Calculo estrutural

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MÓDULO 01 - Introdução aos Sistemas Estruturais - Definição dos Elementos Estruturais Objetivo do módulo Mostrar a relação entre Engenharia e Arquitetura e a definição dos elementos de uma estrutura A Engenharia e a Arquitetura não devem ser vistas como duas profissões distintas, separadas, independentes uma da outra. Na verdade elas devem trabalhar como uma coisa única. Um Sistema Estrutural definido pelo conjunto de Elementos Estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) deve ter presente em sua concepção tanto uma visão Técnica (Engenharia) como também uma Expressão Arquitetônica (Arquitetura). 1. Definição dos Elementos Estruturais Laje: estruturas laminar, onde duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e a terceira acentuadamente de menor dimensão. As lajes em um Sistema Estrutural estão, na maioria das vezes, apoiadas em vigas, podando também, em certos casos, estarem apoiadas diretamente sobre pilares.

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  • 1. MDULO 01 - Introduo aos Sistemas Estruturais - Definio dos Elementos Estruturais Objetivo do mdulo Mostrar a relao entre Engenharia e Arquitetura e a definio dos elementos de uma estrutura A Engenharia e a Arquitetura no devem ser vistas como duas profisses distintas, separadas, independentes uma da outra. Na verdade elas devem trabalhar como uma coisa nica. Um Sistema Estrutural definido pelo conjunto de Elementos Estruturais (lajes, vigas, pilares, fundaes) deve ter presente em sua concepo tanto uma viso Tcnica (Engenharia) como tambm uma Expresso Arquitetnica (Arquitetura). 1. Definio dos Elementos Estruturais Laje: estruturas laminar, onde duas dimenses so da mesma ordem de grandeza e a terceira acentuadamente de menor dimenso. As lajes em um Sistema Estrutural esto, na maioria das vezes, apoiadas em vigas, podando tambm, em certos casos, estarem apoiadas diretamente sobre pilares.

2. Viga: estrutura reticular, onde uma das dimenses preponderante em relao s outras duas. As vigas em um Sistema Estrutural podem estar apoiadas diretamente sobre os pilares como tambm sobre outras vigas. Pilar: estrutura reticular, onde uma das dimenses preponderante s outras duas. Os pilares em um Sistema Estrutural esto apoiados nas fundaes. Fundao: estrutura tridimensionalmente monoltica, onde as trs dimenses so da mesma ordem de grandeza. As fundaes em um Sistema Estrutural esto apoiadas em estacas ou diretamente sobre o terreno. MDULO 13 - Introduo ao Elemento Estrutural Vigas Objetivo do mdulo Definir o que uma viga, o que tenso, como se faz a verificao da estabilidade de um elemento 3. estrutural e quais so as tenses em uma viga. Vigas 1. Definio Pode-se dizer que as vigas foram um elemento de sustentao criado pelo homem, ainda que inconscientemente. Imaginemos um homem pr-histrico com sua incrvel e insacivel necessidade de comer. S que, para conseguir alimentos, ele tinha que atravessar um rio. Porm, nas proximidades de sua caverna o rio era muito largo e profundo, sendo que ele no conseguia atravess-lo tendo que caminhar todos os dias milhares de quilmetros desde a sua caverna at uma parte onde o rio fosse mais raso e estreito de maneira que ele pudesse pular e atravess-lo. Um dia, aps uma terrvel tempestade noturna, o homem pr-histrico saiu de sua caverna e viu que naquela parte mais larga do rio havia cado uma rvore, permitindo ento que ele atravessasse o rio caminhando sobre o tronco, sem a necessidade de caminhar os milhares de quilmetros. Pronto: estava criada a VIGA, ou seja, o tronco de rvore apoiado sobre as duas margens era uma viga. D definio VIGA: estrutura linear que trabalha em posio horizontal ou inclinada, assentada em um ou mais apoios e que tem a funo de suportar os carregamentos normais sua direo (se a direo da viga horizontal, os carregamentos so verticais). Vigas de madeira Vigas de ao: 4. Vigas de concreto: MDULO 01 - Introduo aos Sistemas Estruturais - Posicionamento dos Elementos Estruturais 2. Posicionamento dos Elementos Estruturais O posicionamento dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundaes) dado em funo de cada projeto, em consonncia com os demais projetos componentes de uma edificao, como por exemplo: projeto arquitetnico, projeto hidrulico, projeto eltrico etc. Voc gostaria de ter que se abaixar todas as vezes que desce uma escada para no correr o risco de fazer um galo batendo-a em uma viga que cruza esta escada? 5. Voc gostaria de estar sentado na platia de um teatro em uma poltrona que fica bem atrs de um pilar? Seria interessante uma tubulao horizontal ter que desviar das vigas em cada piso de um edifcio? Curiosidade Qual seria o limite de altura para edifcios em: Alvenaria: chega-se at (acreditem !!!!) 20 pavimentos mas com uma limitao, a espessura das paredes no pavimento trreo que podem chegar at 1,50 metros. Concreto armado: chega-se at 60 pavimentos com a limitao nas dimenses e na quantidade de pilares no pavimento trreo. Ao: chega-se at 190 pavimentos com limitaes quanto necessidade de travamento e tambm, dependendo da eficincia do travamento, limitaes devido possveis oscilaes que possam ocorrer devido ao vento (podendo chegar at 40 cm no topo de um edifcio para ventos muito fortes). O observao Para se entender bem a estreita ligao entre Engenharia e Arquitetura, deve-se estar atento para o fato de que novos Sistemas Estruturais oferecem a possibilidade de criao de novas Expresses Arquitetnicas que, por sua vez, exigem novos Sistemas Estruturais, formando um crculo interminvel que vem permitindo a evoluo tanto da Engenharia como tambm da Arquitetura atravs dos tempos. 6. Teatro Villa-Lobos - So Paulo C concluso Para se compreender melhor a parte TCNICA de uma obra, necessrio o conhecimento de alguns pontos, como por exemplo: quais os tipos de carregamento que atuam em uma edificao, quais os esforos que surgem nos elementos estruturais provenientes destes carregamentos, quais as tenses que estes eforos provocam. MDULO 02 - Esttica: Princpio Bsico da Arquitetura Objetivo do mdulo Mostrar a relao entre esttica e esttica e os problemas que podem ocorrer quando os princpios da esttica no so observados 1. Esttica: Princpio Bsico da Arquitetura A frmula a seguir para voc, que gosta de Arquitetura e no sabe o que est fazendo nesta disciplina. PROJETO = ESTTICA + ESTTICA + OUTROS D definio ESTTICA: Responsvel pela "arte" de um projeto. A esttica dada pela expresso arquitetnica atravs de vrias disciplinas, sendo a principal delas a disciplina de Planejamento Arquitetnico. ESTTICA: Responsvel pela "tcnica" de um projeto. A esttica se encarrega de fazer com que uma estrutura fique "em p", suportando as cargas e as transportando sem deformaes excessivas at o terreno. A palavra ESTTICA, vem do grego "statikos" e quer dizer imvel como esttua, parado. OUTROS: Alguns itens tambm devem ser considerados na execuo de um projeto. Projeto eltrico, projeto hidrulico, projeto de conforto ambiental, paisagismo, integrao com o entorno, definio dos materiais a serem utilizados, definio dos processos construtivos, entre outros. A principal funo, do ponto de vista estrutural, para uma edificao ser esttica, porm: 7. Ela pode se "inclinar": por no estar bem travada por problemas de fundao. Ela pode se deformar e/ou fissurar excessivamente, em partes ou como um todo, devido a excesso de carga ou travamento inadequado. Partes da estrutura podem ser afastadas uma da outra devido a falhas nas juntas (para estruturas metlicas ou de madeira). Um ou mais pilares de um edifcio sujeitos a carga de compresso podem flexionar ao mximo at que, a menos que o carregamento seja retirado, eles rompem. Os materiais podem estar sobrecarregados gerando ruptura O observao Aps um perodo de tempo, pode haver decomposio dos materiais devido fatores externos. 8. MDULO 03 - Influncia da Tcnica na Expresso Arquitetnica Objetivo do mdulo Apresentar opinies de vrios Arquitetos conceituados nacional e internacionalmente a respeito de como a tcnica pode servir para a Arquitetura e vice-versa 1. Influncia da Tcnica na Expresso Arquitetnica Alfred Willer "No se admite mais que hoje se faa um anteprojeto e no se localize os elementos estruturais, ou seja, o projeto arquitetnico e o estrutural esto ligados, pois quem propem a estrutura e quem a viabiliza e a dimensiona o engenheiro. Logo, o arquiteto tem que ter uma boa experincia de como funciona a estrutura. O objetivo da cadeira Sistemas Estruturais no curso de Arquitetura no tornar o Arquiteto um calculista, mas fazer os estudantes entenderem como funciona uma estrutura, conhecer as vrias opes estruturais e propor, dentro do projeto arquitetnico, uma soluo vivel". Roberto Luiz Gandolfi "A trilogia funo, tcnica e plstica Arquitetura. No possvel criar um espao sem saber as tcnicas e instalaes necessrias para que se desempenhe todas as funes satisfatoriamente. As tcnicas que tm que servir a esta funo no so influncia sobre a Arquitetura e sim a prpria Arquitetura". Leonardo Tossiaki Oba "Os elementos tcnicos mais expressivos na Arquitetura so, em geral, as suas estruturas. A estrutura define e estabelece o espao arquitetnico. Cada arquiteto acaba por desenvolver um modo particular de expresso estrutural. Pessoalmente acho que se deve evitar excessos e buscar sempre uma coerncia nas decises usando tcnicas adequadas para cada caso. Ou seja, usar vos maiores somente quando necessrio e quando no houver necessidade de flexibilidade ou grandes vos, procurar solues estruturais mais simples. Seria algo como uma "composio estrutural" onde cada espao tem uma soluo mais sintonizada com as suas necessidades e o conjunto se expressa como um todo coerente e composto." Elgson Ribeiro Gomes "Utilizo a tcnica dos engenheiros acrescentando graa e bom gosto. A utilizao da tcnica deve ser feita de forma moderada e modesta para que no se produzam efeitos que descaracterizam a obra". Oscar Niemeyer "A Arquitetura e a Engenharia so duas coisas inseparveis. A estrutura a prpria Arquitetura, no existe Arquitetura sem estrutura. Quando o tema permite, preciso invadir o campo fecundo da imaginao e fantasia e procurar a forma diferente, a surpresa arquitetural. E a surgem as conquistas estruturais inovadoras; os grandes vos livres, os balanos enormes, as cascas finssimas, enfim, tudo que pode demonstrar o progresso da tcnica em toda sua plenitude". Lcio Costa "Enquanto satisfaz apenas as exigncias tcnicas e funcionais - no ainda Arquitetura; quando se perdem intenes meramente decorativas - tudo no passa de cenografia; mas quando - popular ou erudita - aquele que a ideou, pra e hesita, ante a simples escolha de um espaamento de pilar ou da relao entre a altura e a 9. largura de um vo, e se detm na procura obstinada da justa medida entre cheios e vazios, na fixao dos volumes e subordinao deles a uma lei, e se demora atento ao jogo dos materiais e seu valor expressivo - quando tudo isto se vai pouco a pouco somando, obedecendo aos mais severos preceitos tcnicos e funcionais, mas, tambm, quela inteno superior que seleciona, coordena e orienta em determinado sentido toda essa massa confusa e contraditria de detalhes, transmitindo assim ao conjunto, ritmo, expresso, unidade e clareza - o que se confere obra o seu carter de permanncia: isto sim Arquitetura". C concluso V-se portanto, pelos depoimentos acima, que os Arquitetos sempre levam em considerao a tcnica, concluindo que ela de grande importncia no desenvolvimento dos projetos tanto Arquitetnico quanto Estrutural, trabalhando sempre em conjunto, sempre inseparveis um do outro. MDULO 04 - Tipos de Carregamentos - Carregamentos Objetivo do mdulo Definir os tipos de carregamento concentrado, distribudo/m e distribudo/m 2. 