APRESENTAÇÃO

Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três

séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-

lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que

melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.

A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-

tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-

dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito

crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,

histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de

dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-

jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.

As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante

situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos

privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de

questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada

região brasileira.

Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia

intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o

aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.

Gerente Editorial

Lógica

© Editora Positivo Ltda., 2013Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.

DIRETOR-SUPERINTENDENTE: DIRETOR-GERAL:

DIRETOR EDITORIAL: GERENTE EDITORIAL:

GERENTE DE ARTE E ICONOGRAFIA: AUTORIA:

ORGANIZAÇÃO: EDIÇÃO DE CONTEÚDO:

EDIÇÃO:REVISÃO:

ANALISTAS DE ARTE:PESQUISA ICONOGRÁFICA:

EDIÇÃO DE ARTE:ILUSTRAÇÃO:

PROJETO GRÁFICO:EDITORAÇÃO:

CRÉDITO DAS IMAGENS DE ABERTURA E CAPA:

PRODUÇÃO:

IMPRESSÃO E ACABAMENTO:

CONTATO:

Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyJorge Luiz Farago / Lucio Nicolau dos Santos CarneiroÂngela Ferreira Pires da TrindadeÂngela Ferreira Pires da TrindadePaula Garcia da RochaValquiria MolinariGiselle Alice Pupo / Tatiane Esmanhotto KaminskiTassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaJack ArtO2 ComunicaçãoRosemara Aparecida Buzeti, Salma Nasser© iStockphoto.com/Jorge Delgado; © iStockphoto.com/Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAAP Media Ltd/KlausPost; P. Imagens/PithEditora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440-120 Curitiba – PRTel.: (0xx41) 3312-3500 Fax: (0xx41) 3312-3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300-000 Curitiba – PRFax: (0xx41) 3212-5452E-mail: posigraf@positivo.com.br2014editora.spe@positivo.com.br

Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.

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@MAT809Cubos

@MAT809

Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)

(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)

F219 Farago, Jorge Luiz.

Ensino médio : modular : matemática : lógica / Jorge Luiz Farago, Lucio Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Jack Art. – Curitiba : Positivo, 2013.

: il.

ISBN 978-85-385-7418-7 (livro do aluno) ISBN 978-85-385-7419-4 (livro do professor)

1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Carneiro, Lucio Nicolau dos Santos. II. Art, Jack. III. Título.

CDU 373.33

SUMÁRIO

Unidade 1: Lógica

Proposição 6

Conectivos 11

Tabela verdade 14

Proposições condicionais 18

Proposições bicondicionais 20

Equivalência lógica 22

Argumentos 23

Proposições categóricas 26

Lógica4

Lógica1

contemplativa e o desejo da perfeição estética. Seus elementos básicos são a

lógica e a intuição, a análise e a construção, a generalidade e a individualidade.

Embora diferentes tradições possam enfatizar diferentes aspectos, é somente

constituem a vida, a utilidade e o supremo valor da Ciência Matemática.

COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O que é Matemática? Uma abordagem elementar de

métodos e conceitos. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000. p. XII.

Ensino Médio | Modular 5

MATEMÁTICA

Na Lógica matemática, é estudada a validade de argumentos apresentados em uma linguagem própria, deno-minada linguagem proposicional. Alguns argumentos são válidos, e outros, inválidos, não por seu conteúdo, mas por sua forma ou estrutura.

Nesta unidade, a Lógica será estudada vinculada à Matemática, mas os campos de estudo da Lógica transcendem essa disciplina, podendo ser aplicada em áreas como Psicologia, Direito, Computação, entre outras.

Por definição, a Lógica pode ser explicada como a ciência que rege as leis do pensamento e do raciocínio. O principal objetivo da Lógica é formular e explicitar critérios que permitam legitimar um conjunto de proposições, as quais são sentenças que exprimem um pensamento completo.

A Lógica pode ser dividida em três períodos ou fases:

1a.) Forma clássica antiga ou Lógica grega antigaEntre os séculos IV a.C. e I d.C., destacaram-se três escolas: a dialética sofista, a lógica aristotélica e a lógica

megárico-estoica. Nessas escolas, transitaram Platão, Aristóteles, Zenão, Sócrates, Protágoras, entre outros.

2a.) Forma escolástica ou MedievalFoi um período criativo entre os séculos XI e XV d.C. Desde a escola megárico-estoica, não havia qualquer

novidade no desenvolvimento da Lógica, apenas os ensinamentos de Aristóteles eram repetidos. Nomes como Pedro Abelardo (1079-1142), Alberto Magno (1193-1280), Tomás de Aquino (1227-1274) e Guilherme de Occan (1295-1350) contribuíram muito com o desenvolvimento da Lógica nesse tempo.

3a.) Forma MatemáticaApós o início do século XVII, houve o interesse de descobrir novos métodos que auxiliassem a pesquisa científica,

e a Matemática passou a ter um papel fundamental nesses novos métodos. Surgiram nomes como Gottfried Liebniz (1646-1716), precursor da lógica matemática contemporânea. Foi com ele que a Lógica passou a ser dividida em lógica clássica aristotélica e lógica simbólica moderna. George Boole (1815-1864) associou as leis do pensamento às leis da Álgebra. Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) mostrou que a Aritmética podia ser estudada pelas leis da Lógica, e seus estudos influenciaram Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947), que sistematizaram a lógica simbólica na obra Principia mathematica.

Proposição

Proposição ou sentença é uma oração declarativa, isto é, o emissor constata um fato que expressa

uma ideia com sentido completo. Pode ser verdadeira ou falsa e, dessa forma, assume valores lógicos V (verdadeiro) ou F (falso).

Por exemplo:

A fórmula da água é H2O.

Em qualquer triângulo equilátero, todos os ângulos internos são congruentes.

O peso de uma pessoa na Lua é o mesmo que na Terra.

O Sistema Solar é formado por 8 planetas.

Negação de uma proposiçãoCom base em uma proposição, sempre é possível escrever uma negação. A negação da proposição

p pode ser representada por ~p. Observe a negação de cada proposição dada anteriormente:

A fórmula da água não é H2O.

Em qualquer triângulo equilátero, os ângulos internos não são todos congruentes.

O peso de uma pessoa na Lua não é o mesmo que na Terra.

O Sistema Solar não é formado por 8 planetas.

É importante destacar que a negação da proposição:

Rafael gosta de morar em apartamentos.é

Rafael não gosta de morar em apartamentos.ou

Não é verdade que Rafael gosta de morar em apartamentos.

Quanto à negação da proposição, nada se pode afirmar a respeito da preferência de Rafael sobre onde morar, especificamente.

p Rafael gosta de morar em apartamentos.

~p Rafael não gosta de morar em apartamentos.

Observe, ainda, que a negação da negação é a proposição original:p: Rafael não gosta de morar em apartamentos. A negação dessa proposição é:~p: Rafael gosta de morar em apartamentos

Assim:

p Rafael não gosta de morar em apartamentos.

~p Rafael gosta de morar em apartamentos.

Dessa forma: ~(~p) = p.

Proposições

@MAT2105

Lógica6

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FÍSICA

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FÍSICAMATEMÁTICA

A lógica matemática e a Língua Portuguesa têm algumas diferenças. Por exemplo, quando alguém escreve ou fala a proposição:

Eu não sei nada.significa, no dia a dia, que eu não tenho a compreensão de algum tema ou assunto.

