Simulação de escoamentos não-isotérmicos 2D … segundo lugar, quero agradecer ao Doutor...

Simulação de escoamentos não-isotérmicos 2D em slits usando o

método de lattice Boltzmann

João Miguel Amaral Chambel Leitão

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Mecânica

Júri

Presidente: Doutor Luís Rego da Cunha de Eça

Orientador: Doutor Viriato Sérgio de Almeida Semião

Vogal: Doutor Pedro Jorge Martins Coelho

Outubro 2013

i

Agradecimentos

Gostaria de agradecer em primeiro lugar ao meu orientador, o Professor Viriato Semião, pela

espírito inconformista e exigente com que sempre orientou o meu trabalho e me ajudou a progredir

como aluno.

Em segundo lugar, quero agradecer ao Doutor Gonçalo Silva, que participou de forma

determinante na co-orientação desta tese e foi companheiro de gabiente durante largos meses, pela

ajuda que me deu a compreender e a falar a linguagem do universo do lattice Boltzmann, tendo tido

sempre uma disponibilidade e paciência incríveis para me responder a todas as dúvidas.

Não posso deixar de expressar um agradecimento especial ao meu colega e amigo Manuel

Ferreira, pela ajuda que me deu no final da tese para que eu tivesse condições de a entregar.

Agradeço ao Professor Luís Eça pela ajuda que me deu na utilização do Fluent.

Agradeço a todos os colegas que me foram mais próximos e me acompanharam neste percurso

pelo Técnico, muito em particular à Joana Neto e ao Vítor Leite, pela amizade e crescimento que me

proporcionaram.

Agradeço também, de forma particular, ao Joaquim Viegas, muitas vezes companheiro nas

horas de almoço, com quem tive inúmeras discussões que sempre me ajudaram a olhar o mundo com

novas perspectivas.

Agradeço aos meus pais por todo o apoio e incentivo que sempre me deram a poder estudar e

pôr a render os meus talentos. Agradeço-lhes muito a paciência para com o meu estilo de vida mais

anárquico durante a execução desta tese.

Agradeço a toda a minha restante família, especialmente aos meus irmãos, que fazem com que

eu possa, mesmo na aparente confusão, ter uma casa onde repousar.

Por último, e não menos importante, agradeço à Sara Filipa que incessantemente me apoiou,

principalmente nas alturas em que nada parecia estar a correr bem, e cuja paciência e afecto foram um

bálsamo.

ii

Resumo

O método de lattice Boltzmann é um método numérico que tem ganho crescente popularidade

na comunidade de desenvolvimento de CFD, mas que para a resolução de escoamentos não-

isotérmicos apresenta ainda modelos limitados.

O presente trabalho tem como objectivo estudar este tipo de modelos, implementando-os

computacionalmente, com vista a resolver um problema de referência – o escoamento de Poiseuille

entre paredes rectas, paralelas e infinitas – quer em condições isotérmicas, quer quando são impostos

fluxo de calor ou temperatura constantes nas paredes.

São apresentados modelos que resolvam tanto a parte hidrodinâmica como a parte térmica do

escoamento, assim como os respectivos esquemas de condições de fronteira, para o problema em

estudo.

Os resultados do estudo da forma isotérmica do problema são comparados com a solução

analítica, e para a maioria das condições de fronteira implementadas, as soluções apresentam boa

concorddância entre si.

Para escoamentos com fluxo imposto na parede, excelente concordância foi alcançada entre as

soluções numérica e analítica para uma larga gama de valores para os parâmetros do escoamento, com

excepção dos nós nos cantos à saída do canal, onde o erro foi significativamente maior que no resto do

domínio

Para escomentos com temperatura imposta, os perfis de temperatuda adimensional foram

comparados com os perfis adimensionais de simulações equivalentes realizadas no Fluent. Os

resultados aparentam ter uma concordância satisfatória entre si, com destaque para os números de

Nusselt.

Os resultados obtidos com o método de lattice Boltzmann para escoamentos não-isotérmicos

comprovaram a sua consistência e são encorajadores para trabalho futuro.

Palavras-chave: métodos numéricos, método de lattice Boltzmann, métodos térmicos de lattice

Boltzmann, condições de fronteira, escoamento de Poiseuille, transferência de calor

iii

Abstract

The lattice Boltzmann method is a numerical method which has become increasingly popular

among CFD developers, although the models for solving non-isothermal flows still present some

limitations.

The present work aims to study these types of models, by implementing them

computationally, in order to solve a reference problem – the Poiseuille flow between straight, parallel

and infinite walls – for both isothermal conditions and constant heat flux or constant temperature

imposed at the walls.

Models for solving both the hydrodynamic and thermal part of the flows, as well as the

respective boundary condition schemes, are presented for the problem under study.

The results for the study of the isothermal form of the problem are compared with the

analytical solution and, for the majority of the boundary condition schemes implemented, good

agreement between both was found.

For flows with imposed heat flux at the wall, excellent agreement was found between the

numerical and analytical solutions for a variety of values for flow parameters, with exception for the

outlet corners, where the error was significantly larger than for the rest of the domain.

For flows with imposed temperature wall, nondimensional temperature profiles were

compared with those from equivalent simulations performed with Fluent. Results appear to be in

satisfactory agreement with each other, particularly, for the Nusselt numbers.

The results obtained with the lattice Boltzmann method for non-isothermal flows show their

consistency and are encouraging for future work.

Keywords: numerical methods, lattice Boltzmann method, thermal lattice Boltzmann method,

boundary conditions, 2D Poiseuille flow, heat transfer

iv

Índice

Agradecimentos __________________________________________________________________ i

Resumo _______________________________________________________________________ ii

Abstract _______________________________________________________________________ iii

Lista de Figuras _________________________________________________________________ vi

Lista de tabelas _________________________________________________________________ ix

Nomenclatura __________________________________________________________________ x

1 Introdução ______________________________________________________________ 1

1.1 Âmbito e Objectivos _______________________________________________________ 1

1.2 Revisão da literatura _______________________________________________________ 3

1.2.1 LGA ( Lattice- Gas Automata) ___________________________________________ 3

1.2.2 LBM aplicado a escoamentos isotérmicos __________________________________ 4

1.2.3 LBM aplicado a escoamentos não-isotérmicos _______________________________ 6

1.2.4 Modelação clássica para o caso de estudo ___________________________________ 8

1.3 Contribuições da presente tese _______________________________________________ 9

1.4 Estrutura da tese _________________________________________________________ 10

2 Fundamentos do LBM para escoamentos isotérmicos ___________________________ 11

2.1 Teoria e método __________________________________________________________ 11

2.1.1 Discretização da equação de Boltzmann ___________________________________ 12

2.1.2 A lattice ____________________________________________________________ 14

2.1.3 Expansão de Chapman-Enskog: da LBGK a Navier Stokes ____________________ 15

2.1.4 Condições de fronteira _________________________________________________ 17

2.2 Resultados para escoamento de Poiseuille _____________________________________ 21

2.2.1 Condições de fronteira periódicas (escoamento completamente desenvolvido) _____ 23

2.2.2 Condições de fronteira de velocidade de Zou He (entrada) ____________________ 25

2.2.3 Condições de fronteira de pressão de Zou He (entrada/saída) em escoamento

completamente desenvolvido ___________________________________________________ 29

2.3 Síntese conclusiva ________________________________________________________ 33

3 LBM para escoamentos não-isotérmicos ______________________________________ 34

3.1 Função distribuição _____________________________________________________ 34

3.2 Modelo não-isotérmico discreto _____________________________________________ 35

3.3 Expansão de Chapman-Enskog ______________________________________________ 38

3.4 Condições de fonteira _____________________________________________________ 38

v

3.5 Solução analítica para campo de temperaturas com fluxo imposto na parede __________ 40

3.6 Resultados e discussão ____________________________________________________ 43

3.6.1 Resultados com CF de fluxo imposto _____________________________________ 45

3.6.2 Resultados com CF de temperatura imposta ________________________________ 54

4 Conclusões ____________________________________________________________ 61

4.1 Sintese conclusiva ________________________________________________________ 61

4.2 Propostas de trabalho futuro ________________________________________________ 64

5 Bibliografia ____________________________________________________________ 65

vi

Lista de Figuras

Figura 1.1 - Domínio e lattice no LGA ................................................................................................................... 3

Figura 1.2 - Escoamento de Poiseuille 2D entre duas placas .................................................................................. 8

Figura 2.1 - Estrutura do modelo da lattice D2Q9 ................................................................................................ 15

Figura 2.2 - Domínio com uma fronteira com uma lattice D2Q9. Adaptado de [1]. .................................... 18

Figura 2.3 –Representação esquemática do algoritmo que as condições de bounceback seguem para o (a)

esquema fullway e o (b) esquema halfway. representa o domínio e representa a fronteira. Adaptado de

[1]. ................................................................................................................................................................ 19

Figura 2.4 - Domínio computacional com uma topologia plana visto com uma topologia cilíncrica, indicando que

existe uma força periódica na direcção em que o domínio é flectido. .......................................................... 21

Figura 2.5 - Dimensões do domínio. X e Y representam a dimensão em número de nós ..................................... 22

Figura 2.6 - Ordem de convergência para CF periódicas com bounceback nas paredes e com valores de 0.6 e

0.9 ................................................................................................................................................................. 24

Figura 2.7 - Comparação entre os perfis numérico e analítico com bounceback na parede e CF periódicas ........ 24

Figura 2.8 - Campo de velocidades num escoamento desenvolvido em todo o domínio. ..................................... 25

Figura 2.9 - Ordem de convergência com CF de velocidade com Zou He nas paredes, para Re=20. A escala é

logarítmica para ambos os eixos................................................................................................................... 27

Figura 2.10 – Campo de velocidades com perfil uniforme de velocidade à entrada. ............................................ 27

Figura 2.11 - Queda de pressão ao longo do domínio, numa linha de nós no centro do canal, quando é imposto

um perfil de velocidades uniforme à entrada. ............................................................................................... 28

Figura 2.12 - Ordem de convergência para CF de velocidade e Zou He nas paredes, Re=20. A escala é

logarítmica para ambos os eixos................................................................................................................... 29

Figura 2.13 - Campo de velocidades para diferença de pressão entre entrada e saída e bounceback nas paredes. 30

Figura 2.14 - Evolução da pressão ( a menos de uma constante) numa linha de nós longitudinal (sentido do

escoamento) a meio do canal. ....................................................................................................................... 31

Figura 2.15 - Campos de velocidade para diferença de pressão entre entrada e saída. A figura da esquerda ilustra

o campo para uma malha de 60x20 nós e a da direita uma malha de 120x40 nós. Resultados específicos

para tempo de relaxação aqui apelidado de mágico e Re=20. ...................................................................... 31

vii

Figura 2.16 – Componente y da velocidade quando é imposta diferença de pressão à entrada e saída e é aplicado

o esquema de Zou He nas paredes. ............................................................................................................... 32

Figura 3.1- Balanço de energia a volume de controle ........................................................................................... 41

Figura 3.2 – Linhas isotérmicas na região termicamente desenvolvida, obtido analiticamente, para um

escoamento com fluxo imposto na parede. ................................................................................................... 45

Figura 3.3 – Linhas isotérmicas, na região termicamente desenvolvida do domínio, resultante das simulações

numéricas do escoamento com fluxo imposto na parede. Simulação obtida para ,

, , 120x40 nós. .......................................................................................................... 46

Figura 3.4 - Evolução da temperatura média (Tmédia) e da temperatura na superfície do canal (Tparede) nas

simulações de escoamentos com fluxo imposto na parede. .......................................................................... 47

Figura 3.5 – Linhas isotérmicas calculadas numericamente para um domínio de 120x40 nós e os seguintes

parâmetros: , , , . ........................................................................... 47

Figura 3.6 - Valor do erro dos nós na região termicamente desenvolvida nos quais este foi calculado, para uma

simulação com 120x40 nós, , , , . .................................................. 48

Figura 3.7 - Ordem de convergência para valores de 0.2, 0.3 e 0.4 para o tempo de relaxação , e ,

, ................................................................................................................................... 50

Figura 3.8 - Perfis de temperatura calculados analítica e numericamente numa secção transversal da região

termicamente desenvolvida. Parâmetros de simulação: 120x40 nós, , , ,

. ..................................................................................................................................................... 50

Figura 3.9 - Campo de temperaturas para um domínio de 240x40 nós e os seguintes parâmetros: ,

, , . ................................................................................................................ 51

Figura 3.10 – Linhas isotérmicas de para um escoamento com um número de Prandtl ................... 52

Figura 3.11 - Comparação dos perfis de para simulações do mesmo escoamento usando o software Fluent e o

código de LBM produzido. Os parâmetros da simulação são: , , , ,

. ..................................................................................................................................................... 55

Figura 3.12 - Resultados de para diferentes tempos de relaxação , para um domínio com 300x100nós,

, , , .............................................................................................. 55

Figura 3.13 - Perfis de para diferentes números de nós em Y, mantendo o aspect ratio, para .......... 56

Figura 3.14 - Perfis de para diferentes números de nós em Y, mantendo o aspect ratio, para .......... 56

viii

Figura 3.15 - Perfis de para e obtidos das simulações de Fluent e do código de LBM ........ 57

Figura 3.16 - Perfis de teta para e obtidos das simulações de Fluent e do código de LBM ..... 57

Figura 3.17 - Detalhe do centro do perfil para escoamentos com diferentes números de Prandtl das figuras (a)

3.15 e (b)3.16 ............................................................................................................................................... 57

Figura 3.18 - Perfis de para obtidos através do Fluent e do código de LBM ..................................... 58

Figura 3.19- linhas isotérmicas típico para as várias simulações de LBM ........................................................ 58

Figura 3.20 – Linhas isotérmicas para uma simulação com Re=10. ..................................................................... 59

Figura 3.21 – Linhas isotérmicas para uma simulação com Re=40 ...................................................................... 59

ix

Lista de tabelas

Tabela 2.1 – Erro(%) e ordem de convergência para CF periódicas e bounceback nas paredes ........................... 23

Tabela 2.2 - Erro(%) e ordem de convergência para CF de velocidade e bounceback nas paredes ...................... 26

Tabela 2.3 – Tabela 2.4 - Erro(%) e ordem de convergência para CF de velocidade e Zou He nas paredes ........ 28

Tabela 3.1 - Erro(%) em função do número de nós do domínio e dos valores dos tempos de relaxação .............. 49

Tabela 3.2 - Variação do valor do erro(%) com o Re, para simulações com , , ,

domínio de 120x40 nós. ............................................................................................................................... 51

Tabela 3.3 - Variação do erro(%) com o número de Prandtl em simulações com , ,

, domínio de 120x40 nós ............................................................................................................... 52

Tabela 3.4 - Variação do erro(%) com o aumento do valor do fluxo imposto num domínio com 120x40 nós e

, ...................................................................................................................... 53

Tabela 3.5 - Valor do número de Nusselt para diferentes discretizações do domínio para , ,

....................................................................................................................................... 53

x

Nomenclatura

Força por unidade de massa

Intensidade da velocidade discreta

Calor específico

Velocidade do som na lattice

Dimensão do espaço

Diâmetro hidráulico

Energia interna

Função distribuição

Função distribuição de equilíbrio

Função distribuição de não equilíbrio

Termo da força externa

Função distribuição de energia interna

Meia distância entre as placas

Coeficiente de convecção

Matriz identidade

Condutividade térmica

Caudal mássico

Vector booleano

Pressão

Fluxo de calor

Termo de fonte de calor

Constante do gases perfeitos

Instante de tempo

Temperatura

Temperatura média

Temperatura média inicial

Temperatura na superfície

Vector velocidade

Componentes x e y do vector velocidade

Vector da velocidade na fronteira

Velocidade máxima

Pesos da lattice

Vector de posição

X Número de nós londitudinais num domínio

xi

Símbolos gregos

Difusividade térmica

Domínio

Fronteira do domínio

Passo no tempo

Passo espacial

Operador de colisão no LGA

Número de Knudsen

Temperatura adimensional

Viscosidade dinâmica

Viscosidade cinemática

Velocidade discreta da lattice

Fluxo de quantidade de movimento

Densidade

Densidade inicial

Massa volúmica

Tempo de relaxação para evolução de

Tempo de relaxação par a evolução de

Termo da dissipação viscosa

Operador colisão para evolução de

Operadores matemáticos

Coordenadas do vector de posição

Y Número de nós transversais num domínio

Termo discreto da dissipação viscosa

Derivada parcial em ordem ao tempo

Derivada total em ordem a

Derivada Lagrangiana

Operador gradiente

Operador divergência

Operador integral

Operador somatório

xii

Números adimensionais

Número de Reynolds

Número de Prandtl

Número de Nusselt

Número de Knudsen

1

1 Introdução

1.1 Âmbito e Objectivos

Nos tempos actuais, o progresso científico processa-se a um ritmo célere, novas tecnologias

são desenvolvidas, novos desafios para a engenharia surgem constantemente. Como consequência, há

necessidade de estudar problemas mais complexos, e num paradigma diferente. A tecnologia tende

continuamente para um nível de sofisticação maior, acompanhada de miniaturização de componentes,

utilização de novos materias, necessidades energéticas e de eficiência diferentes, entre outros aspectos.

