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  • ClCulo VSrieS numriCaS

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  • ClCulo V: sries numriCas

    Universidade Federal de Minas Gerais

    Reitor: Cllio Campolina Diniz

    Vice-Reitora: Rocksane de Carvalho Norton

    Pr-reitoria de Graduao

    Pr-Reitora: Antnia Vitria Soares Aranha

    Pr-Reitora Adjunta: Carmela Maria Polito Braga

    Coordenador do Centro de Apoio Educao a Distncia: Fernando Fidalgo

    Coordenadora da Universidade Aberta: Ione Maria Ferreira Oliveira

    editora UFMG

    Diretor: Wander Melo Miranda

    Vice-Diretora: Silvana Cser

    Conselho editorial

    Wander Melo Miranda (presidente)

    Flvio de Lemos Carsalade

    Heloisa Maria Murgel Starling

    Mrcio Gomes Soares

    Maria das Graas Santa Brbara

    Maria Helena Damasceno e Silva Megale

    Paulo Srgio Lacerda Beiro

    Silvana Cser

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  • Grey ercole

    Belo Horizonte editora UFMG

    2010

    ClCulo VSrieS numriCaS

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  • ASSISTNCIA EDITORIAL Eliane Sousa e Eucldia Macedo

    EDITORAO DE TEXTOS Maria do Carmo Leite Ribeiro

    REVISO E NORMALIZAO Danivia Wolff e Mrcia Romano

    REVISO DE PROVAS Danivia Wolff

    PROJETO GRFICO E CAPA Eduardo Ferreira

    FORMATAO Srgio Luz

    PRODUO GRFICA Warren Marilac

    IMPRESSO IMPRENSA UNIVERSITRIA DA UFMG

    editora UFMGAv. Antnio Carlos, 6.627 - Ala direita da Biblioteca Central - Trreo

    Campus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4650 - Fax: + 55 31 3409-4768

    www.editora.ufmg.br - editora@ufmg.br

    2010, Grey Ercole 2010, Editora UFMG 2012, REIMPRESSO

    Este livro ou parte dele no pode ser reproduzido por qualquer meio sem autorizao escrita do Editor.

    Ercole, Grey. Clculo V : sries numricas / Grey Ercole. Belo Horizonte : Editora UFMG, 2010.

    87 p. : il. (Educao a Distncia) ISBN: 978-85-7041-844-9 1. Clculos numricos. 2. Matemtica. I. Ttulo. II. Srie.

    CDD: 518CDU: 517

    V657f

    Elaborada pela DITTI Setor de Tratamento da Informao Biblioteca Universitria da UFMG

    Pr-reitoria de GradUaoAv. Antnio Carlos, 6.627 - Reitoria - 6 andarCampus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4054 - Fax: + 55 31 3409-4060 www.ufmg.br - info@prograd.ufmg.br - educacaoadistancia@ufmg.br

    Este livro recebeu apoio financeiro da Secretaria de Educao a Distncia do MEC.

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  • A Educao a Distncia (EAD) uma modalidade de ensino que busca promover insero social pela disseminao de meios e processos de democratizao do conhecimento. A meta elevar os ndices de esco-laridade e oferecer uma educao de qualidade, disponibilizando uma formao inicial e/ou continuada, em particular, a professores que no tiveram acesso a esse ensino.

    No se pode ignorar que fundamental haver, sempre, plena conexo entre educao e aprendizagem. A modalidade a distncia um tipo de aprendizagem que, em especial na Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), j est concretizada como um ensino de qualidade. Hoje, a aprendizagem tornou-se, para todos os profissionais dessa universidade envolvidos no programa de Educao a Distncia, sin-nimo de esforo e dedicao de cada um.

    Este livro visa desenvolver no curso a distncia os mesmos conheci-mentos proporcionados num curso presencial. Os alunos estudaro o material nele contido e muitos outros, que lhe sero sugeridos em bibliografia complementar. importante terem em vista que essas leituras so de extrema importncia para, com muita dedicao, avan-arem em seus estudos.

    Cada volume da coletnea est dividido em aulas e, em cada uma delas, trata-se de determinado tema, que explorado de diferentes formas textos, apresentaes, reflexes e indagaes tericas, experimenta-es ou orientaes para atividades a serem realizadas pelos alunos. Os objetivos propostos em cada uma das aulas indicam as competncias e habilidades que os alunos, ao final da disciplina, devem ter adquirido.

    Os exerccios indicados ao final de cada aula possibilitam aos alunos avaliarem sua aprendizagem e seu progresso em cada passo do curso. Espera-se que, assim, eles se tornem autnomos, responsveis, crticos e decisivos, capazes, sobretudo, de desenvolver a prpria capacidade intelectual. Os alunos no podem se esquecer de que toda a equipe de professores e tutores responsveis pelo curso estar, a distncia ou presente nos polos, pronta a ajud-los. Alm disso, o estudo em grupo, a discusso e a troca de conhecimentos com os colegas sero, nessa modalidade de ensino, de grande importncia ao longo do curso.

    Agradeo aos autores e equipe de produo pela competncia, pelo empenho e pelo tempo dedicado preparao deste e dos demais livros dos cursos de EAD. Espero que cada um deles possa ser valioso para os alunos, pois tenho certeza de que vo contribuir muito para o sucesso profissional de todos eles, em seus respectivos cursos, na rea da educao em geral do pas.

    Ione Maria Ferreira de OliveiraCoordenadora do Sistema Universidade Aberta do Brasil

    (UAB/UFMG)

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  • Sumrio

    apresentao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    aula 1 | Sequncias numricas e limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Sequncias numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Sequncias montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Sequncias limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3 Operaes com sequncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Sequncias convergentes e limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Operaes com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3 Teoremas de convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    aula 2 | Sries numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1 Convergncia e divergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 A srie geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 A srie harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Operaes com sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Manipulando ndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Um teste de divergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Um critrio de convergncia para sries alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    aula 3 | Testes de convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1 O teste da comparao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Convergncia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 O teste da razo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 O teste da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    aula 4 | Sries de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1 Srie de potncias de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Raio e intervalo de convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3 Srie de potncias de (x x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.4 Derivao termo a termo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.1 Representao de ex em srie de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.5 Integrao termo a termo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5.1 Representao de ln x em srie de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.5.2 Aproximaes para a integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

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  • aula 5 | expanso em srie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1 Sries de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.1 Representao de sen x e de cos x em srie de potncias . . . . . . . . . . . 74 5.2 Frmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . .