Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto 1 Sistemas Periciais Tradicionais Funcionam assumindo...

Sistemas Periciais com Conhecimento Incerto

1

Sistemas Periciais Tradicionais Sistemas Periciais Tradicionais

Funcionam assumindo que tudo é Verdadeiro ou Falso

Qualquer regra cujas condições sejam satisfeitas

é disparável

as suas conclusões são Verdadeiras

Estas assunções são simplistas

e conduzem a Sistemas Periciais Frágeis


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Fontes de IncertezaFontes de Incerteza

• Informação incompleta

• Informação imprecisa

Raciocínio com Incerteza exige:

• Quantificação de Incerteza

• Método de combinação dos valores de Incerteza


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Principais AbordagensPrincipais Abordagens

Métodos

Quantitativos Qualitativos

Valores Conjuntos

Unário BinárioConjuntos Vagos

Lógica Não Monotónica

Probabilidades Fact. Certeza

Dempster-Schafer


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Comparação das Teorias Quantitativas

FácilFácilDifícilModeradaFacilidade de Aplicação

BaixaBaixaModeradaModeradaComplexidade da Teoria

BaixaBaixaModeradaModeradaDificuldade Execução do Modelo

ModeradaBaixaModeradaModeradaDificuldade Construção Modelo

ModeradaBaixaModeradaBaixaComplexidade Computacional

ModeradaFracaForteForteFundamentos Teóricos

Conj. VagosFact. CertezaDemp.-Schafer

BayesMétodo


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Como escolher ?

Conj. VagosFact. CertezaDemp.-Schafer

BayesMétodo

ModeradoPoucoGrandePoucoTreino na Aplicação

PoucoPoucoModeradoModeradoTreino na Teoria

Pequeno a Grande

PequenoPequeno a Grande

PequenoVolume de Computação

Bem/Mal Definido

Bem/Mal Definido

Bem DefinidoBem DefinidoDefinição do Problema


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Fontes de IncertezaFontes de IncertezaDada a regra

Regra R1: Se A & B então C

Existem três potenciais áreas de Incerteza:

– Incerteza nos dados (quão verdadeiros são A e B)

– Incerteza na regra (com que frequência A & B implicam C)

– Imprecisão em geral

• As duas primeiras podem ser tratadas usando Probabilidades

• A terceira usando Lógica Fuzzy


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Teoria da ProbabilidadeTeoria da Probabilidade• É uma aproximação matemática para processar informação incerta

• As suas raízes remontam ao séc. XVII, foi criada por um grupo de jogadores franceses, com o intuito de tornar o jogo menos aleatório

• Mais tarde Pascal e Fermat desenvolveram a Teoria da Probabilidade Clássica – usada ainda hoje para extrair inferências numéricas de dados

• Propõe a existência de um valor P(E) – Probabilidade - que consiste na possibilidade de ocorrência de um evento E a partir de uma experiência de eventos aleatórios

• Ou seja, se realizarmos uma determinada experiência um número considerável de vezes, então podemos ter quase a certeza que a frequência relativa do evento E é aproximadamente igual a P(E)

• O conjunto de todos os possíveis resultados de uma experiência é denominado espaço da amostra S.


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Probabilidade DiscretaProbabilidade DiscretaExperiências com resultados discretos

P(E) = W(E)/N

em que W(E) – nº de vezes que um particular evento

Ocorreu N – nº de experiências realizadas

Exemplo

Considere-se o seguinte espaço resultante da experiência de rodar uma moedaS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cada evento neste espaço da amostra representa um possível resultado da experiência. N será o número de vezes que a moeda é rodada e W(E) o número de resultados de um particular evento. A probabilidade de cada evento neste espaço

P(E) =W(E)/N = 1/6


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Probabilidade ContínuaProbabilidade ContínuaEspaços contínuos

Em vez de calcular a probabilidade de um evento a partir de um conjunto discreto eventos, existe necessidade de calcular valores intermédios a partir de um conjunto de valores contínuos.

Daí que seja necessário uma função de calculo da probabilidade da distribuição do evento.


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Probabilidade ContínuaProbabilidade Contínua

Probabilidade experimental

Define a probabilidade de um evento P(E) como o limite de uma função de frequência de distribuição f(E)

P(E) = lim f(E)/N N

sendo f(E) – frequência de observação de um evento

Este tipo de probabilidade é também conhecido por probabilidade à posteriori – o que significa – “após o evento”.

0 < = P(E) <= 1

P(Ei) = 1 i

P(E) + P(~E) = 1 sendo ~E o complemento de E


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Probabilidades CompostasProbabilidades CompostasEm muitos problemas é necessário considerar combinações de diferentes eventos, por exemplo, calcular a probabilidade de ocorrência de dois eventos diferentes, ou a probabilidade de nenhum deles ocorrer.

