ESC. SEC. ALBERTO SAMPAIO BRAGA 12... · 2004-02-15 · • Definição de radiano como sendo a...

PLANIFICAÇÃO DE TRIGONOMETRIA E COMPLEXOS 12º ANO

ESC. SEC. ALBERTO SAMPAIO

BRAGA

PROPOSTA DE PLANIFICAÇÃO DA UNIDADE DIDÁCTICA

TRIGONOMETRIA E COMPLEXOS (EM 20 AULAS)

2003/2004

ESAS 2003_2004 Página

1


CONTEÚDO DA UNIDADE DIDÁCTICA

TRIGONOMETRIA E COMPLEXOS

Conteúdos N.º de aulas previstas

Revisões de Trigonometria 4 Funções seno, co-seno e tangente; estudo de propriedades; cálculo de

derivadas. 6

Números complexos: introdução histórica e definição. Operações com complexos na forma algébrica. 4

Complexos na forma trigonométrica; operações 3

Domínios planos e condições em variável complexa. 2

Teste de avaliação sumativa 1

Total 20

Objectivos Específicos

- Estudar analítica e graficamente as funções seno, co-seno e tangente: domínio,

continuidade, zeros, assímptotas, monotonia, extremos relativos e absolutos,

concavidade, pontos de inflexão, gráfico.

- Resolver problemas envolvendo as funções estudadas, tanto sob os aspectos

analíticos como numéricos e gráficos.

- Operar com complexos na forma algébrica ou na forma trigonométrica.

- Calcular as raízes quadradas de um real negativo.

- Interpretar geometricamente o produto de um complexo z por i ou – i.

- Converter a forma algébrica na trigonométrica e vice-versa.

- Representar geometricamente as n raízes índice n de um complexo.

- Resolver equações simples.

- Identificar domínios planos definidos por condições de variável complexa.

- Resolver problemas envolvendo números complexos e/ou domínios planos.

- Usar a calculadora no estudo das funções trigonométricas e dos

números complexos.


2


AULA Nº 1 Sumário Revisões sobre conceitos básicos da trigonometria Objectivos Específicos:

Definir radiano e converter unidades do sistema sexagesimal no sistema circular e vice- versa. Conhecer a noção de ângulo generalizado e calcular a determinação principal de um ângulo. Definir as razões trigonométricas de um ângulo, no triângulo rectângulo. Desenvolvimento da aula • Definição de radiano como sendo a medida da

amplitude de um ângulo ao centro cujo o comprimento do arco correspondente é igual ao raio.

8.4471º57rad1 ′′′=

Rad

• Conversão de unidades do sistema circular em centésimal e vice-versa.

π º180 x y

xyyxπ

π 180eº180

==

• Generalização do conceito de ângulo: ângulo é a

porção de plano gerada pela rotação de uma semi-recta em torno da sua origem.

• Exercícios 1. Converter em radianos 2. Converter em graus a) º750 a) rad50π b) º2000 b) rad

217

π

c) º3000− c) rad2

3. Achar a terminação principal dos ângulos dos dois exercícios anteriores.


3


Definição das razões trigonométricas no triângulo rectângulo

A B

C

α

ACBCsen =α

ACAB

=cosα

ABBCtg =α

αα

=αcossentg

• Exercícios

No desenho anterior considera cm4AB = e cm3BC = . Determina: a) αsen b) αcos c) αtg

b) Verifica que ααα

cossen

=tg

Outros exercícios


4


AULA Nº 2 Sumário

Valores das razões trigonométricas de 6π ,

4π e

3π . Redução ao 1º Quadrante.

Objectivos Específicos:

Deduzir os valores das razões trigonométricas de 6π ,

4π e

3π ; aplicar esses

conhecimentos no cálculo dos valores das razões trigonométricas de ângulos de outros quadrantes a estes associados Desenvolvimento da aula

• Deduzir os valores das razões trigonométricas de 4π .

Seja o isósceles e rectângulo em B, e [ABC∆ ] aAB = .

a

a

α

Α Β

C

Então 2222a2aaAC =+= e

4π

=α .

Ou seja 2aa2AC 2 ==

22

21

2aa

ACBCsen ====α . Como

4π

=α

22

4sen =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

Calcular de modo análogo 22

4cos =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π .g

Considerar que αα

=αcossentg , então, 1

22

22

4cos

4sen

4tg ==

π

π

=π


5


• Deduzir os valores das razões trigonométricas de 3π .

Seja o equilátero, de lado a. Então [ABC∆ ]

2aDBAD == e

3π

=α . Pelo teorema de Pitágoras,

4aa4DC

2aaDC

22222 −

=⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= , ou seja,

23a

4aa4DC

22

=−

= . Como,

23

a23a

ACDC

3sen ===

π . Calcular de modo

análogo concluir que 21

3cos =

π , e como αα

=αcossentg , então

33

3tg =π

α

A B

C

D

a

• Sintetizar num quadro estes valores do seguinte modo:

6π

4π

3π

sen 21

22

23

cos

23

22 2

1

tg 3 1 33

º30 º45 º60 • Exercícios

1. Sem utilizar calculadora, calcular os valores de:

a) º120sen b) ( )º750cos − c) ( )º240tg −

d) π43cos e) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

310sen f) π

37tg

g) π47tg h) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

311tg i) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

310sen

j) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

310sen l) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−

413cos m) π

625tg


6


AULA Nº 3 Sumário

Representação das razões trigonométricas no círculo trigonométrico. Exercícios. Objectivos Específicos Identificar as linhas geométricas que representam as razões trigonométricas no círculo.

Desenvolvimento da aula • Definição de círculo trigonométrico e representação das razões trigonométricas no

primeiro quadrante.

