SUMÁRIOPARTE PRIMEIRA – MATEMÁTICA ELEMENTAR............................................................................1

1. Alguns Conceitos e Nomenclaturas Importantes...............................................................................11.1. As quatro operações...................................................................................................................11.2. Alguns sinais utilizados.............................................................................................................11.3. Frações.......................................................................................................................................2

2. Alguns Conjuntos Numéricos............................................................................................................32.1. Conjunto dos números naturais.................................................................................................32.2. Conjunto dos números inteiros..................................................................................................32.3. Conjunto dos números racionais................................................................................................32.4. Conjunto dos números irracionais.............................................................................................42.5. Conjunto dos números reais.......................................................................................................4

3. Natureza dos Números......................................................................................................................63.1. Números pares e ímpares...........................................................................................................63.2. Números primos e compostos....................................................................................................6

4. Critérios de Divisibilidade.................................................................................................................75. Múltiplos e Divisores........................................................................................................................8

5.1. Múltiplos....................................................................................................................................85.2. Divisores....................................................................................................................................8

6. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) e Máximo Divisor Comum (M.D.C).......................................96.1. Mínimo Múltiplo Comum..........................................................................................................96.2. Máximo Divisor Comum...........................................................................................................9

7. Operações Com Números Inteiros – Regra de Sinais......................................................................117.1. Adição e subtração...................................................................................................................117.2. Multiplicação e divisão............................................................................................................11

8. Operações Com Números Decimais................................................................................................128.1. Algumas considerações acerca dos números decimais............................................................128.2. Adição e subtração...................................................................................................................128.3. Multiplicação...........................................................................................................................138.4. Divisão.....................................................................................................................................13

9. Operações Com Frações..................................................................................................................179.1. Multiplicação...........................................................................................................................179.2. Divisão.....................................................................................................................................179.3. Adição e subtração...................................................................................................................17

10. Propriedades da Adição e da Subtração Com Números Reais......................................................1810.1. Adição....................................................................................................................................1810.2. Multiplicação.........................................................................................................................18

11. Potenciação....................................................................................................................................1911.1. Propriedades das potências....................................................................................................19

12. Radiciação.....................................................................................................................................2012.1. Definição................................................................................................................................2012.2. Propriedades das raízes..........................................................................................................20

13. Igualdades: Resolvendo Equações do 1º grau...............................................................................2113.1. O que é uma equação.............................................................................................................2113.2. Resolvendo equações do 1º grau...........................................................................................21

14. Geometria......................................................................................................................................2314.1. Alguns conceitos básicos.......................................................................................................2314.2. Algumas áreas importantes....................................................................................................24

PARTE SEGUNDA – CURIOSIDADES, ERROS COMUNS, DICAS E MAIS...................................261. O Que Significam Expressões do Tipo 2a ou 2x?...........................................................................26

1.1. O que é uma variável...............................................................................................................261.2. O que é uma incógnita.............................................................................................................26

2. Por que x + x = 2x?.........................................................................................................................273. Por que a∙0=0, independentemente do valor de a?..........................................................................28

4. Por que não podemos dividir por zero?...........................................................................................295. Por que a0=1, para a≠0?...................................................................................................................306. Certo ou errado?..............................................................................................................................317. Por que (-1)∙(-1)=1?.........................................................................................................................328. Comentários e curiosidades sobre os conjuntos numéricos............................................................33

8.1. Dos irracionais.........................................................................................................................338.2. Do número pi e de sua irracionalidade....................................................................................338.3. Dos cálculos feitos com o número pi.......................................................................................348.4. A questão do infinito nos conjuntos numéricos.......................................................................35

INFORMAÇÕES EXTRAS.....................................................................................................................381. Do escrito.........................................................................................................................................382. Dos programas utilizados................................................................................................................383. Das fontes utilizadas........................................................................................................................38

PARTE PRIMEIRA – MATEMÁTICA ELEMENTAR

1. ALGUNS CONCEITOS E NOMENCLATURAS

IMPORTANTES

1.1. As quatro operações

Numa adição, os números que estão

sendo adicionados são chamados de parcelas. O

resultado da operação é chamado soma.1

Exemplo: em 3+5=8, temos:

➢ 3 e 5 são as parcelas

➢ 8 é a soma

Na multiplicação, os números que estão

sendo multiplicados são denominados fatores. O

resultado da operação é chamado produto.

Exemplo: em 2⋅5=10, temos:

➢ 2 e 5 são os fatores

➢ 10 é o produto

Na subtração, o primeiro número é

chamado de minuendo; o segundo, de

subtraendo. O resultado da operação é chamado

diferença.

1 Evite, portanto, afirmações do tipo: “Vamos somar 3 e 5...” ou “Somando tudo...”, pois a soma é o resultado da operação e não a operação em si.

Exemplo: em 66−7=59, temos:

➢ 66 é o minuendo

➢ 7 é o subtraendo

➢ 59 é a diferença

Por fim, na divisão, temos:

1.2. Alguns sinais utilizados

Para a multiplicação, podemos utilizar os

seguintes sinais:

⋅× ∗

Já para a divisão, utilizamos qualquer um

dos sinais seguintes:

÷ / :

Evidentemente, uma fração também

representa uma divisão. Dessa forma, podemos

escrever:

20÷10=2010

=20 /10=20 :10

1

1.3. Frações

Em uma fração, o número de cima é dito

numerador; o número de baixo é o

denominador. Por exemplo, na fração 38 dizemos

que 3 é o numerador e que 8 é o denominador. O

numerador, portanto, é a quantidade considerada;

o denominador é o número de divisões feitas do

todo.

14

34

Nota: a porcentagem é uma fração com

denominador igual a 100. Veja:

21%=21100

Isto é, quando falamos em 21% de algo, é

o mesmo que dividirmos esse algo em 100 partes

e tomarmos vinte e uma delas.

2

2. ALGUNS CONJUNTOS NUMÉRICOS

Os vários tipos de números são divididos

em diversos conjuntos, chamados conjuntos

numéricos. Cada conjunto numérico se diferencia

do outro pela natureza de seus elementos. Dessa

forma, temos um conjunto no qual estão apenas

os números utilizados em contagens; temos outro

no qual estão os números decimais e as frações; e

assim por diante. Até o final do Ensino Médio,

são estudados seis conjuntos numéricos, sendo

cinco no Ensino Fundamental e mais um no

Ensino Médio. No Ensino Fundamental, são

estudados os conjuntos a seguir.

2.1. Conjunto dos números naturais

O conjunto dos números naturais pode ser

representado por:

ℕ={0,1,2 ,3 ,4 ,...}

Os números naturais são, por assim dizer,

os números utilizados nas contagens simples.

2.2. Conjunto dos números inteiros

É representado por:

ℤ={... ,−3,−2,−1,0 ,+1,+2,+3,...}

Nota: em geral, quando escrevemos um número

positivo, omitimos o sinal +. Dessa forma, um

número sem o sinal deve ser interpretado como

número positivo.

Observe que os números naturais estão

todos inclusos no conjunto ℤ. Dizemos, assim,

que ℤ contém ℕ ou que ℕ está contido em ℤ e

escrevemos:

ℕ⊂ℤ

2.3. Conjunto dos números racionais

Observe que os números com vírgula bem

como as frações não estão presentes no conjunto

dos números naturais e nem tampouco no

conjunto dos números inteiros. Chamamos de

conjunto dos números racionais o conjunto

numérico formado por todos os números que

podem ser representados por frações.

Sua representação é:

ℚ={x∣x=pq

,com p∈ℤ , q∈ℤe q≠0}

Evidentemente, qualquer número inteiro

também faz parte do conjunto dos números

racionais, pois, por exemplo, 2 pode ser escrito

como:

21

Ou seja, qualquer número inteiro pode ser

expresso como uma fração. Isso significa que o

conjunto dos números inteiros está contido no

conjunto dos números racionais Além disso,

3

números decimais como 1,5 ou 4,75 também são

racionais, pois podem ser representados por uma

fração:

32=1,5 e

194=4,75

Nota: como foi visto, podemos representar

qualquer fração por pq , onde p, que é o

numerador da fração, é um número inteiro

qualquer, e q, que é o denominador da fração, é

um número inteiro diferente de zero: precisa ser

diferente de zero, porquanto não podemos dividir

um número por zero, ou seja, não existe fração

com denominador igual a zero. Também não

existe fração formada por números com vírgula:

50

ou 1,513

não são considerados frações

2.4. Conjunto dos números irracionais

O conjunto dos números irracionais é

formado por todos os números que não podem

ser expressos como frações, isto é, aqueles

números formados por infinitas casas decimais e

que não se repetem de forma periódica.

Um exemplo famoso de número

irracional é o número π (lê-se pi), resultado da

divisão do comprimento de uma circunferência

qualquer pela medida de seu diâmetro:

π=comprimento

diâmetro

O quociente dessa divisão é sempre

constante e vale, independentemente do tamanho

da circunferência:

π = 3,14159265358979323846264338...

Notas:

✔ Números como 3,3333... não são

considerados irracionais, pois as casas

decimais se repetem, isto é, podem ser

escritos como uma fração. São, portanto,

racionais. Abaixo, dois exemplos:

103=3,333... e

159=1,666...

✔ Toda raiz quadrada não exata resulta em

um número irracional. São exemplos: √3,

√5, √6, √7, √8, √10 etc.

✔ O conjunto dos números irracionais não

contém e não está contido no conjunto

dos números racionais. Além disso, eles

não possuem elementos em comum –

dizemos, portanto, que são conjuntos

disjuntos, isto é, são completamente

diferentes.

2.5. Conjunto dos números reais

É representado pela letra ℝ e é formado

pela reunião de todos os outros conjuntos já

vistos até aqui.

Abaixo, temos um diagrama mostrando a

relação entre os conjuntos numéricos:

4

Observe que ℕ está contido em ℤ, que

por sua vez está contido em ℚ. Os irracionais (I)

estão separados. E todos juntos formam ℝ.

5

3. NATUREZA DOS NÚMEROS

3.1. Números pares e ímpares

Um número natural é dito par quando

termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Uma outra forma de

expressar isso é dizendo que um número é par

quando pode ser dividido por 2. Os outros

números são chamados de números ímpares.

3.2. Números primos e compostos

Um número natural é dito primo quando

só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo.

Exemplos: 2,3,5,7,11,13,...

Um número natural é dito composto

quando possui, além do 1 e dele mesmo, outros

divisores, como o 10, que pode ser dividido por

1, por 2, por 5 e por ele mesmo.

6

4. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Dizemos que um número é divisível por

outro quando este outro o divide deixando resto

zero.

Os principais critérios de divisibilidade

são:

Por 2: um número é divisível por 2 quando é par.

Por 3: Um número é divisível por 3 quando a

soma dos valores absolutos2 dos algarismos que

o compõem é divisível por 3.

Exemplo: 249 é divisível por 3, pois

2+4+9=15, e 15 é divisível por 3.

Por 4: Um número é divisível por 4 quando os

seus dois últimos algarismos constituem um

número divisível por 4.

Exemplo: 1.216 é divisível por 4, pois os dois

últimos algarismos (1 e 6) formam um número

(16) divisível por 4.

Por 5: Um número é divisível por 5 quando

termina em 0 ou em 5.

Por 6: Um número é divisível por 6 quando for,

ao mesmo tempo, divisível por 2 e por 3.

Por 9: Um número é divisível por 9 quando a

2 Valor absoluto de um número é a distância dessenúmero ao zero na reta numérica. Em outras palavras: ovalor absoluto de um número positivo é ele próprio; seo número for negativo, invertemos o seu sinal e otornamos positivo. Lembre-se que não existe distâncianegativa.

soma dos valores absolutos dos algarismos que o

compõem é divisível por 9. Este critério é

idêntico ao critério de divisibilidade do número

3.

Por 10: um número é divisível por 10 quando

termina em zero.

7

5. MÚLTIPLOS E DIVISORES

5.1. Múltiplos

Um número é múltiplo de outro quando é

o produto desse outro número por um número

natural. Para obtermos o conjunto dos múltiplos

de um número, multiplicamos ele por cada

elemento que compõe o conjunto dos números

naturais.

Exemplo: os múltiplos de 12 são:

12⋅0=012⋅1=1212⋅2=2412⋅3=36

⋮

Logo: M (12)={0,12 ,24,36 , ...}

Notas:

✔ Como o conjunto dos números naturais é

infinito, então o conjunto dos múltiplos

de um número também é infinito;

✔ O zero é múltiplo de todos os números.

5.2. Divisores

Um número é divisor de outro quando o

divide e deixa resto zero. Por exemplo, dizemos

que 2 é divisor de 12, pois o resto da divisão de

12 por 2 é 0. Neste último caso, também dizemos

que 12 é divisível por 2. Evidentemente, além do

2, o 12 tem outros divisores. Representamos

assim o conjunto cujos elementos são os

divisores de 12:

D(12)={1,2 ,3,4 ,6 ,12}

Notas:

✔ O 1 é divisor de todos os números;

✔ O conjunto dos divisores de um número é

sempre finito.

8

6. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C) EMÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C)

6.1. Mínimo Múltiplo Comum

Dados dois ou mais números, o M.M.C

desses números é o menor múltiplo, diferente de

zero, que eles têm em comum.

Exemplo: vamos determinar o M.M.C de 3 e 4.

Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,...

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...

Neste caso, os múltiplos comuns de 3 e

de 4 são 0, 12, 24,... O M.M.C então é o 12, pois

trata-se do menor múltiplo comum diferente de

zero.

6.1.1. Cálculo do M.M.C

A forma mais usada para se calcular o

M.M.C de dois ou mais números é o processo de

decomposição simultânea. Tal processo consiste

em decompor, ao mesmo tempo, os números

dados em fatores primos. Para tanto, escrevemos

os números numa mesma linha e traçamos uma

reta vertical à direita do último número. À direita

da linha ficarão os divisores primos; abaixo de

cada número à esquerda ficarão os quocientes

obtidos. Fazemos o processo até obtermos o

quociente 1 para todos os números. Ao final, o

produto dos fatores primos será o M.M.C dos

números em questão.

Exemplo: vamos calcular o M.M.C de 24, 32 e

48.

Portanto, teremos:

M .M .C (24, 32, 48)=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅3=25⋅3=96

6.2. Máximo Divisor Comum

O M.D.C de dois ou mais números é o maior

divisor dentre os divisores comuns dos números

dados.

Exemplo: vamos determinar o M.D.C de 12 e 30.

Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Note que os divisores comuns são 1, 2, 3

e 6. Como o maior deles é o 6, então o M.D.C

será 6.

6.2.1. Cálculo do M.D.C

O método mais utilizado para se

determinar o M.D.C de dois ou mais números é o

seguinte: primeiro, decompõem-se os números

dados em fatores primos. Depois, calcula-se o

9

produto dos fatores comuns aos números,

utilizando, em caso de repetição, os fatores com

menores expoentes.

Exemplo: determinar o M.D.C de 24, 30 e 42.

Fatorando cada número em fatores

primos, teremos:

Logo:

24=2⋅2⋅2⋅3=23⋅3

30=2⋅3⋅542=2⋅3⋅7

Os fatores que se repetem são o 2 e o 3.

Para o caso do 2, temos 23 (que aparece no 24) e

2 (que aparece tanto no 30 como no 42). Como

devemos calcular o produto dos fatores comuns

aos números e com menores expoentes, então

descartamos o 23. Portanto:

M.D.C 24,30 ,42=2⋅3=6

10

7. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS –REGRA DE SINAIS

7.1. Adição e subtração

Se os números apresentarem sinais

diferentes, subtraímos e conservamos o sinal do

número que tem maior valor absoluto. Se os

sinais dos números forem iguais, somamos e

conservamos o sinal.

Exemplos:

a) 5+3=8b) −5−3=−8c) 10−15=−5d) 18−7=11

7.2. Multiplicação e divisão

Multiplicamos ou dividimos

normalmente, fazendo a seguinte relação de

sinais:

++→+−−→++−→−−+→−

Ou seja, o produto ou o quociente de

números que possuem o mesmo sinal é positivo;

se os números têm sinais contrários, então o

produto ou o quociente será negativo.

Exemplos:

a) 13÷13=1b) 25⋅2=−50c) 13÷(−13)=−1d) 25⋅(−2)=−50

e)−15−3

=5

Nota: todas essas regras valem também para

operações no conjunto dos números reais.

11

8. OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS

8.1. Algumas considerações acerca dosnúmeros decimais

Toda fração representada em notação

decimal é chamada número decimal.

Exemplo: 1510

=1,5

Aqui, temos um mesmo número

representado de duas formas: sob a forma de

fração e como número decimal.

8.1.1. Propriedades dos números decimais

Primeira propriedade: um número

decimal não se altera quando se acrescenta ou se

retira um ou mais zeros de sua parte decimal.

Exemplo: 0,7=0,70=0,700=0,7000

Segunda propriedade: quando desejamos

multiplicar um número decimal por 10; 100;

1000; … basta deslocarmos a vírgula para a

direita de uma, duas, três, … casas decimais,

conforme o número de zeros do fator

multiplicador.

Exemplos:

a) 27,342⋅10=273,42b) 27,342⋅100=2734,2c) 27,342⋅1000=27342d) 27,342⋅10000=273420

Terceira propriedade: quando desejamos

dividir um número decimal por 10; 100; 1000; …

basta deslocarmos a vírgula para a esquerda de

uma, duas, três, … casas decimais, conforme o

número de zeros do divisor.

Exemplos:

a) 27,342÷10=2,7342b) 27,342÷100=0,27342

8.2. Adição e subtração

Basta colocar os números normalmente

de tal modo que a vírgula do número de cima

fique na mesma coluna que a vírgula do número

de baixo, isto é, vírgula abaixo de vírgula.

Depois, fazemos a conta normalmente, baixando

a vírgula ao final.

Exemplo: vamos adicionar e subtrair os números

5,35 e 1,8.

12

8.3. Multiplicação

Basta multiplicar normalmente, como se

os números fossem naturais. Ao final, contamos

quantas casas decimais há no multiplicando e no

multiplicador, adicionando ambas as quantidades

e deixando a mesma quantidade de casas no

produto.

Exemplo: vamos multiplicar 10,5 por 2,2.

8.4. Divisão

8.4.1. Dividindo dois números que apresentam

casas decimais

Primeiro, deve-se eliminar a vírgula,

andando uma casa de cada vez nos dois números

até que não haja mais casas decimais depois da

vírgula (podemos fazer isso com a vírgula, pois

deslocar a vírgula uma casa é o mesmo que

multiplicar o número por 10; como, numa

divisão, podemos multiplicar o dividendo e o

divisor por um mesmo número que o quociente

não se altera, então, em um caso particular,

podemos multiplicar ambos por 10, ou seja,

podemos deslocar a vírgula uma casa que o

quociente não vai se alterar). Não tendo mais

vírgula, dividimos os dois números normalmente.

Exemplo: para dividirmos 8,2 por 4,1;

procedemos assim:

8,2÷4,1=8,24,1

=8,2⋅104,1⋅10

=8241

=2

ou

Neste último caso, no Passo 1 apenas

armamos a conta; no Passo 2, deslocamos a

vírgula uma casa para a direita. Agora, basta

dividirmos normalmente 82 por 41:

8.4.2. Fazendo divisões não exatas

Quando a divisão é exata, o resto é

sempre zero. Nos casos em que o resto é

diferente de zero, dizemos que a divisão não é

exata. Nesses casos, o quociente apresentará, se

continuarmos a divisão, casas decimais. E como

continuar a divisão? Acrescentando um zero no

resto e também uma vírgula no quociente.

Exemplo: vamos dividir 10 por 3.

Chegando aqui, para continuarmos

dividindo, acrescentamos um zero no resto, uma

vírgula no quociente e prosseguimos com a

13

divisão; em outras palavras, como 1 inteiro é

igual a 10 décimos, nós deixamos de dividir o 1 e

passamos a dividir os 10 décimos, motivo pelo

qual devemos acrescentar uma vírgula no

quociente, pois passamos a trabalhar com

décimos agora, e os décimos sempre vêm depois

da vírgula.

Logo, 10 dividido por 3 é igual a 3,3. Se,

ainda assim, quisermos continuar dividindo (já

que o resto ainda não foi zero), acrescentamos

um zero no resto e continuamos a divisão (neste

caso, não precisamos mais acrescentar uma

vírgula no quociente, já que ela já está lá):

Vemos assim que, se continuarmos dividindo,

obteremos 3,3333333333... como quociente, ou

seja, é uma divisão que nunca acaba, pois o resto

nunca é igual a zero.

8.4.3. Observações importantes acerca da

divisão

Observação 1: quando o dividendo for

menor do que o divisor, acrescentamos um zero

nele e um zero e uma vírgula no quociente para

podermos efetuar a divisão.

Exemplo: vamos dividir 5 por 50.

Nota: caso precisemos acrescentar dois zeros no

dividendo, então acrescentamos um zero, uma

vírgula e mais um zero no quociente; se

precisarmos acrescentar três zeros, então

acrescentamos um zero, uma vírgula e mais dois

zeros no quociente, e assim por diante. Além

disso, podemos também acrescentar um zero no

resto para continuarmos uma divisão: se fizermos

isso, devemos colocar uma vírgula no quociente.

Observação 2: caso precisemos “descer”

dois números para continuar uma divisão,

devemos acrescentar um zero no quociente.

Exemplo: para dividirmos 912 por 3,

procedemos assim:

Observe que, mesmo descendo o 1, não é

possível continuar a divisão, pois 1 é menor do

que 3. Dessa forma, descemos o 2,

acrescentamos um zero no quociente e

continuamos a divisão:

14

Uma outra forma de enxergar isso, e essa

é a forma correta, é: na verdade, o 1, mesmo

sendo menor, pode ser dividido por 3, e o

resultado dessa divisão é zero, pois 0⋅3=0, e 0 é

o valor mais próximo de 3 que podemos

encontrar. Daí, dividimos o 1 pelo 3 (que dá

zero) e continuamos a divisão normalmente.

Observação 3: se, no dividendo, ao final

da divisão, ficar um número sem “descer”, e se

esse número for um zero, devemos acrescentar

um zero no quociente para encerrar a divisão.

Caso sobrem dois zeros, devemos acrescentar

dois zeros no quociente, e assim por diante.

Exemplo: dividindo 950 por 5, teremos:

Observe que, depois que baixamos o 5,

ficamos com 45÷5 , o que dá 9. O resto então dá

zero, mas o zero do 950 ficou sem descer. Dessa

forma, acrescentamos um zero no quociente para

o processo de divisão terminar:

Nota: se o número que ficar sem descer for

diferente de zero, também para finalizar a divisão

devemos acrescentar um zero no quociente e

considerar o número que não desceu como o

resto.

Exemplo: dividindo 951 por 5, teremos:

Neste caso, podemos até descer o 1, mas

ele é menor do que 5 e por isso mesmo a divisão

não pode continuar (a não ser, claro, que

continuemos a dividir com vírgula). Daí, se

quisermos encerrar a divisão assim mesmo,

colocamos um zero no quociente e consideramos

o 1 como o resto:

Observação 4: não podemos dividir um

número por zero.

Observação 5: o resto é sempre menor

que o divisor. Isso significa que, caso você esteja

15

dividindo e, no final, o resto seja maior que o

divisor, é porque a divisão está errada.

Observação 6: em qualquer divisão,

temos:

dividendo = quociente⋅divisorresto

Nota: esta é a relação fundamental da divisão.

16

9. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

9.1. Multiplicação

Basta multiplicarmos numerador por

numerador e denominador por denominador.

Exemplo: 43⋅

23=

4⋅23⋅3

=89

9.2. Divisão

Para dividirmos uma fração por outra,

repetimos a primeira fração e multiplicamos pelo

inverso da segunda.

Exemplo: 54÷

35=

54⋅

53=

5⋅54⋅3

=2512

9.3. Adição e subtração

Para adicionarmos ou subtrairmos frações

de mesmo denominador, basta repetirmos o

denominador e adicionarmos ou subtrairmos os

numeradores.

Exemplo: 1211

+4

11=

12+411

=1611

Se as frações envolvidas não têm o

mesmo denominador, é preciso transformar os

seus denominadores de tal modo que fiquem

iguais. Trata-se de encontrar duas frações

equivalentes às primeiras e que possuem um

denominador em comum.

Exemplo: 125+

46=?

Para deixarmos essas duas frações com o

mesmo denominador, primeiro calculamos o

M.M.C entre eles:

O M.M.C entre 5 e 6 é, portanto,

2⋅3⋅5=30. Agora, colocamos o 30 como

denominador das duas frações e o dividimos

pelos denominadores originais, multiplicando o

resultado obtido pelo numerador correspondente,

obtendo assim os novos numeradores:

125

46=30÷5⋅12

3030÷6⋅4

30=

7230

2030

=9230

17

10. PROPRIEDADES DA ADIÇÃO E DA

SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS REAIS

10.1. Adição

Propriedade comutativa: a ordem das

parcelas não altera a soma.

Exemplo: 23=32=5

Propriedade associativa: numa adição

com mais de duas parcelas, podemos associar as

parcelas de diferentes modos que a soma não se

altera.

Exemplo: 238=238=13

Existência do elemento neutro: o zero é

o elemento neutro da adição. Isso significa que o

zero como parcela de uma adição não influencia

o resultado final.

Existência do elemento oposto: dado um

número a, sempre existe um número que

adicionado a a tem como soma 0. Este número é

denotado por −a e é chamado de oposto ou

simétrico de a.

Exemplo: o oposto de 5 é −5, pois 5−5=0.

10.2. Multiplicação

Propriedade associativa: em uma

multiplicação com três ou mais números,

podemos associar os fatores de diferentes modos

que o produto não se altera.

Exemplo: 2⋅5⋅3=2⋅5⋅3=30

Propriedade comutativa: a ordem dos

fatores não altera o produto.

Exemplo: 2⋅5=5⋅2=10

Existência do elemento neutro: o 1 é o

elemento neutro da multiplicação.

Existência do elemento inverso: qualquer

número real não-nulo a tem um inverso 1a tal que

a⋅1a=1.

Exemplo: o inverso de 5 é 15

, pois 5⋅15=1.

Propriedade distributiva da

multiplicação em relação à adição: o produto de

um número por uma adição é igual à soma dos

produtos desse número pelas parcelas da adição.

Exemplo: 3⋅54=3⋅53⋅4=1512=27

18

11. POTENCIAÇÃO

Pode-se dizer que é um caso particular da

multiplicação quando os fatores são iguais. Por

exemplo:

3⋅3⋅3⋅3=81

Como o 3 se repete 4 vezes, podemos

escrever isso, abreviadamente, assim:

34=81

De uma maneira geral, escrevemos:

a1=aa2=a⋅a

a3=a⋅a⋅a

⋮

an=a⋅a⋅a⋅a⋅⋅an vezes

Notas:

✔ a0=1, a≠0

✔ a−n=

1

an, a≠0

11.1. Propriedades das potências

✔ am⋅an=amn

✔ am÷an

=am−n , a≠0

✔ amn=am⋅n

✔ a⋅bn=an⋅bn

✔ a÷b n=an÷bn , b≠0

Exemplos:

a) 150=1

b) 2−2=

1

22=

14

c) 39⋅3−8

=39+(−8)=31

=3

d)−133

−131 =−133−1=−132

=169

e) (42)3=42⋅3=46

f) (2⋅5)2=22⋅52

=4⋅25=100

g) (10÷5)2=102÷52=100÷25=4

19

12. RADICIAÇÃO

A radiciação é a operação inversa da

potenciação. Observe:

72=49

49=7

Ou seja, o que uma faz, a outra desfaz.

12.1. Definição

Sendo n um número natural diferente de

zero e a um número real, dizemos que n√a é o

número real b tal que bn=a.

12.2. Propriedades das raízes

✔ n√a⋅n√b=n√a⋅b

✔n√an√b

=n√ a

b, com b≠0

✔ (n√a )

k=

n√a k

✔ m√ n√a=

m⋅n√a

Exemplos:

a) √8⋅√8=√8⋅8=√64=8

b)3√16

3√2

=3√ 16

2=

3√8=2

20

13. IGUALDADES: RESOLVENDO EQUAÇÕES DO

1º GRAU

13.1. O que é uma equação

Na Matemática, temos basicamente dois

tipos de sentenças3: as sentenças abertas e as

sentenças fechadas.

Uma sentença é fechada quando pode ser

classificada em verdadeira ou falsa. Como

exemplo, observe que a sentença 9<5 pode ser

classificada em verdadeira ou falsa (no caso, ela

é falsa).