IntersecçãoPara problemas relativos a múltiplos eventos, é necessário determinar a intersecção dos espaços das amostras de todos os eventos. A partir disto é possível determinar a probabilidade conjunta

P(A B) = n(A B) / n(S) = P(A) * P(B) fórmula válida para eventos independentes

sendo P(A) = n(A)/n(S)Exemplo Considere-se a probabilidade de retirar do conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} um número ímpar e um número divisível por 3 – dois eventos independentes. A= {1,3,5} B={3,6} A B ={ 3} P(A) = 3/6 P(B) = 2/6 P(A B) = 1/6

Donde, a probabilidade de retirar do conjunto um número ímpar e divisível por 3 é de 1/6.


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Probabilidades Compostas Probabilidades Compostas União Por vezes pode ser necessário determinar a probabilidade de nenhum ou vários eventos ocorrerem

P(A B) = P(A) + P( B) - P(A B)

Exemplo Considere-se a probabilidade de retirar do conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} um número ímpar ou um número divisível por 3 – dois eventos independentes.

A= {1,3,5} B={3,6} A B ={ 3 } P(A) = 3/6 P(B) = 2/6 P(A B) = 1/6

ou P(A B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 2/3

Donde, a probabilidade de retirar do conjunto um número ímpar ou divisível por 3 é de 2/3.


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Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional

São usadas quando os eventos não são mutuamente exclusivos, ou seja, quando os eventos se podem influenciar.

A probabilidade de ocorrência de um evento A sabendo que um evento B ocorreu é chamada Probabilidade Condicional e é dada por:

P(A | B) = P(A B) / P(B)

A probabilidade condicional permite obter a probabilidade de um evento A sabendo que o evento B ocorreu

Exemplo

Qual a probabilidade de se retirar do conjunto S o número 3 (evento A) sabendo que um número divisível por 3 ocorreu (evento B)

P (A | B) = n (A B) / n (S) / n(B)/n(S) = n (A B) / n ( B )

= 1/6 / 2/6 = 1/2


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Fórmulas Básicas de ProbabilidadeFórmulas Básicas de Probabilidade

Regra do Produto: Probabilidade de conjunção de dois eventos A e B

Regra da Soma: Probabilidade de disjunção de dois eventos A e B

Teorema da Multiplicação de Probabilidades: permite calcular a probabilidade de ocorrência simultânea de vários eventos a partir das probabilidades condicionais

P(A1 ... An ) = P(An /A1 ... An-1) ... P(A2 /A1) P(A1)

)()/()()/()( APABPBPBAPBAP

)()()()( BAPBPAPBAP


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Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade Total

B1

B2

B3 B6

B5B4

A

k

kk BPBAPAP )()/()(

1

1)(i

iBP

Se os eventos B1,..,Bn são mutuamente exclusivos e formam uma partição certa do evento A


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Probabilidade à PosterioriProbabilidade à Posteriori

A probabilidade condicional permite obter a probabilidade de um evento A sabendo que o evento B (anterior a A) ocorreu

Muitas vezes estamos interessados na situação inversa:

Qual é a probabilidade de um anterior evento ter ocorrido sabendo que um evento posterior ocorreu ?

Probabilidade à Posteriori

O problema em determinar a probabilidade à posteriori foi resolvido por Thomas Bayes sendo conhecido por Teorema de Bayes


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Teorema de BayesTeorema de Bayes

P(h | D): probabilidade à posteriori de h dado D (reflecte a confiança da hipótese h depois de se observar – D)

P(D | h): probabilidade de D dado h

• P(h): probabilidade a priori da hipótese h (representa o conhecimento de domínio, se este conhecimento prévio não existir pode ser atribuída a mesma probabilidade a cada hipótese candidata)

P(D): probabilidade a priori de D (sem conhecimento prévio)

)(

)()|()|(

DP

hPhDPDhP


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Teorema de BayesTeorema de BayesA aplicação do teorema de Bayes como classificador requer que se conheçam:

• duas probabilidades a priori - p (decisãoi)

• uma probabilidade condicional - p (x | decisãoi)

Em recursos ricos estatisticamente, é possível determinar a probabilidade das hipóteses serem verdadeiras, através de algumas evidências acerca do problema


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Teorema de Bayes Teorema de Bayes O Teorema de Bayes é usado no desenvolvimento de Sistemas Periciais

Dada a estrutura de uma regra típica

If E then H (LS, LN)

A fórmula de Bayes pode ser usada para calculo da probabilidade da hipótese H partindo da probabilidade apriori do facto E

Exemplo:

Diagnóstico de avaria de uma máquina. Podemos observar os sintomas apresentados pela máquina mas o diagnóstico está relacionado com os eventos anteriores que causaram os sintomas que a máquina apresenta


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LS versus LN LS versus LN As regras são da forma

IF E THEN H (LS, LN)

E – denota alguma EvidênciaH – representa alguma Hipótese

LS – Likelihood of Sufficiency representa a medida de Suporte da Hipótese H dada a Evidência E

LS = P(E | H) / P(E |~H)

LN– Likelihood of Necessity representa a medida de descredito da Hipótese H se a Evidência E

estiver em faltaLN = P(~E | H) / P(~E | ~H)


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LS versus LN LS versus LN IF E THEN H (LS, LN)

Ambos os factores LS e LN são fornecidos pelo perito e são usados para calcular a Probabilidade à Posterior da Hipótese O ( H | E )

Ambos os factores variam :

0 < LS < 0 < LN <

LS Efeito na Hipótese

0 H é Falso quando E é Verd ou ~E é necessário para concluir HPequeno E não é favorável para concluir H1 E não tem efeito para concluir HGrande E é favorável para concluir H

E é logicamente suficiente para concluir H


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LS versus LN LS versus LN

LN Efeito na Hipótese

0 H é Falso quando E ausente ou E é necessário para concluir HPequeno Ausência de E não é favorável para concluir H1 Ausência de E não tem efeito para concluir HGrande Ausência de E é favorável para concluir H

Ausência de E é logicamente suficiente para concluir H


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Aplicação do Teorema de Bayes: Aplicação do Teorema de Bayes: Diagnóstico MédicoDiagnóstico Médico

Seja

M = doença meningite

S = dor no pescoço

Um Doutor sabe:

P(S|M) = 0.5

P(M) = 1/50000

P(S) = 1/20

P(M|S) = P(S|M)P(M)

P(S)

= 0,5*(1/50000) = 0,0002

1/20

A probabilidade de uma pessoa ter meningite dado que ela está

com dor no pescoço é 0,02% ou ainda 1 em 5000.

1 Probabilidade condicional

2 Probabilidades

a priori


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ExercícioExercícioPacientes com problemas cardíacos são sujeitos a um electrocardiograma (ECG)

Os resultados são classificados:• positivos (+ECG) sugerindo doença cardíaca (+DC) • negativos (-ECG) no caso de não haver doença cardíaca (-DC)

Assumindo que um dado paciente realizou um electrocardiograma positivo pretende-se saber qual a probabilidade deste ter doença cardíaca ?

P(+DC | + ECD)

Sabendo que – 10 pessoas em 100 têm um ataque cardíaco – 90 pessoas em 100 que tiveram doença cardíaca produziram um

electrocardiograma positivo – 95 pessoas em 100 que não tiveram doença cardíaca produziram um

electrocardiograma negativo


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ExercícioExercício• 10 pessoas em 100 têm um ataque cardíaco

P(+DC) = 0.1 P(-DC) = 1- P(+DC) = 1 - 0.1 = 0.9

• 90 pessoas em 100 que tiveram doença cardíaca produziram um electrocardiograma positivo (+ECD)

P(+ECD | +DC) = 0.9

• 95 pessoas em 100 que não tiveram doença cardíaca produziram um electrocardiograma negativo (-ECD)

P ( -ECD | -DC) = 0.95 P (+ECD | -DC) = 1 - P(-ECD | -DC) = 1 - 0.95 = 0.05

P(+ECD) = P(+ECD | +DC) * P(+DC) + P(+ECD | -DC) * P(-DC) = 0.9 * 0.1 + 0.05 * 0.9 = 0,135

P(+DC | + ECD) = P(+ECD | +DC) * P(+DC) / P(+ECD )P(+DC | + ECD) = 0.1 * 0.9 / 0,135 = 0.67 67%

)(

)()|()|(

DP

hPhDPDhP


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Teorema de BayesTeorema de BayesA aplicação do teorema de Bayes requer que se conheçam:

• duas probabilidades a priori - p (decisãoi)

• uma probabilidade condicional - p (x | decisãoi)

Na prática estas probabilidades são desconhecidas

• Estimativas fiáveis destas probabilidades requer um número infinito de exemplos

Como ultrapassar o problema ?

– Assumindo simplificações no calculo de p (x | decisão)

O termo P(D) também pode ser escrito sob a forma:

P(D) = P(D | h) * P(h) + P(D | ~h) * P(~h)

)(

)()|()|(

DP

hPhDPDhP


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Teorema de Bayes GeneralizadoTeorema de Bayes Generalizado• Conjunto de evidências Ei

• Conjunto de Hipóteses plausíveis Hj

Assumindo que as hipóteses são

– mutuamente exclusivas e

– colectivamente exaustivas

Suposição Bayesiana Naive P (a1, a2, ..., an / vj) = P (ai / vj) i

P (Hj | E1.... Em) = P (Hi | E1 ,..., Em) * P(Hj ) P (Hi | E1 ,..., Em) * P(Hj )


