Tcc final ailton

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOSCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA LÓGICO-

HISTÓRICA: delineamentos de uma metodologia de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos

alunos

DISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSODOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE TEREZA ZANON BAPTISTINIORIENTADORA: PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA – PROFESSORA ADJUNTA – DMEALUNO: AILTON BARCELOS DA COSTA

SÃO CARLOS/ SP2009

AILTON BARCELOS DA COSTA

PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA ORIENTADORA

O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA LÓGICO-

HISTÓRICA: Delineamentos de uma metodologia de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos

alunos

DISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSODOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE TEREZA ZANON BAPTISTINI

SÃO CARLOS/ SP

2

2009

SUMÁRIO1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA

1.1 MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA

1.2 QUESTÃO DE INVESTIUGAÇÃO

1.3 OBJETIVOS

2. METODOLOGIA DA PESQUISA

3. TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM

ALGUMAS UNIVERSIDADES

4. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO

PROFESSORES

5. DICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A

PARTIR DA TEORIA

5.1 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES

5.2 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE LIMITES

5.3 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE DERIVADAS

5.4 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE INTEGRAIS

6. HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL

6.1 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÕES

6.1.1 CONCEITO DE FUNÇÕES NA ANTIGUIDADE

6.1.2 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MÉDIA

6.1.3 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MODERNA

6.2 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE LIMITES

6.3 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE DERIVADAS

6.4 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE INTEGRAIS

7. O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO

8. O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE

HOJE

8.1 FUNÇÕES

(i) DECADA DE 1960.

(ii) DECADA DE 1970

3

(iii) DECADA DE 1980

(iv) DECADA DE 1990

(V) DECADA DE 2000

8.2 CÁLCULO

8.2.1 FUNÇÃO

(i) DECADA DE 1960.

(ii) DECADA DE 1970


(iv) DECADA DE 1990

(v) DECADA DE 2000

8.2.2 LIMITE

(i) DECADA DE 1960.

(ii) DECADA DE 1970


(iv) DECADA DE 1990

(v) DECADA DE 2000

8.2.3 DERIVADA

(i) DECADA DE 1960.

(ii) DECADA DE 1970


(iv) DECADA DE 1990

(v) DECADA DE 2000

8.2.4 INTEGRAL

(i) DECADA DE 1960.

(ii) DECADA DE 1970


(iv) DECADA DE 1990

(v) DECADA DE 2000

4

9. ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS DISCIPLINAS INICIAIS DE

CÁLCULO

9.1 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS

(i) T. M. APOSTOL: Calculus – Vol. 1

(ii) G. S. S. ÁVILA: CÁLCULO DIFERECIAL E INTEGRAL 1

(iii) R. COURANT: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – VOL.

1

(iv) H. L GUIDORIZZI: UM CURSO DE CÁLCULO – VOL. 1

(v) N. PISKUNOV: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - VOL.

1

(vi) E. W. SWOKOWSKI: CÁLCULO COM GEOMETRIA

ANALÍTICA - VOL. 1

10. A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NOS CURSOS DE

CÁLCULO

10.1 Metodologias

(i) Seguir os passos da "invenção" do conhecimento.

(ii) Principio Genético

(iii) Método Experimental

(iv) A Perspectiva lógico-histórica no ensino

10.2 Livros de Cálculo usando a história

11. UMA PROPOSTA METODOLÓGICA NO ENSINO DE CÁLCULO

12. DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA AS

DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

13. CONCLUSÕES

14. BIBLIOGRAFIA

15. DATA – LOCAL – ASSINATURA

5

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1: MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA

FIGURA 2: ÁREAS SOBREADAS DOS GRÁFICOS.

FIGURA 3: REPRESENTAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO.

FIGURA 4: REPRESENTAÇÃO DO PRIMEIRO PARADOXO DE ZENÃO.

FIGURA 5:REPRESENTAÇÃO DA APROXIMAÇÃO PARA A ÁREA DO

CÍRCULO.

FIGURA 6: PÁGINA DO LIVRO “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL

JAIRO BEZERRA.

FIGURA 7: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE

APOSTOL (1967)

FIGURA 8: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE ÁVILA

(2001)

LISTA DE GRÁFICOS

GRAFICO 1: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008,

POR SEMESTRE

GRAFICO 2: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEM

DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.

GRAFICO 3: Taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências, de

1999 a 2008.

GRAFICO 4: Taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008.

GRÁFICO 5: FUNÇÃO QUE REGE UMA CORDA ELÁSTICA.

LISTA DE TABELAS

TABELA 1: DADOS DA TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL

E INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008.

TABELA 2: Dados sobre taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem

desistências, de 1999 a 2008.

TABELA 3: Dados da taxa de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2000.

6

TABELA 4: RESUMO DAS PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES PARA FUNÇÕES.

RESUMO

A motivação inicial para nosso trabalho foi o grande número reprovações nas

disciplinas iniciais de Cálculo na Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), nos

últimos dez anos, bem como a análise de dados de algumas universidades brasileiras,

sobre o chamado fracasso do ensino de Cálculo. Também partimos de nossa experiência

em trabalhar com a temática lógico-histórica, visto que a Iniciação Científica, o que nos

levou à questão de investigação, onde perguntamos de forma a perspectiva lógico-

histórica poderia se configurar como metodologia de ensino de Cálculo.

Dessa forma, adotamos uma pesquisa de cunho histórico-bibliográfica, onde esta

se faz preferencialmente sobre documentação escrita, o qual segundo FIORENTINI &

LORENZATO (2006) a coleta de informações é feita a partir de fichamento das leituras.

Já quanto aos instrumentos de coleta de informações, usamos as entrevistas, que

permitem uma obtenção mais direta e imediata dos dados, na qual classificamos por

semi-estruturadas.

Nesse sentido, inicialmente, entrevistamos professores que ministram aulas de

Cálculo. Em seguida, transcrevemos e analisamos tópicos destas entrevistas para

levantamento das dificuldades de aprendizado dos alunos, o qual nos ajudou a

compreender as dificuldades de aprendizado.

Fizemos um estudo do sobre os conceitos de discreto e contínuo no Cálculo, no

qual foi abordado o desenvolvimento da Matemática Discreta e da Matemática

Contínua, desde os gregos com a Escola Platônica, passando pela visão discreta de

Leibniz e a visão contínua de Newton, até chegarmos à análise não-standard.

A história e o desenvolvimento dos conceitos do Cálculo Diferencial e Integral

vêm em seguida, de forma a compreendermos os nexos conceituais do Cálculo,

historicamente construídos.

Ao compreendermos estes nexos, buscamos os currículos e livros didáticos para

analisarmos como foi estruturado o ensino do Cálculo nas escolas de nível médio, desde

a década de sessenta, até os dias atuais, enfatizando como era feito o ensino de tal

disciplina e sua mudança com o surgimento do Movimento da Matemática Moderna.

7

Assim, nos fundamentamos para discutir a importância da História da Matemática nos

cursos de Cálculo e buscamos analisar algumas sugestões metodológicas que têm como

foco, História do Cálculo.

Por fim, indicamos os delineamentos, de uma possível proposta metodológica

para o ensino do Cálculo, o qual segue a delimitação de uma proposta de ensino, da qual

concluímos que pelas nossas pesquisas, concordamos que uma boa alternativa é o

estudo da disciplina via história da matemática, assentada em problemas de cunho

histórico, com uma visão que priorize o desenvolvimento e a evolução dos conteúdos,

em vez do enfoque metodológico tradicional.

8

1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA

Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a nossa experiência em

trabalhar com a temática lógico-histórica, visto que a Iniciação Científica foi feita sob

esta ótica, enfatizando o ensino de seqüências e progressões no Ensino Médio.

Outro ponto considerado importante para a elaboração desse projeto foi o grande

número reprovações nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral que observamos

na UFSCar (Universidade Federal de São Carlos), no período compreendido entre 1999

e 2008, semestralmente, cujos dados seguem logo abaixo, no capítulo 3.

Conforme observa BROLEZZI (2008), no caso particular do Cálculo, que é

considerada porta de entrada para a Matemática superior, há quase uma unanimidade

entre os professores que se interessam por problemas do ensino superior em entender

que seria preciso seguir mais a ordem histórica da construção do Cálculo, que é inversa

da ordem geralmente adotada nos livros, ou seja, de acordo com REZENDE (2003),

possibilitar que o Cálculo exerça no ensino básico de Matemática o mesmo papel

epistemológico que ele realizou no processo de construção do conhecimento

matemático no âmbito científico.

Dessa forma, propomos estudar uma Metodologia que se fundamenta na História

da Matemática para o ensino das disciplinas de Cálculo, onde é proposto que o aluno

participe do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos.

De acordo com estudos realizados anteriormente, durante no nosso projeto

Iniciação Científica, vimos que a análise sobre o uso da História da Matemática,

pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático.

Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não

apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos,

psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o

educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no

ensino, tem condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos,

contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer

com a realidade.

9

Assim, há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser

visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais

como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros

problemas que surgem durante o processo.

Então, o distanciamento propiciado pela História é, assim, imprescindível para

se obter uma visão de conjunto do edifício matemático que se almeja construir no

ensino elementar (BROLEZZI, 1991).

Portanto, estamos propondo uma Metodologia que leve o aluno a participar da

construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das

exigências a relação com a necessidade histórica e social, relacionados ao surgimento

do Cálculo. A este processo, estamos denominando de perspectiva lógico-histórica, o

qual é estudado principalmente pelos seguintes autores: SOUSA, M. C., LANNER DE

MOURA, A. R. e MOISÉS, R. P.

Passemos agora aos objetivos de cada capitulo do corpo do trabalho, antes de

seguirmos ao mapa conceitual das principais idéias da pesquisa.

TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM

ALGUMAS UNIVERSIDADES: O objetivo deste capítulo é mostrar as taxas de

reprovações de algumas universidades brasileiras, inclusive a UFSCar.

CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO

PROFESSORES: O objetivo deste capítulo é fazer com que através de entrevistas a

professores possamos observar algumas concepções de ensino-aprendizagem destes,

bem como algumas concepções sobre como corrigir o grande número de reprovações,

conforme mostrado no capitulo anterior.

DICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A

PARTIR DA TEORIA: O objetivo deste capítulo é analisar conceitos de Cálculo

à luz da literatura especializada, bem como retomando sugestões de professores

entrevistados sobre tais dificuldades.

10

O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO:

O objetivo deste capitulo é mostrar o problema do discreto e do continuo no

desenvolvimento do Cálculo.

HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL: O objetivo deste capitulo é trazer um pouco de como se desenvolveram os

conceitos de Cálculo, como funções, limites, derivadas e integrais.

O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE

HOJE: O objetivo deste capitulo é mostrar como o Cálculo foi inserido no

ensino médio, a partir do currículo e de livros didáticos, desde a década de 60

até os dias de hoje.

1.1 MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA

FIGURA 1: MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA

11

Introd. e Justificativa

MetodologiaTaxas de reprovações

em Cálculo

Entrevista com professores

Análise: dificuldades no aprendizado de cálculo

Historia e Desenv. do Cálculo

Discreto e Continuo do Cálculo

A Importância da História da Matemática no Cálculo

Cálculo no Ensino Médio: de 1960 à 2000

Análise: Livros Usando em Cálculo

Proposta Metod. No Ensino de Cálculo

Delimitação de Propostas de Ensino

1.2 QUESTÃO DE INVESTIGAÇÃO

“De que forma a perspectiva lógico-histórica pode se configurar como metodologia

de ensino de Cálculo?”

1.3 OBJETIVOS

Estudar a história da matemática enquanto metodologia de ensino na disciplina

de Cálculo.

Pesquisar atividades de ensino de Cálculo na perspectiva lógico-histórica.

2. METODOLOGIA DA PESQUISA

A pesquisa é teórica ou de cunho histórico-bibliográfica, onde, se faz

preferencialmente sobre documentação escrita, ou seja, segundo FIORENTINI &

LORENZATO (2006), neste tipo de pesquisa a coleta de informações é feita a partir de

fichamento das leituras. Outra característica desse tipo de pesquisa, para o mesmo autor

é que os documentos para estudo se apresentam de forma estáveis no tempo e ricos

como fonte de informação, pois como no nosso caso, incluem livros, propostas

curriculares, dissertações ou teses acadêmicas e artigos de revistas científicas.

Aqui, entre as descrições de FIORENTINI & LORENZATO (2006) sobre os

vários tipos de estudos bibliográficos desçamos a que mais se encaixa nos nossos

estudos, que é a metanálise, que é uma revisão sistemática de outras pesquisas, visando

realizar uma avaliação crítica das mesmas e/ou produzirem novos resultados ou sínteses

a partir do confronto desses estudos, transcedendo aqueles anteriormente obtidos.

Já quanto aos instrumentos de coleta de informações, usamos as entrevistas, que

de acordo com FIORENTINI & LORENZATO (2006) permite uma obtenção mais

direta e imediata dos dados, servindo para aprofundar o estudo. Já quanto á

classificação, nossas entrevistas são semi-estruturadas, pois aqui, quando o pesquisador

pretendendo aprofundar-se sobre um fenômeno ou questão específica, organiza um

roteiro de pontos a serem contemplados durante a entrevista, podendo, de acordo com o

12

desenvolvimento da entrevista, alterar a ordem dos mesmos e, inclusive formular

questões não previstas inicialmente.

Ainda quanto às entrevistas, FIORENTINI & LORENZATO (2006, p. 122)

destacam uma série de recomendações aos entrevistadores, às quais pretendemos seguir:

Antes de iniciar o processo de entrevista, o

entrevistador deve explicar o objetivo e a natureza

do trabalho, esclarecendo porque ele foi escolhido

para entrevista.

Assegurar o anonimato do entrevistado e o sigilo

do depoimento, garantindo que os mesmos serão

utilizados somente para a finalidade de

investigação.

O entrevistador deve solicitar a autorização para

gravar a entrevista, assegurando, depois, que a

transcrição será lida, revisada e autorizada pelo

entrevistado.

Escolher, para entrevista, um lugar apropriado e

tranqüilo que favoreça um diálogo profundo,

esclarecendo que o entrevistado tem o direito de

não responder a todas as perguntas, podendo,

inclusive, interromper a entrevista.

O entrevistado não deve discutir sua opinião ou

seus pontos de vista, nem mostrar surpresa ou

desaprovação e, mesmo ainda, avaliar

negativamente.

Recomenda-se que o entrevistador não interrompa

o curso do pensamento do entrevistado.

Assim, entrevistamos quatro professores, através de um questionário semi-estruturado,

os quais tinham as seguintes questões, em forma de roteiro:

1. OS ALUNOS APRESENTAM DEFICIENCIAS EM RELAÇÃO AO ENSINO

MÉDIO? QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS?

13

Objetivo: Investigar as principais deficiências dos alunos do ensino médio ao

começar o curso de Cálculo.

2. OS ALUNOS SÃO QUESTIONADORES OU PASSIVOS? INFLUENCIA NA

AULA TAIS ATITUDES?

Objetivo: Investigar a postura dos alunos durante as aulas.

3. OS ALUNOS TÊM DIFICULDADES NA INTERPRETAÇÃO DOS

ENUNCIADOS DOS EXERCICIOS OU PROBLEMAS?

Objetivo: Investigar deficiências de interpretação de textos durante as aulas de

Cálculo, em especial na resolução de exercícios ou problemas.

4. QUAIS AS PRINCIPAIS DIFICULDADES DELES NO ESTUDO DE

LIMITES? TEM DIFICULDADES COM O CONCEITO DE INFINITO?

Objetivo: Investigar as principais dificuldades na aprendizagem de limites.

5. EXISTEM DIFICULDADES NAS DEMONSTRAÇÕES POR PARTE DOS

ALUNOS? POR QUÊ?

Objetivo: Investigar dificuldades nas demonstrações de Cálculo.

6. OS ALUNOS ESTUDAM O CONTEÚDO EM CASA, DE FORMA

CONTINUA OU SÓ NA VESPERA DA PROVA?

Objetivo: Investigar o comportamento dos alunos em relação aos estudos

contínuos do conteúdo.

7. QUAIS AS DIFICULDADES QUE ELES APRESENTAM NO

APRENDIZADO DE DERIVADAS? E EM RELAÇÃO ÀS INTEGRAIS?

Objetivo: Investigar as principais dificuldades na aprendizagem de derivadas.

8. QUE METODOLOGIA VOCE SEGUE COMO UM TODO NO ENSINO DE

CÁLCULO? COMO É A SUA PREPARAÇÃO PARA DA AULA?

Objetivo: Investigar o tipo de metodologia utilizada pelo docente.

14

9. VOCE ACREDITA QUE A MUDANÇA DE METODOLOGIA

INFLUENCIARIA O APRENDIZADO DOS ALUNOS?

Objetivo: Investigar concepções do docente em relação à mudanças

metodológicas.

10. QUAL O PAPEL DA HISTÓRIA E DO DESENVOLVIMENTO DO

CALCULO NAS SUAS AULAS?

Objetivo: Investigar a concepção do docente em relação ao papel da história da

matemática como metodologia nas aulas de Cálculo.

11. O QUE VOCE MUDARIA NA DISCIPLINA DE CALCULO 1?

Objetivo: Investigar se o docente está satisfeito com o modelo de ensino de

Cálculo, bem que prováveis mudanças na disciplina poderiam ser feitas.

Dessa forma, pretendemos estudar os conceitos de Cálculo a partir da

perspectiva lógico-histórica, onde podemos caracterizar a pesquisa por investigação

histórica, como procedimento de ensino, na qual deva ser orientada ou regida pela idéia

de que o conhecimento da evolução de um conceito matemático possibilita ao aluno

a sua compreensão.

De acordo com estudos realizados anteriormente, durante no nosso projeto

Iniciação Científica, podemos dizer que ao pesquisador oportuniza a formação de uma

visão dinâmica e processual da Matemática e estabelecer uma identidade entre

processos de produção e aprendizagem de seus conhecimentos, deixando de

reduzir as questões metodológicas do ensino a uma simples reprodução mecânica.

Aqui também podemos trazer os principais instrumentos de nossa pesquisa, que

são:

- Livros didáticos;

- Propostas curriculares;

- Entrevistas;

- Artigos;

- Dissertações;

15

- Teses.

- Banco de Dados SCIELO.

- Páginas de busca na internet.

- Página do DM – UFSCar na internet.

3. TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM

ALGUMAS UNIVERSIDADES

O objetivo deste capítulo é mostrar as taxas de reprovações de algumas

universidades brasileiras, inclusive a UFSCar.

Tal capítulo também tem a finalidade de desmistificar a concepção de que

apenas na UFSCar existem altos índices de reprovações, pois de acordo com RESENDE

(2003), tal problema do fracasso em Cálculo é não cultural, e que não se justifica pela

condição sócio-econômica da sociedade brasileira, pois sabemos que a situação do

ensino de Cálculo nos países “desenvolvidos” não é muito diferente, visto que trabalhos

sobre esse tema têm sido publicados e recebidos merecido destaque por parte da

literatura especializada internacional.

Dessa forma, levantamos alguns dados sobre reprovações das disciplinas iniciais

de Cálculo, em algumas universidades brasileiras, como segue:

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE (UFF);

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ (UFC);

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP);

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS (UFSCar);

Então, tomando DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p 2), temos que em 1990,

o Sistema Nacional de Avaliação do Ensino - SAEB/ INEP – MEC, realizou uma

pesquisa em 4.790 escolas públicas de vinte e cinco Unidades da Federação, envolvendo

108.982 alunos de 1ª, 3ª, 5ª e 7ª séries, através de testes semi-objetivos e objetivos,

através da qual se constatou que o desempenho qualitativo dos alunos em matemática é

extremamente baixo.

Dessa forma, de acordo com DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p 2), temos:

Estes dados revelados pelo SAEB vêm confirmar a

triste realidade por que passa o ensino de

16

matemática e que nas últimas décadas tem afetado,

sobremaneira, o desempenho dos alunos que

ingressam na universidade, principalmente aqueles

que são dirigidos a cursar a disciplina Cálculo

Diferencial e Integral I. Os efeitos dessas

deficiências podem ser observados na própria

estatística de aprovação nessa disciplina, na

Universidade Federal do Ceará, que não chega a

ultrapassar 33% dos alunos matriculados em cada

semestre.

Em RESENDE (2003, p. 1) temos os seguintes dados:

BARUFI (1999), em sua tese de doutorado, nos

revela alguns dados alarmantes dessa crise: o

índice de não-aprovação em cursos de Cálculo

Diferencial e Integral oferecidos, por exemplo, aos

alunos da Escola Politécnica da USP, no período

de 1990 a 1995, varia de 20% a 75%, enquanto

que no universo dos alunos do Instituto de

Matemática e Estatística o menor índice não é

inferior a 45% - isto é, não se aprova mais do que

55% em uma turma de Cálculo.

No que diz respeito à UFF, instituição onde

leciono, os índices de não-aprovação são bem mais

catastróficos do que os levantados por Barufi, na

USP.

Assim, de acordo com REESENDE (2003, p. 2), temos:

Na UFF, a variação do índice de não-aprovação

se encontra na faixa de 45% a 95%, sendo que,

para o Curso de Matemática, este não é inferior a

65%.

17

Agora, tomando a UFSCar, de acordo a página do Departamento de Matemática

da mesma, podemos mostrar dados sobre reprovações nas seguintes disciplinas:

Cálculo 1;

Cálculo Diferencial e integral 1

Cálculo A;

Cálculo B;

TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL E

INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E

2008, POR SEMESTRE:

TABELA 1: DADOS DA TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO

DIFERENCIAL E INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS,

ENTRE 1999 E 2008.

18

GRAFICO 1: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL E

INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008,

POR SEMESTRE

Dessa forma, vemos que a taxa de reprovação dessa disciplina varia entre 27% e

60%, com uma taxa semestral média de 35,75%.

TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEM

DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.

20

1999

/119

99/2

2000

/120

00/2

2001

/120

01/2

2002

/120

02/2

2003

/120

03/2

2004

/120

04/2

2005

/120

05/2

2006

/120

06/2

2007

/120

07/2

2008

/120

08/2

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

REPROV. CDI 1Coluna C

GRAFICO 2: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE,

SEM DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.

Aqui vemos que a taxa de reprovação varia entre 29% e 48%, com taxa média

semestral de 34,6%.

Agora, vamos tomar a taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem


212

00

5/1

20

05

/2

20

06

/1

20

06

/2

20

07

/1

20

07

/2

20

08

/1

20

08

/2

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0REPROV. CALCULO 1 Coluna C

TABELA 2: Dados sobre taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem


GRAFICO 3: Taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências,

de 1999 a 2008.

Aqui vemos a taxa de reprovação variar entre 15% e 63%, com taxa média anual

de 38,3%.

Agora, finalmente, vamos tomar as taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a

2008:

TABELA 3: Dados da taxa de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2000.

22

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 20080.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

REPROV. CALC. A

Coluna C

GRAFICO 4: Taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008

Aqui vemos que a taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com uma taxa

anual média de 33,8%.

Então, agora podemos fazer uma análise das taxas sobre as taxas de reprovações

nas disciplinas iniciais de Cálculo na UFSCar.

Então, revisando, se tomarmos a UFSCar, podemos mostrar dados sobre

reprovações nas seguintes disciplinas inicias de Cálculo:

23

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 20080.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

REPROV. CALC. B

Coluna C

Cálculo 1: A taxa de reprovação varia entre 27% e 60%, com taxa média de

35,75%.

Cálculo Diferencial e integral 1: A taxa de reprovação varia entre 29% e 48%,

com taxa média de 34,6%.

Cálculo A: A taxa de reprovação variar entre 15% e 63%, com taxa de 38,3%.

Cálculo B: A taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com taxa média de

33,8%.

Antes de entramos nas taxas reprovações, vamos ver algumas observações sobre

o caráter de cada disciplina, observando o objetivo geral de cada uma delas:

CALCULO 1 (4 CRÉDITOS TEÓRICOS):

Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, derivada e integral de funções

reais de uma variável real.

Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos e das técnicas de cálculo

diferencial e integral dessas funções.

Desenvolver a habilidade de implementação desses conceitos e técnicas em

problemas nos quais eles se constituem os modelos mais adequados.

Desenvolver a linguagem matemática como forma universal de expressão da

ciência.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 (5 CRÉDITOS TEÓRICOS + 1

PRÁTICO):

Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, derivada e integral de funções de

uma variável real.

Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos e das técnicas de cálculo

diferencial e integral 1.

Desenvolver a habilidade de implementação desses conceitos e técnicas em

problemas nos quais eles se constituem os modelos mais adequados.

Desenvolver a linguagem matemática como forma universal de expressão da

ciência.

Desenvolver a habilidade computacional colocando o aluno em contato com os

laboratórios computacionais reenge/ligs desde o seu ingresso na ufscar.

24

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A (4 CRÉTIDOS TEÓRICOS):

Familiarizar o aluno com a linguagem matemática básica dos problemas de

continuidade, diferenciação e integração, que são conceitos imprescindíveis no estudo

da física moderna e das ciências em geral.

Apresentar ao aluno as primeiras aplicações do cálculo diferencial e integral nas

ciências físicas e aplicadas.

Utilizar programas computacionais para cálculos algébricos e aproximados,

visualizações gráficas e experimentos computacionais, ligados à teoria do cálculo

diferencial de funções reais de uma variável.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL B (4 CRÉDITOS TEÓRICOS):

Desenvolver os conceitos e técnicas ligadas ao cálculo integral.

Introduzir o aluno no universo das equações diferenciais ordinárias.

Fornecer ao estudante técnicas para a resolução de equações diferenciais

ordinárias de 1ª e 2ª ordens.

Utilizar programas computacionais para o cálculo algébrico e aproximado,

visualizações gráficas e experimentos computacionais, ligados à teoria da integração e

às equações diferenciais ordinárias.

Dessa forma, a média de reprovações nas quatro disciplinas iniciais de Cálculo

oferecidas pela UFSCar, está entre 33,3% e 38,3%, o que é inferior às taxas aqui citadas

da UFC, UFF e USP, mas ainda são consideradas altas.

Dessa forma, podemos tirar a conclusão de que as taxas de reprovações nas

disciplinas iniciais de Cálculo na UFSCar são inferiores às taxas das respectivas

universidades citadas acima, que é o oposto da nossa concepção antes do trabalho, e

também bem como do que é propalado entre os estudantes de nossa universidade.

Assim, observando os objetivos gerais de Calculo 1 e de Cálculo Diferencial e

Integral 1, vemos os objetivos são os mesmos, a menos de no segundo existir um crédito

para aplicações computacionais. Também observamos que o segundo tem um crédito

teórico a mais que o primeiro.

Já Calculo A e B, existem mais conceitos teóricos, e menos aplicados que as

outras disciplinas iniciais de Calculo, além de Cálculo A ser oferecido no segundo

período, após o oferecimento da disciplina de Fundamentos 1, de nível mais elementar.

25

Dessa forma, o grande numero de reprovações em Calculo A pode acontecer

devido à dificuldade em linguagem matemática básica de funções, o que incluem-se

demonstrações, uma deficiência tida como fundamental dos alunos que chegam à

universidade, já que tal estudo raramente é feito no ensino médio, segundo ÁVILA

(1991).

