SRIE DUPLA DE FOURIER E CONVERGNCIA DAS SRIES DE FOURIER

Equao do calor

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EQUAO DO CALOR

Rogrio Mello Rangel

Engenahria Mecnica

Mat. 105.40.053-8

Resumo

O presente trabalho analisa a Equao do Calor, que serve para analisar a difuso de calor em slidos. No mesmo, ser resolvido um problema proposto em sala de aula, atravs da definio da Equao (na sua forma mais comum), solucionado em coordenadas cilndricas. Tambm sero desenvolvidas as funes de Bessel, de primeira e segunda ordem, assim como suas relaes, e o mtodo de Frobenius para a resoluo de Equaes Diferenciais. Na concluso, so explicitadas as diversas aplicaes da Equao do Calor na engenharia.

1. Introduo

A equao do calor um modelo matemtico para a difuso de calor em slidos. Este modelo consiste em uma equao diferencial parcial, e tambm conhecida como Equao de Difuso.

Existem diversas variaes da referente equao. Na sua forma mais conhecida, ela modela a conduo de calor em um slido homogneo, isotrpico e que no possua fontes de calor.

Ela de uma importncia fundamental em numerosos e diversos campos da cincia. Na matemtica, so as equaes parablicas em derivadas parciais por antonomsia. A equao de difuso uma verso mais geral da equao do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difuso qumica.

O foco do presente trabalho consiste na aplicao da equao na Engenharia Mecnica, para mostrar um estudo voltado para a rea e alguns exemplos clssicos, em forma de exerccio, com as utilizaes mais corriqueiras.

2. Contexto Histrico da Equao do Calor

Na metade do sculo XVII, motivados pelo problema de vibrao de cordas, matemticos debateram sobre a expanso de funes arbitrria em sries trigonomtricas. DAlambert, Euler, Bernoulli e Lagrange desenvolveram a matemtica da poca e aproximaram do que hoje conhecido como Srie de Fourier.

Utilizando a teoria dos antecessores, em 1807 Fourier submeteu seu primeiro trabalho a Academia Francesa, onde formalizou e solucionou o problema da conduo de calor. Seu trabalho no foi aceito e um concurso foi feito para premiar quem solucionasse o problema. Em 1811, Fourier submeteu novamente seu trabalho, mas a banca julgadora mais uma vez resolveu no public-lo, alegando falta de rigor. A publicao dos seus trabalhos s ocorreu mais tarde, quando Fourier tornou-se secretrio da Academia.

Assim, a teoria de Fourier foi reconhecida, porm no finalizado, pois novos problemas surgiram do seu trabalho. Equaes diferenciais, Anlise, Integral e teoria dos conjuntos foram algumas das reas que desenvolveram-se ou aprimoraram-se depois da teoria de Fourier.

3. Aplicao

Hoje so conhecidas diversas variaes da equao do calor. Na sua forma mais conhecida, ela modela a conduo de calor em um slido homogneo, isotrpico e que no possua fontes de calor, e escrita:

A equao do calor de uma importncia fundamental em numerosos e diversos campos da cincia. Na matemtica, as equaes parablicas em derivadas parciais por antonomsia. Na estatstica, a equao do calor est vinculada com o estudo do movimento browniano atravs da equao de FokkerPlanck. A equao de difuso, uma verso mais geral da equao do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difuso qumica. A equao do calor usado em probabilidade e descreve passeios aleatrios. aplicada em matemtica financeira por esta razo.

tambm importante em geometria Riemanniana e, portanto, topologia: foi adaptada por Richard Hamilton quando definiu o fluxo de Ricci que foi posteriormente usado por Grigori Perelman para resolver a conjectura de Poincar topolgica.

4. LAPLACIANO

4.1 LAPLACIANO EM COORDENADAS POLARES

Seja o Laplaciano operador diferencial em duas dimenses dado por

Que opera uma funo u = u(x,y) de duas variveis. Todavia muitas vezes trabalhar em coordenadas cartesianas pode no ser a melhor forma de se abordar um problema. De acordo com a geometria do problema a utilizao das coordenadas polares pode facilitar a obteno da soluo.

As coordenadas polares so dadas por

Ou ainda

Com essa transformao, a antiga funo u = u(x,y) passa a ser v = v(r,). Derivando-se u utilizando-se a regra da cadeia, pode-se obter

Derivando-se novamente

Utilizando novamente a regra da cadeia

Admitindo-se que u(x,y) de classe C 2, pelo teorema de Schwarz

Logo, podemos escrever uxx como

Analogamente se obtm uyy como

Segundo a definio do Laplaciano

Agora basta resolver as derivadas

1.

2.

3.

4.

5.