Na Língua Portuguesa, uma proposição igual a essa é enfática, pois apresenta dois elementos, “não” e “nada”, que reforçam a ideia de não conhecimento de algum assunto ou fato.

Porém, na lógica matemática, essa proposição significa que sei alguma coisa sobre esse assunto. Observe:p: Eu sei nada.significa que não tenho conhecimento sobre algum assunto.~p: Eu não sei nada.é a negação da proposição, significa que tenho conhecimento sobre algum assunto.

Para que não houvesse diferença entre a Língua Portuguesa e a Matemática, a melhor forma de expressar o desconhecimento sobre algo seria dizer:

Eu não sei coisa alguma.

1. Nas proposições a seguir, escreva o valor lógico de cada uma:

a) |−4| > 2

b) ℕ ⊂ ℤ

c) tg 45o = 2

2

d) −(−3) ∈ ℕ

e) 64 83 =

f) log3 81 = 2

g) 1 + 2 + 3 + ... + 100 = ( ) .1 100

2100

+

2. Escreva a negação das proposições dadas a seguir.

a) Um quadrado possui todos os lados congruentes.

b) 25 é um quadrado perfeito.

c) A molécula da água não é formada por dois átomos de hidrogênio e um de oxigênio.

d) No cofre, há mais de R$ 10.000,00.

e) Eu não estou preparado para fazer a prova de vestibular.

Ao analisar proposições, devem-se considerar alguns princípios:

Princípio da não contradição

Uma proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa, por exemplo:

Rafael nasceu no Brasil.

Se a proposição “Rafael nasceu no Brasil” é verdadeira, então ela não pode ser falsa.

Princípio do terceiro excluído

Uma proposição tem somente dois valores lógicos: verdadeiro ou falso. Por exemplo:Pessoas que fazem vestibular ingressam ou não no curso superior.Em uma cobrança de pênaltis, um jogador marca ou não um gol.

A lógica matemática não tem a função de analisar o conteúdo das proposições (mesmo que, em vários casos, isso seja necessário), mas ela analisa a relação formal entre as proposições e seus valores lógicos. A isso denomina-se cálculo proposicional.

O conteúdo das proposições é relacionado a um valor lógico (V ou F) e, assim, é possível classificá--las em dois grupos: simples ou atômicas e compostas ou moleculares.

Proposições simplesUma proposição simples expressa uma ideia sobre um objeto e, geralmente, é representada por

letras minúsculas: a, b, c, ..., p, q, ...

p: um triângulo retângulo possui um ângulo reto.

q: o Teorema de Pitágoras é válido apenas para triângulos retângulos.

r: duas retas concorrentes determinam um plano.

s: duas retas paralelas são coplanares.

t: 21 é múltiplo de 5.

u: o número 1 é primo.

Proposições compostasUma proposição composta é a união, por meio de conectivos, de duas ou mais proposições simples

e, geralmente, é representada por letras maiúsculas: A, B, C, ..., P, Q, ...A: um triângulo retângulo possui um ângulo reto e o Teorema de Pitágoras é válido apenas para

triângulos retângulos.B: duas retas concorrentes determinam um plano ou duas retas paralelas são coplanares.

Para formar proposições compostas, podem-se utilizar dois conectivos: e (representado por ∧) e ou (representado por ∨).

Lógica8

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FÍSICA

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FÍSICAMATEMÁTICA

1. (AFC) Três irmãs, Ana, Maria e Cláudia, foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco, e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas.

A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”.

A de branco falou: “Eu sou Maria”.

E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”.

Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, ele foi capaz de identificar corre-tamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respec-tivamente:

a) preto, branco, azul;

b) preto, azul, branco;

c) azul, preto, branco;

d) azul, branco, preto;

e) branco, azul, preto.

2. (UFRJ) Ronaldo brincava distraído com dois da-dos que planificados ficavam da seguinte for-ma:

Marcelo, seu primo, observava e imaginava quais seriam as possíveis somas dos resultados dos dois dados, se esses, quando lançados so-bre a mesa, ficassem apoiados sobre as suas fa-ces sem numeração. O resultado da observação de Marcelo corresponde a:

a) 3, 4, 6 e 8;

b) 3, 4, 8 e 10;

c) 4, 5 e 10;

d) 4, 6 e 8;

e) 3, 6, 7 e 9.

3. Em uma sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos. É falso afirmar que pelo me-nos duas dessas pessoas:

a) nasceram num mesmo ano;

b) nasceram num mesmo mês;

c) nasceram num mesmo dia da semana;

d) nasceram numa mesma hora do dia;

e) têm 50 anos de idade.

4. (FGV) Na residência assaltada, Sherlock encon-trou os seguintes vestígios deixados pelos as-saltantes, que julgou serem dois, pelas marcas de sapatos deixadas no carpete:

– Um toco de cigarro

– Cinzas de charuto

– Um pedaço de goma de mascar

– Um fio de cabelo moreno

As suspeitas recaíram sobre cinco antigos em-pregados, dos quais se sabia o seguinte:

Indivíduo M: só fuma cigarro com filtro, cabelo moreno, não mastiga goma.

Indivíduo N: só fuma cigarro sem filtro e charu-to, cabelo louro, não mastiga goma.

Indivíduo O: não fuma, é ruivo, mastiga goma.

Indivíduo P: só fuma charuto, cabelo moreno, não mastiga goma.

Indivíduo Q: só fuma cigarro com filtro, careca, mastiga goma.

Sherlock concluirá que o par de meliantes é:

a) M e Q; b) N e P;

c) M e O; d) P e Q;

e) M e P.

5. (FCC – SP) Um eletricista, um marceneiro e um pedreiro jogam dominó todos os dias. Sabe-se que até agora:

– Raimundo ganhou mais partidas que Daniel.

– Tião ganhou mais partidas que o Raimundo.

– O eletricista não é nem o primeiro, nem o úl-timo na disputa geral.

– Não foi o marceneiro que ganhou mais partidas.

Analisando as informações acima, é correto afirmar que:

a) Tião é marceneiro;

b) Raimundo é eletricista;

c) Daniel é pedreiro;

d) Raimundo é marceneiro;

e) Tião é eletricista.

6. (FGV) Sabe-se que um dos quatro indivíduos a, b, g ou d cometeu um crime. a declara: “b é o criminoso”. b informa: “O culpado é d”. g afirma: “Não sou eu o criminoso”. d protesta: “b mentiu”.

Apenas uma das declarações é verídica. As ou-tras três são falsas. Quem é o criminoso?

a) a

b) b

c) g

d) nda

7. (ESAF) Três amigas encontram-se em uma fes-ta. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos dessas mesmas três cores, mas so-mente Ana está com vestido e sapatos da mes-ma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Julia são brancos. Mariza está com sapatos azuis. Desse modo:

a) o vestido de Julia é azul e o de Ana é preto;

b) o vestido e os sapatos de Julia são pretos;

c) os sapatos de Julia são pretos e os de Ana são brancos;

d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Mariza é branco;

e) O vestido de Ana é preto e os sapatos de Mariza são azuis.

8. (AFTN) Sabe-se que, na equipe do X Futebol Clube (XFC), há um atacante que sempre men-te, um zagueiro que sempre fala a verdade e um meio-campista que, às vezes, fala a ver-dade e, às vezes, mente. Na saída do estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia o resultado do jogo que terminara, um deles de-clarou:

“Foi empate”

o segundo disse:

“Não foi empate”

e o terceiro falou:

“Nós perdemos”.

