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Escoamentos não isotérmicos

Profa. Mônica F. Naccache PUC-‐Rio

1 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio

Condições de contorno: paredes sólidas e interfaces

•  Tipos: –  Fronteira livre –  Fronteira limitada: paredes ou interfaces

•  Condição cinemáEca (conservação de massa em S, componente normal da velocidade conInuo)

u•n=û•n em S Se a outra fase é sólida, û=usólido (parede fixa impermeável, û=0)

Mudança de fase na interface:

ρ(u-‐ uI)•n= ρ( û-‐ ûI) •n em S

Velocidade da interface 2 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio

•  Condição de contorno térmica •  Temperatura: em S (=θs se for parede) •  Fluxo de calor (conservação de energia na interface): €

θ = ˆ θ

€

j•n = ˆ j •n em S

j = −k∇θ + ρ u−uI( )CP θ −θ ref( )ˆ j = − ˆ k ∇ ˆ θ + ˆ ρ ˆ u −uI( ) ˆ C P ˆ θ −θ ref( )

Sem mudança de fase Com mudança de fase (H=CP∆θ)

€

u•n = ˆ u •n = uI •n

−k ∇θ •n( ) = − ˆ k ∇ ˆ θ •n( )= Qs (se for parede)

€

−k ∇θ •n( ) + ˆ k ∇ ˆ θ •n( ) = ρ H − ˆ H ( ) u−uI( ) •n


•  Condição de contorno dinâmica – Especifica a relação entre os componentes tangenciais da velocidade

– Assumindo que a velocidade é conInua na interface (não deslizamento):

– A condição de não deslizamento ocorre na maioria dos fluidos Newtonianos (moléculas pequenas), e também em muitas situações dos fluidos complexos

€

u− u•n( )n = ˆ u − ˆ u •n( )n (parede, ˆ u =Usólido)parede estática : u− u•n( )n = 0


•  Condição de contorno de deslizamento: Navier-‐slip: – β: coeficiente de deslizamento (empírico) – A condição estabelece que ocorre um deslizamento, e que este é função da magnitude da tensão cisalhante na parede

•  O deslizamento em geral ocorre para altos valores de tensão

€

u− u•n( )n−β T•n− T•n( ) •n( )n[ ] = 0


Observações: •  Nas interfaces, além das CC de velocidade, são necessárias CC

adicionais •  Interfaces mudam ao longo do escoamento. Generalização da

condição cinemáEca:

•  Condição de tensão: balanço de forças na interface (que tem volume nulo) -‐ soma das forças na interface é zero

•  Hipótese: interface é caracterizada por uma superccie ou tensão interfacial, que é função do estado termodinâmico local (T ou p)

•  Forças agindo na interface: pressão e tensão agindo nas faces (proporcionais à área da interface); força devida a tensão interfacial que age no plano da interface, nas bordas do elemento de superccie.

•  Tensão interfacial: medida de energia livre por unidade de área. Aumento de área requer aumento da energia livre (trabalho) do sistema. Na teoria macroscópica, este trabalho é produzido pela força por unidade de comprimento γ (tensão interfacial)

€

F ≡ z − h x,y,t( )1∇F

∂F∂t

+ u•n = 0

€

n = ±∇F∇F


F: função escalar que define a forma da interface

Definições: Escoamento viscoso •  Laminar: transferência de momentum a nível molecular

•  Turbulento: transferência de momentum a nível macroscópico •  Transição: número de Reynolds

u

ttransiente permanente

u’ 'uuu +=

€

Rex =ρUx

µ=

forças inérciaforças viscosas


•  Escoamento internos x Escoamentos externos O escoamento e transferência de calor apresentam caracterísEcas diferentes dependendo se é externo ou interno. ü Escoamento externo: caracterizado pela região com gradiente acentuado de velocidade (camada limite hidrodinâmica) e gradiente acentuado de temperatura (camada limite térmica)

