é indefinido Redefinição de escala no “tempo” para
“interpolação”
.c.c0
An],An[x]n[y
Z
Seqüências
Operações básicas Acumulação
Semelhante à integração no domínio contínuo Mesma ambigüidade da integração
Problema da constante de integração
n
k
]k[x]n[y
Seqüências
Operações básicas Diferença finita
Semelhante à diferenciação no domínio contínuo
Pode gerar várias expressões
2
]1n[x]1n[x
]n[x]1n[x
]1n[x]n[x]n[y
Seqüências
Energia e Potência de Seqüências Equivalente às grandezas de x(t) Estimativa de energia que a seqüência
carrega
Energia da seqüência
Usado quando o somatório converge Seqüências finitas, por exemplo
n
2
x ]n[xE
Seqüências
Energia e Potência de Seqüências Potência da seqüência
Usado em seqüências periódicas N é um período completo da seqüência
Para um instante k qualquer (para facilitar o cálculo)
1N
Nn
2
Nx ]n[x
N2
1limP
1Nk
kn
2
Nx ]n[x
N
1limP