Uma sentença é dita aberta quando não

pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Por

exemplo, a sentença 3⋅x=3 é uma sentença

aberta, pois não podemos dizer se ela é

verdadeira ou falsa4.

Uma equação nada mais é do que uma

sentença aberta expressa por uma igualdade.

Exemplos:

a) 3 x=15b) −5 x2

+2=−9c) √16−x=4

13.2. Resolvendo equações do 1º grau

Uma equação que pode ser escrita na

forma a⋅x+b=0, com a e b racionais e a≠0, é

chamada de equação do 1º grau.

3 Sentença aqui deve ser entendido como uma frase, umaafirmação.

4 Virá a ser verdadeira ou falsa quando dermos um valorpara x. Por exemplo, para x=1, a sentença se tornaverdadeira; para qualquer outro valor de x, ela é falsa.

Para resolvermos equações do 1º grau,

utilizamos dois princípios:

Primeiro princípio: se adicionarmos ou

subtrairmos um mesmo número a ambos os

membros de uma igualdade, a igualdade não se

altera.

Exemplo: 2=2⇒2+1=2+1⇒3=3

Segundo princípio: se multiplicarmos ou

dividirmos por um mesmo número, diferente de

zero5, os dois lados de uma igualdade, a

igualdade não se altera.

Exemplo: 15=15⇒15⋅2=15⋅2⇒30=30

A partir desses dois princípios, podemos

resolver qualquer equação do 1º grau.

Exemplo 1: vamos resolver a equação x1=5.

Neste caso, precisamos eliminar o 1

presente no primeiro membro da igualdade para

deixarmos o x sozinho. Basta, então, tirarmos 1

de ambos os lados da igualdade:

x+1=5⇒ x+1−1=5−1⇒ x=4

Exemplo 2: vamos resolver a equação 2⋅x=10.

Para resolvermos essa equação,

precisamos eliminar o 2 que multiplica o x. Para

isso, multiplicamos ambos os lados da igualdade

5 O número precisa ser diferente de zero, pois não hádivisão por zero.

21

por 12 (o que equivale a dividir por 2):

2 x=10⇒2 x⋅12=10⋅

12⇒

⇒2 x1⋅

12=

101⋅

12⇒

⇒2 x2=

102⇒ x=5

De forma mais direta, podemos resolver

as equações dos exemplos 1 e 2 assim:

x+1=5⇒ x=5−1⇒ x=4

e

2 x=10⇒ x=102⇒ x=5

De um modo geral, dizemos que, quando

passamos um número para o outro lado da

igualdade, “invertemos” o seu sinal: quando é

positivo, passa negativo; quando é negativo,

passa positivo; quando está multiplicando, passa

dividindo; e quando está dividindo, passa

multiplicando6.

Exemplo 3:

2 x+5=10⇒⇒2 x=10−5⇒⇒2 x=5⇒

x=52⇒ x=2,5

6 Observe que isso é uma consequência dos doisprincípios mencionados acima, ou seja, a formarealmente correta de se resolver é utilizando osprincípios.

Exemplo 4:

6 x=8 x−2⇒6 x−8 x=−2⇒−2 x=−2⇒

⇒ x=−2−2

⇒ x=1

Exemplo 5:

−15 x2

=15⇒−15 x=15⋅2⇒−15 x=30⇒

⇒ x=30−15

⇒ x=−2

Exemplo 6:

2 x2=15 x+1⇒

⇒2 x=2⋅(15 x+1)⇒⇒2 x=30 x+2⇒⇒2 x−30 x=2⇒

⇒−28 x=2⇒ x=2

−28=−

114

22

14. GEOMETRIA

14.1. Alguns conceitos básicos

Em geometria euclidiana plana,

consideramos como elementos primitivos o

ponto, a reta e o plano. Por serem elementos

primitivos, eles não têm definição.

14.1.1. Segmento

O conjunto constituído por dois pontos A

e B e por todos os pontos que estão entre A e B é

chamado segmento AB.

14.1.2. Semirreta

Se A e B são pontos distintos, o conjunto

formado pelos pontos do segmento AB e por

todos os pontos C tais que B encontra-se entre A

e C, é chamado de semirreta de origem A

contendo o ponto B.

14.1.3. Ângulo

Chamamos de ângulo a figura formada

por duas semirretas com a mesma origem.

14.1.4. Polígono

Ao conjunto de segmentos consecutivos

AB, BC, CD, … dá-se o nome de linha poligonal.

Denomina-se polígono toda região do

plano limitada por uma linha poligonal fechada

em que os lados não se cruzam.

14.1.4.1. Elementos de um polígono

No polígono acima, temos:

➢ Vértices: A, B, C, …

➢ Lados: AB, BC, …

➢ Diagonais: AC, AD, …

23

14.1.5. Quadriláteros

Todo polígono que possui quatro lados é

denominado quadrilátero.

Os quadriláteros se classificam em

paralelogramos e trapézios.

14.1.5.1. Paralelogramo

É o quadrilátero que possui os lados

opostos paralelos. Classificam-se em:

➢ Retângulo: paralelogramo que possui

quatro ângulos de mesma medida.

➢ Losango: paralelogramo que possui os

quatro lados de mesma medida.

➢ Quadrado: paralelogramo cujos lados

têm a mesma medida e cujos ângulos

também têm.

14.1.5.2. Trapézio

É o quadrilátero que possui apenas dois

lados paralelos.

14.1.6. Circunferência

Seja A um ponto do plano e r um número

real positivo. A circunferência de centro A e raio

r é o conjunto constituído por todos os pontos B

do plano tais que AB=r.

14.2. Algumas áreas importantes

14.2.1. Retângulo e paralelogramo

Área = b⋅h

14.2.2. Quadrado

Área = l⋅l=l 2

14.2.3. Losango

Área = D⋅d

2

14.2.4. Triângulo

Área = b⋅h2

24

14.2.5. Trapézio

Área = Bb⋅h

2

14.2.6. Círculo

Área = ⋅r 2, (≈3,14)

25

PARTE SEGUNDA – CURIOSIDADES, ERROS COMUNS, DICAS EMAIS

1. O QUE SIGNIFICAM EXPRESSÕES DO TIPO

2a OU 2x?

A princípio, ambas representam um

produto.

No Ensino Fundamental, ensina-se que,

caso não haja riscos de ambiguidade, nós

podemos omitir o sinal que representa a

multiplicação. Dessa forma, 2 a=2⋅a=2×a (o

mesmo vale para 2x). Já a mesma omissão não

podemos fazer para 2⋅5, pois, ao omitirmos o

sinal, ficamos com 25.

Por outro lado, 2a ou 2x podem ter

significados mais abrangentes. O a e o x podem

estar fazendo o papel de variáveis ou de

incógnitas.

1.1. O que é uma variável

Em Matemática, uma letra é uma variável

quando pode assumir vários valores diferentes de

um dado intervalo.

Exemplo: imagine que você seja um vendedor de

uma loja de roupas e que seu salário seja dado

assim: vencimento inicial de R$ 400,00 mais

10% sobre tudo o que você vende durante o mês.

Essa situação pode ser representada assim:

S=4000,1 a

Onde S é o salário e a, o total de vendas.

Neste caso, como o total de vendas é uma

grandeza variável, então a poderá receber vários

valores diferentes. Dizemos, então, que a é uma

variável.