O torcedor reconheceu somente o meio-cam-pista, mas pode deduzir o resultado do jogo com certeza. A declaração do meio-campista e o resultado do jogo foram, respectivamente:

a) “Foi empate” / o XFC venceu.

b) “Não foi empate” / empate.

c) “Nós perdemos” / o XFC perdeu.

d) “Não foi empate” / o XFC perdeu.

e) “Foi empate” / empate.

9. (FCC) Com relação a três funcionários do Tribu-nal, sabe-se que:

I. João é mais alto que o recepcionista.

II. Mário é escrivão.

III. Luís não é o mais baixo dos três.

IV. Um deles é escrivão, o outro recepcionista e o outro segurança.

Sendo verdadeiras as quatros afirmações, é correto dizer que:

a) João é mais baixo que Mário;

b) Luís é segurança;

c) Luís é o mais alto dos três;

d) João é o mais alto dos três;

e) Mário é mais alto que Luís.

10. (AFTN) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete, às vezes, fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:

a) Janete, Tânia e Angélica;

b) Janete, Angélica e Tânia;

c) Angélica, Janete e Tânia;

d) Angélica, Tânia e Janete;

e) Tânia, Angélica e Janete.

Lógica10

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FÍSICA

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FÍSICAMATEMÁTICA

Conectivos

Conectivo eQuando duas (ou mais) proposições simples formam uma proposição composta por meio do conectivo

e, essa proposição é uma conjunção das proposições simples. Para que uma proposição composta pelo conectivo e tenha valor lógico verdadeiro, todas as proposições simples que a compõem devem ter valores lógicos verdadeiros. Se pelo menos uma tiver valor lógico falso, a proposição composta terá valor lógico falso. Observe algumas proposições compostas pelo conectivo e.

Ip: 5 > 2q: 7 ≠ 5p ∧ q: 5 > 2 e 7 ≠ 5

IIp: O gás carbônico é tóxico.q: O oxigênio é essencial à vida.p ∧ q: O gás carbônico é tóxico e o oxigênio é essencial à vida.

III p: O pico culminante da Ásia é o Kilimanjaro.q: A Fossa das Marianas é o local mais fundo dos oceanos.p ∧ q: O pico culminante da Ásia é o Kilimanjaro e a Fossa das Marianas é o local mais fundo dos

oceanos.

Para formar o conjunto intersecção de dois conjuntos, utiliza-se o conectivo e. Dados os conjuntos A e B, a intersecção de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Conectivo ouQuando duas (ou mais) proposições simples formam uma proposição composta por meio do conectivo

ou, essa proposição é uma disjunção das proposições simples. Para que uma proposição composta pelo conectivo ou tenha valor lógico verdadeiro, pelo menos uma das proposições simples que a compõem deve ter valor lógico verdadeiro. Se todas tiverem valores lógicos falsos, a proposição composta terá valor lógico falso. Observe algumas proposições compostas pelo conectivo ou.

Ip: O gás metano é tóxico.q: A água é essencial à vida.p ∨ q: O gás metano é tóxico ou a água é essencial à vida.

Lógica12

II p: O Saara é o maior deserto quente do mundo.q: O Oceano Atlântico banha a costa do Chile.p ∨ q: O Saara é o maior deserto quente do mundo ou o Oceano Atlântico banha a costa do Chile.

IIIp: 2 > 3q: (–1)2 = 12

p ∨ q: 2 > 3 ou (–1)2 = 12

Para formar o conjunto união de dois conjuntos, utiliza-se o conectivo ou. Dados os conjuntos A e B, a união de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

1. Classifique as proposições a seguir como verdadeiras ou falsas.

a) A raiz quadrada de 9 é 3 e 5 é um número primo.

b) O símbolo do sódio é Na ou o símbolo do potássio é Po.

c) O dióxido de carbono é um gás e a prata tem símbolo Pr.

2. Se a proposição p ∧ q tem valor lógico falso, o que se pode afirmar quanto a p e q?

3. Se a proposição p ∧ q tem valor lógico verdadeiro, o que se pode afirmar quanto a p e q?

4. Se a proposição p ∨ q tem valor lógico falso, o que se pode afirmar quanto a p e q?

5. Se a proposição p ∨ q tem valor lógico verdadeiro, o que se pode afirmar quanto a p e q?

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FÍSICA

13

FÍSICAMATEMÁTICA

Intervalos

Dados dois números reais a e b (com a < b), o intervalo aberto, representado graficamente, é o conjunto:

Esse intervalo pode ser escrito da seguinte forma: ]a, b[ = {x ∈ IR | a < x < b}.

Outra forma (mais incomum) de escrevê-lo é: ]a, b[ = {x ∈ IR | a < x e x < b}.

Observe que qualquer elemento x pertencente ao in-tervalo é maior que a e menor que b, simultaneamente.

Dados dois números reais a e b (com a < b), o intervalo fechado, representado graficamente, é o conjunto:

Esse intervalo pode ser escrito da seguinte forma: [a, b] = {x ∈ IR | a ≤ x ≤ b}.

Outra forma (mais incomum) de escrevê-lo é: [a, b] = {x ∈ IR | a ≤ x e x ≤ b}.

Observe que qualquer elemento x pertencente ao intervalo é maior ou igual a a e menor ou igual a b, simultaneamente.

Dados dois números reais a e b (com a < b), o intervalo fechado em a e aberto em b, repre-sentado graficamente, é o conjunto:

Esse intervalo pode ser escrito da seguinte forma: [a, b[ = {x ∈ IR | a ≤ x < b}.

Outra forma (mais incomum) de escrevê-lo é: [a, b[ = {x ∈ IR | a ≤ x e x < b}.

Observe que qualquer elemento x pertencente ao intervalo é maior ou igual a a e menor que b, simul-taneamente.

Dados dois números reais a e b (com a < b), o intervalo aberto em a e fechado em b, repre-sentado graficamente, é o conjunto:

Esse intervalo pode ser escrito da seguinte forma: ]a, b] = {x ∈ IR | a < x ≤ b}.

Outra forma (mais incomum) de escrevê-lo é: ]a, b] = {x ∈ IR | a < x e x ≤ b}.

Observe que qualquer elemento x pertencente ao intervalo é maior que a e menor ou igual a b, simul-taneamente.

Dados dois números reais a e b (com a < b), os intervalos “infinitos” abertos em a e b, repre-sentados graficamente, são o conjunto:

Esses intervalos podem ser escritos da seguinte forma: ]−∞, a[ ∪ ]b, +∞[ = {x ∈ IR | x < a ou x > b}.

Observe que qualquer elemento x pertencente ao intervalo é menor que a ou maior que b.

Dados dois números reais a e b (com a < b), os intervalos “infinitos” fechados em a e b, repre-sentados graficamente, são o conjunto:

Esses intervalos podem ser escritos da seguinte forma: ]−∞, a] ∪ [b, +∞[ = {x ∈ IR | x ≤ a ou x ≥ b}.

Observe que qualquer elemento x pertencente ao intervalo é menor ou igual a a ou maior ou igual a b.

Dados dois números reais a e b (com a < b), o intervalo “infinito” fechado em a e o intervalo “infinito” aberto em b, representados grafica-mente, são o conjunto:

Esses intervalos podem ser escritos da seguinte forma: ]−∞, a] ∪ ]b, +∞[ = {x ∈ IR | x ≤ a ou x > b}.