1

1

P(x,y)

x

y

0α

1

1

0

α

sen α = y

cos α = y

cotg α

tg α

• Generalização do circulo trigonométrico

2º Quadrante 3º Quadrante

x

y

β

tg β

sen β

cotg β

x

y

β

tg β

sen β

cotg β

cos β

cos β


7


4º Quadrante Sinal

x

y

β

tg β

sen β

cotg β

x

y

sen β -cos β -

cos β +

cos β +

cos β −

tg β +cotg β +

sen β +

tg β +cotg β +

sen β -

tg β -cotg β -

sen β +

tg β -cotg β −

cos β

• Variação das razões trigonométricas

0 2π π

23π π2

Sen 0 1 0 -1 0

cos 1 0 -1 0 1

tg 0 0 0


8


AULA Nº 4 Sumário Fórmula fundamental da trigonometria e fórmulas secundárias. Fórmulas de redução ao primeiro quadrante. Exercícios. Objectivos Específicos

Aplicar as fórmulas de redução ao primeiro quadrante na resolução de exercícios.

Desenvolvimento da aula

• Dedução da fórmula fundamental da trigonometria directamente do círculo trigonométrico, aplicando o teorema de Pitágoras

1cossen 22 =α+α

1

1

0α

1sen α

cos α

Dividindo ambos os membros por α2cos

α=+α 2

2

cos11tg

Dividindo ambos os membros por α2sen

α=+α 2

2

sen11cotg

• Dedução da fórmulas de redução ao primeiro semi quadrante, a partir do

triângulo rectângulo:

ACBCsen =α ( )

ACBCº90cos =α−

α

A B

C

90º−α

( ) α=α− senº90cos

ACABcos =α ( )

ACABº90sen =α−

( ) α=α− cosº90sen

ABBCtg =α ( )

ABBCº90cotg =α− ( ) α=α− tgº90cotg


9


• Dedução da fórmulas de redução ao primeiro quadrante, a partir do circulo

trigonométrico

• ( ) α=α−π sensen

• ( ) α−=α−π coscos

• ( ) α−=α−π tgtg

• ( ) α−=α−π cotgcotg

x

y

α180º-α

cotg(180º-α) cotg α

cos(180º-α) cos α

sen (180º-α) sen α

tg (180º-α)

tg α

• ( ) α−=α−π sensen

• ( ) α−=α−π coscos • ( ) α=α−π tgtg

• ( ) α=α−π cotgcotg

x

y

α

180º+ α

cotg(180º+α)= cotg α

cos180º+α)

cos α

sen (180º+α)

sen αtg (180º+α)=tg α

• ( ) ( ) α−=α−=α−π sensen2sen

• ( ) ( ) α=α−=α−π coscos2cos

• ( ) ( ) (α−=α− )=α−π tgtg2tg

• ( ) ( ) α−=α−=α−π cotgcotg2cotg

x

y

α

360º- α

cotg(360-α)=cotg(-α) cotg α

cos(360º-α)=cos (−α)

cos α

sen (360º-α)=sen (−α)

sen αtg α

−α

tg (360º-α)=tg (−α)


10


Referir ainda a partir do circulo as fórmulas:

α−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+π sen2

cos

α=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+π cos2

sen

α−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+π tg2

cotg

α−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+π cotg2

tg

α−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−π sen

23cos

α−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−π cos

23sen

α=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−π tg

23cotg

α=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−π cotg

23tg

α=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+π sen

23cos

α−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+π cos

23sen

α−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+π tg

23cotg

α−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+π cotg

23tg

Exercícios: Resolver exercícios do livro


11


AULA Nº 5 Sumário Estudo da função xsen)x(f = Objectivos Específicos Determinação de: domínio, contradomínio, período, pontos notáveis (zeros, máximos e mínimos), assímptotas e estudo da monotonia, continuidade e simetrias. Desenvolvimento da aula

Fazer um esboço da representação gráfica da função xsen)x(f = , partindo do próprio circulo, e depois da calculadora:

Ainda antes de começar o estudo da função, fazer uma representação mais alargada da mesma:


12


Estudo da função:

ℜ:D [ ]1,1:D −′ Zeros π+=⇔= k0x0xsen

Crescente

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π+

ππ+

π−∈ k2

2,k2

2x

Decrescente

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π+

ππ+

π∈ k2

23,k2

2x

Máximos

π+π

=⇔= k22

x1xsen

Mínimos

π+π

−=⇔−= k22

x1xsen

É continua Não tem assímptotas È impar ( )( xsenxsen − )=− É uma função periódica ( )π= 2P

Aproveitar o facto ter a representação gráfica para resolver algumas equações simples,

como por exemplo:

0xsen = 1xsen −= 2xsen −=

22xsen =

23xsen −=

0xsen21 =+


13


AULA Nº 6 Sumário Estudo das funções xcos)x(f = e xtg)x(f = Objectivos Específicos Determinação de: domínio, contradomínio, período, pontos notáveis (zeros, máximos e mínimos), assímptotas , limites, e, estudo da monotonia, continuidade e simetrias. Desenvolvimento da aula

Fazer um esboço da representação gráfica da função xcos)x(f = , partindo da calculadora:

Estudo da função:

ℜ:D [ ]1,1:D −′ Zeros

π+π

=⇔= k2

x0xcos

Crescente

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π+ππ+π

∈ k22,k22

x

Decrescente [ ]π+ππ+∈ k2,k20x

Máximos π+=⇔= k20x1xcos

Mínimos π+π−=⇔−= k2x1xcos

É continua Não tem assímptotas È par ( )( )xcosxcos =− É uma função periódica ( )π= 2P


14


Fazer um esboço da representação gráfica da função xtg)x(f = , partindo da calculadora:

Estudo da função:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ π+

π=ℜ k

2x\:D

[ ] ℜ=+∞∞−′ ,:D

Zeros π+=⇔= k0x0tgx

Crescente em todos os intervalos do tipo

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π+

ππ+

π−∈ k

2,k

2x

Decrescente nunca

Máximos Não tem

Mínimos Não tem

É continua em todos os intervalos que constituem o seu domínio

Assímptotas Verticais: Todas as rectas do tipo

π+π

= k2

x

È impar ( )( )xtgxtg −=− É uma função periódica ( )π=P Resolver os seguintes exercícios: 1. Considera as funções reais de variável real, abaixo representadas graficamente

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

f

g

h¶ 2¶

e também analiticamente

y sen xy sen

ysen x

== −

= −

1

2

x

a) Identifica as funções f, g e h, fundamentando a resposta


15


b) Pela observação do gráfico verifica-se que a equação f x g x( ) ( )= tem duas soluções no intervalo ] . Determina-as por via analítica. [0 2, π 2. Considera as funções reais de variável real, abaixo representadas graficamente

f

-2

-1

0

1

2

g

h

¶ 2¶

e também analiticamente

y xy x

y x

== ×

= −

coscos

cos( )

2

2π

a) Identifica as funções f, g e h, fundamentando a resposta

b) Pela observação do gráfico verifica-se que a equação f x h x( ) ( )= tem duas soluções no intervalo ] [0 2, π . Determina-as por via analítica.

