Sistemas_Elétricos_de_Potência_Cap1_Circuitos_Trifasicos_D_Caselato

2 Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 3 AGRADECIMENTOS AGRADECIMENTOS AGRADECIMENTOS AGRADECIMENTOS O autor agradece a todos os seus alunos que de forma indireta o motivaram para realizao deste livro. Agradece tambm a todos os amigos professores da Escola de Engenharia Mau que incentivaram a realizao desta obra. Agradece de todo o corao a sua filha Lygia Caselato que com muito empenho e carinho fez a reviso gramatical do presente livro. Agradece igualmente a sua filha Sandra Caselato que preparou a capa do presente livro. Finalmente, agradece sua esposa pela compreenso e pacincia durante os anos em que este livro foi elaborado. Circuitos Trifsicos 4 SUMRIO SOBRE O AUTOR PRIMEIRO PREFCIO SEGUNDO PREFCIO 1CIRCUITOS TRIFSICOS Extrato da Teoria1 1.1Introduo 1 1.2Operador 1 1.3Seqncia positiva (direta)1 1.4Seqncia negativa (inversa)2 1.5Relao entre corrente de linha e corrente de ramo na ligao em tringulo2 1.6Potncia complexa2 1.7Equivalncia entre carga ligada em tringulo e carga ligada em estrela3 1.8Modelos para representao de cargas3 1.9Matriz de impedncia de uma linha trifsica a 4 fios com indutncias mtuas 4 Exerccios resolvidos5 Exerccios Propostos22 Bibliografia34 2VALORES PERCENTUAIS E POR-UNIDADE Extrato da Teoria35 2.1Definies 35 2.2Representao de transformadores em valores por-unidade36 2.3Representao de transformadores com trs enrolamentos em valores por-unidade 37 2.4Representao de banco de transformadores monofsicos em valores por-unidade 39 2.5Representao de mquinas rotativas em valores por-unidade40 2.6Representao de linha de transmisso40 2.6.1Linha curta40 2.6.2Linha mdia40 2.6.3Linha longa41 2.7Mudana de bases41 2.8Representao de transformadores quando h choques de bases42 Exerccios resolvidos43 Exerccios propostos56 Bibliografia61 3COMPONENTES SIMTRICAS62 Extrato da Teoria62 3.1Operador 62 3.2Seqncia positiva (direta)62 3.3Seqncia negativa (indireta ou inversa)62 3.4Seqncia nula (zero ou homopolar)63 3.5Matriz de transformao de componentes simtricas para componentes de fases 63 3.6Sistemas trifsicos a trs fios ligao estrela (Y)64 3.7Sistemas trifsicos a trs fios ligao tringulo (delta)66 3.8Carga em estrela com neutro no-aterrado67 3.9Carga em estrela com neutro aterrado68 3.10Circuitos trifsicos com indutncias para redes equilibradas68 3.11Potncia complexa em componentes simtricas69 3.12Representao de carga do tipo Z = R + j X70 3.121Carga ligada em estrela com neutro aterrado70 3.12.2Carga ligada em tringulo71 3.12.3Carga em estrela com neutro aterrado atravs de impedncia Zn71 3.13Gerador com neutro aterrado atravs de Zn71 3.14Transformador trifsico com dois enrolamentos71 3.15Transformador trifsico com trs enrolamentos74 Exerccios Resolvidos75 Exerccios Propostos93 Bibliografia98 4CURTOS-CIRCUITOS E ABERTURAS DE FASES Extrato da Teoria99 4.1Geradores equivalentes de Thvenin99 4.2Curto-circuito trifsico100 4.3Curto-circuito bifsico sem contato com a terra100 4.4Curto-circuito bifsico com contato com a terra101 4.5Curto-circuito monofsico com a terra102 4.6Abertura de uma fase103 4.7Abertura bipolar abertura de duas fases105 Exerccios resolvidos105 Exerccios Propostos123 Bibliografia129 Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 5 5MATRIZES ADMITNCIAS E IMPEDNCIAS DE BARRAS Extrato da Teoria130 5.1Equivalncia de Fontes130 5.2Matriz de Impedncias Primitiva da Rede130 5.3Construo da Matriz Admitncia de Barras132 5.3.1Rede sem impedncias mtuas132 5.3.2Rede com impedncias mtuas133 5.4Eliminao de Barras da Matriz Ybarra por lgebra Matricial 133 5.5Matriz Impedncia de Barras133 5.6Mtodo para Obteno da Matriz Impedncia de Barras134 5.7Rede Equivalente da Matriz Impedncia de Barra136 Exerccios resolvidos137 Exerccios Propostos153 Bibliografia161 RespostasCaptulo 1163 Captulo 2169 Captulo 3172 Captulo 4178 Captulo 5180 Apndice191 Circuitos Trifsicos 6 SOBRE O AUTOR SOBRE O AUTOR SOBRE O AUTOR SOBRE O AUTOR DjalmaCaselatoengenheiroeletricista,comnfaseemeletrotcnica,formadopelaEscolaPolitcnicada Universidadede So Paulo, com Mestrado e Doutorado em Engenharia na rea de Sistema de Potnciapela Escola Politcnica da USP. Desde sua formatura, em 1968, tem trabalhado na rea de elaborao de projetos de usinas hidreltricas e de subestaes, com atuao especfica na rea de equipamentos eltricos de grande porte (gerador, barramento defasesisoladas,transformadores,disjuntores,seccionadoras,sistemasdeexcitaoereguladoresde tenso).Atividadeprofissionalinternacional,nasreasindicadas,comtrabalhosdesenvolvidosnaSua, Frana, Alemanha, Tchecoslovquia, frica do Sul, Repblica Democrtica do Congo, Angola e Moambique. Foi pesquisador junto ao Departamento de Energia e Automao Eltricas da Escola Politcnica da USP. Como atividade didtica exerceu a funo de Professor Adjunto do Departamento Eltrico da Universidade de Mogi das Cruzes, de maro de 1984 a janeiro de 1994, e desde maio de 1994 responsvel pelas disciplinas SistemasdePotnciaIeII,LaboratriodeSistemasdePotnciaIeII,SubestaesEltricaseUsinas Hidreltricas na Escola de Engenharia Mau para o curso de engenharia eletrotcnica.OautorpossuiartigospublicadosnoBrasilenoexteriorsobreprojetoeltricodesubestao,sobre modernizaoereabilitaodeusinashidreltricas,sobreeficinciaelimitesoperacionaisdeturbinascom velocidade ajustvel em sistema de conexo unitria, sobre novo modelo de gesto de qualidade para o setor energtico,sobremtodoparaclculodoGD2dehidrogeradoresesobreaspectostcnicosnopr-dimensionamento de grandes hidrogeradores. Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 7 PRIMEIRO PREFCIO PRIMEIRO PREFCIO PRIMEIRO PREFCIO PRIMEIRO PREFCIO Este livro nasceu da necessidade de desenvolvimento de elaborao de exerccios para a disciplina sistemas eltricos de potncia do curso de engenharia eltrica, opo eletrotcnica, da Escola de Engenharia Mau. Uma idia inicialmente mais tmida deu lugar elaborao deste livro mais consistente.

O livro trata de solues de exerccios padro e de exerccios extrados da realidade profissional do autor. A motivao principal para a elaborao deste livro, uma vez que o assunto no indito, a escassez de livros contendo exerccios sobre o assunto. Existe uma infinidade de livros com abordagem terica e vrios nveis de profundidade, porm com uma gama de exerccios pouco extensa. Espera-se que este livro venha a colaborar com a formao de engenheiros eletrotcnicos e a reciclagem dos profissionais atuantes no mercado de trabalho.

