MATRIZES DE UM SISTEMAA um sistema linear de m equaes e n incgnitas podemos associar duas matrizes:~ incompleta: formada pelos coeficientes das incgnitas; ~ completa: formada pelos coeficientes das incgnitas e os termos inde-

pendentes. Exemplos: 1. {2X + Y = 2 5x - Y = 1 Matriz incompleta:

Matriz completa:

[~ -~l [~ ~l1 -1

2. {2X - Y + 2z 3x - 5y = 6

=O

ou-1

{2X - Y + 2z = O 3x - 5y + Oz = 6

Matriz incompleta:

Matriz completa:

[~ [~

-5-1

~l2 O

-5

~lincompleta e completa:

#

EXERCICIOS 7 Em cada um dos sistemas abaixo, associe as matrizesx+ y+ a) { x + 3y

=4=3

2x - Y

z=3 d) 2x - 3y + 2z = O { x - y + 3z =-4X

+ 3y -

b) {5X - Y = O 3x + Y =-2

e){

2x - y

x+5x - Y

=2 + 5z = 3 3z = 4z

c

) {3X - 2y =3 x + 3y - 4z = 1

e)

=2 3x + .. 2z = -1 { 2y + 5z = 10Captulo 12 Sistemas Lineares

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SISTEMA NORMAL Um sistema dito normal quando o nmero de equaes igual ao nmero de incgnitas (m = n) e o de terminante da matriz incompleta diferente de zero. Exemplos: 1. { x + 3y 2x-

=5

2 equaes e 2 incgnitas e1

y=3

3 -1

#:0

2 2. { x + y + z = 4 2x - Y + z = 2 5x + 3y - 2z

3 equaes e 3 incgnitas1

1 -1 3

1 1

= 10

e

2

5Resoluo de sistemas normais

-2

Todo sistema normal determinado

(teorema de Cramer).

Vamos resolver um sistema normal atravs da regra de Cramer onde a soluo desse sistema obtida pelas relaes: Ax Ay Az x = T' y = T' z = T'''' Sendo: ~ A o determinante da matriz incompleta; ~ Ax, Ay, Az, ... os determinantes obtidos da matriz incompleta substituindo-se a coluna dos coeficientes da incgnita procurada pela coluna dos termos independentes. Exemplos: 1. Resolva o sistema: -2 1 -2 1 4 9 =11V

{ 3x - 2y = 4 4x + Y = 9 =11

A=

3 4 4 9 3 4

Ax=

= 22

Ay=

=

{(2, I)}

2. Resolva o sistema: { x+

y s- z e I ..~~X:+ 2y = O(ou 3x + 2y + Oz= O) x - y - z =-5 1 O -1 1 O -1 1 O -1 1 O -5 =8 ~x 8 x=-=-=-2 ~ -4

~=

1 3 1 1

1 2 -1 1 2 -1 1 O -5 1 2 -1

= -4

~x=

O -5 1 3 1 1 3 1

~y=

= -12

Y = ~y = -12 = 3 ~ -4

~z=

=O

8Z z-----o -~--4-

O

V = {(-2, 3, O)}#

EXERCICIOS 8 Resolva os seguintesa)

sistemas: e) 2x + Y + z = 1 x - 3y + 2z = -1 3x + Y z

{3X - 2y = Ox +

y

=5

{

=4

b){

x+ y=2 3x + 2y = 3

x+ y+z=6 f) 2x - Y + z = 3 { x + 4y - z = 6X

c) { x + y

=7

+ y - 3z 2x + Y x + +Y 2x z

2x - Y = 2

g){

=1 =6

=3=2

X

d){ 3x + Y=-42x + 5y

=: 6

h){

z

=-4

Y + 3z = 9

,

Calcule o valor de 2x - y no sistema:

{3X +x

Y= 1

+ 3y =-5

10

Calcule o valor de x - 3y no sistema: { x - y2x -

=5 Y = 10=4 z =-2

U Calcule o valor de 2z - y no sistema:{

x+y 2x -

y+z=7

12 Resolva os seguintes sistemas:a) { x + 2y = O 3x + Y =-5 c) 12x + y - z = -5 x - 2y + 3z = 9

f

x+y+

z=4

b) { 2x + Y = 7 5x - Y = O