Agora, segue abaixo entrevistas com professores, de onde podemos observar

algumas concepções destes sobre ensino-aprendizagem de Cálculo.

4. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO

PROFESSORES

O objetivo deste capítulo é fazer com que através de entrevistas a professores

possamos observar algumas concepções de ensino-aprendizagem destes, bem como

algumas concepções sobre como corrigir o grande número de reprovações, conforme

mostrado no capitulo anterior.

Dessa forma, pretendemos tirar a partir das concepções sobre ensino-

aprendizagem algumas dificuldades dos alunos e possíveis soluções apontadas por esses

professores, para que no próximo capitulo possamos fazer uma análise detalhada de tais

dificuldades, mediante a literatura disponível.

Assim, passamos às transcrições dos principais episódios de tais entrevistas.

(i) PRINCIPAIS DEFICIÊNCIAS DE ENSINO MÉDIO DOS ALUNOS DE

CÁLCULO:

PROFESSOR 1: Não aponta.

PROFESSOR 2: Deficiências: conceitual e de conteúdo, tanto algébrica quanto

geométrica.

PROFESSOR 3: Varia de curso para curso, pois cursos mais concorridos têm

poucas deficiências, enquanto os menos concorridos, muitas deficiências.

PROFESSOR 4: A primeira dificuldade está em álgebra.

ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui podemos notar que três professores apontam

que os alunos têm deficiências, mas somente dois as enumera, onde são descritos

26

por dois como de ordem algébrica e por por um deles de ordem geométrica, o

que podemos dizer há um problema na estruturação do pensamento algébrico por

parte desses alunos.

(ii) LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS:

PROFESSOR 1: Dificuldade em ler o livro, em interpretação

PROFESSOR 2: Tem dificuldade de interpretação e de expressão.

PROFESSOR 3: Poucas dificuldades, e não atrapalha.

PROFESSOR 4: Acredito que exista uma componente cultural, pois não sabem

se expressar, e nem conseguir interpretar os textos, pois lêem pouco.

ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui há um consenso sobre dificuldades de

interpretação de texto, onde um professor chega a citar como uma dificuldade de

origem cultural, devido à pouca leitura que os alunos fazem fora das obrigatórias

para a faculdade. Tal dificuldade de interpretação também é citada por BARUFI

(1999), cita (Machado, 1990, p. 10), onde retiramos o seguinte comentário a respeito

da colaboração entre a Matemática e a Língua Materna:

Entre a Matemática e a Língua Materna existe

uma relação de impregnação mútua. Ao

considerarem-se estes dois temas enquanto

componentes curriculares, tal impregnação se

revela através de um paralelismo nas funções que

desempenham, uma complementaridade nas metas

que perseguem, uma imbricação nas questões

básicas relativas ao ensino de ambas. É

necessário reconhecer a essencialidade dessa

impregnação e tê-la como fundamento para a

proposição de ações que visem à superação das

dificuldades com o ensino da Matemática.

Dessa forma, vemos que os alunos, segundo os professores entrevistados,

não percebem a importância e nem a relação entre Língua Materna e Matemática, o

27

que está explicito na falta de leitura extracurricular. Assim, alunos chegam no curso

superior com dificuldades de interpretação de texto, o que se reflete, por exemplo,

no não entendimento de enunciados de exercícios e problemas.

(iii) QUANTO AOS ALUNOS FAZEREM PERGUNTAS EM SALA DE

AULA:

PROFESSOR 1: Não perguntam.

PROFESSOR 2: Menos de 20%.

PROFESSOR 3: Menos de 10%.

PROFESSOR 4: Não perguntam.

ANÁLISE DO TÓPICO: Neste tópico enfatizamos a passividade, ou de outra

forma, se os alunos perguntam em sala de aula. As respostas são estarrecedoras, já a

taxa de alunos que participam ativamente da aula é de uma taxa muito baixa. Aqui,

surgiu outro fato, sobre a causa dessa passividade, o que não sabem identificar de

uma forma geral, mas tal fato por ter origem no ensino médio, e na forma que tais

alunos sempre se comportam em sala de aula.

(iv) A PASSIVIDADE DOS ALUNOS INFLUENCIA OU NÃO O

APRENDIZADO:

PROFESSOR 1: Influencia.




ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui surge outra unanimidade, onde os professores

declaram que a passividade dos alunos influencia o aprendizado, ao não expressar

aos professores onde pode estar o problema da aula, das dificuldades sentidas ou da

própria metodologia do professor.

(v) QUANTO À PERCEPÇÃO QUE O ALUNO ESTUDA

CONTINUAMENTE OU NÃO:

28

PROFESSOR 1: Os alunos não estudam continuamente.




(vi) QUANTO À PROCURA NO ATENDIMENTO:

PROFESSOR 1: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre.




(vii) ANÁLISE DO TÓPICO: Neste tópico há unanimidade novamente, quando os

professores identificam que os alunos não estudam continuamente, de uma forma

geral, pois tanto nas monitorias quanto nos atendimentos, há pouca procura durante

todo o período, e se concentrando na véspera da prova tal procura por tirar as

dúvidas na disciplina. Entre os professores há um consenso que se alunos estivessem

estudando continuamente, haveria mais procura dos alunos nos atendimentos, e uma

possível identificação mais fácil por parte dos professores dos pontos de mais

dificuldades por parte dos alunos.

(viii) QUANTO À DIFICULDADE EM LIMITES:

PROFESSOR 1: A dificuldade é no conceito em si, na abstração.

PROFESSOR 2: É um conceito complicado, de depende muito do professor.

PROFESSOR 3: Limites têm dificuldades na definição, e na idéia geométrica.

PROFESSOR 4: Usa o mínimo de linguagem matemática avançada, e

minimiza as dificuldades usando a idéia geométrica.

(ix) QUANTO AO CONCEITO CHAVE EM CÁLCULO:

PROFESSOR 1: Limites.




29

ANÁLISE DO TÓPICO: Uma unanimidade que surge aqui é a citação do conceito

de limite como chave nos cursos de Cálculo, ou seja, RESENDE (2003, p. 9), nos

traz seguinte, fazendo a mesma referência:

(…) O conceito de função, introduzido no núcleo

semântico do Cálculo por Euler e Lagrange, vai

constituir, junto com a noção de limite, a urdidura

da nova estrutura do Cálculo.

Dessa forma, podemos dizer que podemos definir derivadas como um

limite, e da mesma uma integral, como o limite das somas de Riemann, ou seja,

colocando limite como um conceito de fato fundamental nos cursos iniciais de

Cálculo.

(x) QUANTO ÀS DIFICULDADES EM DERIVADAS:

PROFESSOR 1: Dificuldade em limites.




ANÁLISE DO TÓPICO: Podemos que derivada é definida como um limite, ou

seja, se aluno teve dificuldades em limites, e não tem esse conceito bem assentado,

vai ter dificuldades em derivadas.

(xi) QUANTO ÀS DIFICULDADES EM INTEGRAIS:



PROFESSOR 3: Dificuldade nas técnicas, como de substituição trigonométrica.

PROFESSOR 4: Dificuldades e continuidade e em aplicações.

ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui dois professores relatam que os alunos tem

dificuldades em limites, pois de fato, podemos tomar a integral como o limite das

30

somas de Riemann. Outras dificuldades relatadas são nas técnicas de integração, na

parte algébrica em si.

(xii) QUANTO À METODOLOGIA USADA NA SALA DE AULA:

PROFESSOR 1: Não sabe o que é metodologia.

PROFESSOR 2: Tradicional.



ANÁLISE DO EPISÓDIO: Quando perguntado sobre que tipo de metodologia o

professor usava em sala de aula, encontramos que três deles só usavam a tradicional,

enquanto outro não sabia o que era metodologia.

(xiii) QUANTO AO USO DE METODOLOGIA DE HISTORIA DA

MATEMÁTICA OU MUDUNDAÇA NA METODOLOGIA:

PROFESSOR 1: Não sabe.

PROFESSOR 2: Não perguntado.

PROFESSOR 3: Não resolve.

PROFESSOR 4: Não resolve. Historia da Matemática só serve para motivação.

ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui tratamos de indagar se o uso de história da

matemática enquanto metodologia ajudaria alguma coisa no aprendizado dos alunos.

O resultado é que um deles não sabe se ajuda ou não, enquanto outros dois afirmam

que não resolvem, pois na visão deles, a história só serviria como motivação aos

alunos. Aqui destacamos que estes professores têm uma formação técnica em

matemática pura, e na sua maneira de ver o ensino, apenas reproduziriam o que teria

visto em suas vidas acadêmicas.

(xiv) O QUE FAZER PARA DIMINUIR AS REPROVAÇÕES:

PROFESSOR 1:

O que diminuiria o numero de reprovações, é se talvez você desse mais tempo. A

pergunta é para que você quer isso? Aprendizado? Ótimo, não deu nesse semestre,

tente de novo. A comparação que eu faço é que se a gente pedisse para a mesmo

31

numero de alunos que faz calculo fosse aprender musica, talvez você teria índices de

reprovações mais altos.

PROFESSOR 2: O aluno tem que ter consciência do que ele ta fazendo aqui.

Depois, a herança cultural que trouxe. Tem que ter boa vontade, motivação, de

natureza interna. De 40 a 45 anos de magistério, vejo que o aluno tem que ter

disposição em aprender.

PROFESSOR 3: Precisa conscientizar os alunos a estudar e de maneira certa.

Estuda errado.

PROFESSOR 4: Qual o índice de reprovações no ITA? Não sei, mas deve ser

baixo. Acredito que lá devo ser próximo de zero. Eles tem vestibular forte, e entra

quem tem capacidade e competência. Aqui talvez não fazemos isso, os alunos não

têm base, o vestibular é fraco.

ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui foi abordado o tema reprovações, o que poderia

ser feito para diminuí-las. O professor 1 diz que poderia dar mais tempo para o

aluno fazer cálculo, e de certa forma, reprovações aqui não inevitáveis. O professor

2 vem dizer que o problema está no aluno, na falta de motivação e de consciência do

que ele está fazendo na universidade, e que tem haver muito com a herança cultural

de cada aluno. Já o professor 3 vem dizer que o problema está no aluno, e ele não

sabe estudar. Finalmente o professor diz que o problema está na base do aluno, e

que o vestibular é fraco e que não os seleciona direito.

5. DIFICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A

PARTIR DA TEORIA

O objetivo deste capítulo é analisar conceitos de Cálculo à luz da literatura

especializada, bem como retomando sugestões de professores entrevistados sobre tais

dificuldades.

32

Retomando o capitulo anterior, onde dissemos que, de acordo com RESENDE

(2003), um dos grandes desafios no ensino superior de matemática ainda é, sem dúvida,

o tão propalado “fracasso no ensino de Cálculo”.

Dessa forma, continua a nos falar RESENDE (2003), que tal problema do

fracasso em Cálculo é não cultural, e que não se justifica pela condição sócio-

econômica da sociedade brasileira, pois sabemos que a situação do ensino de Cálculo

nos países “desenvolvidos” não é muito diferente, visto que trabalhos sobre esse tema

têm sido publicados e recebidos merecido destaque por parte da literatura especializada

internacional. DAVID TALL (1976), por exemplo, continua RESENDE (2003), tem

sido um dos principais articuladores da área de pesquisa “pensamento matemático

avançado”, cujas questões giram em torno das dificuldades encontradas nas

aprendizagens dos conceitos básicos do Cálculo, tendo a psicologia cognitiva como

pano de fundo para as suas análises epistemológicas.

Dessa forma, podemos apresentar algumas questões, levantadas por RESENDE

(2003, p. 4), tais como:

a) Qual é a razão de tantas reprovações?

b) Onde reside a dificuldade?

c) No processo de aprendizagem?

d) No aluno, isto é, na “falta de base” do aluno?

e) Ou estaria esta dificuldade no próprio professor, ou na metodologia de ensino,

ou ainda, na estrutura curricular do ensino de matemática que não dá o suporte que

esta disciplina mereceria?

São muitas as respostas e encaminhamentos por pesquisadores da área, ou seja,

de acordo com RESENDE (2003), uns preferem justificar o problema no âmbito da

psicologia cognitiva, pois acreditam que o problema é de natureza psicológica, isto é,

os alunos não aprendem por que não possuem estruturas cognitivas apropriadas que

permitam assimilar a complexidade dos conceitos do Cálculo; já para outros o problema

é de natureza mais simples, ou seja, as dificuldades de aprendizagem são decorrentes do

processo didático, isto é, a solução reside em se encontrar uma forma apropriada para se

ensinar a disciplina de Cálculo.

33

Dessa forma, tentaremos resumir as algumas dificuldades no aprendizado dos

tópicos apresentados nas disciplinas iniciais de Cálculo.

5.2 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES

De acordo com OLIMPIO JUNIOR (2006), entre os conceitos matemáticos

referidos às funções é, seguramente, o único apresentado e discutido na maioria absoluta

dos cenários de Ensino Médio brasileiro.

Dessa forma, ao longo do desenvolvimento histórico do conceito de função,

foram surgindo algumas dificuldades, e sendo superadas, na medida do possível.

Então, podemos começar pelo conceito de variável independente, que segundo

COTRET (1986/7), citado em OLIVEIRA (1997), é importante saber que tal noção

aparece no conceito de função a partir do conjunto de estudos qualitativos e

quantitativos do movimento, e isto, por intermédio das representações gráficas, pois até

fim da idade média, não se considerava que certos valores se integravam dentro do

conceito de grandeza variável. Tal separação era devida aos obstáculos das proporções,

da homogeneidade e da incomensurabilidade. Vejamos então estes obstáculos

epistemológicos:

Proporção

OLIVEIRA (1997) vem nos dizer que entre os gregos, e até a Idade Média, as

relações entre grandezas ou entre quantidades eram expressas por meio de proporções,

pois deste fato devem-se sempre considerar 4 elementos aleatórios. Continua

OLIVEIRA (1997), que esta forma de proceder dissimulava a relação de funcionalidade

que podia existir entre as 2 variáveis em jogo, ou seja, por exemplo, para exprimir a

relação que existe entre a área e o diâmetro de um círculo, procedia-se assim: A1/ A2 =

(d1)2 / (d2)2. Dessa forma, este elemento de funcionalidade não podia ser expresso

pela proporção.

Homogeneidade

Segundo OLIVEIRA (1997), o princípio de homogeneidade estipulava que só se

poderia comparar elementos da mesma natureza, as áreas ou os segmentos ou ainda os

volumes.

34

Pode-se dizer, segundo OLIVEIRA (1997), que a homogeneidade reforçou a

utilização das proporções, isto é, por exemplo do obstáculo da homogeneidade, pode-se

sublinhar o fato que antes da extinção deste obstáculo, era impossível dar-se uma

definição métrica da velocidade, quer dizer, não se podia definir a velocidade como uma

função da distância e do tempo, isto é, v = d/t, pois estes elementos são de naturezas

diferentes, ou seja, utilizava-se então sempre as proporções, por exemplo: v1 / v2 = t1 /

t2.

Assim, concluindo, OLIVEIRA (1997) nos diz que na realidade, o que se perdia

não eram os próprios elementos, mas as relações desses elementos, e essas relações

podiam ser quantitativas, mas também, simplesmente, as relações de grandezas que não

poderiam ser expressas numericamente.

Incomensurabilidade

Segundo OLIVIVEIRA (1997), não podemos dizer que o conhecimento da

incomensurabilidade seja um obstáculo como tal ao desenvolvimento de função, mas

teve considerável influência sobre a utilização das proporções, pois além de provocar

um retrocesso, ela criou um mal entendido a tudo que toca o infinito. Assim,

OLIVEIRA (1997), nos diz que este problema é de grande importância, pois relaciona

com tudo que tem a ver com os conceitos de variações.

5.3 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE LIMITES

Segundo VIEIRA (1999), as dificuldades relativas ao ensino e à aprendizagem

do conceito de limite são há muito conhecidas.

Assim, ao tomarmos ENGLER at al (2007), citamos ARTIGUE (1995) que vem

nos dizer que as dificuldades de acesso ao cálculo são diversificadas e complexas. Por

isso, segundo ENGLER at al (2007), é possível agrupá-las em categorias amplas,

associadas com:

a) A complexidade matemática dos objetos básicos do cálculo;

b) A conceitualização e formalização da noção de limite no núcleo de seu

conteúdo e ao seu tratamento sobre o ensino;

c) Na ruptura álgebra/ cálculo, há uma brecha entre o pensamento analítico e

algébrico.

35

Continuamos seguindo ENGLER at all (2007), onde ele se refere aos trabalhos

de CORNU (1991) e SIERPINSKA (1985), onde estes manifestam que a enorme

dificuldade de ensino e aprendizagem do conceito de limite se deve a sua complexidade,

tanto nos aspectos cognitivos implicados, não se podem gerar a partir da definição

matemática.

Já ARTIGUE (1998), vêm nos dizer que as investigações didáticas a respeito das

dificuldades persistentes na aprendizagem de limites têm diversas origens, e formam

uma rede complexa. Dessa forma, continua ARTIGUE (1998), foram agrupadas tais

dificuldades em categorias, dependentes umas das outras, que são as seguintes:

As dificuldades ligadas a complexitude matemática dos objetos básicos

do campo conceitual: números reais, funções e sucessões.

ARTIGUE (1998), nos diz que em relação aos números reais, diversos estudos

mostram que os alunos não se apropriam de tais conceitos de forma adequada para a

aprendizagem da análise, conforme ROBINET (1986).

Seguindo ARTIGUE (1998), os estudantes têm a concepção de número real

através de calculadora principalmente, e quando chega ao cálculo, os números reais são

tratados como objetos algébricos.

Já quanto à dificuldade no conceito de função, já foi tratado acima.

As dificuldades ligadas a conceitualização da noção de limite, que é a

noção central do seu domínio técnico.

ARTIGUE (1998) nos diz que muitas das dificuldades estão associadas à

conceitualização da noção de limite, ou seja, aqui é necessário mencionar a noção de

obstáculo epistemiológico introduzido por Bachelard. Para ele, segundo ARTIGUE

(1998), o conhecimento científico não se desenvolve num processo continuo, uma vez

que resulta das formas prévias do conhecimento que se constituem em obstáculos

epistemiológicos. Aqui também temos a hipótese de que tais obstáculos se encontram

no desenvolvimento histórico do conceito e na aprendizagem atual, a pesar das

diferenças cognitivas e culturais evidentes, como se fossem constituídos da gênese do

conceito, isto é, ampliando a utilização da análise histórica.

Então de acordo com ARTIGUE (1998, p. 4), temos:

36

Podemos falar aqui dos obstáculos que se

encontram também no desenvolvimento histórico

do conceito, a pesar das diferentes concepções

cognitivas e culturais envolvidas.

Também podemos mencionar que o conceito de

limite como o de função tem duas dimensões: uma

de processo e uma de objeto, a possibilidade de

manejar com eficácia estas duas dimensões requer

processos cognitivos.

Por fim, outra categoria importante de dificuldade

vem das características da definição formal do

conceito de limite: sua complexidade lógica e a

necessidade de inverter a direção do processo que

vai da variável x ao valor da função f(x). Assim,

aliada a estas características formais, temos um

ponto essencial. Porém, além destas

características formais, há um ponto essencial:

entre uma concepção intuitiva dos limites e uma

concepção formal, há um salto qualitativo

fundamental, também atestado pela história do

conceito.

Assim, podemos dizer que o conceito formal de

limite é um conceito rompe com as concepções

prévias de tal noção.

As dificuldades ligadas à uma necessária ruptura com os modos de

pensamento do funcionamento algébrico.

Segundo ARTIGUE (1998), as atividades de Cálculo se apóiam em

competências algébricas, e ao mesmo tempo no chamado pensamento analítico, onde é

necessária certa distância em relação ao pensamento algébrico. Assim, segue ARTIGUE

(1998), a ruptura entre o pensamento algébrico e o analítico se organiza em várias

dimensões, onde as principais são as seguintes:

37

É necessário enriquecer sua visão da noção de igualdade e desenvolver

novos métodos para provar as igualdades, isto é, podemos notar que uma reconstrução

similar da noção de igualdade foi posta em evidencia pela investigação didática, na

transição do pensamento numérico para o pensamento algébrico.

Dessa forma, tomar consciência de todas as mudanças e do crescimento da

dificuldade técnica do trabalho matemático, nos ajudam a compreender melhor a

distância que separa a capacidade de formular a definição formal da noção de limite,

ilustrada por exemplos e contra-exemplos, representada graficamente, e por outra parte,

de dominar tecnicamente esta definição, é decidir ser capaz de utilizá-la como um

instrumento operativo na resolução de problemas.

Assim, podemos mencionar outra dimensão da ruptura Álgebra/ Cálculo. A

entrada no mundo do cálculo obriga também aos estudantes a reconstruir objetos

matemáticos.

5.4 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE DERIVADAS

Segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), ARTIGUE (1995), nos diz

que podemos ensinar os alunos a realizar de maneira mais ou menos mecânica alguns

alunos de cálculo a resolver alguns problemas, mas teremos dificuldades para que tais

jovens atinjam uma compreensão satisfatória dos conceitos e métodos de pensamento

do centro da análise matemática, ou seja, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) vem

dizer que no fundo a raiz da questão é que alunos não constroem um significado

adequado do conceito de derivada, pois esta construção parcial do significado nos

cursos iniciais podem gerar dificuldades no seu desempenho futuro.

SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) continuam dizendo que as perspectivas

teóricas das investigações nos permitem compreender melhor como dar significado à

maneira que os alunos resolvem os problemas, indicando as características de

aprendizagem.

Dessa forma, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 269), nos diz o

seguinte:

Entre as diversas perspectivas teóricas que tem adotado os investigadores, se

encontram as aproximações centradas nos elementos de cognição, como:

38

- Esquema conceitual (Azcárate, 1990), derivada

da idéia de imagem do conceito (Tall, 1989).

- Idéias procedentes de uma aproximação

piagetiana do conhecimento e seu

desenvolvimento, da teoria APOE (Asiala, Cottrill,

Dubinsky, & Schwingendorf, 1997) e do

desenvolvimento dos esquemas (Clark et al., 1997)

e Baker et al., 2000);

- Idéias precedentes do papel das representações e

atividades com o desenvolvimento dos significados

(Font, 2000a; 2000b; Habre & Abboud, 2006);

- A teoria da reificação, que centra-se nos vínculos

processo-objeto (Zandieh, 2000).

No entanto, segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), durante os

últimos anos se desenvolveu uma linha de investigação no México que se ocupa da

aproximação da teoria conhecida como sócio-epistemiológica, a qual estuda os

fenômenos de produção e difusão do conhecimento através de uma perspectiva múltipla,

de acordo com Cantoral & Farfán (2003).

Assim, com base em tais pressupostos, foi organizada a informação atendendo

aos seguintes aspectos:

Erros e dificuldades da compreensão da derivada, ou seja, a noção de taxa de variação –

relação entre taxa e razão de uma mudança progressiva.

SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) nos diz que podemos em resumo dizer

que a sócio-epistemiologia considera o conceito de derivada como um complexo de

práticas de natureza social que lhe dão sentido e significado. Além, os trabalhos nesta

linha de investigação abandonam a abordagem para a derivada “a partir da definição de

limite do quociente incremental e da explicação da secante que lhe é tangente”, pois

defendem a idéia de que até não se vê a noção de derivada como uma organização das

variações sucessivas não será compreendida.

Os sistemas de representação como ferramentas para pensar sobre as derivadas.

39

SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) nos mostra que a descrição sobre os

erros e dificuldades que os estudantes têm com respeito às derivadas foi o objetivo das

primeiras investigações realizadas sobre este tema, ou seja, ORTON (1983), segundo

SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), identificou três tipos de erros que cometiam

os alunos nos exercícios de diferenciação e suas aplicações:

Estruturais, relacionados com os conceitos implicados.

Arbitrários, quando o aluno se comporta arbitrariamente sem tomar em conta os dados

do problema.

Manipulação: embora os conceitos envolvidos possam ser entendidos.

De acordo com SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), se consideramos que a

derivada em um ponto nos indica a velocidade de mudança, a compreensão de tal idéia

se apóia no saber prévio da razão entre o incremento de x em relação a y.

Dessa forma, em resumo, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007):

Orton indica que as dificuldades com a idéia de razão de

mudança e sua vinculação ao tipo de função linear ou quadrática

podiam ter sua origem na difícil compreensão sobre o conceito de

função. As informações destas investigações destacam-se pela

importância da razão de mudança e do quociente incremental na

compreensão da derivada, entendida como uma qualificação da

mudança.

O local e o global, ou seja, a relação entre a derivada de um ponto f ′(a) e a função

derivada f ′(x).

Outro aspecto importante na compreensão da derivada, segundo SÁNCHEZ-

MATAMOROS at al (2007), é a relação entre o aspecto local e o global num ponto

dado f ′(a) e a idéia de função derivada f ′(x), que permite passar de uma perspectiva

pontual a uma global. Dessa forma, os estudos de BADILLO (2003), segundo

SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), diz que a existência de diferentes significados

da idéia de derivada num ponto e da função derivada, isto é, a compressão gráfica de f

(x), f '(a) y f '(x) mostra ser difícil, já que se identificaram algumas inconsistências como

as seguintes:

A confusão entre a derivada num ponto x = a, f ′(a) e a função derivada, f ′(x).

40

A redução da expressão simbólica de f ′(x) à equação da reta tangente, e gráfica de

f ′(x) à da reta tangente.

A falta de justificativas sobre o uso das técnicas de derivação direta e indireta.

SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 284) nos diz que:

A complexidade do conceito de derivada leva a

investigado a reparar na compreensão do esquema

de derivada em relação ao local (derivada num

ponto) e o global (função derivada). Dessa forma,

tal vínculo não tem sido amplamente estudado

nestes momentos, levanta questões sobre a forma

como as diferentes abordagens que podem ser

enfatizadas na educação pode determinar a

compreensão dessas relações, bem como o papel

dos diferentes modos de representação para

promover a compreensão da relação entre local e

global no desenvolvimento de uma compreensão

do esquema derivados.

A aplicação do conceito de derivada: o desenvolvimento da compreensão de

regra da cadeia.

De acordo com SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), os livros de cálculo

introduzem o conceito de derivada, como o capítulo cinco de Análise Matemática do

Apostol, começando com a definição de derivada, segue com as relações entre

continuidade e derivada, e termina com a álgebra de derivada e uma aplicação

importante deste conceito:

Assim, de acordo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 289), temos:

A regra da cadeia: algumas investigações, como

de CLARK et al (1997), centraram-se nas

aplicações de derivada, com fundamentação do

marco teórico. Assim, tais investigações levaram a

cabo a decomposição genética inicial do conceito

41

da regra da cadeia, a qual consideram como

descrição de uma trajetória hipotética de

aprendizagem pela qual pode-se transitar um

estudante na aprendizagem do conceito.

A compreensão da derivada associada à sua

utilização em diversas aplicações, incluindo a

regra da cadeia.