Dividido em cinco captulos, o livro trata de circuitos eltricos trifsicos desequilibrados como uma introduo ao estudo de sistemas eltricos de potncia e com um reforo muito grande na aplicao das leis de Kircchoff, atravs de exerccios padro de circuitos que normalmente se encontram na prtica industrial. Em seguida, aborda os valores por-unidade e valores percentuais. Posteriormente, trata de componentes simtricas da forma mais comumente utilizada no Brasil. At aqui, est toda a fundamentao necessria para o clculo de curtos-circuitos e abertura de fases. Para finalizar, o livro introduz matrizes de impedncia e admitncia nodal, como preparao para o leitor galgar nveis mais altos em seus estudos de sistemas eltricos de potncia.

A competncia tcnica e intelectual do Prof. Dr. Eng Djalma Caselato fica claramente registrada nesta coletnea de exerccios, que possibilitar aos leitores fixar ou relembrar os conceitos da teoria dos Sistemas Eltricos de Potncia atravs de questes prticas, com aplicao no cotidiano do engenheiro eletricista.

H de se destacar que somente um profissional com muita experincia prtica, que atuou nos projetos mais importantes do Brasil, no segmento da Energia Eltrica, com formao acadmica slida e muita dedicao profisso e ao compartilhamento do conhecimento poderia fazer esse livro.

Jos Ayres de Campos Diretor de Gesto e Engenharia da Construes e Comrcio Camargo Correa S.A. Presidente da CNEC Engenharia S.A. Circuitos Trifsicos 8 SEGUNDOSEGUNDOSEGUNDOSEGUNDO PREFCIO PREFCIO PREFCIO PREFCIO Atecnologiamodernacapazderealizaraproduosememprego.O diaboqueaeconomiamodernanoconsegueinventaroconsumosem salrio. Herbert de Souza Estelivro,concebidoparaauxiliarosalunosdadisciplinasistemaseltricosdepotncia,umlivrode exercciosnoqualnoserodesenvolvidososformulriosejustificativastericasdosconceitosdesta disciplina.Olivroseapresenta,portanto,comoumsuplementobsicoaostextosdesistemaseltricosde potncia. Assim,acompreensodoassuntoabordadotemcomopr-requisitooconhecimentodateoriademquinas eltricas, das solues de circuitos eltricos e a manipulao de matrizes. Emborasejamabordadosassuntosintrodutriosaossistemaseltricosdepotncia,muitosexercciosforam concebidos a partir da prtica em projetos eltricos reais, o que contribui para estimular o estudante a adentrar neste campo imenso que o domnio dos sistemas eltricos de potncia. Oprimeirocaptuloabordasoluesdecircuitoseltricostrifsicosnacondiodesistemasdesequilibrados, sejaafontee/ouacargaoelementodedesequilbrio.Estudaosdiversostiposdecargasexistenteseoseu comportamento. O segundo captulo aborda um ferramental necessrio para o desenvolvimento das solues de problemas de sistemaseltricosdepotnciaemvalorespor-unidade.Trata-sedeumasistemticausual,naqualtodasas caractersticaseltricasdosequipamentos,comopotncia,tenses,reatncias,resistnciaseoutrasso apresentadas em valores relativos a uma determinada base,normalmente a potncia e atenso nominaisdo equipamento,apresentadasnosdadosdeplacasenasespecificaestcnicasdosequipamentos.So inmerasasvantagensderesolverproblemasdesistemasdepotnciaaplicandoestasistemticadevalores por-unidade, como se ver no segundo captulo.Oterceirocaptulotratadedesenvolveresolucionarexercciospelametodologiadecomponentessimtrica, principalmente aplicada para casos de defeitos em redes eltricas.Oquartocaptuloabordaassoluesdeexercciosenglobandoamaioriadosdefeitoseltricos(curtos-circuitoseaberturasdefases)queacontecememumaredeeltrica.Nestecaptulo,emparticular,so apresentados alguns exerccios extrados de sistemas reais. Oquintocaptuloabordaametodologiadeanlisedosns,desenvolvendooclculoemontagemdamatriz admitncia de ns ou de barras. A partir desta, calcula-se a matriz impedncia de barras. Desenvolve, tambm, a montagem direta da matriz de impedncia de barras. Algunsexercciossoresolvidoseoutrosapenaspropostos,parapermitiraoestudanteumdesenvolvimento pessoal no conhecimento do assunto de introduo anlise de sistemas de potncia. Djalma Caselato Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 9 1111CIRCUITOS TRIFSICOS CIRCUITOS TRIFSICOS CIRCUITOS TRIFSICOS CIRCUITOS TRIFSICOS Extrato da Teoria 1.1Introduo Agrandemaioriadossistemaseltricosdepotnciatrifsicae,tambm,amaioriadascargastrifsicae equilibrada;entretanto,quandoascargassomonofsicas,elassemprecriamumdesequilbrionosistema. Da a necessidade de se desenvolver o conhecimento de solues de circuitos trifsicos e desequilibrados. 1.2Operador =1 /120 = - 0,5 + 23j (1.1) 2=1 /240 =1 /-120=- 0,5 -23j (1.2) 1 + + 2=0 (1.3) 1.3Seqncia positiva (direta) Van 1 [ Van ]=Vbn = | Van |2(1.4) Vcn A figura 1.1 a) representa o diagrama fasorial para a seqncia positiva. Arelaoentretensesdefaseedelinhaparaaseqnciapositiva(direta)seexpressapelaequao matricial (1.5) a seguir: Vab 1 Vbc = 3|Van | /30 2(1.5)Vca Circuitos Trifsicos 10 1.4Seqncia negativa (inversa) Van 1 [ Van ] =Vbn =|Van |(1.6) Vcn 2 A figura 1.1 b) representa o diagrama fasorial para a seqncia negativa. Arelaoentretensesdefaseedelinhaparaaseqncianegativa(inversa)seexpressapelaequao matricial (1.7) a seguir: Vab 1 [Vab ] = Vbc = 3|Van | / - 30 (1.7) Vca 2 1.5Relao entre corrente de linha e corrente de ramo na ligao em tringulo Ia 1 [Ia ]= Ib = 3| Iab | /-30 2(1.8) Ic 1.6Potncia complexa S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn . Ic* (1.9) Sendo Ia* o conjugado da corrente Ia, Ib* de Ib e Ic* de Ic. Para sistema simtrico e equilibrado a potncia aparente vale: S =3 |Vab| . |Ia| , (1.10) sendo o valor do fator de potncia igual ao co-seno do ngulo formado entre a corrente de linha Ia e a tenso de fase correspondente Van; ou seja, o ngulo a diferena entre os argumentos de Vane Ia. Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 11 1.7 Equivalncia entre carga ligada em tringulo e carga ligada em estrela A expresso matricial que converte uma ligao em tringulo numa ligao em estrela a (1.11): ZaZca00Zab Zb = (((

+ +caZacZabZ1 0 Zab 0 Zbc (1.11) Zc00ZbcZca A expresso matricial que converte uma ligao em estrela numa ligao em tringulo a (1.12): ZabZb00Za Zbc = ((

