UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ CENTRO POLITÉCNICO SETOR DE TECNOLOGIA ENGENHARIA ELÉTRICA TE072 – PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS I

TE072 - Processamento Digital de Sinais I ANÁLISE COMENTADA DE DOCUMENTO TÉCNICO: “DIGITAL IMAGE PROCESSING” (B.R. HUNT, IEEE - V.63, N.4 - APRIL 1975)

Trabalho apresentado à disciplina Processamento Digital de Sinais do curso de Engenharia Elétrica, Departamento de Eletricidade, Setor de Tecnologia, ministrada pelo professor Marcelo Rosa.

Allan Rangel Cordeiro – GRR20040178

Curitiba, junho 2008

I. Introdução

O presente trabalho visa mostrar conceitos matemáticos existentes no processamento digital de imagens, e suas aplicações práticas.

Em processamento digital de imagens, temos imagens como entrada e saída, como fotografias ou quadros de vídeo. Indo além do tratamento de imagens, que preocupa-se somente com manipulação de figuras para sua representação final, o processamento de imagens serve para novos processamentos de dados como aprendizagem de máquina ou reconhecimento de padrões. A maioria das técnicas envolve o tratamento da imagem como um sinal bi-dimensional, no qual são aplicados padrões de processamento de sinal. O Processamento Digital de Sinais é utilizado em qualquer área onde informações são manipuladas ou controladas por um processador digital. O processamento digital de sinais oferece vantagens, e flexibilidade, em relação ao tratamento analógico; procedimentos que só poderiam ser obtidos em sistemas analógicos com a utilização de equipamento especializado, complexo e caro, podem ser mais eficientemente executados no domínio digital.

Além da captação da imagem, amostragem, quatização codificação, temos também a sua restauração, consistindo na remoção ou redução da degradação, ocorrida durante a aquisição, incluindo o borramento introduzido pelo sistema óptico, movimento da imagem, bem como o ruído eletrônico e fotométrico. Em um sistema linear, a degradação da imagem pode ser modelada por uma função de espalhamento de ponto (Point Spread Function - PSF), ou impulso resposta, e pelo ruído, que é aditivo.

Processamento Digital de Imagens II. Formação da Imagem

O processamento digital de imagens tem crescido por vários motivos, dentre os quais podemos destacar: avanços de hardware e software e flexibilidade, para realizar processamento de algoritmos não-lineares, processos iterativos, e que exigem testes e decisões, quando comparado com processadores ópticos. Em sistemas ópticos a intensidade da luz radiante emitida ou refletida no objeto pode ser capturada por um conjunto de lentes e aberturas; já na imagem radiográfica, a radiação nuclear que passa pelo objeto é passada por aberturas de radiação opaca e/ou pinholes.

Os sistemas de formação de imagem possuem um comportamento global. A imagem no ponto x,y é uma contribuição na vizinhança de x1,y1. Representando a

distribuição de energia radiante da imagem como g(x,y), e a distribuição de energia radiante do objeto como f(x,y), temos a fórmula (1):

Se o sinal de entrada consiste num sinal simples, o sinal de saída é dado pelo

impulso de resposta. A função h é conhecida como Função propagação do ponto (Point Spread Function – PSF), e constitui na imagem bidimensional da fonte, que envolve a distribuição do objeto como um argumento, permitindo processos não-lineares na formação da imagem. Como abreviação utilizarei PSF para significar “Função propagação do ponto”.

Se o sinal de entrada consiste em dois ou mais impulsos, o sinal de saída é composto pelo somatório dos sinais de saída produzidos por cada impulso e o sistema é dito linear.

A função h pondera a distribuição do objeto como um multiplicador escalar. Assim:

Fazendo Função propagação do ponto ser invariante em função da posição:

O que leva a uma convolução bidimensional

E assumindo h separável:

Leva a duas operações de uma dimensão na distribuição do objeto:

, sendo a ordem de integração arbitrária. A equação 2 representa a formação de imagem em uma PSF de espaço variante; e a 4 uma espaço invariante. Temos que: - Lentes têm a habilidade de realizar transformadas de Fourier; - Um sistema de formação de imagem óptica pode ser descrito pela equação 4, como um modelo espaço invariante. - h, na equação 4, é a transformada de Fourier da saída de luz coerente, e a transformada de Fourier da função autocorrelação da saída em luz incoerente.