Observe que qualquer elemento x pertencente ao intervalo é menor ou igual a a ou maior que b.

Dados dois números reais a e b (com a < b), o intervalo “infinito” aberto em a e o intervalo “infinito” fechado em b, representados grafica-mente, são o conjunto:

Esses intervalos podem ser escritos da seguinte forma: ]−∞, a[ ∪ [b, +∞[ = {x ∈ IR | x < a ou x ≥ b}.

Observe que qualquer elemento x pertencente ao intervalo é menor que a ou maior ou igual a b, simul-taneamente.

Lógica14

Tabela verdade

A tabela verdade é um recurso que auxilia na determinação dos valores lógicos das proposições simples e, principalmente, das proposições compostas.

Para proposições simples, tem-se:Ip: A fórmula da água é H2O.

p ~p

V F

Lembrando que ~p é a negação de p e que, nesse caso, é:A fórmula da água não é H2O.

IIp: Em um triângulo equilátero, todos os ângulos internos são congruentes.

p ~p

V F

Lembrando que ~p é a negação de p e que, nesse caso, é:Em um triângulo equilátero, os ângulos internos não são todos congruentes.

Para os exemplos estudados, têm-se as tabelas:IIIp: O gás metano é tóxico.q: A água é essencial à vida.p ∨ q: O gás metano é tóxico ou a água é essencial à vida.

p q p ∨ q

V V V

IV p: O Saara é o maior deserto quente do mundo.q: O Oceano Atlântico banha a costa do Chile.p ∨ q: O Saara é o maior deserto quente do mundo ou o Oceano Atlântico banha a costa do Chile.

p q p ∨ q

V F V

Vp: A camisa é azul. q: A calça é preta.p ∧ q: A camisa é azul e a calça é preta.

Nesse caso, como não se sabe sobre o valor de cada proposição p e q, a tabela verdade pode ter algumas possibilidades:

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

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FÍSICA

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FÍSICAMATEMÁTICA

p ∨ q: A camisa é azul ou a calça é preta.

Como não se sabe sobre o valor de cada proposição p e q, a tabela verdade pode ter algumas possibilidades:

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

Para uma proposição p ∧ q, a tabela verdade é:

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Para uma proposição p ∨ q, a tabela verdade é:

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

TautologiaQuando a proposição é composta pelas proposições simples p e q e possui valor lógico V, inde-

pendentemente do valor lógico de p e q, é denominada de tautologia.Exemplo: Rafael vai passar no vestibular ou não vai passar.p: Rafael vai passar no vestibular.~p: Rafael não vai passar no vestibular.

p ~p p ∨ ~p

V F V

F V V

ContradiçãoQuando a proposição é composta pelas proposições simples p e q e possui valor lógico F, indepen-

dentemente do valor lógico de p e q, é denominada de contradição.Exemplo: Rafael vai passar no vestibular e não vai passar.p: Rafael vai passar no vestibular.~p: Rafael não vai passar no vestibular.

p ~p p ∧ ~p

V F F

F V F

Lógica16

1. Escreva o valor lógico de cada proposição a seguir.

a) Todo número primo é ímpar.

b) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°.

c) Todo número primo é ímpar ou a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°.

d) Todo número primo é ímpar e a soma das me-didas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°.

e) O número 9 é um quadrado perfeito.

f) 3 é um número primo.

g) O número 9 é um quadrado perfeito ou 3 é um número primo.

h) O número 9 é um quadrado perfeito e 3 é um número primo.

i) O número 2 é par.

j) O número 2 é composto.

k) O número 2 é par ou composto.

l) O número 2 é par e composto.

2. Construa a tabela verdade de cada proposição a seguir:

a) Rodrigo é engenheiro e Giovana é arquiteta.

b) João Pedro joga futebol ou vôlei.

3. Das afirmações a seguir, identifique qual é uma tautologia, qual é uma contradição e qual delas não é tautologia nem contradição.

a) Rodrigo é engenheiro ou Rodrigo não é engenheiro.

b) Rodrigo não joga futebol ou Giovana joga voleibol.

c) Giovana é arquiteta e Giovana não é arquiteta.

4. Utilizando a tabela verdade, mostre que, para duas proposições simples p e q, tem-se:

a) ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q

b) ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q

c) ~(~p ∨ q) = p ∧ ~q

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FÍSICAMATEMÁTICA

5. (ESAF) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja –; a cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente:

a) cão, cobra e calopsita;

b) cão, calopsita e cobra;

c) calopsita, cão e cobra;

d) calopsita, cobra e cão;

e) cobra, cão e calopsita.

6. (ESAF) Ao resolver um problema de matemáti-ca, Ana chegou à conclusão de que: x = a e x = p, ou x = e. Contudo, sentindo-se insegura para concluir em definitivo a resposta do pro-blema, Ana telefona para Beatriz, que lhe dá a seguinte informação: x ≠ e. Assim, Ana correta-mente conclui que:

a) x ≠ a ou x ≠ e;

b) x = a ou x = p;

c) x = a e x = p;

d) x = a e x ≠ p;

e) x ≠ a e x ≠ p.

7. (URCA – CE) Quatro dados idênticos estão em-pilhados conforme figura abaixo. A soma das faces voltadas para baixo é:

a) 18 b) 27

c) 21 d) 19

e) 23

8. (FCC) Paulo é mais alto que Enéas.Carlos é mais alto que Luiz.Enéas é mais alto que Carlos.

Em relação às quatro pessoas, é correto afirmar que:

a) Enéas é o mais alto;

b) Carlos é o mais baixo;

c) Luiz é mais alto que Enéas;

d) Paulo é mais alto que Carlos;

e) Luiz é mais alto que Carlos.

9. (FCC) Marcos trabalha por conta própria e no-tou que, em geral:– nas segundas-feiras, ganha mais que nas quartas-feiras;– nas terças-feiras, ganha menos que nas quartas-feiras e menos que nas quintas-feiras;– nas quintas-feiras, ganha mais que nas se-gundas-feiras;– nas sextas-feiras, ganha mais que nas segun-das-feiras.

Analisando as afirmações, é correto dizer que o dia da semana em que Marcos ganha me-nos, em geral, é:

a) segunda-feira; b) terça-feira;

c) quarta-feira; d) quinta-feira;

e) sexta-feira.

10. (BACEN) Raulino está machucado ou não quer jogar. Mas Raulino quer jogar. Logo:

a) Raulino não está machucado nem quer jogar;

b) Raulino não quer jogar nem está machucado;

c) Raulino não está machucado e quer jogar;

d) Raulino está machucado e não quer jogar;

e) Raulino está machucado e quer jogar.

11. (IBMEC – SP) Considere os três enunciados abaixo. I. “Numa democracia, o direito de o cidadão

se proteger não pode ser proibido.” II. “Ter uma arma é uma proteção ao cidadão.” III. “Lilipute é uma democracia.”

Suponha que, em Lilipute, decidiu-se que os cidadãos não podem ter armas.Dessa forma, dos enunciados acima:

a) necessariamente I e II são verdadeiros e III é falso;

b) necessariamente I e III são verdadeiros e II é falso;

c) necessariamente II e III são verdadeiros e I é falso;

d) no máximo dois deles são verdadeiros;

e) todos podem ser simultaneamente verda-deiros.