Em áreas como a micro-electrónica ou a bioengenharia, têm surgido desafios objectivos

relacionados com o estudo de alguns fenómenos no âmbito da mecânica dos fluídos e da transmissão

de calor, para os quais se reconhecem limitações dos métodos numéricos convencionais de reproduzir

esses fenómenos de forma satisfatória[1][2].

Por outro lado, tem-se assistido a uma mudança de paradigma na computação na última

década. Até cerca de 2004, o objectivo no desenvolvimento de processadores foi aumentar a sua

frequência, reduzindo assim o tempo que uma operação algébrica levaria a ser realizada. No entanto,

chegou-se a um ponto em que a potência consumida e dissipada como calor se tornaram

economicamente inviáveis – o chamado speed/power-tradeoff. E é neste contexto que a computação

paralela ganha uma importância central na comercialização de hardware, e por sua vez no cálculo

numérico[3].

A computação paralela tem associada a si duas vantagens importantes: execução de tarefas,

ou em simultâneo em cada núcleo de processamento, ou em paralelo; e existência de um ponto de

dissipação de calor por cada núcleo de processamento. Contudo, também comporta a exigência de que

os processos requeiram pouca potência de processamento ou que sejam paralelizáveis.

Neste contexto, surge um método numérico como ferramenta útil e capaz de dar resposta a

muitos destes desafios – o método de lattice Boltzmann (LBM – Lattice Boltzmann Method).

Nos métodos numéricos tradicionais, a forma de obter o valor das quantidades macroscópicas

(temperatura, velocidade, etc) passa por resolver, de forma discreta, balanços dessas mesmas

quantidades num volume de controlo, como é o caso das equações de Navier Stokes. Por sua vez, o

LBM é baseado numa equação da cinética microscópica [4] – a equação de Boltzmann – que resolve a

evolução de uma única entidade idealizada: a função distribuição de partículas, 1, também

1 representa um conjunto de partículas que se encontram numa posição e se movimentam a uma velocidade

no instante .

2

chamada função distribuição de densidade. É a partir dos momentos de velocidade microscópica dessa

função distribuição que são calculadas, posteriormente, quaisquer variáveis macroscópicas.

A ideia subjacente à resolução desta equação, e ao próprio LBM, é de que o comportamento

colectivo das partículas (moléculas, átomos, etc)2, na sua movimentação e colisões entre si, reproduz

assimptoticamente o comportamento de um escoamento sem ser afectado pelos detalhes da física

microscópica [1].

Enquanto método numérico, o LBM destaca-se sobretudo pelas seguintes vantagens [5][6]:

O operador de transporte convectivo (ou processo de propagação) do LBM no espaço de

velocidades é linear. Só o processo de colisão, que é local, tem termos não lineares;

Existe uma equação explícita para a pressão, ao contrário dos métodos tradicionais em que

é necessário resolver uma equação de Poisson;

Condições de fronteira complexas podem sem formuladas por um conjunto de regras

simples;

O código computacional é simples e virtualmente 100% paralelizável.

Ainda que o número de utilizadores do LBM seja ainda algo limitado, estas vantagens têm tido

um contributo muito relevante para a sua crescente popularidade, com destaque para o aspecto da

paralelização, visto ser um assunto com crescente interesse na comunidade de desenvolvimento de

CFD (em particular a utilização de GPU’s3). No entanto, apesar da sua contribuição para a

popularização do LBM, estas vantagens só são relevantes na medida em que a precisão do método se

verifica de facto.

Cerca de 25 anos após a sua introdução, essa precisão pode ser reconhecida nos vários tipos de

problemas que o LBM é capaz de resolver, quer para casos de referência, quer para problemas reais de

engenharia, tais como escoamentos em meios porosos, partículas em suspensão, escoamentos

multifásicos ou escoamentos turbulentos [2]. Contudo, este aparente sucesso encontra-se limitado

ainda a problemas isotérmicos.

No que diz respeito à resolução de problemas não isotérmicos, este método apresenta ainda

falta de soluções satisfatórias, capazes de competir com os métodos convencionais. As limitações que

possui estão relacionadas, sobretudo, com a instabilidade numérica, forma de inclusão de termos de

fonte e implementação de condições de fronteira que não de Dirichlet para superfícies com geometrias

complexas[7].

Neste âmbito, o presente trabalho tem como objectivo o estudo e a implementação

computacional de modelos do LBM, com foco especial em modelos para escoamentos não-

isotérmicos, e a sua verificação com soluções analíticas ou numéricas existentes. Em particular, será

resolvido um caso de referência, o escoamento de Haggen-Poiseuille, quer em condições isotérmicas

2 A escala em que se estuda o comportamento colectivo das moléculas é designada mesoescala.

3 GPU é a sigla inglesa para Unidade de Processamento Gráfico, um tipo de microprocessador que integra as placas gráficas

utilizadas nos computadores pessoais, e que chega a conter centenas de núcleos de processamento.

3

para aferição deste modelo, quer no caso de haver imposição de temperatura ou fluxo constantes nas

paredes.

1.2 Revisão da literatura

1.2.1 LGA ( Lattice- Gas Automata)

O LBM nasce a partir do LGA (Lattice-Gas Automata), um modelo boleano de propagação e

colisão de partículas, com vista a obter soluções numéricas para equações de conservação de massa e

balanço de quantidade de movimento. A ideia sustentadora do LGA é de que, num domínio

discretizado em N pontos, como o exemplificado na Figura 1.1, a informação é transmitida de uns nós

para os outros (na forma de partículas) através de processos de propagação e colisão, numa estrutura

chamada lattice[8].

A lattice pode ser encarada como um campo de velocidades discreto em torno de um nó do

domínio que liga esse mesmo nó aos nós da vizinhança. Exemplificando a partir da Figura 1.1, se cada

nó tem 6 nós na sua vizinhança, então é necessária uma lattice com 6 velocidades discretas ( ).

É importante salientar que a estrutura da lattice é definida com base num conjunto de

constrangimentos, definidos na literatura [9], deduzidos para garantir que a lattice possua a simetria

necessária e, assim, possa recuperar assimptoticamente o comportamento da EDP4 que se pretende

reproduzir. O resultado destes constrangimentos é uma estrutura que possui um número determinado

de velocidades discretas, às quais são atribuídas um peso, uma direcção e um sentido. A norma destas

velocidades é sempre a distância entre nós a dividir pelo passo no tempo.

Figura 1.1 - Domínio e lattice no LGA

4 EDP – Equação Diferencial Parcial

4

Neste método, cada nó do domínio é caracterizado por um vector de dimensão igual ao

número de velocidades da lattice, e que contém uma informação booleana ( = 1 ou 0) dependente de

haver ou não uma partícula a mover-se na direcção .

O modelo desenvolve-se em dois passos espaciais por cada passo no tempo: a propagação das

partículas, em que estas se deslocam de uns nós para os outros vizinhos; a colisão, que resulta do

encontro de várias partículas no mesmo nó, e que determina qual será o destino dessas mesmas

partículas no passo de tempo seguinte. A colisão no LGA obedece também a um conjunto de regras

definidas na literatura[10], que garantem a conservação do número de partículas e a quantidade de

movimento linear. A equação que rege estes dois fenómenos e, consequentemente, o LGA apresenta-

se a seguir:

(1.1)

Esta equação, exemplificando a partir da Figura 1.1, diz que o valor da posição no vector

no ponto A, no intante , é igual ao valor de no ponto B (para o caso de ), no intante ,

afectado pelo efeito da colisão - (operador da colisão na direcção ).

1.2.2 LBM aplicado a escoamentos isotérmicos

O primeiro aparecimento do LBM data a 1988, em que os autores McNamara e Zanetti[11]

usaram a estrutura e o conceito do LGA, mas substituíram a entidade booleana , responsável pelo

ruído estatístico que inviabilizava muitas das suas soluções, por uma entidade contínua: a função

distribuição de partículas . Os autores propuseram também que a evolução da função

distribuição fosse regida por uma equação de Boltzmann, derivada a partir do lattice-gas. Foi então

proposta a equação que deve reger o LBM:

(1.2)

A base do LBM só é de facto concluída quando é introduzido um modelo de colisão viável na

equação 1.2, capaz de substituir os modelos utilizados no LGA: o modelo de colisão BGK[12]5. Este

modelo é recuperado do trabalho produzido por Bhatnagar, Gross e Krook na década de 1950 [13], e

baseia-se na ideia de que a função distribuição se aproxima do seu equilíbrio a um ritmo definido por

um tempo de relaxação , sendo essa aproximação tanto mais rápida quando menor for o número de

colisões; esse estado de equilíbrio é descrito pela distribuição de equilíbrio de Maxwell-Boltzmann6.

Este modelo permitiu conferir uma formulação simples para aquele que é o termo da equação mais

complexo de resolver - o termo da colisão7.

5 O modelo de colisão BGK tem a seguinte expressão:

;

6 Equação de equilíbrio de Maxwell-Boltzmann:

⁄ (

)

7 O modelo de colisão BGK e as equações das notas anteriores serão formalmente apresentados no capítulo 2.

5

À semelhança da equação em que se baseia o método, também a estrutura da lattice foi alvo de

uma investigação derivada da que já havia sido feita para o LGA[14], tendo sido propostas novas

estruturas, particularmente em 3D[15]. Algumas das novas propostas vieram mesmo com

modificações nas próprias definições do modelo base do LBM, como é o caso do modelo

incompressível D2Q9i8, que propõe uma definição particular do momento estatístico de primeira

ordem da função distribuição, e não somente a estrutura[16]. Todo o trabalho em busca das estruturas

mais estáveis, e que melhor capturem a física dos escoamentos, têm por base regras muito semelhantes

às definidas para o LGA[17].

Uma das contribuições fundamentais que viabiliza o uso deste método, sendo uma presença

constante nos vários artigos publicados sobre o assunto, é a utilização da expansão de Chapman-

Enskog. A expansão de Chapman-Enskog é uma expansão multi-escala que permite recuperar as

equações de Navier Stokes, no limite incompressível, a partir da equação de lattice Boltzmann. O

recurso a esta ferramenta permite não só fazer uma verificação teórica do modelo, mas também obter

uma relação entre o tempo de relaxação (presente no modelo BGK) e a viscosidade cinemática, e obter

uma equação de estado para a pressão em função da densidade[18].

A estas contribuições basilares seguiram-se muitos desenvolvimentos importantes na

concepção de condições de fronteira durante toda a década seguinte (inícios de 1990 até inícios de

2000).

O primeiro grande desenvolvimento foram as condições de fronteira bounceback para

condições de não escorregamento, e que se baseia na ideia de que a partícula que colide com a parede

é devolvida com o sentido oposto ao nó de onde partiu[19,20]. É ainda hoje o tipo de condição de

fronteira mais popular pela sua simplicidade de implementação e adequação para simulações em

geometrias complexas, tais como os meios porosos[2]. Encerra, no entanto, a desvantagem de não

possuir precisão de segunda ordem a não ser para alguns casos de geometrias simples nas

fronteiras[21].

Outras condições de fronteira foram entretanto desenvolvidas, entre as quais as mais populares

são a condição de fronteira por extrapolação[6], extrapolação de não equilíbrio[22], condição de

counter-slip velocity[23], e condições de fronteira de “Zou He”[24], em alusão aos autores. Destacam-

se as últimas, muito utilizadas por terem precisão de segunda ordem e capazes de modelar condições

de fronteira de não escorregamento, de pressão e de velocidade, e de lidarem correctamente com a

modelação dos cantos do domínio físico.

Foram também propostas condições de fronteira para geometrias de paredes curvas, as quais

ficaram consolidadas com o trabalho de Filippova e Hänel por terem-nas estabeleceram com precisão

de segunda ordem[25]. Vários trabalhos lhe sucederam, propondo também soluções com o mesmo

nível de precisão, mas com diferentes abordagens de modo a simplificar a sua implementação[26,27].

8 Esta nomenclatura significa que o modelo é baseado numa lattice com 9 direcções (Q9) num espaço bidimensional (D2)

6

As condições de fronteira periódicas são também muito utilizadas pela sua simplicidade e

robustez, e consistem em substituir o gradiente de pressão por uma força volúmica constante aplicada

ao fluido[28,29]. Especialmente no teste de condições de fronteira em problemas de referência elas são

muito utilizadas pela capacidade que têm de não fazer variar a densidade, evitando assim os erros de

compressibilidade[30].

No contexto do uso de LBM para modelar escoamentos em microfluídica, em números de Kn

(Knudsen)9 da ordem de 10

-3 ou maior, existe a necessidade de condições de fronteira que modelem o

fenómeno de escorregamento na parede, de modo que as mesmas também têm sido desenvolvidas e

muito trabalho tem sido activamente feito para simular as várias condições com diferentes números de

Knudsen[31].

Um campo de investigação que pode tornar ainda mais predominante as condições de fronteira

de bounceback é o que envolve os chamados magic numbers[32]. Os magic numbers são valores

específicos para o tempo de relaxação que anulam os erros de segunda ordem, e que existem,

teoricamente, para cada escoamento estacionário e condições de fronteira específicas. Apenas existem

alguns destes números deduzidos para casos de referência, fazendo desta uma área que carece de

muita investigação.

1.2.3 LBM aplicado a escoamentos não-isotérmicos

A aplicação do LBM a escoamentos não isotérmicos foi estudada pela primeira vez por

Alexander e co-autores[33], em cujo trabalho os autores recuperam também a equação de conservação

de energia a partir da equação de Boltzmann (com o modelo de colisão BGK), através de uma

expansão de Chapman-Enskog. A estratégia, utilizada pelos autores, de assim recuperar a equação de

energia e construir um modelo LBM térmico (TLBM – Thermal Lattice Boltzmann Merthod) insere-se

na categoria chamada Multispeed (MS).

Os vários modelos que são estudados são classificados na literatura em três categorias [7]: a

Multispeed (já referida), a dupla função distribuição (Double Distribution Function – DDF) e a

híbrida.

