ARREMESSO DE PESO – UMA FORMA DE COMO MANTER A QUALIDADE DE VIDA ATRAVÉS DA PRÁTICA ESPORTIVA1

Márcio de Morais Correia2

Napoleão Campos E. Sobrinho3

1 ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DO CASO

1.1 Depois de quanto tempo o peso se chocará com o chão?

Trata se de um movimento bidimensional, onde o projétil ao ser arremessado fará

dois movimentos, um horizontal e outro vertical, o projétil terá um V0 ≠ 0 e com a aceleração

constante, aceleração de queda livre (Aceleração gravitacional). O objetivo é analisar a função

do movimento vertical no momento em que o projétil arremessado e se choca ao chão.

Sabemos que a velocidade vertical varia durante todo o trajeto e a velocidade horizontal será

constante durante em todo o deslocamento. O peso se chocará ao chão quando y for igual a

zero.

Função do deslocamento vertical

Função do deslocamento vertical.

y=−12

g t 2+(Vo . senα ) t+h

Equação da componente V0y

V0y= Vo.senα

Equação do Segundo Grau

0=−12

g t 2+Voyt+h

ax2+bx+c=0

x=−b±√b2−4ac2a

t=−Voy±√Voy2−4 .1

2(−g)h

−2.1g2

1 Sinopse do Case Institucional apresentado à Disciplina Cálculo Fundamental Curso de Engenharia Civil da Unidade de Ensino Superior Dom Bosco – UNDB.2 Aluno do 1º Período do Curso de Engenharia Civil da UNDB.3 Professor da Disciplina Cálculo Fundamental da UNDB.

t=−Voy±√Voy2+2 gh−g

O tempo que será usado, será o tempo positivo. t > 0

Equação do deslocamento horizontal.

X= (Vo.cosα).t

Equação da componente V0x

V0x= V0.cosα

O instante em que o projétil se choca ao chão é:

X= V0x.t

t= xVox

2.2 A que distância horizontal o peso se chocará com o chão.

O peso ao se chocar com o chão o deslocamento vertical será igual a zero logo:

O deslocamento horizontal é apenas a velocidade horizontal Vox multiplicado pelo tempo de

permanência do projétil no ar.

X= V0x.t

t=−Voy±√Voy2+2 gh−g

Logo a formula do deslocamento horizontal é:

X=V ox .(−Voy ±√Voy2+2gh−g

)

2.3 Quantas calorias serão consumidas por esse atleta ao arremessar esse peso.

Segundo Halliday (ano), Energia cinética (K) é a energia associada ao estado de movimento

de um objeto. Quanto mais depressa o objeto se move, maior é a energia cinética, Quando um

objeto está em repouso, a energia cinética é nula.

K=m .V2

2

V = Vo

Logo, K=m .Vo2

2 J

O resultado dará em joule havendo a necessidade de dividir por 4,18 pois, 1 cal equivale a

4,18 joule.

Logo, K=m .Vo2

8,36

Para encontrar a quantidade de calorias necessita da velocidade inicial Vo.

Calculo do tempo tem t na equação:

X= V0x.t

t= xVox

Calculo de Vo.

y=−12

g t 2+(Vo . senα ) t+h y=−12

g( xVox )2

+Vo . senα ( xVox )+h

y=−12

g( xVox )2

+Vo . senα ( xVox )+h

y=−x2( g

2Vox2 )+x (Vo . senαVox )+h

0=−x2( g

2Vo2 .(cos 44 º )2 )+x (Vo . sen44 ºVo .cos 44 º )+h

x2 . g2V 2 .(cos 44 º )2 =x(Vo . sen 44 º

Vo .cos 44 º )+h

x2 . g2V 2 .(cos 44 º )2 =x . tg 44 º+h

x2 . g¿¿

V=√ x2 . g¿¿ ¿

Substituindo V velocidade

K=m.¿¿¿

K=m.¿¿

2.4 Mantendo-se inalteradas as demais condições, que vantagem leva um arremessador

alto.

Com todas as condições inalteradas, apenas a altura do arremessador alterada, um

arremessador mais alto terá uma vantagem sobre o mais baixo pois, o peso passará mais

tempo no ar, como a velocidade horizontal (Vox) é constante o peso se deslocará mais

horizontalmente.

Voy igual a Vox pois, o seno de 45º igual ao cosseno de 45º.

Dados = 10m/s2; Voy = Vox = 13m/s; α = 45º; y=0

Atleta de 1,60m de altura Atleta de 1,80m de altura

Deslocamento Horizontal Deslocamento Horizontal

X=13 .(−13±√132+2.10 .1,6−10

)

X=13 .(−13±√132+2.10 .1,6−10

)

X=13 .(−13±√201−10

)

X=35,330m

X=13 .(−13±√132+2.10 .1,8−10

)

X=13 .(−13±√132+2.10 .1,8−10

)

X=13 .(−13±√205−10

)

X=35,513m

Analisando os dados dos cálculos acima percebemos que o atleta com a maior altura terá sim

uma vantagem, mesmo essa vantagem sendo pequena irá beneficiar o atleta mais alto.

2.5 Em agosto de 1975, Marianne Adam (da ex - Alemanha Oriental) arremessou o peso

a 21,6 metros. Supondo-se α = 44º, g = 9,8m/s2, h = 1,6m, qual era a velocidade do peso

no momento do peso no momento em que foi lançado. E quantas calorias foram

consumidas dessa atleta nesse arremesso.