1. Carregamentos Sabe-se que na antiguidade no havia o clculo ou o projeto estrutural. A evoluo acontecia de uma obra para outra na base da tentativa e do erro. Muitas vezes uma obra que demorara at centenas de anos para chegar at um determinado estgio no suportava os carregamentos impostos at mesmo pelo prprio peso da estrutura e desabava. Ento, no restava nada a fazer seno aprender com o erro ocorrido e recomear a construo. Um fator que colaborou com a evoluo de uma obra do ponto de vista estrutural, foi a observao das foras da natureza. Esta observao permitiu que os elementos estruturais tivessem dimenses cada vez menores e tambm permitiu que os vos se tornassem cada vez maiores. E exemplo Uma rvore e suas razes poderiam perfeitamente servir de exemplo para a construo de um pilar com sua fundao. Com o surgimento da Revoluo Industrial, foram surgindo novas tcnicas e novos materiais. Com estas tcnicas e materiais, alguns modelos tericos, ou seja, explicaes, para as foras da natureza foram descobertos. Baseados nestes modelos tericos surgiram ento os projetos mostrando que uma obra poderia ser construda sem a necessidade de experimentos com obras anteriores (acabou o processo de tentativa e erro). O primeiro fator a ser considerado quando da execuo do projeto estrutural de uma obra so os 10. carregamentos nela atuantes. D definio Carregamento: qualquer influncia que causa foras ou deformaes em uma estrutura. MDULO 04 - Tipos de Carregamentos - Tipos de Carregamentos 2. Tipos de Carregamentos Existem trs tipos de carregamentos: Concentrado, distribudo/m e distribudo/m 2 . Concentrado Distribudo/m Distribudo/m 2 Concentrado: - Representa uma fora aplicada em um nico ponto da estrutura. - Unidade: kN - Pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas, pilares e fundaes. E exemplo fora concentrada: sobre uma laje: um cofre no meio de uma sala 11. sobre uma viga: reao de uma outra viga sobre um pilar: reao das vigas que se apoiam no pilar sobre a fundao: carga do pilar que chega na fundao Voltar Distribudo/m: - Representa uma fora distribuda sobre uma linha da estrutura. - Unidade: kN/m - Pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas. E exemplo fora distribuda/m: sobre uma laje: peso de uma parede de alvenaria. sobre uma viga: peso de uma parede de alvenaria. 12. Voltar Distribudo/m2 : - Representa uma fora distribuda sobre uma superfcie da estrutura. - Unidade: kN/m 2 - Pode acontecer no seguinte elemento estrutural: laje. E exemplo Exemplo de fora distribuda/m 2 : sobre uma laje: peso das pessoas sobre a laje MDULO 05 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Permanentes - Peso-prprio (pp) Objetivo do mdulo Mostrar os carregamentos permanentes atuantes em uma estrutura. Os carregamentos permanentes esto atuando sobre a estrutura durante todo o tempo, no 13. importando qual seja a sua utilizao ou quais sejam as condies atmosfricas. 1. Peso-prprio (pp): Os elementos estruturais tm o peso que deve ser considerado na definio dos carregamentos atuantes em uma estrutura. Este peso, definido como peso-prpio funo do peso especfico do material em questo. : peso especfico do material (kN/m 3 ) Lajes Frmula Vigas Frmula para seo retangular: Pilares: Frmula para seo retangular: Peso especfico () de alguns materiais mais utilizados: concreto armado: 25 kN/m 3 madeira: varia de 5 kN/m 3 (pinho) at 10 kN/m 3 (ip) 14. ao: 78 kN/m MDULO 05 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Permanentes - Alvenaria (alv) 2. Alvenaria (alv): Funo do peso/m 2 da alvenaria, dependendo se a parede mais ou menos espessa. O peso das paredes de alvenaria de uma obra devem ser consideradas sobre os elementos estruturais em que elas se apoiam. Estes elementos podem ser vigas, caso mais comum ou lajes. O peso da alvenaria funo do peso/m 2 da alvenaria, que varia de acordo com sua espessura. Frmula O peso/m 2 dos principais tipos de alvenaria so os seguintes: alvenaria de cutelo: 0,95 kN/m 2 alvenaria de 1/2 vez: 1,70 kN/m 2 alvenaria de 1 vez: 3,20 kN/m 2 O observao a - Os valores de peso/m 2 da alvenaria acima foram calculados para tijolo de barro furado com argamassa de 1,5 cm entre tijolos, e 1 cm de reboco. b - Os vazios que podem aparecer em uma parede de alvenaria no devem ser considerados, proporcionando assim uma maior segurana. 15. MDULO 05 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Permanentes - Revestimento (rev) 3. Revestimento (rev): O peso dos revestimentos de uma obra deve ser considerado sobre aquelas lajes em que eles se apoiam. Um valor bsico utilizado como peso de revestimento: rev = 0,50 kN/m 2 (carregamento distribudo/m 2 ) O observao O valor acima considerado somente para revestimentos mais comumente utilizados, como por exemplo: taco, tapete, borracha, paviflex, etc. Para outros tipos de revestimento devem ser consultadas tabelas especiais ou devem ser feitas consultas ao prprio fabricante. MDULO 05 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Permanentes - Cobertura (cob) 4. Cobertura (cob): O peso da cobertura deve ser considerado naquelas lajes em que se apoiam algum tipo de cobertura, entendo-se por cobertura toda a estrutura que suporta as telhas mais o peso das prprias telhas. O peso da cobertura funo do peso/m 2 do telhado. cob = 0,60 kN/m 2 1,00 kN/m 2 (carregamento distribudo/m 2 ) - 0,60 kN/m 2 para telha de fibrocimento e 1,00 kN/m 2 para telha de barro. 16. MDULO 05 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Permanentes - Estrutura sobre a Estrutura 5. Estrutura sobre a estrutura: Alguns elementos estruturais podem se apoiar sobre outros elementos sendo portanto a carga definida pela reao de um elemento estrutural sobre outro. As fotos mostram os tipos de reaes de elementos estruturais sobre a prpia estrutura que podem ocorrer. Laje: apesar de muito raro, pode receber a carga de um pilar (kN) (carregamento concentrado) Viga: no muito comumente, pode receber a carga de um pilar (kN), sendo chamada ento de viga de transio (carregamento concentrado) Viga: usualmente recebe as reaes das lajes (kN/m), ou seja, as lajes, neste caso, esto apoiadas nas vigas (carregamento distribudo/m) Viga: usualmente tambm, pode receber as reaes de outras vigas (kN), ou seja, as vigas, neste caso, estariam apoiadas em outras vigas (carregamento concentrado) 17. Pilar: raramente, pode receber as reaes das lajes diretamente (kN), sendo ento, uma estrutura tipo cogumelo, sem vigas (carregamento concentrado) Pilar: normalmente, recebe as reaes das vigas que nele se apoiam (kN) (carregamento concentrado) MDULO 06 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Acidentais - Vento Objetivo do mdulo Mostrar os carregamentos acidentais que podem atuar em uma estrutura. Exemplo de clculo de carregamentos em uma estrutura. Os carregamentos acidentais, ao contrrio dos permanentes, nem sempre esto presentes em um Sistema Estrutural. H pocas em que eles so atuantes e h pocas em que eles no aparecem. Devido a esta sazonidade, eles devem ser considerados durante todo o tempo, no podendo nunca ser esquecidos. 1. Vento Este tipo de carregamento considerado somente para edificaes muito altas ou edificaes especiais, como por exemplo, torres, caixas d'gua elevadas, galpes, etc. Pergunta: O que seria melhor para a considerao do vento em uma edificao do ponto de vista estrutural? Opes: Uma edificao sujeita a um vento com velocidade de 2 km/h ou de 100 km/h? Uma edificao em um local plano ou em um local montanhoso? Uma edificao livre, sem nenhuma vizinhana, ou uma edificao com vizinhos por todos os lados? 18. Um sobrado de dois pavimentos ou um edifcio de 80 pavimentos? Resposta: O efeito do vento funo de alguns fatores especficos, tais como: velocidade do vento, conseguida atravs de mapas com linhas de igual velocidade, topografia do local, vizinhana da edificao e tipo da edificao. MDULO 06 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Acidentais - Empuxo 2. Empuxo Empuxo a fora lateral proveniente da ao da gua nas piscinas ou caixas d'gua ou do solo nos sub- solos sobre as paredes verticais. CASO 1 Caso de empuxo d'gua sobre as paredes laterais de uma piscina ou caixa d'gua: O valor do carregamento triangular variando desde zero na superfcie at q na parte mais profunda. Frmula CASO 2 Caso de empuxo de terra sobre uma cortina de concreto, que aparece quando da utilizao de sub-solos: O valor do carregamento triangular variando desde zero na superfcie at q na parte mais profunda. Frmula 19. MDULO 06 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Acidentais - Frenagem 3. Frenagem Outro dia estava indo para a praia quando na serra, em um daqueles grandes viadutos que tem uma grande inclinao, um caminho daqueles enormes resolveu me ultrapassar. Porm, l embaixo, no final do viaduto, estavam atravessando a pista uma me de mos dadas com uma criana. Eu s olhei para o lado e ouvi uma grande freada do caminho. Felizmente nada aconteceu, o caminho conseguiu parar a tempo!!! Mas imagine s o deslocamento horizontal do viaduto com a freada, e o que este deslocamento deve ter provocado nos pilares.! Parece que no, mas a frenagem um dos principais carregamentos que devem ser considerados no clculo de pontes e viadutos, sendo logicamente funo do peso do veculo. Quanto mais leve o veculo menor o efeito da frenagem e quanto mais pesado o veculo, maior o efeito da frenagem. MDULO 06 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Acidentais Sobrecargas (SC) 4. Sobrecargas (SC) So carregamentos dados em funo da utilizao de determinado compartimento da edificao. O efeito da sobrecarga considerado sobre lajes sendo portanto um carregamento do tipo distribudo/m 2 . Valores a srem considerados: forro (sem acesso ao pblico): sc = 0,50 kN/m 2 residncia, escritrio: sc = 1,50 2,00 kN/m 2 compartimentos com acesso ao pblico (escolas, restaurantes, etc.): sc = 3,00 kN/m 2 compartimentos para baile, ginstica, esporte (teatros, ginsios, clubes, etc.): sc = 4,00 kN/m 2 compartimentos para arquivos/bibliotecas/depsitos: sc = funo de cada caso 20. Forro Escritrio Sala de Aula Sala de Ginstica Biblioteca 21. MDULO 06 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Acidentais - Terremoto, Neve 5. Terremoto, neve Tanto o terremoto como a neve so tipos de carga acidental que devem ser considerados. Felizmente, no Brasil, no h a necessidade da considerao deste tipo de carregamento, uma vez que eles no ocorrem nem com intensidade nem com frequncia suficiente que justifique sua considerao. MDULO 06 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Acidentais Cargas Mveis 6. Cargas Mveis Logicamente a carga dita mvel porque se mexe. E o que se mexe um veculo. Portanto, a carga a ser considerada o peso dos veculos se deslocando sobre pontes e viadutos. O efeito da carga mvel funo do peso e da localizao do veculo sobre a estrutura. Normalmente, o peso do veculo conhecido, sendo utilizados veculos padres. Mas a localizao do veculo se modifica a cada momento, sendo necessrios ento mtodos especiais para a considerao deste fator, dificultando a considerao deste tipo de carga quando do clculo de pontes e viadutos. 