3. Considera as funções reais de varável real, abaixo definidas f x x

e

g x x

( ) cos

( ) cos

=

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

22

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2¶ 4¶

A

f

g

¶ 3¶

a) Determina f g43 3π π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

.

b) Considera a função φ( ) ( ) ( )x f x g x= − definida no intervalo ] ] . 0 2, π Recorrendo ao gráfico, indica para que valores de x se tem que φ( )x < 0 .


16


AULA Nº 7 Sumário Transformações nos gráficos de funções trigonométricas Objectivos Específicos

Partindo por exemplo da função xy sen= , obter gráficos de outras

funções analisando as transformações geométricas. Desenvolvimento da aula

Partindo da função xseny = , obter os gráficos seguintes:

1xseny −= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+=

2xseny

xsen2y ×= ( )x2seny =

xseny −= ( )xseny −=


17


xy sen= xy sen=

Resolver exercício semelhante para a função xcosy = , fazendo os gráficos de:

xcos2y −= ( )x2cosy = xy cos−= xcos2y +=

( )xcosy −= xy cos= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=

3xcosy

x2cos1y −=

Fazer quadro síntese das alterações

( ) axfy += Translação de a na direcção do eixo dos yy.

( )axfy += Translação de -a na direcção do eixo dos xx.

( )xfay ×= Esticar ou encolher segundo o factor a, na direcção do eixo dos yy.

( )axfy = Esticar ou encolher segundo o factor,

a1

na direcção do eixo dos xx.

( )xfy −= Simetria em relação ao eixo dos xx.

( )xfy −=

Simetria em relação ao eixo dos yy.

( )xfy =

Mantêm-se os pontos de ordenada negativa ou nula e para os pontos de ordenada negativa tem-se uma simetria relativamente ao eixo dos xx

( )xfy = Mantêm-se os pontos de abcissa positiva e o gráfico fica simétrico relativamente ao eixo dos yy


18


AULA Nº 8 Sumário

Resolução exercícios e equações trigonométricas Objectivos Específicos Resolver exercícios e equações trigonométricas Desenvolvimento da aula 1. Considera as funções reais de variável real, abaixo definidas:

f x sen x( ) = + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 24

2 π g x tg x( ) ( )= + +2 2 35π

Determina: a) O contradomínio de f . b) O domínio de g. c) Os zeros, caso existam, das funções f e g. d) { } x f x∈ℜ =: ( ) 4 2. Considera as funções reais de variável real, abaixo definidas:

f x sen x( ) .= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2 23π g x tg x( ) ( )= +1 32

Determina: a) O contradomínio de f . b) O domínio de g. c) Os zeros, caso existam, das funções f e g.

d) { } x f x∈ℜ =: ( ) 2

3. Resolve as seguintes equações trigonométricas, nos domínios indicados. a) ] ]sen x x x( ) cos ,3 0= − ∈ π2 b) ] [sen x sen x x e x+ = ∈ −2 0cos ,π π c) sen x x e x2 22 2 0( ) cos ( )− = ∈ℜ d) [ ]1 2 2

40+ − = ∈ −.cos( ) ,x e xπ π π

e) ] [sen x x e x( ) cos ,2 0 2= ∈ π 22− = ∈ℜsen x x e x.cos f) 1

g) 4 33

33

3sen x x( ) cos( )− − = −π π

e ] [x ∈ 0, π


19


AULA Nº 9 Sumário

Estudo intuitivo de x

xsenlim0x→

. Derivadas das funções trigonométricas.

xseny = , ( )( )xfseny = , xcosy = , ( )( )xfcosy = , xtgy = e ( )xftgy = . Objectivos Específicos Calcular limites e derivadas de funções trigonométricas. Desenvolvimento da aula

Verificação intuitiva de que 1x

xsenlim0x

=→

.

1

1

0

x

sen x

tg x

D

C

BA

Seja ( )x

xsenxfy ==

[ ] [ ]OBCOAD ∆<<∆ área OBDsector do área área

2x01r π<<= e como , vem

xtg21x

21xcosxsen

21

<< , ou,

xcos1

xsenxxcos << , ou,

1xsen

xxcos << . Como 1xcoslim0x

=+→

, 1x

xsenlim0x

=+→

. Como a funçãox

xseny = é par,

também 1x

xsenlim0x

=−→

logo 1x

xsenlim0x

=→

Exercícios 1.Calcular os limites de:

a) x

xcos1lim 0x

−→

b) ( )x

x3tglim 0x→

c) ( )x

xsenlim 0x

+π→

d) xxsenlim

x −ππ→e)