A abordagem do tipo MS baseia-se em utilizar apenas uma função distribuição de

probabilidade, a mesma utilizada para recuperar o campo de velocidades, calculando a energia interna

a partir do segundo momento estatístico da chamada peculiar velocity (diferença entre a velocidade da

lattice e a velocidade em cada nó)[33,34].

Os modelos MS sofrem de várias desvantagens, como a instabilidade numérica, uma gama

limitada de temperaturas de trabalho e número de Prandtl fixo, já que a difusividade térmica e a

viscosidade dependem do mesmo tempo de relaxação[35].

9 O número de Knudsen é um número adimensional definido como sendo o rácio entre o chamado mean free path, ou

distância média percorrida por uma molécula até encontrar outra, e uma dimensão característica do escoamento.

7

Os modelos que se inserem na categoria híbrida englobam todos aqueles que visam resolver a

parte hidrodinâmica com o LBM e resolvem a equação da energia através de outro método numérico,

como as diferenças finitas ou os volumes finitos. Esta estratégia é pouco interessante pois acaba por

invalidar as vantagens intrínsecas de um sistema exclusivamente lattice Boltzmann, e em nada

acrescenta ao desenvolvimento de modelos TLBM adequados para aplicações de engenharia.

A última categoria (DDF), largamente a mais utilizada, consiste em utilizar duas funções

distribuição diferentes, uma para calcular a densidade e a velocidade e outra para calcular a

temperatura e o fluxo de calor.

Pode dividir-se esta categoria em duas sub-categorias. Numa sub-categoria, a temperatura é

tratada como um escalar passivo; noutra, a temperatura é um parâmetro que afecta de facto o

escoamento. A abordagem de tratar a temperatura como um escalar passivo surgiu primeiro[36,37],

vindo dar uma resposta à instabilidade numérica produzida pelos modelos MS, e capaz de produzir

soluções precisas para vários problemas de referência (benchmark problems)[37,38] .

No entanto, os modelos que tratam a temperatura apenas como um escalar passivo são

incapazes de reproduzir os fenómenos de dissipação viscosa e trabalho por compressão. Surgiu, por

isso, a necessidade de completar os modelos deste tipo, para os quais o trabalho de He et al. [39] é

uma referência. Estes autores foram os primeiros a propor um modelo que captasse os efeitos destes

fenómenos, recorrendo à simulação directa da evolução da energia interna através de uma nova função

de distribuição dessa variável. Esta função distribuição foi definida a partir da função distribuição

original e, ao ser introduzida na equação de Boltzmann, é possível obter uma equação que reja a sua

evolução, onde estão presentes os termos responsáveis pela dissipação viscosa.

Alguns trabalhos foram feitos no sentido de simplificar o modelo de He et al.[39], com foco

especial nesse termo da dissipação viscosa, cuja resolução é computacionalmente mais exigente e mais

complexo na definição de condições de fronteira[40]. Alguns autores propuseram uma nova função

distribuição de energia total, em vez de energia interna, como alternativa para um modelo mais

simples na simulação deste fenómeno[41,42].

Grande parte do trabalho desenvolvido nos últimos 15 anos sobre os modelos TLBM centra-se

em encontrar condições de fronteira adequadas, sendo na sua maioria baseado nos esquemas já

propostos para os modelos isotérmicos.

O princípio da distribuição de não equilíbrio, já utilizado para condições de fronteira

hidrodinâmicas[24], foi o primeiro a ser estendido a este tipo de modelos, e a sua utilização repete-se

por alguns autores[39,43].

No que diz respeito a modelar paredes rectas, as condições de fronteira de Dirichlet e

Neumann introduzidas por D’Orazio et al [44,45] e D’Orazio e Succi[46], baseadas nas condições de

fronteira de counter-slip, conseguiram a maior precisão para os problemas de referência estudados,

pois têm a capacidade de fixar a temperatura ou fluxo de calor com total exactidão[47].

8

Condições de fronteira para geometrias arbitrárias, baseadas no trabalho já alcançado para

condições de fronteira hidrodinâmicas[27], foram introduzidas por Tang et al.[47] e utilizadas por

outros autores, invocando boa concordância com as soluções analíticas de problemas de

referência[41].

Mais recentemente, Chen et al. [7] expõem a dificuldade de integrar termos fontes nos

modelos térmicos de LB e de impôr condições de fronteira que não de Drichlet em sistemas térmicos

complexos, evidenciando o muito que há ainda por desenvolver, dando seguimento ao modelo que

utiliza a função distribuição de energia total.

Noutra abordagem recente, Li et al[48] recuperaram as ideias de bounde-back para

desenvolver condições de fronteira para geometrias curvas e obtiveram precisão para o campo de

temperaturas de 2ª ordem, com condições de fronteira de Dirichlet, e 1ª ordem para CF de Neumann.

Todo o trabalho que é desenvolvido para o campo de temperaturas é extremamente útil em

simultâneo para o estudo de concentrações e transporte de massa, já que em ambos os casos o

objectivo é resolver uma equação de convecção-difusão. Se tanto a concentração como a temperatura

forem tratados como escalares transportados, pode aplicar-se um modelo igual para ambos no caso das

condições de fronteira serem apenas de Dirichlet ou Neumann, e não existirem termos de fonte. As

diferenças surgem apenas quando se impõe que a concentração ou a temperatura influenciem o

escoamento. O trabalho de Zhang et al. ilustra bem este aspecto[49].

1.2.4 Modelação clássica para o caso de estudo

O trabalho desta tese, como foi já referido, assenta na implementação de modelos de LBM que

resolvam o escoamento de Hagen-Poiseuille entre duas placas planas, paralelas e infinitas a duas

dimensões, um problema de referência na literatura clássica de fenómenos de transporte.

Figura 1.2 - Escoamento de Poiseuille 2D entre duas placas

A equação que resolve o campo de velocidades deste escoamento é deduzida em inúmeras

referências na literatura. Essa dedução é feita a partir dos balanços de massa e quantidade de

movimento para escoamento incompressível com viscosidade constante, respectivamente expressas

por,

9

(1.3)

(1.4)

e com base nas seguintes hipóteses simplificativas: escoamento completamente desenvolvido;

escoamento estacionário; e condição de não-escorregamento na parede.

Se as equações 1.3 e 1.4 forem resolvidas com base na representação da Figura 1.2 do

problema, o perfil de velocidades toma a seguinte forma:

(1.5)

em que

é o gradiente de pressão imposto (constante).

No que se refere à resolução do campo de temperaturas para a geometria da Figura 1.2, foram

tentadas as deduções das respectivas soluções analíticas, para ser possível comparar posteriormente os

resultados do modelo numérico de LBM com essas soluções. Salienta-se que essa dedução só foi

possível para o caso de fluxo imposto na parede; no caso de temperatura imposta, revelou-se

impossível obtê-la.

1.3 Contribuições da presente tese

Na sequência do que foi apresentado na revisão da literatura, ficou patente que os modelos

LBM que resolvem escoamentos não-isotérmicos precisam ainda de desenvolvimento para se poderem

afirmar com o mesmo sucesso que os modelos para escoamentos isotérmicos.

Nesse âmbito, o trabalho desta tese procura dar contribuições para o estudo de modelos TLBM

num caso de referência – o escoamento de Poiseuille – não testado na literatura nas condições em que

este foi testado na presente tese.

As principais contribuições que esta tese traz estão relacionadas com a resolução do campo de

temperaturas do escoamento, na situação em que existe fluxo constante na parede. Na literatura não

foram encontrados resultados para a resolução deste problema, resultados esses que esta tese vem

trazer. Uma contribuição importante é a detecção de uma lacuna na modelação dos cantos do domínio

físico quando se verifica esta condição de fronteira de fluxo imposto, e uma tentativa de resolver esse

mesmo problema. De facto, detectou-se que a proposta de modelação dos cantos do domínio,

enquadrada no esquema de condições de fronteira utilizado, permite apenas ser utilizada para impor

uma condição de temperatura constante, o que indica a necessidade de explorar o conceito do qual

deriva o esquema de condições de fronteira de modo a solucionar o problema.

10

No âmbito do estudo do escoamento com fluxo imposto na parede, surge também uma

pequena contribuição com a dedução teórica da equação que descreve o campo de temperaturas para

um escoamento entre duas placas, paralelas e infinitas, com fluxo imposto na parede.

No que diz respeito ao escoamento com temperatura constante nas paredes, os resultados

reportados na literatura apresentam habitualmente o caso em que a temperatura do escoamento apenas

difere da temperatura da parede devido à contribuição da dissipação viscosa, não representando a sua

evolução desde a região de desenvolvimento térmico mas apenas numa região longe da entrada.

Outra contribuição que esta tese traz são resultados relativamente à simulação de escoamentos

com condições de fronteira de velocidade à entrada e saída, utilizando o esquema de Zou He em todas

as fronteiras do domínio.

1.4 Estrutura da tese

Conclui-se aqui o primeiro capítulo onde foram expostos o âmbito e objectivos do trabalho

desenvolvido nesta tese, uma revisão do trabalho desenvolvido na área dos modelos de LBM e TLBM

reportado na literatura, e as contribuições que este trabalho pretende trazer.

A restante estrutura da tese será constituída por mais três capítulos. O capítulo seguinte –

capítulo 2 – tratará os fundamentos do LBM em escoamentos isotérmicos, em que será apresentada a

dedução teórica do modelo e esquemas de condições de fronteira que sustentam a resolução deste tipo

de escoamentos. Segue-se a isto uma exposição dos resultados da implementação do modelo deduzido

e a sua respectiva discussão. O capítulo é finalizado com uma síntese conclusiva, salientando quais os

resultados que são importantes reter para a resolução dos escoamentos não-isotérmicos no capítulo

seguinte.

No capítulo 3 será exposto o trabalho central desta tese, ou seja, o modelo e esquema de

condições de fronteira para a resolução de escoamentos não-isotérmicos. O esquema de condições de

fronteira apresentado tem já em vista a resolução dos problemas que se pretende resolver: escoamento

com condição de fluxo ou temperatura impostos na parede. É também exposta a dedução do modelo

analítico para resolver o escoamento com fluxo imposto em condições termicamente desenvolvidas.

Os resultados da sua implementação e a sua discussão finalizam o capítulo

No último capítulo – capítulo 4 - é dada uma visão global e conclusiva dos resultados obtidos

e são deixadas sugestões de trabalho futuro na continuação do que foi desenvolvido nesta tese.

11

2 Fundamentos do LBM para

escoamentos isotérmicos

Neste capítulo serão descritos os modelos teóricos de LBM que sustentam o trabalho

desenvolvido nesta tese para a resolução de escoamentos isotérmicos, servindo também como capítulo

de base para a introdução das bases do LBM. Será deduzida a ligação entre a equação de lattice

Boltzmann e os balanços de continuidade e quantidade de movimento, através de uma expansão multi-

escala, e introduzidas as condições de fronteira implementadas no decorrer deste trabalho. O capítulo

será finalizado com a apresentação dos resultados obtidos na implementação do modelo e esquemas de

condições de fronteira nele descritos. Estes resultados serão todos acompanhados da respectiva

discussão. Este capítulo proporciona também as ferramentas para deduzir os modelos para

escoamentos não-isotérmicos e resolver a sua parte hidrodinâmica.

2.1 Teoria e método

A equação de lattice Boltzmann vai buscar os seus fundamentos a um ramo de estudo

específico da física: a teoria cinética aplicada a gases. Este ramo da teoria cinética procura descrever o

comportamento de um gás monoatómico como um número grande de partículas, que se movem

rapidamente e que interagem entre si. Esse comportamento é descrito por uma função de distribuição

de velocidade das partículas (moléculas) - -, função essa que é responsável por caracterizar

um conjunto de partículas que se encontram na posição e se movimentam a uma velocidade no

instante de tempo . A evolução desta função distribuição é regida pela equação de Boltzmann (eq.

2.1):

(2.1)

em que é a derivada lagrangiana, é o termo que traduz a acção de uma força

externa por unidade de massa, e é o termo da colisão, que representa a alteração que a função

distribuição sofre devido à interacção entre partículas. No contexto desta equação, o termo de colisão

tem que obedecer às seguintes regras de conservação[41]:

12

∫ (2.2a)

∫ (2.2b)

∫ (2.2c)

Este termo da colisão engloba uma física e formulação matemática complexas, traduzindo-se

originalmente num integral elaborado e dependente dos potenciais entre partículas[50], de modo que

tem de ser simplificado em aplicações práticas. O modelo mais utilizado em LBM, exactamente pela

sua simplicidade, é a aproximação de Bhatnagar, Gross e Krook[13], ou chamado operador de colisão

BGK, que estabelece,

(2.3)

em que é o tempo de relaxação e é a função distribuição de equilíbrio de Maxwell Boltzmann.

Esta última função de equilíbrio é dada por:

⁄ (

) (2.4)

Para se obterem as variáveis macroscópicas presentes na equação acima, são calculados os

momentos de velocidade da função distribuição, escritos a seguir.

∫ (2.5a)

∫ (2.5b)

∫ (2.5c)

em que é a densidade, é o vector velocidade e é a energia interna, sendo a

temperatura, a constante de gases perfeitos e o número de graus de liberdade da partícula (uma,

duas ou três dimensões).

As equações 2.1 a 2.5, introduzidas até agora, constituem um modelo contínuo de descrição da

realidade. No entanto, o objectivo é obter um modelo discreto que seja possível resolver

computacionalmente.

2.1.1 Discretização da equação de Boltzmann

A equação de lattice Boltzmann (LBE-lattice Boltzmann equation) surge quando a equação de

Boltzmann é discretizada num espaço de velocidades discreto ( , =1,2,...,N) - a lattice-, cujo

conjunto de direcções possui a simetria necessária para garantir que a física do escoamento é

correctamente representada[17]. Discretizando cada um dos termos da equação 2.1 numa direcção i[4],

obtém-se

13

(2.6)

(2.7)

em que é o passo no tempo e a distância ente dois nós consecutivos de lattice, assumindo que o

domínio tem espaçamento uniforme.

O termo que inclui a força externa requer um tratamento matemático mais cuidado. É

necessário fazer uma expansão de Hermite ao termo , de modo a obter-se a força exterior

discretizada na direcção i - identificada como - e cujas expressões para expansões de primeira e

segunda ordem são, respectivamente, [51][52]

(2.8a)

(

) (2.8b)

em que é o peso10

na direcção i, é a velocidade do som na lattice e é a matriz identidade.

Juntando todos os elementos, e reescrevendo a equação,

(

)

(2.9)

sendo , em que é o vector de norma unitária que define a direcção e

a intensidade

do vector.

(

)

(2.10)

Simplificando, obtém-se a equação de lattice Boltzmann com presença de uma força externa.

(

) (2.11)

As LBE’s que fazem uso do modelo BGK, como a equação acima, são frequentemente

chamadas de LBGK. Os modelos que as usam são também frequentemente apelidados com o mesmo

nome.

A função distribuição de equilíbrio também é discretizada[4]. O primeiro passo é expandir em

série de Taylor a equação 2.4 em u até segunda ordem ( )

⁄ (

) {

} (2.12)

10

O peso, tal como o nome indica, é o quanto “pesa” a passagem da informação numa determinada direcção, ou seja, as diferentes direcções têm diferentes contribuições para o somatório global da dinâmica da lattice.

14

Em seguida, utilizando uma quadratura de Gauss-Hermite, obtém-se a equação discretizada

para a função distribuição de equilíbrio consoante o modelo de lattice que se utilize. No caso concreto

deste trabalho, o modelo de lattice utilizado será o D2Q9, ou seja um espaço de duas dimensões com

nove direcções de velocidade, e que também possui as seguintes características11

:

Finalmente, considerando as equações 2.12 a 2.13d, a função distribuição de equilíbrio para o

modelo D2Q9, para uma direcção i, será

{

} (2.14)

A equação 2.14 só é válida para pequenos números de Mach (Ma= ), ou seja, sempre

menores que 0,1[50].

