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TECNOLOGIA: PARA DADOS, MATERIAIS E PROCESSOS [footnoteRef:1] [1: Sinopse do Case Institucional apresentado Disciplina Clculo I Curso de Engenharia Civil da Unidade de Ensino Superior Dom Bosco UNDB.]

Mrcio de Morais Correia[footnoteRef:2] [2: Aluno do 2 Perodo do Curso de Engenharia Civil da UNDB.]

Napoleo Campos E. Sobrinho[footnoteRef:3] [3: Professor da Disciplina Clculo I da UNDB.]

1. OBJETIVOS

1.1 Estudar problemas relacionados a funes de uma varivel real e sua variao;1.2 Esboar grficos usando derivadas de funes de uma varivel real;1.3 Analisar problemas prticos presentes no cotidiano de profissionais de engenharia.

2. CASE: TECNOLOGIA: PARA DADOS, MATERIAIS E PROCESSOS

A evoluo das descobertas cientficas, certamente no seriam consubstanciadas sem formulao matemtica para tanto. Sendo assim, estudos e pesquisas, alm de trabalhos de profissionais, como aqueles executados por engenheiros, economistas, entre outros, mesmo com o advento da computao e toda tecnologia presente nos nossos dias, devem-se apoiar-se em fundamentos matemticos prticos no desenvolvimento e desempenho adequado de suas tarefas.Objetiva-se com o presente estudo de caso, analisar o problema de gastos em uma empreitada naval, problema conhecido de profissionais das reas de transporte de cargas e passageiros. Com isso, o problema ser enunciado abaixo:Seja um navio que deve sair de So Lus at uma cidade localizada a uma distncia D (medida em quilmetros). Sabendo ainda que todos os gastos do navio esto orados em termos de combustvel e pessoal (mo de obra), e tendo em vista que o gasto de combustvel proporcional ao quadrado da velocidade, isto , da forma kv2 onde k uma constante real, e o pagamento horrio de pessoal, que evidentemente independente da velocidade, ser designado por m.

3. QUESTES PARA ANLISE

3.1 Determinar a relao matemtica entre a distncia percorrida e a velocidade;3.2 Expressar uma funo da velocidade que descreva todos os gastos at chegar cidade de destino;3.3 Esboar o grfico da funo estabelecida no problema anterior. Alm disso, estudar sua continuidade;3.4 Analisar o comportamento da funo de gastos para velocidades pequenas e para grandes velocidades;3.5 Determinar relaes entre k e m para que a funo gastos seja mnima;3.6 Determine relaes para k e m de modo que a funo gastos seja mxima;3.7 Atribua valores para D, k e m e faa, em um software matemtico de sua preferncia o grfico da funo gasto e interprete o grfico.

4 ANLISE E SOLUO DO CASO

- Determinar a relao matemtica entre a distncia percorrida e a velocidade;A relao matemtica entre distncia percorrida e velocidade pode ser encontrada em qualquer livro de fsica.Segundo Halliday (2013 p. 15) [...] vrias grandezas esto associadas expresso com que rapidez uma a velocidade mdia vmed, que a razo entre o deslocamento x e o intervalo de tempo t durante o qual esse deslocamento ocorre.vmed= = Segundo Stewart (2006), Temos um objeto que se move de acordo com a variao de espao em uma variao de tempo, ou seja temos s(t) onde no intervalo de tempo t = b e t = b+h, onde h e a variao de tempo. A variao de espao dada por s(b+h) s(b), ento a velocidade mdia nesse intervalo :Vmed = = Calculando essa velocidade em intervalos cada vez menores temos [b, b+h], ou seja h tendendo a 0. Definimos velocidade instantnea v(b) no momento t = b como limites dessas velocidades mdias.

Ento a velocidade no instante t = b a inclinao da reta tangente ao ponto.