+ +c b aZ Z Z1 1 1 0 Zc 0 Zb (1.12) Zca00ZaZc 1.8Modelos para representao de cargas Pc = F (V)potncia ativa em funo da tenso Qc = F (V)potncia reativa em funo da tenso a)Carga de corrente constante com variao de tenso 2211VSVS= (1.13) Circuitos Trifsicos 12 b)Carga de potncia constante com variao de tensoS = P + j Qas potncias ativa e reativa permanecem iguais com a variao de tenso c)Carga de Impedncia constante com variao de tenso X j RSVZc + = =2(1.14) 222211VSVS= (1.15) 1.9Matriz de impedncias de uma linha trifsica a 4 fios com indutncias mtuas Afigura1.4indicaumtrechodelinhadetransmissotrifsicaa4fioscomindutnciasmtuas,cujas caractersticas indicadas na figura so assim definidas: Ra, Rb, RcResistncia hmica dos condutores de linha; La , Lb , Lc Indutncia prpria dos condutores de linha;Mab , Mbc , Mca Indutncia mtua entre os condutores de linha; RgResistncia hmica do condutor de retorno; LgIndutncia prpria do condutor de retorno; Mag , Mbg , McgIndutncia mtua entre o condutor de retorno e os condutores de linha. Aplicando a 2 lei de Kirchhoff, e escrevendo as equaes em forma matricial, resulta: Vaa Ra + j Laj (Mab Mag)J (Mac Mag) Ia Vbb = j (Mab Mbg)Rb + j LbJ (Mbc Mbg) Ib (1.16) Vcc j (Mac Mcg)j (Mbc Mcg)Rc + j Lc Ic Resulta ainda: Vnn = (Ia + Ib + Ic) (Rg + jLg) jMag.Ia jMbg.Ib jMcg.Ic(1.17) Vnn = [Rg + j (Lg - Mag.)] Ia + [Rg + j (Lg Mbg.)] Ib+ [Rg + j (Lg Mcg.)] Ic (1.18) Para linhas de transmisso com transposio completa, resultam: Ra = Rb = Rc = R La = Lb = Lc = L Mab = Mbc = Mca = M (1.19) Mag = Mbg = Mcg = M Ra + j La = Rb + j Lb = Rc + j Lc = R + j Limpedncia prpria Zp = R + Rg ++ j (L + Lg 2 M) (1.20) Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 13 Zm = Rg + j (Lg+ M 2.M )= impedncia mtua Portanto, Amatrizimpednciaquemultiplicaamatrizcolunadecorrenteschama-sematrizdeimpednciasdaredee representa-se por Zrede. Exerccios resolvidos 1.1UmsistematrifsicosimtricoeequilibradocomseqnciadefasediretaalimentaumacargacomVcn =380/35V.Pede-se:a)Astensesdefasedacarga;b) Astensesdelinhadacarga;c)Desenharo diagrama fasorial. Soluo:Por ser um sistema simtrico: |Vcn| = |Van| = |Vbn| = 380 V a)Clculo das tenses de fase da carga: Por ser trifsico e com seqncia direta, e utilizando a expresso matricial (1.4), tem-se: Vcn 1380 /35 [Vcn] =Van =380 /352=380 /-85volts Vbn 380 /155 b)Clculo das tenses de linha da carga: Utilizando a expresso matricial (1.5), as tenses de linha da carga so: Vca 1658,179 /75 Vab =3 x 380 /35 + 302=658,179 /-45 Vbc 658,179 /195 c)O diagrama fasorial da figura 1.5 mostra as tenses de linha da carga para a seqncia positiva: 1.2Resolver o exerccio anterior admitindo seqncia inversa. Van Van ZpZmZm Ia Vbn Vbn = ZmZpZm Ib (1.21) Vcn Vcn ZmZmZp Ic Circuitos Trifsicos 14 Soluo:a)Clculo das tenses de fase da carga: Por ser trifsico e com seqncia inversa ou negativa, e utilizando a expresso matricial (1.6), tem-se: Vcn 1380 /35 [Vcn] =Vbn =380 /352 =380 /-85volts Van 380 /155 b)Clculo das tenses de linha da carga: Utilizando a expresso matricial (1.7), as tenses de linha da carga so: Vab 1658,179 /125 Vbc =3 x 380 /155-30=658,179 /245volts Vca 2658,179 /5 c)O diagrama fasorial da figura 1.6 mostra as tenses de linha da carga, para a seqncia negativa: 1.3Resolverocircuitotrifsicodafigura1.7.Calcular:a)Acorrentedecarga;b)Apotnciaconsumida pela carga.Os valores dos parmetros so: ZL = 0,5 + johms; Z = 10 + j 6; E = 127 V. Soluo: Comoocircuitoesttotalmenteequilibrado,pode-seresolv-locomosetivesseumanicafase,ouseja, interligando os pontos N e N por um fio de impedncia nula, conforme mostrado na figura 1.8. Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 15 a)Clculo da corrente da carga: =+=+=j Z ZLEIa7 5 , 100 127 010,064 / -33,69 A b)Clculo da potncia consumida pela fonte: Clculodapotncia(verequao(1.10)):Adefasagemangularentreatensodefaseeacorrentede 33,69. S = = = 69 , 33 899 , 3834 69 , 33 064 , 10 220 3 | | . | | 3 I V VA ou ainda, pela equao (1.9):S = 127/0 x10,064/33,69+127/- 120x 10,064/153,69+127 /120 x 10,064 / -86,31S = 3834,899 /33,69 VA 1.4No circuito da figura 1.9, os valores das impedncias so: ZL = 0,2 + j 0,6 Zn = 5 (retorno) Za = 5 + 3 j Zb = 5 + 8 j Zc = 3 + 12 j A fonte simtrica e equilibrada com o valor de tenso Van = 127 /0 V. Calcular: a) Os valores das correntes das fases; b) O valor da potncia consumida da carga. Soluo: a)Clculo das correntes das fases: Seja a equao matricial: [ Van ] = [ Z ] . [ Ia ]+Zn . In Van ZL + Za00Ia Vbn =0 ZL + Zb 0Ib+ Zn . (Ia + Ib + Ic) (1.22) Vcn 00 ZL + Zc Ic Circuitos Trifsicos 16 Da equao matricial (1.22), resultam: na Lna LanaIZ ZZZ ZVI++=(1.23) nb Lnb LbnbIZ ZZZ ZVI++=(1.24) nc Lnc LancIZ ZZZ ZVI++=(1.25) Como In = Ia + Ib + Ic,tem-se que: c Lnb Lna Lnc Lcnb Lbna LannZ ZZZ ZZZ ZZZ ZVZ ZVZ ZVI+++++++++++=1 (1.26) 127 /0 5,2 + j 3,600 Ia 127 /-120 =05,2 + 8,6 j0 Ib + 5 . In 127 /120 003,2 + 12,6 j Ic Portanto, 127 /0 = (5,2 + j 3,6) . Ia+5 In 127 /-120 = (5,2 + j 8,6) . Ib+5 In 127 /120 = (3,2 + j 12,6) . Ic+5 In Das expresses acima resultam: n n aI Ij ji =++ = 7 , 34 79 , 0 7 , 34 08 , 206 , 3 2 , 556 , 3 2 , 50 127 n n bI Ij ji =++ = 8 , 58 4975 , 0 8 , 178 64 , 126 , 3 2 , 556 , 3 2 , 5120 127 n n cI Ij ji =++ = 7 , 75 3846 , 0 2 , 44 769 , 96 , 3 2 , 556 , 3 2 , 5120 127 Sendo Ia + Ib + Ic = In,quando se somam as trs expresses acima, tem-se que: n nI I = 2 , 51 601 , 1 2 , 24 92 , 11Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 17 In= 5,052 / 7,7 Ae Ia= 16,13 / -36,6 AIb= 14,32 / 173,2 AIc= 10,66 / 54,0 A Outra maneira de resolver o problema partindo de (1.23): Van ZL + Za 00 Ia ZnZnZn Ia Vbn =0 ZL + Zb 0 Ib + ZnZnZn Ib (1.27) Vcn 00 ZL + Zc Ic ZnZnZn Ic

