Sistema de Muitos Corpos

● O que é relevante em um sistema com muitos corpos?

● Existe algum ponto especial a se observar?● Quais forças são relevantes no sistema?

Centro de Massa

Um alteres com duas massas m iguais separadas por um distância fixa L é lançado ao ar:

m mL

Centro de Massa (CM)

Centro de Massa

Supondo M > m:

Centro de Massa (CM)

Centro de Massa (CM) Centro de Massa (CM)

Centro de Massa (CM)

Centro de Massa (CM)

Centro de MassaTeste 2 – uma massa muito maior que a outra:

Neste caso é esperado que o centro de massa vá para próximo da massa maior

Com

Aplicando estas aproximações à equação do Centro de Massa:

Centro de Massa

Teste 1 – massas iguais:

Aplicando à equação do Centro de Massa:

Determinando o Centro de Massa:

Média Ponderada das posições usando as massas como pesos.

Centro de Massa

Para um sistema com n corpos ao longo do eixo x:

Centro de Massa

Em 3 dimensões:

Centro de MassaExemplo 1: Dado três massas posicionadas conforme a tabela abaixo.

# Massa (kg) x (cm) y (cm)

1 1,2 0 0

2 2,5 140 0

3 3,4 70 120

Centro de MassaMassa Total:

Posição x do centro de massa:

Momento Linearou Quantidade de Movimento Linear:

Reescrevendo a equação do centro de massa como segue e supondo massa constante

Para uma partícula de massa m se movendo a velocidade v, sua quantidade de movimento é definida como:

Com unidade:

Momento LinearA derivada do momento linear no tempo (com massa constante)

Portanto a taxa de variação no tempo do momento linear é igual a soma das forças atuando sobre o corpo.

Momento LinearRetornando a equação do sistema de partículas

A primeira soma se refere a soma das forças atuando sobre a i-ésima partícula, enquanto a segunda se refere a soma sobre todas as partículas.

ou apenas

derivando novamente em relação ao tempo

Momento LinearConsidere um sistema composto de n bolas distintas lançadas em queda livre:

+

-

+

+

+ + + + + + + + + +

---------

--

Forças Internas: Interação entre as partículas do sistema.

Forças Externas: Interação entre as partículas do sistema e o meio externo.

Momento LinearPortanto aquela soma dupla pode ser separada em duas somas

Onde a primeira soma será sempre nula já que as forças sempre aparecem aos pares e a sua ação e reação estarão sempre dentro do sistema, e portanto:

ou ainda

Momento LinearNeste primeiro momento daremos atenção a esta última equação

Esta equação expressa o equivalente para a 2a Lei do Movimento de Newton para um sistema de muitos corpos. Em suma ela afirma:

● Em um sistema de muitos corpos apenas uma força externa pode alterar o movimento do seu centro de massa.

Forças internas interferem no movimento das massas internas mas não no movimento do seu centro de massa. Para isto é necessário a ação de uma força externa sobre o sistema.

Por exemplo: Uma mancha de óleo sobre o mar irá se mover segundo o movimento das correntes marítimas, marés e ação dos ventos, mas jamais devido a interação entre as moléculas internas do óleo.

Conservação doMomento Linear

Voltando a equação (08)

Supondo que não exista uma força externa resultante

Isto significa que o momento linear é uma constante do movimento.

Ou seja, se medito o momento linear de um sistema onde não exista forças externas resultante, o momento linear medido posteriormente terá o mesmo valor

Conservação doMomento Linear

Exemplo 2: Um veículo de 1000 kg se desloca a 36 km/h em uma via, quando um segundo veículo de 1500 kg, movendo-se a 80 km/h na mesma direção e sentido, colide em sua traseira. Após a colisão o primeiro veículo é lançado a frente a 45 km/h. (a) Qual a velocidade final do segundo veículo?

Dados:

O momento inicial, antes da colisão:

O momento final, após da colisão:

Fazendo a conservação do momento:

Conservação doMomento Linear

(b) Qual a energia perdida na colisão?

Energia inicial: A variação da energia

Energia final:

Portanto 25,1 kJ de energia foram perdidos em deformação (permanente), ruído e calor liberado na colisão.

Este tipo de colisão é chamada de colisão inelástica, uma vez que a energia não é conservada.

ColisãoUma colisão é dita elástica quanto a energia total do sistema é conservada