T2010 s23 resolucao 28Junho2011...condições se e . (Cotação: 1 valor) c) Resolva o problema...
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Matemática II
2010-‐2011 2º Semestre Exame 28 de Junho de 2011
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Pedro Raposo; Maria João Araújo; Carla Cardoso; Vasco Simões O teste tem a duração de 2:30 horas. Deve resolver os grupos em folhas separadas.
Grupo I (4 valores)
1. Seja tal que . Determine de forma que na origem, a
derivada de na direcção (e sentido) do vector seja nula. (Cotação: 2 valores)
2. Mostre que se o vector é perpendicular ao vector gradiente em de uma função homogénea de grau , então . (Cotação: 2 valores)
Grupo II (6 valores)
3. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeita à condição . (Cotação: 2 valores) 4. Considere a função
sujeito a
a) Determine graficamente o mínimo e o máximo de z. Não precisa calcular as coordenadas de
nenhum dos pontos. (Cotação: 1.5 valores)
b) Indique as condições de Kuhn-Tucker para obter o mínimo de z. Mostre como se alterariam as condições se e . (Cotação: 1 valor)
c) Resolva o problema formulado no enunciado da questão 4 para o mínimo de z pelo método de Kuhn-Tucker admitindo que a restrição é não activa. (Cotação: 1.5 valores)
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Grupo III (6.5 valores)
5. Considere o problema:
a) Resolva-‐o, pelo simplex. (Cotação: 2 valores) b) Escreva o dual do problema dado. (Cotação: 1 valor) c) Determine e interprete a solução do dual, através da propriedade dos desvios complementares.
(Cotação: 1 valor) 6. Considere o problema de maximização do lucro de uma dada fábrica que produz 3 produtos utilizando 2 recursos:
Em que o quadro final do simplex é o seguinte:
Z
0 1 0 7/5 1/5 74/5
1 -‐1 0 1/5 -‐2/5 2/5
0 0 1 2/5 1/5 24/5
a) Quanto estaria disposto a gastar para ter mais uma unidade de cada um dos recursos? Justifique.
(Cotação: 1 valor)
b) Um funcionário da fábrica veio avisar o director que afinal a quantidade disponível do recurso 1 se reduziu de 10 para 3. O director afirmou que o problema não era grave pois o lucro era de X. Calcule o valor do lucro X. Comente a afirmação do director. (Cotação: 1.5 valores)
Grupo IV (3.5 valores)
7. Estude a natureza da série . (Cotação: 1 valor)
8. Seja .
(a) Escreva a série de Mac-‐Laurin de . (Cotação: 1.5 valores)
(b) Chamando à série obtida em (a) diga justificando se . (Cotação: 1 valor)
BOA SORTE.
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PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
Grupo I
1. Resolução: , então a derivada dirigida pedida é
Logo
2. Resolução: Se é homogénea de grau tem-se em
que se pode escrever
ou ainda
Se o produto interno é nulo, logo c.q.d. Grupo II
3.
F = xyz − λ(x + 2y + 3z − 6)
∂F∂x
= yz − λ = 0
∂F∂y
= xz − 2λ = 0
∂F∂x
= xy − 3λ = 0
∂F∂λ
= −(x + 2y + 3z − 6) = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⇔
yz = λxz − 2yz = 0xy − 3yz = 0− − −
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇔
− − −z(x − 2y) = 0y(x − 3z) = 0− − −
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
n sistemas, 2 zeros =1, 1 zero=2 e 0
zeros=1, numero de sistemas =4
1
λ = 0z = 0y = 0x = 6
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
2
λ = 0z = 0y = 3x = 0
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
3
λ = 0z = 2y = 0x = 0
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
4
λ = 2 / 3z = 2 / 3y = 1x = 2
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
,
A 6,0,0( ) λ = 0; B 0,3,0( ) λ = 0;
C 0,0,2( ) λ = 0; D 2,1, 23( ) λ = 2
3
H1=-4z
H 2 = 6xz +12yz + 4xy − x2 − 4y2 − 9z2
R.: A, B, C pontos de sela e D máximo f=4/3
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4. a)
F = −x + y − λ1(9 − 2x − y) − λ2 (x2 − 6x + y2 + 4) − λ3(4y − x)
b)
∂F∂x
= 0
∂F∂y
= 0
λ1
∂F∂λ1
= 0
λ2
∂F∂λ2
= 0
λ3
∂F∂λ3
= 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
λ1λ2λ3
∂F∂λ1
∂F∂λ2
∂F∂λ3
≥ 0
⇔
∂F∂x