Sistemas de penetração de radiação para formação de imagens podem ser ativos ou passivos. Em um sistema ativo, o objeto a ser retratado é por si só uma fonte de

radiação nuclear (neutrons, raios gamma, raio-X), e para formar a imagem precisamos de um pinhole. Explicação: Como princípio de uma máquina fotográfica de pinhole: os raios de luz de um objeto passam por um pequeno buraco para formar uma imagem.

A imagem formada pode ser descrita pela equação 4. O cálculo PSF associado

ao pinhole é difícil devido à natureza da radiação penetrante. Já em sistemas passivos, o objeto em questão deve ser iluminado por algum tipo

de radiação que penetra no objeto. A radiação é atenuada de acordo com a densidade do objeto e uma sombra do objeto é projetada.

Nas figuras abaixo temos representado primeiro um sistema ativo, e em seguida passivo:

São complexas as equações que descrevem a formação da imagem radiográfica,

devido às diferentes fontes de degradação de imagem, tais como: -Tamanho da fonte (que deve ser infinitesimalmente pequena, mas que na prática possui um tamanho finito), a degradação resultante é modelada pela equação 9; - Efeitos geométricos; - Espalhamento da radiação: a radiação ao interagir com os átomos do objeto, além de ser atenuada, também é "espalhada" devido às colisões, produzindo assim uma imagem borrada.

Geralmente, um modelo linear invariante no espaço, da forma da equação 4 é assumido e a PSF (point-spread function) estimada por aproximações. Processos de gravação de Imagem

A gravação de imagens pode ser dividida entre: fotoquímica (utilizada em filmes fotográficos) e fotoelétrica (câmera de televisão). Os filmes fotográficos dependem das propriedades dos sais haletos de prata para gravar imagens, que tem suas características mudadas devido à exposição à luz. A ação dos agentes redutores (desenvolvedores) resulta em deposição de prata livre. A massa de prata depositada é linearmente

proporcional ao logaritmo da exposição E, definida como o tempo integral de intensidade de luz no intervalo de exposição. Existe também uma região de saturação (onde toda a prata é depositada), e também uma região nebulosa (onde verifica-se o depósito de alguma prata mesmo sem luz). Uma relação é mostrada na curva D-logE, sendo D a densidade óptica, I1 a intensidade da fonte de referência e I2 a intensidade de luz transmitida ou refletida pelo filme quando iluminado pela fonte de referência: I1 é sempre maior do que I2.

A intensidade de luz que passa pelo filme é governada pela equação de Bouger's:

sendo k1 o coeficiente de absorção, e mag a densidade de massa de prata depositada por unidade de área.

Assim:

e na região linear:

Sendo , o declive da região linear, e o offset due para a região linear não passante pela origem. Tudo assumindo intensidade constante na exposição. Substituindo 11b em 11a:

A equação acima mostra que o filme é meio de gravação de intensidades de luz,

mas que está sujeito a ruídos, que no filme provém da aleatoriedade na formação de grãos de prata. O ruído de filme granulado (Film-grain noise), adiciona densidade (e não intensidade). Sendo Io a intensidade da imagem, a imagem somada ao ruído é gravada em densidade (negligenciando o offset Do):

a versão da equação 12 com o ruído se torna:

Onde n1 é um processo multiplicativo de ruído, vale ressaltar que assim como antes, essa equação não se aplica em regiões de saturação ou nebulosas.

Observa-se que a natureza multiplicativa do Film-grain noise é algo consistente na gravação de imagens em filmes.

Na formação fotoelétrica, a imagem é varrida por um feixe de elétrons, e a saída é em função do feixe atual. Observa-se que a saída também está sujeita a interferências de ruído. Em muitas câmeras, existe uma regra entre entrada-saída, descrita como a relação do logaritmo de saída da câmera contra o logaritmo de entrada de intensidade de luz; tal relação é referenciada como gamma do sensor de imagem. Uma equação como a 12, pode ser descrita para intensidade da imagem fotoelétrica em termos do sinal de saída.