Sendo o modelo discreto, as variáveis macroscópicas são calculadas através dos momentos

estatísticos da velocidade da função distribuição, obtidos também por uma quadratura de Gauss-

Hermite.

∑

(2.15a)

∑

(2.15b)

∑

(2.15c)

2.1.2 A lattice

Como já foi referido, a discretização do espaço de velocidades é feita com recurso a uma

estrutura que define um conjunto de direcções segundo as quais a informação se pode propagar, e que

liga os vários nós do domínio entre si. Esta estrutura é denominada lattice.

A escolha da lattice deve ser sobretudo avaliada consoante a sua capacidade de reproduzir

todos os fenómenos que se pretendem captar nas simulações computacionais. Embora uma lattice

possa respeitar os critérios de simetria que lhe são exigidos a priori, a sua estrutura pode não ter

11

Só a equação 2.13d é que traduz efectivamente uma característica intrínseca ao modelo D2Q9

√ (2.13a)

(2.13b)

√ (2.13c)

(2.13d)

15

resolução suficiente para captar todos esses fenómenos que se pretendem reproduzir. Este problema

põe-se principalmente com lattices de três dimensões.

Para o trabalho desenvolvido nesta tese, optou-se por escolher a lattice D2Q9 por ser a

estrutura mais utilizada e sobre a qual assenta uma parte muito significativa do trabalho publicado em

LBM. A sua estrutura encontra-se representada na Figura 2.1 e definida nas equações 2.16 e 2.17.

Figura 2.1 - Estrutura do modelo da lattice D2Q9

Ao longo deste trabalho foi imposto que .

2.1.3 Expansão de Chapman-Enskog: da LBGK a Navier Stokes

Após ter sido exposto o modelo a utilizar no presente estudo, é necessário fazer uma

verificação teórica do mesmo. Para tal, é preciso estabelecer a ligação entre a abordagem mesoscópica

do LBM e a macroscópica ao nível dos balanços de massa e quantidade de movimento, sendo o

processo mais utilizado a expansão multi-escala de Chapman-Enskog. Esta expansão baseia-se

fundamentalmente em dividir os fenómenos difusivos e convectivos nas respectivas escalas de tempo,

e agrupar uns e outros separadamente.

{

(2.16)

{

( (

) (

))

√ ( (

) (

))

(2.17)

16

O primeiro procedimento para se alcançar o fim proposto é efectuar uma expansão de Taylor

até segunda ordem aos termos do lado esquerdo da equação 2.11.

(2.18)

Na equação anterior, o operador expressa o duplo produto interno de dois tensores

(double inner product, na literatura anglo-saxónica).

Para se efectuar a expansão multi-escala, é necessário expandir as derivadas em diferentes

escalas temporais, assim como a função distribuição, através de um parâmetro “pequeno” 12

, ao qual

se atribui normalmente o valor do número de Knudsen13

.

(2.19a)

(2.19b)

(2.19c)

A derivada espacial é expandida simplesmente até primeira ordem pois os termos de ordem

superior não são utilizados.

representa a função distribuição de equilíbrio,

(2.20)

enquanto que a soma dos restantes termos, na equação 2.19c, representa a parte de não-equilíbrio.

(2.21a)

(2.21b)

O operador de colisão é também expandido, ficando a sua expressão com a seguinte forma:

( )

(

) (2.22)

Introduzindo as equações 2.19 na equação 2.18, e dividindo em duas escalas diferentes, e ,

surgem as seguintes equações:

(2.23a)

(2.23b)

Integrando ambas as equações em todo o espaço de velocidades, obtemos as seguintes

equações adimensionais [33]:

12

e têm a mesma dimensão, o que diferencia as escalas de tempo é o parâmetro . 13

O número de Knudsen pode ser definido como o rácio, ou entre a distância média entre as moléculas (mean free path), , e a dimensão característica do escoamento, , ou entra a escala de tempo dos fenómenos

difusivos, , e a escala de tempo dos fenómenos convectivos, [1]:

17

(2.24)

(2.25)

com [50],

∑ [

(

)

] (2.26)

Para o modelo específico de lattice utilizado, recorrendo à respectiva equação da função

distribuição de equilíbrio (equação 2.14), e juntando as equações 2.25 e 2.26, a equação resultante é

( ( )) (2.27)

É possível identificar as equações 2.24 e 2.27 como a equação da continuidade e as equações

de Navier Stokes, respectivamente, em que a pressão tem a forma da seguinte equação de estado

e a viscosidade está relacionada com o tempo de relaxação pela seguinte expressão

(

) (2.28)

Uma dedução mais detalhada das equações 2.24 e 2.27, a partir da equação de lattice

Boltzmann, pode ser encontrada noutras referências [17][14].

É importante referir que a expansão de Chapman-Enskog aproxima as equações de Navier-

Stokes no limite incompressível. Isto sugere que o seu resultado, no caso da equação 2.27, estaria mais

correcto se o termo do lado direito da equação fosse em vez de [53]. Este pormenor é

importante no que toca à implementação de LBM pois obriga a que os valores da velocidade sejam

sempre baixos, a não ser quando o campo de pressões e de velocidade estejam desacopolados – caso

das condições de fronteira periódicas . Olhando a questão de outra maneira – para melhor

compreensão – veja-se como o número de Mach influencia a densidade, segundo a seguinte fórmula:

. Ora, se a densidade não é mais que a pressão adimensional a menos de uma

constante, o seu valor deve manter-se o mais próximo de possível, o que implica que o valor de Ma

seja o mais baixo possível; é a densidade inicial.

2.1.4 Condições de fronteira

No LBM, o objectivo das condições de fronteira é definir correctamente o conjunto de

populações14

que não ficaram definidas após o algoritmo de colisão e propagação estar concluído.

Essas populações situam-se nos nós das extremidades do domínio, e o seu valor é determinado de

modo a que o valor da variável macroscópica definida para cada um desses nós, ou na sua vizinhança,

14 O conjunto das várias funções de distribuição que se propagam numa direcção específica é denominado

como uma população.

18

seja o pretendido. Por exemplo, para o caso ilustrado na Figura 2.2, assumindo que a parede inferior

coincide com os nós, seria necessário definir as populações , e para todos os nós nessa parede

consoante a velocidade, ou a pressão, que se queira impôr.

Figura 2.2 - Domínio com uma fronteira com uma lattice D2Q9. Adaptado de [1].

Nas condições de fronteira que foram estudadas e utilizadas no desenvolvimento deste

trabalho, podem contar-se as condições de fronteira bounceback, condições de fronteira de Zou He e

condições de fronteira periódicas.

2.1.4.1 Condições de fronteira bounceback

As condições de fronteira de bounceback(BB) são o tipo de condições de fronteira mais antigo

e, simultaneamente, o mais amplamente utilizado, devido principalmente à sua simplicidade e

facilidade de implementação, como foi já referido. Este esquema de condições de fronteira baseia-se

na simples ideia de que uma partícula, ao bater na parede, é reflectida de volta de forma elástica. As

implicações desta ideia em termos hidrodinâmicos são a inexistência de fluxo de quantidade de

movimento a atravessar a parede, i.e. a parede é impermeável, e que não existe movimento relativo

entre o fluido e a parede, i.e. o fluido adere à parede[1]

A equação do esquema BB para uma velocidade genérica na fronteira, , numa direcção i

é[30][49]

(2.29)

em que tem o sentido oposto de . Para o caso da condição de fronteira habitual de não

escorregamento na parede, a equação 2.29 traduz-se simplesmente em

(2.30)

Apesar das várias propostas iniciais para este esquema, actualmente, apenas duas formas de

implementar condições de fronteira bounceback são utilizadas: os chamados esquemas halfway e

fullway. Em ambos os casos, a parede não coincide com os nós mas encontra-se a meio caminho entre

o nó do fluido e o nó da parede. Aquilo que distingue os dois é a particularidade de que, no esquema

19

fullway, assume-se que a partícula é reflectida durante o processo de colisão, enquanto que no

esquema halfway, assume-se que a partícula é reflectida durante o processo de propagação. A

consequência desta diferença traduz-se em que, no esquema fullway, os nós onde é aplicado este

esquema são nós da parede, e no caso halfway, são nós do fluido. A Figura 2.3 ilustra

convenientemente estes dois casos.

Figura 2.3 –Representação esquemática do algoritmo que as condições de bounceback seguem para o (a)

esquema fullway e o (b) esquema halfway. representa o domínio e representa a fronteira. Adaptado de [1].

É reconhecido que o esquema halfway é o esquema que produz resultados com melhor

precisão[24], de modo que foi o esquema escolhido para ser implementado neste trabalho15

.

O esquema bounceback sofre da desvantagem de ser formalmente um esquema com precisão

de primeira ordem[21], o que degrada a solução, visto os cálculos no resto do domínio terem precisão

de segunda ordem. A única solução para obter precisão de segunda ordem é a utilização de um tempo

de relaxação “mágico”[32] que absorva os erros de truncatura de segunda ordem, e que apenas está

deduzido para alguns casos de referência.

2.1.4.2 Condições de fronteira de Zou He

As condições de fronteira de bounceback de não equilíbrio, ou mais vulgarmente conhecidas

por condições de fronteira de Zou He, em alusão aos autores que as propuseram[24], ao contrário das

CF de bounceback, são definidas directamente nos nós do domínio. Este esquema de CF permite que

as populações que estão por determinar, sejam definidas a partir das variáveis macroscópicas

pretendidas nesses mesmos nós. O meio de as determinar é através de um conjunto de equações,

definido consoante as populações que sejam necessárias determinar.

15

Daqui em diante, qualquer referência à utilização do esquema bounceback, tem implícita a utilização do caso halfway.

20

Recuperando o exemplo da Figura 2.2 assumindo que na parede inferior existe movimento

segundo uma velocidade conhecida , é necessário determinar as populações , e .

A partir das equações 2.15a e 2.15b, obtêm-se as seguintes equações:

(2.31a)

(2.31b)

(2.31c)

Das equações 2.31a e 2.31c, chega-se a

( ) (2.32)

Para fechar o sistema, é necessário recorrer à ideia do bounceback de não equilíbrio, ou seja, que na

direcção perpendicular à parede se verifica a seguinte igualdade,

(2.33)

Como

, a equação

torna possível determinar a população

e, consequentemente, as populações e .

(2.34a)

(2.34b)

(2.34c)

Este tipo de condições de fronteira pode ser usado para impôr condições de fronteira de

pressão ou de velocidade, resolvendo-se a equação 2.32 consoante sejam conhecidas uma ou outra.

Formalmente, são condições de fronteira com precisão de segunda ordem[1].

2.1.4.3 Condições de fronteira periódicas

As CF denominadas periódicas na literatura[28] são aplicadas a problemas de escoamentos

entre placas planas paralelas e infinitas na direcção principal dos mesmos, e simulam o efeito de uma

força volúmica constante. Isto significa que em cada linha de nós na direcção de propagação do

escoamento o valor da velocidade é constante ou, noutra perspectiva, que só existe variação na sua

direcção transversal; o que significa também que o escoamento está desenvolvido em todo o domínio

na direcção principal do escoamento. Por outro lado, também tem como consequência que a condição

de saída do domínio seja igual à de entrada, como ilustra a Figura 2.4.

21

Figura 2.4 - Domínio computacional com uma topologia plana visto com uma topologia cilíndrica, indicando

que existe uma força periódica na direcção em que o domínio é flectido.

A grande vantagem deste esquema de CF, muito usada para testes de verificação de modelos

LBM, é a de não produzir erros de compressibilidade, já que o gradiente de pressão é substituído por

uma força externa, aplicada em simultâneo em todos os pontos do domínio, fazendo com que a

densidade e, consequentemente, a pressão não variem. Visto que a equação de LB aproxima as

equações de Navier Stokes no limite incompressível, é desejável que as variações no campo de

pressões sejam as menores possíveis; e são de facto nulas para este tipo de CF.

2.2 Resultados para escoamento de Poiseuille

Após terem sido apresentados os modelos e esquemas de condições fronteira para a resolução

de escoamentos isotérmicos, expõem-se aqui os resultados da sua implementação computacional para

o caso em estudo – escoamento de Poiseuille . Essa implementação foi feita integralmente com recurso

ao software Matlab.

Os resultados serão apresentados consoante as várias condições de fronteira utilizadas,

alternando sempre entre as condições de fronteira aplicadas na parede – Zou He ou bounceback – para

cada tipo de condições de entrada e saída: periódicas, velocidade ou pressão.

Algumas características de implementação são transversais a todos os resultados. Em primeiro

lugar, os códigos foram testados para escoamentos com baixos números de Reynolds, sendo apenas

expostos resultados em que foram utilizados valores deste parâmetro de 10, 20 ou 40. O número de

Reynolds foi definido da seguinte maneira,

(2.35)

em que é o diâmetro hidráulico ( ), tomando o dobro da distância entre as duas placas.

Se for calculado a partir da Figura 1.2, o seu valor será . A correspondente distância adimensional

entre as duas placas, no contexto do LBM, tem o valor do número de nós colocados na direcção

transversal ao escoamento.

22

Em termos de geometria e discretização do domínio, para os resultados que aqui se expõem,

foi utilizado uma geometria com uma razão de aspecto (X/Y) de 3, e foi-se duplicando o número de

nós na direcção Y, sucessivamente de 10 a 40 nós; isto significa que X terá um número de nós de 30 a

120.

Figura 2.5 - Dimensões do domínio. X e Y representam a dimensão em número de nós

São apresentadas simulações para 3 tempos de relaxação, sendo os seus valor 0.6, 0.9 e

√

1.08. Este último tempo de relaxação é o tempo mágico para o escoamento em estudo

quando são aplicadas CF periódicas e bounceback nas paredes. As razões para a escolha destes

valores, sendo óbvia para o caso do número mágico, no caso dos outros dois prende-se ao facto de

serem valores frequentemente testados na literatura [6,24].

Os resultados quantitativos que aqui serão expostos substanciam-se na norma || || do erro

entre a solução analítica e o perfil calculado numericamente à saída do canal simulado. Essa norma foi

calculada com base na fórmula da raiz da média quadrática,

|| || √ (

)

( )

(2.36)

A ordem de convergência foi obtida com recurso ao software Excel, retirando a informação da

equação que define a linha de tendência dos valores do erro .

O critério para atingir o estado estacionário nas simulações definiu-se da seguinte maneira,

(

)

(

)

(

)

(2.37)

(

) representa a velocidade num nó no centro do domínio no instante e

(

) representa a velocidade num nó no centro do domínio no instante .

X

Y

23

2.2.1 Condições de fronteira periódicas (escoamento completamente

desenvolvido)

Aqui são expostos os resultados da implementação de CF periódicas com CF de bounceback e

Zou He nas paredes, respectivamente.

2.2.1.1 CF de Bounceback nas paredes

Como é possível constatar na Tabela 2.1, o erro entre as soluções numérica e analítica é

independente do aumento ou diminuição do número de Reynolds do escoamento. Estes resultados são

os espectáveis pois as condições de fronteira periódicas permitem que não exista variação nos valores

da densidade, evitando assim os erros de compressibilidade. Note-se que esse erro de

compressibilidade, apesar de não se fazer sentir nesta situação, tende a aumentar com o número de

Reynolds. Isto sucede porque, se o número de nós e a viscosidade são fixados, a velocidade

característica do escoamento tem que aumentar, traduzindo-se num aumento do número de Mach.

Como foi já explicado, o número de Mach está directamente associado à magnitude do erro com que o

LBM aproxima as equações de Navier-Stokes.