Proposições condicionais

A proposição condicional relaciona duas proposições simples p e q por meio do conectivo “se... então...”, ou seja, se p, então q, e é representada por p → q (significa que p implica q).

Quando essas proposições estão escritas na forma se p, então q, significa que a ocorrência de p implica a ocorrência de q, ou seja, sendo verdadeiro o valor lógico de p, para que a proposição p → q tenha valor lógico verdadeiro, q necessariamente deve ter valor lógico verdadeiro.

Exemplo: p: Maria Eduarda é mineira.q: Maria Eduarda é brasileira.p → q: Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira.

A proposição condicional “Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira” garante que, sendo verdadeiro que Maria Eduarda é mineira, então será verdadeiro que Maria Eduarda é brasileira.

No entanto, caso Maria Eduarda não seja mineira, a proposição não afirma coisa alguma, podendo Maria Eduarda ser brasileira ou não ser brasileira. Assim, se Maria Eduarda não é mineira, poderá ocorrer que Maria Eduarda é brasileira ou que Maria Eduarda não é brasileira, não contradizendo a proposição ”Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira”.

A proposição condicional ”Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira” só seria contraditória no caso de sendo verdadeiro que Maria Eduarda é mineira, então seria falso que Maria Eduarda é brasileira.

Dessa forma, uma proposição p → q é falsa apenas quando p é verdadeira e q é falsa. Observe a tabela verdade:

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Dadas as proposições p e q, a proposição condicional em que p implica q é representada por p → q.

Lógica18

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FÍSICAMATEMÁTICA

Proposição recíproca

A proposição recíproca de:

Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira. é

Se Maria Eduarda é brasileira, então é mineira.

Observe que a proposição “Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira” garante que, sendo verdadeiro que Maria Eduarda é mineira, então será verdadeiro que Maria Eduarda é brasileira. A proposição recíproca “Se Maria Eduarda é brasileira, então é mineira” garante que, sendo verdadeiro que Maria Eduarda é brasileira, então será verdadeiro que Maria Eduarda é mineira.

Assim, como as duas proposições não garantem a mesma coisa, podem ter valores lógicos diferentes, ou seja, a proposição p → q pode ser verdadeira e a recíproca q → p, falsa, não sendo logicamente equivalentes.

Dada a proposição condicional p → q, a proposição recíproca é q → p.

Proposição contrapositiva

A proposição contrapositiva de:

Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira.é

Se Maria Eduarda não é brasileira, então não é mineira.

Observe que a proposição “Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira” garante que, sendo verdadeiro que Maria Eduarda é mineira, então será verdadeiro que Maria Eduarda é brasileira. Já foi visto que, sendo falso que Maria Eduarda é mineira, poderá ser verdadeiro ou falso que Maria Eduarda é brasileira. Portanto, sendo verdadeiro que Maria Eduarda não é brasileira, necessariamente será verdadeiro que Maria Eduarda não é mineira.

Assim, se a proposição “Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira” for verdadeira, necessa-riamente a proposição contrapositiva “Se Maria Eduarda não é brasileira, então não é mineira” será verdadeira e, se a proposição “Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira” for falsa, necessa-riamente a proposição contrapositiva “Se Maria Eduarda não é brasileira, então não é mineira” será falsa, ou seja, uma proposição condicional p → q e sua contrapositiva ~q → ~p têm o mesmo valor lógico, sendo logicamente equivalentes.

Proposição inversaA proposição inversa de:

Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira.é

Se Maria Eduarda não é mineira, então não é brasileira.

Dada a proposição condicional p → q, a proposição contrapositiva é ~q → ~p e ambas possuem o mesmo valor lógico.

Proposições bicondicionais

A proposição bicondicional relaciona duas proposições simples p e q por meio do conectivo “... se e somente se...”, ou seja, p, se e somente se, q, e é representada por p ↔ q (significa que p implica q e q implica p).

Observe o exemplo:

p: Maria Eduarda é mineira.

q: Maria Eduarda nasceu em Minas Gerais.

Condicional: Se Maria Eduarda é mineira, então nasceu em Minas Gerais.

Recíproca: Se Maria Eduarda nasceu em Minas Gerais, então é mineira.

Bicondicional: Maria Eduarda é mineira se, e somente se, nasceu em Minas Gerais.

A proposição bicondicional garante que será verdadeiro que Maria Eduarda nasceu em Minas Gerais apenas se for verdadeiro que Maria Eduarda é mineira, ou seja, caso seja falso que Maria Eduarda é mineira, então será falso que Maria Eduarda nasceu em Minas Gerais.

Assim, pode-se dizer que uma proposição bicondicional p ↔ q é uma conjunção das proposições p → q e q → p. Em símbolos, temos:

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

Assim, pode-se considerar a tabela verdade:

p q p → q q → p p ↔ q

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

Observe que a proposição “Se Maria Eduarda é mineira, então é brasileira” garante que, sendo verdadeiro que Maria Eduarda é mineira, então será verdadeiro que Maria Eduarda é brasileira. Como nada é afirmado no caso de ser verdadeiro que Maria Eduarda não seja mineira, não podemos concluir se é verdadeiro que Maria Eduarda não é brasileira.

Assim, as proposições podem ter valores lógicos diferentes, ou seja, a proposição p → q pode ser verdadeira e a inversa ~p → ~q, falsa, não sendo logicamente equivalentes.

Dada a proposição condicional p → q, a proposição inversa é ~q → ~p.

Lógica20

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FÍSICAMATEMÁTICA

1. (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo:

a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória;

b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema;

c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cine-ma;

d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória;

e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

2. (IBMEC – SP) Considere a declaração abaixo:

Uma pessoa ingressa na comunidade virtual de relacionamento Tukro somente se é convidada.Supondo que a declaração acima seja verdadei-ra, é correto afirmar que:

a) “Se uma pessoa quer ingressar na Tukro, en-tão ela é convidada.”

b) “Se uma pessoa é convidada para entrar na Tukro, então ela quer ingressar nesta comu-nidade.”

c) “Se uma pessoa é convidada para entrar na Tukro, então ela ingressa nesta comunidade.”

d) “Se uma pessoa ingressar na Tukro, então ela foi convidada.”

e) “Se uma pessoa não ingressar na Tukro, en-tão ela não foi convidada.”

3. (ESAF) Se Carlos é mais velho do que Pedro, en-tão Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

a) Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais moço do que Pedro;

b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade;

c) Carlos e João são mais moços do que Pedro;

d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro;

e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade.

4. (ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozi-nheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que:

A) se o cozinheiro é inocente, então a gover-nanta é culpada;

B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois;

C) o mordomo não é inocente.

Logo:

a) a governanta e o mordomo são os culpados;

b) somente o cozinheiro é inocente;

c) somente a governanta é culpada;

d) somente o mordomo é culpado;

e) o cozinheiro e o mordomo são os culpados.

5. Denomina-se tautologia toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente do valor lógico das proposições que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo;

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo;

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo;

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo;

e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.

6. (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao fil-me Fogo contra fogo, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos Maria, Luis e Julio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Julio está engana-do. Se Julio estiver enganado, então Luis está enganado. Se Luis estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme Fogo contra fogo está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:

a) o filme Fogo contra fogo está sendo exibido;

b) Luis e Julio não estão enganados;

c) Julio está enganado, mas Luis não;

d) Luis está enganado, mas Julio não;

e) José não irá ao cinema.