Van ZL + Za + ZnZnZn Ia Vbn = ZnZL + Zb + ZnZn Ib (1.28) Vcn ZnZnZL + Zc + Zn Ic 127 /010,2+3,6i55 Ia 127 /-120= 510,2+8,6i5 Ib 127 /120558,2+12,6i Ic Da, resulta: Ia= 16,13 / -36,6 A Ib= 14,32 / 173,2 A Ic= 10,66 / 54,0 A Somando as trs correntes, determina-se In: In = Ia + Ib + Ic =5,052 / 7,7 A E, ainda, Vnn = Zn.In = (5)x(5,052 / 7,7)= 25,25 / 7,7V(Queda no fio de retorno) Van = Za . Ia = (5 + j 3) x16,13 / -36,6 =94,05/ -5,6Vbn= Zb. Ib = (5 + j 8)x14,32 / 173,2 = 135,09 / -128,8Van = Zc . Ic

= (3 + j 12)x10,654 / 53,9 = 131,78 / 129,9b)Clculo da potncia consumida pela carga: A potncia consumida pela carga, pela equao (1.8), : S = 94,05 / - 5,6 x16,13 / 36,6+ 135,09 / - 128,8x 14,32 / -173,2+ 131,78 / 129,9x10,66 / -53,9S = 2667,0 +3782,9 jVA 1.5Para a figura 1.10, determinar os valores de corrente e de potncia envolvidos, utilizando os seguintes dados:Circuitos Trifsicos 18 Van = 220 / 0V;Vbn = 220 / -120V; Vbn = 220 / 120V; ZL = 0,2 + 10 j;Za = 20 + j ; Zb = 1 + 15 j ; Zc = 1 - 18 j Zn = 0,2 + 10 j SOLUO: a)Clculo das correntes: A partir da equao matricial (1.28), obtm-se: 220 /020,4+21i0,2+10i0,2+10i Ia 220 /-120 = 0,2+10i1,4+35i0,2+10i Ib

220 /1200,2+10i0,2+10i1,4+2i Ic Resolvendo essa equao matricial, resultam: Ia = 22,9460 + j 2,8008 A Ib = 4,9241 j 3,8717 A Ic = -59,1812 + j 21,7149 A Sendo Ia + Ib + Ic = In,ento: In = -31,3111 + j 20,6439 A Clculo das tenses na carga: [Van] = [Van] [Zrede] . [Ia] VanVan0,2 + 10 j00 22,95 + j 2,80 334,91 /-43,4 Vbn=Vbn-00,2 + 10 j0 4,92 j 3,87=282,01/-122,1 VcnVcn000,2 + 10 j -59,18 + j 21,71787,04 /81,3 b)Clculo da potncia consumida: A partir da equao (1.8) obtm-se o valor da potncia consumida pela carga: S=334,906/ - 43,4 x(22,9460-j 2,8008)+282,007 / - 122,1x(4,9241 + j 3,8717)+787,041 / 81,3 x (-59,1812 - j 21,7149)S = 14982W-j56343 var c)Clculo da potncia da fonte: A partir da equao (1.8) obtm-se o valor da potncia da fonte: S=220/ 0 x(22,9460-j 2,8008)+220 / - 120x(4,9241 + j 3,8717)+220 / 120 x (-59,1812 - j 21,7149)Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 19 S = 15892W-j10867 var 1.6Calcular o circuito da figura 1.11, determinando: a) As correntes envolvidas; b) As tenses envolvidas; c) A potncia fornecida pela fonte de energia; d) O fator de potncia da fonte. So dados: ZL = 0,2 + 0,5 j; Za = 10 j ;C = 100 F; freqncia 60 Hz; |Ia| = |Ib| = Ic| = 2 A (simtrico e equilibrado) Soluo: a)Clculo das correntes: jjX jC52 , 2610 100 3776 = = Van = - j Xc . Ia = - j 26,52 x 2 / 0 =53,0504 / -90V Vbn = - j Xc . Ib = - j 26,52 x 2 / -120= 53,0504 / -210 V Vcn = - j Xc . Ic =- j 26,52 x 2 / 120= 53,0504 / 30 V Aj ZVIan aa304 , 51090 0504 , 53' '' = = =A jj ZVIbn bb593 , 4 652 , 210210 0504 , 53' ''+ = = =A jj ZVIan aa593 , 4 652 , 21030 4 050 , 53' '' == =Clculo das correntes na fonte: Ia = Ia+Ia=- 3,304A Ib = Ib+Ib=1,652 + j 2,861 A Ia = Ia+Ia=1,652 j 2,861 A b)Clculo das tenses: Circuitos Trifsicos 20 Clculo de Van, Vbn e Vcn Van = Van+ZL . Ia = 53,0504 / -90+(0,2 + j 0,5) x (-3,304 / 0) = 55,702 / -91,1V Vbn = Vbn+ZL . Ib = 53,0504 / -210+(0,2 + j 0,5) x (1,652 + j 2,861)= =55,702/ 148,9 V Vcn = Vcn+ZL . Ic = 53,0504 / 30+(0,2 + j 0,5) x (1,652 j 2,861)= =55,702 / 28,9 V c)Clculo da potncia na fonte: A potncia da fonte S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic* S = 55,702 /-91,1x 3,304 /180+ 55,702 /148,9x (1,652 + j 2,861)+ 55,702 / 28,9x (1,652 - j 2,861) S = 10,5146 + j 552,0191 = 552,119 / 88,9VA d)Clculo do fator de potncia da fonte: 91 , 885146 , 100191 , 552arctan = = Fator de potncia = cos (88,9) = 0,019 1.7Calcular o circuito da figura 1.12, determinando: a) O valor de Vnn; b) Os valores das correntes; c) Os valores das quedas de tenso da carga; d) As tenses de fase da carga; e) A potncia fornecida pela fonte; f) A potncia consumida pela carga; g) O fator de potncia da carga.Dados:Van= 127 / 0, fonte simtrica e equilibrada. ZL = j 0,2 Za = 5 + 2 j Zb = 4 +jZc = 6 + 1,5 j Soluo:a)Clculo de Vnn: Van = Van+Vnn= ( ZL + Za ). Ia (1.29) Vbn = Vbn+Vnn= ( ZL + Zb ). Ib(1.30) Vcn = Vcn+Vnn= ( ZL + Zc ). Ic (1.31) Resultam dessas equaes: annaanaZ ZLVZ ZLVI+++='(1.32) Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 21 c b accnbbnaanZ ZL Z ZL Z ZLZ ZLVZ ZLVZ ZLVVnn++++++++++ =1 1 1'bnnbbnbZ ZLVZ ZLVI+++='(1.33) cnnccncZ ZLVZ ZLVI+++='(1.34) Somando as trs expresses e sabendo que: Ia + Ib + Ic = 0 , resulta: (1.35)1.35) Clculo das correntes: Das expresses (1.32); (1.33); (1.34) e (1.35) obtm-se: Aj jIa 9 , 14 221 , 242 , 2 5 5 , 79 615 , 202 , 2 5 0 127 =+++=Aj jIb 4 , 140 811 , 252 , 2 5 5 , 79 615 , 202 , 2 5 120 127 =+++ =A I I Ib a c 8 , 98 980 , 22 ) ( = + =b)Clculo das quedas de tenses de fase da carga: Van = Za . Ia= (5 + j 2) x 24,221 / -14,9= 130,434 / 6,9VVbn = Zb . Ib =(4 + j) x 25,811 / -140,4= 106,426 / -126,3V Vcn = Zc . Ic =(6 + j 1,5) x 22,980 / 98,8= 142,124 / 112,9V c)Clculo das tenses de fase da carga Van = Za . Ia + Vnn = 130,434 / 6,9- 20,615 /79,5 = 125,838 / -2,1 VVbn = Zb . Ib + Vnn = 106,426 / -126,3- 20,615 /79,5 = 125,297 / -122,1 V Vcn = Zc . Ic + Vnn = 142,124 / 112,9- 20,615 /79,5 = 125,413 / 118,0 V d)Potncia fornecida pela fonte: A potncia fornecida pela fonte calculada utilizando a equao (1.8):S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic*S = 127 / 0x 24,221 / 14,9+ 127 / -120 x 25,811 / 140,4+ 127 / 120 x 22,980/ -98,8S = 8766,67+ j 2987,85VA= 9261,81 / 18,8 e)Potncia consumida pela carga: A potncia consumida pela carga S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic* 27 , 20 74 , 35 , 1 6 2 , 014 2 , 012 5 2 , 015 , 1 6 2 , 0120 1274 2 , 0120 1272 5 2 , 00 127' jj j j j j jj j j j j jVnn + =+ +++ +++ ++ + ++ + ++ + =Circuitos Trifsicos 22 S = 125,838 / -2,1 x24,221/ 14,9 +125,297/ -122,1 x25,811 / 140,4 + 125,413/ 118,0x 22,980 / -98,8S = 8766,67+ j 2631,66VA= 9153,15 / 16,7 VA f)Fator de potncia da carga: 71 , 1667 , 876666 , 2631arctan = = Fator de potncia = cos(16,71) = 0,9578 1.8Calcular os valores de W1 e W2, para o exerccio anterior, de acordo com os wattmetros instalados na figura 1.13: Vab= Van Vbn = 125,838 / -2,1 -125,297 / -122,1= 217,58 / 27,8 V Vbc= Vcn Vbn = 125,413 / 118,0-125,297 / -122,1 = 216,84 / 87,9V W1 = Re(Vab . Ia*) =217,58 / 27,8.24,221/ -14,9 = 3873,45 W W2 = Re(Vcb . Ic*) =216,84 / 87,9 .22,980 / 98,8 = 4893,22 W W1 + W2 =8766,67 W 1.9Calcularocircuitodafigura1.14,determinando:a)Ovalordascorrentes;b)Ovalordastensesde fase da carga; c) A potncia fornecida pela fonte; d) A potncia consumida pela carga; e) O fator de potncia da carga. Dados: ZL = 0,1 + 0,5 j Zab=5 + j 10 Zbc=3+ 15 jZca = 12 E ainda, Van = 380 / 0V;Vbn = 380 / - 100V e Vcn = 405 / 100V. Soluo:Transformar a carga ligada em delta numa ligao em estrela no aterrada, ficando, portanto, a soluo similar do exerccio 1.7. j 0,8780 4,097625 2012 . ) 10 5 (+ =++=jjZa Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 23 j 5,3415 0,07317 -25 20) 15 3 ( . ) 10 5 (+ =++ +=jj jZb j 2,6341 5,092725 2012 . ) 15 3 (+ =++=jjZc Clculo de Vnn