1.2. O que é uma incógnita

Já uma incógnita também é representada

por uma letra, porém essa letra só pode assumir

um único valor, isto é, já existe um valor fixo

para ela, apenas não o conhecemos.

Exemplo: “A minha idade menos cinco é igual

ao dobro de trinta menos quarenta”. Essa

situação pode ser representada por:

x−5=2⋅30−40

Neste caso, a “minha idade” é um valor

fixo, único, apenas é necessário determiná-lo.

Para isso, resolvemos a equação:

x−5=2⋅30−40⇒⇒ x−55=2⋅30−405⇒

⇒ x=2⋅30−35⇒x=25

Nota: o tipo de letra usada não determina a sua

natureza. Isso quer dizer que, ao tentarmos

resolver um problema, podemos usar x, a ou

qualquer outra letra.

26

2. POR QUE X + X = 2X?

Essa pergunta nos remete a um dos

conceitos da multiplicação: multiplicar um

número a por um número b equivale a adicionar

o número b a si mesmo a vezes. Assim:

3⋅4=444ou

3⋅4=3333

Dessa forma, 2 x=x x, e o problema

estaria resolvido. No entanto, o conceito de

multiplicação referido acima é deficiente, pois,

para alguns casos, ele não faz sentido7.

Para mostrarmos que xx=2 x, podemos

recorrer às propriedades da multiplicação:

xx=1⋅x1⋅x (elemento neutro)1⋅x1⋅x= x⋅11 (distributiva)

x⋅11= x⋅2x⋅2=2⋅x=2x (comutativa)

Portanto, partimos de xx e chegamos

em 2 x, ou seja, xx=2 x.

Nota: por aí vemos por que não faz sentido fazer

coisas do tipo x2x=2 x. Observe:

x2x= x⋅x1

Como não podemos mais operar, então

xis ao quadrado mais xis só pode ser igual a xis

ao quadrado mais xis: x2x= x2

x.

7 Em multiplicações por zero ou que envolvem númerosnegativos, por exemplo: como adicionar um número asi mesmo zero vezes? -2 vezes?

27

3. POR QUE a∙0=0, INDEPENDENTEMENTE DO

VALOR DE a?

Mostramos isso por meio da propriedade

distributiva da multiplicação:

aa⋅0=a⋅1a⋅0=a⋅10=a⋅1=a=a0

Ou seja:

aa⋅0=a0

Consequentemente, comparando os dois termos

da igualdade acima:

a⋅0=0

28

4. POR QUE NÃO PODEMOS DIVIDIR POR ZERO?

Utilizando um pouco de lógica, podemos

dizer: porque o ato de dividir necessita de, pelo

menos, uma pessoa receptora. Em forma

interrogativa: como podemos dividir algo com

ninguém?

Essas considerações seriam até boas caso

não fossem tão limitadas8. Para mostrarmos por

que a divisão por zero não faz sentido, vamos

recorrer à definição de divisão.

Considere a o dividendo, b o divisor e c o

quociente de uma divisão qualquer. Devemos

mostrar que a divisão não faz sentido quando

b=0.

Ora, de acordo com a definição de

divisão, dizer que ab=c significa dizer que

a=b⋅c. Tomando b=0, ficamos com a=0⋅c. Por

outro lado, o produto de qualquer número por

zero é igual a zero, ou seja: 0⋅c=0 e, portanto, a

igualdade a=0⋅c só faz algum sentido quando

a=0. Disso concluímos que, se a for diferente de

zero, então a divisão não existe, pois não existe

um número c tal que c⋅0 seja um número

diferente de zero.

Primeira conclusão: a0

, com a≠0, não

existe.

Mas e se a for zero? Ou melhor, qual o

resultado da divisão de zero por zero?

8 Quando o grau de abstração vai aumentando, nóssimplesmente vamos deixando de falar em 'pessoas':passamos a dividir por números negativos, raízes,frações, etc.

Quando a=0, ficamos com 0=0⋅c. Neste

caso, para qualquer valor de c, a igualdade será

verdadeira, pois qualquer número vezes zero é

zero. Mas c aqui representa o quociente, ou seja,

o resultado da divisão. A conclusão aqui não

pode ser outra: como zero dividido por zero

possui infinitos resultados, então temos um caso

de indeterminação.

Segunda conclusão: 00

é uma divisão

indeterminada.

29

5. POR QUE a0=1, PARA a≠0?

Uma das propriedades das potências nos

diz que:

am÷an=am−n , a≠0

Tomando m=n, ficamos com:

am÷am=am−m=a0

Entretanto, um número, diferente de zero,

dividido por si mesmo é igual a 1. Logo:

am÷am=1

Portanto, como am÷am=a0 e am÷am=1,

concluímos que:

a0=1, para a≠0

Em todos esses casos, estamos supondo

que o a é diferente de zero. E no caso do a ser

igual a zero? Quanto é 00? A resposta é: 00 é uma

expressão indeterminada. Vejamos:

00=0m÷0m

Como zero elevado a qualquer número é

igual a zero, então 0m=0. Por conseguinte:

00=0m÷0m=0÷0

Ora: já mostramos que zero dividido por

zero é indeterminado. Logo, 00 também é.

30

6. CERTO OU ERRADO?

Primeiro caso: −12=

1−2

=−12

Está correto. No primeiro membro, temos

um número negativo sendo dividido por um

número positivo; no segundo, temos os mesmos

números em valor absoluto, só que o segundo é

que está negativo; no terceiro, indicamos que a

fração é que está negativa. Nos dois primeiros

casos, ao fazermos a relação de sinais, ficaremos

com um número negativo:

−12=−1÷2=−0,5

1−2

=1÷−2=−0,5

O mesmo resultado encontraremos para

−12

:

−12=−1÷2=−0,5

Segundo caso: −1−2

=−12

Claramente incorreto:

−1−2

=−1÷−2=0,5

Terceiro caso: 2 x=10⇒ x= 10−2

Este é um erro típico de quem não resolve

as equações utilizando o método adequado.

Quem comete um erro desses deve ter se

lembrado que “quando um número é positivo, ele

passa para o outro lado da igualdade negativo”.

Mas o correto, neste caso, é multiplicarmos

ambos os membros da igualdade por 12

:

2 x=10⇒2⋅x⋅12=10⋅

12⇒ x=

102

Quarto caso: 52⋅3=7⋅3=21

Errado! Em uma expressão na qual temos

uma adição e uma multiplicação lado a lado,

devemos fazer primeiro a multiplicação9. O

correto é:

52⋅3=56=11

Se quiser conferir, basta observar que

2⋅3=3+ 3, logo:

5+2⋅3=5+3+3=11

9 A multiplicação e a divisão têm prioridade em relação àadição e à subtração. No caso de apareceremparênteses, aí devemos resolver primeiro o que estádentro do parêntese, independentemente das operaçõesque estejam presentes.

31

7. POR QUE (-1)∙(-1)=1?

Na adição e subtração, podemos associar

o sinal negativo a perda, o sinal positivo a ganho

e tudo fica com sentido. Alguns exemplos:

−12=1

(eu devo 1 real e pago 2: ficarei com saldo positivo de 1)

−1−1=−2

(eu devo 1 real e peço mais 1 emprestado: ficarei devendo

2)

Não obstante, e neste caso:

−3−3=−6

Realmente, aqui fica sem sentido as

associações feitas acima, pois tenho um sinal de

menos e um sinal de mais juntos. Como saber

então se estou pagando ou pegando?