7. (IBMEC – SP) Num tribunal foram interrogados dois envolvidos em um crime. Fulam e Rotiele. Um deles sempre diz a verdade e o outro sem-pre mente. Do depoimento de Fulam foi extraída a frase: “Se Rotiele confiou em mim, então este júri também confia”.

E do depoimento de Rotiele foi extraída a frase:

“É impossível que Fulam somente cuide do di-nheiro de todas as pessoas que não cuidam do próprio dinheiro”.Dessa forma, a afirmação verdadeira entre as alternativas abaixo é:

a) o júri não confia em Fulam;b) Fulam é o que diz a verdade;c) Rotiele não confiou em Fulam;d) se Rotiele está no júri, então ainda confia em

Fulam;e) o trecho acima citado do depoimento de

Rotiele também poderia ter aparecido no depoimento de Fulam.

Equivalência lógica

Duas proposições são equivalentes quando possuem o mesmo valor lógico. Observe as proposições construídas com:

p: Vai esfriar amanhã.

q: Vou trabalhar de carro.

Com base nas proposições simples p e q, considere as seguintes proposições compostas:

~(p ∧ q): Não é verdade que vai esfriar amanhã e que vou trabalhar de carro.

~p ∨ ~ q: Não vai esfriar amanhã ou não vou trabalhar de carro.

Veja a tabela verdade nesse caso:

p q ~p ~q p ∧ q ~(p ∧ q) ~p ∨ ~q

V V F F V F F

V F F V F V V

F V V F F V V

F F V V F V V

equivalência lógica

Assim, conclui-se que: ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q, ou seja, ~(p ∧ q) e ~p ∨ ~q são logicamente equivalentes.

Lógica22

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FÍSICAMATEMÁTICA

Argumentos

Argumento é um conjunto formado com proposições denominadas premissas, as quais resultam em outra proposição denominada conclusão.

Observe os exemplos a seguir:

Premissa 1: Se eu estudar para a prova, então vou obter uma nota alta.Premissa 2: Estudei para a prova.Conclusão: Logo, vou obter uma nota alta.

Premissa 1: Se ele tem boa visão, então acertará o alvo.Premissa 2: Ele tem boa visão.Conclusão: Logo, acertará o alvo

Premissa 1: Todos os paranaenses são brasileiros.Premissa 2: Todos os curitibanos são paranaenses.Conclusão: Logo, todos os curitibanos são brasileiros.

Premissa 1: Se chover, vou trabalhar de carro.Premissa 2: Se fizer sol, vou trabalhar de carro.Conclusão: Logo, vou trabalhar de carro.

Todo argumento que se baseia em duas premissas e uma conclusão é denominado silogismo.

Validade de um argumento Um argumento pode ser válido ou inválido (falácia ou sofisma). A validade de um argumento ocorre

sempre que, admitindo-se verdadeiras as premissas, a conclusão é necessariamente verdadeira. Ela depende da relação entre as premissas e a conclusão, mas não do conteúdo delas.

Em um argumento, pode-se ter:

1) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira

Exemplo: Todos os escorpiões são aracnídeos. ( V )

Todos os aracnídeos são artrópodes. ( V ) Portanto, todos os escorpiões são artrópodes. ( V )

Percebe-se que todos os escorpiões são aracnídeos, pois fazem parte dessa classe, a qual pertence ao filo dos artrópodes; logo, a conclusão é verdadeira e o argumento é válido.

Observe o diagrama a seguir:

Validade de

um argumento

e diagramas

@MAT2100

Lógica24

2) Algumas ou todas as premissas falsas e conclusão verdadeiraExemplo: Todas as aves são seres aquáticos. ( F ) Todos os seres aquáticos são seres vertebrados. ( F ) Logo, todas as aves são seres vertebrados. ( V )

Percebe-se que todas as aves não são seres aquáticos e que todos os seres aquáticos não são verte-brados, mas todas as aves são seres vertebrados; logo, a conclusão é verdadeira e o argumento é válido.

3) Algumas ou todas as premissas falsas e conclusão falsaExemplo: Todas as pessoas são quadrúpedes. ( F ) Todos os bípedes são pessoas. ( F ) Logo, todos os bípedes são quadrúpedes. ( F )

Percebe-se que todas as pessoas não são quadrúpedes, que todos os bípedes não são pessoas e, portanto, que todos os bípedes não são quadrúpedes, mas, mesmo com premissas e conclusão falsas, o argumento é válido, pois, supondo que as premissas sejam verdadeiras, a conclusão será verdadeira.

Lembre-se de que a Lógica se preocupa com a validade dos argumentos, e não com a verdade ou falsidade das premissas e da conclusão.

Todos os A são B.Todos os C são A.Logo, todos os C são B.

Esse argumento é válido, pois a conclusão é consequência das premissas.

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FÍSICA

25

FÍSICAMATEMÁTICA

Argumentos válidosA validade ou não de um argumento depende exclusivamente da estrutura e não dos valores lógicos

das premissas. Alguns tipos de argumentos válidos importantes serão estudados a seguir.Em proposições condicionais, “se p, então q” (p → q), quando há a confirmação da premissa an-

tecedente, há também a confirmação da premissa consequente. Esse argumento válido é denominado afirmação do antecedente, por exemplo:

Se João treinar com disciplina, então poderá correr a maratona.

João treinou com disciplina.

Logo, poderá correr a maratona.

Esse argumento é válido, pois João treinar com disciplina implica poder correr a maratona.Ainda em relação às proposições condicionais, quando há a negação da premissa consequente,

há também a negação da premissa antecedente. Esse argumento válido é denominado negação do consequente e a conclusão é a proposição contrapositiva, por exemplo:

Se João treinar com disciplina, então poderá correr a maratona.

João não poderá correr a maratona.

Logo, João não treinou com disciplina.

Argumentos inválidosUm argumento é inválido quando suas premissas forem verdadeiras, e sua conclusão, falsa (baseada

nas premissas). Ou seja, em argumentos inválidos, a conclusão não é sustentada pelas premissas. Alguns tipos de argumentos inválidos importantes serão estudados a seguir.

Observe um argumento cujas premissas não sustentam a conclusão:

Todos os homens são primatas.

Todos os gorilas são primatas.

Logo, todos os homens são gorilas.

Percebe-se que esse argumento é inválido, pois, de acordo com as premissas, homens e gorilas são primatas, mas não é possível saber qual é a relação existente entre eles.

A estrutura desse argumento é:

Todos os A são B.

Todos os C são B.

Logo, todos os C são A.

Observe algumas possibilidades para as premissas:

Assim, pode-se concluir que essa conclusão não é sustentada pelas premissas; logo, é um argu-mento inválido. Um argumento inválido é denominado de falácia.

Lógica26

Observe a falácia a seguir:

Se tenho sede, então tomo água.

Eu tomo água.

Logo, eu tenho sede.

O fato de tomar água não implica que se tenha sede. Ter sede implica tomar água.

Outro exemplo é:

Se o número x é natural, então ele é real.

O número x é real.

Logo, o número x é natural.

Observa-se que, ao afirmar que x é real, não se pode garantir que seja natural. Essa falácia é denominada falácia da afirmação do consequente.

Outra falácia conhecida é a falácia da negação do antecedente, por exemplo:

Se eu durmo tarde, então acordo cansado.

Eu não dormi tarde.

Logo, eu não acordei cansado.