Tabela 2.1 – Erro(%) e ordem de convergência para CF periódicas e bounceback nas paredes

Pode verificar-se também que a solução tem convergência de segunda ordem. Uma

representação gráfica destes resultados pode ser consultada no Figura 2.6.

Um resultado importante é o facto de o erro ser da ordem da precisão da máquina quando é

introduzido o tempo de relaxação “mágico”, para qualquer número de Reynolds dos testados. Na

Figura 2.10 pode constatar-se que os perfis analítico e numérico coincidem perfeitamente. Apesar de

não serem expostos resultados para escoamentos com outros números de Reynolds, qualquer número

que se escolha dentro de uma baixa gama levará a obter o mesmo resultado. Para números mais

elevados, a solução instabiliza, não se pondo o problema da magnitude do erro mas o problema da

estabilidade.

Y Ordem de convergência Re 10 20 40

10

0,6 1,48 0,37 0,09 2,00

0,9 0,93 0,23 0,06 2,00

“mágico” precisão da máquina -

20

0,6 1,48 0,37 0,09 2,00

0,9 0,93 0,23 0,06 2,00


40

0,6 1,48 0,37 0,09 2,00

0,9 0,93 0,23 0,06 2,00


24

Figura 2.6 - Ordem de convergência para CF periódicas com bounceback nas paredes e com valores de 0.6 e

0.9

Figura 2.7 - Comparação entre os perfis numérico e analítico com bounceback na parede e CF periódicas

Em termos do campo de velocidades, o perfil é em cada secção transversal igual ao da Figura

2.7, visto o escoamento ser desenvolvido em todo o domínio. Este facto pode ser confirmado

consultando a Figura 2.8, onde se pode observar que as isolinhas de velocidade são paralelas e

atravessam todo o domínio.

0,03

0,30

3,00

5 50

err

o(%

)

Y

0.6

0.9

2ª ordem

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

y/Y

u/u

max

ux analy

ux LBM

25

Figura 2.8 - Campo de velocidades num escoamento desenvolvido em todo o domínio.

2.2.1.2 CF de Zou He na parede

Quando são introduzidas condições de fronteira de Zou He na parede, para qualquer um dos

números de Reynolds ou tempos de relaxação testados anteriormente, a magnitude do erro é da ordem

da precisão da máquina. Outros números de Reynolds e tempos de relaxação diferentes foram testados,

e verificou-se que o erro se mantém inalterado. O único efeito diferente que, possivelmente, se faz

sentir na variação destes parâmetros é a instabilidade numérica, à semelhança do que acontece quando

nas paredes é imposto o esquema bounceback. Isto indica que o código, ou é incapaz de resolver as

equações com os parâmetros que lhe são introduzidos, ou devolve sempre uma solução com a precisão

da máquina.

É importante salientar que também neste caso o escoamento se encontra desenvolvido em todo

o domínio, de modo que as considerações que foram feitas para o campo de velocidades e pressões no

subcapítulo anterior (2.2.1.1) permanecem válidas.

2.2.2 Condições de fronteira de velocidade de Zou He (entrada)


Os resultados do erro apresentados na Tabela 2.2 dizem respeito à imposição de condições de

velocidade à entrada e saída do domínio utilizando o esquema de Zou He, e utilizando o esquema

bounceback nas paredes. À entrada é imposto um perfil uniforme e à saída é imposta a velocidade do

Y

X

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

26

nó imediatamente anterior, com base na hipótese de que o escoamento já está desenvolvido na região

final do domínio.

Y Ordem de

convergência Re 10 20 40

20

0,6 0,53 0,13 0,03 2.09

0,9 3,03 0,93 0,28 1.722

“mágico” 6,72 2,01 0,59 1.751

40

0,6 0,57 0,15 0,04 1.985

0,9 11,16 2,63 0,71 1.956

“mágico” instável 6,11 1,53 -

Tabela 2.2 - Erro(%) e ordem de convergência para CF de velocidade e bounceback nas paredes.

Numa tendência inversa à que foi observada anteriormente, para esta conjugação de esquemas

de condições de fronteira, é possível notar que o erro vai diminuindo com a diminuição do tempo de

relaxação. É importante salientar que estes resultados não significam que se o seu valor for diminuído

ainda mais, se obtenham resultados melhores. De facto, para um valor do tempo de relaxação de 0,6, a

solução obtida já está relativamente próxima do valor limite em que a solução é incapaz de

convergir16

. Por outro lado, também não significa que que entre 0,6 e 0,9 não exista um valor mais

apropriado.

Note-se também que surgiu nestas simulações uma situação de instabilidade numérica. Note-

se que o tempo de relaxação e o Reynolds são iguais para outras simulações, sendo a única variação

assinalável o número de nós na direcção transversal ao escoamento. Este é um caso típico em que o

valor da velocidade máxima, combinado com o tempo de relaxação em causa, se tornou elevado de

mais para que a solução fosse estável.

A ordem de convergência também neste caso continua a rondar a 2ª ordem, embora em dois

dos casos ronde um valor de 1.7.

16

Se o tempo de relaxação for 0.5, o seu efeito computacional é de que a solução não consegue convergir para fora do estado de equilíbrio. Se for feita uma analogia com o mundo físico, esse seria o caso de a viscosidade ter um valor nulo, ou seja, a não existência de fenómenos difusivos.

27

Figura 2.9 - Ordem de convergência com CF de velocidade com Zou He nas paredes, para Re=20. A escala é

logarítmica para ambos os eixos.

O campo de velocidades que se obtém nestas condições contém uma região de

desenvolvimento do escoamento, como se pode observar na Figura 2.10. É o resultado que se espera

obter quando há imposição de um perfil de velocidade uniforme à entrada, perfil esse que vai evoluir

para um perfil desenvolvido na restante parte do domínio. O tipo de condição de fronteira que se

impôs traz o inconveniente de que a o perfil na zona desenvolvida nunca tende a convergir para a

solução analítica. Mesmo que se aumente consideravelmente a dimensão longitudinal (X), mantendo a

dimensão transversal(Y), o erro calculado à saída do domínio irá manter-se sempre o mesmo.

Figura 2.10 – Campo de velocidades com perfil uniforme de velocidade à entrada.

Pode tentar contornar-se este problema impondo o perfil analítico à saída, o que força a que

mesmo na região desenvolvida, o escoamento vá tendendo progressivamente para a solução correcta,

0,01

0,1

1

10

100

5 50

err

o(%

)

Y

0.6

0.9

mágico

2ª ordem

Y

X

5 10 15 20 25 30 35 40

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

28

conseguindo alcançar no máximo um erro da ordem de 10-5

nos nós imediatamente antes da fronteira

de saída. No entanto, é uma solução possível apenas para problemas deste tipo em que se conhece a

solução analítica.

Figura 2.11 - Queda de pressão ao longo do domínio, numa linha de nós no centro do canal, quando é imposto

um perfil de velocidades uniforme à entrada.

No que diz respeito à evolução da pressão, a Figura 2.11 mostra uma zona inicial com um

comportamento não linear, correspondente à região de desenvolvimento, em contraste com a Figura

2.14, onde a evolução da pressão é sempre linear.


Os resultados obtidos com a presente conjugação de condições de fronteira – Zou He nas

paredes e à entrada e saída, com imposição de velocidade – foram os mais inesperados em termos da

evolução dos valores do erro.

Tabela 2.3 – Tabela 2.4 - Erro(%) e ordem de convergência para CF de velocidade e Zou He nas paredes

Em primeiro lugar, deve salientar-se que neste caso os valores do erro são mais baixos para o

valor mais elevado do tempo de relaxação testado. No caso de =0,6, os valores do erro para os dois

0 20 40 60 80 100 1201.007

1.0071

1.0072

1.0073

1.0074

1.0075

1.0076

X

Rho

Y Ordem de

convergência Re 10 20 40

20

0,6 8,46 4,00 1,95 1,059

0,9 7,34 3,48 1,77 1,026

“mágico” 5,65 2,81 1,56 0,926

40

0,6 8,36 3,96 1,94 1,055

0,9 4,04 2,50 1,48 0,724

“mágico” 4,89 0,52 0,92 -

29

números de Reynolds diferentes são muito semelhantes enquanto que nos restantes casos as diferenças

são assinaláveis.

A ordem de convergência, divergindo de todos os casos testados anteriormente – em que esta

ronda sempre a 2ª ordem -, nestas condições ronda a 1ª ordem. Não foram encontradas para este facto

explicações adequadas, nem são reportados na literatura simulações feitas nestas condições.

Figura 2.12 - Ordem de convergência para CF de velocidade e Zou He nas paredes, Re=20. A escala é

logarítmica para ambos os eixos.

O resultado mais inesperado terá mesmo sido o que se pode observar na última linha da Tabela

2.3: o valor do erro é mais baixo quando existem 20 nós na direcção transversal do que quando

existem 40, ou seja, o refinamento da malha não contribui para a redução do erro. Foi experimentada

uma malha de 240x80, e mesmo nessa circunstância o erro foi de 0,62%, superior a uma malha de

60x20 nós.

Em termos do campo de velocidade e pressão, o comportamento manifestado nestas condições

é em tudo idêntico ao que se manifesta no caso em que é aplicado o esquema bounceback na parede.

2.2.3 Condições de fronteira de pressão de Zou He (entrada/saída) em

escoamento completamente desenvolvido

Na implementação das condições de fonteira de pressão à entrada e à saída, utilizando

esquema de Zou He, foram obtidos resultados nos quais foi detectado um problema de convergência.

Esse problema manifestou-se de forma diferente consoante as condições de fronteira na parede

utilizem o esquema bounceback ou Zou He. Apresentam-se os resultados para os dois casos diferentes.

1

10

5 50

err

o(%

)

Y

0,6

0,9

mágico

1ª ordem

30


No caso de ser aplicado o esquema bounceback na parede, o problema de convergência

verificou-se à saída do canal. A Figura 2.13 mostra o comportamento que o campo de velocidades

exibe nestas condições, onde essa anomalia é detectável. O aumento do número de nós no domínio ou

a variação no valor nos tempo de relaxação torna possível atenuar este fenómeno mas nunca foi

possível extingui-lo.

Figura 2.13 - Campo de velocidades para diferença de pressão entre entrada e saída e bounceback nas paredes.

Este fenómeno aparenta ter origem na componente transversal y do vector das velocidades

que, por causas que se desconhecem, tem um comportamento anormal perto da saída do canal.

Apesar desta anomalia presente na simulação, foram calculados os valores do erro numa

secção a meio do canal onde o escoamento se comporta correctamente, como se pode observar na

Figura 2.13. Os resultados obtidos mostram valores e tendências semelhantes aos que foram

apresentados em 2.2.1.1.

No que diz respeito à evolução da pressão, o comportamento esperado é de que esta varie

linearmente desde a entrada à saída do canal devido ao gradiente de pressão ser constante, tal como

seria de esperar para um escoamento desenvolvido. Esta situação pode ser confirmada consultando a

Figura 2.14, onde esse fenómeno é ilustrado.

Y

X

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

2

4

6

8

10

12

14

16x 10

-3

31

Figura 2.14 - Evolução da pressão ( a menos de uma constante) numa linha de nós longitudinal (sentido do

escoamento) a meio do canal.


Quando este esquema é imposto junto à parede, o problema da convergência do campo de

velocidades faz sentir-se junto à entrada do canal. A Figura 2.15 ilustra este problema em dois casos

diferentes: o domínio ter 120x40 ou 60x20 nós. São aqui colocados nesta figura os dois campos de

velocidade para comparação porque é nítida a melhoria no seu comportamento, no sentido de ter as

linhas serem todas paralelas, quando a malha é refinada.

Figura 2.15 - Campos de velocidade para diferença de pressão entre entrada e saída. A figura da esquerda ilustra

o campo para uma malha de 60x20 nós e a da direita uma malha de 120x40 nós. Resultados específicos para

tempo de relaxação aqui apelidado de mágico e Re=20.

0 10 20 30 40 50 601

1.0005

1.001

1.0015

1.002

1.0025

1.003

1.0035

1.004

1.0045

X

Rho

Y

X

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Y

X

5 10 15 20 25 30 35 40

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

32

A origem do problema parece ser semelhante à discutida anterior, havendo um comportamento

da componente y da velocidade que se revela anormal, e que neste caso toma a forma que está

representado na Figura 2.16. Um facto interessante é o de que, após se tentar simular o mesmo

escoamento no software Fuent com condições de pressão uniforme à entrada e à saída, os resultados

obtidos, no que diz respeito à morfologia da componente y do campo de velocidades, são idênticos aos

obtidos através do código implementado.

Apesar dos problemas de convergência que surgiram, foi possível obter, dentro dos parâmetros

de teste que têm sido apresentados, um campo de velocidades que convergiu para a solução correcta,

tal qual é representada na Figura 2.8. Os parâmetros utilizados para este caso foram uma malha de

120x40 nós e um tempo de relaxação de 0.6 e o valor do erro em relação à solução analítica calculado

foi de 0,04%. Foram efectuadas simulações com um número de nós mais elevados e os resultados

obtidos também foram satisfatórios. Isto indica que a utilização deste tipo de condições de fronteira

pode ser viável, mas apenas com um número elevado de pontos e apenas com certos valores para o

tempo de relaxação

Figura 2.16 – Componente y da velocidade quando é imposta diferença de pressão à entrada e saída e é aplicado

o esquema de Zou He nas paredes.

Para contornar a limitação que este tipo de condições de fronteira suscita, optou-se por

experimentar nestas condições um modelo diferente: o modelo D2Q9i, já referido anteriormente.

Com a sua utilização foi possível obter resultados semelhantes aos apresentados em 2.2.1.2, ou

seja, obter a precisão da máquina para simulações com baixo número de Reynolds e tempos de

relaxação estáveis. A validade destes resultados pode ser confirmada na literatura [22].

Y

X

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-4

33

2.3 Síntese conclusiva

Ao concluir-se este capítulo, estão já apresentadas as ferramentas necessárias para resolver a

parte hidrodinâmica dos escoamentos não-isotérmicos que serão estudados em seguida.

Após a análise de resultados feita, uma combinação de condições de fronteira sobressai em

relação às outras: a combinação de condições de fronteira periódicas com o esquema de Zou He nas

paredes. Pela sua simplicidade de implementação e, sobretudo, por permitir resolver o escoamento

com um erro da ordem da precisão da máquina, esta será a combinação de condições de fronteira

utilizada para resolver a componente hidrodinâmica dos escoamentos estudados em seguida.

Salienta-se o facto de que os escoamentos a serem resolvidos no capítulo seguinte são

hidrodinamicamente desenvolvidos em todo o domínio.

34

3 LBM para escoamentos

não-isotérmicos

No capítulo anterior foram expostos os fundamentos do LBM e um modelo e condições de

fronteira que permitem resolver escoamentos isotérmicos. Neste capítulo, será apresentado o modelo

LBM para resolver escoamentos não-isotérmicos e as condições de fronteira escolhidas para serem

utilizadas. À semelhança do capítulo 2, também este será concluído com os resultados obtidos com o

modelo desenvolvido, acompanhados da respectiva discussão.