Dessa forma, conclui SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), dizendo que, como

se pode inferir a partir de trabalhos de Clark e sua equipe, a construção que um

estudante faz destas aplicações podem seguir algumas orientações. A decomposição

genética

oferece uma contribuição, que é necessário para cumprir as decisões instrucionais

tomadas pelos professores.

5.5 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE INTEGRAIS

De acordo com LLORENS & SANTONJA (1997), entre os professores de

Cálculo é quase consenso que os problemas de aprendizagem do conceito de integral é

facilmente detectável. Dessa forma, de acordo com LLORENS & SANTONJA (1997),

os estudos de MUNDY (1984), ORTON (1983) e TURÉGANO (1993) nos trazem um

resumo destas deficiências, como segue:

a) Geralmente os estudantes identificam integral com primitiva. Para estes

estudantes, a integral não comporta nenhum processo de convergência ou tão pouco

nenhum processo geométrico, e sim é um algo puramente algébrico, mais ou menos

complicado, a tal ponto que podem conhecem vários processos de integração, saber

aplicá-los, e ao mesmo tempo não ser capaz de aplicá-los ao calculo de uma área ou

ignorar o que são as somas de Riemann.

b) As integrais “definidas” se identificam com a regra de Barrow, incluindo quando

esta regra pode aplicar-se. É dizer que o símbolo:

42

representa somente o cálculo de primitivas, a aplicação da regra de Barrow. Como

exemplo, podemos citar o comportamento relatado por MUNDY (1984), tanto como

por LLORENS & SANTONJA (1997). Foi feita a seguinte pergunta:

Por que a integral abaixo está errada?

LLORENS & SANTONJA (1997) dizem que somente 23% sabiam que a

integração estava errada, enquanto MUNDY (1984) fala que pouquíssimos alunos

souberam identificar o erro.

Antes de seguir, podemos dizer que aconteceu exatamente a mesma coisa

quando era entrevistado um professor do DM – UFSCar. Na ocasião, ao ser

perguntado sobre as principais dificuldades dos alunos em integrais, ele resolveu

exemplificar, pedindo para um orientando dele, e já formado em bacharelado em

matemática pela mesma universidade, fazer a tal integral acima. O aluno caiu no

mesmo erro, e disse que tal erro era muito comum. Também afirmou que alunos da

USP, formados caem no mesmo erro. Dessa forma, podemos dizer, por uma análise

superficial, que tal dificuldade ocorre tanto nas universidades americanas, nas

universidades espanholas, quanto na UFSCar, como na USP, parecendo ser um

problema generalizado dos estudantes de cálculo e todo o mundo.

Dessa forma, LLORENS & SANTONJA (1997, p. 63) afirmam:

Observamos que esse tipo de resposta não se

explica somente porque esses estudantes não

conhecem a regra de Barrow, e aparece como

representativas de uma desconexão mais profunda

entre o conceito de integral e sua particular

imagem desse conceito. Outros dados permitem

afirmar que, de modo mais enfático, que nem se

quer quando se diz expressamente “integral

definida”, não evoca no estudante nenhuma

relação desse conceito com o problema da

convergência, já conhecidos previamente por ele

43

no tema de sucessões, derivadas, continuidade,

etc., quando está estudando integrais. Assim, é

fácil comprovar que quando os estudantes estão

estudando integrais impróprias, a maioria dos

estudantes se parece muito surpreendente que uma

integral pode ser divergente. Não há integração

entre o conceito de área com o de integral.

De acordo com LORENS & SANTONJA (1997), os estudantes tem ouvido que

existe uma relação entre as integrais (definidas) e a área, mas não se verifica uma

união entre ambas, de modo que persiste uma interpretação puramente algébrica da

integral. Dessa forma, continua LLORENS & SANTONJA (1997), as respostas

equivocadas dos exemplos anteriores indicam não somente que a função é

descontínua em x = 0, mas também que claramente não tem uma imagem visual do

problema: nem da função (sempre positiva) nem da própria integral entendida como

área. Dessa forma, segue LLORENS & SANTONJA (1997), é muito freqüente que

essa interpretação da integral como área somente se utiliza quando expressamente se

pedem exercícios que tipicamente dão o enunciado “Calcular a área fechada do

gráfico de … “, porém quase nunca espontaneamente.

Ainda por LLORENS & SANTONJA (1997), essa falta de integração se

manifesta em sentido contrário também, ou seja, LLORENS & SANTONJA (1997)

proporão um exercício para se obter o valor da área sombreada em cada um das

figuras abaixo:

FIGURA 2: ÁREAS SOBREADAS DOS GRÁFICOS.

44

Dessa forma, LLORENS & SANTONJA (1997), a maioria das respostas iniciais

foram e , respectivamente. No primeiro caso, pela dificuldade

que significa a presença do módulo, muito frenquêntemente podemos encontrar

solução incompletas ou absurdas, coerente com o trabalho de MUNDY (1984), no

qual menos de 95% dos estudantes contestaram incorretamente a pergunta:

de modo que nos reafirmamos no diagnóstico assinalado, já que o aluno está

preferindo o contexto algébrico-formal ao visual-geométrico, porque não tem

integrado. Também, ao mesmo tempo, LLORENS & SANTONJA (1997) concluem

que estes estudantes consideram trivial pedir para calcular a área de um quadrado

cujo lado mede 1 metro ou de um triângulo retângulo como os que aparecem nos

gráficos anteriores.

6. HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

O objetivo deste capitulo é trazer um pouco de como se desenvolveram os conceitos de Cálculo, como funções, limites, derivadas e integrais.

De acordo com ÁVILA (1985, p. 14),

Muita gente tem a impressão de que matemática é

estática; de que os conceitos, uma vez formulados,

se cristalizam como coisas completas e acabadas,

que permanecem imutáveis; de que os resultados,

uma vez obtidos, se somam uns aos outros na

acumulação de um corpo de conhecimento que não

tem outra dinâmica interna que a do crescimento

de unidades novas.

Dessa forma, os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral exemplificam bem

isto, relacionados à: funções, limites, derivadas e integrais, ou seja, através de nexos

45

conceituais relacionais aos conceitos de Cálculo, como a fluência, a interdependência e

o movimento, mostram a Matemática com não estática.

Assim, ao passarmos por 4.000 anos de evolução da história de destes conceitos,

vemos claramente a constante mudança e transformação da Matemática como um todo,

bem como dos conceitos de Cálculo, ou seja, desta forma da Babilônia, em 2.000 a.C.

até ao final do século XX, num constante mudar e transformação destes conceitos, ao

logo da história.

Dessa foram, podemos começar nosso trabalho fazendo uma pergunta que foi

feita pelos professores WAGNER e CARNEIRO (2004), na RPM Nº 60, que os alunos

a fazem constantemente, que foi:

Vale a pena estudar Cálculo?

A resposta parece fácil, mas não é bem assim, pois de acordo com ÁVILA

(2006), desde que se comece com uma apresentação bem simples e modesta do que seja

derivada, pode-se mostrar como isso ocorre num contexto do estudo de funções.

Ainda, de acordo com ÁVILA (2006), é importante que esses conceitos de

funções, limites e derivadas, bem como o de integral, sejam integrados, e não separados

em blocos estanques.

Dessa forma, nosso primeiro passo é mostrar o desenvolvimento histórico dos

conceitos de função, limite, derivada e integral.

Assim, com esta seqüência de tópicos, podemos começar levantando a gênese do

desenvolvimento histórico dos conceitos de funções, limites, derivadas e integrais, para

que posteriormente possamos identificar os nexos conceituais respectivos.

Assim, passemos a tal levantamento histórico.

6.1 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÕES

De acordo com AVILA (1985), os matemáticos só chegaram ao conceito de

função tal como conhecermos hoje, depois de um período de evolução do Cálculo, por

mais de cento e cinqüenta anos.

Porém, antes de chegarmos a este período, vamos ver que para

YOUSCHKEVITCHI (1981), citado por OLIVEIRA (1997), existem três etapas

principais do desenvolvimento de funções, a saber:

46

Antiguidade: Etapa no curso no qual o estudo de diferentes casos de

dependência entre duas quantidades ainda não isolou as noções de gerais de

quantidades variáveis e de funções.

Idade Média: Nesta etapa, as noções, são pela primeira vez, e de maneira

precisa, expressas sob uma forma geométrica e mecânica, mas durante a

qual, como na antiguidade, cada caso concreto de dependência entre duas

quantidades, são definidas por uma descrição verbal, ou por um gráfico, de

preferência fórmula.

Período Moderno: No curso, da qual, no fim do século XVI, e durante o

século XVII, as expressões analíticas de funções começam a prevalecer; a

classe de funções analíticas geralmente é expressa por meio de soma de

séries infinitas, tornando-se logo a principal classe utilizada.

6.2.1 CONCEITO DE FUNÇÕES NA ANTIGUIDADE

Segundo OLIVEIRA (1997), a antiguidade foi a época da concepção de função,

pois a idéia de funcionalidade de uma certa maneira, segundo SÁ at all (2003), não é

recente na mente humana. Por exemplo, quando o homem levado pela necessidade,

passou a associar uma pedra a cada animal visando ao controle de seu rebanho,

poderíamos encarar essa relação de dependência entre as pedras e os animais como uma

relação funcional.

Levando em consideração esse raciocínio, podemos citar os babilônicos que

construíram tabelas em argila, e para cada valor na primeira coluna existia um número

na segunda, que era o resultado da multiplicação do número da primeira por uma

constante, segundo SÁ at all (2003). Já OLIVEIRA (1997), ressalta que os Babilônios,

em 2.000 a. C., fizeram tabelas sexagesimais de quadrados e de raízes quadráticas, de

cubos e raízes cúbicas, e outras, revelando o “instinto funcional”.

É importante destacar que, para os Babilônios, cada problema exigia uma nova

análise, pois eles não desenvolveram procedimentos ou regras gerais para resolverem

problemas semelhantes (SÁ at all, 2003).

47

Semelhante aos babilônicos, os egípcios construíram também tabelas, na

maioria das vezes em papiros, que segundo BOYER (1974) apresentavam o resultado

de investigações empíricas, ou na melhor das hipóteses, generalizações que eram o

resultado da indução incompleta de casos mais simples para casos mais complicados.

Dentre os gregos, poderíamos citar a contribuição de Ptolomeu. Em sua obra

Almagesto, desenvolveu idéias funcionais.

Segundo MENDES (1994, p.12), AABOE (1984, p.20) cita que ele trabalhou na

área da astronomia, e que, desenvolveu ferramentas matemáticas, entre elas a

trigonometria. Ele utilizou tabelas envolvendo a função da corda do arco x, ou crd x,

mas sem fazer referência a palavra função. E ainda entre as idéias funcionais gregas

temos os symptons, que eram a condição necessária para que um ponto pertencesse a

uma curva. Apolônio e Arquimedes chegaram a utilizar os symptons.

Já OLIVEIRA (1997) fala que entre os Pitagóricos aparece a idéia de função no

estudo da interdependência quantitativa diferentes em quantidades físicas, como por

exemplo, o comprimento e a altura da nota emitida por cordas da mesma espécie,

pinçadas com tensões iguais, o que revelou uma interdependência inesperada entre

número, espaço e harmonia.

Assim, apesar de tantos exemplos que indicam a presença das dependências

funcionais, “não havia nenhuma idéia geral de funcionalidade na Antiguidade”,

YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 13), o que mostra que o pensamento matemático na

Antiguidade não criou nenhuma noção geral nem de quantidade variável nem de função.

6.2.2 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MÉDIA

Segundo OLIVEIRA (1997), a primeira vez que a noção de função aparece

numa forma “mais genérica” é no século XII, nas escolas de filosofia natural em Oxford

e Paris, onde cada problema era tratado de maneira isolada.

Foi nesta época, a Idade Média, que o Bispo parisiense de Lisieux Nicole

Oresme (1323 – 1382), que segundo BOYER (1974), em um trabalho intitulado de

Tractatus de Latitudinibus Formarum, feito por um discípulo ou até por ele mesmo,

seria o resumo de uma obra maior do próprio Oresme, Tractatus de Potentiarum et os

problemas utilizando métodos mais gerais.

48

Um dos objetivos visados por Oresme, segundo OLIVEIRA (1997), com seu

método era permitir às pessoas a compreensão mais rápida e fácil da natureza das

mudanças, onde suas representações se mostram à frente, em direção ao conceito de

função ou variável dependente.

Dessa forma, não podemos dizer que ele utilizasse de funções, pois ele não se

interessava pela forma na qual uma qualidade varia por razão do objeto que está

dependendo. Assim, suas representações eram imaginárias e qualitativas. (OLIVEIRA,

1997).

6.2.3 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MODERNA

Segundo SÁ et all (2003), é com Galileu Galilei (1564-1642) que surge o

interesse em debater quantitativamente os axiomas, mensuráveis e que, portanto

poderiam ser relacionados por fórmulas. MENDES (1994) cita que o principal interesse

de Galileu era entender como os fenômenos ocorriam, com o intuito de descrever as

mudanças da natureza. Segundo KLINE (1972), citado por MENDES (1994), foi o

estudo do movimento que originou o

conceito de uma função ou de uma relação entre

variáveis. Porém Galileu não formalizou

explicitamente a palavra função.

É com o estudo de Galileu sobre movimento, e conseqüentemente a velocidade,

a aceleração e a distância percorrida.

OLIVEIRA (1997) ressalta que sua insistência em querer estudar os movimentos

da forma quantitativa, por intermédio da experimentação, contribuiu para a evolução da

noção de função, ao lidar de forma funcional com as causas e efeitos, trazendo a

necessidade essencial da concepção de variável dependente.

No século XVI ainda não havia surgido à idéia de estudar a equação geral de

uma classe inteira de equações, o que só surgiu com Viète.

Segundo YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 23), citado por OLIVEIRA (1997),

A importância desta notação que, pela primeira

vez, tomou possível a colocação por escrito sob

uma forma simbólica das equações algébricas e de

49

expressões contendo quantidades desconhecidas e

coeficientes arbitrários (um trabalho que também

nascem com Viète) poderia ser subestimada.

Entretanto, o criado da nova Álgebra não utiliza

sua notável descoberta para “fazer avançar” o

conceito de função: pensar em termos de função

não foi característica de seu espírita.

René Descartes (1596-1650), e Pierre de Fermat (1601-1665), magistrado em

Toulouse, desenvolveram separadamente as bases teóricas da geometria analítica.

Fermat, citado por OLIVEIRA (1997), diz que “tão logo duas quantidades

desconhecidas aparecem em uma igualdade, há u lugar geométrico e o ponto terminal

de uma das duas quantidades descreve uma reta ou curva”.

BAUMGART (1992, p. 83), citado por SÁ at all (2003), afirma que Descartes

chegou a definir função como qualquer potência de x, como x², x³, ...

De fato, segundo OLIVEIRA (1997, p. 18),

Aparece em “La Geométrie” a noção de função de

forma mais detalhada, e completamente clara,

sustentada pela idéia de que a equação em x e u é

um meio de introduzir uma dependência entre

quantidades variáveis de modo a permitir o

cálculo dos valores de uma delas correspondendo

aos valores dados da outra. Tal método de

representação foi estendido a outros ramos da

matemática, em especial ao cálculo infinitesimal.

Vem o século XVIII e com ele destacam-se Isaac Newton (1642-1727) e

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Newton, segundo SÁ at all (2003), direcionou suas pesquisas dentro da Física,

especificamente no campo da Mecânica, e como frutos para a matemática desenvolveu

os métodos infinitesimais. Assim, KLEINE (1989, p.289), citado por MENDES (1994,

p. 26), acredita que a maior contribuição de Newton dentro do conceito de função foram

50

suas descobertas a respeito de séries de potências, e é ele quem introduz o termo

“variável independente”.

Já foi Leibniz quem introduz a palavra “função”, que apareceu no trabalho

intitulado “Methodus tangentium inversa, seu de fonctionibus”, no qual ganha o

seguinte sentido: o de um termo geral para diferentes segmentos ligados a uma curva

dada. Já, segundo OLIVEIRA (1997), o conceito de função aparece num sentido mais

amplo na geometria diferencial em artigos publicado em 1692 e 1694 onde ele chama de

segmentos de retas obtidas por construção de retas correspondendo a um ponto fixo e a

pontos de uma curva dada.

Já a primeira definição explicita como expressão analítica aparece com Jean

Bernoulli (1694 – 1698). De acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 35), temos:

“Chamamos função de uma grandeza variável uma

quantidade composta de qualquer maneira que

seja desta grandeza variável e constante.”

Segundo OLIVEIRA (1997), na sua definição, Bernoulli não dá indicação sobre

o modo de construir função a partir da variável independente.

Leonhard Euler (1707-1783) nascido em Bâle na Suiça, foi aluno de Jean

Bernoulli, foi figura essencial no desenvolvimento do conceito de função, onde segundo

o qual uma função não necessitava unicamente de uma expressão analítica e ele também

introduziu o símbolo f(x). Segundo SÁ at all (2003), no segundo volume de

Introduction in Analysin Infinitorum, Euler diferenciou as funções contínuas e

descontínuas, levando em consideração a lei de formação de cada função. Aquelas que

fossem definidas por apenas uma expressão analítica seria classificada como contínua e

caso essa lei mudasse em qualquer intervalo do domínio automaticamente se

classificaria como descontínua ou mista.

É no século XVIII, segundo SÁ at all (2003), que o Problema da Corda Vibrante

mexe com o raciocínio dos matemáticos da época e que vai influenciar na reformulação

do conceito de função. O questionamento seria determinar a função que iria reger o

formato de uma corda elástica, com os pontos iniciais e final fixos, num determinado

tempo t.

51

GRÁFICO 5: FUNÇÃO QUE REGE UMA CORDA ELÁSTICA.

Foi D’Alembert (1717-1783) que publicou um trabalho sobre as cordas

vibrantes, onde resolveu a uma equação diferencial e a chamou de equação da onda em

que y representaria o deslocamento transversal do ponto x da corda no tempo t. Vale

lembrar que Daniel Bernoulli também publica um trabalho sobre o tema.

Foi oferecido em 1787, que um prêmio foi oferecido pela Academia de São

Petesburgo, para quem melhor explicasse como eram as funções arbitrárias que

poderiam ser obtidas nas soluções de equações diferenciais parciais. O ganhador foi

Louis Arbogast (1759-1803), que segundo MENDES (1994, p. 36) citando EDWARDS

(1979, p. 303), argumentou que tais funções não poderiam ser contínuas, mas para isso

ele conceituou continuidade:

A lei de continuidade consiste em que uma quantidade não pode passar de um

estado para o outro sem passar através de todos os estágios intermediários que são

sujeitos à mesma lei. Esta continuidade pode ser destruída de duas formas: A função

pode mudar sua forma, quer dizer, a lei pela qual a função depende das variáveis pode

mudar repentinamente. Uma curva formada pela reunião de muitas porções de curvas

diferentes é deste tipo...

Não é nem necessário que a função y seja expressa por uma equação para um

certo intervalo da variável; ela pode mudar continuamente sua forma, e alinha que a

representa, ao invés de ser uma reunião de curvas regulares, pode ser tal que em cada

um destes pontos ela se torne uma curva diferente; quer dizer ela pode ser inteiramente

irregular e não seguir qualquer lei para qualquer intervalo mesmo pequeno.

De acordo com SÁ at all (2003), Jean Baptiste Joseph Fourier (1768- 1830),

secretário do Instituto do Egito, destaca-se na virada do século XVIII para o século

XIX, com seus estudos sobre a propagação do calor. Em 1822 publica La Théorie

52

Analytique de la Chaleur onde afirmou que qualquer função poderia ser expressa por

uma série trigonométrica.

ÁVILA (1985, p. 20) afirma que apesar de Daniel Bernoulli em 1753 já tivesse

discutido tal questão de maneira mais restrita, foi com Fourier que ela se tornou

realmente presente no mundo matemático.

Perto do fim do século XVIII, ainda de acordo com SÁ at all (2003), quando

muitos absurdos e contradições tinham surgido na matemática, sentiu-se que era

essencial examinar as bases da análise para dar-lhes uma fundamentação, foi uma

reação ao emprego descontrolado da intuição e do formalismo do século anterior.

Assim, a própria idéia de função teve que ser esclarecida e noções como a de limite,

continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade tiveram de ser cuidadosa e claramente

definidas.

Bolzano (1781-1848), segundo BOYER (1974), foi considerado pioneiro nessa

formalização, pois em 1817, publica Functionlehre onde conceitua continuidade muito

próxima do conceito atual. Ele também demonstrou o teorema do valor médio, hoje

muito utilizado em cursos regulares de cálculos, mas que segundo LEITÃO (2009) no

seu contexto original, este resultado não se referia apenas ao movimento local, isto é, a

grandeza que se encontra a variar, não era necessariamente a velocidade.

FIGURA 3: REPRESENTAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO.

Segundo MENDES (1994), já no século XIX iniciou-se um processo de

fundamentação rigorosa da Análise, que foi conhecido como Aritmetização da Análise.

Neste período, se inspiraram nos trabalhos de Euler os matemáticos: Condorcet (1778),

Cauchy (1789) Lacroix (1797), Fourier (1821) e Lobatchevsky (1837).

53

Já em meados do século XIX, segundo OLIVEIRA (1997) e SÁ at all (2003), as

funções já não precisavam ter a forma “bem comportada” com que os matemáticos

estavam acostumados. De acordo com BOYER (1974), em 1837, Dirichlet sugeriu uma

definição muito ampla de função:

“Se uma variável y está relacionada com uma variável x

de tal modo que, sempre que é dado um valor numérico a

x, existe uma regra segundo a qual um valor único de y

fica determinado, então diz-se que y é uma função da

variável independente x.”

Ou seja, temos:

Com a ≠ b, a e b constantes.

Segundo OLIVEIRA (1997), a definição geral de função dada nos cursos de

análise matemática no fim do século XIX e no começo do século XX era a de Hankel,

que diz ter se baseado em Dirichlet, é a seguinte, de acordo com YOUSCHKEVITCHI

(1981, p. 61):

Diz-se que y é uma função de x se a cada valor de x de um

certo intervalo, corresponde um valor bem definido de y

sem que isto exija, entretanto que y seja bem definido

sobre todo intervalo pela mesma lei em função de x, nem

mesmo que y seja definido por uma expressão matemática

explicita de x.”

O alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann, também deixou sua marca no

século XIX. ÁVILA (1985, p. 29) acredita que os estudos de Riemann foram

influenciados por Dirichlet, daí seu interesse pelas séries trigonométricas. E como essas

séries trigonométricas apresentavam integrais como coeficiente, Riemann preocupou-se

54

com o esclarecimento dos critérios de integrabilidade, surgindo aí o conceito de

“integral de Riemann.”

De acordo com SÁ at all (2003), Karl Theodor Weierstrass (1815 - 1897)

nascido em Ostenfeld na Alemanha, foi professor de matemática em Deutsche –Croner,

desvinculou continuidade de diferenciabilidade em 1872, quando sugere uma função

contínua e não diferenciável.

Segundo BOYER (1989, p. 142), Weierstrass definiu função como uma série de

potência juntamente com todas as que podem ser obtidas dela por prolongamento

analítico.

Já OLIVEIRA (1997) afirma que, a matemática moderna teve dificuldades em

estabelecer a definição universal de função que não é algorítmica.

De acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 64), em 1972, Weyl sustenta

que:

“Ninguém jamais soube explicar o que é

função. Mas uma função f é definida se pó

um meio qualquer podemos associar a um

número a, um numero b... Dizemos então

que b é um valor da função f para o valor a

do argumento.”

Em meados do século XX, a filosofia formalista predominou nos textos

matemáticos. Então, assim, de acordo com SÁ at all (2003), o nome Nicolas Bourbaki

se destaca no século XX, que foi um nome grego de um suposto autor francês, nascido

em Nancy, assinou várias obras. Porém acredita-se que seria um grupo de matemáticos

que resolveram ter em Nicolas Bourbaki um pseudônimo.

Em Théorie des Ensembles, conceituou função de duas maneiras:

“Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma

relação entre uma variável x de E é uma variável y de F é

dita uma relação funcional em y, ou relação funcional de

E em F, se qualquer que seja x ª E, existe um e somente

um elemento y ª F que estejam associados a x na relação

considerada. Dá-se o nome de função à operação que

55

desta forma associa a todo o elemento x ª E o elemento y ª

F que se encontra ligado a x na relação dada; diz-se que y

é o valor da função para o elemento x, e que a função está

determinada pela relação funcional considerada. Duas

relações funcionais equivalentes determinam a mesma

função.” MENDES(1994, p. 53).

De acordo com SÁ at all (2003, p. 14 – 17), segue abaixo um quadro resumo da

evolução dos conceitos de funções:

TABELA 4: RESUMO DAS PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES PARA FUNÇÕES.

56

6.2.4 NEXOS CONCEITUAIS DE FUNÇÕES

Quando começamos a analisar os nexos conceituais de funções, podemos

recorrer a CARAÇA (1951), e ele sugere que comecemos por trabalharmos a

regularidade de um fenômeno, ou seja, a lei qualitativa. Aqui CARAÇA (1951, p. 127)

afirma que:

quando queremos estudar leis qualitativas, temos

que criar um instrumento matemático cuja

essência seja a correspondência de dois conjuntos.

60

Hora, se relembrarmos o item 2.2.1 deste trabalho, podemos citar SÁ at all

(2003) que afirma que os babilônios construíram tabelas em argila, onde na primeira

coluna existia um número na segunda, que era o resultado da multiplicação do número

da primeira por uma constante, em 2.000 a. C., que revelaria seu “instinto funcional”.

Dessa forma, temos a construção de tabelas já pelos babilônicos, ou seja, em

essência é a correspondência entre conjuntos, mas a busca por leis qualitativas veio

somente mais tarde com Galileu Galilei.

Já OLIVEIRA (1997) ressalta que o estudo dos movimentos da forma

quantitativa, por intermédio da experimentação, contribuiu para a evolução da noção de

função. Porém, é exatamente aqui que queríamos chegar, pois com Galileu Galilei,

segundo KLINE (1972), o estudo da natureza e do movimento, originou o conceito de

uma função ou de uma relação entre variáveis.

Vimos em 2.2.3 que foi Descartes que chegou a definir função como qualquer

potência de x, como x², x³, .... De fato, segundo OLIVEIRA (1997, p. 18),

aparece em “La Geométrie” a noção de função de

forma mais detalhada, e completamente clara,

sustentada pela idéia de que a equação em x e u é

um meio de introduzir uma dependência entre

quantidades variáveis de modo a permitir o

cálculo dos valores de uma delas correspondendo

aos valores dados da outra. Tal método de

representação foi estendido a outros ramos da

matemática, em especial ao cálculo infinitesimal.

Assim, surgia o problema de se trabalhar com o conceito de variável x, mas

afinal, segundo CARAÇA (1951), quem é x, sem coincidir individualmente com

nenhuma dos números do intervalo, é suscetível de representar todos?

Ora, CARAÇA (1951) vem ainda dizer que a variável é e não é cada um dos

elementos do conjunto, ou que faz com que vemos como uma primeira de suas

características a fluência, que nada mais é que a representação da natureza, que tudo

flue, tudo se transforma.