Portanto o operador Laplaciano em coordenadas polares se resume a

4.2. LAPLACIANOS EM COORDENADAS CILNDRICAS

Analogamente s coordenadas polares, a transformao das coordenadas cartesianas para as cilndricas dada por

Portanto, como j se calculou uxx e uyy , basta calcular-se uzz . Como no houve qualquer transformao na varivel z, o Laplaciano de uma funo u(x,y,z) em coordenadas cilndricas fica como

5. Funes de Bessel

5.1 - Equao diferencial de Bessel

As funes de Bessel surgem como solues da equao diferencial

n0 (1)

chamada equao diferencial de Bessel. A soluo geral de (1) dada por

(2)

A soluo Jn(x), que tem limite finito quando x tende a zero, chamada funo de Bessel de primeira espcie de ordem n. A soluo Yn(x), que no tem limite finito ( no-limitada) quando x tende a zero, chamada funo de Bessel de segunda espcie de ordem n, ou funo de Neumann.

Se a varivel independente x em (1) substituda por x, ( constante), a equao resultante

(3)

com soluo geral

(4)

A equao diferencial (1) ou (3) obtida, por exemplo, a partir da equao de Laplace expressa em coordenadas cilndricas (, , z).

5.2 - O Mtodo de Frobenius

Um mtodo importante para a obteno de solues de equaes diferenciais tais como a de Bessel, o mtodo de Frobenius. Nesse mtodo, supomos uma soluo da forma

(5)

Onde ck, = 0, para k0, substituindo-se n por n em (6) ou (7), Se n inteiro, ento pode-se mostrar que

(9)

S n no inteiro Jn(x) e J-n(x) so linearmente independentes, e neste caso a soluo geral de (1)

n 0,1,2,3,4,5,6,...

(10)

5.4 - Funes de Bessel de segunda espcie

Define-se a funo de Bessel de segunda espcie de ordem n como

n 0,1,2,3,...

(11)

n =0,1,2,3,...

Quando n = 0,1,2,3,4..., obtemos o seguinte desenvolvimento em srie para Yn(x):

(12)

onde = 0,5772156... a constante de Euler.

(13)

5.5 - Funo Geratriz de Jn(x)

A funo

(12)

a funo geratriz da funo de Bessel de primeira espcie de ordem inteira. d grande utilidade na obteno de propriedades dessas funes para valores inteiros de n propriedades que, freqentemente, podem ser provadas para todos os valores de n.

5.6 - Frmulas de Recorrncia

Os resultados abaixo valem para todo n:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Se n inteiro, tais resultados podem ser demonstrados utilizando a funo geratriz. Observe que os resultados 3 e 4 so equivalentes a 5 e 6, respectivamente.

As funes Yn(x) satisfazem precisamente as mesmas relaes, com Yn(x) substituindo Jn(x).

5.7 - Funes relacionadas s funes de Bessel

1. As funes Hankel de primeira e segunda espcies definem-se, respectivamente, por

(15)

2. Funes de Bessel modificadas. Define-se a funo de Bessel modificada de primeira espcie de ordem n como

(16)

Se n inteiro,

(17)

mas se n no inteiro, In(x) e I-n(x) so linearmente independentes.

A funo de Bessel modificada de segunda espcie de ordem n definida como

n 0,1,2,3,...

(18)

n =0,1,2,3,...

Essas funes verificam a equao diferencial

(19)

e a soluo geral desta equao

(20)

ou, se n 0,1,2,3,4,...,

(21)

3. Funes Ber, Bei, Ker, Kei. As funes Bern(x) e Bein(x) so respectivamente as partes real e imaginria de , onde

(22)

As funes Kern(x) e Kein(x) so respectivamente as partes real e imaginria de , onde

(23)

Essas funes so teis em relao equao

(24)

que surge na engenharia eltrica e em outros campos da tcnica. A soluo geral desta equao

(25)

Se n = 0, costuma denotar-se Bern(x), Bein(x), Kern(x) e Kein(x) por Ber (x), Bei(x), Ker(x), Kei (x), respectivamente.

5.8 - Equaes transformveis na equao de Bessel

A equao

(26)

onde k, , r, so constantes, admite a soluo geral

(27)

onde . Se = 0, a equao uma equao de Cauchy ou Euler e tem como soluo

(28)

5.9 - Frmulas assintticas para funes de Bessel

Para grandes valores de x temos as seguintes frmulas assintticas:

(29)

5.10 - Zeros das funes de Bessel

Pode-se mostrar que, n real, Jn(x) = 0 tem um nmero infinito de razes todas reais. A diferena entre razes sucessivas tende a na medida em que as razes aumentam de valor. Este fato pode ser constatado pela expresso (29). Pode-se ver tambm que as razes de Jn(x) = 0 (os zeros de Jn(s) esto entre as razes de Jn-1(x) =0 e as de Jn+1 (x) = 0. Observaes anlogas valem para Yn(x).

5.11 - Ortogonalidade das funes de Bessel de primeira espcie

Se e so duas constantes diferentes, pode-se mostrar que

(30)

enquanto que

(31)

De (30) pode-se ver que, se e so duas razes distintas quaisquer da equao

(32)

onde R e S so constantes, ento

(33)

o que equivale afirmar que as funes e so ortogonais em (0,1). Notes-se como casos especiais de (32), e podem ser duas razes distintas de Jn(x) = 0 ou d