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Sistemas Digitais Circuitos Aritméticos e

Representação de Números com Sinal

João Paulo Baptista de Carvalho (Prof. Auxiliar do IST) [email protected]

Uke2010 SD - Circuitos Aritméticos 2

Circuitos Aritméticos  Circuitos aritméticos são aqueles que realizam

operações aritméticas sobre números binários

 O circuito aritmético mais simples é o que soma números de apenas 1 bit. Basta partir da conhecida tabela da soma para o obter:

XY Soma Transporte 00 0 0 01 1 0 10 1 0 11 0 1

X+Y X=0 X=1 Y=0 0 1 Y=1 1 10


Semi-somador (half-adder)  Da tabela retira-se o seguinte circuito, que é

conhecido como semi-somador:

AB Soma (S) Transporte

(Cout) 00 0 0 01 1 0 10 1 0 11 0 1

 O nome semi-somador vem do facto de este circuito não permitir somar o transporte que venha de bits de menor peso


Somador Completo (full-adder)   A um somador de 1 bit que tenha em conta o transporte

de somas anteriores chama-se somador completo: A B Cin S Cout

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

Semi-somadores


Somadores   Assumindo blocos de somadores completos, é possível

construir somadores de n bits

  Exemplo: Um somador de 4 bits

0

3 0

3 0

3 CI CO

Σ

P

Q S

Símbolo de um Somador Completo de 4 bits:

Somador Completo

A0 B0 A1 B1 A2 B2 A3 B3

ci co

S3 S2 S1 S0


Somas em BCD   As operações aritméticas em BCD podem ser úteis

quando se têm números em BCD sobre os quais se pretende fazer pequenas operações que não justificam a conversão para binário

  A soma em BCD é feita dígito a dígito. Por exemplo, a soma dos dígitos 3 e 5 dá o dígito 8:

As duas parcelas são BCD, assim como o resultado

  Mas se a soma for superior a 9, então o resultado obtido já não é BCD. Por exemplo, 7 + 5 = 12:

1000 1001

10001

0111 0101 1100

  Em certos casos há mesmo transporte 8 + 9 = 17:

0011 0101 1000


Somas em BCD (II)   Consegue-se corrigir o resultado obtido somando 6 (0110) ao

resultado nas seguintes situações: 1.  O resultado é maior que 9

2.  Existe um transporte na soma 0 3 0

3 0 3 CI CO

Σ P

Q S

0 3 0

3 0 3 CI CO

Σ P

Q S

& ≥1

&

≥1 0 0

A

B

Transporte anterior

Transporte para o algarismo seguinte

A + B

0


Representação e Aritmética de Números com Sinal

  A representação de números inteiros tem de ter em conta que os números podem ser positivos, negativos ou o número 0

  Uma das alternativas é a representação por módulo e sinal, em que o bit mais significativo indica o sinal:   Se esse bit for 1 o número é negativo;   Se for 0 é positivo

  Exemplo para números de 4 bits: Representação Número

representado Representação Número representado

0000 0 1000 -0 0001 +1 1001 -1 0010 +2 1010 -2 0011 +3 1011 -3 0100 +4 1100 -4 0101 +5 1101 -5 0110 +6 1110 -6 0111 +7 1111 -7


Representação por módulo e Sinal

  Inconvenientes:   Duas representações diferentes para o zero;

  O módulo e o sinal são processados de forma diferente;

  É necessário escolher a operação a realizar de acordo com a operação desejada e o sinal dos números envolvidos.

  Por exemplo:   Se pretendermos fazer a operação (+5) + (-3) o que é realmente

necessário fazer é a subtracção 5-3 ficando o sinal positivo;   Se o problema for realizar (-5) + (+3) então há que realizar também uma

subtracção mas do módulo do número negativo menos o do positivo sendo o resultado um número negativo.

  Obviamente tudo isto complica a realização das operações e consequentemente dos circuitos que tenham que realizar essas operações


Representação em Complemento para 2   Chama-se complemento para 2n de um número x de n bits, ao

resultado da operação 2n – x   Por exemplo, o complemento para 2 de 0110 é:

10000 - 0110 1010

  Se um número x tem n bits, então o seu complemento para 2 é representado por n bits

  O complemento para 2 do complemento para 2 de um número x, é x:   2n - (2n – x) = x

  Formas alternativas de encontrar o complemento para 2 de um número x:   Inverter todos os bits de x e somar 1 ao resultado

  0110 1001 1001+1 = 1010   Manter todos os 0’s menos significativos e ainda o primeiro 1 de x, e

inverter os restantes bits mais significativos   0110 xx10 1010


Representação de números com sinal em Complemento para 2

  Na representação de números com sinal em complemento para 2, o bit mais significativo do número também indica o sinal:   Se for 1 o número é negativo;

  Se for 0 é positivo.