x

x22

coslim

0x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π

→

2. Mostra que ( )( ) β

α=

βα

→ xsenxsenlim

0x


20


• Aplicar a definição de derivada para calcular a função derivada de xseny =

xseny = Justificação

( )⇔

−+=′

→ hxsenhxsenlimy

0h ( ) acosbsenbcosasenbasen +=+

⇔−+

=′⇔→ h

xsenxcoshsencoshxsenlimy0h

( )⇔

+−=′⇔

→ hxcoshsen1coshxsenlimy

0h

( )⇔⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

−=′⇔

→ hxcoshsen

h1coshxsenlimy

0h

( )⇔+

−=′⇔

→→ hxcoshsenlim

h1hcosxsenlimy

0h0h

⇔+−

=′⇔→→→→

xcoslimh

hsenlimh

1hcoslimxsenlimy0h0h0h0h

1h

hsenlim0h

=→

( )( )( ) ⇔×+

++−

×=′⇔→

xcos11hcosh

1hcos1hcoslimxseny0h

( )( ) ⇔+

+−

×=′⇔→

xcos1hcosh1hcoslimxseny

2

0h

hsen1hcos1hcoshsen22

22

−=−

=+

⇔+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

×−

×=′⇔→

xcos1hcos

hsenh

hsenlimxseny0h

⇔+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−×=′⇔ xcos

201xseny 0

201xsen =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−×

xcosy =′⇔

REGRAS DE DERIVAÇÃO

( ) xcosxsen =′

( ) UcosUUsen ′=′

( ) xsenxcos −=′

( ) UsenUUcos ′−=′

( )xcos

1xtg 2=′

( )Ucos

UUtg 2

′=′

( )xsen

1xcotg 2−=′

( )Usen

UUcotg 2

′−=′

Exercícios Calcula as derivadas das seguintes funções:

a) ( )x3seny = b) ( )x7cosy = c) ( )x2sen3y ×= d) ( ) ( x5cos3x2seny += )


21


AULA Nº 10 Sumário Aula prática (exercícios) Objectivos Específicos

Aplicar as derivadas no estudo de funções e na resolução de problemas.

Desenvolvimento da aula 1. Fazer o estudo analítico da função ( )x2seny = e verificar as conclusões através do

gráfico. • Domínio • Zeros • Sinal (positiva/negativa) • Monotonia (crescente/decrescente e o sinal da função derivada) • Extremos relativos (?) (máximos/mínimos e os zeros da derivada) • Sentido das concavidades (e o sinal da segunda derivada) • Pontos de inflexão (e os zeros da segunda derivada) 2. Calcular a função derivada de cada uma das seguintes funções:

a) ( )1x3seny +−= b) ( )x7seny 5 −= c) ( )1xsen3y 2 +=

d) ( )21xsen5y += e) ( )1x5cos7y 2−= f) 33 xcosy −=

g) ( )x3cos2xsenxy 3 += h) xcosxseny ×= i) ( )1xtgy 32 +=

3. Determinar a equação da recta tangente ao gráfico da função ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+=3

xseny no

ponto de abcissa 6

x0π

= .

4. As plantas não crescem numa razão constante durante o dia. Considere que o modelo matemático que descreve o crescimento de uma plante é dado por:

( ) ( )t2sen06,0t03,0th π+= onde h é o crescimento diário da planta em cm, t é o tempo em dias desde que a planta começou a aparecer e corresponde às = horas do primeiro dia (exercício nº 13 do livro PE pág 98)

0t =

4.1) Usar a calculadora para obter o gráfica do função h. 4.2) Calcular a hora do dia em que o crescimento é máximo. 4.3) Calcular a hora do dia em que o crescimento é máximo.

Resolver outros problemas do livro


22


AULA Nº 11 Sumário

Definição de número complexo. Representação geométrica de número

complexo. Adição números complexos. Objectivos Específicos Calcular a raiz quadrada de um número negativo. Representar geometricamente um número complexo. Adicionar e subtrair números complexos. Desenvolvimento da aula

• Evolução do conceito de número: Naturais → Inteiros Racionais → Irracionais Imaginários → →Definir 1i −= como unidade imaginária

Exercícios 1. Resolver, em C, cada uma das seguintes equações: a) 4x2 =− b) ( ) 31x 2 =− c) 01x2 2 =+

d) 05x3x2 =+− e) 01xx2 2 =+− f) 01x2x2 =+−

• Definir número complexo como sendo todo o número da forma bia + sendo números reais e i a unidade imaginária ba e

z = a + bi é a parte real e escreve-se a=Re(z); →a é a parte imaginária ; →bi é o coeficiente da parte imaginária e escreve-se b = Im(z) →b Se 0b = o número complexo é real Se 0b ≠ o número complexo é imaginário Se 0a0b =≠ e , o número complexo é imaginário puro

• Complexos conjugados – se as partes reais são iguais e as imaginárias simétricas: e i32 + i32− , bia + e bia −

• O conjugado de representa-se por z z ( i53z += então i53z −= ) • Igualdade de complexos

⎩⎨⎧

==

⇔+=+dbca

dicbia

Exemplo: , então i82bia −=+ 2a = e 8b −=


23


• Representação geométrica de um complexo

x

y

A(a,b)

a

b

• O ponto A chama-se afixo ou imagem do complexo z • O plano chama-se plano de Argand • O vector OA é a imagem vectorial do complexo z • A cada ponto do plano de Argand corresponde um

número complexo

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS

• Adição e Subtracção

Seja e . Calcular i32a += i58b −= ba + e ba −

ba +

x

y

( ) ( ) =−++=+ i58i32ba =−++=−++ i5i382i58i32

( ) i210i5310 −=−+

x

y

ba −

( ) ( ) =−−+=− i58i32ba =++−=+−+ i5i382i58i32

( ) i86i536 +−=++−

Exercícios: Determina

a) ( ) ( i32i8 +−++− ) b) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−− i2

21i1 c) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎛ ⎝

− i325i3

32


24



Multiplicação, divisão e potenciação. Objectivos Específicos Multiplicar, dividir e calcular a potência de um complexo. Desenvolvimento da aula Multiplicação Calcular o produto ( )i32 + por ( )i58 − ( ) ( ) =−×+ i58i32 ( ) ( ) =−+−× i58i3i582 =−+− 2i15i24i1016 =++ 15i1416 i1431+

Se multiplicarmos um número complexo pelo seu conjugado obtemos um número real: ( ) ( ) =−+−=−×+ 2i4i6i69i23i23 1349 =+