3.1 Função distribuição

Como foi já referido, os primeiros modelos para escoamentos não-isotérmicos de lattice

Boltzmann eram uma extensão directa dos modelos isotérmicos. Fazendo uso do segundo momento

estatístico da chamada peculiar velocity , representado na equação 2.15c, estes modelos

apresentam várias desvantagens: instabilidade numérica, obrigatoriedade de fixação do número de

Prandtl e não contabilização de trabalho de compressão e dissipação viscosa não contabilizados. O

modelo utilizado neste trabalho, e que aqui se apresenta, é do tipo DDF, baseado sobretudo no modelo

proposto por He et al.[39], e descreve-se de seguida

Introduz-se, em primeiro lugar, a nova função distribuição , chamada de função distribuição

de energia interna, usando as mesmas variáveis do capítulo 2,

(3.1)

Ao ser substituída esta nova função distribuição na equação de Boltzmann (equação 2.1), e

excluindo a presença de uma força externa por simplicidade de raciocínio, a nova equação de

Boltzmann toma a seguinte forma,

(3.2)

onde o lado direito da equação representa a dissipação de calor, sendo o termo que resulta da

mudança de variável. toma a seguinte forma

(3.3)

Com base no modelo de colisão BGK, um novo modelo de colisão é introduzido para a

evolução de g,

35

(3.4)

do qual resulta a equação

(3.5)

Sumariamente, o modelo contínuo proposto para resolver problemas não isotérmicos abrange

as equações 2.1 e 3.5,

(2.1)

o conjunto de equações 2.5, com excepção em 2.5c, que será substituída pela equação 3.6

∫ (2.5a)

∫ (2.5b)

∫ (3.6)

e as equações de equilíbrio, 2.4 para e a equação 3.7 para

⁄ (

) (2.4)

⁄ (

) (3.7)

3.2 Modelo não-isotérmico discreto

Tal como foi feito anteriormente para o modelo isotérmico, é também necessário neste caso

efectuar uma discretização do modelo não–isotérmico que possa ser codificada computacionalmente.

Essa discretização, a seguir exposta, incluirá tanto a discretização da equação 3.5, como uma nova

discretização da equação 2.1, coerente com o novo modelo que se pretende introduzir. Tal é necessário

pois a hipótese de que o modelo de colisão BGK é constante no tempo, utilizada na maior parte dos

modelos isotérmicos de LBM, introduz um erro de segunda ordem quando é parte integrante no

modelo térmico. Uma discussão mais detalhada sobre esta matéria pode ser consultada em He et

al.[39] e Sterling&Chen[54].

Começando pela discretização adequada para escoamentos não-isotérmicos da equação 2.1,

esta será feita em dois passos, através da sua integração ao longo de um caminho característico.

36

Substituindo já à partida o termo por e passando para o lado direito da equação, o

primeiro passo é apresentar o resultado do integração do lado esquerdo da equação 2.1, obtendo-se

∫ [ ( ) (

)]

(3.8)

Num segundo passo, é resolvido o integral do lado direito da equação, que deve conduzir a

uma discretização com precisão de segunda ordem. Para tal, é utilizada a regra do trapézio, capaz de

satisfazer esse requisito. Substituindo, antes da integração, o operador de colisão pelo modelo de

colisão BGK (equação 2.3), a equação resultante é:

[

]

[

]

[ ]

(3.9)

Para evitar que o modelo se torne num esquema implícito, uma nova variável é proposta:

(

)

(3.10)

Finalmente, é obtida a equação que define a evolução de e, consequentemente, da parte

hidrodinâmica do modelo

(

)

(3.11)

A mudança de variável proposta na equação 3.10 conduz a que os momentos de ordem zero e

de primeira ordem, no cálculo das variáveis macroscópicas, sejam

∑

(3.12a)

∑

(3.12b)

O processo de discretização da equação 3.5, que rege a evolução de , segue o mesmo

procedimento descrito anterioremente. Usando o mesmo esquema de integração de segunda ordem no

tempo, a discretização da equação 3.5 resulta em

(3.13)

37

[

]

[

]

Aplicando também, neste caso, uma mudança de variável,

(

)

(3.14)

o resultado final é semelhante à equação para a evolução de ,

(

)

(3.15)

Os momentos de permitem calcular os valor da energia interna e do fluxo de calor17

,

∑

∑

(3.16a)

(∑

∑

)

(3.16b)

Importa referir que o termo toma a seguinte forma discreta,

( ) [ ] (3.17)

Quanto à função distribuição de equilíbrio , a sua discretização é obtida também por uma

expansão de Taylor da equação 3.6, seguida pela aplicação de uma quadratura de Gauss-Hermite.

Sendo que esta é feita para uma lattice D2Q9, diferentes expressões são deduzidas para as diferentes

direcções[46]

[

] (3.18a)

[

] (3.18b)

17

Devido ao facto de não ser necessário utilizar mais a distribuição , assume-se deste ponto em diante, por simplicidade de representação, que representa

38

[

] (3.18c)

3.3 Expansão de Chapman-Enskog

Uma análise multi-escala à equação 3.5, com recurso à expansão de Chapman-Enskog,

semelhante à que foi feita anteriormente, permite recuperar a equação de balanço de energia

interna[39].

(3.19)

Devido ao facto dos procedimentos para recuperar esta equação serem, como já foi referido,

em tudo semelhantes aos que foram já apresentados, com a diferença de serem mais exaustivos,

remete-se o leitor para discussões mais detalhadas nesta matéria noutras referências[7,39,41]. Serão

aqui apenas salientadas as consequências importantes que derivam dessa análise multi-escala: as

relações entre os tempos de relaxação, e , e a viscosidade e a difusividade térmica,

respectivamente.

(3.20)

(3.21)

3.4 Condições de fonteira

O esquema de condições de fronteira (CF) escolhido para utilizar neste trabalho é o proposto

por D’Orazio et al.[44,45] e D’Orazio e Succi[46], referido na literatura como o esquema de condições

de fronteira capaz de alcançar maior precisão em paredes rectas[47,55].

Este esquema recupera o que é proposto por Inamuro et al.[23] para condições de fronteira de

velocidade. A ideia proposta por estes autores é de que as funções distribuição desconhecidas são

iguais às suas respectivas funções de equilíbrio, corrigidas por uma velocidade de counter-slip, ou

seja, um parâmetro que ajuste o seu valor. Esse ajuste tem a função de garantir que o resultado do

primeiro momento estatístico num nó da fronteira terá o valor imposto; neste caso, um valor imposto

de velocidade. Nos casos em que se aplica este esquema de CF às populações , procura-se fixar a

temperatura ou o fluxo de calor.

Para exemplificar a aplicação deste esquema, suponha-se que se quer resolver o caso de ter

temperatura imposta na parede superior do domínio representado na Figura 2.2. É então necessário

determinar as populações , e . O valor destas populações é determinado através da seguintes

fórmulas,

39

( )

[

] (3.22a)

( )

[

] (3.22b)

( ) ( )

[

] (3.22c)

Isto significa que o valor da função distribuição de equilíbrio é ajustado por , à semlhança

do que é feito para a velocidade por Inamuro et al.[23] O valor da energia interna de counter-slip, , é

determinado com recurso à equação 3.16a, reescrita a seguir de modo a facilitar a compreensão do

raciocínio que se pretende transmitir,

(∑

)

(∑

)

∑

(3.23)

Se se estender o segundo termo do lado esquerdo da equação acima, ele toma a seguinte

forma,

(∑

)

( )

[

]

( )

[

]

( )

[

]

(3.24)

Juntando finalmente as equações 3.23 e 3.24, é possível resolver o valor de e, através dele,

resolver os valores das populações indeterminadas - no presente exemplo, , e .

Apresentam-se a seguir as equações para a resolução de em três casos distintos, aplicadas na

parede superior da Figura 2.218

:

Para condição de não-escorregamento na fronteira,

∑

(3.25)

Para velocidade imposta na fronteira,

18

Por simplicidade de notação, referir-se-á a como .

40

(

)

(3.26)

Para resolução dos cantos da fronteira

(

)

(3.27)

Para resolver o caso de fluxo imposto, , numa fronteira, é necessário conjugar as equações

3.16b e 3.22. O procedimento para obter o valor das populações desconhecidas é igual ao descrito

anteriormente para o caso de temperatura imposta. Aplicadas ao exemplo seguido até agora (Figura

2.2), apresentam-se as equações para calcular directamente o valor das populações , e na

situação de a velocidade na parede ser nula.

[

] [∑

∑

]

(3.28a)

[

] [∑

∑

]

(3.28b)

[

] [∑

∑

]

(3.28c)

3.5 Solução analítica para campo de temperaturas com fluxo

imposto na parede

Antes de serem apresentados os resultados, é exposta aqui a dedução da equação que permite

calcular o campo de temperaturas num escoamento entre placas planas, paralelas e infinitas, quando é

imposto um fluxo de calor constante na parede, seguindo o esquema de Incropera et al. para o caso de

um tubo de secção circular. Note-se que a dedução é apenas válida na região hidrodinâmica e

termicamente desenvolvida do escoamento.

41

O primeiro passo é escrever a equação de energia19

,

(

) (

) (3.29)

e simplificá-la segundo as hipóteses seguintes:

i. Não existem termos de fonte e a dissipação viscosa é desprezável;

ii. A componente da velocidade em y é nula - ;

iii. Em escoamento completamente desenvolvido, para fluxo imposto na parede, , é válida a

seguinte equação[56]:

(3.30)

Aplicando estas hipóteses, o balanço de energia reduz-se a

(3.31)

Figura 3.1- Balanço de energia a volume de controle

Para resolver o termo

é necessário efectuar o balanço representado na Figura 3.1, dando

origem à seguinte expressão

(3.32)

em que é o caudal mássico.

Através desta expressão calculada e da equação para o perfil de velocidades (equação 1.5),

substituídas na equação 3.31, obtém-se a seguinte expressão para o campo de temperaturas,

(

)

(3.33)

19

representa a massa volúmica, representa o calor específico, representa a condutividade térmica e

representa o termo da dissipação viscosa; ((

)

[(

)

(

)

])

42

Para resolver os coeficientes e , aplicam-se as condições de fronteira seguintes,

| (3.34)

(3.35)

em que que é a temperatura na parede. A equação que resolve o campo de temperaturas toma

então a seguinte forma

(

) (3.36)

Para ser possível resolver esta equação, é imperativo deduzir uma equação que devolva o valor

da temperatura na parede. Uma forma de o fazer é resolvendo a temperatura média pela sua definição,

através do seguinte integral:

(3.37)

em que é a velocidade média.

A resolução deste integral conduz à seguinte equação que relaciona a temperatura na parede e

a temperatura média:

(3.38)

Para fechar a resolução do problema é necessário uma equação para determinar a temperatura

média. Esta pode ser encontrada na literatura[56], e tem a forma seguinte

(3.39)

em que é a temperatura média à entrada. Juntando as equações 3.36, 3.38 e 3.39, é então possível

descrever analiticamente o campo de temperaturas num escoamento desenvolvido através da seguint

equação

(

)

(3.40)

Relativamente ao número de Nusselt teórico para este escoamento, é possível calculá-lo a

partir da equação 1.15, sendo o seu valor 8.23. Este valor também pode ser encontrado na

literatura[56], assim como o valor na situação de haver temperatura imposta na parede, em vez de

fluxo: o seu valor é 7.54. O número de Nusselt é definido da seguinte maneira:

43

(3.41)

em que é o coeficiente de convecção.

3.6 Resultados e discussão

Serão agora apresentados os resultados computacionais do modelo e esquema de condições de

fronteira, introduzidos previamente neste capítulo, para resolver os escoamentos não-isotérmicos em

estudo.

Algumas das características de implementação que foram utilizadas para a simulação do

escoamento isotérmico serão também aqui utilizadas. Em concreto, a definição do número de

Reynolds será mantida, a geometria do canal permanecerá com o mesmo aspect ratio, e o critério de

convergência da equação 2.37 será aplicado igualmente à temperatura num ponto do centro do

domínio.

Para resolver a parte hidrodinâmica dos escoamentos, foram utilizadas condições de fronteira

periódicas e o esquema de Zou He nas paredes, de modo a que o campo de velocidades tenha a

precisão da máquina. Isto significa que o escoamento está hidrodinamicamente desenvolvido em todo

o domínio para todas as simulações realizadas.

Um pormenor importante da implementação a ter em conta é a escolha dos tempos de

relaxação. Os tempos de relaxação relacionam-se mutuamente através do número de Prandtl pela

seguinte equação,

(3.42)

o que implica que e estão relacionados entre si. Como o número de Reynolds depende do e o

número de Prandtl de ambos, no contexto da simulação o é sempre um parâmetro a ser definido, e o

valor de está sempre dependente dos valores atribuídos ao Pr e ao .

Os número de Prandtl para os quais se apresentam os resultados das simulações foram 0,5, 1,

1,5 e 2, enquanto que, para o tempo de relaxação , os valores utilizados nas simulações aqui

expostas são de 0,4, 0,6 e 0,8.

Para verificar as soluções numéricas, foram utilizados procedimentos distintos para os caso de

fluxo imposto e temperatura imposta, consoante as ferramentas disponíveis para tal.

No caso de fluxo imposto, foi possível verificar o código através da solução analítica deduzida

anteriormente neste capítulo, recorrendo ao cálculo do erro global na região termicamente

desenvolvida do domínio. O primeiro passo é calcular o erro em cada nó a partir da seguinte equação:

(3.43)

44

em que é o valor analítico da temperatura no nó e é o valor numérico da

temperatura que a simulação fornece. O erro global é seguidamente calculado somando o valor

absoluto do erro em cada nó e dividindo esse valor pelo número de nós em que foi calculado o erro.

É importante frisar que este cálculo do valor do erro global só é válido na região em que o

escoamento está completamente desenvolvido, o que significa que os valores do erro não são

calculados em todos os nós do domínio mas somente a partir da secção transversal de nós em que o

escoamento aparenta estar desenvolvido. O critério para reconhecer a partir de que secção começar o

cálculo do erro é identificar aquela a partir da qual o valor da temperatura adimensional não varia

longitudinalmente, como expressa a seguinte equação

[

]

(3.44)

onde é o valor da temperatura adimensional.

Para verificar as soluções do escoamento com temperatura imposta, as opções que se

encontraram para o fazer revelaram-se todas limitada. A opção que acabou por ser escolhida foi

verificar os resultados desta solução através da comparação com a solução fornecida pelo programa de

CFD comercial Fluent. No entanto, não se conseguiu recriar neste software uma situação de

escoamento desenvolvido em todo o domínio. Tendo isso em conta, tentou-se recriar as condições do

escoamento de outra forma.

A alternativa encontrada foi criar um canal com um comprimento de 10 metros e com uma

altura de 1 metro, em que nos primeiros 7 metros, o escoamento é isotérmico, e nos últimos 3, onde o

escoamento ja está completamente desenvolvido, se aplica a condição de temperatura constante na

parede. Em termos hidrodinâmicos, o escoamento desenvolve-se desde um perfil de velocidade

uniforme à entrada até a um perfil desenvolvido. De modo a assegurar que a distância de 7 metros

seria suficiente para que o escoamento desenvolve-se completamente, calculou-se o erro do perfil de

velocidades nessa secção relativamente à solução analítica e obteve-se um valor para o erro de cerca

de 0.008%. Esse valor foi considerado um baixo o suficiente para assumir o escoamento como

hidrodinamicamente desenvolvido.

Devido ao facto de as simulações serem feitas para baixos números de Reynolds, surgiram

fenómenos de condução na direcção contrária ao escoamento, havendo linhas isotérmicas a

atravessarem a secção . De modo que a única solução encontrada foi fazer uma comparação

entre os perfis adimensionais de temperatura que, como foi exposto acima , devem manter-se iguais

em toda a região termicamente desenvolvida do domínio.

No que diz respeito aos métodos numéricos utilizados no Fluent, para resolver a pressão foi

utilizado o método Standard e para a quantidade de movimento e energia o método das diferenças

finitas de segunda ordem. O critério de convergência utilizado foi de que o resíduo para a velocidade e

energia fosse menor que 10-15

e que fosse menor que 10-10

para a massa.