22. MDULO 06 - Classificao dos Carregamentos com Relao ao Tempo de Atuao - Acidentais - Exemplos de Carregamento 7. Exemplos de carregamento E exemplo Baseado no esquema ao lado definir a carga em: lajes: L1 vigas: V2 e V5 pilares: P5 Dados: piso de escritrio revestimento da laje: taco alvenaria: 1 vez material: concreto armado reao da laje L1 nas vigas V1, V3, V4 e V5: 6,25 KN/m reao da viga V1 sobre os pilares P1 e P2: 42,68 KN reao da viga V2 sobre a viga V5 e o pilar P5: 2,19 KN reao das vigas V3 e V4 sobre os pilares P1,P3 e P4: 43,93 KN reao da viga V5 sobre o pilar P2: 43,33 KN reao da viga V5 sobre o pilar P4: 44,21KN Para se calcular as cargas em uma edificao, inicia-se sempre de cima para baixo (da cobertura para o trreo) na seguinte sequncia: lajes, vigas, pilares e fundaes. Portanto, no nosso exemplo, calcularemos primeiramente a carga na laje L1, depois nas vigas V2 e V5 e finalmente no pilar P5. Pode-se ver atravs do esquema que as cargas so as seguintes: 23. Laje L1: Peso-prprio (distribuda/m 2 ) + revestimento (distribuda/m 2 ) + sobrecarga (distribuda/m 2 ) peso-prprio: pp = 0,10 m . 25 kN/m 3 = 2,50 kN/m 2 revestimento: rev = 0,50 kN/m 2 sobrecarga: sc = 2,00 kN/m 2 total = 5,00 kN/m 2 Convm lembrar que poderia haver ainda a carga de uma parede de alvenaria ou de um pilar sobre a laje. Viga V2: Peso-prprio (distribuda/m) peso-prprio: pp = 0,10 m . 0,50 m . 25 kN/m 3 = 1,25 kN/m Viga V5: Peso-prprio (distribuda/m) + alvenaria (distribuda/m) + reao da laje L1 (distribuda/m) + reao da viga V2 (concentrada) 24. peso-prprio: pp = 0,20 m . 0,50 m . 25 kN/m 3 = 2,50 kN/m alvenaria: alv = 2,60 m . 3,20 kN/m 2 = 8,32 kN/m laje: laje = 6,25 kN/m total = 17,07 kN/m Convm lembrar que poderia haver ainda a carga de um pilar sobre a viga Pilar P5: Peso-prprio (concentrada) + reao da viga V2 (concentrada) peso- prprio: pp = 0,20 m . 0,20 m . 2,60 m . 25 kN/m 3 = 2,60 kN reao da viga: viga = 2,19 kN total = 4,79 kN MDULO 07 - Leis de Newton e Tipos de Esforos - Leis de Newton Objetivo do mdulo Definir as trs Leis de Newton e os esforos de trao, compresso, flexo, toro e cisalhamento D definio 25. As foras em um Sistema Estrutural so caracterizadas pelas leis de Newton, pelo clculo dos momentos em relao a um ponto, pelo clculo do equilbrio em relao a um ponto e do equilbrio de foras paralelas. 1. Leis de Newton (Isaac Newton - 1642 - 1727) Primeira Lei "Qualquer corpo permanece em repouso ou em movimento retilneo uniforme a menos que alguma fora seja aplicada sobre ele." Pergunta: os carregamentos no exercem uma fora sobre a estrutura? Resposta: Sim Pergunta: a estrutura deixa de estar em repouso? Resposta: No Pergunta: o que acontece? Segunda Lei "A acelerao de um corpo diretamente proporcional fora aplicada sobre ele e inversamente proporcional sua massa." a = F / m F = m . a Terceira Lei "A toda ao, corresponde uma reao igual e contrria." Resposta ltima pergunta da Primeira Lei: do ponto de vista estrutural, a toda ao (carregamentos, na maioria para baixo), corresponde uma reao igual e contrria (para cima). Logo: a resultante nula e consequentemente a estrutura est em repouso. Exemplo: MDULO 07 - Leis de Newton e Tipos de Esforos - Esforos 26. 2. Esforos Os carregamentos solicitam os elementos estruturais atravs de foras. A seguir veremos que os materiais de que so compostos estes elementos estruturais respondem a estas solicitaes atravs de esforos. Esforos que podem surgir: Trao Ocorre quando h duas foras, na mesma direo, puxando em sentidos opostos E exemplo Corda no cabo de guerra. Compresso Ocorre quando h duas foras, na mesma direo, empurrando em sentidos opostos. E exemplo Pisando no balo. Flexo 27. Ocorre quando h carregamento transversal entre os apoios E exemplo O que acontece quando algumas pessoas pisam bem no meio de um banco de madeira bem fininho? (antes do banco quebrar) Toro Ocorre quando h o giro das extremidades em direes opostas. E exemplo O que deve ser feito com uma roupa molhada para deix-la mais enxuta? Cisalhamento Ocorre quando h o escorregamento entre sees paralelas devido foras paralelas E exemplo O que acontece quando uma tesoura corta um pedao de papel? 28. O observao Pode haver, e normalmente h, uma combinao destes esforos em um mesmo elemento estrutural. Outro fator a ser considerado que nem todos os elementos estruturais suportam bem todos os esforos. Por exemplo, ser que uma corda suporta to bem o esforo de compresso quanto o de trao? MDULO 08 - Momento Objetivo do mdulo Clculo do momento de uma fora em relao a um ponto. 1. Momento D definio Momento de uma fora em relao a um ponto o produto desta fora pela sua distncia at o ponto considerado. Momento de carga concentrada (momento da fora V em relao ao ponto A) sentido horrio (momento da fora H em relao ao ponto A) sentido anti-horrio (momento da fora P em relao ao ponto A) sentido horrio O observao No importa a direo da fora para o clculo do momento. Momento de carga distribuda 29. Frmula MOMENTO = CARGA (q). COMPRIMENTO DA CARGA (b) . DISTNCIA DO CG DA CARGA AO PONTO CONSIDERADO (b/2+a) Mq/A=q . b.(a + b/2) (momento da carga q em relao ao ponto A) sentido horrio MDULO 09 - Equilbrio de Foras Paralelas Objetivo do mdulo Definir as condies de equilbrio de foras paralelas. 1. Equilbrio de foras paralelas Pergunta: Ser que se for colocado um paraleleppedo de um lado da viga e trs paraleleppedos sobrepostos do outro lado vai haver equilbrio? Resposta: A resposta intuitiva para esta pergunta NO. Porm, observe a foto abaixo: 30. V-se portanto, que se o paraleleppedo nico estiver mais longe do ponto de apoio que os trs paraleleppedos sobrepostos vai haver equilbrio. Logo, para haver equilbrio, o momento causado pela fora menor (paraleleppedo nico mais distante do ponto de apoio) deve ser igual ao momento causado pela fora maior (paraleleppedos sobrepostos mais prximos do ponto de apoio). Concluso: Quanto maior a distncia, menor a fora. Concluso: Ento alm da fora aplicada o que importa tambm a distncia desta fora em relao ao ponto de apoio. Este conceito foi utilizado pela primeira vez por Arquimedes (287-212 a.C.) que proferiu a seguinte frase: "Me d um ponto de apoio que eu poderei levantar o mundo." E exemplo 31. Pergunta: Porque ser que a maaneta de uma porta o mais longe possvel da dobradia? Reflita e aperte para ver a resposta E exemplo Pergunta: Porque ser que as pessoas carregam as sacolas de supermercado com o brao abaixado e no levantado na horizontal? Reflita e aperte para ver a resposta Condies para o equilbrio de foras paralelas: (TRS EQUAES FUNDAMENTAIS DA ESTTICA) 1. A toda ao corresponde uma reao igual e contrria: P + Q = R P + Q - R = 0 2. Vale o mesmo se houvesse foras horizontais: 3. Momento da fora menor em relao ao apoio igual ao momento da fora maior: P.a1 = Q.a2 (anti-horrio) (horrio) P.a1 - Q.a2 = 0 ! importante As trs equaes acima definidas (somatrio das foras verticais igual a zero, somatrio das foras 32. horizontais igual a zero e somatrio dos momentos em relao a um ponto igual a zero) so conhecidas como as TRS EQUAES FUNDAMENTAIS DA ESTTICA. indiferente a escolha da conveno de sinais (de baixo para cima ou de cima para baixo, da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, horrio ou anti-horrio), o resultado o mesmo. E exemplo Definir a distncia a e a reao R para que o sistema abaixo esteja em equilbrio. conveno de baixo para cima, positivo - 3 - 6 + R = 0 R = 9 no h foras horizontais aplicadas Mapoio = 0 conveno sentido horrio, positivo -3 x 4 + R . 0 + 6 . a = 0 a = 2 Trocando as convenes: conveno de cima para baixo, positivo 3 + 6 - R = 0 R = 9 Mapoio = 0 conveno anti-horrio, positivo 3 x 4 + R . 0 - 6 . a = 0 a = 2 MDULO 10 - Reaes de Apoio - Tipos de Apoio e Reaes Objetivo do mdulo Mostrar os tipos de apoio e de vigas e como calcular reaes de apoio de vigas isostticas. O observao As reaes de apoio em estruturas como vigas, trelias e prticos, so calculadas aplicando-se as Trs Equaes Fundamentais da Estticas definidas no mdulo anterior. 1. Tipos de Apoio e Reaes 33. Engaste 3 reaes de apoio: - reao momento (M), - reao horizontal (H), - reao vertical (R), logo: 3 incgnitas. Apoio fixo 2 reaes de apoio: - reao horizontal (H), - reao vertical (R), logo: 2 incgnitas. Apoio mvel 1 reao de apoio: - reao vertical (R), logo: 1 incgnita. MDULO 10 - Reaes de Apoio - Tipos de Estruturas 2. Tipos de Estruturas Hiposttica Menos de 3 incgnitas So instveis Exemplos: estrutura com um apoio fixo (2 incgnitas), ou 2 apoios mveis (2 incgnitas), ou 1 apoio mvel (1 incgnita) Isosttica 3 incgnitas Resolvidas com as trs equaes da esttica Exemplo: estrutura com um apoio fixo e um apoio mvel (3 incgnitas), ou um engaste (3 incgnitas) 34. Hiperesttica Mais de 3 incgnitas Necessitam outras equaes alm das trs equaes da esttica Exemplos: estrutura com 2 engastes (6 incgnitas), ou 1 engaste e um apoio mvel (4 incgnitas), ou 1 engaste e um apoio fixo (5 incgnitas) ou 2 apoios fixos (4 incgnitas) MDULO 10 - Reaes de Apoio - Exemplos 3. Exemplos - Clculos das Reaes de Apoio de vigas Isostticas Viga com uma carga concentrada Viga com uma carga distribuda Viga com cargas concentradas e distribudas 35. MDULO 11 - Aplicao do Clculo das Reaes de Apoio Objetivo do mdulo Calcular, a partir da planta do pavimento tipo de um edifcio, as reaes de apoio que compem a sua estrutura. 1. Clculo das reaes de apoio das vigas do pavimento tipo abaixo Planta do projeto arquitetnico Planta do projeto estrutural 36. O observaes Numerao dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares) em um projeto estrutural . Lajes e pilares: da esquerda para a direita e de cima para baixo. Vigas: da esquerda para a direita e de cima para baixo (vigas horizontais), e na continuao de baixo para cima da esquerda para direita (vigas verticais). Para uma mesma viga com balano(s) a numerao nica para o(s) balano(s) e para o vo. A diferenciao se d atravs de uma seqncia de letras do alfabeto iniciando-se pela letra "a" a esquerda ou abaixo (dependendo se a viga horizontal ou vertical). Portanto, para a viga 21, por exemplo, com dois balanos em um vo ter-se-: "V21a" para o balano, "V21b" para o vo e "V21c" para outro balano. Sequncia de vigas para clculo das reaes: Existe sempre uma sequncia lgica de vigas para o clculo das reaes de apoio. Deve-se iniciar os clculos pelas vigas que no dependem das outras (no tenham outras vigas apoiadas sobre elas). E assim sucessivamente. No nosso exemplo: Iniciando a anlise pela viga V1 37. viga 1 - depende da reao de apoio da V5 na extremidade do balano - depende das reaes de apoio da V7 e da V8 no meio do vo - depende da reao de apoio da V10 na extremidade do balano logo: ainda no podem ser calculadas as reaes de apoio. viga 2 - depende das reaes de apoio da V7 e da V8 no meio do vo logo: ainda no podem ser calculadas as reaes de apoio. viga 3 - depende da reao de apoio da V5 na extremidade do balano - depende da reao de apoio da V10 na extremidade do balano logo: ainda no podem ser calculadas as reaes de apoio. viga 4 - no depende da reao de