( ) ( ) 22222 baibabiabiabiabia +=−+−=−×+

zz× é um número real Exercícios Determinar:

a) ( ) ( i34i2 −×+ )

b) ( )2i32 +− c)

2

i211 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Divisão

Calcular i58i32

−+

Para obtermos um número da forma bia + , o denominador terá de ser um número racional. Para que tal aconteça multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

( ) ( )( ) ( ) =

+−+−++

=+×−+×+

=−+

25i40i406415i24i1016

i58i58i58i32

i58i32 i

8934

891

89i341

+=+

Outro método para calcular a divisão


25


( ) ( ) ⇔−++=+⇔−−+=+⇔+=−+ ia5b8b5a8i32bi5ai5bi8a8i32bia

i58i32 2

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇔

⎩⎨⎧

=⇔

⎩⎨⎧

=+−=+

⇔⎩⎨⎧

=+−=+

8934b34b8924b64a40

10b25a403b8a5

2b5a8

⎪⎩

⎪⎨⎧ =

⇔⎩⎨⎧ −=−

⇔⎩⎨⎧

=+−−=−−

⇔⎩⎨⎧

=+−=+

891a1a89

15b40a2516b40a64

3b8a52b5a8

Portanto,

i8934

891

i58i32bia

i58i32

+=−+

⇔+=−+

Exercícios: Determina a) ( ) ( )i58i32 −÷+

b) ( ) ( )i63i53 +÷− c)

i213+−

Potenciação

1i0 = ii1 = 1i 2 −= ii3 −= 1i4 = ii 5 = 1i6 −= ii7 −= 1i8 = ii9 = 1i10 −= ii11 −= 1i n4 = ii 1n4 =+ 1i 2n4 −=+ ii 3n4 −=+

Exemplo: 8276 ii + ( ) 1ii 19476 == ( ) 1iiii 2220482 −==×=

( ) 0118276 =−+=+ ii

Exercícios: Determina:

a) 222120 iii ++ b) ( )5199937 i2ii −+


26


AULA Nº 13 Sumário Raiz quadrada de um complexo. Raízes complexas de uma equação do 2º grau Objectivos Específicos Calcular a raiz quadrada de um complexo. Calcular raízes complexas de uma equação do 2º grau Desenvolvimento da aula Raiz quadrada de um complexo Calcular a raiz quadrada de i43 + Suponhamos que bia + é uma raiz quadrada de i43 + . Então:

( ) 222 babi2ai43biai43 −+=+⇔+=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=⇔

⎩⎨⎧

=−=

a2b

a4a3

ab24ba3 2

222

resolvendo a equação 04a3aa4a3 24

22 =−−⇔−= substituindo por t , 2a

1t4t04t3t 2 −=∨=⇔=−− logo 24ta ±=±=±= . Então as soluções do sistema são:

⎩⎨⎧

−=−=

∨⎩⎨⎧

==

1b2a

1b2a

, se era bia + i43 + , então ( )i2i43 +±=+±

Exemplo 1 Resolver a equação 01x3 =− Uma das soluções é . Pela regra de Ruffini, vem 1x =

( ) ( ) 01xx1x01x 23 =++−⇔=−

⇔−±−

=⇔=++2

411x01xx 2

i23

21xi

23

21x

23i1x −−=∨+−=⇔

±−=

Logo a equação , tem as raízes01x3 =− i23

21xi

23

21x1x −−=∨+−=∨=

1

1 1 11 1 1

1

− 10 0

0 = r


27


Exemplo 2

Determinar as raízes da equação . 01x2x3 2 =+− Exemplo 3 Escrever uma equação cujas raízes sejam i21x1 −= e i21x2 += Exemplo 4 Determina uma equação do 4º grau que admite as raízes i1ei82 +− Exercícios (do Livro) 1. Escrever uma equação que tenha as raízes: a) e i21x1 −= i31x2 −−=

b) i2x1 += e i2x2 −=

c) ix1 = , e ix2 −= 5x3 =

2. Escrever uma equação do 5º grau, sabendo que tem as raízes complexas e

, e a raiz real 0. i32 +

i21+−


28



Eixo real e eixo imaginário. Módulo e argumento de um número complexo. Exercícios

Objectivos Específicos Representar números complexos no plano de Argand.

Calcular o módulo e o argumento de um número complexo Desenvolvimento da aula

x

y

32

2

3

-3

-2

z

z

z2

1

3

→

1v

→

2v

→

3v

Número i como operador da rotação de 90º. Na figura ao lado representam-se vectorialmente os complexos , e ( )i23 + ( )i23i + ( )i23i +− . Termos:

i23v1 +=→

( ) ( i32i23iv2 +−=+=→

))

( ) ( i32i23iv3 −=+−=→

Observamos que os vectores v , v e , têm todos a mesma norma.

→

1

→

2

→

3v

• 1332vvv 22321 =×===→→→

• º90vvº90vv 3121 ==∧→→

∧→→

e

• pode ser obtido de por uma rotação de 90 º com centro na origem. →

2v→

1v

• pode ser obtido de por uma rotação de -90 º com centro na origem. →

3v→

1v De um modo geral:

• Se biaz += tem afixo P, então ( )biaiz1 += tem afixo P’, que se obtém de P por uma rotação de centro na origem e ângulo +90º.

• Se biaz += tem afixo P, então ( )biaiz2 +−= tem afixo P’’, que se obtém de P por uma rotação de centro na origem e ângulo -90º.

Exercícios: Representa no plano de Argand os seguintes complexos: a) i2z1 −= b) i3z2 = c) 3i3z3 −−= d) i4z4 −= e) 0z5 = f) 3z6 =


29


Módulo e argumento de um número complexo • Ao número complexo corresponde, no plano de Argand, um ponto

e um vector .

biaz +=

( b,aP → ) ( )b,av =→

• Chama-se módulo do número complexo biaz += , e representa-se por r ou z , ao comprimento do vector

. ( )b,av =→

22 bazr +== • Chama-se argumento do número complexo biaz +=

à amplitude, em radianos, do ângulo θ que o vector

faz com o semi-eixo positivo dos xx. ( b,av =→

)

Sendo θ argumento de z, também o são ℜ∈π+θπ−θπ+θ k,k26,2 ou . Chama-se argumento principal, ou simplesmente argumento a θ , π≤θ<π− . Representa-se por arg z.

