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Álgebra Linear – Eng. de Agronomia/ MTM5104

Exercícios - Sistemas Lineares

Data de entrega até 26/10 (no início da aula impreterivelmente)

Os exercícios aqui dados são o complemento da Prova 2. Ambos, exercícios e

prova (bem resolvidos)valem 5,0 pontos cada, totalizando em 10,0 a segunda

avaliação da disciplina no dia 26/10 em sala de aula.

Os exercícios podem ser resolvidos por até dois alunos.

Observação: Cada exercício vale um ponto se resolvido mostrando todos os

detalhes do processo de resolução. O não cumprimento da observação validará

a questão com zero.

1) Em cada sistema dado encontre

i.  A forma matricial do sistema.

ii.  O posto e a nulidade da matriz de coeficientes.

iii.  Os graus de liberdade do sistema.

iv.  A caracterização do sistema.

v.  Colocar o conjunto solução na forma matricial.

Nota: Coloque o processo de escalonamento em cada sistema resolvido.

a)

132

022

15423

1432

w z  y x

 z  y x

w z  y x

w z  y x

b)

1176

142

13

 z  y x

 z  y x

 z  x

 

c)

02

022

0232

02

4321

4321

421

4321

 x x x x

 x x x x

 x x x

 x x x x

d)

22262

13452

113

432

 z  y x

 z  y x

 z  y x

 z  y x

 

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e)

12118105

54342

2322

w z  y x

w z  y x

w z  y x

f)

2 x + y - 2 z + 3 w = 1

3 x + 2 y- z +2 w = 4

3 x + 3 y + 3 z - 3 w = 5

 

2) i) Resolva os sistemas 1a) e 1c) sem usar eliminação de Gauss.

ii) Seja A =

410

111

501

 

a)  Encontre a solução geral do sistema (A + 4I3) X = 0 b)  Encontre a solução geral do sistema (A - 2I3) X = 0

3) Quais dos sistemas dados são possíveis ou impossíveis? Se for o caso, obtenha asolução geral e explicite as soluções básicas dos sistemas homogêneos.

a)

0118105

04342

0322

w z  y x

w z  y x

w z  y x

b)

x + 2 y - 3 z = -1

3 x -y +2 z = 7

5 x + 3 y -4 z = 2

 

c)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x -2 x +3 x - 2x = 0

3 x - 7 x -2 x + 4x = 0

4 x +3 x + 5 x +2 x =0

f)

02534

04273

0232

4321

4321

4321

 x x x x

 x x x x

 x x x x

 

4) a) Dado o sistema

x + y - z = 1

2 x + 3 y +a z = 3

x + a y +3 z = 2

 

Determine os valores de “a” para termos um sistema incompatível.

 b) Quais são as condições para x, y , z e t para que o sistema seja possível?

–a +3b = x

2a – b = y

-2a +b = z

3a + b = t

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c)  Calcular k para que o seguinte sistema seja possível

a1 +a2 = -1

-3a1 + 4a2 = k

2a1 – a2 = -7

5)a) Suponha que para construir casas de acordo com os projetos A, B, C, entre

outros materiais, sejam necessários a quantidade de materiais fornecidos na tabela

abaixo onde a madeira e o concreto são dados em m3 e os tijolos e telhas em

milhares. Dispondo-se de 29 m3 de madeira, 190m3 de concreto, 162.000 tijolos e

53.000 telhas, quantas casas de cada tipo de projeto podem ser construídas?

Concreto 1 Concreto 2 Concreto 3

Madeira 1 3 8

Concreto 25 20 15

Tijolos 18 20 15

Telhas 6 5 7

 b) Uma indústria produz três produtos X, Y, Z, utilizando dois tipos de insumo A e

B, Para a manufatura de cada Kg de X são utilizados 2 gramas de insumo de A e 1

grama de insumo de B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo de A e 3 gramas de

insumo de B e, para cada kg de Z 3 gramas de a e 5 gramas de B. O preço de venda

do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é 3, 2 e 4 reais respectivamente. Com avenda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1,9 kg de A e 2,4 kg de b,

essa indústria arrecadou R$2900 reais. Determine quantos kg de cada um dos

produtos X, Y e Z foram vendidos.

Profa Sonia

MTM/UFSC

17/10/2011