Solução de um problema de Programação Inteira - Método Branch and Bound

7/24/2019 Soluo de um problema de Programao Inteira - Mtodo Branch and Bound

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARInstituto de Tecnologia

Programa de Ps-graduao em Engenharia Eltrica

OTIMIZAO DE SISTEMAS

Trabalho 1Programao Inteira

Jorge Henrique Angelim

Yasmim Corra

Zaire Souza

BELMPA2015


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INTRODUO

O presente relatrio, contm os passos e os resultados obtidos a partir da resoluo do

trabalho 1 de programao inteira, tipo 2, cujo problema :

() = 3 + 15

. . 10 + 2 75

6 + 7 60

, 0

OBJETIVOSEncontrar a soluo tima do problema relaxado (sem a condio de integralidade);

Encontrar a soluo tima inteira obtida pelo mtodoBranch and Bound;

Obter a soluo em rvore do problema, onde so mostrados os subproblemas resultados do

mtodo;

Obter a indicao grfica dos subespaos e dos subproblemas construdos ao longo do

processo;

Todos esses itens esto respondidos no decorrer desse relatrio.

MATERIAIS UTILZADOS

Neste trabalho, utilizamos o suplementosolverdisponvel no Microsoft Excel, que faz

parte de um conjunto de comandos algumas vezes chamado de ferramentas de teste de

hipteses. Com o Solver voc pode localizar um valor ideal de (mximo ou mnimo) para uma

frmula em uma clulachamada de clula do objetivo sujeitos a restries ou limites nos

valores de outras clulas frmulas em uma planilha. Neste trabalho, utilizamos esta ferramentapara a obteno das solues timas dos problemas de programao linear que fazem parte do

mtodo aplicado.

Os grficos foram obtidos atravs do programa Graph, disponvel em

http://www.padowan.dk/graph/.


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1 SOLUO TIMA CONTNUA

A soluo tima contnua obtida ao se relaxar a condio de integralidade. Nesse caso,

o problema de PLI se torna um problema de programao linear (PL). Nesta primeira etapa,

obtivemos a soluo tima do problema utilizando o mtodo simplex passo a passo e,

posteriormente, validamos o resultado utilizando o suplemento SOLVER, disponvel no

Microsoft Excel.

Abaixo, a resoluo do problema de PL.

x1 x2 x3 x4 b

L 3 15 0 0 0

x3 10 2 1 0 75

x4 6 7 0 1 60

x1 x2 x3 x4 b

L -9,85 0 0 -2,14 -128,57

x3 8,28 0 1 -0,28 57,85

x2 0,85 1 0 0,14 8,57

A soluo tima contnua obtida ao relaxar a condio de integralidade foi:

x1= 0;

x2= 8,57;

F(x) = 128,57


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Figura 1Grfico da soluo contnua do problema.

2 SOLUO TIMA INTEIRA PELO MTODO BRANCH AND

BOUND.

O algoritmo Branch & Bound foi utilizado para obter uma soluo tima inteira,

atravs do software Excel, utilizando o Solver, fazendo passo-a-passo cada restrio at

encontrar o ponto timo do problema de maximizao.

A soluo tima contnua ( = 0, = 8,57 () = 128,57) no admissvel

para o problema inteiro, pois x2viola esta condio. Pelo mtodo B&B, a busca por solues

inteiras viveis feita atravs da adio de novas restries ao problema original, reduzindo o

espao de solues admissveis e conduzindo ao ponto timo. Esta reduo do espao de

solues no pode resultar na melhoria da funo objetivo, de modo que o valor encontrado

para f(x) corresponde ao limite superior.

Na etapa de partio (Branch) da resoluo, pesquisamos a soluo em doissubespaos

8 9

Subproblema (1) Subproblema (2)

() = 3 + 15

. 10 + 2 75

6 + 7 60

, 0

() = 3 + 15

. 10 + 2 75

6 + 7 60

, 0

;

. -

. . . . . . . . . . .


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Dessa forma, a soluo no admissvel = 8,57 excluda da resoluo. As solues

timas dos dois novos subproblemas criados pela adio das restries, obtidas pelo Solver,

esto mostradas a seguir.

A soluo tima do subproblema (2) no vivel. Por outro lado, a soluo do

subproblema (1) no admissvel para o problema de PI, mas como o valor de () menor

que o limite superior, exploramos esse subespao. A soluo grfica do subproblema (1) est

mostrada na figura 2, onde pode ser observado que o espao admissvel limitado em 8.

Figura 2Grfico da soluo do subproblema (1).

Novamente, a partir do subproblema (2), dois novos subproblemas so criados:

0 1

= ; = = = =

= -

- - . . . . . . . . . . .

-

-

= 0;

= 8,57;

() = 128,57

= 0,667;

= 8;

() = 122

8 9(1)

(2)


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() = 3 + 15

. 10 + 2 75

6 + 7 60

8

, 0

() = 3 + 15

. 10 + 2 75

6 + 7 60

8

, 0

Observe que as restries 0 e 0 do subproblema (3) levam = 0.As

solues timas obtidas foram:


O subproblema (3) conduz a uma soluo admissvel para o problema de PI, mas no

h garantias de que esse seja o valor timo do problema. Fazemos ento este valor de ()o

;

. -

. . . . . . . . . . .

(3)

= 0,667;

= 8;

() = 122

0 1

(4)

= 0;

= 8;

() = 120

= 1;

= 7,71;

() = 118,71


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limite inferior para a funo objetivo, pois no ser possvel obter uma soluo inteira melhor

num espao onde a soluo continua apresente valor de ()inferior ou igual a 120.

A soluo tima do subproblema (4), por sua vez, no admissvel para o problema de

PI, no entanto, () tem valor superior ao limite inferior fixado, sendo necessrio explorar

esse subespao. Os dois novos subproblemas descendentes de (4) so:

7e 8


() = 3 + 15

. 10 + 2 75

6 + 7 60

8 1

, 0

() = 3 + 15

. 10 + 2 75

6 + 7 60

8 1

, 0

No subproblema (5), a restrio 8 redundante pois 7.

No subproblema (6), as restries 8e 8impem = 8.

(7)

= 1;

= 7,71;

() = 118,71

7 8(8)

= 1,83;

= 7;

() = 110,5


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Do subproblema (7), obtemos uma soluo que no admissvel para o problema de PI.

Como o valor de () = 110,5 menor que o limite inferior adotado para soluo inteira, no

ser possvel obter soluo melhor que a obtida anteriormente (( ) = 120).

Portanto, no havendo mais espao para analisar, a soluo tima do problema de

programao inteira :

;

. -

. . . . . . . . . . .

= 0;

= 8;

() = 120


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3 DIAGRAMA EM RVORE DA SOLUO DO PROBLEMA

MTODO BRANCH AND BOUND

= 0;

= 8,57;

() = 128,57

= 0,667;

= 8;

() = 122

8 9(1) (2)

(3)

0 1(4)

= 1;

= 7,71;

() = 118,71

= 0;

= 8;

() = 120

Soluo tima!

(7)

7 8(8)

= 1,83;

= 7;

() = 110,5

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