ü Escoamento interno: ü Entrada: comportamento análogo à camada limite externa ü Longe da entrada, em tubulações longas: escoamento desenvolvido: •  Hidrodinâmicamente desenvolvido: ∂u/∂x=0 ; dp/dx=cte • Termicamente desenvolvido: forma do perfil de temperatura não varia (∂θ/∂x=0 , θ é temperatura adimensional ⇒ θ =(T-‐Tref)/ ΔTref


Le/Dlam=Re/20 Le/Dturb=40


•  Escoamento internos x Escoamentos externos – Diâmetro hidráulico – Fator de atrito – Número de Nusselt – Temperatura de mistura (ou de de “bulk”) – Região desenvolvida


Camada Limite Hidrodinâmica: região do fluido que sofre os efeitos da parede (u ≤ U)

δ(x)

δ

x

y τ

τ

U U

u(y) Fluidos Newtonianos:

€

τ s = µ∂u∂y y= 0

11

Espessura da CL depende da viscosidade

Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio

Camada Limite Térmica: região do fluido que apresenta variações no campo de temperatura devido a presença da parede

δt(x)

δt

x

y

T0 U

T(y)

T0

Ts

€

Ts −TTs −T0

= 0,99

qs" = −k f

∂T∂y y= 0

= h Ts −T0( )

⇒ h =

−k f∂T∂y y= 0

Ts −T0( )

⇒ h é função da distribuição de temperaturas

δt cresce com x ⇒ ∂T/∂y⏐y=0 cai com x ⇒ h cai com x


Escoamento interno: Algumas definições

• Velocidade média:

• Temperatura de mistura (ou de bulk): • Diâmetro hidráulico: DH=4Ac/P Ac -‐ área seção transversal P -‐ perímetro molhado

€

˙ m = ρumA

um =1ρA

ρu(r, x)dAA∫

€

Tb = Tm =1

˙ m cv

ρucvTdAA∫


-‐ Escoamento no interior de um tubo circular: -‐  Hip.: Escoamento laminar, regime permanente, propriedades constantes, esc. desenvolvido ∂u

∂x= 0 v = 0

-‐ Balanço de forças:

€

τ(2πrdx) − {τ(2πrdx) +ddr

τ (2πrdx)[ ]dr} +

p(2πrdr) − {p(2πrdr) +ddx

p(2πrdr)[ ]dx} = 0

−1rd rτ( )dr

= r dpdx

SubsEtuindo na equação obEda do balanço de forças: €

τ = −µdudr

-‐ Fluido Newtoniano:

µrddr

r dudr

!

"#

$

%&=

dpdx

u(r) = 1µdpdx

r2

4+C1 ln r +C2

CC : u(r0 ) = 0 dudr r=0

= 0 ⇒ u(r) = − 14µ

dpdxr0

2 1− rr0

!

"#

$

%&

2)

*++

,

-..


-‐ Velocidade média:

€

um = −r02

8µdpdx

-‐ Queda de pressão e fator de atrito para escoamento desenvolvido

€

f =−(dp/dx)D1/2ρum

2

€

Cf =τ

1/2ρum2

Cf =f4

fator de atrito:

Coeficiente de atrito:

-‐ Escoamento laminar desenvolvido:

€

f =64Re

-‐ Escoamento turbulento -‐ superccies lisas:

€

f = 0.316Re−1/ 4 Re ≤ 2x104

f = 0.184 Re−1/ 5 Re ≥ 2x104

f = 0.79(lnRe−0.164)−2 3000 ≤ Re ≤ 5x106


-‐ Número de Nusselt:

€

dqconv + ˙ m (cvTm + pv) − ˙ m (cvTm + pv) + ˙ m d(cvTm + pv)dx

dx#

$ % &

' ( = 0

⇒ dqconv

taxa de troca decalor por convecção

= ˙ m d(cvTm + pv)fluxo de energia térmica devida ao fluxo massa + trabalho líquido realizado pelo fluido ao se movimentaratravés do VC

16

€

NuLc =hLck

=qs"Lc

k Ts −Tref( )