Observe que esta última dificuldade não

tira o brilho daquelas associações, pois, neste

último caso, não temos mais simplesmente uma

adição ou subtração: temos também uma

multiplicação. Veja:

−3−3=−3−1⋅3

Ou seja, na nossa primeira igualdade ali

em cima, nós temos um −1 multiplicando, só

que ele está oculto. Agora, fazendo a relação de

sinais, ficamos com:

−3−1⋅3=−3−3=−6

Chegando aqui, o problema que se nos

apresenta agora é outro: por que o produto de um

número negativo por um número positivo é

sempre negativo?

Para esse problema, não há uma lógica

fácil, um raciocínio ou uma associação simples

que lhe dê sentido. A justificativa para as

relações de sinais são matemáticas.

Note, primeiramente, que zero vezes

qualquer número é igual a zero; além disso,

qualquer número menos si próprio é igual a zero.

Teremos então:

1⋅0=0⇒1⋅1−1=0⇒1⋅11⋅−1=0ou ainda:

11⋅−1=0

Logo: 1⋅−1=−1 (ou seja, mais por

menos é menos).

Em seguida:

−1⋅0=0⇒−1⋅1−1=0⇒⇒−1⋅1−1⋅−1=0⇒⇒−1−1⋅−1=0

Portanto: −1⋅−1=1.

32

8. COMENTÁRIOS E CURIOSIDADES SOBRE OS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

8.1. Dos irracionais

A descoberta dos números irracionais,

feita pelos pitagóricos na Grécia Antiga,

desencadeou o que é conhecida como a primeira

grande crise da Matemática. Na época,

acreditava-se que todas as grandezas eram

comensuráveis. No entanto, a descoberta dos

irracionais não só mostrou que isso não era

verdade como mostrou também que a

Matemática não é perfeita e tem suas falhas. A

Matemática é um tipo de conhecimento, assim

como o é a Física, a Filosofia e a própria religião,

e, como tal, carrega seus erros, exceções da regra

e relatividade. Ela não traz consigo a verdade em

si, mas apenas verdades que só têm validade

quando contemplamos o contexto no qual tais

verdades estão inseridas.

Criada ou descoberta? A Matemática foi

criada, como tudo o que contemplamos no

mundo humano, no nosso mundo, todavia certos

fatos matemáticos foram descobertos. Ainda

assim, tais fatos não existem por si só: precisam

de alicerces, e todos esses alicerces são ou foram

criados. De onde concluímos que mesmo os

fatos matemáticos mais sólidos foram, em certo

sentido, criados.

8.2. Do número pi e de sua irracionalidade

O número π, como já vimos, é o resultado

da divisão do perímetro de uma circunferência

pelo seu diâmetro. Intuitivamente, podemos ter

uma noção do porquê do número pi ser

irracional. O seu cálculo envolve a medida do

comprimento de uma circunferência, mas uma

circunferência é algo “curvo”. Ora, em certo

sentido, tudo o que medimos no mundo são

segmentos de retas (altura de alguém, distância

entre duas cidades, diâmetro de um átomo).

Assim, para medirmos o comprimento de uma

circunferência, podemos dividir tal curva em

vários segmentos de retas. Trabalhando com

polígonos regulares, é possível ter uma ideia

mais clara do que isso significa:

Neste caso, partimos do polígono regular

com o menor número de lados possível

(triângulo) e fomos aumentando o número de

lados. O último polígono tem 14 lados e já

apresenta certa semelhança com uma

circunferência. Dessa forma, conhecendo o

comprimento do lado do triângulo (digamos que

seja l), fazemos l+l+ l ou 3⋅l e achamos o

33

perímetro do mesmo. Conhecendo o

comprimento do lado do pentágono (3º polígono

da figura), fazemos 5⋅l e achamos o perímetro do

pentágono. Com o último polígono, o que já tem

certa semelhança com uma circunferência,

fazemos 14⋅l e achamos seu perímetro. Ainda

assim, mesmo com 14 lados e tendo certa

semelhança com uma circunferência, o último

polígono é composto por segmentos de retas, ele

não é curvo, ele não é uma circunferência. E

mesmo que trabalhemos com um polígono de

1000 lados, ele ainda não será uma

circunferência. Por outro lado, quanto maior o

número de lados do polígono, mais próximo de

uma circunferência chegaremos e mais exato será

nosso cálculo (lembre-se que nosso objetivo seria

o de calcular o comprimento de uma

circunferência). O problema disso é que, por

mais lado que o polígono tenha, ele nunca será

uma circunferência e nosso cálculo nunca será

exato. É daí que vem a irracionalidade de π: ele

nunca terá fim, pois, por maior que seja o

número de lados de um polígono, sempre

podemos trabalhar com um polígono com um

número maior de lados e assim obter outro valor

para o comprimento desejado (um valor próximo

do primeiro, com diferenças apenas nas casas

decimais). Dessa forma, fica fácil imaginar por

que π é um número irracional, isto é, um número

não exato que possui infinitas casas decimais.

8.3. Dos cálculos feitos com o número pi

Diversos tipos de cálculos utilizam o

número π como base. Alguns exemplos triviais

são o cálculo do comprimento de uma

circunferência, o cálculo da área de um círculo e

o cálculo do volume de uma esfera. O problema

da utilização do número π para o cálculo de

áreas ou volumes é que o resultado final sempre

será aproximado, nunca será exato. O que mais

uma vez nos mostra que nem tudo na Matemática

é consistente e exato – na verdade, há um grande

número de inconsistências e inexatidões na

Matemática.

Tomando como exemplo o cálculo do

volume V de uma esfera de raio r, temos a

seguinte fórmula:

V =4⋅π⋅r⋅r⋅r

3

Fica claro pela fórmula que o volume de

uma esfera é algo impossível de se determinar de

forma exata, pois não podemos trabalhar com as

infinitas casas decimais do número π.

Obviamente, podemos obter um resultado com

grande precisão se trabalharmos com muitas

casas decimais no número π, porém o resultado

exato é inalcançável: não existe, por assim dizer.

Perceba também que a esfera é um ente

matemático: existe apenas no mundo das ideias,

na cabeça dos seres humanos. Ainda assim,

mesmo existindo apenas no mundo da

Matemática, não podemos calcular seu volume

de forma exata. É claro que as características de

uma ideia como a da esfera contribui para isso.

34

E lembre-se: o que você está vendo na

figura logo acima não é uma esfera, mas a

representação de uma.

8.4. A questão do infinito nos conjuntosnuméricos

Em turmas de sétimo ano, sempre que

trabalho o conjunto dos números inteiros com os

alunos, costumo perguntar em dado momento do

ano letivo qual conjunto possui mais elementos:

o conjunto dos números naturais ou o conjunto

dos números inteiros. As respostas são variadas.

Uma outra questão que costuma intrigar

os alunos é a comparação entre o conjunto dos

números naturais e o conjunto dos números

naturais pares: quem tem mais elementos?

Já vimos que o conjunto dos números

naturais é representado por ℕ={0,1 ,2 ,3,4 ,…}.