A figura 5 representa um diagrama de blocos da formação e gravação de imagem. Onde o sistema ‘h’ tem memória; é uma operação linear ou não-linear na forma de 1,2,4,7 ou 8. O sistema ‘s’ não tem memória mas representa não-linearidades na gravação da imagem. O termo ‘n’ adicionado à ‘s’ é um processo aleatório, que conta os ruídos inevitáveis de gravação. ‘n’ é tido como um processo de ruído-branco gaussiano para o film grain-noise. Muitas vezes podemos supor que ‘s’ é função logarítmica.

Fig. 5 Uma intensidade de imagem é definida como uma imagem representada por

valores linearmente proporcionais à intensidade da energia radiante original da formação da imagem. Já a densidade de imagem é definida como uma imagem na qual os valores são proporcionais ao logaritmo da intensidade da energia radiante original. Amostragem e Quantização de Imagem

Uma vez gravada, a imagem precisa ser amostrada e suas amostras quantizadas em um dado número de bits. Erros de quantização equivalem à adição de processos aleatórios ao dado. Em um processamento digital de sinal de uma dimensão, aliasing pode ser evitado com o uso de um filtro passa-baixa colocado em zero na frequência de Nyquist.

De acordo com o Teorema de Nyquist, a quantidade de amostras por unidade de tempo de um sinal, chamada taxa ou freqüência de amostragem, deve ser maior que o dobro da maior freqüência contida no sinal a ser amostrado, para que possa ser reproduzido integralmente sem erro de aliasing. A metade da freqüência de amostragem é chamada freqüência de Nyquist e corresponde ao limite máximo de freqüência do sinal que pode ser reproduzido. Como não é possível garantir que o sinal não contenha sinais acima deste limite ( distorções, interferências, ruídos, etc), é necessário filtrar o sinal com um filtro passa-baixa com freqüência de corte igual (ou menor) a freqüência de Nyquist, ou filtro anti-aliasing.

Em processamento de digital de imagem, a função análoga não é tão facilmente cumprida. Podemos fazer uma cópia da imagem original fora de foco, o que por outro lado adicionaria film-grain noise de banda larga. Nos sistemas que projetam um pouco de luz sobre o filme, e a quantidade de luz I2 transmitida (ou refletida) através do filme, é comparada com a quantidade de luz I1 observada na ausência do filme. A transmitância T é definida como:

Onde I2 é sempre menor que I1. A luz projetada no filme é varrida da esquerda para direita, e de cima para baixo, e a saída é amostrada em coordenadas espaciais de acordo com a equação:

Onde ‘g1’ é a saída amostrada; ‘g’ é a imagem gravada no filme fotográfico; e ‘ha‘ é a função que descreve o perfil de intensidade de luz projetada no filme, sendo a abertura efetiva pela qual o filme é observado. De acordo com a equação acima, a imagem amostrada não é a gravada (g), mas uma imagem ‘g1’, a qual é modificada pela abertura. No domínio espacial da freqüência:

onde as letras maiúsculas representam transformadas de Fourier. De acordo com a equação acima, um abertura adequada pode acompanhar um filtro pra prevenir ruído de aliasing de alta frequência. Reconstrução e visualização de Imagens digitais

Sistemas de reconstrução de imagens são como os sistemas de amostragem. Uma luz é projetada no filme inexposto (ou luz é gerada de um CRT por um feixe de elétrons), e a intensidade mostrada é modulada como o dado digital requer. Seguindo a equação 16, podemos descrever a reconstrução de imagens como:

onde ‘g2’ é a imagem reconstruída; ‘g1’ é uma função que consiste de impulsos de Dirac, espaçados ; ‘hd‘ é uma função que descreve a distribuição de intensidade de luz. Temos no domínio da frequência:

senfo a transformada na equação 17, depois de amostrada e aliased.

Na equação 19, a transformada de Fourier desempenha o papel de filtro, que retira a bandabase das ordenadas aliases mais elevadas.