Para gases ideais: pv=RTm , cp=cv+R

€

⇒ dqconv = ˙ m c p dTm

Para líquidos incompressíveis, cv=cp e v é muito pequeno (d(pv)<<d(cvTm))

€

⇒ dqconv = ˙ m c p dTm


Integrando a equação acima ao longo de todo o tubo:

€

qconvcalor total transferido ao tubo

= ˙ m cp (Tm,s −Tm,e )

Num elemento diferencial de fluido:

€

dqconv = q"s PdxP - perímetro da superfície (tubo circular : P = πD)

⇒dTm

dx=

q"s P˙ m c p

=P

˙ m c p

h(Ts − Tm)

•  Se Ts>Tm, calor é transferido ao fluido e Tm cresce com x •  Se Ts<Tm, calor é transferido pelo fluido e Tm cai com x

17

€

NuLc =hLc

k=

qs"Lc

k Ts −Tref( )=

˙ m cpLc / P

k Ts −Tref( )dTm

dx


Escoamentos simples unidimensionais: soluções exatas


Solução de Escoamentos •  Equações não lineares •  Soluções exatas só para escoamentos simples (p. ex. termos não lineares nulos -‐ u•grad u=0)

•  Soluções aproximadas: –  Soluções numéricas – Métodos analíEcos -‐ métodos assintóEcos ou técnicas de perturbação: soluções analíEcas baseadas em aproximações/ hipóteses que simplificam as equações


Soluções exatas: Escoamentos unidimensionais Escoamento de Coueze -‐

entre 2 placas paralelas infinitas •  Hipóteses: – Propriedades ctes – Escoamento desenvolvido – Esc. no plano xy: w=0, – Regime permanente – Fluido Newtoniano –  , T=T(y)

€

∂ /∂x = 0( )

€

∂ /∂z = 0

€

∂T /∂x = 0


Eq. conservação de massa:

€

∂u∂x

+∂v∂y

= 0⇒ ∂v∂y

= 0 v = cte = 0

€

ρ u∂u∂x

+ v∂u∂y

$

% &

'

( ) = −

∂p∂x

+ µ∂ 2u∂x 2

+∂ 2u∂y 2

$

% &

'

( ) + ρgx

ρ u∂v∂x

+ v∂v∂y

$

% &

'

( ) = −

∂p∂y

+ µ∂ 2v∂x 2

+∂ 2v∂y 2

$

% &

'

( ) + ρgy

⇒ −∂p∂y

− ρg = 0 p = f (x) − ρgy

P = p + ρgy⇒∂P∂y

=∂p∂y

+ ρg = 0 ∂P∂x

=∂p∂x

=dPdx

dPdxg( x )

= µ∂ 2u∂y 2$

% &

'

( )

h( y )

= cte(= A)⇒ u =Aµy 2

2+C1y +C2

Eq. conservação de QML: €

v = u ˆ e x+ v ˆ e y+ w ˆ e z = u(y) ˆ e x


CC : y = −a u = 0y = a u =U

⇒ u = − dPdx

a2

2µ1− y

2

a2#

$%

&

'(+U2

ya+1

#

$%

&

'(

um = −13dPdx

a2

µ+U2

τ = µdudy

= a dPdx

ya#

$%&

'(+µ

U2a

Casos parEculares: U=0 dP/dx=0 Exercício: Obtenha o fator de atrito para estes casos parEculares


€

f =−(dp/dx)D1/2ρum

2

€

Cf =τ

1/2ρum2

fator de atrito:

Coeficiente de atrito:

Eq. da Energia:

ρcp u∂T∂x

+ v∂T∂y

!

"#

$

%&= k

∂ 2T∂x2 +

∂ 2T∂y2

!

"#

$

%&+µφ + q

µφ = µ∂u∂y

+∂v∂x

!

"#

$

%&

2

+ 2 ∂u∂x!

"#

$

%&

2

+∂v∂y!

