TE-A1-Barras retas isostáticas

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SO PAULO - Escola de Engenharia Civil Notas de aula do curso Teoria das Estruturas Prof. Dr. Ricardo de C. Alvim

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Captulo 1

Barras retas isostticas

1.1. Introduo No estudo das estruturas hiperestticas, aps a determinao das incgnitas (momentos fletores), o problema pode ser simplificado e analisado por meio de um conjunto de subsistemas estruturais isostticos. Portanto, o clculo de barras isostticas para diferentes tipos de carregamento serve de subsdio para a determinao das solicitaes nas barras da estrutura. Neste captulo, sero revisados os diferentes casos de carregamento de barras retas isostticas.

1.2. Viga biapoiada com carga

concentrada Considere a viga biapoiada da figura 1:

Figura 1.1 Viga biapoiada com carga concentrada Aplicando as equaes de equilbrio, as reaes de apoio so dadas por:

0MB = 0bPLR A =-

LPb

R A = (1.1)

0V = 0PRR BA =--

LPa

)L

bL(PR B -=

--= (1.2)

A expresso do momento fletor no trecho AC da viga dada por: Trecho AC:

LxbP

xR)x(M A

== (1.3)

p/ x=0 0M A =

p/ x=L/2, tem-se:

LbaP

)2/Lx(M

== (1.4)

A funo para a fora cortante em funo de x dada por:

AR)x(V = (1.5)

LPb

R A =

Com isso, possvel traar o diagrama de momento fletor e fora cortante da figura 1.2.

Figura 1.2 - Diagramas de momento fletor e fora cortante Verifica-se pela figura 1.2, que quando a carga do tipo concentrada o diagrama de momento tem distribuio linear (funo de primeiro grau). Por sua vez, o diagrama de cortante uma constante.


distribuda Considerando a viga com carga distribuda da figura 1.3.

Figura 1.3 Viga biapoiada com carga distribuda

Aplicando mais uma vez as expresses de equilbrio, tem-se:

q

L RA

x M(x)

RB

A B

(+)

A B

P

(+)

a b

(-)

M

V

LPab

C

L

P

RA

x

AC

M (x)

RB

a b B


2

As reaes de apoio podem ser obtidas aplicando as equaes de equilbrio:

0MB = 02L

LqLR A =-

E a reao de apoio em A dada por:

2qL

R A = (1.6)

analogamente:

2qL

R B -= (1.7)

A expresso genrica para o clculo do momento fletor em uma coordenada x qualquer da viga dada, no trecho AB, por: Trecho AB:

2x

qx2

qL2

qxxR)x(M

22

A -=-= (1.8)

A funo que expressa a fora cortante por ser obtida por equilbrio ou derivando-se a expresso do momento fletor:

qx2

qLqxR)x(V A -=-= (1.9)

p/ x=0 2

qLVA =

p/ x=L 2

qLVB -=

O momento fletor mximo onde o cortante nulo. Portanto, igualando a expresso do cortante a zero:

0qx2

qL0)x(V =-=

2L

x =

8qL

2L

2q

2L

2qL

M22

mx =

-= (1.10)

Ento, os diagramas de momento fletor e fora cortante assume m as formas ilustradas na figura 1.4.

Figura 1.4 Diagramas de momento fletor e fora cortante Na figura 4, verifica-se que a distribuio de momentos para uma carga distribuda tem a forma de uma parbola (funo de segundo grau).


triangular No caso de uma carga com distribuio triangular, figura 1.5:

Figura 1.5 Viga biapoiada com carga triangular As reaes de apoio tambm so obtidas por equilbrio:

0MB = 03L

2LpLR A =-

-

06LpLR

2

A =-

6pL

L6LpR

2

A == (1.11)

0V = 2

pLRR BA =+

BR2PL

6PL =- e, ento:

p

L RA

x Mx

RB

A B p

p L p x

q

A B

(+)

(+)

(-)

M

V

qL/2 8

qL2

-qL/2


3

3pL

6PL2

6pL3pLR B -=-=

-= (1.12)

E a expresso de momento fletor dada por: Trecho AB:

3x

2xpxR)x(M A -= (1.13)

como Lpx

p =

3x

L2pxxR)x(M

2

A -= (1.14)

L6pxx

6pL)x(M

3-= (1.15)

E a fora cortante pode ser obtida por:

2x

Lpx

R)x(V A -= (1.16)

L2px

6pL)x(V

2-= (1.17)

O valor do momento fletor mximo dado por:

0VM xmx =

0L2

pxx6

pL 2 =-

3Lx

6pL

L2px 222 ==

L33

3

Lx == (1.18)

substituindo na expresso (1.15) de )x(M , tem-se:

L6pxx

6pL)x(M

3-=

3

33

LL6p

L33

6pL

-=

-=

273

3L6

pL3

18pL 32

-=

273

2pL

318

pL 22

273pL

543pL

543pL3pL3 2222 ==-= (1.19)

Finalmente, possvel traar o diagrama de momento fletor e fora cortante da viga, conforme ilustrado na figura 1.6.