Re

Im

P

a

b

r

O

θ

Exemplos: Calcular o módulo e o argumento principal de:

i1z1 +=

211z 221 =+=

411tgz 1

1π

==θ= − arg

i32z2 +−=

( ) 1332z 222 =+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−π=θ= −

23tgz 1

22 arg

usando a calculadora, 16,22 =θ rad (2 c. d. )

i31z −−=

( ) ( ) 231z22

3 =−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+π=θ= −

13tgz 1

33 arg

π=π

+π=θ34

33

Re

Im

r

O

θ3

-1

3−Re

Im

1

i

r

O

θ1

Re

Im

r

O

θ2


30


No cálculo do argumento de um número complexo pode usar-se o seno e o co-seno. i31z3 −−= 2z3 =

π−=θ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=θ

−=θ

32

23sen

21cos

Exercícios Calcular o módulo e o argumento de cada um dos complexos: a) 3z1 = b) i22z2 += c) i5z3 = d) i33z4 +−= e) 2z5 −= f) i43z6 −−= g) i2z7 −= h) i31z8 −=


31


AULA Nº 15 Sumário Forma trigonométrica de um complexo Exercícios. Objectivos Específicos Passar da forma algébrica de um complexo para a forma trigonométrica e

vice-versa Desenvolvimento da aula Forma algébrica biaz += . Observando a figura ao lado, vem:

racos =θ e

rbsen =θ

ou seja, θ= cosra e θ= senrb

Então o complexo pode ser escrito na forma

biaz +=( )θ+θ= senicosrz

A expressão representa-se abreviadamente por θ+θ senicos θcis ou . ( )θEx

y

a

b

r

O

θ

Logo, ( ) ( )θ⇔θ=⇔θ+θ= Ercisrzsenicosrz . Exemplos 1. Representar na forma trigonométrica i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+π

=2

seni2

cos1i

2cisi π

=

3− ( )π+π=− senicos33

π=− cis33

i1−−

( ) ( ) 211z 22 =−+−=

π−=43zarg

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=

43seni

43cos2z

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=−−

43cis2i1

(ver as imagens na página seguinte)


32


Re

Im

-3O

-2 -1Re

Im

1

O

Re

Im

O-1

-1

Exercícios 1. Representar na forma trigonométrica cada um dos seguintes complexos:

a) 3z1 = b) i3z2 += c) i4z3 = d) i44z4 −−= e) i2z5 −= f) i31z6 −=

2. Escrever na forma algébrica:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+π

=3

seni3

cos2z

b) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=

4seni

4cos5z


33


AULA Nº 16 Sumário Operações com complexos na forma trigonométrica.

Objectivos Específicos

Multiplicação, potenciação de expoente inteiro, divisão e radiciação. Construção geométrica das raízes. Desenvolvimento da aula • Multiplicação

Sejam os complexos 111 cisrz θ= e 222 cisrz θ=

O seu produto será: =θ×θ=× 221121 cisrcisrzz =θ×θ××= 2121 ciscisrr ( )( ) =θ+θθ+θ×= 221121 senicossenicosrr ( ) =θθ−θθ+θθ+θθ×= 2121212121 sensencossenisencosicoscosrr ( ) ( )[ ]2121212121 cossensencosisensencoscosrr θθ+θθ+θθ−θθ×= = ( ) ( )[ ]=θ+θ+θ+θ×= 212121 senicosrr

( )212121 cisrrzz θ+θ×=×= Generalização ( )n21n21n21 cisrrrzzz θ+θ+θ××=××× LLL Exemplos: 1. Representar graficamente , sendo 21 zz ×

2cis2z1

π= e 3z2 −=

x

y

-3O

π

Começar por escrever na forma trigonométrica:

2zπ= cis3z2


34


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π=π×

π=×

2cis6

23cis6cis3

2cis2zz 21

x

y

O

-6

2π

−

2. Sendo ; i2z1 = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=

3cis

21z2 e 5z3 = , determinar na forma

trigonométrica 321 zzz ××

Re

Im

O

z3

Começar por escrever na forma trigonométrica:

31 zz e

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π==

2cis2i2z1 e,

z1

2

5 0cis55z3 ==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π+

π××=××

65cis50

32cis5

212zzz 321

Passando à forma algébrica

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=××

21

235

65sen

65cos5321 iizzz ππ = i

25

235+−

Exercícios (livro) 1. Mostrar que:

1.1 2zzz =× 1.2 21

zz

z=

1.3 Se θcisrz = , então ( )θ−= cisrz

2. Sendo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

431

1πcisz , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

452

πcisz e ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

4333πcisz , calcular na forma

trigonométrica: 2.1 21 zz × 2.2 31 zz × 2.3 321 zzz ××

3. Escrever na forma trigonométrica dois complexos cujo produto seja . ( )04cis 4. Sendo iz 261 −= , e iz 22 −= πcisz 23 = , calcular na forma trigonométrica: 4.1 11 zz × 4.2 321 zzz ××


35


AULA Nº 17 Sumário Potenciação de expoente inteiro. Divisão. Radiciação. Raízes de uma equação. Construção geométrica das raízes. Objectivos Específicos

Calcular na forma trigonométrica a potenciação, divisão e radicialização .