61

Sabemos também que Newton e Liebnitz deram contribuições para o conceito de

função, mas a primeira expressão analítica aparece com Jean Bernoulli (1694 – 1698).

De acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 35), temos:

“Chamamos função de uma grandeza variável uma

quantidade composta de qualquer maneira que

seja desta grandeza variável e constante.”

Neste ponto, CARAÇA (1951) nos diz que:

Sejam x e y duas variáveis representativas de

conjuntos de números; diz-se que y é função de x e

escreve-se:

y = f(x) (1)

se entre as duas variáveis existe uma

correspondência unívoca no sentido x →y. A x

chama-se variável independente, a y variável

dependente.

Dessa forma, podemos ver que após estabelecer qual a variável dependente e a

independente, CARAÇA (1951), passa a questionar, de que forma podemos fazer a

correspondência entre estas duas variáveis. Então, foi dessa forma que no final do

século XVII e inicio do século XVIII, os matemáticos passaram a fazer tais

questionamentos, chegando à primeira definição analítica por Jean Bernoulli. Já Euler

vem depois e estabelece uma definição mais clara de função, e traz sua representação.

Por outro lado, CARAÇA (1951), vem dizer que definição este modo de

definição consiste em dar um conjunto de modo tal que, por meio delas, se possa fazer

corresponder a cada valor a de x um valor b de y.

CARAÇA (1951) afirma que no final do século XIX, pela insuficiência da

definição de funções, surgiu a moderna definição dada por Riemann-Dirichilet,

ganhando generalidade ao estabelecer a correspondência das variáveis, mas isso a fez se

afastar das condições em que surgiu.

62

Já de acordo com BOYER (1974), Dirichlet em 1837, sugeriu uma definição

muito ampla de função, a qual CARAÇA (1951) chama de definição de Riemann-

Dirichilet:

“Se uma variável y está relacionada com uma

variável x de tal modo que, sempre que é dado um

valor numérico a x, existe uma regra segundo a

qual um valor único de y fica determinado, então

diz-se que y é uma função da variável

independente x.”

6.3 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE LIMITES

Sabemos que, de acordo com THOMAS (2002), entre todos os conceitos

principais do cálculo - derivada, continuidade, integral, convergência/divergência, são

definidos em termos de limites, e assim é considerado o conceito básico do Cálculo.

Logo, em termos do desenvolvimento histórico e lógico do cálculo, os limites deveriam

vir primeiro, mas vendo o desenvolvimento histórico do Cálculo, observamos o

contrário, já que por vários séculos, ainda segundo THOMAS (2002), as noções de

limite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito

(números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades

matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em nosso

sentido moderno, de acordo com BOYER (1989), é um produto do iluminismo, levando

a saber que nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade.

A primeira vez em que a idéia de limite apareceu, segundo DINIZ (2006), foi

por volta de 450 a.C., na discussão dos quatro paradoxos de Zenão. Por exemplo, no

primeiro paradoxo - a Dicotomia - Zenão discute o movimento de um objeto que se

move entre dois pontos fixos, A e B, situados a uma distância finita, considerando uma

seqüência infinita de intervalos de tempo - T0, T1, T2,..., Tn,... - cada um deles sendo o

tempo gasto para percorrer a metade da distância percorrida no movimento anterior.

Veja a figura abaixo:

63

FIGURA 4: REPRESENTAÇÃO DO PRIMEIRO PARADOXO DE ZENÃO.

Analisando o problema, Zenão concluiu que dessa maneira o móvel nunca

chegaria em B. Aristóteles (384 - 322 a.C.), refletiu sobre os paradoxos de Zeno com

argumentos filosóficos. Para provas rigorosas das fórmulas de determinadas áreas e

volumes, Arquimedes encontrou diversas somas que contêm um número infinito de

termos. Na ausência do conceito de limite, Arquimedes utilizava argumentos

denominados dupla reductio ad absurdum.

Segundo BOYER (2006), para suas demonstrações rigorosas das fórmulas para

certas áreas e volumes, Arquimedes (287--212 a.C.) encontrou várias séries infinitas –

somas que contêm um número infinito de termos. Não possuindo o conceito de limite

propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos chamados de

redução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do que

agora chamamos de limites.

Cálculo é também algumas vezes descrito como o estudo de curvas, superfícies e

sólidos. O desenvolvimento da geometria destes objetos floresceu seguindo a invenção

da geometria analítica por Pierre Fermat (1601--1665) e René Descartes (1596--1650).

A geometria analítica é, essencialmente, o casamento da geometria com a álgebra, e

cada uma melhora a outra.

Fermat, segundo THOMAS (2002), desenvolveu um método algébrico para

encontrar os pontos mais altos e mais baixos sobre certas curvas. Descrevendo a curva

em questão por uma equação, Fermat chamou um número pequeno de E, e então fez

alguns cálculos algébricos legítimos, e finalmente assumiu E = 0 de tal maneira que

todos os termos restantes nos quais E estava presente desapareceriam. Essencialmente,

Fermat colocou de lado o limite com o argumento que E é "infinitamente pequeno".

Geometricamente, Fermat estava tentando mostrar que, exatamente nos pontos mais

64

altos e mais baixos ao longo da curva, as retas tangentes à curva são horizontais, isto é,

têm inclinação zero.

Encontrar retas tangentes às curvas é um dos dois problemas mais fundamentais

do cálculo. Problemas envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora de

estudo das derivadas. Durante o século XVII, segundo BOYER (1989), vários

geômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para encontrar retas

tangentes a certas curvas. Descartes tinha um processo que usava raízes duplas de uma

equação auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628--

1704), que era também o prefeito de Amsterdã. René de Sluse (1622--1685) inventou

um método ainda mais complicado para obter tangentes a curvas. Em cada um desses

cálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma etapa crítica, mas não foi. Nenhum

destes geômetras percebeu a necessidade da idéia de limite, e assim cada um encontrou

uma maneira inteligente para alcançar seus resultados, os quais estavam corretos, mas

com meios que, agora reconhecemos, faltam fundamentos rigorosos.

De acordo com THOMAS (2002), em quase todos os seus trabalhos que agora

são considerados como cálculo, Isaac Newton (1642 – 1727), também não reconheceu o

papel fundamental do limite. Para séries infinitas, Newton raciocinou meramente por

analogia: se fosse possível executar operações algébricas em polinômios, então seria

possível fazer o mesmo com o número infinito de termos de uma série infinita. Newton

calculou o que ele chamou de flúxions a curvas, não exatamente derivadas, mas muito

próximo. O processo que ele usou para esses cálculos era muito próximo do método de

Fermat. Neste e na maioria dos outros trabalhos comparáveis, Newton negligenciou o

limite.

Por outro lado, em seu Principia Mathematica (1687), segundo EVES (1996),

talvez o maior trabalho em matemática e ciência, Newton foi o primeiro a reconhecer

que o limite deve ser o ponto de partida para problemas de tangência, quadratura e afins.

No início do Livro I do Principia, Newton tentou dar uma formulação precisa do

conceito de limite.

Já THOMAS (2002), afirma que o cálculo se desenvolveu rapidamente pelos

seus vários sucessos no século XVIII, e pouca atenção foi dada aos seus fundamentos,

muito menos ao limite e seus detalhes. Colin Maclaurin (1698 -1746) defendeu o

tratamento dos fluxions de Newton do ataque de George Berkeley. Mas Maclaurin

65

reverteu a argumentos do século XVII similares aos de Fermat e apenas ocasionalmente

usou a redução ao absurdo dupla de Arquimedes. Apesar de suas boas intenções,

Maclaurin passou por oportunidades de seguir a sugestão de Newton sobre limites. Jean

Le Rond d'Alembert (1717--1783) foi o único cientista daquele tempo que reconheceu

explicitamente a importância central do limite no cálculo.

Na famosa Encyclopédie (1751--1776), d'Alembert afirmou que a definição

apropriada da derivada necessitava um entendimento do limite primeiro e então, deu a

definição explícita: Uma quantidade é o limite de uma outra quantidade quando a

segunda puder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisão dada, não importa

quão pequena, apesar da segunda quantidade nunca exceder a quantidade que ela

aproxima.

A preocupação sobre a falta de fundamento rigoroso para o cálculo, segundo

BOYER (1989), cresceu durante os últimos anos do século XVIII. Em 1784, a

Academia de Ciências de Berlim ofereceu um prêmio para um ensaio que explicasse

com sucesso uma teoria do infinitamente pequeno e do infinitamente grande em

matemática e que poderia, por sua vez, ser usada para colocar uma base sólida para o

cálculo. Embora este prêmio tenha sido dado, o trabalho vencedor "longo e tedioso" de

Simon L'Huilier (1750 -1840) não foi considerado uma solução viável para os

problemas colocados. Lazare N. M. Carnot (1753--1823) produziu uma tentativa

popular de explicar o papel do limite no cálculo como "a compensação de erros" - mas

ele não explicou como estes erros se cancelariam mutuamente perfeitamente.

No final do século XVIII, segundo THOMAS (2002), o grande matemático da

época, Joseph-Louis Lagrange (1736 –1813), conseguiu reformular toda a mecânica em

termos de cálculo. Nos anos que seguiram a Revolução Francesa, Lagrange concentrou

sua atenção nos problemas da fundamentação do cálculo. Sua solução, Funções

Analíticas (1797), desligou o cálculo de "qualquer consideração do infinitamente

pequeno ou quantidades imperceptíveis, de limites ou de flúxions." Renomado por suas

outras contribuições ao cálculo, Lagrange fez um esforço heróico (como sabemos agora,

com uma falha fatal) para tornar o cálculo puramente algébrico eliminando limites

inteiramente.

Ao longo do século XVIII, segundo BOYER (1989), havia pouca preocupação

com convergência ou divergência de seqüências e séries infinitas; hoje, entendemos que

66

tais problemas requerem o uso de limites. Em 1812, Carl Friedrich Gauss (1777--1855)

produziu o primeiro tratamento estritamente rigoroso da convergência de seqüências e

séries, embora ele não tenha usado a terminologia de limites. Na sua famosa Teoria

Analítica do Calor, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768--1830) tentou definir a

convergência de uma série infinita, novamente sem usar limites, mas então ele afirmou

que qualquer função poderia ser escrita como uma de suas séries, e não mencionou a

convergência ou divergência desta série.

No primeiro estudo cuidadoso e rigoroso das diferenças entre curvas contínuas e

descontínuas e funções, Bernhard Bolzano (1781-1848) olhou além da noção intuitiva

da ausência de buracos e quebras e encontrou os conceitos mais fundamentais os quais

expressamos hoje em termos de limites.

No começo do século XVIII, de acordo com THOMAS (2002), as idéias sobre

limites eram com certeza, confusas. Enquanto Augustin Louis Cauchy (1789 -1857)

estava procurando por uma exposição clara e rigorosamente correta do cálculo para

apresentar aos seus estudantes de engenharia na École Polytechnique em Paris, ele

encontrou erros no programa estabelecido por Lagrange. Então, Cauchy começou o seu

curso de cálculo do nada; ele começou com uma definição moderna de limite.

Começando em 1821, ele escreveu as suas próprias notas de aula, essencialmente seus

próprios livros, o primeiro chamado de Cours d’analyse (Curso de Análise). Nas suas

classes e nestes livros-texto clássicos, Cauchy usou o princípio de limite como a base

para introduções precisas à continuidade e convergência, a derivada, a integral, e o resto

do cálculo. Assim, perdeu alguns dos detalhes técnicos, especialmente na aplicação da

sua definição de limite a funções contínuas e à convergência de certas séries infinitas.

Nas décadas de 1840 e 1850, afirma BOYER (1898), enquanto era um professor

do ensino médio, Karl Weierstrass (1815 – 1897) determinou que a primeira etapa

necessária para corrigir estes erros era restabelecer a definição original de Cauchy do

limite em termos estritamente aritméticos, usando apenas valores absolutos e

desigualdades. A exposição de Weierstrass é exatamente aquela que encontramos no

livro de Cálculo de Thomas. Weierstrass prosseguiu em uma carreira brilhante como

professor de matemática na Universidade de Berlim. Lá ele desenvolveu um programa

para trazer rigor aritmético para todo o cálculo e à análise matemática.

67

Aqui, passemos a uma breve análise dos nexos conceituais de limites, com

respeito à História da Matemática, como segue.

Então, o primeiro desafio que aparece aqui é o chamado problema do

movimento, que surge a partir um paradoxo de Zenão, da impossibilidade de Aquiles

alcançar a tartaruga.

Dessa forma, CARAÇA (1951) nos diz que aqui temos a impossibilidade de

trabalhar só com números, e dessa foram, precisamos de um novo conceito, ou seja, a

primeira coisa a fazer é introduzir a noção variável, que pode representar qualquer

número.

Nessa primeira etapa, CARAÇA (1951) nos diz que é necessário trabalharmos

com pontos muito próximos, o que vai dar origem ao conceito de infinitésimos.

Assim, por CARAÇA (1951, p. 219), temos:

Definição: Dá se o nome de infinitésimo a toda a

variável representativa de um conjunto de pontos

pertencentes à vizinhança da origem quando nessa

variável considerarmos sucessivamente valores x1,

x2, ..., xn, ... tais que |xn| < para todos os valores

de n > n1 e todo > 0.

6.4 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE DERIVADAS

Segundo DALL’ANESE (2000), atribui-se a “invenção” do Cálculo Diferencial

e Integral a Newton e Leibnitz, na segunda metade do século XVII, através da

sistematização de métodos quer tornaram possível à solução de problemas referentes à

construção de tangentes, cálculo de áreas, volumes, etc.

Porém, vamos começar pela sua origem nos problemas geométricos clássicos de

tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em

apenas um ponto dado.

Segundo THOMAS (2002), Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar

teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular

ao raio em P; e depois Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para

encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu

métodos, todos um tanto quanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas,

68

elipses e hipérboles. Mas, ainda segundo Thomas (2002), estes eram apenas problemas

geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os

gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.

Na realidade, após os Gregos, segundo BOYER (1989), o interesse por tangentes

a curvas reapareceu no século XVII, como parte do desenvolvimento da geometria

analítica. Uma vez que equações eram então usadas para descrever curvas, o número e

variedade de curvas aumentaram tremendamente naqueles estudos em épocas clássicas.

Por exemplo, Pierre Fermat (1601--1665) foi o primeiro a considerar a idéia de

uma família inteira de curvas de uma só vez. Aqui BOYER (1974), diz que é possível

que Fermat desde 1629 estivesse de posse de sua geometria analítica, pois por essa

época ele fez duas descobertas significativas que se relacionam de perto com seu

trabalho sobre lugares. Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da forma y = kxª,

onde k é constante e a = 2, 3, 4, … Esta família de curvas, de acordo com Boyer (1974),

foi estuda num tratado não publicado durante sua vida chamado método para achar

Máximos e Mínimos. Estas curvas citadas acima são freqüentemente chamadas de

“parábolas de Fermat” se a é posivo, ou “hipérboles de Fermat”, se a é negativo.

De acordo com BOYER (1974, p. 255), temos que:

“Para curvas polinomiais da forma y = f(x) ele (Fermat)

notou um modo muito engenhoso para achar pontos em

que a função assume um máximo ou um mínimo. Ele

comparouo valor de f(x) num ponto com a valor f(x + E)

num ponto vizinho. Em geral esses valoresserao bem

direferentes, mas num alto ou num baixo de uma curva

lisa a variação será quase imperceptivel. Portanto para

achar os pontos de máximos e minimos Fermat iguala f(x)

e f(x + E), percebendo que os valores, embora não

exatamente iguais, são quase iguais. Quanto menor o

intervalo E entre dois pontos mais perto chega a pseudo-

equação de ser uma verdadeira equação; por isso Fermat,

depois de dividir tudo por E fazia E = 0. Os resultados

lhes davam as abcissas dos pontos de máximo e mínimos

do polinômio. Aqui em essência tem-se o processo hoje

69

chamado diferenciação, pois o método de Fermat equivale

a achar:

Lim E -- > 0 E

xfExf )()(

e igualar isso a zero. Portanto, é razoavel acompanhar

Lapalce ao saudar Feramt como o descobridor do Cálculo

diferencial, bem como co-descobridor da geometria

analítica. Evidentemente Fermat não tinha o conceito de

limite, mas por outro lado seu método para máximos e

mínimos se assemelha ao uado no Cálculo hoje, só que

agora se usa em geral o simbolo h ou Δx em lugar do E de

Fermat. O processo de mudar ligeiramente a variável e

considerar valores vizinhos é a essencia da análise

infinitesimal.”

Assim, de acordo com THOMAS (2002), a introdução de símbolos algébricos

para estudar a geometria de curvas contribuiu significativamente para o

desenvolvimento da derivada, da integral e do cálculo. Por outro lado, como conclusões

e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocínio

algébrico que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados pelos

gregos antigos foram relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros

fatores) levou a controvérsias espirituosas e até amarguradas.

Foi René Descartes (1596--1650) teve o discernimento de prever a importância

da tangente, e foi ele quem inventou um procedimento de dupla raiz para encontrar a

normal e então a tangente a uma curva. Como resultado da tradução da Geometria de

Descartes para o latim, os princípios e benefícios da geometria analítica tornaram-se

mais amplamente conhecidos. Após, foi Hudde quem simplificou a técnica da dupla raiz

de Descartes para determinar pontos máximos e mínimos sobre uma curva; o

procedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan Huygens (1629 - 1695).

Foi René François de Sluse (1622--1685) quem desenvolveu uma técnica

algébrica que levou à inclinação da tangente a uma curva, mas foi para Gilles Personne

de Roberval (1602--1675), que uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele

70

desenvolveu um método mecânico para encontrar a tangente para muitas curvas,

incluindo a ciclóide. No entanto, o método de Roberval não podia ser generalizado para

incluir mais curvas.

Segundo DALL’ANESE (2000), Newton desenvolveu o “Método das Fluxões”

no sei “De methodis Serierum et Fluxionum”, publicado em 1736. Neste, sua intenção

parece ter sido determinar a relação entre variação y e da quantidade x, de uma função y

= f(x), quando x sofre um acréscimo infinitesimal, considerando as quantidades

matemáticas “como se fossem geradas por um aumento contínuo do espaço no qual um

objeto se move descrevendo uma trajetória”.

Já para THOMAS, Newton estendeu esta técnica como um método para

encontrar a curvatura de uma curva, uma característica que agora sabemos ser uma

aplicação da derivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu

trabalho de cálculo e estes manuscritos circularam entre um grande número de seus

colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a problemas de

cálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os trabalhos de Newton sobre

cálculo não foram publicados até 1736 e 1745.

Dessa foram, de acordo com DALL’ANESE (2000), Newton desenvolveu o

“Método das Fluxões” no seu “De Methodis Serierum et Fluxionum”, publicado em

1736, no qual sua intenção parecia ter sido determinar a relação entre a variação da

quantidade y e da quantidade x, de uma função y – f(x), quando x sofre um acréscimo

infinitesimal, considerando as quantidades matemáticas “como se fosse geradas por um

aumento continuo do espaço no qual um objeto se move descrevendo uma trajetória”.

Então, Newton define suas noções de fluentes e fluxões assim:

“Eu chamarei de Quantidades Fluentes, ou

simplesmente Fluentes estas quantidades que eu

considero como aumentadas gradualmente e

indefinidamente , eu as representei pelas ultimas

letras do alfabeto v, x, y e z para distinguir das

outras quantidades que, nas equações, são

consideradas como conhecidas e determinadas que

nós representaremos pelas letras iniciais a, b, c,

etc; eu representarei pelas mesmas letrs

71

sobrepostas de um ponto v., x., y., z. as velocidadees

cujas fluentes são aumentadas pelo movimento que

as produz e, por consequencia nós poderemos

chamar Fluxões.”

Ainda segundo DALL’ANESE (2000), a diferença entre Newton e seus

predecessores, é que ele formulou regras para cobrir soluções gerais da maioria dos

problemas relativos ao cálculo infinitesimal, conhecidos no seu tempo. Também é

citado por DALL’ANESE (2000) que Newton estabeleceu muito tarde a notação padrão

como ponto para representar a diferenciação.

A notação para derivadas, segundo BOYER (1989), deve-se a Gottfried Wilhelm

Leibniz (1646--1716):

(dy

dx)

Para ele, uma curva era um polígono com um número infinito de lados. Leibniz

(1686) fez y representar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma

abscissa para a próxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas".

Segundo BOYER (1989), Leibnitz por volta de 1676 tinha chegado à mesma

conclusão que Newton chegara vários anos antes, ou seja, que uma função fosse

racional ou irracional, algébrica ou transcedentes, suas operações de achar somas e

diferenças podiam sempre ser aplicadas. Dessa forma, continua BOYER (1989), a

primeira exposição do cálculo diferencial foi publicada por Leibnitz em 1684, onde ele

deu a as fórmulas dxy = xdy + ydx, d(x/y) = (ydx – xdy)y2 e dxn = nxn dx, para produtos,

quocientes e potencias (ou raízes), juntamente com as explicações geométricas.

Assim, pelo exposto sobre Newton e Leibniz, podemos perceber que foi através

deles que se reconheceu a relação inversa entre problemas de quadratura e de tangentes.

De acordo com DALL’ANESE (2000, p. 34), Augustin Louis Cauchy (1789--

1857) estabeleceu a ligação entre a derivada e os diferenciais, da seguinte forma:

“Seja y = f(x) novamente uma função de variável

independente x. Seja i uma quantidade infinitamente

72

pequena e h uma quantidade finita. Se dissermos que i

=αh, α será, novamente, uma quantidade infinitamente

pequena, e teremos a identidade:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ),

f x i f x f x h

i h

f x h f x f x i f xonde h

i

(1)

O limite para o qual converge o lado esquerda da

equação (1) à medida que α se aproxima indefinidamente

de zero e h permanece constante é chamado “diferencial”

da função y = f(x). A diferença é indicada por dy ou df(x).

Seu valor pode ser facilmente determinado se soubermos o

valor da função derivada y’ ou f’(x). De fato, se tomarmos

os limites de ambos os lados da equação (1) acharemos

um resultado geral:

df(x) = hf’(x) (2)

No caso especial quando f(x) = x, a equação 92) reduz-se

a dx = h. Assim, a diferencial da variável independente x é

precisamente h. Dado isto, a equação (2) torna-se df(x) =

f’(x)dx, ou equivalentemente,

dy = y’dx

Essas últimas equações mostram que a derivada y’ = f’(x)

de qualquer função y=f(x) é precisamente igual a (dy

dx),

isto é, à razão entre a diferencial da função e a diferencial

da variável ou, se quisermos, ao coeficiente pelo qual

devemos multiplicar a segunda diferencial a fim de

obtermos a primeira. É por isso que a derivada é chamada

às vezes de “coeficiente diferencial”.

6.5 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE INTEGRAIS

73

De acordo com THOMAS (2002), o cálculo integral se originou com

problemas de quadratura e cubatura, ou seja, resolver um problema de quadratura

significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira

consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira

também consiste de pelo menos uma curva. Para um problema de cubatura,

queremos determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo

menos em parte, por superfícies curvas.

Recorrendo à história, vemos que quando os antigos geômetras começaram a

estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por

ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que

tivesse área igual à da figura em questão. Vale aqui lembrar que, de acordo com

BOYER (1989), a palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo

do processo de determinar áreas.

Hoje, sabemos que foi Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou as

primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas, regiões que se

parecem com a lua próxima do seu quarto crescente.

Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" com

uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado;

segundo um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc. Porém, faltava-lhe o conceito

de limites para terminar com rigor matemático. Entretanto só depois que Eudoxo

(cerca de 370 A.C.) fez o desenvolvimento do método de exaustão: uma técnica de

aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, com

aproximações melhorando a cada etapa e a área exata sendo obtida depois de um

número infinito destas etapas.

Dessa forma, exemplificando, uma primeira aproximação para a área do

círculo é dada pela área do quadrado inscrito no círculo. Com o acréscimo de quatro

triângulos isósceles convenientes, obtemos o octógono regular inscrito no círculo,

cuja área fornece uma aproximação melhor à área do círculo. Ou seja:

74

FIGURA 5: REPRESENTAÇÃO DA APROXIMAÇÃO PARA A ÁREA DO

CÍRCULO.

Continuando com o processo de acrescentar novos triângulos, tomamos um

polígono regular de 16 lados. Do ponto de vista geométrico, é possível observar que já

se tem a impressão de termos exaurido o círculo, embora saibamos que existem algumas

áreas que não foram cobertas.

De acordo com THOMAS (2002):

Para o círculo, Arquimedes primeiro mostrou que a área

depende da circunferência; isto é muito fácil de se

verificar hoje em dia, uma vez que ambas as fórmulas

dependem de p. Então Arquimedes aproximou a área do

círculo de raio unitário usando polígonos regulares de 96

lados inscritos e circunscritos! Seu famoso resultado foi 3

10/71 < p < 3 1/7; mas como estas eram apenas

aproximações, no sentido estrito, não eram quadraturas.

Esta técnica refinou o método de exaustão, assim quando

existe um número infinito de aproximações poligonais,

chamamos de método da compressão. O processo de

Arquimedes para encontrar a área de um segmento de

uma espiral era comprimir esta região entre setores de

círculos inscritos e circunscritos: seu método de

determinar o volume de um conóide (um sólido formado

pela rotação de uma parábola ao redor de seu eixo) era

comprimir este sólido entre cilindros inscritos e

circunscritos. Em cada caso, a etapa final que estabelecia

rigorosamente o resultado era o argumento da redução ao

absurdo dupla.

75

Assim, podemos dizer que a idéia básica do conceito de integral já estava

embutida no método da exaustão atribuído a Eudoxo, desenvolvido e aperfeiçoado

por Arquimedes.

Já no Império Árabe, segundo BOYER (1989), um dos mais notáveis de

todos matemáticos árabes, Thabit ibn Qurrah (826 – 901) desenvolveu sua própria

cubatura, um tanto complicada, deste sólido; e então o cientista persa Abu Sahl al-

Kuhi (século 10) simplificou consideravelmente o processo de Thabit. Ibn al-

Haytham (965 -1039), usou o método de compressão para encontrar o volume do

sólido formado pela rotação da parábola ao redor de uma reta perpendicular ao eixo

da curva.

Seguindo a história, chegamos a Johannes Kepler (1571 – 1630) aproximou

os volumes de vários sólidos tridimensionais, cada qual era formado girando uma

região bidimensional ao redor de um eixo.

Seguindo THOMAS (2002), as próximas grandes contribuições foram de:

Bonaventura Cavalieri (1598--1647), que desenvolveu uma teoria de

indivisíveis.

Pierre Fermat (1601 – 1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as

áreas sob cada uma das "parábolas de ordem superior" (y = kxn , onde k > 0

é constante e n = 2, 3, 4, …) usando retângulos estreitos inscritos e

circunscritos para levar ao método de compressão. Então empregou uma

série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas y = kxn, para

n = -2, -3, -4, …. Mas, para sua decepção, nunca foi capaz de estender estes

processos para "hipérboles de ordem superior", ym = kxn.