apoio de nenhuma viga logo: podem ser calculadas as reaes de apoio (1) V4 viga 5 - no depende da reao de apoio de nenhuma viga. logo: podem ser calculadas as reaes de apoio (2) V5 viga 6 - depende da reao de apoio da V4 na extremidade do balano (j calculada (1)) - depende da reao de apoio da V2 no meio do vo logo: ainda no podem ser calculadas as reaes de apoio. viga 7 - no depende da reao de apoio de nenhuma viga logo: podem ser calculadas as reaes de apoio (3) V7 viga 8 38. - no depende da reao de apoio de nenhuma viga logo: podem ser calculadas as reaes de apoio (4) V8 viga 9 - depende da reao de apoio da V4 na extremidade do balano (j calculada (1)) - depende da reao de apoio da V2 no meio do vo logo: ainda no podem ser calculadas as reaes de apoio viga 10 - no depende da reao de apoio de nenhuma viga logo: podem ser calculadas as reaes de apoio (5) V10 Reiniciando a anlise pela viga V1 viga 1 - depende da reao de apoio da V5 na extremidade do balano (j calculada (2)) - depende das reaes de apoio da V7 e da V8 no meio do vo (j calculadas (3) e (4)) - depende da reao de apoio da V10 na extremidade do balano (j calculada(5)) logo: j podem ser calculadas as reaes de apoio (6) V1 viga 2 depende das reaes de apoio da V7 e da V8 no meio do vo (j calculadas (3) e (4)) logo: j podem ser calculadas as reaes de apoio (7) V2 viga 3 depende da reao de apoio da V5 na extremidade do balano (j calculada (2)) depende da reao de apoio da V10 na extremidade do balano (j calculada(5)) logo: j podem ser calculadas as reaes de apoio (8) V3 viga 4 j calculada (1) viga 5 j calculada (2) viga 6 - depende da reao de apoio da V4 na extremidade do balano (j calculada (1)) - depende da reao de apoio da V2 na extremidade do balano (j calculada (7)) logo: j podem ser calculadas as reaes de apoio (9) V6 viga 7 j calculada (3) 39. viga 8 j calculada (4) viga 9 - depende da reao de apoio da v4 na extremidade do balano (j calculada (1)) - depende da reao de apoio da v2 na extremidade do balano (j calculada (7)) logo: j podem ser calculadas as reaes de apoio (10) V9 viga 10 j calculada (5) Reiniciando a anlise pela viga V1 viga 1 j calculada (6) viga 2 j calculada (7) viga 3 j calculada (8) viga 4 j calculada (1) viga 5 j calculada (2) viga 6 j calculada (9) viga 7 j calculada (3) viga 8 j calculada (4) viga 9 j calculada (10) viga 10 j calculada (5) Logo, j foram calculadas as reaes de apoio de todas as vigas. A seqncia para o clculo das reaes de apoio a seguinte: (1) V4 (2) V5 (3) V7 (4) V8 (5) V10 (6) V1 (7) V2 (8) V3 (9) V6 40. (10) V9 O observao A seqncia definida acima no a nica seqncia possvel para o clculo das reaes de apoio. Pode haver mais de uma seqncia para um mesmo esquema estrutural. O observao Os valores das cargas uniformemente distribudas sobre as vigas so provenientes dos seguintes elementos: reao das lajes que se apoiam nas vigas, peso-prpio, peso da alvenaria sobre as vigas. Clculos das reaes Viga V4 MV6 = 0 positivo: horrio +6 . 6,00 . 3,00 - RV9 . 6,00 = 0 RV9 = 18kN V = 0 positivo: baixo para cima RV6 + 18 - 6 . 6,00 = 0 RV6 = 18kN H = 0 positivo: esq. para dir. HV6 = 0 HV6 = 0 Voltar Viga V5 MV3 = 0 5,5 . 6,00 . 3,00 - RV1 . 6,00 = 0 RV1 = 16,50kN 41. positivo: horrio V = 0 positivo: baixo para cima RV3 + 16,50 - 5,5 . 6,00 = 0 RV3 = 16,50kN H = 0 positivo: esq. para dir. HV1 = 0 HV1 = 0 Voltar Viga V7 MV1 = 0 positivo: horrio -10 . 2,00 . 1,00 + RV2 . 2,00 = 0 RV2 = 10kN V = 0 positivo: baixo para cima 10 + RV1 - 10 . 2,00 = 0 RV1 = 10kN H = 0 positivo: esq. para dir. HV2 = 0 HV2 = 0 Voltar Viga V8 MV2 = 0 positivo: horrio 5,4 . 2,00 . 1,00 - RV1 . 2,00 = 0 RV1 = 5,4kN V = 0 positivo: baixo para cima 5,4 + RV2 - 5,4 . 2,00 = 0 RV2 = 5,4kN 42. H = 0 positivo: esq. para dir. HV2 = 0 HV2 = 0 Voltar Viga V10 (= Viga V4) Viga V4 Viga V10 RV6 = 18kN RV3 = 18kN RV9 = 18kN RV1 = 18kN HV6 = 0 HV3 = 0 Voltar Viga V1 MP1 = 0 p ositivo: horrio -RP2 . 6,00 - 16,5 . 1,50 + 10 . 2,50 + 5,4 . 4,50 + 18 . 8,00 + 3,5.(1,50 + 6,00 + 2,00) . (4,75 - 1,50) - 1,5 . 1,50 . 0,75 + 2 . 4,5 . 2,25 + 2 . 2,00.(6,00 + 1,00) = 0 RP2 = 53.86kN V = 0 positivo: baixo para cima 53,86 + RP1 - 16,5 - 10 - 5,4 - 18 -3,5.(1,50 + 6,00 + 2,00) -1,5 . 1,50 - 2 . 4,50 - 2 . 2,00 = 0 RP1 = 44.54kN H = 0 positivo: esq. para dir. HP1 = 0 HP1 = 0 Voltar Viga V2 43. MV9 = 0 positivo: horrio RV6 . 6,00 - 10.(2,00 + 1,50) - 5,4 . 1,50 - 10 . 6,00 . 3,00 - 3,5.(2,50 + 2,00).(2,25 + 1,50) = 0 RV6 = 47,03kN V = 0 positivo: baixo para cima 47,03 + RV9 - 10 - 5,4 - 10 . 6,00 - 3,5.(2,50 + 2,00) = 0 RV9 = 44,12kN H = 0 positivo: esq. para dir. HV6 = 0 HV6 = 0 Voltar Viga V3 MP3 = 0 positivo: horrio -RP4 . 6,00 - 16,5 . 1,50 + 18.(6,00 + 2,00) + 4,8.(1,50 + 6,00 + 2,00) . (4,75 -1,50) + 10 . 6,00 . 3,00 = 0 RP4 = 74,58kN V = 0 positivo: baixo para cima RP3 + 74,58 - 16,5 - 18 - 4,8.(1,50 + 6,00 + 2,00) - 10 . 6,00 = 0 RP3 = 65,52kN 44. H = 0 positivo: esq. para dir. HP4 = 0 HP4 = 0 Voltar Viga V6 MP3 = 0 positivo: horrio -RP1 . 6,00 + 47,03 . 4,00 - 18. 1,00 + 4,4.(1,00 + 6,00) . (3,50 - 1,00) + 8,4 . 4,00 . 2,00 + 6,7 . 2,00.(4,00 + 1,00) = 0 RP1 = 63,55kN V = 0 positivo: baixo para cima RP3 + 63,55 - 18 - 47,03 - 4,4.(1,00 + 6,00) - 8,4 . 4,00 - 6,7 . 2,00 = 0 RP3 = 79,28kN H = 0 positivo: esq. para dir HP1 = 0 HP1 = 0 Voltar 45. Viga V9 MP4 = 0 positivo: horrio -RP2 . 6,00 - 18 . 1,00 + 44,12 . 4,00 + 4,4.(1,00 + 6,00) . (3,50 - 1,00) + 10 . 4,00 . 2,00 + 5,0 . 2,00.(4,00 + 1,00) = 0 RP2 = 60,91kN V = 0 positivo: baixo para cima RP4 + 60,91 - 18 - 44,12 - 4,4.(1,00 + 6,00) - 10 . 4,00 - 5 . 2,00 = 0 RP4 = 82,01kN H = 0 positivo: esq. para dir HP2 = 0 HP2 = 0 MDULO 12 - Distribuio das Foras nos Elementos Estruturais - Transmisso de Cargas Objetivo do mdulo Mostrar como os vrios tipos de elementos estruturais recebem as cargas e as transmitem at o solo. 1. Transmisso de Cargas D definio A estrutura um sistema de barras que recebe as cargas e as transmite para o solo. 46. Tipos de estruturas Tesoura Viga Pilar Prtico Arco Tesoura: Duas barras retas inclinadas (AB e AC) mais uma barra horizontal (BC). Pergunta: Quais so os esforos aos quais as barras esto sujeitas? Reflita e aperte para ver a resposta Voltar Viga: Uma barra horizontal (AB). Pergunta: Qual o esforo que a barra est sujeita? Reflita e aperte para ver a resposta Voltar Pilar: Uma barra vertical (AB) - a maneira mais simples e natural de transmisso de cargas. 47. Pergunta: Qual o esforo que a barra est sujeita? Reflita e aperte para ver a resposta Voltar Prtico: Uma barra horizontal (BAC) mais duas barras verticais (BD e CE). Pergunta: Quais so os esforos aos quais as barras esto sujeitas? Reflita e aperte para ver a resposta Voltar Arco: Duas barras curvas (AB e AC) mais uma barra horizontal (BC). 48. Pergunta: Quais so os esforos aos quais as barras esto sujeitas? Reflita e aperte para ver a resposta Voltar ! importante essencial para o entendimento da transmisso de cargas em uma estrutura a compreenso de como a estrutura funciona como um todo. Deve-se enxergar todos os elementos estruturais trabalhando em conjunto, ainda que a anlise estrutural destes elementos seja feita em separado. MDULO 13 - Introduo ao Elemento Estrutural - Vigas - Tenso 2.Tenso (para qualquer elemento estrutural) D definio Resposta dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundaes), aos esforos internos aplicados - fora normal (N) que d origem trao ou compresso, momento fletor (M) que d origem flexo, momento toror (Mt) que d origem toro e fora cortante (V) que d origem ao cisalhamento. Frmula A frmula geral para qualquer que seja a tenso (normal, flexo, toro ou cisalhamento) a seguinte: Tenso = Esforo interno aplicado caracterstica geomtrica da seo transversal esforo interno aplicado: N ou M ou Mt ou V Caracterstica geomtrica da seo transversal: rea (A), momento de inrcia (I), momento esttico (Q), base (b), altura (h), entre outras E exemplo 49. Tenso de flexo em uma viga As fibras superiores tendem a se aproximar (compresso) e as fibras inferiores tendem a se afastar (trao). Resposta da viga: para responder compresso, as fibras superiores tracionam e para responder trao, as fibras inferiores comprimem MDULO 13 - Introduo ao Elemento Estrutural - Vigas - Verificao da Estabilidade 3. Verificao da Estabilidade (para qualquer elemento estrutural) A estabilidade realizada pela verificao da seguinte inequao: Tenso admissvel Tenso mxima x Coeficiente de segurana 3.1. Tenso mxima Relao entre o mximo esforo interno aplicado e uma caracterstica geomtrica da seo transversal. MDULO 13 - Introduo ao Elemento Estrutural - Vigas - Verificao da Estabilidade - Tenso Admissvel 3.2. Tenso admissvel D definio A tenso admissvel uma caracterstica do material que est sendo utilizado e indica at quanto o material aguenta antes de se romper. E exemplo Definio da tenso admissvel de um determinado material 50. Para tal, vamos nos imaginar em um laboratrio com uma viga nas seguintes condies: Esta viga tem uma determinada seo transversal, com suas caractersticas geomtricas. No laboratrio, existem trs relgios: o primeiro deles mede o valor da carga P, os outros dois calculam o valor do mximo esforo interno e da tenso mxima. Para a definio da tenso admissvel, a carga P que est aplicada no meio da viga vai sendo aumentada at o seu rompimento. 1 relgio 2 relgio 3 relgio mede P (kN) calcula mximo esforo interno (kN) calcula tenso mxima kN/cm) 10,00 5,00 37,50 15,00 7,50 56,30 20,00 10,00 75,00 24,10 12,05 90,40 Rompimento: A viga se rompeu quando o valor da carga P chegou a 24,10 kN. Tenso admissvel: seria: 90,40 kN/cm. Mas se o material estiver com problemas, se os equipamentos estiverem com problemas, se acontecer alguma coisa? Alguma garantia deve ser dada. E esta garantia conseguida com a diminuio do valor da tenso conseguida no terceiro relgio (multiplica-se o valor obtido na tenso mxima por 0,85). Portanto, a tenso admissvel a ser adotada : 90,40 . 0,85 = 76,84 kN/cm Logo: a tenso admissvel do material em questo 76,84 kN/cm Para efeito de conveno, utiliza-se uma barra sobre o smbolo da tenso para indicar a tenso admissvel. 51. MDULO 13 - Introduo ao Elemento Estrutural- Vigas - Verificao da Estabilidade - Coeficiente de Segurana 3.3. Coeficiente de Segurana Este coeficiente majora o valor dos carregamentos e consequentemente dos mximos esforos internos. Esta majorao realizada para se garantir possveis falhas nos clculos, nos materiais ou em outros fatores que possam influir na segurana da estrutura. Normalmente, utiliza-se para o coeficiente de segurana o valor 1,4. MDULO 13 - Introduo ao Elemento Estrutural - Vigas - Tenses na Viga 4. Tenses na viga As tenses existentes em uma viga so as seguintes: tenso de flexo, tenso de cisalhamento, tenso de toro. Estas tenses no atuam separadamente em uma viga, mas sim de maneira composta. Por exemplo, as tenses de flexo e de cisalhamento atuam sempre de maneira conjunta em uma mesma viga. Tenso de flexo Esta tenso a resposta da viga decorrente da flexo. A flexo aparece em uma viga devido ao esforo interno aplicado - momento fletor (M). Tenso de cisalhamento Esta tenso a resposta da viga decorrente do cisalhamento. O cisalhamento aparece em uma viga devido ao esforo interno aplicado - fora cortante (V). Tenso de toro Esta tenso a resposta da viga decorrente da toro. A toro aparece em uma viga devido ao esforo interno aplicado - momento toror (Mt). A seguir sero analisadas as tenses de flexo e de cisalhamento. A tenso de toro no ser abordada devido a incidnia extremamente baixa incidncia deste tipo de tenso em uma viga, no justificando portanto a sua anlise. Resumo esquemtico Geometria + Carregamento 52. esforo interno aplicado M V Mt Flexo Cisalhamento Toro tenso Flexo Cisalhamento Toro MDULO 14 - Tenso de Flexo: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos 3 Momentos para Momento Fletor - Vigas Hipostticas Objetivo do mdulo Definir vigas hipostticas, isostticas e hiperestticas e apresentar a teoria para clculo de momentos fletores em vigas hiperestticas (Equao dos 3 Momentos). 