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PROSPECTORPROSPECTORPROSPECTOR - Sistema Pericial no domínio da Geologia

• desenvolvido para auxiliar os geólogos na procura de depósitos minerais [Duda-79]

• Um dos Sistemas Periciais mais populares de Aplicação da Teoria Bayesiana para Apoio à Decisão

• Dado o sucesso deste Sistema Pericial surgiu a Linguagem KAS que permite o desenvolvimento de Sistemas Periciais usando a Teoria Bayesiana de Probabilidades


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PROSPECTOR - PROSPECTOR - Medida de CertezaMedida de Certeza

Em vez de se usar P( E | E’) introduziram o conceito Medida de Certeza C ( E | E’) variável - 5 < C ( E | E’) < 5

Se C ( E | E’) = -5 então P ( E | E’) = 0 C ( E | E’) = 0 então P ( E | E’) = P(E) C ( E | E’) = 5 então P ( E | E’) = 1

Para P(E | E’total) > P(E)

C(H|E’) = 5 * P(E | E’total) – P(E) / 1-P(E) Para P(E | E’total) <= P(E)

C(H|E’) = 5 * P(E | E’total) – P(E) / P(E)

A razão principal para introduzir este conceito prendeu-se meramente com questões psicológicas.É mais fácil para um perito dizer: “Penso que estou a apanhar uma constipação”Do que dizer: “A probabilidade de estar a apanhar uma constipação é de 90%”


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Exemplo usando a Exemplo usando a Linguagem KAS Linguagem KAS Problema: Decidir se compra ou não um carro

Com base na seguinte rede de inferência:

H1 Não compra

E1 Mau Estado

E2 Preço Elevado

E3Kilometragem >

100 000 km

E4Carro

de cidade

E5Carroçaria degradada

E7Amolgada

E6Com ferrugem

OR

AND


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Exemplo Exemplo Regras que formam a rede de inferência

Regra R1 Se Carro em Mau EstadoOu Preço do carro Elev Então Não compra carro

Regra R2 Se Kilometragem do carro > 100 000 KmE Carro de cidadeE carroçaria degradada Então carro em mau estado

Regra R3 Se carro tem amolgadelasEntão carroçaria degradada [LS = 1000, LN = 0.001]

Regra R4 Se carro tem ferrugemEntão carroçaria degradada [LS = 100, LN = 1]


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Exemplo Exemplo Regra R3 Se carro tem amolgadelas

Então carroçaria degradada [LS = 1000, LN = 0.001]

Regra R4 Se carro tem ferrugem

Então carroçaria degradada [LS = 100, LN = 1]

A presença de amolgadelas no carro é muito favorável à conclusão Carroçaria degradada, enquanto que a não observação de amolgadelas é bastante desfavorável no suporte da conclusão

No caso da regra R4 a ferrugem é de algum modo favorável ao suporte da conclusão, enquanto que a ausência de ferrugem não tem qualquer efeito na conclusão


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Exemplo Exemplo Assumindo que todas as Probabilidades à priori das Evidências P( E i ) = 0,1

Sistema KAS com que Grau de Confiança se pode assumir que:

1. a Kilometragem do carro é superior 100 000 Km ? Utilizador: 5

2. o carro é de cidade ? Utilizador: 5

3. o carro tem amolgadelas ? Utilizador: 4

4. o carro tem ferrugem ? Utilizador: -1

5. o preço do carro é elevado ? Utilizador: 1

Conclusão: A minha certeza em não comprar o Carro é de 3.97

O valor da Confiança C(H1) = 3.97 com base no intervalo [-5, 5]

Sendo o valor mais próximo de 5 conclui-se

“Recomenda-se vivamente a não comprar o carro”


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Operações Internas Operações Internas C(E3 | E3’) = C(E4 | E4’) = 5 o utilizador observando E3’ e E4’ está

totalmente certo de E3 e E4C(E5 | E6, E7) ?

É calculado através do Teorema Bayes por manipulação das diversas fórmulas de Probabilidades

C(E5 | E6, E7) = 3,97

A confiança em E1 é dada pela conjunção das condições E3, E4, E5, pelo que

C(E1) = min {5, 5, 3,97} = 3,97

A confiança em H1 é dada pela disjunção das condições E1 e E2

C(H1) = max {3,97, 1} = 3,97


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Inconvenientes da Abordagem BayesianaInconvenientes da Abordagem Bayesiana• Só é matematicamente correcta se os eventos respeitarem a

independência estatística

• Requer a existência de valores difíceis de obter – Probabilidades à Priori

• Não admite incerteza associada às evidências

• Alguns problemas em que os dados ou a informação está continuamente a ser alterada é necessário recalcular as probabilidades

• Em bases de conhecimento de dimensão apreciável, torna-se difícil efectuar alterações dado que se tem de verificar

P(H1) + P(H2) +... + P(Hn) = 1

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