Desenvolvimento da aula Sendo Nncisrz ∈= eθ , temos por definição de potência que: 444 3444 21 L

vezesn

n zzzzzz ×××××=

Substituindo z por θcisr e aplicando a fórmula de Moivre para a multiplicação, vem ( )

444 3444 21 L444 3444 21 L vezes vezes nn

n cisrrrrrz θθθθθ +++++××××××=

Então, ( ) +∈= Znncisrz nn ,θVejamos se esta fórmula é válida para −∈ ZnSeja ( )θθ −== cisrzcisrz e

x

y

O

-b

b z1

z1

aθ

−θ

Então ( )n

n

nn

n

nn

zzz

zzz

zz

×=

×==− 1

Como ( ) 2 e zzzcisrz =×−= θ , vem:

( ) ( )θθ ncisrr

ncisrzzz n

n

n

n

nn −=

−== −−

22

Então, ( )θncisrz nn −= −− Seja 0 e == ncisrz θ Então e aplicando a fórmula definida para , vinha

10 =z{ }0\Zn∈

( ) 1000 =⋅= θcisrz , logo, se , vem Zn∈( ) Znncisrz nn ∈= ,θ


36


Exemplos Calcular

( )2001 i+

421 πcisi =+

( ) ( ) =⋅

=+4

20021200200 πcisi

( ) 100100100 202502 === ciscis π

10

21

23

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

61

21

23 πcisi

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− −

−

6101

21

23 10

10πcisi

ππ35

351 ciscis =

Divisão Consideremos os complexos 0z e e 2222111 ≠== θθ cisrzcisrz O quociente entre e é: 1z 2z

22

21

21

2

1 1zzz

zz

zz

×=×=

Atendendo a que: Se θcisrz = , então ( )θ−= cisrz , vem:

( )2

2

2211

2

1

rcisrcisr

zz θθ −

×= , simplificando

( )212

1

2

1 θθ −×= ciscisrr

zz

,

como já se demonstrou na dedução da fórmula de Moivre para a multiplicação,

( ) ( 2121 )θθθθ −=−× cisciscis , logo ( )212

1

2

1 θθ −= cisrr

zz

Exemplo

Sendo 3

221πcisz = e iz +−= 12 , calcular ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×

1

22z

zi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

222 πcisi ;

3221

πcisz = ; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+−= π

43212 cisiz

temos então:

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ×

3

43

2

322

432

22

π

ππ

π

ππ

cis

ciscis

cis

ciscis

ππππππ127

1255

1211

343

2

55

ciscisciscis ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=


37


Exercícios Efectuar as operações indicadas e apresentar o resultado na forma trigonométrica (exercícios do livro)

1. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

6

2πcis

i 2.

2

121

23

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

i

i 3.

515

31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−

ii

4. ( ) ii

ii−

++−

11 4513

5.

5

223

143

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

ii

i

Radiciação Seja θcisrz =

Chama-se raiz índice n de z e representa-se por n z a todo o número que elevado a n é igual a z.

Aplicando a definição:

θcisrz = γcistzn = γncistz n=

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈+

=

=⇔⎜⎜

⎝

⎛

∈+==

Zkn

kzt

Zkkntr

nn

,2,2 πθγπγθ

Logo,

Zkn

kcisrcisrn n ∈+

×= ,2 πθθ

Exemplo: Resolver, em C, a equação e representar geometricamente as soluções. 013 =+z

⇔−=⇔−=⇔=+ 333 1101 zzz ( )( )πcis11=−

2,1,0,3211 33 =

+×== kkciscisz πππ

Re

Im

O-1

-1

1

1

30 1

πciszk =→=

Re

Im

O-1

πciszk =→= 21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=→=

32 3

πciszk

Construção geométrica das


38


raízes

No exemplo anterior viu-se que as raízes da equação pertenciam a uma circunferência de raio 1 e centro na origem. Verificou-se ainda que as raízes estavam igualmente espaçadas e que portanto dividiam a circunferência em três partes iguais.

De facto temos 1,1,0,2−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= nkn

kcisrcisr nn Lπθθ

• As raízes têm todas o mesmo módulo: n r

• Os argumentos são dados por 1,,1,0,2−=+ nk

nk

nL

πθ , ou seja, estão

em progressão aritmética de razão nπ2 .

Conclusão Os afixos das raízes pertencem a uma circunferência de centro na origem e raio n r e dividem a circunferência em n partes iguais. Exercícios (livro) 1. Calcular: 1.1 as raízes quadradas de i−3

1.2 as raízes quartas de i2

12

1+−

1.3 as raízes quintas de i32− 2. Resolver, em C, cada uma das seguintes equações:

2.1 013 =−z 2.2 014 =+z 2.3 016 =−+ iz2.4 zz =3 2.5 2zz =


39


AULA Nº 18 Sumário Operações com condições e com conjuntos. Objectivos Específicos Representação geométrica de conjunções e disjunções de condições. Desenvolvimento da aula Correspondência entre um número complexo e um ponto no plano de Argand.

Re

Im

P(x,y)

x

y Ao número complexo iyxz += corresponde um ponto ( )yxP , À condição 3≤z , o conjunto de pontos que a satisfaz, em C é :

Re

Im

O-3

-3

3

3

303 ≤−⇔≤ zz , que corresponde à questão: Quais são os pontos do plano de Argand que distam da origem 3 ou menos de 3 unidades? Trata-se de um círculo de centro na origem e raio 3. • O conjunto de pontos definido pela condição ( )zp é o conjunto dos valores do

universo (U) que são solução da condição. • Uma condição universal define o universo

0≥z

• Uma condição impossível define o conjunto vazio 0<z


40


• Conjunção de Condições

Considere-se em C as condições 3 e2 ≤≥ zz À conjunção de condições corresponde a intersecção de conjuntos

32 ≤∧≥ zz Sendo

{ } { }3:2: ≤∈=∧≥∈= zCxBzCxA vem,

321321I BA

zz 32 ≤∧≥↓

( à conjunção de condições corresponde a intersecção de conjuntos)

Re

Im

O-3

-3

3

3

• Disjunção de Condições Qual é o conjunto que corresponde à condição 32 ≤∨≥ zz ?