1. Vigas Hipostticas: D definio So aquelas vigas com menos de trs reaes de apoio, ou, em outras palavras, menos de trs incgnitas. ou ainda, so aquelas vigas com trs ou mais reaes da apoio (ou incgnitas) mas com liberdade no restringida. O observao 53. Se houver alguma fora horizontal, no h nenhuma reao neste sentido, e a tendncia que a viga "escorregue" nesta direo. C concluso As vigas hipostticas no so estveis, no so estticas. MDULO 14 - Tenso de Flexo: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos 3 Momentos para Momento Fletor - Vigas Isostticas 2. Vigas Isostticas: D definio Vigas Isostticas: so aquelas vigas com trs reaes de apoio (ou, trs incgnitas) e com liberdade retringida. O observao Se houver uma fora horizontal, o apoio fixo tem uma reao horizontal que impede o deslocamento da viga nesta direo. 54. MDULO 14 - Tenso de Flexo: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos 3 Momentos para Momento Fletor - Vigas Hiperestticas 3. Vigas Hiperestticas: D definio Vigas hiperestticas so aquelas vigas com mais de trs reaes de apoio (ou, mais de trs incgnitas) e com liberdade restringida. O observao Se houver uma fora horizontal, o apoio fixo tem uma reao horizontal que impede o deslocamento da viga nesta direo. MDULO 14 - Tenso de Flexo: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos 3 Momentos para Momento Fletor - Esforo Interno Aplicado - Momento Fletor (M) 4. Esforo Interno Aplicado - Momento Fletor (M): Para o clculo das tenses de flexo em uma viga, se faz necessrio o conhecimento dos momentos fletores desta viga. O clculo dos momentos fletores realizado atravs de convenes especificas (j visto para as vigas isostticas - Sistema Estruturais I e II). A visualizao deste clculo em uma viga feita com o desenho de um diagrama, tambm de acordo com convenes especificas (j visto para as vigas isostticas - Sistema Estruturais I e II) MDULO 14 - Tenso de Flexo: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao 55. dos 3 Momentos para Momento Fletor - Momentos Fletores para Vigas Isostticas 5. Momentos Fletores para Vigas Isostticas: Exemplo de diagrama de momentos fletores para foras concentradas e fora distribuda nos balanos e no meio do vo. MDULO 14 - Tenso de Flexo: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos 3 Momentos para Momento Fletor - Clculo de Momentos Fletores de Vigas Contnuas 6. Clculo de Momentos Fletores de Vigas Contnuas: D definio Vigas Contnuas: so vigas hiperestticas com dois ou mais vos. Para as vigas contnuas, o clculo no to simples quanto era para as vigas isostticas. Nas vigas isostticas as incgnitas so trs, precisamos ento de trs equaes, que so as trs equaes da esttica (somatria dos momentos em relao a um ponto igual a zero, somatrio das foras verticais igual a zero e somatrio das foras horizontais igual a zero). Para as vigas hiperestticas tem-se mais de trs incgnitas. Foram criados ento vrios mtodos para o clculo das reaes de apoio e dos momentos fletores nos vos. Uma vez conseguidos estes valores, pode-se calcular os momentos fletores e foras cortantes nos demais pontos da viga e consequentemente desenhar os diagramas. Mtodos de clculo: Mtodo dos Deslocamentos Mtodo dos Esforos Mtodo de Cross Mtodo da Equao dos Trs Momentos 56. MDULO 14 - Tenso de Flexo: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos 3 Momentos para Momento Fletor - Mtodo da Equao dos Trs Momentos 7. Mtodo da Equao dos Trs Momentos: Dentre os vrios mtodos existentes para o clculo de vigas hiperestticas, ser apresentado nesta disciplina o Mtodo da Equao dos 3 Momentos. Anlise do Mtodo da Equao dos 3 Momentos: O mtodo calcula os momentos fletores em 3 apoios (Xn-1, Xn e Xn+1) sequenciais de uma viga, a partir dos quais pode-se calcular os momentos fletores em qualquer seo. Vamos escolher um trecho de dois vos ( e ) e de trs apoios (n-1, n e n+1) de uma viga continua sujeita a um carregamento qualquer conforme a figura abaixo: A seguir ser apresentada a Equao dos 3 Momentos para uma viga com momento de inrcia constante no vo e de vo para vo. Isto quer dizer, uma viga sem msulas, com seo transversal igual, ou aproximadamente igual, ao longo da viga. Misula: Frmula Onde: e :comprimento dos vos Xn-1, Xn e Xn+1: momentos nos apoios : Fatores de carga Os fatores de carga so funo da carga atuante no vo. 57. Quando houver mais de uma carga atuando em um mesmo vo, os fatores de carga finais so dados pela soma dos fatores de carga de cada uma das cargas. - Para carga uniformemente distribuda ao longo do vo: Frmula - Para carga concentrada no vo: Frmulas O observao O ndice "1" nas frmulas de fatores de carga acima indica apoio da esquerda e o ndice "2" indica apoio da direita. MDULO 14 - Tenso de Flexo: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos 3 Momentos para Momento Fletor - Nmero de Aplicaes 8. Nmero de Aplicaes: Para se calcular os momentos fletores em todos os apoios de um viga contnua, deve-se aplicar a equao dos trs momentos em vos subsequentes dois a dois. O resultado que o nmero total de aplicaes igual ao nmero de vos menos um. 58. E exemplo Para quatro vos, aplica-se trs vezes a equao dos trs momentos. Com as trs aplicaes, fica-se com trs equaes dos trs momentos, uma para cada aplicao e trs incgnitas (X1, X2 e X3), j que os momentos X0 e X4 so previamente conhecidos. MDULO 14 - Tenso de Flexo: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos 3 Momentos para Momento Fletor - Conveno de Sinais 9. Conveno de Sinais para Clculo de Momentos Fletores: Olhando as cargas esquerda da seo considerada: (Conveno positiva) Olhando as cargas direita da seo considerada: (Conveno positiva) MDULO 15 - Tenso de Flexo: Aplicao da Equao dos Trs Momentos para Dois Vos - Clculo e Desenho do Diagrama de Momentos Fletores de Viga Continua Objetivo do mdulo Apresentar um exemplo prtico de aplicao da Equao dos 3 Momentos e do desenho do diagrama de momentos fletores em uma viga hiperesttica, com dois vos, com carga distribuda em um dos vos e 59. uma carga concentrada no outro vo. 1. Clculo e Desenho do Diagrama de Momentos Fletores de Viga Contnua: A viga tem dois vos, portanto ser necessria uma aplicao da Equao dos Trs Momentos. Frmula Equao dos Trs Momentos: 1 aplicao: Vos: Apoios: n-1 =0 n =1 n+1 =2 O observao Nos apoios de extremidade o valor do momento ser igual a 0 (zero) - se no houver balano. Clculo dos fatores de carga 60. Clculo Clculo Agora podemos resolver a 1 aplicao Clculo 2(4,00 + 5,00).X1 = -6(9,33 + 16,00) X1 = - 8,44 kNm MDULO 15 - Tenso de Flexo: Aplicao da Equao dos Trs Momentos para Dois Vos - Reaes de Apoio 2. Reaes de Apoio: As reaes de apoio devem ser calculadas separadamente para cada vo. Alm das cargas nos vos (distribuidas e/ou concentradas), deve-se aplicar tambm os momentos nos apoios do respetivo vo. O sentido destes momentos (horrio ou anti-horrio) deve deformar o vo da mesma maneira que a carga aplicada sobre ele. Para vo 1: M0 = 0 3,5 . 4,00 . 2,00 - R1 . 4,00 - (-8,44) 61. = 0 R1 = 9.11 kN V = 0 R0 + 9,11 - 3,5 . 4,00 = 0 R0 = 4,89 kN Para vo 2: M1 = 0 10 . 2,00 + (-8,44) - R2 . 5,00 = 0 R2 = 2,31 kN V = 0 R1 + 2,31 - 10 = 0 R1 = 7,69 kN O observao A reao no apoio 1 igual a soma das reaes do apoio 1 para os vos 1 e 2. MDULO 15 - Tenso de Flexo: Aplicao da Equao dos Trs Momentos para Dois Vos - Concluso 3. Concluso: Viso final da viga, com momentos nos apoios e reaes de apoio, a partir dos quais sero calculados os momentos fletores que serviro de base para o desenho do diagrama: 62. MDULO 15 - Tenso de Flexo: Aplicao da Equao dos Trs Momentos para Dois Vos - Onde Calcular os Momentos Fletores? 4. Onde Calcular os Momentos Fletores?: Momentos fletores: nas sees de incio e de fim de carga distribuda e nas sees de carga concentrada. O observao As reaes de apoio so cargas concentradas. ! importante indiferente olhar as cargas esquerda ou direita de uma determinada seo, o resultado sempre o mesmo!!!!!! No nosso exemplo: Os momentos fletores devero ser calculados nas seguintes sees: 0, 1, A, 2. Clculo Se o 0 M0 = X0 = 0 Seo 1 M1 = X1 = - 8,44 kNm Ou, olhando as cargas esquerda: Conveno: M1 = +4,89.4,00-3,5.4,00.2,00 = -8,44 kNm 63. O observao Qualquer que seja a maneira de se realizar o clculo, aproveitando o valor da Equao dos Trs Momentos, calculando-se com os valores esquerda ou direita da seo, o resultado deve ser sempre o mesmo. Clculo Seo A Conveno: Olhando as cargas direita: MA = +2,31.3,00 = 6,93 kNm Seo 2 M2 = X2 = 0 MDULO 15 - Tenso de Flexo: Aplicao da Equao dos Trs Momentos para Dois Vos - Desenho dos Diagramas 5. Desenho dos diagramas: Com os valores dos momentos fletores nos vrios pontos da viga, pode-se fazer o desenho do diagrama. Para este desenho, algumas convenes devem ser seguidas: valores de momento fletor positivos, abaixo da linha de referncia e negativos, acima desta linha. linha do diagrama de momentos fletores entre dois pontos consecutivos: - se no houver carga entre estes dois pontos, a linha reta e inclinada. - se houver carga distribuda entre estes dois pontos, a linha uma parbola do 2 grau. A parbola do 2 grau necessita de trs pontos para ser desenhada. No diagrama de momentos fletores, dois dos pontos da parbola so os momentos fletores nos pontos extremos. H 64. a necessidade ento de um terceiro ponto. Este ponto conseguido "pendurando-se" (pendurar significa no mesmo sentido da carga) o valor qx/8 (q: valor da carga, x: distncia entre os dois pontos) a partir da metade da reta que une os pontos extremos. (obs.: o sentido da carga sempre empurra a "barriga" da parbola). MDULO 15 - Tenso de Flexo: Aplicao da Equao dos Trs Momentos para Dois Vos - Desenho Final 6. Desenho Final: Desenho final do diagrama de momentos fletores do exemplo proposto: O observao O ponto sob o qual se "pendura" o valor qx 2 /8 no necessariamente o ponto de mximo momento fletor. 