Uma quantidade limitada de aliasing na imagem é considerada aceitável. As equações 17 e 19 mostram que o processo de amostragem e visualização da imagem distorce o seu espectro, com o conhecimento da varredura e abertura de visualização, pode-se corrigir esses problemas na restauração da imagem.

Considerando fidelidade de imagem, se uma dada intensidade de transmitância ou densidade é representada por um número digital, então a fidelidade máxima implica que a visualização irá mostrar o mesmo valor original de transmitância e densidade como no computador. Na situação ideal, em implicaria em uma relação entrada/saída, como mostrada na figura 6a; porém na prática, temos a figura 6b, onde a característica real desvia 45º da ideal. Pode ser feita uma linearização de acordo com os passos: - O dado é coletado nas características de entrada/saída do display gerado no computador, em determinados graus de transmitância ou densidade, a graduação é enviada ao display e a verdadeira resposta de visualização para cada valor é determinada. - Na figura 6b, a característica é , e a característica linear é dada por

; esta transformação pode ser conseguida com o método do polinômio dos mínimos quadrados, com os dados anteriores.

- Antes de mostrar qualquer imagem é transformada pela função , técnicas de linearização são aplicadas com sucesso, representando a etapa de calibração na conversão digital-analógica de dados que não é usualmente encontrada no processamento unidimensional digital de sinal com circuitos em condições de linearidade. III. Codificação e compressão de largura de banda Codificação

Supondo que uma imagem digital g(j,k) seja criada pela amostragem de uma imagem como uma matriz de NxN amostras e quantização arbitrária de cada pixel com ‘R’ bits. Se todos os N2 bits fossem independentes, necessitaríamos de N2R bits para poder representar a imagem. Felizmente as imagens de interesse possuem certa redundância entre pixels adjacentes; e podemos descrever isso com o uso de uma imagem matriz covariância.

onde g é um vetor N2 por 1 vetor de uma coluna formada por uma ordem lexicográfica de linhas da imagem. Sendo a ordem lexicográfica, análoga à ordem das palavras em um dicionário. A matriz Rg descreve o grau da dependência estatística entre pixel em uma imagem digital.

onde é uma coleção N2 por N2 de colunas autovetores ortogonais e é uma matriz diagonal de autovalores.

Em uma imagem digital, se fizéssemos a atribuição de um mesmo número ‘R’ de bits para cada pixel, teríamos uma distribuição ineficiente, uma vez que nem todos os 2R níveis de quantização ocorrem com a mesma probabilidade. Devido à isto, esquemas foram desenvolvidos para fazer um melhor uso do bits atribuídos para quantização de dados, incluindo quantização uniforme/não-uniforme e quantização baseada em critérios objetivos ou não-objetivos.

Pode-se utilizar de certas particularidades do sistema de percepção visual humano para desenvolvimento de codificação, a qual pode ser chamada de código psicovisual. Por exemplo, o sistema visual humano é mais sensível à freqüências de média gama (ao invés de altas ou baixas freqüências), assim sistemas de codificação

podem ser desenvolvidos usando critérios de erro ponderados que correspondem à ponderação natural da visão humana (outras considerações podem ser feitas com o uso de critérios de contraste, sensibilidade, resolução espacial e resposta temporal). Codificação de Transformadas de Imagem

Os princípios utilizados na codificação de sinais unidimensionais foram aplicados para codificação de imagens (PCM diferencial e modulação delta) uma técnica de codificação que tem se mostrado importante é a codificação de transformada de imagem. Técnicas de transformada rápidas, e sua aplicações, tem tido grande importância no processamento digital de sinais. Dados os autovalores e autovetores da equação 22, e ordenando-os:

A imagem codificada é derivada por transformação:

O vetor g1 está em um espaço onde os principais eixos de variações de dados

são ortogonais e sem correlação, e a ordem da equação 23 significa que componentes de g1 representam variações em ordem decrescente.