Sendo

{ } { }3:2: ≤∈=∨≥∈= zCxBzCxA

32132U BA

z 32 ≤∨≥↓1

z

Re

Im

O-3

-3

3

32

2

-2

-2( à disjunção de condições corresponde a reunião de conjuntos)

• Condições contrárias e conjuntos complementares ( ) { }3:3: >∈=→> zCzPzzp ( ) { }3:3:~ ≤∈=→> zCzPzzp

Re

Im

O-3

-3

3

3Re

Im

O-3

-3

3

3

e ∅== PPCPP IU


41


Leis de De Morgan A negação da conjunção de duas condições é equivalente à disjunção das negações das

duas condições:

O complementar da intersecção de dois conjuntos é igual à reunião dos

complementares dos dois conjuntos ( ) ( )[ ] ( ) ( )zqzpzqzp ~~~ ∨⇔∧ QPQP UI =

A negação da disjunção de duas condições

é equivalente à conjunção das negações das duas condições:

O complementar da reunião de dois conjuntos é igual à intersecção dos complementares dos dois conjuntos

( ) ( )[ ] ( ) ( )zqzpzqzp ~~~ ∧⇔∨ QPQP IU = Exemplo

32 ≤∧≥ zz ( ) 3232~ >∨<=≤∧≥ zzzz

Re

Im

O-3

-3

3

32

2

-2

-2

Re

Im

O-3

-3

3

3

2

2

-2

-2

Exercícios (livro) Aplicar as leis de De Morgan para representar geometricamente o conjunto de pontos definido por: 1. ( )31~ >∧≤ zz

2. ( )12~ ≤∧≥ zz


42



Conjunto definidos por condições envolvendo números complexos. Exercícios Objectivos Específicos Representar geometricamente condições definidas analiticamente, e definir analiticamente lugares geométricos Desenvolvimento da aula • Circunferência e círculo

1. Qual a condição que corresponde ao conjunto de pontos sombreado na figura ao lado?

A circunferência de raio menor é o lugar geométrico dos pontos que distam do afixo do complexo i uma unidade. Ou seja, é definida pela condição: 1=− iz A circunferência de raio maior é o lugar geométrico dos pontos que distam do afixo do complexo 0 duas unidades. Ou seja, é definida pela condição: 2ou20 ==− xz

Então o domínio plano é definido por: 21 <∧≥− ziz 2. Representar geometricamente a condição 41 ≤+− iz Geometricamente

41 ≤+− iz

( ) 41 ≤−− iz (pontos que distam 4 ou menos unidades do afixo de ) i−1

Algebricamente

41 ≤+− iz

41 ≤+−+ iyix

( ) ( ) 411 ≤++− iyx

( ) ( ) 411 22 ≤++− yx

( ) ( ) 1611 22 ≤++− yx


43


• Mediatriz Identificar, geométrica e algebricamente, o lugar geométrico definido por 22 −=− ziz

A condição dada representa o lugar geométrico dos pontos que distam igualmente do afixo do complexo 2i e do complexo 2. Ou seja representa a mediatriz do segmento de recta definida pelos pontos e ( 2,0A ) ( )0,2B .

Notas:

• 21 zzzz −=− representa a mediatriz do segmento de recta que tem por extremos os afixos de e 1z 2z

• 21 zzzz −=− representa o semi plano limitado pela mediatriz referida ao qual pertence o afixo de 1z

• Recta paralela ao eixo dos yy ou eixo imaginário

( ) 13Re =+− iz Algebricamente Geométricamente

( ) 13Re =+− iz ( ) 13Re =+−+ iyix

13 =−x 4=x

x

y

x = 4

4


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• Recta paralela ao eixo dos xx ou eixo real ( ) 31Im −≥−+ iz

Algebricamente Geometricamente

( ) 31Im −≥−+ iz ( ) 31Im −≥−++ iyix

31 −≥−y 2−≥y

De um modo geral, se biaz += ( ) →=− rzz 1Re representa a recta rax += ( ) →=− rzz 1Im representa a recta rby +=

• Semi recta Identificar o lugar geométrico correspondente às condições

1. 6

arg π=z .

Geometricamente Algebricamente

( )6

arg π=+ yix

x

y

O6π x

y

O 6π

6arg π

=z

65arg π

−=z

6πtg

xy=

33

=xy

xy33

=

A equação xy33

= não representa o lugar geométrico correspondente a 6

arg π=z .

A equação xy33

= representa a recta de suporte da semi-recta 033

>∧= yxy que

corresponde ao lugar geométrico pedido.


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2. ( )4

31arg π=−z

43π

Geometricamente Algebricamente

( )4

31arg π=−+ yix

x

y

O 1

43π

014

3>∧

−= y

xytg π

01

1 >∧−

=− yx

y

01 >∧=+− yyx

Exercícios (livro) 1. Escrever uma condição que represente cada um dos lugares geométricos do plano de Argand assinalados a cor: 1.1 1.2 1.3 2. Representar no plano de Argand os conjuntos definidos por:

2.1 3≤z 2.2 21 ≤−z 2.3 12 >−+− zi 2.4 131 ≥∧≤+− ziz

3. Indicar o domínio definido por: 3.1 22 +≤− zz 3.2 iziz 33 +≤− 3.3 iziz −−≤− 33

4. Representar no plano de Argand o domínio definido por:

4.1 ( ) 12Re ≥+− iz 4.2 ( ) 23Re ≤− iz 4.3 ( ) 52Im =− iz 4.4 ( ) 23Im −≤+− zi

5. Representar geometricamente no plano de Argand os conjuntos definidos por:

5.1 3

arg π=z 5.2 ( )

41arg π=+z 5.3 ( )

22arg π=−z

5.4 4

arg π=z 5.5

6arg2 π

−=∧≥ zz 5.62

arg0 π≤≤ z


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AULA Nº 20 Sumário Prova de avaliação sumativa Objectivos Específicos Avaliar se os objectivos referentes aos temas deste capítulo foram atingidos pelos alunos. Desenvolvimento da aula Distribuição de uma prova escrita (teste aos conhecimentos) para ser resolvida individualmente pelos alunos.


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ESC. SEC. ALBERTO SAMPAIO BRAGA 12... · 2004-02-15 · • Definição de radiano como sendo a...

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