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Processamento de Sinais Aleatórios

1. SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO

(I) LINEARIDADE: Um sistema é linear se atende ao Teorema da Superposição:

T[a x1(t)+b x2(t)] = T[a x1(t)]+T[b x2(t)] = a T[x1(t)] + b T[x2(t)]

onde x1(t) e x2(t) são sinais de entrada arbitrários, e a e b são constantes arbitrárias.

(II) INVARIÂNCIA NO TEMPO: Se y(t) é a resposta à entrada x(t), então o sistema é dito

invariante no tempo se para x(t −) temos y(t −).

(III) RESPOSTA IMPULSIVA: A resposta impulsiva h(t) de um sistema linear e invariante

no tempo é definida por

h(t) = T[(t)]

onde (t) é uma função impulso unitário aplicada no instante t = 0.

A resposta do sistema para uma entrada arbitrária x(t) é então a convolução de x(t) com h(t):

para sinais contínuos no tempo, e

para sinais discretos no tempo.

(IV) CAUSALIDADE: Um sistema é causal se a resposta no instante t depende apenas de

valores de entrada passados, isto é, se

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2. FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO

Nas aplicações mais frequentes, os processos estocásticos são estacionários no sentido

amplo, e desta forma as informações disponíveis consistem das estatísticas de 1ª. e 2ª. ordens,

ou seja, a função densidade de probabilidade fX(x) e a função de autocorrelação RX().

Consideremos um filtro linear invariante no tempo com resposta a impulso h(t). Se a

entrada é um sinal determinístico v(t), a saída w(t) é dada pela integral de convolução

Esta relação pode também ser expressa no domínio da frequência em termos da

transformada de Fourier.

TRANSFORMADA DE FOURIER - As funções g(t) e G(f) são chamadas de um par de

transformadas de Fourier se

Se um filtro linear tem resposta a impulso h(t), a transformada de Fourier H(f) é chamada de

resposta em frequência do filtro.

A convolução entre a entrada v(t) do filtro e a sua resposta a impulso h(t) no domínio do tempo

torna-se uma multiplicação o domínio da frequência, isto é, se v(t) é a entrada de um filtro linear

invariante no tempo com resposta a impulso h(t), a transformada de Fourier da saída do filtro W(f),

está relacionada à transformada da entrada, V (f) e à resposta em frequência do filtro H(f) por

W(f) = H(f) V(f)

Processo de saída de um filtro linear invariante no tempo

X(t) é a entrada de um filtro linear invariante no tempo com resposta a impulso

h(t), e Y (t) é a saída se todas as entradas do filtro são funções amostra de X(t) e as saídas são

funções amostra de Y (t).

Y (t) está relacionado com X(t) pela integral de convolução:

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Se a entrada de um filtro linear invariante no tempo com resposta a impulso h(t) é um processo

estacionário no sentido amplo X(t), a saída é um processo estacionário no sentido amplo Y (t) com

valor médio e função de autocorrelação dados por

SOLUÇÃO:

3. ESPECTRO DENSIDADE DE POTÊNCIA

Para um processo estocástico X(t) estacionário no sentido amplo, a função de autocorrelação e o

espectro densidade de potência SX(f) são o par de transformadas de Fourier

Para um processo estocástico X(t) estacionário no sentido amplo, o espectro densidade de

potência SX(f) tem as seguintes propriedades:

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Quando um processo X(t) estacionário no sentido amplo é a entrada de um filtro linear

invariante no tempo com resposta em frequência H(f), a densidade espectral de potência da

saída Y(t) é

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4. CORRELAÇÕES CRUZADAS

4.1 - PROCESSOS INDEPENDENTES Os processos estocásticos X(t) e Y (t) são

independentes se para qualquer coleção de amostras de tempo, t1, t2, . . . , tn e

t1’, t2’, . . . , tn’

4.2 - FUNÇÃO DE CORRELAÇÃO CRUZADA A correlação cruzada dos processos

X(t) e Y (t) é dada por

4.3 - PROCESSOS DESCORRELACIONADOS. Dois processos X(t) e Y (t), estacionários

no sentido amplo, são ditos descorrelacionados se sua função de correlação cruzada é igual

ao produto de suas médias, isto é

RXY() = mX(t) mY(t+)

4.4 - PROCESSOS INCOERENTES OU ORTOGONAIS. Dois processos X(t) e Y (t),

estacionários no sentido amplo, são ditos incoerentes ou ortogonais se

RXY() = 0

4.5- PROCESSOS CONJUNTAMENTE ESTACIONÁRIOS NO SENTIDO AMPLO. Os

processos estocásticos X(t) e Y (t) são conjuntamente estacionários no sentido amplo se cada

um deles é estacionário no sentido amplo, e a correlação cruzada satisfaz

RXY(t,) = RXY()

4.6 - PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE CORRELAÇÃO CRUZADA

(1ª.) Se X(t) e Y (t) são conjuntamente estacionários no sentido amplo, então

RXY () = RYX(- )

(2ª.) Se X(t) e Y (t) são processos aleatórios independentes, então

RXY () = RYX( )

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4.7 – DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA

Para processos X(t) e Y (t) conjuntamente estacionários no sentido amplo, a

transformada de Fourier da correlação cruzada leva à densidade espectral cruzada, isto é,

Para os processos X(t) e Y (t) conjuntamente estacionários no sentido amplo, a

densidade espectral cruzada apresenta a seguinte simetria:

SXY (f) = SYX(−f).

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4.8 - FILTRAGEM DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

Quando um processo X(t) estacionário no sentido amplo é a entrada de um filtro linear

invariante no tempo h(t), a correlação cruzada entre entrada e saída é dada por:

Quando um processo X(t) estacionário no sentido amplo é a entrada de um filtro linear

invariante no tempo, a entrada X(t) e a saída Y(t) são conjuntamente WSS.