Ao selecionar e salvar componentes de g1, pode-se gerar um vetor de comprimento M<N2 ; uma abordagem utilizada é salvar o maior M componentes de g1. Os componentes M salvos são transmitidos, junto com a informação de "escrituração" para indicar os componentes realmente salvos, e uma redução na largura de banda é alcançada. No receptor, o vetor de comprimento M é feito em um vetor g2 de comprimento N2, inserindo zeros para os componentes não transmitidos, bem como a imagem é reconstruída pela transformação:

O erro médio quadrático no código é:

As equações (24) e (25) indicam que as transformações de expansão de

Karhunen-Loeve exigem uma ordem de computações de N4; para um N típico (digamos N=500), este valor ainda é excessivo mesmo com a tecnologia moderna da informática. (Ainda mais difícil com o cálculo dos autovalores e autovetores da matriz de covariância original N2 por N2). Estudos experimentais mostraram que a covariância entre dois pixels rapidamente vai à zero, à medida que a distância entre os pixels aumenta. Assim, é possível codificar a imagem quebrando-a sub-blocos de P por P; os cálculos de covariância e codificação são realizados somente como mencionado em regiões P por P, e o tempo total de processamento é proporcional a Q2P4, onde Q = P/N. Se P<<N pode-se conseguir uma sensível redução no tempo de processamento. Temos como típico P = 8 a 16. A quantidade de computação é substancial, mesmo para codificação em sub-blocos.

Na codificação, a transformada do autovetor da equação 24 é substituída por um algoritmo de transformada rápida conhecido. A razão da transformada é criar um domínio onde o dado é não-correlacionado e a energia do sinal compactada em pequenos componentes. Observa-se um grande ganho de computação com o uso transformadas rápidas. Desde que as transformadas rápidas sejam separáveis em operações de uma dimensão em linhas e colunas, então para transformar a imagem inteira temos uma ordem de operações de N2 log2 N

2. Codificando a imagem em sub-blocos PxP com transformadas rápidas, teremos economia de computação.

Métodos de codificação de transformada podem produzir figuras tão pequenas quanto 1 bit por pixel.

Se levarmos em conta a representação da imagem, a fase da transformada de Fourier mostra-se mais importante do que a amplitude. Incluindo a fase na codificação de imagem, os requerimentos caem de 1/3 para ½ bit por pixel, com resultados igualmente subjetivos e objetivos de critérios de erro em relação ao código sem fase. Temos uma redução da largura de banda de 16 a 24 para 1.

Explicação: FFT – Transformada rápida de Fourier

Como já foi citada aqui neste texto, e será ainda citada, a Transformada rápida de Fourier (em inglês fast Fourier transform, ou FFT) é um algoritmo eficiente para se calcular a Transformada discreta de Fourier (DFT) e a sua inversa. As Transformadas rápidas de Fourier são de grande importância em uma vasta gama de aplicações, de Processamento digital de sinais para a resolução de equações diferenciais parciais a algoritmos para multiplicação de grandes inteiros.

O algoritmo baseia-se no chamado método de dobramentos sucessivos, onde podemos expressar a transformada de Fourier como sendo:

onde

.

Assumimos que onde é um inteiro positivo.

Portanto, pode ser escrito como onde é um inteiro positivo.

Logo, a transformada de Fourier escrita inicialmente, pode ser reescrita como

A soma escrita acima pode ser separada em duas, da seguinte maneira

Considerando que , nomeamos a primeira soma por

para valores de , e

E a segunda soma por

para valores de

Podemos reescrever a transformada de Fourier como sendo

Uma vez que e .

A recombinação da equação com a última nos fornece

A observação dessas equações nos fornece suas propriedades. Dentre elas vemos: uma transformada de pontos pode ser computada pela divisão da expressão original em duas partes.

IV. Restauração Digital de Imagem

A restauração de imagens é um campo com tanta atividade quanto a sua codificação. A figura 5 pode descrever o problema de restauração da imagem; pegando a imagem gravada e processada para obter de alguma maneira, uma estimativa da

distribuição de energia radiante do objeto f; o estimado da distribuição de energia radiante é referenciado a imagem restaurada. No caso de uma imagem de gravação média ideal, o bloco ‘s’ da figura 5 pode ser o mapeamento de identidade e o ruído termo ‘n’ pode ser sempre zero. Num caso ideal, o problema de restauração pode se reduzir à uma integral como 1, 2 ou 4 para a função f. Mas isto é difícil, pois a equação subjacente é mal-condicionada. Explicação: Aqui abro parênteses, para explicar o que é uma equação mal condicionada: por exemplo considere o sistema linear,

x x

x x1 2

1 2

3 4

3 00001 4 00001

+ =+ =

ìíî . .