65. MDULO 16 - Tenso de Flexo Aplicao da Equao dos 3 Momentos para Dois e Trs Vos Objetivo do mdulo Apresentar dois exemplos prticos de clculo de momentos nos apoios de vigas hiperestticas a partir da Equao dos 3 Momentos. Primeiro exemplo: viga com trs vos e um balano, carga distribuda em um vo, uma carga concentrada em outro vo, sem carga em um vo e carga concentrada na extremidade do balano; Segundo exemplo: viga com dois vos, carga distribuda em ambos os vo e uma carga concentrada em um dos vos. 1. Tenso de Flexo: Aplicao da Equao dos 3 Momentos para Dois e Trs Vos Cculo dos momentos nos apois de viga contnua abaixo esquematizada A viga tem trs vos, portanto sero necessrias duas aplicaes da Equao dos 3 Momentos. Clculo do momento sobre os apoios das extremidades: Seo 0: X0 = 0 Seo 3 (olhando-se as cargas direita da seo): X3 = - 6.1,50 = - 9 66. Frmulas 1 aplicao (vos e ): 1 aplicao: Vos: Apoios: n-1 =0 n =1 n+1 =2 2 aplicao (vos e ): 1 aplicao: Vos: Apoios: n-1 =1 n =2 n+1 =3 Clculo dos fatores de carga vo vo vo 67. Clculo Clculo Clculo Se no h carga no vo O observao Clculo dos fatores de carga em um determinado vo: se no houver carga neste vo o fator de carga igual a zero. se houver mais de uma carga neste vo o fator de carga final igual a soma dos fatores de carga das cargas atuantes. Agora podemos resolver a 1 aplicao Clculo 2(4,50 + 3,50).X1 + 3,50.X2 = -6(7,59 + 6,29) 16.X1 + 3,50.X2 = -83,28 (1 equao) E na sequncia podemos resolver a 2 aplicao Clculo 3,50 . X1 + 2(3,50 + 4,00) . X2 + 4,00 . -9 = - 6(5.71 + 0) 3,50 . X1 + 15,.00 . X2 = 1,74 (2 equao) Resolvendo-se o sistema de duas equaes a duas incgnitas, decorrente da 1 e 2 aplicaes da Equao dos 3 Momentos, chega-se aos valores dos momentos X1 e X2. Ento: X0 = 0 X1 = -5,51 kNm X2 = 1,40 kNm X3 = -9,00 kNm Concluso A partir da pode ser feito o clculo das reaes de apoio e dos valores dos momentos fletores nos pontos necessrios para possibilitar o desenho dos diagramas. 68. MDULO 16 - Tenso de Flexo Aplicao da Equao dos 3 Momentos para Dois e Trs Vos - Exemplo 2. Exemplo: Aplicao da Equao dos 3 Momentos: Clculo dos momentos nos apoios da viga contnua abaixo esquematizada: A viga tem dois vos, portanto ser necessria uma aplicao da Equao dos 3 Momentos. Frmula 1 aplicao (vos e ): 1 aplicao: Vos: Apoios: n-1 =0 n =1 n+1 =2 69. Clculo dos fatores de carga Clculo dos fatores de carga vo vo Clculo Clculo Agora podemos resolver a 1 aplicao Clculo 2(5,00 + 4,50) . X1 = -6(13,02 + 18,56) 19,00 . X1 = -189,48 X1 = -9,97 kNm Ento: X0 = 0 X1 = -9,97 kNm X2 = 0 Concluso A partir da pode ser feito o clculo das reaes de apoio e dos valores dos momentos fletores nos pontos necessrios para possibilitar o desenho dos diagramas. 70. MDULO 17 - Tenso de Flexo: Teoria - Flexo Objetivo do mdulo Mostrar os diagramas de tenses de flexo de uma viga, definir o que linha neutra, apresentar a frmula da tenso de flexo. 1. Flexo Para o estudo da flexo, imaginemos uma viga com seo transversal retangular. Viga de espuma Apliquemos no meio do vo desta viga uma fora concentrada de cima para baixo. Viga de espuma com fora concentrada A imagem acima pode ser representada da seguinte maneira: Para melhor entender esta figura, pode-se fazer trs perguntas (lembrando que estamos no meio do vo): 71. 1 Pergunta: O que acontece nas fibras superiores? Resposta: Fibras se aproximam (compresso) 2 Pergunta: O que acontece na fibra central? Resposta: Nada 3 Pergunta: O que acontece nas fibras inferiores? Resposta: Fibras se afastam (trao) MDULO 17 - Tenso de Flexo: Teoria - Diagrama de Tenses Resultantes 2. Diagrama de tenses resultantes Colocando-se os esforos de compresso nas fibras superiores, trao nas fibras inferiores e ainda nenhum esforo na fibra central, pode-se obter os seguintes grficos (lembrando que estamos no meio do vo): fibra central Pergunta: Qual dos grficos seria o correto? pelo sentimento, qual das linhas seria a correta para unir a compresso das fibras superiores trao das fibras inferiores passando por nenhum esforo na fibra central? a) b) c) d) 72. Reflita e aperte para ver a resposta MDULO 17 - Tenso de Flexo: Teoria - Linha Neutra (LN) 3. Linha Neutra (LN) D definio - Na LN, no h esforo, nem de trao, nem de compresso. - Para materiais homogneos (ao, madeira, concreto (no concreto armado)), a LN passa no centro de gravidade (CG) da seo transversal. O observao Na verdade, a Linha Neutra no uma linha e sim um "plano neutro", pois est presente ao longo da viga e ao longo de toda a seo transversal. MDULO 17 - Tenso de Flexo: Teoria - Lei de Navier (1826) 4. Lei de Navier (1826) 73. D definio As sees planas permanecem planas aps a deformao. Anlise das distncias Faamos agora a anlise das distncias entre as sees transversais e consequentemente dos esforos nas fibras superiores, inferiores e na LN em alguns pontos da viga acima: Sobre o apoio Meio do vo Fibras superiores Fibras se afastam: trao Fibras se aproximam: compresso Linha Neutra No h alterao No h alterao Fibras inferiores Fibras se aproximam: compresso Fibras se afastam: trao Pergunta: Porque as condies das fibras superiores e inferiores, para o meio do vo e sobre o apoio so diferentes? Resposta: Por que o sinal do momento fletor no apoio e no meio do vo diferente. Normalmente o sinal do momento fletor sobre o apoio negativo e no meio do vo positivo. MDULO 17 - Tenso de Flexo: Teoria - Tenso de Flexo 5. Tenso de Flexo D definio Resposta da seo transversal ao esforo externo (momento fletor). - Estudo da tenso de flexo no meio do vo de uma viga sujeita a momento fletor (M) positivo: O desenho acima mostra as tenses de flexo com a seguinte conveno: 74. - tenso de flexo/compresso: positiva; - tenso de flexo/trao: negativa. Frmula Geral da Tenso de flexo Onde: : tenso de flexo. M : momento fletor na seo considerada y : distncia da LN fibra considerada ILN : momento de inrcia em relao Linha Neutra MDULO 17 - Tenso de Flexo: Teoria - Exemplo 6. Exemplo Determinao das tenses de flexo Determinao das tenses de flexo nas fibras 1e 2, superior e inferior dos pontos D e B da viga abaixo: Ponto D: Fibra superior: 75. Pergunta : Responda, pelo sentimento se, na fibra 1 e na fibra superior, no ponto D (meio do vo) a tenso de flexo ser de compresso ou de trao? Confirme sua resposta fazendo o clculo e verificando o sinal de acordo com a conveno. Resposta : Fibra 1 - f = M . y / ILN = 30 . 100 . 12.5 / 104167 = 0,36 kN/cm Fibra sup - f = M . y / ILN = 30 . 100 . 25 / 104167 = 0,72 kN/cm Obs.: o valor 100 na frmula acima serve para transformar o momento fletor de kNm para kNcm. O resultado foi positivo, logo a tenso de flexo na fibra superior no ponto D (meio do vo) de compresso. Fibra inferior: Pergunta : Responda, pelo sentimento se, na fibra 2 e na fibra inferior, no ponto D (meio do vo) a tenso de flexo ser de compresso ou de trao?. Confirme sua resposta fazendo o clculo e verificando o sinal de acordo com a conveno. Resposta : Fibra 2 - f = M . y / ILN = 30 . 100 . (-12,5) / 104167 = - 0,36 kN/cm Fibra inf - f = M . y / ILN = 30 . 100 . (-25) / 104167 = - 0,72 kN/cm O resultado foi negativo, logo a tenso de flexo na fibra inferior no ponto D (meio do vo) de trao. Diagrama das tenses de flexo no ponto D: Ponto B: Fibra superior: Pergunta : Responda, pelo sentimento se, na fibra 1 e na fibra superior, no ponto B (apoio) a tenso de flexo ser de compresso ou de trao? Confirme sua resposta fazendo o clculo e verificando o sinal de acordo com a conveno. Resposta : Fibra 1 - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . 12,5 / 104167 = - 0,24 kN/cm Fibra sup - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . 25 / 104167 = - 0,48 kN/cm Obs.: o valor 100 na frmula acima serve para transformar o momento fletor de kNm para kNcm. 76. O resultado foi negativo, logo a tenso de flexo na fibra superior no ponto B (apoio) de trao. Fibra inferior: Pergunta : Responda, pelo sentimento se, na fibra 2 e na fibra inferior, no ponto B (apoio) a tenso de flexo ser de compresso ou de trao? Confirme sua resposta fazendo o clculo e verificando o sinal de acordo com a conveno. Resposta : Fibra 2 - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . (-12,5) / 104167 = 0,24 kN/cm Fibra inf - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . (-25) / 104167 = 0,48 kN/cm O resultado foi positivo, logo a tenso de flexo na fibra inferior no ponto B (apoio) de compresso. Diagrama das tenses de flexo no ponto B: MDULO 18 - Tenso de Flexo: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Verificao da Estabilidade Objetivo do mdulo Mostrar como se faz a verificao da estabilidade para flexo em uma viga, mostrar onde esto as tenses mximas de flexo e apresentar exemplos de verificao da estabilidade para flexo. 1. Verificao da Estabilidade Para no haver rompimento, ou para que haja estabilidade, necessrio que a seguinte inequao seja verificada: Frmula Tenso admissvel Tenso mxima . Coeficiente de segurana Verificao da estabilidade de uma viga 77. Portanto, para que se verifique a estabilidade flexo de uma viga, as inequaes abaixo devem ser obedecidas, tanto para a seo de Momento fletor mximo positivo como para a seo de Momento fletor mximo negativo. Frmula O observao A barra acima dos simbolos de tenso de flexo ( ), indica que esta tenso uma tenso admissvel. Na verificao da estabilidade flexo, o que interessa so as tenses mximas de flexo (trao ou compresso). Porm, uma pergunta deve ser feita: onde esto as tenses mximas? MDULO 18 - Tenso de Flexo: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Tenso Mxima de Flexo 2. Tenso mxima de Flexo Frmula Imaginemos uma viga com uma determinada seo transversal. Esta seo transversal tem um centro de gravidade (CG). Por este centro de gravidade passa a LN que define o momento de inrcia em relao LN (ILN). A partir da LN, define-se a distncia at as fibras superior e inferior (ysup e yinf). 78. Esta viga tem o seguinte diagrama de momentos fletores: Analisemos agora as tenses de flexo nas sees de momento fletor mximo positivo e negativo nas fibras superior e inferior. f ysup (+) + fc yinf (-) - ft ysup (+) - ft yinf (-) + fc Porm, a pergunta ainda persiste: onde esto as tenses mximas de flexo? Para descobrir onde esto estas tenses mximas, vamos analisar a frmula da tenso de flexo: Frmula A tenso mxima se consegue com os mximos valores no numerador, e o mnimo valor no denominador. Mximos valores no numerador: M: momento mximo positivo ou negativo (funo do diagrama de momentos fletores). y: distncia da LN fibra mais afastada (ysup ou yinf). Mnimo valor no denominador: O valor do momento da inrcia em relao LN constante, pois a seo transversal em uma determinada seo da viga nica. Diagramas das tenses de flexo A partir da tabela e das consideraes acima, pode-se construir os diagramas das tenses de flexo nas sees de momento fletor mximo positivo e negativo. 79. C concluso Ento, respondendo pergunta, as tenses mximas de flexo esto nas sees de momento fletor mximo positivo e negativo nas fibras superior e inferior. Frmula da tenso de flexo mxima MDULO 18 - Tenso de Flexo: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Exemplo 1 3. Exemplo 1 Verificao da estabilidade flexo de uma viga: Diagrama de momentos fletores: Seo Transversal: Onde: = 2,00 kN/cm = 1,75 kN/cm Caractersticas geomtricas da seo transversal: 80. Clculo ILN = b . h / 12 = 10 . 50 / 12 = 104167 cm 4 O observao A frmula acima valida somente para seo transversal retangular. Flexo: Frmula Para : Fibras superiores: Pergunta: A tenso de flexo seria com compresso ou com trao?. Resposta: f ? max = . ysup / ILN = 50 . 100 . 25 / 104167 = 1,20 kN/cm Resultado positivo, logo, a tenso de flexo com compresso. f c max = 1,20 kN/cm Fibras inferiores: Pergunta: A tenso de flexo seria com compresso ou com trao? Resposta: f ? max = . yinf / ILN = 50 . 100 . (-25) / 104167 = -1,20 kN/cm Resultado negativo, logo, a tenso de flexo com trao. f T max = -1,20 kN/cm Verificao (utiliza-se os valores das tenses em mdulo, pois no teria sentido comparar uma tenso mxima com valor negativo com uma tenso admissvel que sempre positiva). Comparao Compresso f C max . 