"#

$

%&

2'

())

*

+,,

-./

0/

12/

3/

⇒ 0 = k d 2Tdy2

!

"#

$

%&+µ

dudy!

"#

$

%&

2

T = −µk

2µdpdx

!

"#

$

%&

2y4

12+dpdx

Uy3

6aµ+

U2a!

"#

$

%&

2 y2

2

'

())

*

+,,+C1y+C2

CC : y = −a T = T0 (placa inferior)y = a T = T1 (placa superior)

θ =T − ToT1 − To

=12

1+ ya

'

()*

+,+µ cpk

U 2

cp T1 − To( )18

1− y2

a2

!

"#

$

%&+

13µ cpk

U [dp / dxa2 / (2 µ)]cp T1 − To( )

ya−y3

a3

!

"#

$

%&+

13µ cpk

dp / dx a2 / (2 µ)( )2

cp T1 − To( )1− y

4

a4

!

"#

$

%&


Número de Prandtl: razão entre difusividades de momentum e térmica Número de Eckert: energia cinéEca/variação entalpia – caracteriza a dissipacão

€

T − ToT1 − To

=121+ y

a"

#$%

&'+ Pr E 1

81− y

2

a2(

)*

+

,-+

13Pr U [dp / dx a

2 / (2 µ)]cp T1 − To( )

ya−y3

a3(

)*

+

,-+13Pr

dp / dx a2 / (2 µ)( )2

cp T1 − To( )1− y

4

a4(

)*

+

,-

T − ToT1 − To

=121+ y

a"

#$%

&'+ Pr E 1

81− y

2

a2(

)*

+

,-+

13Pr E [dp / dx a

2 / (2 µ)]U

ya−y3

a3(

)*

+

,-+13Pr E

dp / dx a2 / (2 µ)( )2

U1− y

4

a4(

)*

+

,-


Pr = να=

µ / ρk / ρcp( )

=µ cpk

E = U 2

cp T1 − To( )

Exemplos: 1. dP/dx=0

€

" " q w = − k∂ T∂ y

%

& '

y =a

= − kT1 − To

2 a1−Pr E

2(

) * +

, -

" " q w = − k∂ T∂ y

%

& '

y =−a

= − kT1 − To

2 a1+Pr E

2(

) * +

, - =

k To − T1 +PrU 2

2 cp

.

/ 0 0

%

& ' '

Temp. de recuperação ou Temp. de parede adiabática

(

)

* * * * *

+

,

- - - - -

2 a

temperatura da parede inferior, quando ela está isolada (i.e., qw=0)


Perfil de temperatura para placa inferior adiabáEca (qwi=0):

€

T = T1 +µkU 2

83 − 2 y

a−y 2

a2#

$ %

&

' (

⇒ Taw = T(y = −a) = T1 + Pr U 2

2cp

Taw-‐ temperatura aEngida pela superccie adiabáEca, devido à dissipação viscosa -‐ Aumento de temperatura devido a conversão de energia cinéEca (da placa superior) em energia térmica -‐  Def.: Fator de recuperação= En. térmica recuperada En. cinéEca na placa superior

€

r =cp Taw −T1( )U 2 /2

= PrGases: Pr < 1 è r < 1 Líquidos: Pr > 1 è r > 1


2. dP/dx≠0 e U=0

€

T − To

T1 − To

=121+

ya

#

$ % &

' ( +13Pr E 1 −

y 4

a4)

* +

,

- .

E =umax2

cp T1 − To( )

/ / q w = − k∂ T∂ y

,

- .

y = a

= − kT1 − To

2 a1−

83Pr E

#

$ % &

' (

/ / q w = − k∂ T∂ y

,

- .

y =−a

= − kT1 − To

2 a1+83Pr E

#

$ % &

' ( =

k To − T1 +83Pr umax

2

cp

)

* + +

,

- . .

#

$ % %

&

' ( (

2 a

Taw = T1 +83Pr umax

2

cp

r =cp (Taw − T1)umax2 / 2

=12 Pr


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