Por volta da década de 1640, a fórmula geral para a integral de parábolas de

ordem superior era conhecida de Fermat, Blaise Pascal (1623-1662), Gilles

Personne de Roberval (1602--1675), René Descartes (1596--1650),

Torricelli, Marin Mersenne (1588--1648) e provavelmente outros.

Roberval e Pascal foram os primeiros a plotar as funções seno e co-seno e a

encontrar as quadraturas destas curvas (para o primeiro quadrante). Pascal

aproximou integrais duplas e triplas usando somas triangulares e piramidais.

76

Ainda por THOMAS (2002), O Cálculo na forma geométrica, grande parte do

cálculo se desenvolveu nos primeiros dois terços do século XVII com Isaac Barrow

(1630--1677). Após, foi James Gregory (1638--1675) ao pensar na área da região entre

uma curva e o eixo horizontal como uma variável; o extremo esquerdo era fixo, mas o

extremo direito podia variar, permitindo estender algumas fórmulas de quadratura de

Wallis e o levou ao Teorema Fundamental do Cálculo. Já Newton escreveu seu ensaio,

"On the Quadrature of Curves" (Sobre Quadratura de Curvas), escrito entre 1691 e 1693

e publicado como um apêndice na edição de 1704 do seu Opticks. Neste, ele montou

uma tabela extensa de integrais de funções algébricas um tanto complicadas, e para

curvas as quais não podia desenvolver fórmulas de integração, inventou técnicas

geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Newton

desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os

métodos de substituição e integração por partes.

Segundo BOS e BARON (1974), entre as principais contribuições de Newton ao

Cálculo estão:

Formula regras e procedimentos sistemáticos para cobrir as soluções gerais

da maioria dos problemas relativos ao Cálculo Infinitesimal que eram

conhecidos no seu tempo;

Estabelece uma estrutura unificada e um quadro dentro do qual todos os

problemas podiam ser formulados;

Usa séries infinitas como ferramenta importante ao estender-se à classe das

curvas “quadráveis”, isto é, curvas cuja quadratura podia ser determinada;

Estabelece a idéia de que a diferenciação e a integração são operações

inversas.

Sobre o Teorema Fundamental do Cálculo, ÁVILA (1985), afirma que este

relaciona integral com derivada, sendo um resultado decisivo para que os métodos

infinitesimais que então surgiram pudessem se organizar e disciplinas autônoma, - o

Cálculo Diferencial e Integral.

Numa das versões, AVILA (1985), mostra que:

x

a

dttfxF )()(

77

É uma primitiva de f, isto é, F’(x) = f(x). Outra versão

equivalente desse teorema afirma que se G é uma

primitiva qualquer da função f, então:

b

a

dttfaGbG ;)()()(

Ou ainda, como ),(')( xGxf

.)(')()( b

a

dttGaGbG

Evidentemente, tudo isso é válido no pressuposto de que

f(x) e G’(x) sejam funções contínuas no intervalo [a, b}.

Porém, no século XVII, quando o Cálculo ainda se

encontrava em estágio embrionário, não havia uma

preocupação explicita com a noção de continuidade,

mesmo porque o conceito de função era também muito

restrito. Por função se entendia uma correspondência

entre variáveis, sempre dada por fórmulas ou expressões

analíticas, como:

y=3x²-7x+1, y= .,1² etcxx

E a noção de continuidade só começaria a aparecer no

século XVIII.

De acordo com THOMAS (2002), para Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –

1716), uma curva era um polígono com um número infinito de lados, onde ele fez y

representar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma abscissa para a

próxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas". Então disse que representaria a

área de uma figura pela soma de todos os retângulos [infinitesimais] limitados pelas

ordenadas e diferenças das abscissas, e assim representaria em seu cálculo a área da

figura por ò y dx.

Leibniz tomou o "S" alongado para a integral do latim summa e d do latim

differentia, e estas têm permanecido nossas notações de cálculo mais básicas desde

então, segundo BOYER (1989).

78

Segundo BOS e BARON (1974, p. 52), algumas idéias importantes que

fundamentaram a invenção do cálculo por Leibniz, foram:

O interesse de Leibniz pelo simbolismo e pela notação vinculando à sua

idéia de uma linguagem simbólica geral;

O reconhecimento de que somar sequências e tomar as suas diferenças são

operações inversas e que, semelhantemente, a determinação de áreas e a de

tangentes são operações inversas.

No inicio do século XVIII, segundo ÁVILA (1985), Leonhard Euler (1707 –

1783), publicou livros que estabeleceram padrões definitivos ao Cálculo e exerceram

influencia por um século. Então, segundo volume de uma dessas obras – “Introduction

in Analysin Infinitorum”, de 1848, ele distingue funções continuas de descontínuas.

Assim, por contínua, ele entende uma função dada por uma única expressão analítica,

como:

y = sen x, y = x2 + 1 ou y = log x.

É descontínua uma função dada por várias expressões analíticas, porém cujo

gráfico é uma curva única, sem interrupções, o que difere do que hoje entendemos por

descontinuidade.

Já THOMAS (2002), nos diz que a idéia moderna de uma função contínua,

independente de qualquer fórmula, foi iniciada em 1791 por Louis-François Arbogast

(1759 – 1803): "A lei de continuidade consiste em que uma quantidade não pode passar

de um estado [valor] para outro [valor] sem passar por todos os estados intermediários

[valores] ...". Esta idéia tornou-se rigorosa em um panfleto de 1817 por Bernhard

Bolzano (1781 - 1848) e é conhecida agora como o Teorema do Valor Intermediário.

Dessa forma, as funções descontínuas no sentido moderno só foram introduzidas na

comunidade matemática e científica por Joseph Fourier (1768 – 1830) no seu famoso

Analytical Theory of Heat (Teoria Analítica do Calor, 1822).

Segundo THOMAS (2002), Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) assumiu a

reforma total do cálculo para seus alunos de engenharia na École Polytechnique na

década de 1820, a integral era uma de suas pedras Fundamentais.

79

Já BOS e BARON (1974), diz que a concepção de integração como o inverso da

diferenciação, de Newton e de Bernoulli, era geralmente aceita no século XVII. Então,

Cauchy apresentou outro enfoque para a integração, considerando-a como soma. Ele

definiu a integral como um somatório que tende a um limite.

Seguindo BOS e BARON (1974), é dito que:

Uma vez que a integração não é mais definida como o

inverso da diferenciação, o Teorema Fundamental do

Cálculo não um corolário da definição da integração, mas

deve ser provado. O teorema fundamental afirma que a

integração e a diferenciação são operações inversas. Para

sermos mais precisos, ele afirma que se f é uma função

continua e considerarmos a função F definida por:

.',)()( fentãoFdxxfxFb

a

Segundo THOMAS (2002, p. 11), Cauchy definiu a integral de qualquer função

contínua no intervalo [a, b] sendo o limite da soma das áreas de retângulos finos. Dessa

forma sua primeira obrigação era provar que este limite existia para todas as funções

contínuas sobre o intervalo dado. Infelizmente, embora Cauchy tenha usado o Teorema

do Valor Intermediário, não conseguiu seu objetivo porque não observou dois fatos

teóricos sutis, mas cruciais. Ele não tinha noção das falhas lógicas no seu argumento e

prosseguiu para justificar o Teorema do Valor Médio para Integrais e para provar o

Teorema Fundamental do Cálculo para funções contínuas.

Já TUMELERO e MUSIAL (2003, p. 7), dizem que no século XVIII, a ênfase

era posta na idéia de função dada por uma expressão analítica. Também é dito que os

conceitos de derivada e integral, como os de funções e continuidade, eram insuficientes

para lidar com os novos problemas que surgiam no final do século. Então, Cauchy foi o

primeiro a introduzir a integral analiticamente. Em seu “Résumée” de 1823 ele define

integral como o limite de somas do tipo:

80

Ou seja, de acordo com TUMELERO e MUSIAL (2003), quebrou o domínio da

integração em subintervalos de tamanho arbitrário por uma divisória e

calculou a área como o limite de:

,

então quando n aumenta, esta soma se aproxima da área do trapezóide definido sob o

gráfico de f, estabelecendo assim sua existência para toda a função contínua.

Portanto, TUMELERO e MUSIAL (2003), concluem a respeito da integral

segundo Cauchy que a integral assim definida dispensa com a restrita concepção de que

f tenha uma função analítica. Basta que a função f seja contínua para que exista F tal

que F’(x) = f(x); F é a integral definida de f num intervalo [a; b].

Ainda no século, apareceu Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), que

seguiu os trabalhos de Dirichilet, de tal forma que segundo TUMELERO e MUSIAL

(2003, p. 8), o ponto de partida de Riemann é a questão não resolvida por Dirichlet em

1829:

O que significa dizer que uma função é integrável? Ao

contrário de Cauchy, que se restringiu, em suas

considerações, as funções que são contínuas, ou, no

máximo, seccionalmente contínuas, Riemann não faz outra

hipótese sobre a função a ser integrada, além da

exigência de que suas “somas de Riemann”, convirjam. E

estabelece, a partir daí, critérios para a integrabilidade

que caracterizam completamente a classe das funções

integráveis.

De acordo com TUMELERO e MUSIAL (2003, p. 10-11), segue a definição

exata, na íntegra da integral de Riemann:

81

Terminando a análise de TUMELERO e MUSIAL (2003), é dito que as

demonstrações dadas por Riemann em seu trabalho tinham várias lacunas, das quais só

podem ser justificadas à luz de resultados sobre continuidades e convergência

uniformes, os quais época de Riemann esses conceitos ainda não tinham sido

definitivamente identificados e incorporados à matemática.

Após a contribuição de Riemann, TUMELERO e MUSIAL (2003) destacam o

trabalho Henri-Léon Lebesgue (1875 – 1941).

Aqui vale destacar que nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral 1, é estudado

ao conceito de integral de Riemann. Entretanto, como a história da matemática não pára

e continua dinâmica, vamos apenas dar uma breve pincelada em tal contribuição.

82

Assim, TUMELERO e MUSIAL (2003), dizem que em 1901, Lebesgue

publicou uma nota na qual propunha um novo conceito de integral contendo como caso

particular a de Riemann, conseqüentemente a de Cauchy, eliminando várias deficiências

dessas integrais, e em particular, dando uma resposta mais geral sobre a validade da

fórmula de Newton- Leibniz. Este novo conceito vai permitir, por exemplo, estender a

classe das funções integráveis: Um exemplo simples de função ƒ: [0, 1] R integrável

à Lebesgue e não integrável à Riemann é:

Em resumo, podemos falar sobe o desenvolvimento dos conceitos de Cálculo,

subdividindo-os em 4 grupos, a saber:

Funções:

Como vimos anteriormente, de acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981), citado

por OLIVEIRA (1997), existem três etapas principais do desenvolvimento de funções,

que podem ser resumidos da seguinte forma:

Antiguidade: Etapa no curso no qual o estudo de diferentes casos de

dependência entre duas quantidades ainda não isolou as noções de gerais de

quantidades variáveis e de funções.

Idade Média: Nesta etapa, as noções, são pela primeira vez, e de maneira

precisa, expressas sob uma forma geométrica e mecânica, mas durante a

qual, como na antiguidade, cada caso concreto de dependência entre duas

quantidades, são definidas por uma descrição verbal, ou por um gráfico, de

preferência fórmula.

Período Moderno: No curso, da qual, no fim do século XVI, e durante o

século XVII, as expressões analíticas de funções começam a prevalecer; a

classe de funções analíticas geralmente é expressa por meio de soma de

séries infinitas, tornando-se logo a principal classe utilizada.

Limites:

83

Vimos que entre todos os conceitos de Cálculo, limites é considerado o mais

básico de todos, e de fundamental importância para a compreensão dos demais.

Dessa forma, tem seu desenvolvimento histórico começado a partir dos

paradoxos de Zenão, do qual ele tira a impossibilidade do movimento. Ainda na Grécia

Antiga, vimos que Arquimides não tem o conceito de infinito trabalhou com o

argumento denominado dupla reductio ad absurdum.

Já no século XVII, Fermat essencialmente trabalhou com limite com o

argumento que algo é "infinitamente pequeno". Geometricamente, Fermat estava

tentando mostrar que, exatamente nos pontos mais altos e mais baixos ao longo da

curva, as retas tangentes à curva são horizontais, isto é, têm inclinação zero.

Depois, temos Descartes, que tinha um processo que usava raízes duplas de uma

equação auxiliar, o qual teve sua técnica melhorada pelo matemático Johan Hudde

(1628--1704). Em cada um desses cálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma

etapa crítica, mas não foi. Nenhum destes geômetras percebeu a necessidade da idéia de

limite, e assim cada um encontrou uma maneira inteligente para alcançar seus

resultados, os quais estavam corretos, mas com meios que, agora reconhecemos, faltam

fundamentos rigorosos

Em quase todos os trabalhos de Isaac Newton (1642 – 1727), também não

reconheceu o papel fundamental do limite.

Mas, dentre estes precursores do cálculo, temos Jean Le Rond d'Alembert

(1717--1783), que foi o único cientista daquele tempo que reconheceu explicitamente a

importância central do limite no cálculo.

Já no inicio do século XVIII, nas suas classes e nos livros-texto clássicos,

Cauchy usou o princípio de limite como a base para introduções precisas à continuidade

e convergência, a derivada, a integral, e o resto do cálculo.

Em fim, foi Karl Weierstrass (1815 – 1897) quem determinou que a primeira

etapa necessária para corrigir os erros da definição original de Cauchy do limite em

termos estritamente aritméticos, usando apenas valores absolutos e desigualdades, a

qual é usada até hoje.

Derivadas:

84

Segundo THOMAS (2002), podemos começar o desenvolvimento do Cálculo

por Euclides (cerca de 300 a.C.), que provou o teorema que diz que a reta tangente a um

círculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P; e depois Arquimedes (287 -

212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio

(cerca de 262 - 190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto quanto diferentes, para

determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles.

Na realidade, podemos dizer que após os Gregos o interesse por tangentes a

curvas reapareceu no século XVII, como parte do desenvolvimento da geometria

analítica. Ou seja, foi René Descartes (1596 – 1650) que teve o discernimento de prever

a importância da tangente, e foi ele quem inventou um procedimento de dupla raiz para

encontrar a normal e então a tangente a uma curva.

Já Newton, teve a intenção de determinar a relação entre variação y e da

quantidade x, de uma função y = f(x), quando x sofre um acréscimo infinitesimal,

considerando as quantidades matemáticas “como se fossem geradas por um aumento

contínuo do espaço no qual um objeto se move descrevendo uma trajetória”.

Também foi Newton que estabeleceu muito tarde a notação padrão como ponto

para representar a diferenciação.

Assim, pelo exposto sobre Newton e Leibniz, podemos perceber que foi através

deles que se reconheceu a relação inversa entre problemas de quadratura e de tangentes.

Integrais:

De acordo com THOMAS (2002), o cálculo integral se originou com problemas

de quadratura e cubatura, na Grécia Antiga, como Hipócrates de Chios, Antiphon,

Eudoxo e Arquimedes.

Já no Império Árabe, segundo BOYER (1989), um dos mais notáveis de todos

matemáticos árabes, Thabit ibn Qurrah (826 – 901) desenvolveu sua própria cubatura.

Seguindo THOMAS (2002), as próximas grandes contribuições foram de:

Bonaventura Cavalieri (1598--1647), que desenvolveu uma teoria de

indivisíveis.

Pierre Fermat (1601 – 1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas

sob cada uma das "parábolas de ordem superior" usando retângulos estreitos inscritos e

circunscritos para levar ao método de compressão.

85

Por volta da década de 1640, a fórmula geral para a integral de parábolas de

ordem superior era conhecida de Fermat, Blaise Pascal (1623-1662), Gilles

Personne de Roberval (1602--1675), René Descartes (1596--1650),

Torricelli, Marin Mersenne (1588--1648) e provavelmente outros.

Já Newton escreveu seu ensaio entre 1691 e 1693, onde ele montou uma tabela

extensa de integrais de funções algébricas um tanto complicadas, e para curvas as quais

não podia desenvolver fórmulas de integração, inventou técnicas geométricas de

quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Newton desenvolveu as

técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os métodos de

substituição e integração por partes.

De acordo com THOMAS (2002), para Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –

1716), uma curva era um polígono com um número infinito de lados, onde ele fez y

representar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma abscissa para a

próxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas". Então disse que representaria a

área de uma figura pela soma de todos os retângulos [infinitesimais] limitados pelas

ordenadas e diferenças das abscissas, e assim representaria em seu cálculo a área da

figura.

Já Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) assumiu a reforma total do cálculo

para seus alunos de engenharia na École Polytechnique na década de 1820, onde a

integral era uma de suas pedras Fundamentais.

Ainda no século, apareceu Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), que

seguiu os trabalhos de Dirichilet, de tal forma que o ponto de partida de Riemann é a

questão não resolvida por Dirichlet em 1829, dando uma grande contribuição ao estudo

das integrais.

Após a contribuição de Riemann, destacamos o trabalho Henri-Léon Lebesgue

(1875 – 1941).

86

7. O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO

CÁLCULO

O objetivo deste capitulo é mostrar o problema do discreto e do continuo no

desenvolvimento do Cálculo.

O Cálculo, segundo BOYER (1989), teve sua origem nas dificuldades

encontradas pelos antigos matemáticos gregos na sua tentativa de expressar suas idéias

intuitivas sobre as razões ou proporções de segmentos de retas, que vagamente

reconheciam como contínuas, em termos de números, que consideravam discretos.

Já para COBIANCHI (2001), o problema de continuidade e do infinito foram

sentidos desde a antiguidade, nas tentativas de medição de segmentos, retificação de

curvas, quadraturas de figuras planas e cálculo de volumes de sólidos; podendo ter uma

de suas primeiras aparições na Escola Pitagórica, a partir do século VI antes de Cristo.

Assim, antes de tudo, vamos definir discreto e continuo.

De modo geral, segundo CUNHA (1996) citado por BROLEZZI (1996), discreto

é aquilo que exprime objetos distintos, que se revela por sinais separados, que se põe à

parte. Vem do latim discretus, particípio passado do verbo discernere (discernir), que

significa discriminar, separar, distinguir, ver claro.

Já contínuo, segundo MAGNE (1959), vem de con-tenere (ter junto, manter

unido, segurar). Contínuo é o que está imediatamente unido a outra coisa.

Então, começaremos nossa análise pela Escola Platônica. GRAGNER (1974, p.

37), afirma que:

A dificuldade de medida que constituiu a existência de

grandezas incomensuráveis foi trazida à tona, depois dos

Pitagóricos, pelos geômetras do circulo de Platão. Esse

problema dos incomensuráveis causou um verdadeiro

escândalo lógico, pois pareceu arruinar teoremas

envolvendo proporções; e um exemplo desse problema,

refere-se a duas quantidades, como a diagonal e o lado do

quadrado, que são incomensuráveis quando sua razão não

resulta algum número (inteiro) para outro inteiro.

87

Dessa forma, podemos dizer que, de acordo com COBIANCHI (2001) que a

incomensurabilidade nunca poderia ser descoberta a partir de observações o medições

experimentais, as quais estão sempre submetidas a uma maior ou menor aproximação,

pois a Matemática é um produto do puro pensamento discursivo, e suas verdades são

estabelecidas pelo raciocínio dedutivo, que são suas demonstrações, e não pela

verificação experimental.

Podemos dizer que a raiz do pensamento de Platão, de acordo com COBIANCHI

(2001), está em que a realidade não se localiza nas coisas sensíveis, e sim nas formas.

Desse modo, ainda segundo COBIANCHI (2001), a filosofia de Platão e a ciência grega

impuseram-se duas limitações, que muito influiu na construção da Matemática, a saber:

1. A rejeição do devir como base de uma explicação racional do mundo;

2. A rejeição do manual e do mecânico para fora do domínio da cultura.

Em conseqüência disso, houve a esse abandono do aspecto quantitativo, restando

somente um estudo qualitativo.

Assim, seguindo o caminho percorrido pela continuidade, segundo

COBIANCHI (2001), cabe ressaltar que Matemática trata com dois tipos diferentes de

atividades, com vínculos estreitos em relação à continuidade, a saber:

3. Envolvendo contagem de elementos discretos, separados e indivisíveis;

4. Envolvendo medida de quantidades que são continuas e, na imaginação,

infinitamente divisíveis, isto é, divisíveis sem fim.

KLINE (1972, p. 35), citado por COBIANCHI (2001), nos diz que foi Zenão

quem deu relevância ao problema da relação entre discreto e contínuo.

Já BROLEZZI (1996), vem nos dizer que após a crise dos incomensuráveis, que

pode ser situada no seio da nascente escola pitagórica, irá surgir outra grande polêmica

muito fértil entre os filósofos pré-socráticos, ou seja, ao que tudo indica o problema da

incomensurabilidade entre magnitudes gerou algumas concepções polêmicas acerca da

natureza do mundo físico, como a doutrina atomística, defendida por Demócrito, que

propunha a existência do infinitamente pequeno compondo o ser das coisas.

Segundo BOYER (1959), Demócrito foi, aparentemente, o primeiro a falar de

infinitesimais, e a considerar a possibilidade de trabalhar com o infinitamente pequeno a

fim de recompor o todo, como no caso de utilizar lâminas circulares infinitamente finas

88

para calcular o volume de cilindros e cones, antecipando-se assim ao teorema de

Cavalieri, nesses casos.

Tal teoria foi combatida duramente pela escola filosófica de Parmênides, no

entanto segundo BROLEZZI (1996), foi um aluno de Parmênides, Zeno de Eléa, ou

Zenão, que entrou para História com seus famosos dons dialéticos, ou seja, através da

manipulação de argumentos lógicos, pretendia demolir as idéias dos adversários. Zenão,

continua BROLEZZI (1996), dizia que a idéia de infinitésimos é totalmente absurda,

pois se possuem algum comprimento, então uma quantidade infinita deles irá compor

uma reta de comprimento infinito; e se não têm nenhum comprimento, então uma

quantidade infinita deles tampouco terá comprimento algum. Além disso, dirá também:

aquilo que acrescentado a outro não o faz maior, e subtraído de outro não o faz menor, é

simplesmente nada.

Quando Zenão fez seus paradoxos deixaram descobertas as dificuldades de se

imaginar ou intuir os fenômenos associados à continuidade, isto é, a questão toda,

segundo BROLEZZI (1996), está em se considerar tempo contínuo e espaço discreto, ou

vice versa, trazendo essa sensação de certo desamparo intuitivo, relatando uma situação

de perplexidade comum frente à continuidade e ao infinito.

Como exemplo, o Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga, BROLEZZI (1996, p. 22),

afirma que:

O paradoxo mais conhecido é sem dúvida o de

Aquiles e a Tartaruga, embora seja similar ao da

Dicotomia. Agora temos o atleta Aquiles, com toda

sua força física, sendo derrotado numa corrida por

uma lenta tartaruga. Basta para isso que deixe a

tartaruga sair com uma vantagem de distância,

mesmo pequena, à frente dele. Pois assim que

Aquiles alcançar a posição inicial da tartaruga,

ela já se deslocou dali, mesmo que seja pouca

coisa. Quando Aquiles chegar ao local onde a

tartaruga devia se encontrar agora, esta já

adiantou-se outro pequeno espaço, e assim por

diante, de modo que a tartaruga sempre está à

89

frente de Aquiles, até cruzar vitoriosa a reta de

chegada.

Segundo BOYER (1989, p. 87), a Matemática adquiriu outra configuração após

Zeno:

As grandezas não são associadas a números ou

pedras, mas a segmentos de reta. Em 'Os

Elementos' os próprios inteiros são representados

por segmentos. O reino dos números continuava a

ser discreto, mas o mundo das grandezas contínuas

(e esse continha a maior parte da Matemática pré-

helênica e pitagórica) era algo à parte dos

números e devia ser tratado por métodos

geométricos.

Já COBIANCHI (2001), vem dizer que a concepção corpuscular da Escola

Pitagórica estava batida, onde os argumentos de Zenão tornaram palpável a

incompatibilidade dessa concepção com a estrutura da reta.

Sobre a obra de Euclides, BROLEZZI (1996) fala que representa o início da

busca que resultará no Cálculo Diferencial e Integral. Euclides reúne toda a elaboração

grega dos séculos anteriores, e registra o momento em que os pesquisadores começam a

se voltar para a possibilidade da exploração da continuidade e da geometria em termos

de análise algébrica, interessando-se mais por métodos de redução como o método de

exaustão de Eudoxo. Não é por acaso que Arquimedes, bem como todos os criadores do

Cálculo no século dezessete, irão se voltar para Euclides e tentar buscar aí as idéias do

Cálculo.

Aqui a principal dificuldade para os gregos desenvolverem o Cálculo era o uso

freqüente da idéia de razão. Esse fundamento da Matemática grega irá dificultar que se

enxerguem as idéias fundamentais do Cálculo.

Como diz BOYER, (1974, p. 301),

Os próprios conceitos que deram nascimento ao

Cálculo - aqueles de variação e continuidade, do

90

infinito e do infinitesimal - foram banidos da

matemática grega por esta razão, sendo o trabalho

de Euclides um monumento a esta exclusão.

Dessa forma, continua BROLEZZI (1996), no mundo grego se estabelece a

grande divisão entre as noções de discreto e contínuo, em termos de concepção

filosófica, marcando profundamente a evolução da Matemática. É Euclides quem

melhor registra essa dicotomia que caracterizava a mentalidade grega, dividindo em

livros diferentes aquilo que se referia à geometria daquilo que se referia aos números. A

Geometria seria o “reino da continuidade”, enquanto a Aritmética seria o “reino do

discreto”.

BOYER (1974) vem nos dizer que os Elementos baseiam-se em "intuição

refinada" e não deixavam espaço livre para a "intuição ingênua”, o que viria a tornar-se

especialmente ativa na gênese do Cálculo no século dezessete.

A diferença entre estes dois tipos de intuição, segundo BROLEZZI (1996), fica

mais patente nos trabalhos que marcam a evolução pós-Euclides, principalmente nas

obras de Arquimedes. Para verificarmos de que forma os gregos estavam próximos do

Cálculo, é preciso explicar antes o Método de Exaustão de Eudoxo e a utilização que

dele fez Arquimedes.

BROLEZZI (1996, p. 23), nos diz que:

O conceito de proporção dos pitagóricos,

associando a razão entre dois segmentos de reta à

razão entre números inteiros, não podia ser

aplicada no caso das grandezas incomensuráveis.

Eudoxo, aluno de Platão, propôs então uma outra

definição de proporção, de caráter mais geral,

permitindo que os quatro termos da proporção

fossem todos grandezas geométricas, evitando por

completo qualquer extensão à idéia pitagórica de

número. Desse modo, Eudoxo constrói um

instrumento útil que podia ser manuseado sem

haver misturas entre números e grandezas

91

geométricas, isto é, sem ferir o modo de pensar

grego.

Dessa forma, Eudoxo desenvolveu o seu Método da Exaustão, que se baseava

num princípio que acabará por ficar conhecido como Postulado de Arquimedes, embora

o mesmo o atribua a Eudoxo, segundo BROLEZZI (1996).