1,4 2,00 1,20 . 1,4 2,00 1,68 verifica Trao f T max . 1,4 1,75 1,20 . 1,4 1,75 1,68 verifica C concluso Como as inequaes relativas flexo se verificaram, chega-se a concluso de que a viga estvel considerando-se a flexo. 81. MDULO 18 - Tenso de Flexo: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Exemplo 2 4. Exemplo 2 Determinao da altura da viga retangular que a torna estvel considerendo-se as tenses de flexo: Dados: = 15 kNm b = 15 cm = 1,00 kN/cm = 0,60 kN/cm Caractersticas geomtricas da seo transversal: Clculo ILN = b . h / 12 = 15 . h / 12 = 1,25 . h Flexo: Frmula Para : Fibras superiores: Pergunta: A tenso de flexo seria com compresso ou com trao?. Resposta: f ? max = . ysup / ILN = 15 . 100 . (h / 2) / (1,25 . h) = 600 / h Resultado positivo, logo, a tenso de flexo com compresso. f C max = 600 / h Fibras inferiores: Pergunta: A tenso de flexo seria com compresso ou com trao? Resposta: f ? max = . yinf / ILN = 50 . 100 . (- h / 2) / (1,25 . h) = - 600 / h Resultado negativo, logo, a tenso de flexo com trao. f T max = - 600 / h Verificao (utiliza-se os valores das tenses em mdulo): 82. Comparao Compresso f C max . 1,4 1,00 (600 / h) . 1,4 h 29 cm Trao f T max . 1,4 0,60 (600 / h) . 1,4 h 37,4 cm Pergunta: Qual seria dentre os dois valores de h encontrados, aquele a ser adotado?. Resposta: O valor a ser escolhido o da maior altura. Como h 37,4 maior que h 29, a altura superior ou igual a 37,4 cm atende s duas solicitaes (compresso e trao). Pode ser adotado, um valor "cheio", por exemplo: h = 40 cm MDULO 18 - Tenso de Flexo: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Exemplo 3 5. Exemplo 3 Verificao da estabilidade flexo da viga abaixo: Dados: = 1,00 kN/cm = 1,35 kN/cm Caractersticas geomtricas da seo transversal: ysup = 18,44 cm e yinf = -31,56 cm ILN = 200700 cm 4 Flexo: Frmula Para : Fibras superiores: Pergunta: A tenso de flexo seria com compresso ou com trao?. Resposta: 83. f ? max = . ysup / ILN = 60 . 100 . 18,44 / 200700 = 0,55 kN/cm Resultado positivo, logo, a tenso de flexo com compresso. f C max = 0,55 kN/cm Fibras inferiores: Pergunta: A tenso de flexo seria com compresso ou com trao? Resposta: f ? max = . yinf / ILN = 60 . 100 . (- 31,56) / 200700 = - 0,94 kN/cm Resultado negativo, logo, a tenso de flexo com trao. f T max = - 0,94 kN/cm Verificao (utiliza-se os valores das tenses em mdulo): Comparao Compresso f C max . 1,4 1,00 0,55 . 1,4 1,00 0,77 verifica Trao f T max . 1,4 1,35 0,94 . 1,4 1,35 1,32 verifica Para : Pergunta: A tenso de flexo seria com compresso ou com trao?. Fibras superiores: Resposta: f ? max = . ysup / ILN = -45 . 100 . 18,44 / 200700 = - 0,41 kN/cm Resultado negativo, logo, a tenso de flexo com trao. f T max = -0,41 kN/cm Fibras inferiores: Pergunta: A tenso de flexo seria com compresso ou com trao? Resposta: f ? max = . yinf / ILN = -45 . 100 . (- 31,56) / 200700 = 0,71 kN/cm Resultado positivo, logo, a tenso de flexo com compresso. f Cmax = 0,71 kN/cm Verificao (utiliza-se os valores das tenses em mdulo): Comparao 84. Compresso f C max . 1,4 1,00 0,71 . 1,4 1,00 0,99 verifica Trao f T max . 1,4 1,35 0,41 . 1,4 1,35 0,57 verifica C concluso Como todas as inequaes verificaram, chega-se a concluso de que a viga estvel flexo. O observao Deve ser feita a verificao para o nas fibras superior e infereior e para o nas fibras superior e inferior. Portanto, quatro verificaes devem ser feitas e para que a viga seja estvel flexo, necessrio que estas quatro verificaes sejam atendidas. MDULO 18 - Tenso de Flexo: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Exemplo 4 6. Exemplo 4 Clculo do que uma viga pode suportar: Seo Transversal: Dados: = 15,00 kN/cm = 10,00 kN/cm Caractersticas geomtricas da seo transversal: ILN = 36600 cm 4 Flexo: Frmula 85. Para : Fibras superiores: Pergunta: A tenso de flexo seria com compresso ou com trao?. Resposta: f ? max = . ysup / ILN = . 20 / 36600 = 0,00055 . Resultado positivo, logo, a tenso de flexo com compresso. f C max = 0,00055 . Fibras inferiores: Pergunta: A tenso de flexo seria com compresso ou com trao? Resposta: f ? max = . yinf / ILN = . (-20) / 36600 = -0,00055 . Resultado negativo, logo, a tenso de flexo com trao. f T max = -0,00055 . Verificao (utiliza-se os valores das tenses em mdulo): Comparao Compresso f C max . 1,4 15,00 0,00055 . . 1,4 < 19481 kNcm Trao f T max . 1,4 10,00 0,00055 . . 1,4 1,35 12987 kNcm Resultado: O valor que obedece s duas inequaes simultaneamente : Clculo < 12987 kNcm ou 129,87 kNm MDULO 19 - Tenso de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos Trs Momentos para Fora Cortante - Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas 86. Objetivo do mdulo Apresentar a teoria para clculo de foras cortantes em vigas hiperestticas (Equao dos 3 Momentos) e exemplos prticos de aplicao desta equao. 1. Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas: a. Vigas Hipostticas As vigas hipostticas no so estveis, no so estticas. b. Vigas Isostticas: D definio Vigas Isostticas: so aquelas vigas com trs reaes de apoio (ou, trs incgnitas) e com liberdade retringida. c. Vigas Hiperestticas: D definio Vigas hiperestticas so aquelas vigas com mais de trs reaes de apoio (ou, mais de trs incgnitas) e com liberdade restringida. 87. O observao Se houver uma fora horizontal, o apoio fixo tem uma reao horizontal que impede o deslocamento da viga nesta direo. d. Esforo Interno Aplicado - Fora Cortante (V): Para o clculo das tenses de cisalhamento em uma viga, se faz necessrio o conhecimento das foras cortantes desta viga. O clculo das foras cortantes realizado atravs de convenes especificas (j visto para as vigas isostticas - Sistema Estruturais I e II). A visualizao deste clculo em uma viga feita com o desenho de um diagrama, tambm de acordo com convenes especificas (j visto para as vigas isostticas - Sistema Estruturais I e II) e. Exemplo de Diagrama de Foras Cortantes: Diagrama de foras cortantes para foras concentradas e distribuda nos balanos e no meio do vo. MDULO 19 - Tenso de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos Trs Momentos para Fora Cortante - Clculo de Foras Cortantes de Vigas Contnuas 88. 2. Clculo de Foras Cortantes de Vigas Contnuas: D definio Vigas Contnuas: so vigas hiperestticas com dois ou mais vos. Para as vigas contnuas, o clculo no to simples quanto era para as vigas isostticas. Nas vigas isostticas as incgnitas so trs, precisamos ento de trs equaes, que so as trs equaes da esttica (somatria dos momentos em relao a um ponto igual a zero, somatrio das foras verticais igual a zero e somatrio das foras horizontais igual a zero). Para as vigas hiperestticas tem-se mais de trs incgnitas foram criados ento vrios mtodos para o clculo das reaes de apoio e dos momentos fletores nos vos. Uma vez conseguidos estes valores, pode- se calcular os momentos fletores e foras cortantes nos demais pontos da viga e consequentemente desenhar os diagramas. Mtodos de clculo: Mtodo dos Deslocamentos Mtodo dos Esforos Mtodo de Cross Mtodo da Equao dos Trs Momentos MDULO 19 - Tenso de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos Trs Momentos para Fora Cortante - Mtodo da Equao dos Trs Momentos 3. Mtodo da Equao dos Trs Momentos: O mtodo calcula os momentos fletores em 3 apoios (Xn-1, Xn e Xn+1) sequenciais de uma viga, a partir dos quais pode-se calcular as foras cortantes em qualquer seo. Dentre os vrios mtodos existentes para o clculo de vigas hiperestticas, ser apresentado nesta disciplina o Mtodo da Equao dos 3 Momentos. Anlise do Mtodo da Equao dos 3 Momentos: Vamos escolher um trecho de dois vos ( e ) e de trs apoios (n-1, n e n+1) de uma viga continua sujeita a um carregamento qualquer conforme a figura abaixo: 89. A seguir ser apresentada a Equao dos 3 Momentos para uma viga com momento de inrcia constante no vo e de vo para vo. Isto quer dizer, uma viga sem msulas, com seo transversal igual, ou aproximadamente igual, ao longo da viga. Misula: Frmula Onde: e :comprimento dos vos Xn-1, Xn e Xn+1: momentos nos apoios : Fatores de carga Os fatores de carga so funo da carga atuante no vo. Quando houver mais de uma carga atuando em um mesmo vo, os fatores de carga finais so dados pela soma dos fatores de carga de cada uma das cargas. - Para carga uniformemente distribuda ao longo do vo: Frmula - Para carga concentrada no vo: 90. Frmulas O observao O ndice "1" nas frmulas de fatores de carga acima indica apoio da esquerda e o ndice "2" indica apoio da direita. MDULO 19 - Tenso de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos Trs Momentos para Fora Cortante - Nmero de Aplicaes 4. Nmero de Aplicaes: Para se calcular os momentos fletores em todos os apoios de um viga contnua, deve-se aplicar a equao dos trs momentos em vos subsequentes dois a dois. O resultado que o nmero total de aplicaes igual ao nmero de vos menos um. E exemplo Para quatro vos, aplica-se trs vezes a equao dos trs momentos. Com as trs aplicaes, fica-se com trs equaes dos trs momentos, uma para cada aplicao e trs incgnitas (X1, X2 e X3), j que os momentos X0 e X4 so previamente conhecidos. 91. MDULO 19 - Tenso de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos Trs Momentos para Fora Cortante - Conveno de Sinais 5. Conveno de Sinais para Clculo de Foras Cortantes: Olhando as cargas esquerda da seo considerada: (Conveno positiva) Olhando as cargas direita da seo considerada: (Conveno positiva) MDULO 19 - Tenso de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestticas e Equao dos Trs Momentos para Fora Cortante - Exemplo 6. Exemplo: Aplicao da Equao dos Trs Momentos: Clculo e desenho do diagrama de foras cortantes da viga contnua abaixo esquematizada: A viga tem dois vos, portanto ser necessria uma aplicao da Equao dos 3 Momentos. Frmula 1 aplicao (vos e ): 92. Vos: Apoios: n-1 =0 n =1 n+1 =2 O observao Nos apoios da extremidade, o valor do momento ser igual a 0 (zero) - se no houver balano. Clculo dos fatores de carga Clculo dos fatores de carga vo vo Clculo Clculo Agora podemos resolver a 1 aplicao Clculo 2(4,00 + 5,00).X1 = -6(9,33 + 16,00) X1 = -8,44 kNm Reaes de Apoio: As reaes de apoio devem ser calculadas separadamente para cada vo. Alm das cargas nos vos (distribuidas e/ou concentradas), deve-se aplicar tambm os momentos nos apoios do respectivo vo. O sentido destes momentos (horrio ou anti-horrio) deve deformar o vo da mesma maneira que a carga aplicada sobre ele. 93. Para vo 1: M0 = 0 3,5 . 4,00 . 2,00 - R1 . 4,00 - (-8,44) = 0 R1 = 9.11 kN V = 0 R0 + 9,11 - 3,5 . 4,00 = 0 R0 = 4,89 kN Para vo 2: M1 = 0 10 . 2,00 + (-8,44) - R2 . 5,00 = 0 R2 = 2,31 kN V = 0 R1 + 2,31 - 10 = 0 R1 = 7,69 kN O observao A reao no apoio 1 igual a soma das reaes do apoio 1 para os vos 1 e 2. C concluso Viso final da viga, com momentos nos apoios e reaes de apoio, a partir dos quais sero calculadas as foras cortantes que serviro de base para o desenho do diagrama: Onde calcular as foras cortantes? Foras cortantes: nas sees de incio e de fim de carga distribuda e imediatamente esquerda e imediatamente direita das sees de carga concentrada. (obs.: a reao de apoio uma carga concentrada). 