45

O cálculo do número de Nusselt foi feito também com recurso ao campo de temperaturas

adimensional. Por definição, o número de Nusselt é[56]:

(3.45)

em que é o valor da coordenada adimensionalizada pelo diâmetro hidráulico. Em termos práticos,

ou seja, para que o valor do Nusselt seja calculado através dos resultados da simulação, divide-se a

diferença das temperaturas adimensionais na parede e no nó vizinho pela diferença das suas

coordenadas adimensionalizadas.

O cálculo da temperatura média é feito a partir da equação 3.37. Para resolver numericamente

o integral do numerador utiliza-se a regra de integração do trapézio.

3.6.1 Resultados com CF de fluxo imposto

Começa-se a exposição dos resultados obtidos na simulação de um escoamento com fluxo

imposto na parede por apresentar os gráficos e figuras que caracterizam o comportamento do

escoamento no que diz respeito ao campo de temperaturas na região termicamente desenvolvida. Em

primeiro lugar, apresenta-se na Figura 3.3 o aspecto do campo de temperaturas obtido na simulação,

que deve ser comparado com o que se obtém resolvendo analiticamente a evolução da temperatura –

Figura 3.2. Pode constatar-se que são extremamente semelhantes, excepto no que diz respeito junto

aos canto na saída do canal.

Figura 3.2 – Linhas isotérmicas na região termicamente desenvolvida, obtido analiticamente, para um

escoamento com fluxo imposto na parede.

Y

X

5 10 15 20 25 30 35 40

10

20

30

40

50

60

70

80

2.1

2.15

2.2

2.25

2.3

46

Figura 3.3 – Linhas isotérmicas, na região termicamente desenvolvida do domínio, resultante das simulações

numéricas do escoamento com fluxo imposto na parede. Simulação obtida para , ,

, 120x40 nós.

Mostra-se também a Figura 3.4, que representa as evoluções da temperatura média e da

temperatura na superfície, e a Figura 3.5, que ilustra o campo de temperaturas adimensional. Segundo

a literatura[56], espera-se que a evoluções da temperatura média e na superfície do canal sejam sempre

lineares e paralelas na região desenvolvida. No entanto, verifica-se que junto à saída do canal essa

evolução, no caso da temperatura na superfície (Tparede), perde a linearidade e deixa, portanto, de ser

paralela à linha da temperatura média.

Por outro lado, olhando para a figura que representa o campo de temperaturas adimensional –

Figura 3.5 - , é notório que o seu comportamento à saída do domínio é também contrário ao que seria

esperado, pois as isolinhas de temperatura deveriam manter-se paralelas entre si (e às paredes).

Uma nota importante a ter em conta é o facto de que todas as figuras expostas até aqui traduziram o

comportamento de todos os escoamentos simulados com esta condição de fronteira, particularmente a

deficiente simulação à saída.

Y

X

5 10 15 20 25 30 35 40

10

20

30

40

50

60

70

80

2.1

2.15

2.2

2.25

2.3

47

Figura 3.4 - Evolução da temperatura média (Tmédia) e da temperatura na superfície do canal (Tparede) nas

simulações de escoamentos com fluxo imposto na parede.

Figura 3.5 – Linhas isotérmicas calculadas numericamente para um domínio de 120x40 nós e os seguintes

parâmetros: , , , .

Após vistos todos estes resultados, é nítido que a causa destes fenómenos está relacionada com

a modelação dos cantos que se situam à saída do domínio. Para confirmar totalmente o problema

identificado, é apresentada na Figura 3.6 o valor do erro na porção do domínio em que o escoamento

está desenvolvido. Como se pode ver nesta figura, o valor do erro tem uma ordem de grandeza

uniforme em todos os nós menos naqueles que estão junto aos cantos20

. Para perceber as causas desta

ocorrência começa-se por explicar a lógica da sua modelação.

20

Também a Figura 3.6 é válida para todos os escoamentos simulados com fluxo imposto na parede

1,95

2

2,05

2,1

2,15

2,2

2,25

2,3

2,35

0 20 40 60 80 100 120

Tem

pe

ratu

ra

X

Tparede

TmédiaX

Y

5 10 15 20 25 30 35 40

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

48

Figura 3.6 - Valor do erro dos nós na região termicamente desenvolvida nos quais este foi calculado, para uma

simulação com 120x40 nós, , , , .

A equação 3.27, utilizada para calcular as populações indeterminadas nos cantos, baseia-se no

pressuposto de que o valor da temperatura nesse nó é conhecido. Para o caso de estudo deste

escoamento, sabe-se já à partida que a temperatura na parede de uma região termicamente

desenvolvida terá uma variação linear, de modo que se extrapolou o valor da mesma para o canto

segundo a seguinte fórmula,

(3.46)

em que representa a temperatura superfície no ponto de coordenada . Neste caso é igual ao

comprimento do canal em número de nós.

Posto isto, a única explicação encontrada para a ocorrência deste fenómeno tem a ver com o

parâmetro , introduzido na secção 3.4, que ajusta o valor da energia interna no nó. Este parâmetro

toma o valor necessário para corrigir a função distribuição de equilíbrio das várias populações

indeterminadas, ou seja, corrige todas com o mesmo valor. Estas podem então tomar qualquer valor

desde que o seu somatório conserve o valor macroscópico da temperatura. E parece surgir, nestas

circunstâncias, uma incapacidade nos nós vizinhos de absorverem convenientemente os valores dessas

populações, após serem transmitidas no passo da propagação, resultando no fenómeno fisicamente

incorrecto que foi identificado.

Tendo agora uma noção clara deste problema existente nos cantos, é possível fazer uma

análise mais coerente dos restantes resultados, pois fazê-la sem considerar este problema torna-a numa

análise enviesada. Esses resultados, que agora se expõem, têm por fim compreender quais as

consequências para o valor do erro, nas várias simulações, quando os seus parâmetros são variados.

Y

X

5 10 15 20 25 30 35 40

10

20

30

40

50

60

70

80

2

4

6

8

10

12

14

16x 10

-3

49

Em primeiro lugar, veja-se o que acontece quando a malha é refinada, à semelhança do que foi

feito no caso isotérmico, variando o tempo de relaxação e, por consequência, o tempo de relaxação

. Estas simulações foram realizadas com os seguintes valores para os restantes parâmetros21,22

:

, , , . Os resultados do valor do erro encontram-se expostos na

Tabela 3.1.

Y

40 20 10

0,4 0,2 0,04 0,10 0,41

0,6 0,3 0,04 0,11 0,39

0,8 0,4 0,06 0,20 0,72 Tabela 3.1 - Erro(%) em função do número de nós do domínio e dos valores dos tempos de relaxação

Um facto interessante que se pode observar na tabela é existirem valores para o erro muito

semelhantes para os valores de de 0,2 e 0,3, e respectivos de . Esta situação repetiu-se em

simulações com outros números de Reynolds e outros valores para o fluxo. No entanto, não é possível

inferir solidamente algo sobre estes resultados, já que a experiência mostrou que noutros casos esta

pequena diferença nos tempos de relaxação tem uma influência maior no valor do erro. Isto deve-se à

dependência desse valor em relação a outros parâmetros, como os números Reynolds ou Prandtl. A

grande diferença que foi notada na utilização de tempos de relaxação progressivamente mais elevados

foi o número de iterações necessárias para a solução convergir, quer a parte térmica quer a

hidrodinâmica. Por exemplo, para estes tempos de relaxação em que o valor do erro é semelhante (0,2

e 0,3), o número de iterações difere numa ordem de grandeza – para 0,2 são necessárias cerca de 4x104

iterações para a solução convergir e para 0,3 são necessárias cerca de 4x105.

Pelo que se pode analisar pela Figura 3.7, é possível reconhecer que a ordem de convergência

não se distancia muito da 2ª ordem, embora para os tempos de relaxação de 0,2 e 0,3 ela seja de

cerca de 1,7. Mas esta será talvez a análise que pode resultar mais enviesada, pois a “contaminação”

provocada pelos nós nos cantos não varia de forma “regrada”, de modo que é uma análise mais

qualitativa do que quantitativa; daí que o comentário feito seja sobretudo baseado na inspecção visual

do gráfico.

21

representa o valor do fluxo e a temperatura de entrada 22

Para o escoamento com fluxo imposto na parede, a temperatura de entrada utilizada é sempre , de modo que se omitirá daqui em diante essa informação

50

Figura 3.7 - Ordem de convergência para valores de 0.2, 0.3 e 0.4 para o tempo de relaxação , e ,

, .

Apresenta-se também o Figura 3.8 com a comparação do perfil analítico de temperaturas com

o perfil numérico correspondente, numa zona distante o suficiente dos cantos. É possível reconhecer,

apesar dos perfis serem quase coincidentes, que é no centro do perfil onde se verifica a maior distância

entre os dois, e que junto às paredes eles são praticamente coincidentes – o valor do erro nos nós do

meio do perfil é de 0,008%. Este comportamento verificou-se nos resultados das várias simulações.

Figura 3.8 - Perfis de temperatura calculados analítica e numericamente numa secção transversal da região

termicamente desenvolvida. Parâmetros de simulação: 120x40 nós, , , , .

Algo que também é de referir relativamente à variação do erro, é o facto de este diminuir com

o aumento do aspect ratio da geometria. No caso de uma geometria com 120x40 nós, comparada com

uma de 240x40, o valor do erro na situação da primeira foi de cerca de 0,04%, como foi já visto, e a

para a segunda o valor do erro de cerca de 0,02%, ou seja, cerca de metade. Este é o resultado

0,01

0,10

1,00

10,00

1 10 100

err

o(%

)

Y

0.2

0.3

0.4

2ª ordem

2,04

2,06

2,08

2,1

2,12

2,14

2,16

0 10 20 30 40

Tem

per

atu

ra

y

analítico

numérico

51

expectável tendo em consideração a menor influência dos cantos no domínio, pois para um

determinado número de nós na direcção y, a região “contaminada” pelo erro existente nos cantos

mantém-se constante – comparar a Figura 3.5 com a Figura 3.9. Estes resultados (240x40 nós) foram

obtidos para a seguinte conjugação de parâmetros: , , , .

Figura 3.9 - Campo de temperaturas para um domínio de 240x40 nós e os seguintes parâmetros: ,

, , .

Relativamente à evolução com o número de Reynolds, pode constatar-se na Tabela 3.2 que

para valores desse parâmetro mais elevados o erro vai diminuindo ligeiramente. A tendência verificou-

se em várias simulações com parâmetros diferentes, de modo que os que se expõem na Tabela 3.2 são

representativos da tendência.

Tabela 3.2 - Variação do valor do erro(%) com o Re, para simulações com , , ,

domínio de 120x40 nós.

Os resultados do valor do erro em função da variação do número de Prandtl são

exemplificados na Tabela 3.3. Os valores dos outros parâmetros dos escoamentos com que foram

simulados estes números de Prandtl são: , , .

Relembre-se que, pela equação 3.42, se o for fixado, à medida que o valor do número de

Prandtl aumenta, o valor de vai diminuindo. Daí que quando o Pr tem um valor igual a 2, a solução

Y

X

5 10 15 20 25 30 35 40

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Re 10 20 40

Erro(%) 0,05 0,041 0,040

52

instabilize, pois , o que conjugado com os restantes parâmetros dá origem a uma solução

instável. Por exemplo, se se atribuir ao Reynolds um valor de 40, a solução já é estável e o valor que

se obtém para o erro global é de 0,16%, o que mostra que a escolha dos parâmetros de simulação –

principalmente uma escolha adequada dos tempos de relaxação - é determinante para obter bons

resultados no LBM.

Tabela 3.3 - Variação do erro(%) com o número de Prandtl em simulações com , , ,

domínio de 120x40 nós

A influência da variação do número de Prandtl no comportamento do escoamento pode ser

verificada comparando as figuras 3.4 e 3.7, constatando-se que na Figura 3.10, num escoamento para

um Pr=0,2, a região de desenvolvimento térmico é mais curta que na Figura 3.5, onde o escoamento

tem um Pr=1.

Figura 3.10 – Linhas isotérmicas de para um escoamento com um número de Prandtl

No que diz respeito à variação do valor do fluxo, a mostra também resultados representativos

dos que se obtiveram para diferentes parâmetros, e mostra que o valor do erro vai diminuindo para

valores do fluxo de calor mais baixos.

Y

X

5 10 15 20 25 30 35 40

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pr 0,5 1 1,5 2

Erro(%) 0,02 0,04 0,05 instável

53

Tabela 3.4 - Variação do erro(%) com o aumento do valor do fluxo imposto num domínio com 120x40 nós e

,

Considerou-se importante, no contexto da análise deste parâmetro – o fluxo – desenvolver um

pouco a forma de abordar os problemas quando são implementados em LBM. Como se pode ver na

tabela 3.4, o fluxo não apresenta unidades. Na realidade, no universo do LBM todos os problemas e as

suas grandezas físicas são tratados de forma adimensional. Em particular, se se quiser transpor o valor

de um parâmetro físico como o fluxo para uma simulação do LBM, este não pode ser contabilizado

isoladamente (pois não existem unidades de potência na lattice), mas sim o rácio , ou seja, o rácio

entre o fluxo e a condutividade térmica. Este rácio é igual ao gradiente de temperatura na parede, e

esse é possível adimensionalizar através de uma temperatura de referência. Significa isto que, se a

condutividade for mantida constante, quando o fluxo é variado, o que objectivamente se está a fazer é

variar a diferença de temperatura entre a parede e o nó vizinho dentro do escoamento.

Por último, conclui-se esta análise apresentando os resultados para o número de Nusselt. Na

tabela 3.5, apresenta-se a evolução do seu valor calculado com a discretização do domínio. É possível

constatar que o valor do Nusselt para um domínio com 120x40 nós já está perto do valor teórico – 8,23

– e é mesmo excedido quando a malha possui 240x80 nós.

Tabela 3.5 - Valor do número de Nusselt para diferentes discretizações do domínio para , ,

Para todas as simulações realizadas com uma malha de 120x40 nós, os valores obtidos

encontram-se numa gama entre 8,17 e 8,22. Para malhas com um número de nós mais elevado

(240x80) os valores encontram-se entre 8,25 e 8,32, o que indica a tendência de o valor do Nu,

calculado numericamente, ser ligeiramente superior ao teórico.

É importante fazer um comentário final para referir que os problemas encontrados na

modelação dos cantos, amplamente aqui discutidos, encontram paralelo na literatura[45], onde é

reportada pouca concordância entre os valores numéricos e analíticos nas regiões junto às fronteiras

onde são impostas condições de fluxo imposto.

0,001 0,005 0,01

Erro(%) 0,04 0,08 0,11

Y 10 20 40 80

Nu 5,4 7,84 8,18 8,25

54

3.6.2 Resultados com CF de temperatura imposta

Devido às limitações já descritas, a verificação e análise dos resultados das simulações para

escoamentos com temperatura imposta nas paredes como condição de fronteira será feita através de

comparação gráfica e numérica (através do valor do erro médio).

O primeiro resultado que se apresenta é a comparação dos valores da temperatura

adimensional numa secção transversal da região termicamente desenvolvida, entre um escoamento

simulado no Fluent e no código de LBM23

. Os parâmetros de simulação foram: , ,

, . Em específico para o LBM, e . Essa comparação apresenta-

se de duas formas: na primeira, o erro médio de uma solução relativamente à outra, que foi de 1,82%;

na segunda comparação, gráfica, percebe-se em que pontos dos perfis as soluções são mais distintas. A

comparação gráfica pode ser feita consultando a Figura 3.11. Refira-se que o número de nós da secção

transversal utilizado foi igual nas duas simulações e que esta é a única comparação através do valor do

erro que será feita.