O enunciado desse axioma é dado por Euclides X, 1, dizendo que, dadas duas

grandezas diferentes (ambas não nulas),

Se da maior subtrairmos uma grandeza maior que

a sua metade, e do que restou subtrairmos uma

grandeza maior que a sua metade, repetindo esse

processo continuamente, restará uma grandeza

que será menor que a menor grandeza dada.

O que há de fantástico nesta definição, segundo BROLEZZI (1996), é que

exclui o infinitesimal de todas as demonstrações geométricas dos gregos, permitindo

raciocinar sem ultrapassar a compreensão intuitiva clara, pois Eudoxo não propõe ir até

o infinito para de fato atingir o limite, mas apenas afirma que se pode chegar a uma

grandeza tão pequena quanto qualquer outra dada.

A diferença entre o método de exaustão e o limite do Cálculo Diferencial

e Integral, segundo BROLEZZI (1996), reside apenas no fato de os gregos não

realizarem essa passagem ao infinito, pois não tinham noção de um continuum

aritmético. Mas o tipo de argumentação é o mesmo, tanto no caso do atual limite quanto

no método de exaustão geométrico.

Para avaliar até que ponto chegaram os gregos, BOYER (1959), nos diz que

basta verificar o que Arquimedes (287 – 212 aC) realizou o Cálculo da área sob a

parábola antecipando-se, assim, em mais de dezessete séculos aos resultados do Cálculo

Integral.

Segundo EDWARDS (1979), faltava a Arquimedes a noção de passagem ao

limite, pois ele partilhava com os gregos do chamado horror ao infinito.

Ao mesmo tempo, BROLEZZI (1996) afirma que, o estudo da Matemática grega

mostra como as idéias originais do Cálculo têm início em considerações que envolvem

92

tanto noções de grandezas discretas quanto de grandezas contínuas, servindo ambas para

se chegar aos resultados do Cálculo.

Assim, continua BROLEZZI (1996), será também por estes dois caminhos -

ambos igualmente úteis – que surgirá o reconhecimento da relação inversa entre

problemas de área e de tangente a uma curva, que é o cerne do Teorema Fundamental

do Cálculo. Mas isso somente irá aparecer de maneira explícita nos trabalhos de Newton

e Leibniz, na segunda metade do século XVII.

Dessa forma, BROLEZZI (1996), nos diz que Newton (1642-1727) e Leibniz

(1646-1716) chegaram ao Cálculo através de caminhos diferentes, tanto em linguagem

com que ambos expressaram as idéias fundamentais do Cálculo, mas também em

termos de concepção pode-se verificar uma diferença grande entre os trabalhos destes

homens. Tanto Newton quanto Leibniz podem ser considerados como os primeiros a

expressar a idéia da reciprocidade entre a diferencial e a integral, que constitui o

Teorema Fundamental do Cálculo. Mas a maneira de ver o Cálculo era distinta.

De acordo com ROBINSON (1974, p. 260), que foi o criador da análise não-

standard, nos diz que quando analisamos os fundamentos da teoria do Cálculo, é

possível identificar dois modos distintos de trabalhar as idéias básicas:

No que se refere aos fundamentos do novo assunto,

Newton vacilava, referindo-se às vezes aos

infinitesimais, às vezes aos limites, e às vezes a

uma intuição física básica, e seus sucessores

imediatos deram preferência a essa última

abordagem. Por outro lado, Leibniz e seus

seguidores basearam o desenvolvimento da teoria

sobre os diferenciais infinitamente pequenos, de

primeira e segunda ordem.

Já BOYER (1989, p. 260), nos diz que:

Newton, o cientista, encontrou na noção de

velocidade a base que para ele parecia

satisfatória; Leibniz, o filósofo, que era também

tanto teólogo quanto cientista, preferia encontrar a

93

base na diferencial, a contrapartida em

pensamento da mônada, que deveria desempenhar

um papel tão grande no seu sistema metafísico.

Dessa forma, poderíamos dizer assim que Newton teria chegado ao Cálculo pela

via do contínuo, e Leibniz pela via do discreto, conforme já visto acima, pois ambas as

maneiras de abordar o problema mostraram-se igualmente úteis, já que não estava

estabelecida a noção de limites, as idéias de movimento contínuo e de infinitésimos

discretos surgiram como tentativas de esquematizar as impressões sensíveis a respeito

da variação.

Quando nos referimos à percepção da relação inversa entre a derivada e a

integral, e a formulação de regras de para se obter derivadas e integrais, podem ser

tomados como a essência da criação do Cálculo, isto é, para chegar a esses conceitos,

Newton segue o caminho constituído pela manipulação da noção contínua de velocidade

e movimento.

Já Leibniz, segundo BARON & BOS (1985, p.70), tem outra maneira de encarar

as coisas. Para Leibniz, a visualização do Cálculo se dá de forma estática:

Leibniz considerava as variáveis como

percorrendo seqüências de valores infinitamente

próximos. No seu Cálculo há pouco uso de

conceitos de movimento.

A visão discreta de Leibniz e a visão contínua de Newton, segundo BROLEZZI

(1996), foram ambas igualmente úteis para compor o cenário para o Cálculo que estava

nascendo. As preocupações metafísicas de Newton e Leibniz levaram ambos a tentar

esclarecer a natureza do "ser" das variáveis e dos fenômenos relacionados a elas. Essas

explicações iniciais serviram para dar sustentação a esse período inicial do Cálculo, até

que a matemática evoluísse mais para poder ultrapassar a visão dicotômica entre o

discreto e o contínuo. Assim, afirma BOYER (1974, p. 216):

Somente após o desenvolvimento do conceito geral

abstrato de número real o caminho estava claro

para interpretar ambos os cálculos fluxionário e

94

diferencial em termos de limite de uma seqüência

infinita de razões ou números; mas essa

interpretação não tornou-se aceita ainda por mais

um século.

Hoje, de acordo com BARON & BOS (1985, p.73), podemos dizer que o

Cálculo moderno é, em essência, o mesmo que eles criaram, mas com uma linguagem e

uma abordagem conceitual bem distinta de ambos:

No Cálculo moderno a operação de diferenciação

associa uma função a uma derivada. Para Leibniz,

a diferenciação associava uma diferencial

infinitamente pequena a uma variável. Para

Newton, tomar fluxões significava associar uma

velocidade finita a uma variável. Portanto, a

concepção da operação fundamental nos cálculos

de Newton e Leibniz era totalmente diferente do

conceito de diferenciação que está em uso no

Cálculo moderno.

Em 1826, segundo BROLEZZI (1996), Cauchy estabelece a noção de limites,

em certa medida elaborando em linguagem matemática uma estrutura flexível dentro da

qual as noções de discreto e contínuo pudessem ser trabalhadas. Já Weierstrass, com a

ferramenta da noção de limite, formaliza o Cálculo, introduzindo a linguagem dos

Épsilons e Deltas.

Os dois caminhos percorridos por Newton e Leibniz, segundo BROLEZZI

(1996), se encontraram em um mesmo ponto, o Cálculo. Conseqüentemente, o Cálculo é

o “reino” onde interagem de modo especial o discreto e o contínuo. Para chegar a uma

melhor definição do Cálculo, foi necessário elaborar a teoria sobre o contínuo, e tentar

compreender a natureza da reta real. O Cálculo irá se apoiar assim sobre os números

reais, e sobre a idéia de limite.

Já foi Georg Cantor, segundo BROLEZZI (1996), foi quem chamou a atenção

para a continuidade da reta real, ainda não suficientemente explicada. Cantor propôs a

95

construção de um conjunto especial de pontos, chamado de Conjunto de Cantor ou

Poeira de Cantor. Esse conjunto tem grande importância histórica, e pode ser

considerado o mais simples dos fractais. Segundo YOUNG (1992, p. 321), citado por

BROLEZZI (1996):

Cantor foi levado ao conjunto que agora leva seu

nome em seus esforços para esclarecer as

características essenciais de um contínuo

matemático e, portanto cobrir a distinção entre um

conjunto de pontos contínuo e discreto

Atualmente, de acordo com BROLEZZI (1996), afirma que mesmo bem

definido matematicamente, o contínuo continua a desafiar a mente com um problema de

ordem epistemológica, colocado por Caveing do seguinte modo: O contínuo é um dado

primitivo e intuitivo, ou uma construção matemática?

DA COSTA & DORIA (1991/2) sugere algumas linhas de pesquisa que

permitam obter estruturas contínuas antes de estruturas discretas, a fim de estabelecer,

dentro da Matemática, uma relação entre parceiros iguais. Essas indagações sobre a

interação entre discreto e contínuo traduzem-se em um problema de base do Cálculo.

PETITOT (1985, p. 209), comenta essa dificuldade da base da análise:

Ora, se se remonta do seu formalismo de base - a saber, o

formalismo diferencial - até ao seu conceito primitivo - a

saber, o de infinitesimal -, depara-se com uma

contradição. Com efeito, dada a estrutura arquimediana

da reta real, uma quantidade infinitesimal é

necessariamente nula; sendo o contínuo divisível sem

resto até ao infinito, não poderiam aí existir nem "átomos"

indivisíveis fazendo parar o processo de divisão, nem

infinitamente pequenos que o excedam.

Em 1960, segundo BROLEZZI (1996), Abraham Robinson provou que os

infinitésimos podem ser definidos de modo a fornecer uma estrutura rigorosa para o

Cálculo, onde a análise não-standard tem a mesma consistência interna que o Cálculo

96

baseado em números reais e limites. Comenta YOUNG (1992) sobre a análise não-

standard de Robinson:

Apesar de o tema estar ainda na sua infância e seu futuro

estar longe de ser claro, ainda assim constitui-se em um

esforço para construir uma ponte cobrindo o espaço

existente entre o contínuo e o discreto.

A análise não-standard, ainda por BROLEZZI (1996), faz parte portanto dessa

tentativa de construir um fundamento sólido, ligando o discreto ao contínuo, para as

idéias do Cálculo Diferencial e Integral. Ao comentar sua própria criação, Robinson

chama a atenção para o fato de que a teoria do Cálculo somente veio a ser bem

fundamentada muito tempo depois de suas bases estarem lançadas:

Penso que nos séculos futuros será considerado algo

muito estranho na história da matemática que a primeira

teoria exata dos infinitesimais foi desenvolvida 300 anos

após a invenção do Cálculo diferencial.

Desse modo, conclui BROLEZZI (1996), a análise não-standard faz parte, dessa

tentativa de construir um fundamento sólido, ligando o discreto ao contínuo, para as

idéias do Cálculo Diferencial e Integral.

8. O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE

HOJE

O objetivo deste capitulo é mostrar como o Cálculo foi inserido no ensino

médio, a partir do currículo e de livros didáticos, desde a década de 60 até os dias de

hoje.

Podemos começar este tópico perguntando por que ele foi inserido? Qual a

importância dessa discussão?

Pois bem, comecemos com ÁVILA (1991), quando ele questiona porque do

Cálculo não ser ensinado no 2.o grau (atual ensino médio)? Será que é muito difícil

para tal nível de ensino?

97

Pois, é por isso que começaremos seguindo ÁVILA (1991), quando ele afirma

que no final da década de 50 e inicio dos anos 60, com o inicio do Movimento da

Matemática Moderna, que pregavam a modernização do ensino, cuja tônica foi à

ênfase excessiva no formalismo e no rigor das apresentações, foi retirado do antigo

segundo grau (atual ensino médio) programas tais como o Cálculo. Na ocasião o

conteúdo de Cálculo fazia parte do programa da 3.a série do chamado curso cientifico,

segundo ÁVILA (1991).

De fato, quando pegamos o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL

JAIRO BEZERRA, temos neste conteúdo de Cálculo, o qual analisaremos mais tarde.

O que chama a atenção logo de inicio é a seguinte mensagem na contra-capa do livro:

“De acordo com os programas em vigor, conforme portarias n.os 966, de 02/10/1951

e 1.054 de 14/12/1951”. (BEZERRA, 1962, s/p)

Mas afinal, que programas curriculares em vigor em 1962 são esses?

Antes de falarmos sobre tais portarias, ÁVILA (1991) nos diz que desde 1943

quando foi instituída a reforma do ensino secundário, conhecida por reforma

Capanema, e bem como antes de tal reforma, o Cálculo já fazia parte do programa de

dois anos do pré-universitário, das escolas de engenharia.

Agora, quando pegamos SILVA (2008), ele nos diz que a portaria de 1951,

lançada pelo então Ministro da Educação e Saúde Simões filho, foi denominada

programa mínimo e procurava estabelecer um limite mínimo na qual todas as

instituições escolares estariam sujeitas. Dessa forma, o programa mínimo para o

colégio estabelecia na 3ª série, de acordo com SILVA (2008, p. 137), temos:

Desenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino

Secundário e respectivas instruções metodológicas.

I – Conceito de função; representação cartesiana; reta e

círculo; noção intuitiva de limite e de continuidade.

(vii) Conceito

elementar de variável e de função. Variável progressiva e

variável contínua; intervalos; noção intuitiva de limite de

uma sucessão; exemplos clássicos elementares;

convergência.

98

2) Funções

elementares; classificação. Representação cartesiana de

uma função e equação de uma curva. Curvas geométricas

e curvas empíricas; noção intuitiva de continuidade.

Representação gráfica de funções usuais; função

exponencial, função logarítmica e funções trigonométricas

diretas. Acréscimo de uma função num ponto; funções

crescentes e funções decrescentes. Tangente; inclinação

da tangente.

3. Limite de variáveis e de funções; limites infinitos.

Propriedades fundamentais. Exemplos elementares de

descontinuidade de uma função em um ponto.

Descontinuidade das funções racionais fracionárias.

4. A função linear e a linha reta em coordenadas

cartesianas. Parâmetros angulares e

parâmetro linear. Formas diversas de equação da linha

reta. Representação paramétrica; ares de um triângulo em

função das coordenadas dos vértices. Os problemas

clássicos de inclinação, intersecção, passagem e

distância, relativos à linha reta.

5. A equação geral do 2° grau com duas variáveis e a

circunferência de círculo em coordenadas cartesianas.

Formas diversas da equação da circunferência de círculo.

Intersecção de retas e circunferências.

II – Noções sobre derivadas e primitivas; interpretações;

aplicações.

1. Definição da

derivada em um ponto; notações; derivada infinita.

Interpretação geométrica e cinemática da derivada.

Diferença e diferencial; interpretação geométrica. Funções

derivadas. Derivação sucessiva.

99

2. Regras de derivação;

derivada de um constante; de um função de função; de

funções inversas; da soma, do produto e do quociente de

funções. Aplicação à derivação de funções elementares.

3. Aplicação da

teoria das derivadas ao estudo da variação de uma

função. Funções crescentes e funções decrescentes;

máximos e mínimos relativos; interpretação

geométrica.

4. Funções primitivas;

integral indefinida; constante de integração. Primitivas

imediatas; regras simples de integração.

5. Integral definida.

Aplicação ao cálculo de áreas e de volumes; exemplos

elementares.

Agora, podemos falar da Reforma da Matemática Moderna, cujas

características principais, segundo ÁVILA (1993), foram a ênfase acentuada na

utilização da linguagem de conjuntos e numa apresentação excessivamente formal das

diferentes partes da Matemática.

ÁVILA (1993, p. 2) faz a seguinte análise sobre tal período:

O ensino da Matemática como era feito antes da

reforma da Matemática dos anos sessenta

realmente continham muitas deficiências. Não

levava em conta aspectos importantes da

psicologia do aprendizado que, felizmente, vem

recebendo, hoje em dia, mais atenção. Mas a

reforma trouxe inovações desastrosas, algumas

das quais persistem, não obstantes as mudanças

salutares dos últimos anos. Assim é que os livros

do 1º e 2º graus continuam carregados de

simbolismo e linguagem de conjuntos que mais

100

atrapalham do que ajudam o aluno em seu esforço

de aprendizagem.

Já com a reforma da Matemática Moderna, as sugestões de 1965,

segundo SILVA (2008), referente a Analise Matemática, temos:

- Introdução ao Calculo Infinitesimal:

- Noção de limite e continuidade de funções reais de variável real;

- Derivada de funções racionais e trigonométricas;

- Propriedades das derivadas e aplicação no estudo da variação das funções.

8.2 FUNÇÕES

(i) DECADA DE 1960.

Começaremos nossa análise por funções, pois se trata de um dos

fundamentos do Cálculo, e pelo qual toda a disciplina se assenta. Além de sua

importância no ensino médio, tal assunto hoje em dia é revisto no inicio dos cursos de

Cálculo.

Bem, quanto à análise propriamente dita, começaremos por um dos

livros da década 60, que é um grande clássico dos livros didáticos, que é o “CURSO

DE MATEMÁTICA”, de MANUEL JAIRO BEZERRA, e mostra bem a característica

da matemática antes do advento da chamada “Matemática Moderna”.

Resumindo, pretendemos colocar em evidência as semelhanças e diferenças dos

conteúdos programáticos para o programa de Cálculo com o passar de cada década,

observando as variações que aparecem tanto no conteúdo, como na forma de ser

“transmitida”. Para tanto, deixaremos expostos o que cada um dos livros das décadas de

60, 70, 80 e 90 traz para o professor aplicar em cada um dos ciclos, sempre vertendo

para o assunto que interessa, e também levando em consideração o livro Matemática

Moderna Para o Ensino Secundário, que em 1965 foi o marco da transição do conteúdo

clássico para o moderno.

Então, podemos iniciar com a portaria ministerial de 1951 e analisar tal

livro, bem como tendo em vista o programa de Cálculo atual da UFSCar e os PCN do

ensino médio.

101

De acordo com COSTA at all (2007), temos em sua 8ª edição, em

1962, o livro de Jairo Bezerra traz os seguintes temas para o terceiro ano:

Além de Geometria Analítica, o aluno era ser apresentado aos Limites,

Derivadas e Primitivas, conteúdos hoje vistos apenas na graduação de cursos da área

de ciências exatas e tecnológicas.

Segue abaixo a análise de cada um dos capítulos.

Funções

Conceito elementar de função;

O capitulo começa com o conceito elementar de função, que na

verdade é semelhante à definição de Dirichlet, que em 1837 sugeriu uma definição

muito ampla de função, a qual CARAÇA (1951) chama de definição de Riemann-

Dirichilet, a saber:

“Se uma variável y está relacionada com uma

variável x de tal modo que, sempre que é dado um

valor numérico a x, existe uma regra segundo a

qual um valor único de y fica determinado, então

diz-se que y é uma função da variável

independente x.”

Já BEZERRA (1962) vem inclusive definir variável dependente e

independente.

Funções unívocas e plurívocas;

Aqui a novidade em relação aos livros atuais para ensino médio é a

definição de função plurívoca ou multiforme, termos as quais não são mais vistos pelos

alunos atuais.

Campo de existência da função;

É definido por BEZERRA (1962), como campo de existência da

função, o domínio da variável independente.

Tal termo não é mais visto no ensino médio.

Aqui temos que uma mudança de linguagem e de metodologia em

tratar tal assunto.

Tópicos expostos da mesma maneira atualmente:

102

Valor numérico de uma função;

Zeros de uma função;

Tópicos expostos de maneira análoga à atualmente, mas com grande

rigorismo e linguagem muito rígida sob o ponto de vista dos livros de hoje:

Intervalos;

Exercícios resolvidos;

Solução detalhada e rigorosa de exercícios mecânicos, para fixação.

Exercícios para resolver

Em sua maioria são exercícios mecânicos, com poucos exercícios de

demonstrações.

Classificação de funções

Funções explícitas e implícitas: São apresentadas funções implícitas

quando aparece sob a forma f(x, y) = 0, e não são adotadas nos livros atuais, e nem

visto no ensino médio funções de duas variáveis.

Funções algébricas e transcedentes: trabalha com funções de duas

variáveis.

Funções racionais e irracionais: trabalha com funções polinomiais,

onde y é a razão de duas funções de x.

Funções inversas: trabalhadas da maneira tradicional, como feita hoje.

Resumo da classificação das funções:

Funções algébricas (são implícitas ou explicitas, que são

irracionais ou racionais, eu pode ser também inteiras e

fracionárias), transcedentes (são implícitas ou explicitas, que são

exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e ciclómétricas).

Representação gráfica de funções usuais

A representação gráfica é feita de forma análoga ao de hoje, mas

de forma mais concisa.

Funções crescentes e decrescentes;

O conteúdo é apresentado de forma análoga ao que é feito no

ensino superior de hoje, de forma rigorosa, matematicamente, co

poucos exemplos e aplicações.

Representação gráfica da função exponencial.

103

Se tomarmos BRASIL (1952), citado por SILVA (2008), o Desenvolvimento

dos Programas Mínimos de Ensino Secundário, e respectivas instruções metodológicas,

em relação a Funções, temos o seguinte conteúdo:

Conceito elementar de variável e de função. Variável progressiva e variável

contínua; intervalos.

Funções elementares; classificação. Representação cartesiana de uma função e

equação de uma curva. Curvas geométricas e curvas empíricas; noção intuitiva de

continuidade. Representação gráfica de funções usuais; função exponencial; função

logarítmica e funções trigonométricas diretas. Acréscimo de uma função num ponto;

funções crescentes e funções decrescentes.

Exemplos elementares de descontinuidade de uma função em um ponto.


Também podemos observar que o tópico relativo a trigonometria era visto no 2º

ano, enquanto funções em geral ficava par ao 3º ano.

Por outro lado, de acordo com SILVA (2008), as sugestões de 1965 trouxeram

como novidade para o Ensino Colegial o estudo das Funções como ponto de partida já

no primeiro ano, ressaltando a representação gráfica e unindo a Álgebra à Geometria.

Já pela portaria de 1951, funções eram vistas somente no terceiro ano.

Já segundo SÃO PAULO (1965), são mostradas Sugestões para um roteiro de

Programa para a cadeira de matemática, de acordo com a Matemática Moderna. Em

relação a FUNÇÕES, antes era dado no 3º ano, e passa ao 1º Colegial, temos:

Funções:

a) Noções gerais;

b) Função linear, representação gráfica, estudo da reta;

c) Função trinômio do 2º grau, variação, representação gráfica, inequações do 2º

grau;

d) Função exponencial e logarítmica, uso das taboas.

Aqui, trigonometria é tratada no primeiro colegial, juntamente com funções.

104

Agora, tomando GEEM (1965), citado por SILVA (2008), nos mostra a lista de

Assuntos Mínimos para o colégio, orientações e sugestões para o seu desenvolvimento.

Quando tomamos o tópico 1, relativo a funções, temos os seguintes assuntos mínimos::

Função de 2º grau. Estudo completo do trinômio do 2º grau e aplicações.

Dessa forma, GEEM (1965) nós dão as seguintes sugestões:

- No estudo do trinômio, ressalta-se o aspecto gráfico e nas aplicações, as

inequações do 2º grau.

Nota-se uma mudança significativa no conteúdo de funções entre a portaria de

1951 e a da Matemática Moderna de 1965, com mudança de ênfase significativa.

(ii) DECADA DE 1970

Aqui, tomamos BOULOS & WATANABE (1979), onde através do prefácio

feito por OSVALDO SANGIORGI, um dos fundadores do movimento da Matemática

Moderna no Brasil, já temos um indicio do caminho a ser percorrido pelo livro, ou

seja:

A Matemática, considerada, com muita

propriedade eixo metodológico de todos os ramos

conhecimento humano, conseguiu, por parte dos

autores um tratamento correto e simples, capaz de

atrair jovens estudantes do segundo grau, mesmo

aqueles que não se destinam especificamente ao

ensino universitário. Nada de tratamento

exageradamente rigoroso, com a intenção de

agradar tão somente os matemáticos profissionais,

e sim, dentro de uma linguagem clara e certa, a

preocupação de atender às reais necessidades de

conhecimento cientifico exigidas pelos alunos

atuais.

No começo a definição de funções é baseada em conjuntos com representações

gráficas e tabelas, bem como diagramas, dessa forma, explorando a noção intuitiva de

105

funções. Na mesma linha segue funções afim e quadrática, bem como funções

exponenciais e logarítmicas.

O livro ainda consta bastante exercícios de fixação, repetitivos, bem como

exercícios resolvidos.


Nesta década, pegamos LAPA & CAVALLANTE (1984), segue a mesma linha

do livro citado para a década de 1970, com bastante regras para memorização,

exercícios resolvidos e exercícios de fixação. A novidade aqui são os gráficos

coloridos, para melhor visualização.

Já em relação à função logarítmica e exponencial, é explorada bastante a ênfase

algébrica.

Em síntese, continua seguindo a reforma da Matemática Moderna.

(iv) DECADA DE 1990

Aqui tomamos PACCOLA & BIANCHINI (1995), onde na apresentação temos

a tendência da obra, ou seja:

(…) acompanhamento a moderna tendência do ensino de estreitar a relação

aprendizado/ cotidiano, procuramos trabalhar os conceitos de forma criativa e

motivadora, privilegiando sua aplicação em problemas que estimulem o interesse do

aluno. Também nos exemplos resolvidos e nos “exercícios propostos”, sempre que

possível, procuramos trabalhar com situações retiradas da realidade do estudante.

Em relação à definição de funções, o livro começa com problemas do cotidiano,

para depois chegar à formalização. Porém, o livro continua assentado bastante em

conjuntos, e na visualização gráfica. À primeira vista, o livro não consegue fazer ligação

entre aprendizagem/ cotidiano, conforme citada na apresentação, mas fica na introdução

apenas de alguns conceitos. Já a parte histórica é uma novidade, mas aparece como

mera curiosidade.

São apresentados exercícios como fixação e repetitivos, sem situações

problemas.

No fim, acaba repetindo o conteúdo das décadas anteriores, de forma

repaginada, mas ainda seguindo a Matemática Moderna.

106

(v) DECADA DE 2000

Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 1, de Luiz Roberto Dante, de

2004.

DANTE (2006), no mostra os seguintes tópicos relativos a funções:

- Funções: noção intuitiva de funções, gráfico, função injetiva, função

sobrejetiva e bijetiva. Função inversa e composta;

- Função afim: gráfico, propriedades, aplicações, inequações do 1ºgrau;

- Função quadrática: gráfico, forma canônica da função quadrática, estudo de

sinais, problemas com funções quadráticas;

- Função Modular: distância entre dois pontos na reta real, função modular,

equações modulares, inequações modulares.

A característica deste livro é o grande numero de exemplos, gráficos, aplicações,

exemplos e aplicações. Toda introdução e formalização de função são feitas em cima de

conjuntos, uma herança da Matemática Moderna.

Já em relação a função afim, modular e quadrática, a característica básica é a

introdução e formalização dos conceitos em cima de diversos gráficos, e exemplos.

DANTE (2006) também procura mostrar muitas relações com o cotidiano do

aluno, algo que não ocorria nas décadas anteriores.

8.2 CÁLCULO

8.2.1 INTRODUÇÃO

De acordo comandados SILVA (2008, p. 71), temos:

Na Análise Matemática os conteúdos quase que se

igualam nas apresentações, mas as abordagens

são distintas. Na Portaria de 1951 é apresentada a

definição, a notação da derivada e as regras de

derivação das funções elementares. Nas Sugestões

de 1965 o assunto é tratado como uma introdução

ao cálculo infinitesimal e notações e regras de

107

derivação, traz as funções reais de variável real e

as derivadas de funções racionais e

trigonométricas, além de trazer as definições.