A partir da expresso (1.35), obtm-se: Vnn = 1,368 128,9 jV a)Clculo das correntes: A partir das expresses (1.24); (1.25) e (1.26) obtm-se: Aj jIa 8 , 36 12 , 913780 , 1 1976 , 4 4 , 89 91 , 1283780 , 1 1976 , 4 0 380 =+ ++= Aj jIb 9 , 172 84 , 868415 , 5 026829 , 0 4 , 89 91 , 1288415 , 5 026829 , 0 100 380 =+ ++ = Aj jIc 2 , 73 94 , 451341 , 3 1927 , 5 4 , 89 91 , 1281341 , 3 1927 , 5 100 405 =+ ++= b)Clculo das tenses de fase da carga: Van = Van - ZL . Ia = 380 / 0 - (0,1 + 0,5 j ) x(72,91 54,65 j) = 345,38 + 30,99 j V Vbn = Vbn - ZL . Ib = 380 / -100 - (0,1 + 0,5 j ) x(-86,1735 +10,6713 j) = =- 52,03 332,20 j V Vcn = Vcn - ZL . Ic = 405 / 100 - (0,1 + 0,5 j ) x(13,2635 +43,9787 j) = =- 49,66 + 387,82 j V c)Potncia fornecida pela fonte: A potncia fornecida pela fonte calculada utilizando a equao (1.9):S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic* S = 380 / 0 x 91,12 / -36,8+ 380 / -100 x 86,84 / 172,9+ 405 / 100x 45,94/ 73,2S = 46010,9 (W) + j 62103,5(var)= 77290,7 / 53,5 VA d)Clculo da potncia consumida pela carga: S = (345,38 - 30,99 j) x 91,12 / 36,8+ (- 52,03 332,20 j) x 86,84 /-172,9+ (- 49,66 + 387,82 j) x 45,94/ -73,2S = 44215,6 + 53126,8 jVA e)Fator de potncia da carga: 23 , 506 , 442158 , 53126arctan = = Fator de potncia = cos(50,23) = 0,64 1.10Calcularocircuitodafigura1.15,determinando:a)Ovalordascorrentes;b)Ovalordastensesde j j jj j jVnn1341 , 3 1927 , 518415 , 5 026829 , 013780 , 1 1976 , 411341 , 3 1927 , 5100 4058415 , 5 026829 , 0100 3803780 , 1 1976 , 40 380'++++++ ++ ++ =Circuitos Trifsicos 24 fase da carga; c) A potncia fornecida pela fonte; d) A potncia consumida pela carga; e) O fator de potncia da fonte. Dados: ZL = 0,1 + j 0,5Zm = 0,1 j Zab = 6 + 4 jZbc = 12 + 8 jZca = 12 8 j Van = 460 V simtrico e equilibrado. Soluo:Transformaracargaligadaemdeltanumaligaoemestrelanoaterrada,aplicandoaequaomatricial (1.11) ficando, portanto, a soluo similar do exerccio 1.7. Za 12-8 j006+4 j3,4061 0,4541 j Zb =((

+ j 4 301 06+4 j012+8 j=1,7293 + 2,9694 j Zc 0012+8 j12-8 j6,8122 0,9083 j Para os terminais da carga, vale; Van = Van + Vnn = Ia . Za Vbn = Vbn + Vnn = Ib . Zb(1.36) Vcn = Vcn + Vnn = Ic . Zc Isolando as correntes e sabendo que Ya, Yb e Yc so as admitncias das cargas, tm-se: Ia = Ya.Van + Ya.Vnn

Ib = Yb.Vbn + Yb.Vnn (1.37) Ic = Yc.Vcn + Yc.Vnn

Sabendo que a somatria das correntes nula, resulta: c b an c c n b b n a annY Y YV Y V Y V YV+ ++ +=' ' ''. . . (1.38) Matricialmente a equao (1.38) pode ser escrita: Vnn YaYbYc Van Vnn= c b aY Y Y + +1 YaYbYcVbn(1.39) Vnn YaYbYc Vcn As equaes (1.36) resultam: Van Za00 Ia Ia Vbn =0Zb0Ib = ZcargaIb(1.40) Vcn 00Zc Ic Ic Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 25 Substituindo (1.39) em (1.40) resulta: c b aaY Y YY+ + 1 c b abY Y YY+ + c b acY Y YY+ + Van Ia c b aaY Y YY+ + c b abY Y YY+ + 1 c b acY Y YY+ + Vbn = Zcarga Ib (1.41) c b aaY Y YY+ + c b abY Y YY+ + c b acY Y YY+ + 1 Vcn Ic c b aaY Y YY+ + 1 c b abY Y YY+ + c b acY Y YY+ + YT= c b aaY Y YY+ + c b abY Y YY+ + 1 c b acY Y YY+ + (1.42) c b aaY Y YY+ + c b abY Y YY+ + c b acY Y YY+ + 1 Resulta, portanto: Van Ia YT Vbn = ZcargaIb (1.43) Vcn Ic Por outro lado, a tenso no incio da rede vale: Van Van ZLZmZm Ia Vbn =Vbn + ZmZLZmIb(1.44) Vcn Vcn ZmZmZL Ic Ou, ainda: Van Van ZLZmZm Ia Vbn =Vbn - ZmZLZmIb(1.45) Vcn Vcn ZmZmZL Ic Substituindo (1.45) em (1.41) resulta: Van ZLZmZm Ia Za00 Ia YT