Analisando os dados existentes, por um lado na Figura 3.11 é notório que na sua região central

as soluções não coincidem, e por outro, o valor do erro calculado tem uma magnitude duas ordens de

grandeza acima dos valores calculados para o escoamento com fluxo imposto na parede. Foi também

calculado o número de Nusselt para ambas as simulações, sendo o valor obtido para a simulação do

Fluent de 7,69 e o obtido para o LBM foi de 7,6024

.

Estas comparações permitem desde já justificar estes resultados com dois raciocínios distintos:

ou o LBM simula o escoamento com melhor precisão; ou a verificação de resultados não está a ser

feita de forma correcta.

23

No contexto da análise destes resultados, quando existem comparações de resultados entre LBM e Fluent, sempre que o texto se refere a temperatura está implícita, deste ponto em diante, a referência à temperatura adimensional 24

Para relembrar, o valor analítico do Nu para um escoamento entre placas planas, paralelas e infinitas com a condição de fronteira de temperatura imposta é de 7,54.

55

Figura 3.11 - Comparação dos perfis de para simulações do mesmo escoamento usando o software Fluent e o

código de LBM produzido. Os parâmetros da simulação são: , , , ,

.

Comparem-se agora as soluções do LBM entre si. Comece-se por comparar, para os

parâmetros da situação simulada anteriormente, a utilização de diferentes tempos de relaxação , à

semelhança do que foi feito na análise de resultados para fluxo imposto na parede. Olhando para a

Figura 3.12, pode comparar-se os resultados obtidos para e . É notório que para

qualquer um dos tempos de relaxação simulados, os perfis que se obtêm são praticamente

coincidentes, o que significa que a variação do tempo de relaxação , na gama em que é variado, tem

pouca influência no resultado final do escoamento.

Figura 3.12 - Resultados de para diferentes tempos de relaxação , para um domínio com 300x100nós,

, , , .

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

θ

y/Y

Fluent

LBM

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

θ

y/Y

0.2

0.3

0.4

56

Apresenta-se agora graficamente o efeito da variação do número de nós da malha para dois

desses mesmos tempos de relaxação referidos – 0,2 e 0,3. Só são expostos estes dois gráficos pois são

representativos dos resultados que se obtém para outros tempos de relaxação.

Figura 3.13 - Perfis de para diferentes números de nós em Y, mantendo o aspect ratio, para

Figura 3.14 - Perfis de para diferentes números de nós em Y, mantendo o aspect ratio, para

É possível constatar nestes gráficos que não existe uma diferença apreciável nas soluções dos

escoamentos quando a malha do escoamento é refinada. Importa referir que os resultados para uma

malha com 100 nós na direcção transversal, presentes nas Figura 3.14 e 3.14 para os respectivos

tempos de relaxação, são as mesmas que estão presentes na Figura 3.12, já comparadas anteriormente

com os resultados presentes na Figura 3.11.

Compare-se agora os resultados que se obtêm para diferentes números de Prandtl, com os

resultados que se obtêm novamente através do Fluent . Nos gráficos 3.8 e 3.9 é possível observar o

resultado de simulações realizadas para e .

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

θ

y/Y

100

50

25

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

θ

y/Y

100

50

25

57

Figura 3.15 - Perfis de para e obtidos das simulações de Fluent e do código de LBM

Figura 3.16 - Perfis de teta para e obtidos das simulações de Fluent e do código de LBM

a) b)

Figura 3.17 - Detalhe do centro do perfil para escoamentos com diferentes números de Prandtl das figuras (a)

3.15 e (b)3.16

A Figura 3.17 mostra em detalhe a zona central do perfil, onde existe a maior diferença entre

os perfis, na qual se pode observar que para o a concordância entre os dois perfis parece ser

ligeiramente melhor que para o caso de . Nestes casos não é possível calcular o valor do erro

médio entre os perfis pois as coordenadas dos nós nas duas simulações não são coincidentes.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

θ

y/Y

Fluent

LBM

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

θ

y/Y

Fluent

LBM

58

Esta ligeira diferença na concordância foi também notada quando foi simulado um escoamento

com - Figura 3.18 -, comparado com um e mantendo os restantes parâmetros

constantes ( , , , ).

Figura 3.18 - Perfis de para obtidos através do Fluent e do código de LBM

Expõem-se agora algumas figuras que demonstram o correcto comportamento do escoamento

nas simulações do LBM. Uma figura importante para caracterizar a correcta simulação deste

escoamento é a Figura 3.19, que é exemplificativa do comportamento da temperatura para todos os

escoamentos simulados no código de LBM, e onde é notório que as isolinhas de temperatura se

mantém paralelas em toda a região desenvolvida, ao contrário do que sucede num escoamento com

fluxo imposto.

Figura 3.19- linhas isotérmicas típico para as várias simulações de LBM

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

θ

y/Y

Fluent

LBM

Y

X

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

50

100

150

200

250

300

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

59

A comparação das Figura 3.20 e 3.21 é também útil para esta análise pois ambas ilustram o

campo de temperaturas para diferentes números de Reynolds. Pode conferir-se que para um

escoamento com um número de Reynolds mais baixo, a temperatura do escoamento aproxima-se mais

rapidamente da temperatura das paredes do que com um número de Reynolds mais elevado. Este

resultado é expectável pois quanto mais baixo for o número de Reynolds, maior peso terão os

processos difusivos em relação aos convectivos. Por conseguinte, se o número de Prandtl for mantido

para os dois escoamentos, espera-se que a temperatura da parede se difunda mais rapidamente para

todo o domínio com do que com .

Figura 3.20 – Linhas isotérmicas para uma simulação com Re=10.

Figura 3.21 – Linhas isotérmicas para uma simulação com Re=40

Y

X

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

20

40

60

80

100

120

140

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Y

X

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

20

40

60

80

100

120

140

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

60

Em termos dos valores para o número de Nusselt obtidos nas várias simulações de LBM que

aqui foram descritas, estes estiveram sempre entre 7,60 e 7,56. Nos casos em que foram testadas

diferentes malhas, com e , em malhas com 300x100 e 150x75 nós os Nu rondaram

sempre valores ligeiramente inferiores a 7,60, sendo iguais entre si até à segunda casa decimal. Para

uma malha com 75x25 nós, os valores diferiram um pouco dos anteriores, sendo ligeiramente mais

baixos. Nos outros casos testados de / e / , e aqui apresentados, o valor

foi para ambos de 7,56. O valor máximo do número de Nusselt que se obteve em todas as simulações

registadas foi de 7,60 para e .

Estes resultados obtidos para o valor do número de Nusselt estão em excelente concordância

com o valor teórico e os resultados reportados na literatura[44,45].

Numa nota relativa às causas das diferenças entre os resultados do LBM e do Fluent, é

importante ter em conta que o Fluent resolve de forma discreta o balanço de energia total. Assim

sendo, factores como a dissipação viscosa são contabilizados na resolução do escoamento, e serão

provavelmente os causadores das pequenas diferenças que se verificaram entre os perfis obtidos pelos

dois métodos. Contudo, esta análise não foi detalhada nesta tese por sair do seu âmbito.

61

4 Conclusões

4.1 Sintese conclusiva

O trabalho desenvolvido nesta tese teve como objectivo o estudo de um método numérico – o

LBM – aplicado ao estudo de escoamentos não-isotérmicos, uma área em que este método carece

ainda de afirmação devido às limitações que possui. Este estudo incidiu no teste de modelos e

esquemas de condições de fronteira num problema de teste não testado na literatura- o escoamento de

Poiseuille entre placas planas, paralelas e infinitas.

O estudo deste método foi feito, numa primeira fase, recuperando os fundamentos do LBM e

um modelo e esquemas de condições de fronteira para escoamentos isotérmicos, o que forneceu uma

base para o compreender e resolver a parte hidrodinâmica dos escoamentos. Numa segunda fase, foi

deduzido um modelo e um esquema de condições de fronteira, escolhidos pela sua adequação à

resolução deste problema de referência. A implementação destes modelos teóricos incidiu na

resolução de escoamentos com temperatura e fluxo de calor impostos nas paredes.

Foram criados diferentes códigos computacionais para resolver ambos os escoamentos

isotérmico e não-isotérmico, dos quais se obtiveram os resultados pretendidos.

Os resultados das simulações feitas para escoamentos isotérmicos referem-se às diferentes

condições de fronteira utilizadas – velocidade, pressão e periódicas – recorrendo aos esquemas de

implementação das mesmas – Zou He e bounceback.

Os resultados obtidos com condições de fronteira periódicas, no caso de soluções estáveis,

estavam afectadas de erros em relação à solução analítica do escoamento da ordem da precisão da

máquina, para condições de fronteira na parede implementadas com o esquema Zou He. Com o

esquema bounceback implementado nas paredes, o menor erro obtido foi de 0,06% e obteve-se sempre

convergência de segunda ordem, com excepção do caso em que se utilizou o tempo de relaxação

mágico, para o qual o valor do erro é da ordem da precisão da máquina. Os valores do erro obtidos

nestas condições não variaram com o número de Reynolds, e, para uma dada discretização do

domínio, diminuíram quando os valores do tempo de relaxação se aproximaram do tempo mágico

Com a utilização de condições de fronteira de velocidade imposta à entrada e saída, os

resultados obtidos com esquema bounceback nas paredes exibiram um erro mínimo de 0,03%, para

cujos parâmetros também se verificou convergência de segunda ordem. Para outros parâmetros de

simulação, a ordem de convergência alcançada também rondou a segunda ordem, sendo o valor mais

62

baixo alcançado de 1,7. Os valores do erro apresentaram uma tendência de diminuição com a

diminuição do tempo de relaxação e do número de Reynolds.

Quando foi usado o esquema de Zou He nas condições de fronteira na parede, com condições

de velocidade à entrada e à saída, obtiveram-se resultados surpreendentes, para os quais não se

encontrou paralelo na literatura. A convergência alcançada para os resultados foi de primeira ordem,

verificando-se uma tendência de diminuição do erro com o aumento do número de Reynolds e a

aproximação do tempo de relaxação aqui chamado mágico. O valor mais baixo do erro obtido foi ,

surpreendentemente, para uma malha de 60x20 nós, e não para malhas mais refinadas, sendo o seu

valor de 0,52%. Se for excluído este caso anómalo, os erros mais baixos obtidos rondaram o valor de

1,5%.

No caso das condições de fronteira de pressão imposta à entrada e saída, verificaram-se

problemas de convergência da solução à entrada e à saída do domínio, dependendo do esquema

implementado na parede – Zou He ou bounceback, respectivamente. Os resultados obtidos com o

esquema de Zou He nas paredes apresentam muitas semelhanças com os resultados obtidos através do

software Fluent, onde também se detectou a dificuldade de convergência com diferença de pressão

imposta entre a entrada e saída. Para testar o escoamento nestas condições recorreu-se à utilização de

outro modelo – o modelo D2Q9i incompressível – através do qual se obtiveram erros da ordem da

precisão da máquina. Recomenda-se assim a utilização deste modelo quando são simulados

escoamentos com estas condições de fronteira.

Com base na análise em todos os resultados obtidos em escoamentos isotérmicos, optou-se por

implementar condições de fronteira periódicas com esquema de Zou He na parede para resolver a

parte hidrodinâmica dos escoamentos não-isotérmicos.

Para verificar os resultados das simulações de escoamentos não-isotérmicos, duas estratégias

foram utilizadas, dependendo da condição de fronteira imposta: para escoamentos com fluxo de calor

imposto as soluções foram verificadas na região termicamente (e hidrodinamicamente) desenvolvida

através da comparação com a solução analítica, deduzida no contexto deste trabalho; para o

escoamento com temperatura imposta, as soluções foram verificadas através da comparação do perfil

de temperaturas adimensional com o mesmo perfil obtido da simulação de um escoamento utilizando o

software Fluent, simulado nas mesmas condições.

No que diz respeito aos resultados obtidos em escoamentos com fluxo imposto na parede, é

importante salientar que em todos eles o valor do erro global, para malhas com pelo menos 120x40

nós, se situa sempre abaixo de 0,07%.

Para a simulação deste escoamento, foi identificada uma modelação deficiente dos cantos à

saída do domínio, surgindo nos resultados uma região em torno destes onde a ordem de grandeza do

erro local difere da do restante domínio. Não foi possível encontrar uma solução satisfatória para

atenuar este erro nos cantos. No entanto, os valores máximos do erro local registados ficaram sempre,

para qualquer simulação realizada, abaixo de 2,5%.

63

Tanto quanto a ordem de convergência pôde ser estudada, tendo em conta o enviesamento que

o erro nos cantos pode introduzir, os resultados obtidos indicam que aquele pouco se distancia da

segunda ordem.

Quanto à evolução do erro com os restantes parâmetros, registou-se uma diminuição do erro

com a diminuição do número de Prandtl, aumento do número de Reynolds e diminuição fo fluxo

imposto.

No cálculo do número de Nusselt, para o escoamento com fluxo imposto na parede, os

resultados deste tenderam para valores entre 8,25 e 8,32. Boa concordância com o valor teórico – 8,23-

foi assim alcançada.

Nos resultados das simulações para escoamentos com temperatura imposta, a única verificação

numérica feita entre os resultados extraídos do Fluent e dos códigos de LBM devolveu um erro médio

entre os perfis de temperatura adimensional de 1,8%, embora o número de Nusselt calculado com o

LBM esteja mais próximo do valor teórico correcto - 7,54 – do que o calculado a partir do Fluent –

7,60 contra 7,69. Em termos de comparação gráfica, observou-se que os perfis distanciavam-se mais

na sua zona central.

Compararam-se os perfis das soluções obtidas com LBM para diferentes discretizações do

domínio, em diferentes tempos de relaxação, e verificou-se que independentemente da discretização os

perfis coincidem quase perfeitamente.

Para números de Prandtl e Reynolds mais elevados, verificou-se que a concordância entre os

perfis obtidos das simulações de LBM e Fluent é ligeiramente melhor.

Uma observação importante, que permite concluir que os erros da modelação dos cantos no

escoamento com fluxo de calor imposto são próprios da simulação desse escoamento, é o facto do

campo de temperaturas adimensional para o escoamento com temperatura imposta na parede, ter

linhas perfeitamente paralelas em toda a região desenvolvida.

Os valores obtidos para o número de Nusselt para escoamento com temperatura imposta

tenderam para valores entre 7,60 e 7,56. Estes resultados encontram-se em boa concordância com os

valores teóricos esperados – 7,54 – e com os resultados reportados na literatura.

64

4.2 Propostas de trabalho futuro

Concluído este trabalho, ficam ainda algumas questões por solucionar ou resultados sem

respostas satisfatórias para os justificar.

Em primeiro lugar, propõe-se para trabalho futuro desenvolver melhores ferramentas de

verificação dos resultados obtidos para escoamentos com temperatura imposta na parede.

Seguidamente, propõe-se também investigar formas de resolver o valor das populações

indeterminadas nos cantos do domínio quando lhe é imposta uma condição de Neumann ( fluxo

imposto).

Partindo dos códigos computacionais já desenvolvidos, propõe-se que estes sejam utilizados e

melhorados em trabalho futuro para resolver problemas com geometrias mais complicadas ou sejam

testados noutros problemas de referência.

O escoamento que foi testado com condições de fronteira de velocidade imposta à entrada e

saída do canal e esquema de Zou He nas paredes deixou várias interrogações, e poderá ser alvo de um

estudo mais aprofundado que forneça respostas mais esclarecedoras.

65

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Simulação de escoamentos não-isotérmicos 2D … segundo lugar, quero agradecer ao Doutor...

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