A primeira premissa diz que dormir tarde implica acordar cansado, mas nada afirma no caso de não dormir tarde. Dessa forma, nada se pode afirmar sobre o fato de não dormir tarde.

Observe outro exemplo:

Se o número x é natural, então ele é real.

O número x não é natural.

Logo, o número x não é real.

Observa-se que, ao afirmar que x não é natural, não se pode garantir que x não seja real, pois ele pode ser real e não ser natural.

Proposições categóricas

Nas proposições estudadas, foram utilizados os conectivos e, ou, não, se..., então... e ... se e somente se...

Nas proposições que serão apresentadas a seguir, denominadas categóricas, esses conectivos não figuram e as proposições lógicas são formadas pelos quantificadores: todo, algum e nenhum.

Além disso, o quantificador está associado a um sujeito ligado a um predicado por um elo.Exemplo:

Todos os números inteiros são racionais.

Observe o exemplo a seguir:

quantificador sujeito elo predicado

FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA

Algum artrópode é inseto.

Todos os insetos têm 3 pares de patas.

Logo, algum artrópode tem 3 pares de patas.

O argumento é válido e está estruturado da seguinte

forma:

Algum A é B.

Todo B é (tem) C.

Logo, algum A é (tem) C.

As proposições categóricas são:

algum A é B (proposição particular afirmativa)

algum A não é B (proposição particular negativa)

todo A é B (proposição universal afirmativa)

nenhum A é B (proposição universal negativa)

em que A é o sujeito e B, o predicado da proposição cate-

górica.

Verdade ou falsidade das

proposições categóricas

Considerando verdadeiras:

algum A é B

Algum filme é de romance (verdadeira).

Têm-se:

Nenhum filme é de romance (falsa).

Todo filme é de romance (indeterminada).

Algum filme não é de romance (indeterminada).

algum A não é B

Algum filme não é de romance (verdadeira).

Têm-se:

Todo filme é de romance (falsa).

Nenhum filme é de romance (indeterminada).

Algum filme é de romance (indeterminada).

nenhum A é B

Nenhum filme é de romance (verdadeira).

Têm-se:

Todo filme é de romance (falsa).

Algum filme é de romance (falsa).

Algum filme não é de romance (verdadeira).

todo A é B

Todo filme é de romance (verdadeira).

Têm-se:

Nenhum filme é de romance (falsa).

Algum filme é de romance (verdadeira).

Algum filme não é de romance (falsa).

Considerando falsas:

algum A é B

Algum filme é de romance (falsa).

Têm-se:

Nenhum filme é de romance (verdadeira).

Todo filme é de romance (falsa).

Algum filme não é de romance (verdadeira).

algum A não é B

Algum filme não é de romance (falsa).

Têm-se:

Todo filme é de romance (verdadeira).

Nenhum filme é de romance (falsa).

Algum filme é de romance (verdadeira).

nenhum A é B

Nenhum filme é de romance (falsa).

Têm-se:

Todo filme é de romance (indeterminada).

Algum filme é de romance (verdadeira).

Algum filme não é de romance (indeterminada).

todo A é B

Todo filme é de romance (falsa).

Têm-se:

Nenhum filme é de romance (indeterminada).

Algum filme é de romance (indeterminada).

Algum filme não é de romance (verdadeira).

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Lógica28

1. (ESAF) Se é verdade que “Alguns escritores são poetas” e que “Nenhum músico é poeta”, en-tão também é necessariamente verdade que:

a) nenhum músico é escritor;

b) algum escritor é músico;

c) algum músico é escritor;

d) algum escritor não é músico;

e) nenhum escritor é músico.

2. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que:

a) todo C é B;

b) todo C é A;

c) algum A é C;

d) nada que não seja C é A;

e) algum A não é C.

3. (FGV) Alguém afirmou certa feita que: Toda pessoa que diz que não bebe não está sendo honesta.Pode-se concluir dessa premissa que:a) uma pessoa que diz que bebe está sendo

honesta;b) uma pessoa está sendo honesta se diz que

bebe; c) não existem pessoas honestas que dizem

que não bebem;d) nda.

4. (FGV) Analise o seguinte argumento: Todas as proteínas são compostos orgânicos; em con-sequência, todas as enzimas são proteínas, uma vez que todas as enzimas são compostos orgânicos.

a) O argumento é válido, uma vez que suas premissas são verdadeiras, bem como sua conclusão.

b) O argumento é válido apesar de conter uma premissa falsa.

c) Mesmo sem saber se as premissas são ver-dadeiras ou falsas, podemos garantir que o argumento não é válido.

d) nda.

5. (FGV) Considere a seguinte frase de Albert Eins-tein: Tudo deveria ser feito do modo mais sim-ples possível, mas não mais simples que isso. De acordo com essa proposição:

a) é sempre possível fazer algo de modo mais simples do que já é feito;

b) existe um modo mais simples possível de se fazer cada coisa; não se deveria tentar sim-plificar além disso;

c) as noções de simples e complicado são ab-solutamente relativas;

d) nda.

6. (FGV) Sendo A o conjunto dos países que têm crédito; B o conjunto dos países que não pe-dem moratória; admitindo que A ⊂ B e que seja verdadeira a seguinte proposição: “Todos os países que têm crédito não pedem morató-ria”, assinale a alternativa que contém afirma-ção falsa.

a) Se um país não tem crédito, então ele pede moratória.

b) Todos os países que pedem moratória não têm crédito.

c) Se um país pede moratória, então ele não tem crédito.

d) Alguns países pedem moratória e não têm crédito.

e) Alguns países têm crédito e não pedem mo-ratória.

7. (FGV) Considere os dois seguintes argumentos: ARGUMENTO 1. Alguns automóveis são verdes e algumas coisas verdes são comestíveis. Logo, alguns automóveis verdes são comestíveis.

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FÍSICA

29

FÍSICAMATEMÁTICA

1. (FGV) Em relação a um código de 5 letras, sabe--se que o código:

– CLAVE não possui letras em comum;

– LUVRA possui uma letra em comum, que está na posição correta;

– TUVCA possui duas letras em comum, uma na posição correta e a outra não;

– LUTRE possui duas letras em comum, ambas na posição correta.

Numerando, da esquerda para a direita, as letras do código com 1, 2, 3, 4 e 5, as informações da-das são suficientes para determinar, no máximo, as letras em:

a) 1 e 2;

b) 2 e 3;

c) 1, 2 e 3;

d) 1, 3 e 4;

e) 2, 3 e 4.

2. (IBMEC – RJ) Durante uma conversa de bar, seis professores discordaram sobre quais ti-mes foram campeões cariocas em três anos remotos (A, B, C). Seus palpites estão na tabe-la a seguir:

ARGUMENTO 2. Alguns brasileiros são ricos e alguns ricos são desonestos. Logo, alguns bra-sileiros são desonestos. Compare os dois argumentos e assinale a al-ternativa correta.

a) Apenas o argumento 2 é válido.

b) Apenas o argumento 1 é válido.

c) Os dois argumentos não são válidos.

d) Os dois argumentos são válidos.

8. (FGV) Um eminente antropólogo afirmou que todos os Afaneus são Zaragós e que todos os

Zaragós são Chumpitazes. Com base nestas afirmações, podemos concluir que:

a) é possível existir um Afaneu que não seja Zaragó;

b) é possível existir um Afaneu que não seja Chumpitaz;

c) é possível existir um Zaragó que não seja Afaneu;

d) nada se pode concluir sem saber o que sig-nifica Afaneu, Zaragó e Chumpitaz.