Vbn - ZmZLZmIb = 0Zb0Ib (1.46) Vcn ZmZmZL Ic 00Zc Ic Circuitos Trifsicos 26 ZredeZcarga Ou Van Ia YT

Vbn = YT Zrede+ZcargaIb (1.47) Vcn Ic E, portanto: Ia -1 Van Ib = YTZrede+Zcarga YT Vbn (1.48)Ic Vcn a)Clculo das correntes Calculando as matrizes da equao (1.48) vem primeiramente a matriz da equao (1.42): 0,9681 + 0,0032 j-0,2610 0,2742 -0,7071 + 0,2710 j YT = -0,0319 + 0,0032 j0,7390 0,2742 j-0,7071 + 0,2710 j -0,0319 + 0,0032 j-0,2610 0,2742 j0,2929 + 0,2710 j Por outro lado, 0,1 + j 0,50,1 j0,1 j Zrede = 0,1 j0,1 + j 0,50,1 j 0,1 j0,1 j0,1 + j 0,5 E, ainda, 3,4061 0,4541 j00 Zcarga = 01,7293 + 2,9694 j0 006,8122 0,9083 j E, Van 480 / 0 Vbn = 480 / -120 Vcn 480 / 120 Resulta, portanto; Ia 154,91 / -7,4 Ib = 130,59 / -169,2(A) Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 27 Ic 51,13 / 119,7 b)Clculo das tenses de fase da carga: Aplicando o conjunto de equaes (1.36), resultam: Van = 532,33/ -15,0V Vbn = 448,73/ -109,4V Vcn = 351,36/ 112,1V c)Clculo da potncia fornecida pela fonte: S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic* S = 133400 (W)+j54832(var) d)Clculo da potncia consumida pela carga: S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic* S =129040 (W)j37365(var) e)Clculo do fator de potncia da carga: fp = cos(atan(54832/133400)) = 0,925 Exerccios Propostos 1.11UmsistematrifsicosimtricoeequilibradocomseqnciadefasediretaalimentaumacargacomVcn =230/15V.Pede-se:a)Astensesdefasedacarga;b)Astensesdelinhadacarga;c) Desenharo diagrama fasorial com as trs fases. 1.12Resolver o circuito anterior admitindo seqncia inversa. 1.13Resolver o circuito trifsico da figura do exerccio1.7. Calcular:a) A correnteda carga; b)A potncia fornecida pela fonte; c) A potncia consumida pela carga. Dados: ZL = 1 + johm;Z = 1 + j 6,5 ohm;E = 110 V. 1.14No circuito mostrado na figura 1.10, os valores das impedncias so: ZL = 0,1 + j 3,5 Za = 4 + 2,5 j Zb = 4 + 9 j Zc = 3,5 + 10,5 j Zn = 4,5 (impedncia de aterramento da carga) A fonte simtrica e equilibrada, com valor de tenso Van = 220 /0 V. Calcular: a) As correntes de fase e do neutro; b) As tenses de fase da carga; c) A potncia consumida pela carga; d) A potncia fornecida pela fonte de energia. 1.15No circuito da figura 1.9, os valores das impedncias so: ZL = 0,1 + j 3,5 Za = 4 + 2,5 j Zb = 4 + 9 j Zc = 3,5 + 10,5 j Zn = 4,5 (impedncia de retorno da linha) A fonte simtrica e equilibrada, com o valor de tenso Van = 220 /0 V. Calcular: a) As correntes de fase e do neutro; b) As tenses de fase da carga; c) A potncia consumida pela carga; d) A potncia fornecida pela fonte de energia. 1.16Para o circuito da figura 1.16, para Van = 210 / 0 V; Vbn = 205 / -102 V e Vcn = 208 / 119 V e, ainda, Za = j 45 ,Zb = j 18,5 eZc = - j 27 ; determinar: a) As correntes de linha e a corrente de neutro;b) As tenses de fase da carga;c) A potncia consumida; d) A potncia fornecida pela fonte de energia. Circuitos Trifsicos 28 1.17Umrestaurantecomalimentaomonofsicaatrsfios(220Vfase-a-fasee110 Vfase-neutro obtido por tap central do enrolamento do transformador) possui as seguintes cargas: 20.000 W ligados em 220 V, 10.000 W ligados na fase A com o neutro, e outros 12.100 W ligados na fase B com o neutro. Determinar as correntes nos trs condutores. Ver figura 1.17. 1.18Uma pizzaria com alimentao monofsica a trs fios (220 V fase-a-fase e 110 V fase-neutro obtido portapcentraldoenrolamentodotransformador)possuiasseguintescargas:18.000Wligadosem220V, 7.000WligadosnafaseAcomoneutroeoutras5.000WligadosnafaseBcomoneutro.Determinaras correntes nos trs condutores. Ver figura 1.17. 1.19Umacasacomercialpossuiumaalimentaomonofsicaatrsfios(220Vfase-a-fasee127fase-neutro) com as seguintes cargas: 18.000 W ligados em 220 V, 7.000 ligados na fase A com o neutro e outras 5.000 W ligados na fase B com o neutro. Determinar as correntes nos trs condutores. 1.20Para o circuito da figura 1.18, para Van = 118 / 0 V; Vbn = 125 / -102 V e Vcn = 128 / 119 V e, ainda, Za = j 40,5,Zb = j 39,7,Zc = j 40,2,ZL=0,1+0,6jeZn=0,4j(retornodalinha),determinar:a)As correntes de linha;b) As tenses das fases da carga; c) A tenso Vnn;c) A potncia consumida pela carga; d) A potncia fornecida pela fonte de energia. 1.21Umgeradorpossuiumsistemadeaquecimentoparaquandoestforadeoperao.Estesistema consiste de resistncias ligadas, como mostra a figura 1.19. Calcular as correntes das fases A, B, C, a corrente do neutro e a potncia complexa consumida, nos casos a seguir:Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 29 a)Por um problema tcnico, as duas resistncias da fase C ficam desconectadas, deixando esta fase aberta. b)Por um problema tcnico, somente uma das resistncias da fase C fica desconectada. Caractersticas de cada resistncia: Potncia 1500 W;Tenso 380 V;Comprimento 750 mm. A alimentao eltrica feita com seqncia direta, com valor de tenso: VAB = 220 V. 1.22Para o circuito da figura 1.18,Van=125 / 0 V,Vbn= 125/ -102 V, Vcn = 128 / 119 V, e ainda, ZL = j 0,5 , Za = 46,6 + j 40,5 , Zb =45,0 + j 39,7 ,Zc = 47 +j 40,2 ,e Zn =j 40 (impedncia de aterramento da carga). Determinar:a) As correntes da carga e do neutro; b) A potncia consumida pela carga; c) O fator de potncia da carga. 1.23Resolver o exerccio anterior com Zn =0 , determinando:a) As correntes da carga e do neutro; b) A potncia complexa consumida pela carga; c) O fator de potncia da carga. 1.24Resolvero exerccio 1.22parao casoem que o fiode retorno se rompe ea carga fica com o neutro isolado, calculando: a) As correntes da carga; b) A tenso VNN; c) A potncia fornecida pela fonte. 1.25Para o circuito da figura 1.20, com o disjuntor D aberto e sabendo os seguintes dados: Dados1.25.11.25.21.25.31.25.41.25.5 Za ()400 + j 200410 + j 210390 + j 190385 + j 185380 + j 180 Zb ()400 + j 200410 + j 210390 + j 190385 + j 185380 + j 180 Zc ()400 + j 200410 + j 210390 + j 190385 + j 185380 + j 180 ZL ()5 + j 504 + j 406 + j 607 + j 708 + j 80 Zm ()50 j45 j 6 j00 Zmg ()j 5j 4,5j 0,500 Zn ()10 + j 508 + j 4012 + j 602 + j 350 Van (V) 127 / 1200 / 1,5265 / 2290 / 2,5300 / -1 Vbn (V) 127 / -105200 / -115265 / -109290 / -115300 / -100 Vcn (V) 127 / 125200 / 128265 / 115290 / 135300 / 120 Calcular: a) As correntes de fase e de neutro;b) A potncia da carga; c) A potncia complexa no incio da Linha (pontos A-B-C);d) As tenses nos pontos A, B e C, prximo ao disjuntor aberto. Circuitos Trifsicos 30 1.26Resolver o circuito abaixo, figura 1.21, sabendo que simtrico e equilibrado: CARGA ExerccioTenso de linha na fonte (V) Impedncia da linha Z (ohm) Tenso nominal (V) Potncia (kW) Fator de potncia (indutivo) 1.26.14800,01 + j 0,054803000,9 1.26.222000,02 + j 0,15220025000,9 1.26.341600,02 + j 0,3416045000,85 1.26.469000,04 + j 0,7660050000,92 1.26.5138000,07 + j 0,113800150000,9 1.26.64600,008 + j 0,024407000,85 1.26.74800,009 + j 0,0184408000,9 1.26.822000,08 + j 0,1220035000,9 1.26.92200,005 + j 0,022201250,82 1.26.104000,009 + j 0,013806000,85 1.26.1141600,05 + j 0,25416045000,85 Resolver, considerando: a) Carga modelada por impedncia constante; b) Carga modelada por potncia constante; c) Carga modelada por corrente constante; d) Construir uma tabela comparativa entre as trs solues. Soluo do Exerccio 1.26.1 a)Carga modelada por impedncia constante Clculo da impedncia da carga: Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 31 ohm jarcSVZabC3013 , 0 6221 , 09 , 0 / 300000) 9 , 0 cos( 480*2+ == = Clculo da corrente: 1 , 29 22 , 383) 3013 , 0 6221 , 0 05 , 0 01 , 0 ( 30 480 =+ + +=+=j j Z ZVIC Lana A tenso nos terminais da carga : Van = Ia . Zc = (0,6221 + j 0,3013) x 383,22 / - 29,1 = 264,89 / -3,26V A potncia absorvida pela carga : kVA I V Sa n a 8 , 25 54 , 304 1 , 29 22 , 383 26 , 3 89 , 264 3 3' ' = = = b)Carga modelada por potncia constante Como a potncia consumida constante, a corrente eltrica depende da tenso aplicada carga e este valor no conhecido. O clculo processado iterativamente da seguinte forma: Adota-se um valor de tenso inicial da carga, que pode ser a nominal do sistema; Calcula-se a corrente absorvida pela carga; Com este valor de corrente, calcula-se o novo valor de tenso nos terminais da carga; Compara-seestevalorcomovaloradotadoinicialmentee,seadiferenaestiverdentrodapreciso desejada, o valor procurado este, seno, calcula-se novamente a corrente e o novo valor de tenso da resultante. Tenso inicial: 0 128 , 2773480) 0 (' ' = =n aV Clculo do valor inicial da corrente: Ax VSIn aa 8 , 25 94 , 400 0 128 , 277 9 , 0 3 8 , 25 3000003* *' ') 0 ( =|||