Apresenta também, como orientação para esse

estudo, o fato de ater-se às propriedades que

seriam utilizadas nas aplicações às outras

Ciências.

Já quando tomamos ÁVILA (1991), ele vem nos dizer que no final dos

anos 50 e começo dos anos 60, houve uma mudança significativa no ensino da

Matemática no Brasil. O nome do movimento era Matemática Moderna, pois, como

propalavam seus defensores, era preciso modernizar esse ensino. ÁVILA (1991), ainda

nos diz que a tônica dessa modernização foi uma ênfase excessiva no rigor e no

formalismo das apresentações, à custa de retirar antigos programas importantes do

ensino, como o de Cálculo.

Desse modo, a análise dos conteúdos de Cálculo no ensino médio nas

últimas décadas passa necessariamente pela discussão do Movimento da Matemática

Moderna, com suas repercussões no ensino de Cálculo no antigo 2° grau.

8.2.2 LIMITES

(i) DECADA DE 1960

Vamos pegar o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL

JAIRO BEZERRA, e mostra bem a característica da matemática antes do advento da

chamada “Matemática Moderna”.

De acordo com BRASIL (1952), o Desenvolvimento dos Programas Mínimos de

Ensino Secundário, e respectivas instruções metodológicas, em relação à Limites

recomenda o seguinte conteúdo:

Limite de variáveis e de funções;

Limites infinitos.

Propriedades fundamentais.

Exemplos elementares de descontinuidade de uma função em um ponto.


108

Dessa forma, como BEZERRA (1962) está de acordo com a Portaria Ministerial

de 1951, o conteúdo referente a Limites é:

Limite de uma variável;

Limites infinitos;

Limite de uma função;

Cálculo de limites com auxílio da definição;

Propriedades fundamentais dos limites;

Operações fundamentais sobre limites;

Limite da função algébrica racional inteira;

Limite de uma função racional;

Limites fundamentais;

Limites laterais;

Função continua;

Descontinuidade das funções racionais fracionárias;

Então, vemos que o livro segue tal Portaria de conteúdos mínimos.

Agora, olhando os conteúdos de BEZERRA (1962), vemos que a definição de

limites usava-se a idéia de épilons e deltas, sem exprimi-los claramente, e de forma a

usar a notação de módulo para abertos e fechados.

Nota-se que não eram pedidas demonstrações em geral.

Quanto às propriedades e operações fundamentais são apenas mostras sem

qualquer demonstração, como regras a serem memorizadas.

Já os exemplos caracterizam-se de aplicações simples das regras e definições

Por fim, existe uma grande carga de exercícios de fixação.

Já segundo SÃO PAULO (1965), são mostradas sugestões para um roteiro de

Programa para a cadeira de matemática, de acordo com a Matemática Moderna. Em

relação a limites, no Terceiro Colegial temos:

- Noção de limite e continuidade de funções reais de variável real.

Como já dito acima, mudança no programa de limites, são decorrentes do

Movimento da Matemática Moderna.

109

De acordo com GEEM (1965), citado por SILVA (2008), nos mostra a lista de


Quando tomamos o tópico 18, temos:

Noção de limite, continuidade e derivada. Elementos de calculo integral;

aplicações ao calculo de áreas e volumes.

Segue a recomendação:

Dar noções intuitivas, que permitam deduzir as principais propriedades, que

serão utilizadas nas aplicações a outras ciências.

(ii) DÉCADA DE 1970

Tomamos para análise o livro: MATEMÁTICA, vol. 3, coleção curso colegial

moderno, de Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa, de 1971.

Já na apresentação os autores dizem que serão estudadas elementarmente as

noções de Cálculo Infinitesimal. Assim, tais autores vêm seguir desde já as sugestões do

GEMM (1965), da reforma da Matemática Moderna.

Antes de propriamente entrar nos conceitos de limites ROCHA & BARBOSA

(1971) vem dizer que o ensino de cálculo nos cursos secundários, e justifica dizendo

que os conceitos de forma correta são de difícil assimilação pelos alunos. No entanto,

continua ROCHA & BARBOSA (1971), à guisa de motivação para os cursos

subseqüentes, serão apresentadas, de forma intuitiva algumas técnicas simples de

cálculos.

Sobre o estudo de limites em si, os autores começam pela noção prática de

continuidade, onde é mostrada a continuidade de forma intuitiva, ou seja, ROCHA &

BARBOSA (1971, p. 216), diz que:

Está claro que a curva é continua e posso traçá-la

sem interrupções.

Na mesma linha segue definindo vizinhança e limites, sem nenhuma

demonstração, e com muitos exemplos, seguindo de fato as recomendações do GEEM

(1965).

(iii) DÉCADA DE 1980

110

Pegamos o livro MATEMÁTICA, de Nilton Lapa e Sidney Luiz Cavallante,

Vol. 3ª, de 1983.

LAPA & CAVALLANTE (1983, p. 208), nos diz que:

Nesta parte veremos conceitos de grande

importância para a Matemática superior,

lecionada nas faculdades. Aqui, as noções de

limites e derivadas serão vistas de modo bastante

intuitivo, sendo a seguir utilizadas no estudo da

variação de uma função. Nesta abordagem – que

mantém a característica de iniciação ao tema -,

serão feitos gráficos de inúmeras funções, tendo-se

especial atenção ao estudo de seus pontos de

máximo ou de mínimo relativos. Esta parte

finaliza-se com as aplicações de máximos e

mínimos à resolução de problemas.

Assim, pelas palavras dos autores, fica evidente o perfil do livro, no qual

se encaixa as recomendações do GEEM (1965). Verificando o conteúdo, em especial

de limites, ao primeiro tópico chama-se “O conceito informal de limite”, onde se inicia

com a grande numero de gráficos, e é evitado ao uso dos termos matemáticos formais.

As propriedades são dadas como regras, sem qualquer demonstração.

Outro tópico é “Cálculo de limites”, com varias regras, exemplos numéricos e

gráficos. Por fim, segue a mesma linha quando fala de limites infinitos.

(iv) DÉCADA DE 1990

Tomamos GENTIL at all (1997), e vemos que limites são apresentados de

maneira intuitiva, com bastante exemplos numéricos e gráficos, e sem demonstrações,

ainda refletindo a reforma da Matemática Moderna. Na prática, tal livro parece reeditar

o material das décadas anteriores, só mudando os exemplos.

(v) DÉCADA DE 2000

111

Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 3, de Luiz Roberto Dante, de

2006.

Notamos que os conceitos de cálculo não aparecem mais no ensino

médio.

8.2.3 DERIVADAS

(i) DECADA DE 1960

Tomando o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL

JAIRO BEZERRA, que mostra bem a característica da matemática antes do advento da


Assim, como feito anteriormente, pegamos de BRASIL (1952), o

Desenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino Secundário, e respectivas

instruções metodológicas, em relação a Derivadas recomenda o seguinte conteúdo:

- Definição da derivada em um ponto; notações; derivada infinita. Interpretação

geométrica e cinemática da derivada. Diferença e diferencial; interpretação geométrica.

Funções derivadas. Derivação sucessiva.

- Regras de derivação; derivada de um constante; de função de função; de funções

inversas; da soma, do produto e do quociente de funções. Aplicação à derivação de

funções elementares.

- Aplicação da teoria de derivadas ao estudo da variação de uma função. Funções

crescentes e funções decrescentes; máximos e mínimos relativos; interpretação

geométrica.

Assim, se compararmos as duas propostas, a de 1951, a qual BEZERRA (1962)

se encaixa, e a de 1965, que já traz a reforma da Matemática Moderna, vemos uma

sensível diferença e diminuição em relação ao conteúdo de BEZERRA (1962).

Por outro lado, SILVA (2008), nos diz que na portaria de 1951 é apresentada a

definição das funções elementares; já na de 1965 o assunto é tratado como uma

introdução ao Cálculo Infinitesimal e notações e regras de derivação, traz as funções

reais de variável real e as derivadas de funções racionais e trigonométricas, além de

trazer as definições. Também diz que, como orientação para esse estudo, o fato de ater-

se às outras propriedades que seriam utilizadas nas aplicações às outras ciências.

112

De acordo com GEEM (1965), citado por SILVA (2008), nos mostra a lista de


Quando tomamos o tópico 18, temos:

Noção de limite, continuidade e derivada. Elementos de calculo integral;

aplicações ao calculo de áreas e volumes.

Segue a recomendação:

Dar noções intuitivas, que permitam deduzir as principais propriedades, que

serão utilizadas nas aplicações a outras ciências.

Já quando tomamos BEZERRA (1962), observamos que são apresentadas

derivadas sem muitas deduções e demonstrações, na forma de regras de memorização.

Além disso, o autor apresenta poucos exemplos e muitos exercícios de fixação, sem

nenhuma demonstração.

Abaixo segue uma página de BEZERRA (1962), como exemplo:

113

FIGURA 6: PÁGINA DO LIVRO “CURSO DE MATEMÁTICA”, de

MANUEL JAIRO BEZERRA.

Assim, podemos fazer a análise de que poucas demonstrações no livro supra

citado, é decorrente da grande mudança com o Movimento da Matemática Moderna, e

sua exigência de rigorismo excessivo, de acordo com ÁVILA (1991).

114

(ii) DECADA DE 1970






Os autores ROCHA & BARBOSA (1971) denominam o capitulo de “Noções

sobre Derivadas”.

Assim, propriamente dito, os autores, antes de definir derivadas por limite,

começa definindo h x X – X0, o qual denomina de acréscimo da variável

independente x, a partir do ponto X0.

O livro segue com apresentação de regras simples, sem demonstração, e com

muitos exemplos numéricos e gráficos.

(iii) DÉCADA DE 1980

Pegamos o livro MATEMÁTICA, de Nilton Lapa e Sidney Luiz Cavallante,

Vol. 3ª, de 1983.

LAPA & CAVALLANTE (1983), como já citado acima, fica evidente o perfil

do livro, no qual se encaixa as recomendações do GEEM (1965).

Seguindo o conteúdo, LAPA & CAVALLANTE (1983), começa com vários

exemplos gráficos de tangentes a uma curva em um ponto, e segue ate a definição de

por limites, usando coeficiente angular. No tópico seguinte, relativo a regras de

derivação, tais regras são vistas sem a demonstração, com exceção da derivada da

função potencia de expoente n e função logarítmica de base e, cujas derivadas são feitas

via dedução por limites, algo não visto nos livros das décadas anteriores.

O capitulo termina com um tópico referente a comportamento de uma função e a

função derivada, o qual é afeita mediante vários exemplos gráficos, para que se

introduza a determinação de máximos e mínimos.

(iv) DÉCADA DE 1990

115

Tomamos GENTIL at all (1997), e vemos que derivadas são apresentadas de

maneira intuitiva, através de taxa de variação, com bastante exemplos numéricos e

gráficos, e sem demonstrações, ainda refletindo a reforma da Matemática Moderna. Na

prática, tal livro parece reeditar o material das décadas anteriores, só mudando os

exemplos.

(v) DECADA DE 2000

Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 3, de Luiz Roberto Dante, de 2006.

Notamos que os conceitos de cálculo não aparecem mais no ensino médio.

8.2.5 INTEGRAIS

(i) DÉCADA DE 1960

Tomando o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL JAIRO

BEZERRA, que mostra bem a característica da matemática antes do advento da


Assim, como feito anteriormente, pegamos de BRASIL (1952), o

Desenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino Secundário, e respectivas

instruções metodológicas, em relação ao conteúdo de Integral, recomenda o seguinte

conteúdo:

Funções primitivas; integral indefinida; constante de integração. Primitivas

imediatas; regras simples de integração.

Integral definida. Aplicação ao cálculo de áreas e de volumes; exemplos

elementares.

Tomando agora SÃO PAULO (1965), são mostradas Sugestões para um roteiro

de Programa para a cadeira de matemática, de acordo com a Matemática Moderna. Em

relação a Integrais, no Terceiro Colegial não temos nenhum conteúdo do referido

tópico.

Assim, se compararmos as duas propostas, a de 1951, a qual BEZERRA (1962)

se encaixa, e a de 1965, que já traz a reforma da Matemática Moderna, vemos a

extinção do tópico ‘Integral’.

(ii) DÉCADA DE 1970

116






Dessa forma, ao consultarmos o conteúdo do livro, notamos que não existe o

conteúdo de integrais, indo na mesma linha de sugestões do GEEM.


Consultamos LAPA & CAVALLANTE (1983) e TROTTA, IMENES &

JAKUBOVIC (1980), que não trazem nada a respeito de integrais.

(iv) DECADA DE 1990

Tomamos GENTIL at all (1997), e vemos que as integrais são apresentadas

como operação inversa das derivadas, com bastante exemplos numéricos e gráficos, e

sem demonstrações, ainda refletindo a reforma da Matemática Moderna. Aqui vemos

grande numero de tabelas e regras para o aluno decorar. Na prática, tal livro parece

reeditar o material das décadas anteriores, só mudando os exemplos.

(v) DECADA DE 2000

Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 3, de Luiz Roberto Dante, de 2006.

Notamos que os conceitos de cálculo não aparecem mais no ensino médio.

9. ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS DISCIPLINAS INICIAIS DE

CÁLCULO

Antes de entrarmos no desenvolvimento dos cursos de cálculo e suas

problemáticas nos cursos superiores, vamos fazer a análise de diversos livros didáticos

indicados para os alunos de Cálculo 1 e Cálculo Diferencial e Integral 1, já que vimos

até agora como o calculo era dado no ensino médio, segundo alguns livros.

Podemos dizer o que o objetivo deste capitulo é fazer a analise de diversos livros

didáticos indicados para os alunos de Cálculo.

117

Dessa forma, passamos aos livros que de fato são usados nos cursos iniciais de

Cálculo..

Consultando os planos de ensino no “NEXOS”, na página da UFSCar. No item

referente à bibliografia de todas as turmas oferecidas em 01/2009, observamos um total

de 17 livros indicados. São eles:

1) Guidorizzi, H.L., Um Curso de Cálculo, Vol.1 e 2, 5ª. Edição, LTC, Rio de

Janeiro, 2001.

2) Thomas, G. B. et al, Cálculo, Vol 1, Addison-Wesley (Pierson Education do

Brasil), São Paulo, 2002.

3) Bartle, R. G.; Tulcea, C. I., Calculus, Scott, Glenview, 1968.

4) Apostol, T. M., Calculus. 2 ed., John Wiley & Sons, New York, 1967.

5) Stewart, J., Cálculo, Vol. 1, Pioneira, São Paulo, 2001.

6) Ávila, G. S. S., Cálculo: diferencial e integral. V. 1, 3ª ed. Rio de Janeiro: Livros

Tecnicos e Cientificos, 1978.

7) COURANT, R., Cálculo diferencial e integral. Alberto Nunes Serrao (Trad.).

Porto Alegre: Globo, 1970. v.1.

8) Spivak, M., Calculus, Addison-Wesley, 1973.

9) Zorich, V. A., Mathematical Analysis I, Springer Verlag, 2002.

10) Anton, H., Cálculo - Um novo horizonte, Vol. 1, 6ª.Edição, Bookman, Porto

Alegre, 2000.

11) Leithold, L., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1, Harper & Row do Brasil

Ltda., São Paulo, 1977.

12) SIMMONS, George F., 1925-. Calculo com geometria analitica. V. 1, Seiji

Hariki (Trad.). Sao Paulo: McGraw-Hill, 1987.

13) Flemming, M., Gonçalves, M. B. - Cálculo A - 5a. edição Makron Books, São

Paulo, (1992).

14) Piskunov, N. - Cálculo Diferencial e Integral, Vol. 1 - Publishers, Moscou,

(1968).

15) Priestley, W. M. - Calculus: An Historical Approach - Springer-Verlag, N. Y.,

(1979).

16) Swokowski, E. W. - Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1 - Makron Books,

São Paulo, (1995).

118

17) SAMPAIO, J. C. V. Fascículos de Cálculo 1, 2005.

Desta lista de livros, selecionaremos alguns destes, que segundo BARUFI

(1999), apresentam uma proposta original e alternativa, fundamentada em objetivos

claros do autor, que demonstram uma preocupação com a aprendizagem significativa

por parte dos estudantes.

9.1 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS

(i) T. M. APOSTOL: Calculus – Vol. 1

Segundo BARUFI (1999), APOSTOL (1967) começa o livro dizendo que não

existia uma concordância geral em que consistiria um primeiro curso de cálculo, pois

alguns sugerem o desenvolvimento passo a passo, de maneira lógica e rigorosa, e já

outros enfatizam que como o cálculo é uma ferramenta, deveria priorizar aplicações.

Assim, termina APOSTOL (1967), dizendo que ambas as idéias fazem sentido, já que

muito da beleza do cálculo deriva da beleza das aplicações físicas.

Dessa forma, BARUFI (1999) começa enfatizando que a seqüência de temas do

livro difere da maioria dos outros textos, pois o autor começa com o Calculo Integral, e

depois o Calculo Diferencial. Sendo assim, a opção inicial é exposição do método de

exaustão de Arquimedes, o que segundo APOSTOL (1967) acabou sendo transformado

no Cálculo Integral.

BARUFI (1999, p. 67) analisa que:

A escolha de Apostol parece ser adequada para

estabelecer uma ponte com o conhecimento dos

alunos iniciantes, para os quais o problema de

calcular áreas e volumes de figuras mais gerais

parece estar muito próximo dos problemas de

calcular áreas e volumes de figuras simples que foi

desenvolvido na escola média.

BARUFI (1999) afirma que há uma grande quantidade de figuras sugestivas e

criativas, pois, por exemplo, no tópico sobre derivadas, observa-se grande quantidade de

ilustrações relacionando uma função com sua derivada.

119

Por fim, BARUFI (1999), diz que o autor constrói os conceitos de através de

processos aproximados, procurando fazer com que o leitor, ao alcançar a formalização

definitiva dos conceitos, tenha passado por varias etapas sucessivas.

A seqüência temática do APOSTOL (1967), segundo BARUFI (1999), é a

seguinte:

FIGURA 7: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE

APOSTOL (1967)

(ii) G. S. S. ÁVILA: CÁLCULO DIFERECIAL E INTEGRAL 1

Segundo BARUFI (1999), ÁVILA (2001) começa o livro dizendo que o

Cálculo com seus fundamentos profundos e sutis, só podem ser adquirido

gradualmente e de forma intuitiva, e por isso sugere que tais conceitos devem ser

dados com o mínimo de formalismo.

Continuando, AVILA (2001, p. x) afirma que:

(...) a idéia de que o aluno de Matemática se deva

ministrar, desde o inicio, um ensino rigoroso e

isolado das outras ciências encerra um grave erro,

120

Cálculo integral

Cálculo diferencial

Logaritmo, exponencial, e as inversas das funções trigonométricas

Introdução a eq. diferenciais

Álgebra vetorial com aplicações à geometria analítica

Curvas e superfícies

Teor, do valor médio e generaliza-ções

Aplicações do teor. Do valor médio

Seq. Series infinitas e integrais imprópias

sob dois aspectos: de um lado, priva-se o estudante

da correta apreciação da Matemática, cujo valor

mais autêntico reside na idéias, na criatividade e

não apenas no rigor e no encadeamento lógico das

demonstrações. (...) De outro lado, esse ensino

isolado n ao corresponde à realidade histórica; de

fato, as exigências de desenvolvimento de teorias e

métodos matemáticos em Física, Astronomia e nas

demais ciências tem se constituído nas fontes mais

estimuladoras da criação matemática.

Segundo BARUFI (1999), a preocupação inicial de ÁVILA (2001) é na

revisão de temas do ensino médio, e só após que começa a explorar as idéias do

Cálculo, através de colocações provisórias para só depois chegar ao conceito em

sua forma definitiva. Outra coisa que BARUFI (1999) nota é que ao final do

livro, é colocado um texto para mostrar que aquele conceito não foi descoberto e

sim construído.

Encerrando, BARUFI (199) afirma que a seqüência temática é bastante

tradicional, mas a exposição não o é.

FIGURA 8: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA

DE ÁVILA (2001)

121

Nos reaisEq. e gráficos Funções,

limites, derivadas

FunçõesElemen-tares

Aplicações da Integral

Regras de integração

Integral Comportamento de funções

(iii) R. COURANT: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL –

VOL. 1

Segundo BARUFI (1999), COURANT (1970) começa a revisão de

alguns conceitos do ensino médio, onde examina o conceito de limite de

forma intuitiva, para só depois dar uma definição formal de limites, usando

seqüência de números reais e por ultimo coloca a definição de limite quando

a variável é continua. Já sobre a continuidade BARUFI (1999) nos diz que a

continuidade é explora de forma intuitiva por exemplos, até o conceito

formal aparecer.

No capitulo 2, BARUFI (1999) diz que o autor começa explorando as

idéias do Cálculo através de áreas, e só depois passa para o limite do

quociente de diferenças. Já sobre integração, COURANT (1970) começa um

tópico especifico para explorar a interpretação gráfica, com ilustrações

usando a integração e a relação com o coeficiente angular da reta tangente.

BARUFI (1999, p. 87) termina a análise dizendo:

Ao longo de todo o texto observamos a utilização

da linguagem corrente, para esclarecer aquilo que

foi feito formalmente. Dessa forma, o autor

consegue propor um curso com um bom nível de

profundidade e na qual as idéias não ficaram

escondidas atrás de uma máscara lógico-formal. A

obra atinge um alto nível de generalização,

constituindo um texto de Cálculo extremamente

completo.

(iv) H. L GUIDORIZZI: UM CURSO DE CÁLCULO – VOL. 1

Segundo BARUFI (1999), o autor parece fazer um revelação do

Cálculo sistematizado, buscando idéias internalistas, sem recorrer aos

problemas que motivaram seu surgimento. BARUFI (1999) continua

afirmando que os problemas servem para ilustrar os resultados e os exemplos

para motivação.

122

Outra análise, segundo BARUFI (1999), é sobre a preocupação com a

formalização e a generalização sempre presentes.

BARUFI (1999) encerra dizendo que o autor não faz referencia à

gênese do calculo, e a seqüência temática apresenta o Calculo sistematizado

e logicamente estruturado, onde tal seqüência temática é:

NUMEROS REAIS – FUNÇÕES – LIMITES E CONTINUIDADE –

EXTENSOES DO CONCEITO DE LIMITE – TEOREMAS DO

ANULAMENTO, DO VALOR INTERMEDIÁRIO E DE WEIERSTRASS

– FUNÇÃOEXPONENCIAL E LOGARITMICA – DERIVADAS –

FUNÇÕES INVERSAS – ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES –

PRIMITIVAS – INTEGRAL DE RIEMANN – TECNICAS DE

INTEGRAÇÃO – EQ. DIF. DE 1ª ORDEM, DE VAR. SEPARÁVEIS E

LINEARES – TEOR. DE ROLLE, DO VALOR MÉDIO E DE CAUCHY,

REGRAS DE L´HOSPITAL – FORMULA DE TAYLOR – APENDICE 1

A 5 – FUNÇÕE INTERAVEIS – FUNÇÃO DADA POR INTEGRAL –

MAIS ALGUMAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL, COORDENADAS

POLARES – EXTENSOES DO CONCEITO DE INTEGRAL – EQ. DIF.

DE 1ª E 2ª ORDEM, COM COEF. CONSTANTES.

(v) N. PISKUNOV: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL -

VOL. 1

Segundo BARUFI (1999), as idéias fundamentais não são

apresentadas como solucionadoras de problemas importantes, e nem

colocação de problemas para motivar a introdução dos conceitos, embora

coloque diversas aplicações posteriores. Seguindo BARUFI (1999), diz que

na parte de integrais, é observado o desenvolvimento da operação de

primitivação, como inversa da derivação, antes de falar em área sob o gráfico

de uma curva.

Encerrando a análise, BARUFI (1999), p. 112) afirma que:

O autor cuida da generalização e da formalização,

demonstrando, normalmente, todas as proposições

ou teoremas.

123

A seqüência de conteúdos é a seguinte:

NUMERO, VARIÁVEL, FUNÇÕES – LIMITE E CONTINUIDADE

DE FUNÇÕES – DERIVADA E DIFERENCIAL – TEOR.

RELATIVOS ÀS FUNÇÕES DERIVÁVEIS – ESTUDO DA

VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES – CURVATURA DE UM CURVA –

NUMEROS COMPLEXOS, POLINOMICOS – FUNÇÕES DE

VARIAS VARIÁVEIS – APLICAÇÕES DO CALCULO

DIFERENCIAL À GEOMETRIA DO ESPAÇO – INTEGRAL

INDEFINIDA – INTEGRAL DEFINIDA – APLICAÇÕES GEOM. E

MECANICAS DA INTEGRAL DEFINIDA – FUNÇÕES

DIFERENCIAVEIS.

(vi) E. W. SWOKOWSKI: CÁLCULO COM GEOMETRIA

ANALÍTICA - VOL. 1

BARUFI (1999) nos diz logo nas primeiras páginas, o autor apresenta um

formulário, onde inclui uma grande quantidade de fórmulas referentes às derivadas e às

integrais e inclusive a diversos outros assuntos normalmente constantes do conteúdo

desenvolvido no ensino médio, o que leva a crer que o autor queira garantir o que seja

possível encontrar aquilo que normalmente os estudantes imaginam ser o fundamental

num curso de Cálculo.

No Prefácio, segundo BARUFI (1999), encontramos que a presente edição,

revisão da original, ou seja:

(...) foi empreendida com três objetivos em mente.

O primeiro é tornar o livro mais voltado para o

estudante, ampliando discussões e proporcionando

maior número de exemplos e ilustrações para

melhor esclarecer os conceitos. Para auxiliar

ainda mais o leitor, foram acrescentadas, em

muitas seções do texto, sugestões para a resolução

de problemas. O segundo objetivo é enfatizar a

utilidade do Cálculo por meio de aplicações

124

atualizadas de derivadas e integrais. O terceiro

objetivo - tornar o livro tão livre de erros quanto

possível - foi alcançado por meio de um exame

cuidadoso do texto ...(Swokowski, 1994, p. xix)

O autor inicia seu texto, segundo BARUFI (1999), com uma Revisão

Pré-Cálculo, na qual retoma diversos assuntos que considera essenciais

para o desenvolvimento subseqüente, logo desenvolve o conceito de limite de

uma função que é uma das idéias fundamentais que distinguem o cálculo da

álgebra e da trigonometria. Pode-se, observar, segundo BARUFI (1999), que o

autor busca convencer tanto através de cálculos, como de figuras ou da

linguagem. O uso da intuição é também bastante explorado.

No Capítulo sobre Derivadas, BARUFI (1999), observa-se que há três

exemplos, desenvolvidos com detalhes, que são: reta tangente ao gráfico de uma

função num ponto, velocidade instantânea e taxa instantânea de variação, nos

quais sempre obtém a expressão usual que, em seguida, vai colocar como sendo

aquela que define a derivada de uma função em um ponto. Já parte sobre

integração, BARUFI (1999) analisa que primeiro o autor trabalha a integração

indefinida, como operação inversa da derivação, e só depois coloca a questão do

cálculo de áreas.