94. ! importante indiferente olhar as cargas esquerda ou direita de uma determinada seo, o resultado sempre o mesmo!!!!!! No nosso exemplo: As foras cortantes devero ser calculadas nas seguintes sees: 0, 1esq, 1dir, Aesq, Adir e 2 (esq significa imediatamente esquerda da seo e dir significa imediatamente direita da seo). Clculo Seo 0 V0 = 4,89 kN Seo 1 V1esq, = +4,89 - 3,5 . 4,00 = -9,11 kN V1dir , = 10 - 2,31 = 7,69 kN O observao Em uma seo com carga concentrada, dois clculos devem ser realizados. Um para uma seo imediatamente esquerda e outro para uma seo imediatamente direita da carga concentrada. No clculo, tanto da seo esquerda como da seo direita de carga concentrada, pode-ses olhar as cargas esquerda ou direita de cada seo, o resultado deve ser sempre o mesmo. Clculo Seo A VA esq , = 10 - 2,31 = 7,69 kN VA dir , = -2,31 kN Seo 2 V2 = -2,31 kN Desenho dos diagramas Com os valores das foras cortantes nos vrios pontos da viga, pode-se fazer o desenho do diagrama. Para este desenho, algumas convenes devem ser seguidas: valores de fora cortante positivos, acima da linha de referncia e negativos, abaixo desta linha. linha do diagrama de foras cortantes entre dois pontos consecutivos: - se no houver carga entre estes dois pontos, a linha reta e 95. horizontal. - se houver carga distribuda entre estes dois pontos, a linha reta e inclinada. Desenho final Desenho final do diagrama de foras cortantes do exemplo proposto: MDULO 20 - Tenso de Cisalhamento: Teoria - Cisalhamento Objetivo do mdulo Mostrar o diagrama de tenso de cisalhamento de uma viga. 1. Cisalhamento Para o estudo do cisalhamento, imaginemos uma viga com seo transversal quadrangular. Viga de toquinhos Apliquemos em dois prismas adjacentes desta viga duas foras na mesma direo e em sentidos opostos 96. Viga de toquinhos com foras opostas As imagens acima podem ser representadas da seguinte maneira: Imaginemos agora que estamos vivendo o mais frio dos invernos jamais visto em nossa regio. Qual seria uma possvel soluo para se esquentar as mos, alm daquelas bvias de se colocar um par de luvas ou coloc-las dentro de um aquecedor? Uma das possveis solues ento, seria friccionar as mos uma na outra, aplicando duas foras na mesma direo e em sentidos contrrios, exercendo um esforo de cisalhamento. A observao deste fenmeno, nos leva a duas perguntas: 1 Pergunta: Em qual parte a mo esquenta mais ou, fazendo-se uma analogia, em qual fibra a tenso maior? Resposta: No meio da mo ou, fazendo-se uma analogia, na fibra da LN. 2 Pergunta: Em qual parte a mo esquenta menos ou, fazendo-se uma analogia, em qual fibra a tenso nula? Resposta: Nas extremidades da mo ou, fazendo-se uma analogia, nas fibras superiores e inferiores. Colocando-se a tenso mxima da LN e as tenses nulas das fibras superior e inferior, obtem-se a seguinte figura: 97. Pergunta: Qual dos grficos seria o correto? Pelo sentimento, qual das linhas seria a correta para unir a tenso nula nas fibras superior e inferior tenso mxima na fibra da LN? a) b) c) d) Reflita e aperte para ver a resposta MDULO 20 - Tenso de Cisalhamento: Teoria - Tenso de Cisalhamento 2. Tenso de Cisalhamento D definio Resposta da seo transversal ao esforo externo (fora cortante). A tenso de cisalhamento paralela ao plano da seo transversal, ao contrrio da tenso de flexo que normal ao plano da seo transversal. Frmula Geral da Tenso de Cisalhamento Onde: : tenso de cisalhamento. V: fora cortante na seo considerada. Q: momento esttico da rea, definida pela fibra considerada, em relao a linha neutra. : largura da seo transversal na fibra considerada. ILN: momento de inrcia em relao Linha Neutra.. E exemplo Determinao da tenso de cisalhamento Nas fibras 1 e 2 e na fibra da LN na seo A da viga abaixo: 98. Seo A: Fibra 1: Clculo 1= VA . Q1 / 1 / ILN = 25 . (10.12,5.18,75) / 10 / (10.50 3 /12) = 0,056 kN/cm Fibra da LN: Clculo LN= VA . QLN / LN / ILN = 25 . (10.25.12,5) / 10 / (10.50 3 /12) = 0,075 kN/cm Fibra 2: Clculo 2= VA . Q2 / 1 / ILN = 25 . (10.37,5.6,25) / 10 / (10.50 3 /12) = 0,056 kN/cm Diagrama das tenses de cisalhamento no ponto A: Obs.: nas fibras superior e inferior a tenso de cisalhamento nula. MDULO 21 - Tenso de Cisalhamento: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Verificao da Estabilidade Objetivo do mdulo Mostrar como se faz a verificao da estabilidade para cisalhamento em uma viga, mostrar onde esto as tenses mximas de cisalhamento e apresentar exemplos de verificao da estabilidade para cisalhamento. 99. 1. Verificao da Estabilidade Para no haver rompimento, ou para que haja estabilidade, necessrio que a seguinte inequao seja verificada: Frmula Tenso admissvel Tenso mxima . Coeficiente de segurana Verificao da estabilidade de uma viga Portanto, para que se verifique a estabilidade ao cisalhamento de uma viga, a inequao abaixo deve ser obedecida, para a seo de Fora Cortante mxima. Frmula O observao A barra acima do simbolo de tenso de cisalhamento ( ), indica que esta tenso uma tenso admissvel. Na verificao da estabilidade ao cisalhamento, o que interessa a tenso mximas de cisalhamento. Porm, uma pergunta deve ser feita: onde est a tenso mxima? MDULO 21 - Tenso de Cisalhamento: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Tenso Mxima de Cisalhamento 2. Tenso Mxima de Cisalhamento Frmula Imaginemos uma viga com uma determinada seo transversal. Esta seo transversal tem um centro de gravidade (CG). Por este centro de gravidade passa a LN que define o momento de inrcia em relao LN (ILN). A partir da LN, define-se a largura da seo transversal em relao LN ( LN) e o momento esttico em relao LN (QLN). 100. Esta viga tem o seguinte diagrama de foras cortantes: Mas a pergunta ainda persiste: onde esto as tenses mximas de cisalhamento? Para descobrir onde esto estas tenses mximas, vamos analisar a frmula da tenso de cisalhamento: Frmula A tenso mxima se consegue com os mximos valores no numerador, e os mnimos valores no denominador. Mximos valores no numerador: V: fora cortante mxima - em mdulo (funo do diagrama). Q: momento esttico mximo - fibra da LN (QLN). Mnimos valores no denominador: O valor do momento da inrcia em relao LN constante, pois a seo transversal em uma determinada seo da viga nica. O valor da largura da seo na LN tambm nica, pois a seo transversal em uma determinada seo da viga nica. Diagrama da tenso de cisalhamento A partir das consideraes acima, pode-se construir o diagrama da tenso de cisalhamento no ponto de fora cortante mxima. C concluso Ento, respondendo pergunta, a tenso mxima de cisalhamento est no ponto de fora cortante 101. mxima (em mdulo), na fibra da LN. Frmula da tenso de cisalhamento mxima: Frmula MDULO 21 - Tenso de Cisalhamento: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Exemplo 1 3. Exemplo 1 Verificao da estabilidade ao cisalhamento de uma viga: Diagrama de foras cortantes: Seo Transversal: Onde: = 0,25 Caractersticas geomtricas da seo transversal: Clculo LN = 10 cm ILN = b . h / 12 = 10 . 50 / 12 = 104167 cm 4 QLN = b . h / 8 = 10 . 50 / 8 = 3125 cm O observao As frmulas acima so validas somente para seo transversal retangular. Frmula 102. Clculo max = Vmax . QLN / LN / ILN = 70 . 3125 / 10 / 104167 = 0,21 kN/cm Verificao: Clculo max . 1,4 0,25 0,21 . 1,4 0,25 0,30 no verifica C concluso Como a inequao relativa ao cisalhamento no se verificou, chega-se a concluso de que a viga no estvel considerando-se o cisalhamento. MDULO 21 - Tenso de Cisalhamento: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Exemplo 2 4. Exemplo 2 Determinao da altura da viga retangular que a torna estvel considerendo-se as tenses de cisalhamento: Dados: Vmax = 8 kN b = 15 cm = 0,05 kN/cm Caractersticas geomtricas da seo transversal: Clculo LN = 15 cm ILN = b . h / 12 = 15 . h / 12 = 1,25 . h QLN = b . h / 8 = 15 . h / 8 = 1,88 . h Cisalhamento Frmula Clculo max = Vmax . QLN / LN / ILN = 70 . (1,88 . h) / 15 / (1,25 . h) = 0,80 / h Verificao: 103. Clculo max . 1,4 0,05 (0,80 / h) . 1,4 h 22,5 cm MDULO 21 - Tenso de Cisalhamento: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Exemplo 3 5. Exemplo 3 Verificao da estabilidade ao cisalhamento da viga abaixo: Dado: = 0,20 kN/cm Caractersticas geomtricas da seo transversal: Clculo LN = 12,5 cm ILN = 200700 cm 4 QLN = 5976cm Cisalhamento Frmula Clculo max = Vmax . QLN / LN / ILN = 50.5976/12,5/200700 = 0,12kN/cm Verificao: Clculo max . 1,4 0,20 0,12 . 1,4 0,20 0,17 verifica C concluso Como a inequao verificou, chega-se a concluso de que a viga estvel ao cisalhamento. 104. MDULO 21 - Tenso de Cisalhamento: Tenso Mxima e Verificao da Estabilidade - Exemplo 4 6. Exemplo 4 Qual o Vmax que a viga abaixo pode suportar? Seo Transversal: Dado: = 1,50 kN/cm Caractersticas geomtricas da seo transversal: Clculo LN = 2 cm ILN = 36600 cm 4 QLN = 1084 cm Cisalhamento Frmula Clculo max = Vmax . QLN / LN / ILN = Vmax . 1084 / 2 / 36600 = 0,015 . Vmax Verificao: Clculo max . 1,4 1,50 0,015 . Vmax . 1,4 Vmax < 71,42 kN 105. C concluso Logo, a fora cortante mxima deve ser: Vmax < 71,42 kN ! importante Para que uma viga seja estvel, tanto as inequaes relativas flexo quanto inequao relativa ao cisalhamento devem ser verificadas. Portanto se uma das inequaes no for verificada, a viga "cai". MDULO 22 - Introduo ao Elemento Estrutural: Pilar - Pilares Objetivo do mdulo Definir o que o pilar e como ele funciona. Mostrar quais so as foras atuantes em um pilar e quais as tenses decorrentes destas foras. Classificar os pilares apresentando as diferenas entre pilares curtos e longos.. 1. Pilares D definio O pilar define e estabiliza planos horizontais, elevados em relao ao plano do solo. Com isto, ele colabora na definio do espao arquitetnico, principal meio de desenvolvimento dos projetos de arquitetura. Disse o poeta Louis Kahn: "Ah que dia maravilhoso em que a parede se foi e nasceu o pilar." E exemplo 106. MDULO 22 - Introduo ao Elemento Estrutural: Pilar - Esquema de Carregamentos, Foras e Esforos para um Pilar 2. Esquema de carregamentos, foras e esforos para um pilar Esforo externo (P) Funo das reaes de apoio das vigas que chegam ao pilar. Funo do peso-prprio do pilar. Esforo interno (N) Fora normal - normal ao plano da seo transversal do pilar. Esforo Trao ou Compresso. Tenso () Tenso normal de trao (T) ou tenso normal de compresso (c). Esforos nos pilares causados por uma viga sem balano. 107. Esforos nos pilares que podem ser causados por uma viga com balano. MDULO 22 - Introduo ao Elemento Estrutural: Pilar - Curiosidade 3. Curiosidade Do ponto de vista estrutural, a funo do pilar mais simples que a funo da viga. Analise as figuras abaixo: Na viga o carregamento normal direo do eixo da pea, portanto, para chegar at o solo, a carga "percorre" um caminho mais longo, primeiro na horizontal e depois na vertical. No pilar o carregamento est na mesma direo do eixo da pea, portanto, para chegar at o solo, a carga "percorre" um caminho mais curto do que nas vigas, diretamente na vertical. O observao No est sendo levado em conta o efeito do vento que deve ser considerado somente para pilares de edifcios muito altos. Neste caso, teriamos uma combinao de carregamento horizontal (vento), com carregamento vertical. MDULO 22 - Introduo ao Elemento Estrutural: Pilar - Fora Normal 4. Fora Normal 108. Frmulas da fora normal (N) nas diversas sees do pilar: Onde: peso especfico do material A: rea da seo transversal Em qual das sees do esquema acima ocorre a fora normal mxima de compresso? Reflita e aperte para ver a resposta O observa