\| =|||

\|= Clculo do novo valor de tenso: 5 , 3 28 , 265 8 , 25 94 , 400 ) 05 , 0 01 , 0 ( 0 128 , 277) 0 ( ) 1 (' ' = + = = j I Z V Va L an n a Clculo da iterao seguinte: Ax VSIn aa 3 , 29 84 , 418 5 , 3 28 , 265 9 , 0 3 8 , 25 3000003* *' ') 1 ( =|||

\| =|||


\| =|||


\| =|||

\|= Clculo do novo valor de tenso: Circuitos Trifsicos 32 5 , 3 64 , 263 3 , 29 48 , 421 ) 05 , 0 01 , 0 ( 0 128 , 277) 3 ( ) 3 (' ' = + = = j I Z V Va L an n a Clculo da iterao seguinte: Ax VSIn aa 3 , 29 45 , 421 5 , 3 64 , 263 9 , 0 3 8 , 25 3000003* *' ') 4 ( =|||

\| =|||

\|= Clculo do novo valor de tenso: 5 , 3 64 , 263 3 , 29 45 , 421 ) 05 , 0 01 , 0 ( 0 128 , 277) 4 ( ) 4 (' ' = + = = j I Z V Va L an n a Comoadiferenadevaloresentreaiterao4eaiterao3estdentrodaprecisodesejada,ovalorda tenso a ser adotada : Van = 263,64 / - 3,5V O seguinte clculo feito para comprovar que a potncia permaneceu constante: S = 3 x Van . Ia* = 3 x 263,62 / - 3,5x 421,48 / + 29,4 = 333,33 / 25,8kVA c)Carga modelada por corrente constante Neste caso, o mdulo da corrente constante; entretanto, seu argumento no o . O processo de clculo a ser adotado tambm iterativo. Tenso inicial: 0 128 , 2773 0 480) 0 (' ' ==n aVClculo do valor inicial da corrente: Ax VSIn aa 8 , 25 94 , 400 0 128 , 277 9 , 0 3 8 , 25 3000003* *' ') 0 ( =|||

\| =|||

\|= O valor de = 25,84 deve permanecer constante. Clculo do novo valor de tenso: 5 , 3 29 , 265 8 , 25 94 , 400 ) 05 , 0 01 , 0 ( 0 128 , 277) 0 ( ) 1 (' ' = + = = j I Z V Va L an n a Clculo do argumento da corrente: (1) = (1) - = - 3,5 - 25,8 = -29,3 Ento, o novo valor de corrente Ia(2) = 400,94 / - 29,3A Clculo da iterao seguinte do valor de tenso: 4 , 3 28 , 264 3 , 29 94 , 400 ) 05 , 0 01 , 0 ( 0 128 , 277) 2 ( ) 2 (' ' = + = = j I Z V Va L an n a Clculo do argumento da corrente: (1) = (1) - = - 3,4 - 25,8 = 29,2 Ento, o novo valor de corrente Ia(3) = 400,94 / - 29,2A. Clculo da iterao seguinte do valor de tenso: 4 , 3 30 , 264 2 , 29 94 , 400 ) 05 , 0 01 , 0 ( 0 128 , 277) 3 ( ) 3 (' ' = + = = j I Z V Va L an n a Clculo do argumento da corrente: (1) = (1) - = - 3,4 - 25,8 = 29,2 Ento, o novo valor de corrente Ia(4) = 400,94 / - 29,2A. Clculo da iterao seguinte do valor de tenso: 4 , 3 30 , 264 2 , 29 94 , 400 ) 05 , 0 01 , 0 ( 0 128 , 277) 4 ( ) 4 (' ' = + = = j I Z V Va L an n a Clculo do argumento da corrente: (1) = (1) - = - 3,4 - 25,8 = 29,2 Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 33 Ento, o valor final da corrente Ia = 400,94 / - 29,2A; neste caso, a potncia absorvida pela carga : S = 3 x Van . Ia* = 3 x 264,30 / - 3,4x 400,94 / + 29,2 = 317,91 / 25,8kVA d)Comparao entre as trs solues ModeloImpedncia constante Potncia constanteCorrente constante Ia (A) 383,23 / - 29,1421,48 / - 29,4400,94 / - 29,2 Van (V) 264,89 / -3,2263,62 / - 3,5264,30 / - 3,4 S (kVA)304,540 / 25,8333,333 / 25,8317,905 / 25,8 1.27Umalimentadordeumafontedeenergiade440V,trifsica,60Hz,alimentaasseguintescargas trifsicas:Motor440 V, 150 kW, rendimento de 94%, fator de potncia 0,85 atrasado; Resistncia32 kW; Outras cargas60 kW com fator de potncia 0,7 atrasado. Calcular a potncia complexa total. 1.28Umfornoaarcosubmersoparaproduodesilciometlicoconsome25kW,comfatordepotncia 0,68atrasado.Calcularapotnciadobancodecapacitoresnecessriaparacorrigirofatordepotnciapara 0,92 atrasado. 1.29Paracorreodofatordepotnciadeumafbricaexisteumbancodecapacitoresformadodedois sub-bancos,conformemostraafigura1.22.Cadasub-bancoligadoemestrelano-aterrada,eosneutros dessessub-bancosestointerligados.Cadabraodaestrelapossuisetecapacitoresligadosemparalelo.O reatordelimitaodecorrentedeinrushpossuiovalordeindutnciaL=9,06mH.Cadacapacitorpossuio valordecapacitnciaC=5,71 F.Osistemaalimentadocomatensodelinhade14.800V,simtricoe equilibrado na freqncia de 60 Hz. Calcular o mdulo da corrente de neutro para as seguintes situaes: ExercciosSituaes 1.29.1Um capacitor com defeito na fase A 1.29.2Defeito num capacitor da fase A de uma estrela e na fase B da outra estrela 1.29.3Dois capacitores com defeito no mesmo brao da estrela Fase A 1.29.4Defeito num capacitor da fase A de uma estrela e na fase A da outra estrela 1.29.5Defeito num capacitor no brao A e de outro no brao B da mesma estrela Circuitos Trifsicos 34 Soluo do Exerccio 1.29.1 Clculo dos valores de reatncias: XL = 2 f L = 376,9911 x 9,06 x 10-3 = 3,4155 fase Xc/ 3632 , 667101 , 5 7 9911 , 376106 = = de cada sub-banco A seqncia de tenso aplicada : Van = 8544,8 / 0V Vbn = 8544,8 / -120V Vcn = 8544,8 / 120V Aplicando a lei da malha de Kircchoff para o circuito dado, tm-se Van = j 3,4151 Ia j 66,3632 Ia1 + Vnn