- Expressar uma funo da velocidade que descreva todos os gastos at chegar cidade de destino;

Descrita no problema acima temos duas funes uma que referente ao gasto com o combustvel que terei com C(v) e a funo gasto com os funcionrios F(n).k uma constante Real.v equivalente a velocidade mdia da viagem realizada pelo navio de So Lus a um ponto definido pela distncia D.m o valor pago em referncia a mo de obra da viagem. D a variao de espao entre a cidade de So Lus e a cidade de destino.n tempo da viagem contado em dias.t tempo da viagem em horas.Temos a funo gasto com combustvel da seguinte forma, C(v)= kv e a funo gasto com a mo de obra, F(n)= m.n.Faremos a transformao desse tempo n em dias para t em horas da seguinte forma:F(n)=m.n F(t)= Colocaremos a F(t) em funo da velocidade usando a relao de espao e velocidade.vmed = t = Temos a funo gasto da mo de obra em funo de v:F(v)=Para obtermos a funo gasto total descrita por G(v), faremos a soma das duas funes C(v)+F(v).G(v) = C(v) + F(v) = kv + G(v) = kv +

- Esboar o grfico da funo estabelecida no problema anterior. Alm disso, estudar sua continuidade;

G(v) = kv + Para Flemming (2006) apresenta um quadro com etapas para a construo do grfico:Tabela 1: Etapas para elaborao do graficoEtapasProcedimento

1Encontrar D(G)

2Calcular os pontos de interseo com os eixos

3Encontrar os pontos crticos

4Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de G(v)

5Encontrar os mximos e mnimos relativos.

6Determinar a concavidade e os pontos de inflexo de G

7Encontrar assntotas horizontais e verticais, se existirem.

8Esboar o grfico

Analise do ponto crtico da funo.Teremos a seguinte condio.;;;G(v) = kv + O teorema de Fermat diz que a derivada da funo igualada a zero encontra o ponto mximo ou mnimo de uma funo.Segue a demonstrao da derivada da funo em vc, que o ponto de mximo ou mnimo da funo.G(v) = kv + G(Vc) =

G(v) = 2kv - = 0 48kv = m.DVc = Este o ponto de mximo ou mnimo: (vc, G(vc))Como fizemos a definio acima que o k>0 logo a concavidade e voltada pra cima.Segundo Flemming (2006 p. 205) Uma funo dita cncava para cima no intervalo (a,b), se f(x) crescente neste intervalo.Logo temos no intervalo (V1, V2) Ser crescente para a seguinte condio, G(V1)> G(Vc); G(V1) > G(Vc)Logo a concavidade da funo para cima

Grafico1: Grfico desenvolvido no wimplotPara Stewart (2006) ele define como funo continua uma funo f(x) onde o limite dessa funo tendendo a a deve ser igual a f(x) no ponto a. Matematicamente falando ser:= f(a)Para existir limite no ponto os limites laterais deve ser igual.G(v) = kv + Faremos as seguintes condies para estudar a continuidade desta funo.;;;Fazendo a analise dessa funo e grfico no intervalo das variveis determinado acima temos que a funo continua em qualquer ponto deste intervalo.

- Analisar o comportamento da funo de gastos para velocidades pequenas e para grandes velocidades;

G(v) = kv + Para pequenas velocidades: = = 0 + = +, logo = +Para grandes velocidades: = = + + = 0 , logo = +

- Determinar relaes entre k e m para que a funo gastos seja mnima;

;;;G(v) = kv + Clculo para encontrar a Vc onde dar o ponto mnimo da funo.G(v) = 2kv - = 0 48kv = m.DVc =

A seguinte relao para k e m;G(v) = kv + G(v) = 2kv - = 0 48kv = m.D

Para Konguetsof (1974) dada a funo f: I IR derivada em um ponto b I e f(b)>0 ento a funo f estritamente crescente em b. Para qualquer que se seja x I {b}, temos f(x)>f(b).Fazendo um estudo desta funo tendendo para dois valores de v, um ser 0+ e o outro ser +. = = 0 + = +, logo = + = = + + = 0 , logo = +Logo para qualquer valor diferente de Vc e maior que 0 temos G(v)>G(Vc). Ento neste caso temos um ponto de mnimo na funo e a concavidade voltada para cima.

- Determine relaes para k e m de modo que a funo gastos seja mxima;;;;G(v) = -kv + A seguinte relao para k e m;G(v) = kv + G(v) = -2kv = 0 -48kv = m.D

Para Konguetsof (1974) dada a funo f: I IR derivada em um ponto b I e f(b)