ANOS

A B C

André Flamengo Flamengo Botafogo

Celso Botafogo Botafogo Flamengo

Ivan Fluminense Fluminense Flamengo

Marcelo Botafogo Flamengo Fluminense

Nazareno Fluminense Botafogo Botafogo

José Luís Botafogo Fluminense Fluminense

Verificou-se, depois, que cada um havia acertado ao menos um palpite. Pode-se garantir que os campões, nos anos A e C, foram, respectivamen-te:

a) Botafogo e Botafogo;

b) Fluminense e Fluminense;

c) Botafogo e Fluminense;

d) Botafogo e Flamengo;

e) Flamengo e Botafogo.

Lógica30

3. (UFF – RJ) As três filhas de Seu Anselmo – Ana, Regina e Helô – vão para o colégio usando, cada uma, seu meio de transporte preferido: bicicleta, ônibus ou moto. Uma delas estuda no Colégio Santo Antônio, outra no São João e outra no São Pedro.

Seu Anselmo está confuso em relação ao meio de transporte usado e ao colégio em que cada filha estuda. Lembra-se, entretanto, de alguns detalhes:

– Helô é a filha que anda de bicicleta;

– a filha que anda de ônibus não estuda no Colé-gio Santo Antônio;

– Ana não estuda no Colégio São João e Regina estuda no Colégio São Pedro.

Pretendendo ajudar Seu Anselmo, sua mulher junta essas informações e afirma:

I. Regina vai de ônibus para o Colégio São Pedro.

II. Ana vai de moto.

III. Helô estuda no Colégio Santo Antônio.

Com relação a estas afirmativas, conclui-se:

a) apenas a I é verdadeira;

b) apenas a I e a II são verdadeiras;

c) apenas a II é verdadeira;

d) apenas a III é verdadeira;

e) todas são verdadeiras.

4. (UFMG) Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa. Sabe-se que:

– essas pessoas formam quatro casais; e

– Carolina não é esposa de Paulo.

Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão sentados, conversando.

Então, é correto afirmar que a esposa de Antônio é:

a) Carolina

b) Júlia

c) Raquel

d) Rita

5. (IBMEC – SP) Partindo de duas ou mais declara-ções, pode-se obter uma nova declaração unindo as primeiras por meio de conectivos (expressões como e, ou, se ..., então ...). Essa nova declara-ção é chamada de tautologia quando for sempre verdadeira, independentemente das declarações que a formaram serem verdadeiras ou falsas. As-sim, a declaração “O céu é azul ou o céu não é azul” é um exemplo de tautologia.

Dentre as declarações abaixo, assinale aquela que representa uma tautologia.

a) Se o Brasil ganhar da França e a Argentina per-der da Itália, então a França ganhará do Brasil.

b) Se Paulo é brasileiro e tem mais de 18 anos, então ele nasceu na Bélgica ou tem mais de 15 anos.

c) Se João tem dois ou mais filhos, então ele tem quatro filhos.

d) Se me pagarem R$ 500,00 ou me derem a passagem de avião, então eu terei na carteira mais de R$ 400,00.

e) Se o prefeito ou o governador comparecerem, então o presidente não virá.

6. (IBMEC – SP) Se a afirmação “Se não é verda-de eu dizer que eu não saiba onde ela não está, então ela não sabe dizer onde eu não estou.” é falsa, então:

a) eu sei onde ela não está e ela sabe onde eu não estou;

b) eu sei onde ela está e ela sabe onde eu não estou;

c) eu sei onde ela não está e ela sabe onde eu estou;

d) eu sei onde ela está e ela sabe onde eu estou;

e) eu não sei onde ela não está e ela não sabe onde eu não estou.

7. (IBMEC – SP) Para responder a essa questão, considere que todo indivíduo que contrai den-gue apresenta febre alta e dores musculares. Carlos e Sílvio deram entrada num hospital com suspeita de dengue. Carlos apresentava febre

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FÍSICA

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FÍSICAMATEMÁTICA

alta e dores musculares, enquanto Sílvio se quei-xava de dores musculares, mas não apresentava febre. A partir dessas informações, pode-se con-cluir que:

a) Carlos e Sílvio certamente contraíram den-gue;

b) Carlos certamente contraiu dengue, e Sílvio pode ou não ter contraído a doença;

c) Carlos certamente contraiu dengue, e Sílvio certamente não contraiu a doença;

d) Carlos pode ou não ter contraído dengue, o mesmo ocorrendo com Sílvio;

e) Carlos pode ou não ter contraído dengue, e Sílvio certamente não contraiu a doença.

8. (IBMEC – SP) Dois irmãos gêmeos, Gilberto e Ro-berto, apesar de fisicamente idênticos, têm uma característica que os diferencia: um deles sem-pre fala a verdade, enquanto o outro sempre mente. Uma pessoa precisa descobrir qual deles é Gilberto, fazendo uma única pergunta a ape-nas um dos dois irmãos, que deverá responder com somente uma dentre duas palavras: sim ou não. Nessas condições, dentre as perguntas abaixo, a única que, respondida por qualquer um dos dois irmãos, permite identificar quem é Gilberto é

a) “Você é Gilberto?”.

b) “Seu irmão gêmeo se chama Gilberto?”.

c) “O Brasil fica na América do Sul?”.

d) “Gilberto é mentiroso?”.

e) “O Brasil fica na Europa?”.

9. (UNIFOR) Certo dia, o Centro Acadêmico de uma Faculdade de Medicina publicou a seguinte no-tícia:

“Todos os alunos serão reprovados em Anatomia!”

A repercussão dessa manchete fez com que a di-reção da faculdade interpelasse os responsáveis e deles exigisse, como forma de retratação, a publicação de uma negação da afirmação feita. Diante desse fato, a nota de retratação pode ter sido:

a) “Nenhum aluno será reprovado em Anato-mia.”

b) “Algum aluno será aprovado em Anatomia.”

c) “Algum aluno será reprovado em Anatomia.”

d) “Se alguém for reprovado em Anatomia, en-tão não será um aluno.”

e) “Todos os reprovados em Anatomia não são alunos.”

10. (UNIFOR) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:

“Todo aluno da Universidade de Fortaleza é inteligente.”

“Existem alunos da Universidade de Fortaleza que não são estudiosos.”

Assim sendo, com relação aos alunos da Univer-sidade de Fortaleza, pode-se concluir correta-mente que, com certeza,

a) alguns não são estudiosos e nem inteligentes.

b) alguns são estudiosos e inteligentes.

c) alguns são estudiosos e não inteligentes.

d) todos são estudiosos e inteligentes.

e) todos os não inteligentes são estudiosos.

11. (INSPER – SP) Ao serem investigados, dois sus-peitos de um crime fizeram as seguintes declara-ções:

Suspeito A: Se eu estiver mentindo, então não sou culpado.

Suspeito B: Se o suspeito A disse a verdade ou eu estiver mentindo, então não sou culpado.

Se o suspeito B é culpado e disse a verdade, en-tão

a) o suspeito A é inocente, mas mentiu.

b) o suspeito A é inocente e disse a verdade.

c) o suspeito A é culpado, mas disse a verdade.

d) o suspeito A é culpado e mentiu.

e) o suspeito A é culpado, mas pode ter dito a verdade ou mentido.

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Anotações