Já o conjunto dos números naturais pares é

representado por {0,2 ,4 ,6 ,8 ,…}. A princípio,

parece-nos que, se pudéssemos comparar a

quantidade de elementos dos dois conjuntos, o

conjunto dos números naturais pares certamente

teria menos elementos. Da mesma forma, somos

tentados a dizer que o conjunto ℤ tem mais

elementos do que o conjunto ℕ, pois, além de

possuir todos os números presentes em ℕ, tem

ainda os números inteiros negativos. Essa é,

inclusive, uma resposta dada por muitos alunos.

Não obstante, quando contemplamos o fato de

que ambos os conjuntos são “infinitos”, a dúvida

costuma bater nossa porta. Afinal de contas, se

dois conjuntos possuem infinitos elementos,

como posso dizer que um tem mais elementos do

que o outro?

Para esclarecermos essa questão,

precisamos ponderar sobre algumas coisas. A

primeira delas é precisamente sobre o infinito

nos conjuntos numéricos.

Infinito em ato e infinito potencial

Apesar de nós professores, muitas vezes,

afirmarmos para nossos alunos coisas como “O

conjunto dos números naturais é infinito” ou

ainda “Esse conjunto possui infinitos

elementos”, esse não é um tipo de comunicação

tecnicamente correta. Em verdade, o conjunto

dos números naturais não possui infinitos

elementos, mas seus elementos são de natureza

tal que sempre podemos conceber mais um,

aumentando o conjunto indefinidamente. É o que

chamamos de infinito potencial, diferentemente

de infinito em ato, também chamado infinito

atual (este último, um conceito absolutamente

controverso). O que ocorre muitas vezes é que

muitas pessoas tratam os conjuntos como se eles

fossem infinitos em ato, porém o que eles são é

potencialmente infinitos.

Relação biunívoca

Trata-se de uma relação entre dois

conjuntos que associa cada elemento de um

conjunto a um único elemento de outro conjunto

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e vice-versa. Esse tipo de relação é utilizada,

além de outras coisas, para comparar dois

conjuntos e saber se eles possuem a mesma

quantidade de elementos. Exemplificando,

vejamos os dois conjuntos dados abaixo:

A={1,2 ,3,4}

e

B={10,20 ,30 ,40}

Perceba que ambos os conjuntos possuem

a mesma quantidade de elementos e também que

cada elemento de B corresponde a cada elemento

de A multiplicado por 10. Dizemos, então, que

existe uma relação biunívoca entre esses dois

conjuntos. Em moldes gerais, quando dizemos

que existe uma relação biunívoca entre dois

conjuntos, estamos dizendo que ambos possuem

a mesma quantidade de elementos e que existe

uma relação que associa esses elementos de

forma ordenada: cada elemento do primeiro

conjunto possui seu correspondente no segundo

conjunto, e não faltará nem sobrará ninguém.

Cardinalidade e números transfinitos

De modo geral, dizemos que dois

conjuntos finitos que podem ser colocados em

correspondência biunívoca possuem o mesmo

número cardinal. No exemplo acima envolvendo

os conjuntos A e B, dizemos que ambos têm o

mesmo número cardinal e que tal número é 4;

isto é, a quantidade de elementos que cada

conjunto possui é chamado de número cardinal.

Quando os conjuntos envolvidos são

potencialmente infinitos, o número cardinal

passa a se chamar número transfinito. Fica claro

que um número transfinito não pode ser expresso

por um número (parece meio contraditório,

não?). Falando de outro modo: a quantidade de

elementos de um conjunto finito é chamada de

número cardinal; em contrapartida, a quantidade

de elementos de um conjunto como o dos

números naturais é chamada de número

transfinito. E onde quero chegar com isso?

Bom, para compararmos dois conjuntos

infinitos, precisamos trabalhar com números

transfinitos. Para compararmos o conjunto dos

números naturais com o conjunto dos números

naturais pares, por exemplo, e saber quem tem

mais elementos ou se a quantidade de elementos

é a mesma, precisamos comparar os números

transfinitos dos dois conjuntos. E como fazemos

isso? Por meio de relações biunívocas

envolvendo principalmente os números naturais.

Voltando ao problema dos números pares,

observe novamente os dois conjuntos:

Conjunto dos números naturais:

{0,1 ,2 ,3,4 ,5 ,…}

Conjunto dos números naturais pares:

{0,2 ,4 ,6 ,8,10 ,…}

Perceba que os números pares, pela

ordem, são iguais a seus correspondentes

naturais multiplicados por 2. Ou seja: o primeiro

elemento do conjunto dos pares é igual ao

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primeiro elemento do conjunto dos naturais

multiplicado por 2; o segundo elemento do

conjunto dos pares é igual ao segundo elemento

do conjunto dos naturais multiplicado por 2; e

assim por diante, indefinidamente. E mais: essa

relação é biunívoca. Ou seja, os dois conjuntos

têm o mesmo número transfinito, ou ainda,

forçando os termos, podemos dizer que têm o

mesmo número de elementos.

Essa é uma conclusão aparentemente

contraditória, mas matematicamente

comprovada. Isso significa que nem sempre o

todo é maior do que uma de suas partes.

Outros fatos matemáticos curiosos

envolvendo os conjuntos numéricos e que já

foram comprovados:

• O conjunto dos números racionais, que,

além de possuir todos os números

naturais, possui também todas as frações

e suas respectivas representações

decimais, possui a mesma quantidade de

elementos do conjunto dos números

naturais.

• O conjunto dos números irracionais

possui mais elementos do que o conjunto

dos números racionais.

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INFORMAÇÕES EXTRAS

1. DO ESCRITO

Este texto matemático começou a ser

escrito em 2009 a pedido de uma aluna do

Anésio Leão (escola estadual aqui de Campina

Grande). A ideia inicial era a de fazer um resumo

curto e “topificado” sobre alguns conteúdos de

matemática elementar. De lá para cá, no entanto,

já foram 8 atualizações, com muitas

implementações, detalhamentos e

aperfeiçoamentos diversos. Atualmente

considero este escrito um esboço para um futuro

livro.

Muitos assuntos importantes ainda não

foram incluídos aqui. São exemplos: a

porcentagem, a regra de três, polinômios e

funções. Isso ficará para o futuro. Além disso,

alguns assuntos já presentes não foram tratados

ainda com grande esmero: coloquei-os de modo

sucinto, sem tantos exemplos e com não muito

detalhes. Isso será corrigido também no futuro.

A ideia dos “porquês” será mantida. Na

verdade, a pretensão é que isso seja o grande

diferencial do livro: não apenas trazer os

conteúdos, mas entremear filosofia da

matemática nas explicações, mostrando a causa,

o porquê de alguns resultados e, outrossim, o que

há de curioso em muitos aspectos da matemática

elementar.

2. DOS PROGRAMAS UTILIZADOS

Como já é uma marca quase registrada

minha, gostaria de citar os softwares que utilizo

na criação. Para este escrito, foram utilizados:

• Adobe Photoshop;

• Inkscape;

• LibreOffice Writer.

3. DAS FONTES UTILIZADAS

As referências bibliográficas utilizadas

foram diversas e de épocas variadas. Resolvi não

citar fontes ainda, até porque não fiz citações e,

ademais, todo o texto aqui presente é de minha

autoria, incluindo todas as imagens, sendo a

única exceção a imagem do fractal utilizada na

capa, que foi baixada no endereço:

http://hqwide.com/abstract-fractals-fractal-

wallpaper-58327

Prof. Pedro Romão, maio de 2014.

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