= −1+ 2λ1 − 2xλ2 + λ3 + 6λ2 = 0
∂F∂y
= 1+ λ1 − 2yλ2 − 4λ3 = 0
λ1(−9 + 2x + y) = 0
λ2 (−x2 + 6x − y2 − 4) = 0λ3(x − 4y) = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
e com condições x>=0 e y>=0 ficaria:
x ∂F∂x
= x(−1+ 2λ1 − 2xλ2 + λ3 + 6λ2 ) = 0
y ∂F∂y
= y(1+ λ1 − 2yλ2 − 4λ3) = 0
λ1(−9 + 2x + y) = 0
λ2 (−x2 + 6x − y2 − 4) = 0λ3(x − 4y) = 0
λ1,λ2 ,λ3,∂F∂λ1
,∂F∂λ2
,∂F∂λ3
,x, y ≥ 0
∂F∂x
,∂F∂y
≤ 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
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c)
∂F∂x
= 0
∂F∂y
= 0
λ1
∂F∂λ1
= 0
λ2 = 0
λ3
∂F∂λ3
= 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
λ1λ2
∂F∂λ1
∂F∂λ3
≥ 0
⇔
∂F∂x
= −1+ 2λ1 − 2xλ2 + λ3 + 6λ2 = 0
∂F∂y
= 1+ λ1 − 2yλ2 − 4λ3 = 0
λ1(−9 + 2x + y) = 0λ2 = 0λ3(x − 4y) = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
1
∂F∂x
= −1 = 0 impossivel
∂F∂y
= 1 + λ1 − 4λ3 = 0
λ1 = 0λ2 = 0λ3 = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
2
∂F∂x
= −1 + 2λ1 + λ3 = 0
∂F∂y
= 1− 4 = 0 impossivel
λ1 = 0λ2 = 0(x − 4y) = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
3
∂F∂x
= −1 + 2λ1 + λ3 = 0 ⇔ λ1 = −1 / 2
∂F∂y
= 1 + λ1 − 4λ3 = 0 ⇔ λ1 = 0 impossivel
(−9 + 2x + y) = 0λ2 = 0λ3 = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
4
∂F∂x
= −1+ 2λ1 + λ3 = 0
∂F∂y
= λ1 = −1+ 4λ3
(−9 + 2x + y) = 0λ2 = 0(x − 4y) = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
3
∂F∂x
= λ3 = 3 / 9 = 1 / 3
∂F∂y
= λ1 = 3 / 9 = 1 / 3
x = 4λ2 = 0y = 9
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
R: min Z=4-‐1=3 para x=4 e y=9 e λ1 = λ3 =
13
.
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___________________________________GrupoIII________________________________________ 5. Resolva-‐o, pelo simplex
Z
1 1 0 0 M 0 0
1 1 1 0 0 0 8
0 1 0 -‐1 1 0 3
-‐1 1 0 0 0 1 2
2 0 0 0 M -‐1 -‐2
2 0 1 0 0 -‐1 6
1 0 0 -‐1 1 -‐1 1
-‐1 1 0 0 0 1 2
0 0 0 2 /// 1 -‐4
0 0 1 2 /// 1 4
1 0 0 -‐1 /// -‐1 1
0 1 0 -‐1 /// 0 3
b. Escreva o dual do problema dado.
zc66
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c. Determine a solução do dual, através da propriedade dos desvios complementares.
Substituindo : , logo, a 1ª restrição é não activa
6. Considere o problema de maximização do lucro de uma dada fábrica que produz 3 produtos utilizando 2 recursos:
Em que o quadro final do simplex é o seguinte:
Z
0 1 0 7/5 1/5 74/5
1 -‐1 0 1/5 -‐2/5 2/5
0 0 1 2/5 1/5 24/5
a) Quanto estaria disposto a gastar para ter mais uma unidade de cada um dos recursos? Justifique.
Os preços sombras dos recursos são 7/5 para o recurso 1 e 1/5 para o recurso 2. Estes preços correspondem ao aumento do lucro por uma unidade adicional de cada um dos recursos. Assim, estaria disposto a gastar até 7/5 de u.m. por cada unidade suplementar do recursos 1 e até 1/ 5 de u.m. por cada unidade suplementar do recurso 2 porque era o que receberia a mais.
b) Um funcionário da fábrica veio avisar o director que afinal a quantidade disponível do recurso 1 se reduziu de 10 para 3. O director afirmou que o problema não era grave pois o lucro era de X. Calcule o valor do lucro X. Comente a afirmação do director.
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Quadro inicial:
Tudo o que acontece à variável de folga , acontece a , então:
Como as varáveis básicas têm que ser não negativas, fica:
É grave, já que não pertence ao intervalo de sensibilidade, portanto os valores das variáveis básicas e do
lucro vão sofrer alterações. Para , então:
Novo quadro:
Z
0 1 0 7/5 1/5 5
1 -‐1 0 1/5 -‐2/5 -‐1
0 0 1 2/5 1/5 2
1/2 0 0 3/2 0 9/2
-‐5/2 5/2 0 -‐1/2 1 5/2
1/2 -‐1/2 1 1/2 0 3/2
zc66
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Grupo IV
7. R: A série de módulos é e como tem-se:
Usando o critério de Cauchy para a série :
portanto a série converge.
e a série converge também e a série inicial em estudo é Absolutamente Convergente.
8. a) Seja , então
e
Posto isto, como
e
fica
b)Não, a igualdades é falsa uma vez que 5 não pertence ao domínio de convergência.