No instante que o peso é arremessado o tempo (t) é zero e altura inicial 1,6m e o

deslocamento horizontal igual a 0, logo teremos

Dados: Sen44º = 0,694; Cos44º = 0,719; tg44º = 0,965 Y=0

Voy = V.sen44º; Vox = V.cos44º

Deslocamento Vertical t = 0

y=−12

g t 2+(V . senα ) t+h

y=−12

g 02+(V . senα ) 0+h

y=h = 1,6m

Para o cálculo da velocidade (V0) temos distância vertical igual a zero e distância horizontal

igual 21,6m e distância vertical inicial (h) igual 1,6m. Y=0; X=21,6m; h=1,6

Deslocamento Horizontal

X= V0x.t

t = xV 0 x

Deslocamento Vertical

y=−12

g t 2+(V . senα ) t+h y=−12

g( xVox )2

+Voy ( xVox )+h

y=−12

g( xVox )2

+Voy ( xVox )+h

y=−x2( g

2Vox2 )+x (VoyVox )+h

y=−x2( g

2Vox2 )+x (V . sen 44 ºV .cos 44 º )+h

y=−x2( g

2Vox2 )+x . tg 44 º+h

0=−(21,6 )2( 9,8

2Vox2 )+21,6. tg 44 º+1,6

466,56.9,8

2Vox2=22,458

44,916 .Vox2=4572,288

Vox=√ 4572,28844,916

Vox=10,08m /s

Vo = 10,08

cos44 º

Vo= 14,01m/s

A quantidade de caloria. A massa da bola de ferro é igual 4kg. Dados 1 Cal = 4,18 J

K=m .(14,01)2

8.36

K=4.(14,01)2

8.36

K=93,91Cal

Também pode ser feito pela formula desenvolvida no tópico 2.2.

K=m.¿¿

K=4.¿¿

K=¿¿

K=786,908,36

K = 94,12 cal

2.6 Supondo-se 𝐕=𝟏𝟑𝐦/𝐬, 𝐠=𝟗,𝟖𝐦/𝐬𝟐 𝑒 𝒉=𝟏,𝟖 𝒎, faça um gráfico das distâncias que o peso alcançará, para vários ângulos em torno de 45°. Qual desses ângulos parece dar a distância máxima? Sen41º = 0,656; Cos41º = 0,754; Sen45º = 0,707; Cos45º = 0,707 Sen49º = 0,754; Cos49º = 0,656

Ângulos 41º Ângulos 45º Ângulos 49º

Cálculo Voy e Vox Cálculo Voy e Vox Cálculo Voy e Vox

Voy = 13.sen41º

Voy = 8,528 m/s

Vox = 13.cos41º

Vox = 9,802 m/s

Voy = Vox, porque sen45º =

cos45º

Voy = 13.sen45º

Voy = Vox = 9,191 m/s

Voy = V.sen49º

Voy = 9,802m/s

Vox = V.cos49º

Vox = 8,528 m/s

Deslocamento Horizontal Deslocamento Horizontal Deslocamento Horizontal

X=V ox .(−Voy ±√Voy2+2gh−g

)

X=9,802 .(−8,528±√8,5282+2.9,8 .1,8−9,8

)

X=9,802 .(−8,528−√108,006−9,8

)

X = 18,92m

X=V ox .(−Voy ±√Voy2+2gh−g

)

X=9,191 .(−9,191±√9,1912+2.9,8 .1,8−9,8

)

X=9,191 .(−9,191±√119,754−9,8

)

X = 18,88m

X=V ox .(−Voy ±√Voy2+2gh−g

)

X=8,528 .(−9,802±√9,8022+2.9,8 .1,8−9,8

)

X=8,528 .(−9,802±√131,359−9,8

)

X = 18,50m

18 1936

38

40

42

44

46

48

50

[VALOR X]; [VALOR Y]º

[VALOR X]; [VALOR Y]º

[VALOR X]; [VALOR Y]º

Com todas as condições inalteradas e com mudança apenas de ângulo podemos

observar que o ângulo de 41º é o melhor para alcançar a maior distância nessas condições

entre os 3 ângulos escolhidos.

2.7 O valor de 𝐠 depende de cada ponto da Terra. Mantendo-se inalteradas as demais condições, que efeito tem sobre a distância alcançada pelo peso?Um local com gravidade menor terá um alcance maior pois, na formula do alcance elaborada

no item 2.2 a gravidade é o denominador assim mostra que quanto maior esse denominador

menor será o tempo de permanência no ar.

Vejamos um exemplo o caso da lua e da terra, se uma pessoa saltar na lua com uma mesma

angulação uma mesma velocidade que na terra seu alcance será maior na lua pois, lá a

gravidade é bem menor.

X=V ox .(−Voy ±√Voy2+2gh−g

)

Dados = Voy = Vox = 13m/s; α = 45º; y=0; h = 1,6

g = 10 g = 5

Deslocamento Horizontal Deslocamento Horizontal

X=13 .(−13±√132+2.10 .1,6−10

)

X=13 .(−13±√132+2.10 .1,6−10

)

X=13 .(−13±√201−10

)

X=35,330m

X=13 .(−13±√132+2.5 .1,6−5

)

X=13 .(−13±√132+2.5 .1,6−5

)

X=13 .(−13±√185−5

)

X=69,16m

Acima foi provado numericamente que um local com gravidade menor o arremesso terá um

maior alcance.