  Na representação de números com sinal em complemento para 2:   Um número positivo é representado pelo seu módulo;

  Um número negativo é representado pelo complemento para 2 do seu módulo.

  Por exemplo:   O número +6 é representado em notação de complemento para 2 com 4 bits por

0110;   O número -6 é representado por 1010:

  6 = 0110 ► complementando bit a bit, 1001 ►1001 +1 = 1010 = -6

  Repare-se que ao calcular o complemento para 2 de um número positivo de n bits se obtém automaticamente o bit de sinal a 1


Representação de números com sinal em Complemento para 2 (II)

  Os 16 números possíveis de representar em complemento para 2 com 4 bits são os seguintes:

  O intervalo representado é [-2n-1, +2n-1-1]   Com 4 bits: [-8,+7]

  A razão da assimetria entre o total de número de positivos e o de negativos radica na necessidade de representar o ‘0‘ e de não ter duas representações para o ‘0’


Representação de números com sinal em Complemento para 2 (III)

  Com esta representação, pode operar-se sobre os números sem ter que tomar em consideração qualquer particularidade relacionada com o sinal de cada um deles. Exemplos:

Soma de 2 positivos

Soma de 1 positivo com 1 negativo com resultado negativo

Soma de 1 positivo com 1 negativo com resultado positivo

(+2) + (+5) = 7 0010 0101 0111

Soma de 2 negativos

1110 1011 11001

(-2) + (-5) = -7

(+5) + (-3) = +2 0101 1101 10010

(+2) + (-5) = -3 0010 1011 1101

Ignora-se o transporte porque sai dos 4 bits utilizados na representação


Representação de números com sinal em Complemento para 2 (IV)

  Quando a operação envolve 2 números com o mesmo sinal, é possível que o resultado não possa ser representado com o número de bits disponível. A esta situação chama-se OVERFLOW

  Por exemplo, 4 + 5 = 9, que não é representável com 4 bits em notação de complemento para 2 com sinal:

O resultado é incoerente pois é um número negativo: (-7)

0100 0101 1001

  O overflow nunca ocorre em operações entre números com sinal contrário.

  Prova-se que o overflow ocorre sempre que o transporte do último bit é diferente do transporte do bit anterior

01


Somador/Subtractor   Sabendo que:

1.  Realizar a subtracção x-y é o mesmo que realizar a soma x + (-y);

2.  Trocar o sinal a um número representado em notação de complemento para 2 significa, na prática, fazer o complemento para 2 desse número, então a subtracção pode ser feita a partir de um somador.

  Então, usando as propriedades do XOR, e a possibilidade de usar o Cin de um somador para somar 1 aos dois números, é possível realizar um circuito somador/subtractor:

0 3 0

3 0 3 CI CO

Σ P

Q S

=1

=1

=1

=1

A

B

Resultado

Controlo Controlo Operação

0  A + B#1  A - B


Comparadores   Tal como o nome indica, um comparador permite

comparar 2 números binários P e Q de n bits, indicando se P>Q, P<Q ou P=Q.

  Exemplo, um comparador de 4 bits:

  O circuito pode ser ligado em cascata, para realizar comparações entre números de n > 4 bits (é essa a utilidade das entradas >,=,< presentes no lado esquerdo do circuito).


Alguns CI’s   74LS283: Somador de 4 bits rápido. Usa internamente

um “carry look-ahead” – trata-se de um somador de maior rapidez, conseguida à custa de um maior número de portas lógicas.

  74LS85: Comparador de 4 bits.

74LS283 74LS85


Bibliografia  Arroz,G., Monteiro,J.C., Oliveira,A.,

“Arquitectura de Computadores, dos Sistemas Digitais aos Microprocessadores”, Secções 5.1, 5.2, 5.3, 2ª Edição, 2009

 Mano,M., Kime,C. – “Logic and Computer Design Fundamentals”, Prentice Hall, secções 3.8 a 3.10 e 3.13

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