Figura 1.6 Diagramas de momento fletor e fora cortante

1.5. Viga biapoiada com momento

fletor Para o caso de uma viga biapoiada com momento fletor conforme ilustrado na figura 1.7.

Figura 1.7 Viga biapoiada com momento fletor As reaes de apoio so dadas por:

0MB = 0MLR A =- Onde o sinal negativo do momento convencionado por girar no sentido anti-horrio. E, ento, a reao no apoio A igual a:

LM

R A = (1.20)

0M A = 0MLR B =+

(+)

(+)

(-)

M

V

3 grau

L57,0

273pL2

a b M

C

RA RB

A

L x

x

B


4

A reao no apoio B dada por:

LM

R B -= (1.21)

Trecho AC:

xLM

xR)x(M A == (1.22)

p/ x=a aLM

M C =

Trecho CB:

MxLM

MxR)'x(M A -=-= (1.23)

p/ x=a MaLM

M C -=

p/ x=L 0MLLM

M L =-=

LM

R)'x(V A == (1.24)

e

p/ x=L LM

RV BB =-=

Ento possvel traar os diagramas de momento fletor e fora cortante, figura 1.8.

Figura 1.8 Diagrama de momento fletor e fora cortante

1.6. Vigas biapoiadas com momentos

de extremidade Finalmente, tem-se o caso de uma viga biapoiada com momentos fletores aplicados na extremidade, figura 1.9.

Figura 1.9 Viga biapoiada com momentos fletores na extremidade

Este o caso mais importante para aplicao de mtodos hiperestticos, pois aps a resoluo das incgnitas hiperestticas (em geral momentos fletores) a soluo das vigas hiperestticas continua com obteno das reaes de apoio. Para isso, o sistema passa a ser equivalente a soluo de um conjunto de vigas biapoiadas com momentos fletores aplicados nas extremidades. As reaes de apoio so dadas por:

0MB = 0MMLR BAA =+-

LM

LMM

R abAD

=-

= (1.25)

0M A = 0MMLR ABB =-+-

LM

LMM

R abAD

=-

= (1.26)

Ento, em um caso tpico de viga biapoiada com carregamentos de diferentes naturezas, figura 10, possvel combinar as reaes de apoio para cada carregamento

Figura 1.10 Viga com carga distribuda e momentos de extremidade

As reaes de apoio so dadas pela sobreposio de efeitos:

LMM

2pL

R ABA-

+= (1.27)

LMM

2pL

R ABB-

+-= (1.28)

A conveno de momentos adotada est ilustrada na figura 1.11.

(+)

(+) M

V

(-)

a b

L

Mb

LMa

2

1 21

R A L R B

A B MA MB

p

L V A V B

A B MA MB


5

Figura 1.11 Conveno de sinais para momentos fletores

Por esta conveno, possvel perceber que o momento fletor ser negativo quando produzir trao na fibra superior da viga e ser negativo quando produzir compresso na mesma fibra.

1.7. Combinao de carregamentos No caso da combinao de carregamentos possvel resolver a viga pela simples sobreposio dos efeitos, isto , somando-se os efeitos dos diferentes carregamentos. Na figura 1.12, encontra-se o ilustrado o exemplo de uma viga com carga concentrada e distribuda agindo simultaneamente.

Figura 1.12 Viga biapoiada com carregamentos de diferentes tipos

Para o clculo das reaes, faz-se a sobreposio dos efeitos dos casos anteriores para viga com carga concentrada e viga com carga distribuda, ento:

2pL

LPb

R A += (1.29)

e

2pL

LPa

R B --= (1.30)

, ento, possvel calcular os momentos fletores a partir da somatria dos momentos em relao a uma ordenada x, figura 1.13, qualquer.

Figura 1.13 Equilbrio de esforos

Para ax0


6

x25,11)x(V -= Para Lxa

x25,1)x(V -= Desse modo, possvel obter os diagramas de fora cortante e momento fletor da viga: Para x=0, kN5,11025,11)x(V =-= Para x=1, kN5,9125,11)x(V =-= Na figura 14-(a), encontra-se ilustrado o diagrama de cortante para viga:

Figura 1.14 Diagramas de momento fletor e fora cortante Para o traado do diagrama de momento, tem-se que o momento fletor mximo ocorre onde o cortante nulo, neste caso em x=1, portanto:

mkN5,1015,111)11(1015,11)x(M 2

=-=---=

Na tabela A.1.1 do anexo A.1, encontram-se resumidos todos os casos de reaes e momentos fletores.

(+)

11,5 kN

V (-)

9,5 kN

9,5 kN 10 kN = -0,5 kN -6,5 kN

M

(a)

(b) 10,5 kN m


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Anexo A.1

Tabela A.1.1 - Casos de carregamento e respectivas reaes de apoio Casos de carregamento

AR BR Mmx

LPb

LPb

- L

Pab

2

qL

2qL

- 8

qL2

6

pL

3pL-

273pL2

LM

LM

- L

Ma

LMb

-

LMD

LMD

__

a b L

RA RB

M

L

MA

RB RA

MB

a b L

RA RB

p

L RB RA

q

L RA RB

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