Vbn = j 3,4151 Ib j 66,3632 Ib1 + Vnn

Vcn = j 3,4151 Ic j 66,3632 Ic1 + Vnn

Analogamente: Van = j 3,4151 Ia j 66,3632 Ia2 + Vnn

Vbn = j 3,4151 Ib j 66,3632 Ib2 + Vnn

Vcn = j 3,4151 Ic j 66,3632 Ic2 + Vnn

E, ainda: Ia = Ia1 + Ia2 Ib = Ib1 + Ib2 Ic = Ic1 + Ic2 Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 35 In = Ia1 + Ib1 + Ic1 = Ia2 Ib2 Ic2

Matricialmente pode-se escrever: [ V ] = [ Z ] [ I ] Sendo: Van8544,8 / 0 Vbn8544,8 / -120 Vcn8544,8 / 120 Van8544,8 / 0 Vbn8544,8 / -120 [ V ]=Vcn=8544,8 / 120 00 00 00 00 e Ia Ib Ic Ia1 Ib1 [ I ]=Ic1 Ia2 Ib2 Ic2 Vnn O valor da matriz [ Z ] : (Ia)(Ib)(Ic)(Ia1)(Ib1)(Ic1)(Ia2)(Ib2)(Ic2)(Vnn) 3,415j00-66,363j000001 03,415j00-66,363j00001 003,415j00-66,363j0001 3,415j00000-66,363j01 03,415j00000-66,363j01 003,415j00000-66,363j 1 -1001001000 0-100100100 00-10010010 000-1111110 A matriz acima vale para o circuito equilibrado, caso em que o valor da corrente de neutro nulo. Supondo a queima de um capacitor na primeira estrela, na fase A, a reatncia correspondente muda para: == 4237 , 7763632 , 66 7'CX Este valor substitui o valor da clula da primeira linha, quarta coluna. Pode-se utilizar o software MatLab paras resolver facilmente esse sistema de 10 equaes, 10 incgnitas. As respostas so: Ia = 271,54 jAIb = 248,60 135,77 jAIc = -248,60 135,77 jA Ia1 = 125,33 jAIb1 = 124,30 67,89 jAIc1 = -124,30 67,89 jA Circuitos Trifsicos 36 Ia2 = 146,21 jAIb1 = 124,30 67,89 jAIc1 = -124,30 67,89 jA Vnn = -231,03 Para determinar a corrente de neutro basta somar as trs correntes de fase de qualquer uma das estrelas: In = Ia1 + Ib1 + Ic1 =- Ia2 - Ib2 - Ic2 = 125,33 j+ 124,30 67,89 j- 124,30 67,89 j ==10,45 j 1.30Resolverarededafigura1.23comos mesmosdadosdoexerccio1.25,porm comasfasesAeB abertas, atravs dos disjuntores instalados na linha. 1.31Resolver a rede da figura 1.24 com os seguintes dados: Van = 127 /1; Vbn = 127 /-119; Vcn = 127 /120em volts; ZL = 5+50 j eZm = 5j em ohms; Carga Za = Zb = Zc = 400 + j200em ohms; Considerando o disjuntor da fase A aberto, calcular: a) As correntes de fase e de neutro;b) A potncia da carga; c) A potncia complexa no incio da Linha (pontos A-B-C). 1.32No circuito trifsico, simtrico e equilibrado, mostrado na figura1.25, cujos parmetros valem: R = 15 ohms, XL = 12 ohms, Xc = 9 ohms, R1 = 0,6 ohm, X1 = 1,3 ohms, I = 9,5 A. Calcular as tenses em A, B e C. 1.33A rede da figura 1.33 perde os capacitores e um conjunto R e XL ligados entre a fase A e B, conforme Exerccios Introdutrios a Sistemas Eltricos de Potncia 37 indicaafigura1.26.Supondo-aalimentadapelastensesdefasecalculadasnoexerccio1.33calcularas correntes nas trs fases. 1.34A rede da figura 1.26 perde os capacitores e dois conjuntos R e XL ligados entre a fase A e B, e entre BeC,conformeindicaafigura1.27.Supondo-aalimentadapelastensesdefasecalculadasnoexerccio 1.33, calcular as correntes nas trs fases. 1.35No circuito mostrado na figura 1.28, sabendo que Zab = Zbc = Zca = 40 / 40 ohms, e a tenso da fonte (fase-neutro)simtricaeequilibradaeiguala220V,calcular:a)Ascorrentesdelinhab)Ovalordecada wattmetro;b)apotnciaativafornecidapelafonte;c)compararcomasomadeW1eW2;d)Ofatorde potncia da carga. 1.36Na figura 1.28, o valor lido no Wattmetro 1 1853,83 W, o fator de potncia da carga 0,866 indutivo, a tenso aplicada simtrica e equilibrada e igual a 110 V, e sabe-se ainda, que Z = Zab =Zbc=Zca. Calcular o valor de Z. Bibliografia Brenner, E.; Javid, M. Analysis of Electric Circuits. New York: McGraw-Hill Book Company, 1967. Edminister, J. A. Coleo Schaum. Circuitos Eltricos. So Paulo: MacGraw-Hill do Brasil Ltda. 1972. 175p. Nilsson, J. W. Electric Circuits. Massachussetts: Addison-Wesley. 1989. Oliveira, C. C. B.; Schmidt. H. P.; Kagan, N.; Robba, J. E. Introduo a Sistemas Eltricos de Potncia Componentes Simtricas.2. ed. So Paulo: Edgard Blcher, 1996. 467p. Orsini, L. Q. Curso de Circuitos Eltricos.So Paulo: Edgard Blcher, 1993/4. 2v.

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