Encerrando a análise, BARUFI (1999, p 120), nos diz que:

Todo o texto é trabalhado no sentido de primeiro

apresentar exemplos trabalhados com detalhe,

antes da introdução do conceito. Os problemas

mais interessantes são propostos depois. O texto

busca o convencimento do leitor, e para isso utiliza

argumentos muitas vezes intuitivos, não apenas

decorrentes da lógica interna. A formalização e

generalização são bem cuidadas.

A seqüência de conteúdos é a seguinte:

125

REVISAO PRÉ-CALCULO – LIMITES DE FUNÇÕES – A DERIVADA –

APLICAÇÕES DA DERIVADA – INTEGRAIS – APLICAÇÕES DA

INTEGRAL DEFINIDA – FUNÇÕES LOGARITICAS E EXPONENCIAIS –

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS E HIPERBOLICAS –

TECNICAS DE INTEGRAÇÃO – FORMA INDETERMINADAS E

INTEGRAIS IMPROPRIAS – APENDICE.

10. A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NOS CURSOS DE

CÁLCULO

O objetivo deste capitulo é mostrar a importância da historia da matemática

parta o ensino de Cálculo.

Segundo BARBOSA (2008), aparentemente existe um consenso entre autores

que um dos meios mais interessantes de obter conhecimento é através da história, e que

é possível compreender a origem das idéias que deram forma à nossa cultura e observar

também os aspectos humanos do seu desenvolvimento, ou seja, enxergando os homens

que criaram essas idéias e estudando as circunstâncias em que elas se desenvolveram.

Nesse sentido, BARBOSA (2008, p.78), destaca a importância da

história da matemática escrevendo:

“A participação da história dos conteúdos matemáticos

como recursos didáticos é imprescindível. O

desenvolvimento histórico não só serve como elemento de

motivação, mas também como fator de melhor

esclarecimento do sentido dos conceitos e das teorias

estudadas. Não se trata de fazer uma referência histórica

de duas linhas ao iniciar um capitulo, mas de realmente

usar a ordem histórica da construção matemática para

facilitar uma melhor assimilação durante a reconstrução

teórica. Isto é central. Os conceitos e noções da

matemática tiveram uma ordem de construção histórica.

Esse decurso concreto põe em evidência os obstáculos que

surgiram em sua edificação e compreensão. Ao recriar

teoricamente esse processo (obviamente adaptado ao

126

estado atual de conhecimento) é possível revelar seu

sentido e seus limites. A história deveria servir, então,

como o instrumento mais adequado para a estruturação

do delineamento mesmo da exposição dos conceitos. É

provável também que uma aproximação dessa natureza

seja possível satisfazer as exigências de um sentido

vetorial do concreto ao abstrato. Com isso não se quer

dizer que se deve reproduzir mecanicamente a ordem da

aparição histórica dos conceitos matemáticos; sem

dúvida, todas as ciências possuem certa lógica interna que

se dá a partir de sínteses teóricas importantes e que se

deve assimilar no sentido ensino-aprendizagem. Só se

coloca a necessidade buscar um equilíbrio, enfatizando a

importância do segundo”.

No entanto, pelo que vimos acima, o autor supra citado considera a história da

matemática como uma importante ferramenta no ensino-aprendizagem da mesma. Mas,

através de diversos livros didáticos, vemos que muitos autores apenas usam a história

como mera curiosidade, e no máximo como elemento motivador.

Já MENDES (2007), nos diz que, com relação ao uso da história como recurso

de ensino de matemática, há na literatura referente a esse tema, um estudo exaustivo,

realizado por MIGUEL (1993), onde ele caracteriza diversas fontes de utilização na

história da matemática, dentre as quais destacamos a de motivação da aprendizagem, a

de seleção de objetivos de ensino, a de recreação através de atividades lúdicas e

heurísticas, a de desmistificação, para mostrar a matemática acessível às atividades

educativas do homem; a de formalização de conceitos, a de dialética, a de unificação de

vários campos da matemática, a de conscientização epistemológica e de significação, a

de cultura e a de epistemologia.

Nesse sentido, SEBASTIANI FERREIRA (1997, p.154), diz que:

“A história em sala de aula tem um alcance muito

maior que apenas uma simples motivação. Além de

motivar o aluno, o faz passar por revoluções no

127

método da matemática, que foram sem dúvida,

marcos decisivos nesta ciência”. Além disso,

continua o autor, “mostra como a matemática foi

construída pelo homem através dos tempos e como

suas dificuldades foram sendo superadas”.

Dessa forma, conforme afirma BARBOSA (2008), conhecendo a história da

matemática percebemos que as teorias que hoje aparecem acabadas e elegantes

resultaram sempre de desafios que os matemáticos enfrentaram que foram

desenvolvidas com grande esforço e, quase sempre, numa ordem bem diferente daquela

em que são apresentadas após todo o processo de criação, conforme acontece no

Cálculo Diferencial e Integral.

Então, pelo que vemos na História da Matemática, ela tem um papel importante

na organização do conteúdo que se quer ensinar, e até dando, por assim dizer, um modo

de raciocinar próprio de um conhecimento que se quer construir.

Segundo BARBOSA (2008), o desafio que ainda não foi superado é encontrar

uma metodologia que contemple o desenvolvimento histórico da matemática como

mecanismo de ensino; qual deve ser o melhor caminho para inseri-la como ferramenta

no processo de ensino-aprendizagem.

Desse modo BARBOSA (2008), traz um panorama de algumas metodologias,

como segue abaixo.

10.1 Metodologias

(i) Seguir os passos da "invenção" do conhecimento.

De acordo com SEBASTIANI FERREIRA (1996, p.250) cita CLAIRAUT

(1892):

“Afim de seguir nesta obra um caminho semelhante

aos dos inventores faço com que os principiantes

descubram antes de tudo as verdade que pode

depender a simples medida dos terrenos e das

distâncias acessíveis, etc. Passo daí a outras

investigações, de tal modo análogas às primeira que

128

a curiosidade natural de todos os homens os leva a

nelas se deterem. Justificando depois esta

curiosidade por algumas aplicações úteis, chego a

ensinar tudo o que de mais interessante a geometria

elementar tem ... Por esse método, os principiantes,

a cada passo que lhes fazemos dar, percebem a

razão que move o inventor; e podem assim mais

facilmente adquirir o espírito da invenção”

(CLAIRAUT, 1892, apud SEBASTIANI FERREIRA,

1996, p.250).

(ii) Principio Genético

Segundo BARBOSA (2008) este principio pode ser estabelecido da seguinte

forma: “a aprendizagem efetiva requer que cada aluno refaça os principais passos da

evolução histórica”, ou seja, lembramos a lei biogenética da Psicologia, que

afirma que o indivíduo, desde seu nascimento até sua maturidade,

repete as principais etapas do desenvolvimento humano.

Assim, segundo EDWARDS (1977), citado por BARBOSA (2008), a História

da Matemática não se detém na descrição da teoria, a não ser o mínimo necessário para

o entendimento dos fatos, e o método genético não busca um estudo detalhado dos

eventos que não contribuem para o entendimento do assunto. Entre os autores que

defendem este principio, temos Hanri Poincaré, George Polya, Morris Kline e René

Thom.

Segundo SEBASTIANI FERREIRA (1996, p.253), Antonio Miguel em sua tese

de doutorado, diz que é problemático o uso do “principio genético” para relacionar

história e ensino-aprendizagem, porque na concepção de produção do conhecimento no

plano psicogenético, a matemática passa a ser vista como um corpo cumulativo de

conhecimentos seqüenciais e ordenados hierarquicamente, e a adoção do recurso à

história baseada na ordem cronológica da constituição dos conteúdos a serem ensinados.

(iii) Método Experimental

129

Segundo BARBOSA (2008), esse método é fundamentado no conceito de

experiência cientifica. Para realização de tal experiência devemos adquirir recursos

tanto materiais quanto teóricos. Para isso devemos nos preocupar em:

a) Espaço para realização da pesquisa, que não precisa ser

necessariamente a sala de aulas, mais sim um laboratório de computação,

biblioteca, etc.;

b) Encher o espaço com ferramentas semelhantes as quais dispunham os

matemáticos e determinada época; segundo Ferreira, os materiais não

precisam ser necessariamente objetos concretos, mas conceitos, técnicas

e estratégias matemáticas que o autor dispunha.

c) Perturbação do sistema. Essa etapa consiste em mudar os

equipamentos (conceitos, técnicas e estratégias matemáticas) de acordo

com a evolução do processo histórico. Nesse momento, utilizamos

bibliografias para mostrar os principais momentos históricos até que

chegamos ao computador por ser a ferramenta e/ou equipamento

utilizado pelos matemáticos contemporâneos;

d) Instigar os alunos para que eles expressem todo o processo

experimental, podendo ser em forma oral, escritas, ou ambas.

Ainda segundo BARBOSA (2008), a idéia é pegar um fato e “caminhar” com

ele através da história da matemática. Essa é a idéia defendida pelo professor Eduardo

Sebastiani.

(iv) A Perspectiva lógico-histórica no ensino

Retomando o Projeto deste trabalho, bem como estudos realizados

anteriormente, durante no nosso projeto Iniciação Científica, vimos que a análise sobre

o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto

de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação,

deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas

principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais

presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre

o papel da História da Matemática no ensino, tem condições de verificar onde e como

130

esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a

Matemática consegue estabelecer com a realidade.

Portanto, essa Metodologia leva o aluno a participar da construção do

conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação

com a necessidade histórica e social, relacionados ao surgimento do Cálculo. A este

processo, estamos denominando de perspectiva lógico-histórica.

Agora vamos destacar alguns livros que propõe o ensino do Cálculo usando a História.

10.2 Livros de Cálculo usando a história

(i) “Curso de História da Matemática” de M. E. Baron e H. J. M. Bos.

De acordo com BARBOSA (2008, p.83),

A coleção de livros da UNB é dividia em cinco volumes e

expõe todos os conceitos de um primeiro curso de cálculo

contando os principais fatos históricos e instigando o

leitor a fazer avaliação dos acontecimentos propondo

questões avaliativas relacionado ao assunto tratado. Em

alguns casos, pede-se que façamos comentários críticos e,

em outros, propõe que se façam resumos de partes dos

textos. Nestes textos encontramos traduzidos os relatos,

publicações, cartas, etc. como são encontrados nos

trabalhos originais dos autores. Logo após cada

exposição desses trabalhos, são feitos apontamentos sobre

o assunto.

(ii) The Calculus: a Genetic Approach, Toeplitz.


O livro segue a inspiração histórica para apresentar os

conceitos do Cálculo ao estudante. Inicia com uma

discussão sobre as especulações dos antigos matemáticos

gregos sobre os processos infinitos, a teoria das

proporções, o método da exaustão, a medida da

131

circunferência de Arquimedes, o conceito de número,

limites de seqüências e séries numéricas. O estudo da

integral definida se inicia com a quadratura da parábola

por Arquimedes, e a retomada deste problema 18 séculos

após com Cavalieri. A derivação é apresentada com o

estudo do problema de se encontrar a tangente a uma

curva em um ponto, com problemas de máximos e

mínimos e o conceito de velocidade de Galileu. O estudo

dos logaritmos lança uma luz sobre a relação entre

derivada e integral. O livro termina com aplicações a

problemas de movimento, como o pêndulo, oscilações, leis

de Kepler e de Newton. Toeplitz deixou o livro inacabado,

tendo falecido em 1940 em Jerusalém, após deixar a

Alemanha em 1939.

(iii) The historical development of the calculus, EDWARDS.

De acordo com BARBOSA (2008, p.83-4),

Segundo Edwards, a história do desenvolvimento do

cálculo tem um especial interesse para quem aprecia o

valor histórico na perspectiva de ensino e aprendizagem,

desfrutando dela e de suas aplicações. Seu livro começa

discutindo os problemas da antiguidade até chegar à

análise do século vinte. Após tratar dos principais

assuntos da matemática grega, o autor conta fatos

históricos e as contribuições dos principais personagens

precussores do cálculo, que de uma forma ou de outra,

colaboraram no seu desenvolvimento até chegarmos à

Newton e Leibniz que auferiram o direito de ter, cada um

deles, um capítulo inteiro no livro por serem eles

inevitavelmente considerados a peça central da história

do cálculo. A principal característica deste livro é a

inclusão entremeada de exercícios ao longo do texto como

132

uma parte integrante da exposição. A história da

matemática, como matemática própria, não se aprende

com uma leitura passiva, mas com uma caneta na mão. No

entanto, a solução de problemas típicos e particulares de

um determinado período histórico, utilizando as

ferramentas daquele tempo permite ao leitor compartilhar

o entusiasmo da primeira descoberta. O autor indaga que

o melhor caminho de penetrar no pensamento de

Arquimedes e Newton, por exemplo, é resolver alguns

problemas utilizando seus próprios métodos.

11. UMA PROPOSTA METODOLÓGICA NO ENSINO DE CÁLCULO

O objetivo deste capitulo é discutir a história da matemática como metodologia

de ensino em Cálculo.

Podemos começar a dizer sobre uma proposta metodológica tomando SPINA

(2002), que vem mostrar que na escola, o antigo paradigma deveria ter sido substituído,

o que significaria o fim dos "planejamentos de arquivo", das aulas preparadas e nunca

mudadas, da passividade-receptividade dos alunos, numa palavra, o abandono das

certezas, dos objetivos de longo prazo, o que na prática não acontece, ou seja, ainda

persistem os antigos métodos de ensino, à revelia das mudanças que estão a exigir uma

nova mentalidade.

Dessa forma, ASSMANN (1996, p.55) afirma:

“Confesso a minha perplexidade, não apenas diante de

muitos aspectos da atual evolução da humanidade, mas

também diante dos que persistem em não evoluir. Há

muita literatura sobre a educação na qual não se registra

nada acerca dos terremotos epistemológicos do século

XX.”

Assim, MORAES (1997, p. 51), citado por SPINA (2002), diagnostica o estado

de calamidade do sistema escolar brasileiro:

133

Na área educacional, as influências do pensamento

cartesiano-newtoniano parecem ainda mais graves

considerando o seu significado para a formação de novas

gerações, com sérias implicações para o futuro da

humanidade. (...) Em vez de produzir as transformações

necessárias para o desenvolvimento harmonioso do ser

humano, a educação atual continua gerando padrões de

comportamento preestabelecidos, com base em um sistema

de referência que nos ensina a não questionar, a não

expressar o pensamento divergente, a aceitar

passivamente a autoridade, a ter certeza das coisas (...)

Dessa forma, ainda de acordo com SPINA (2002), o ensino da Matemática não

foge à regra. As transformações por que passa o mundo, o ritmo alucinante da evolução

solicita outra didática, mentalidade, metodologia.

Como diz ZUÑIGA (1991), citado por SPINA (2002):

O reflexo disso se faz sentir na Matemática (...) a natureza

da Matemática está mudando: há muitos indícios disso.

Cada dia mais pessoas questionam o modelo matemático

infalível, absoluto, longe da intuição empírica e da

realidade terrena, que dominou até agora... Cada vez se

percebe melhor a íntima relação entre as matemáticas e a

sociedade. Cada vez tem-se mais espaço para um novo

paradigma sobre a natureza das matemáticas, um

paradigma empírico e construtivista, um paradigma que

recorre à intuição sensorial, um paradigma que integre no

seu seio as influências sociais e culturais, que recorre à

História das Matemáticas e das Ciências como

inspiração, não só para anedotas, senão para estabelecer

a lógica que sustenta a prática educativa de uma forma

mais acertada.

134

Assim, quando pretendemos abordar a História da Matemática como

procedimento de ensino, esta é pedagogicamente orientada, tal como, as várias

dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem

durante o processo.

Então, de acordo com estudos realizados anteriormente, durante na nossa

Iniciação Científica, temos que se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se

insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de

Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno

reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além

de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. O

aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica

tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que

sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este

processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica.

Assim, segundo SOUSA (2007), ao acenarmos para um ensino que se fundamente

no par lógico-histórico, estamos defendendo que a relação lógico-histórica na prática

pedagógica do professor.

Também, nesta mesma linha, de acordo com estudos anteriores, feitos durante o

Relatório de Iniciação Científica, podemos dizer que ao assumirmos o lógico-histórico

enquanto forma de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se

fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003),

consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e

o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto

define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto

o homem tenta se humanizar pelo conhecimento.

Já RIBNIKOV (1987, p. 12), nos diz que:

Conhecer a história do desenvolvimento da matemática

nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender

o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos

homens”

135

Dessa forma, de acordo com SOUSA (2004), professores e estudantes devem

partir do princípio de que aprender um conceito matemático envolve apropriação de

significações que são produzidas durante o desenvolvimento histórico da humanidade.

Tais apropriações são elaboradas enquanto procuram atender as necessidades sociais e

cognitivas.

12. DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA AS

DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

Este capítulo possui a intenção de mostrar os delineamentos de propostas de

ensino pesquisadas a partir de um enfoque histórico, onde a idéia seria a de

proporcionar que o estudante possa fazer reflexões sobre conceitos que estuda.

Outro ponto a ser abordado aqui é a opção entre seguir os nexos conceituais

presentes no desenvolvimento do Cálculo, ou seguir a ordem adotada nos livros

didáticos.

Mais especificamente, para BARUFI (1999), existem dois modelos principais a

serem abordados, a saber:

(...) Constitui na apresentação do Cálculo sistematizado,

formal e logicamente organizado, como resultado do

trabalho de pensadores, filósofos e matemáticos, durante

vinte séculos. (...) Nesse caso, a seqüência temática,

basicamente é: Números Reais, funções, Limites,

Derivadas e Integrais, e o tratamento metodológico

obedece, em muitos casos, à idéia de fornecer uma

revelação do Cálculo. (BARUFI, 1999, p. 52)

(...) Este modelo diverge do anterior por apresentar uma

seqüência temática que não obedece necessariamente à

estrutura lógica, mas muito mais ao desenvolvimento do

Cálculo, ou à sua contemporaneidade. Isto se deve ao fato

de basear-se numa metodologia problematizadora,

segundo a qual aquilo que deflagra o processo de

construção do conhecimento, por parte dos alunos, é a

136

existência de problemas importantes e motivadores.

(BARUFI, 1999, p. 53)

Dessa forma, a abordagem lógico-histórica, que aqui adotamos, condiz com o

segundo modelo apresentado por BARUFI (1999).

Nesse sentido, em nossas pesquisas, constatamos que praticamente não existem

atividades de ensino com a abordagem histórica na literatura em português e em

espanhol, cujas pesquisas realizamos através da base de dados SCIELO. Outra fonte de

pesquisa da literatura brasileira, em específico, foi através do banco de dados das

principais universidades brasileiras, onde não foi encontrada nada de relevante. Em

português foi encontrada a coleção “Curso de História da Matemática” de M. E. Baron

e H. J. M. Bos, de 5 volumes.

Já na literatura internacional, encontramos três livros em específico, de autores

americanos, que são: TOEPLITZ (1996), PRIESTLEY (1974) e EDWARDS (1974).

Dessa forma, em vez de copiarmos alguns exercícios de tais livros, vamos

apenas relembrar suas principais características, já analisadas acima, de acordo com

BARBOSA (2008).

Seguem as principais características desses livros:

(i) “Curso de História da Matemática” de M. E. Baron e H. J. M. Bos.


A coleção de livros da UNB é dividia em cinco volumes e

expõe todos os conceitos de um primeiro curso de cálculo

contando os principais fatos históricos e instigando o

leitor a fazer avaliação dos acontecimentos propondo

questões avaliativas relacionado ao assunto tratado. Logo

após cada exposição desses trabalhos, são feitos

apontamentos sobre o assunto.

Verificamos que os exercícios são mais de cunho histórico do que sobre

cálculo especificamente.

(ii) The Calculus: a Genetic Approach, Toeplitz.

137


O livro segue a inspiração histórica para apresentar os

conceitos do Cálculo ao estudante. Inicia com uma

discussão sobre as especulações dos antigos matemáticos

gregos sobre os processos infinitos, a teoria das

proporções, o método da exaustão, a medida da

circunferência de Arquimedes, o conceito de número,

limites de seqüências e séries numéricas. O estudo da

integral definida se inicia com a quadratura da parábola

por Arquimedes, e a retomada deste problema 18 séculos

após com Cavalieri. A derivação é apresentada com o

estudo do problema de se encontrar a tangente a uma

curva em um ponto, com problemas de máximos e

mínimos e o conceito de velocidade de Galileu. O estudo

dos logaritmos lança uma luz sobre a relação entre

derivada e integral. O livro termina com aplicações a

problemas de movimento, como o pêndulo, oscilações, leis

de Kepler e de Newton. Toeplitz deixou o livro inacabado,

tendo falecido em 1940 em Jerusalém, após deixar a

Alemanha em 1939.

Assim, verificamos que são exercícios voltados mais para física,

do que problemas de cunho histórico.

(iii) The historical development of the calculus, EDWARDS.

De acordo com BARBOSA (2008, p.83-4),

Segundo Edwards, a história do desenvolvimento do

cálculo tem um especial interesse para quem aprecia o

valor histórico na perspectiva de ensino e aprendizagem,

desfrutando dela e de suas aplicações. Seu livro começa

discutindo os problemas da antiguidade até chegar à

análise do século vinte. Após tratar dos principais

138

assuntos da matemática grega, o autor conta fatos

históricos e as contribuições dos principais personagens

precursores do cálculo, que de uma forma ou de outra,

colaboraram no seu desenvolvimento até chegarmos à

Newton e Leibniz que auferiram o direito de ter, cada um

deles, um capítulo inteiro no livro por serem eles

inevitavelmente considerados a peça central da história

do cálculo. A principal característica deste livro é a

inclusão entremeada de exercícios ao longo do texto como

uma parte integrante da exposição. A história da

matemática, como matemática própria, não se aprende

com uma leitura passiva, mas com uma caneta na mão. No

entanto, a solução de problemas típicos e particulares de

um determinado período histórico, utilizando as

ferramentas daquele tempo permite ao leitor compartilhar

o entusiasmo da primeira descoberta. O autor indaga que

o melhor caminho de penetrar no pensamento de

Arquimedes e Newton, por exemplo, é resolver alguns

problemas utilizando seus próprios métodos.

Ao verificar o livro, vimos que é o que mais se aproxima de um livro didático de

cálculo usando a história da matemática. Também vimos muitos exercícios durante o

livro, adequados com a abordagem histórica.

Entretanto a critica que fazemos aqui é pela maioria das atividades se reduzirem

à simples exercícios, alguns de fixação da teoria ou onde são pedidas demonstrações de

resultados apresentados durante o capítulo, com poucos problemas a serem resolvidos.

12. CONCLUSÕES

Podemos concluir de nossa pesquisa que cumprimos nosso objetivo de estudar a

história da matemática enquanto metodologia de ensino nas disciplinas iniciais de

Cálculo, já que fizemos um levantamento das taxas de reprovações em tais cursos, e

139

também a partir de entrevistas de professores, levantamos as principais dificuldades no

ensino-aprendizagem, e aprofundamos seu estudo.

Assim, durante a nossa pesquisa, podemos observar tanto através das entrevistas

com professores como no estudo da bibliografia citada, que um dos principais conceitos

envolvidos no estudo do Cálculo é o de limite, sendo fundamental para o aprendizado

de derivadas e integrais.

Dessa forma, destacamos em nossa pesquisa a chamada ruptura entre o

pensamento algébrico e o analítico, como problema de ensino-aprendizagem do

Cálculo, que segundo ARTIGUE (1998) ocorre quando o aluno é obrigado a reconstruir

objetos matemáticos, ou seja, tomar consciência de todas as mudanças e do crescimento

da dificuldade técnica do trabalho matemático nos ajuda a compreender melhor à

distância que separa a capacidade de formular a definição formal da noção de limite,

ilustrada por exemplos e contra-exemplos, representada graficamente, e por outra parte,

de dominar tecnicamente esta definição, é decidir ser capaz de utilizá-la como um

instrumento operativo na resolução de problemas.

Logo, ao falarmos sobre nossa aprendizagem sobre ao conteúdo de Cálculo,

principalmente ao estudarmos as dificuldades de ensino-aprendizagem, um pouco sobre

o conceito formal de limites, sobre como eram tratadas as tangentes, deste problema dos

tempos de Euclides. Porém destaca-se aqui o conceito de integrais, principalmente na

integração de funções em intervalos descontínuos, onde não basta a aplicação pura e

simples das regras, e sim fazer antes um estudo do gráfico e das possíveis

descontinuidades, para ai sim efetuarmos a operação.

Na seqüência estudamos a importância do uso da história da matemática no

ensino de cálculo, onde aprofundamos com o estudo de diversas metodologias que usam

tal abordagem, culminando com o lógico-histórico. Dessa forma, podemos dizer que

aprendemos um pouco sobre a história dos conceitos de Cálculo, sendo destaque para

função, onde apareceu para nós todo o seu desenvolvimento lento e gradual. Também

destacamos o aprendizado sobre o surgimento histórico primeiro de integrais em

detrimento dos demais conceitos. Já sobre nosso aprendizado sobre as metodologias de

ensino de Cálculo, podemos dizer que passamos a ter algum conhecimento sobre os

diversos enfoques da história da matemática como metodologia.

140

Antes de concluirmos, por tudo que estudamos, aprendemos um pouco com as

entrevistas dos professores, das queixas deles em relação aos alunos e comparando com

as taxas de reprovações, vimos que realmente tem algo errado, e em geral com o

comportamento dos alunos em relação aos estudos. Porém, o radicalismo de alguns

professores em não tentar enxergar outras metodologias de ensino é um fator há ser

estudado. Assim, vemos que é mais fácil notarmos o que não deve ser feito em sala de

aula, com exemplos negativos, do que propormos um modo correto de procedimento.

Porém, pelas nossas pesquisas, concordamos que uma boa alternativa é o estudo da

disciplina via história da matemática, assentada em problemas de cunho histórico, com

uma visão que priorize o desenvolvimento e a evolução dos conteúdos, em vez do

enfoque metodológico tradicional.

Dessa forma, concluímos que o que melhor se adéqua de um livro didático de

cálculo usando a história da matemática é o livro de EDWARS (1977). Também vimos

muitos exercícios durante o livro, adequados com tal abordagem, porém, em vez de

copiarmos alguns exercícios de tais livros, apenas relembramos suas principais

características, vantagens e desvantagens.

Para encerrarmos, propomos a seguinte questão de investigação:

“De que forma a perspectiva lógico-histórica pode se configurar como metodologia

de ensino de Cálculo?”

Assim, podemos dizer que tal perspectiva deve enfatizar a reconstituição, não

apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos,

psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula, levando o aluno a

participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica, tendo como

uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social, relacionados ao

surgimento do Cálculo.

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SÃO CARLOS, 22 DE JUNHO DE 2009.

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PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA

ORIENTADORA

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AILTON BARCELOS DA COSTA

ALUNO

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