Cuja solução exata é S = {1,1}. Toma-se agora um sistema de equações derivado do sistema (a), e que sofreu uma pequena perturbação em dois de seus coeficientes, impondo-se uma variação ao coeficiente a22, de 3.00001 para 2.99999 e em b2, de 4.00001 para 4.00002, conforme segue:

x x

x x1 2

1 2

3 4

2 99999 4 00002

+ =+ =

ìíî . .

Cuja solução exata é S = {10,-2}. Note que uma pequena variação em dois coeficientes, da ordem de 0.025% acarreta uma variação enorme de 900% na solução do sistema. Classificam-se estes sistemas altamente sensíveis a variações nos seus coeficientes como sistemas mal condicionados. Imagine agora que esta pequena variação é devida a uma perturbação decorrente de erros de arredondamento, na manipulação dos coeficientes das equações. Então, nestes casos podem-se obter soluções irreais, decorrentes de pequenas alterações nos coeficientes. Neste caso é

interessante usar um método de solução que não altere a forma original das equações, como é o caso dos métodos iterativos.

A restauração digital de imagens, se coloca em termos das equações 2 e 4; e uma aproximação exige regras quadráticas para análise numérica. Satisfazer o critério de Nyquist é primordial em amostragem, o que resulta em espaçamento igual para intervalos iguais ou regras quadráticas de Newton. A regra retangular abriga hipóteses da fig. 5:

As equações acima mostram a natureza linear da restauração de imagem. Se

usada ordem lexicográfica para criar vetores das matrizes ‘g’ e ‘f’, então as equações 27 e 28 podem ser expressas como produto de matrizes. Os elementos da matriz correspondem aos coeficientes ‘h’, e aparecem nas posições certas da matriz para multiplicar os elementos de ‘f’ em ordem lexicográfica. Podemos escrever:

A primeira representa restauração digital linear variante no espaço, e a segunda é

restauração linear invariante no espaço. Os sistemas lineares das equações 29 e 30 têm o mesmo comportamento de

serem mal-condicionados. As matrizes HV e HT diferem, uma vez que HV tem como grau máximo de liberdade (MN)2; e a HT é especial, é um vetor ou bloco matriz Toeplitz (matriz de diagonal constante); HT é feita de M2 partições, cada uma com o tamanho de N por N. A matriz HT tem somente MN graus de liberdade.

Filtragem é um outro ponto de vista para as equações lineares discutidas. Equações 4 e 28 descrevem um filtro linear espacial.

A restauração da imagem pode ser vista como a escolha do filtro inverso para o PSF (point spread function); produzindo os dados originais quando a imagem degradada é processada pelo filtro. No filtro inverso a função degradação é invertida, e utilizada para restaurar a imagem.

As equações 28 e 30 representam a suposição de uma gravação ideal de imagem. Na realidade deve-se incluir uma forma mais complexa para a função ‘s’, somada ao ruído. A imagem gravada é:

Com a representação discreta e ordem lexicográfica dos vetores como antes:

A notação ‘s(x)’ indica que cada componente do vetor ‘x’ é tansformado por ‘s’. Para propósitos computacionais concentra-se na equação 32. Assumindo

exposição na região linear de resposta do filme, a função ‘s’ tem base logarítmica 10, e temos distinção entre densidade e intensidade de imagem. Agora assumindo que a imagem fotográfica é captada e digitalizada em unidades ópticas de densidade, o problema de restauração da imagem é:

sendo o declive da curva na região linear; a energia radiante original do objeto é estimada. Se a imagem é capturada e digitalizada em unidades de transmitância do filme (proporcional à intensidade da energia radiante), então’s’ é a força gamma e o problema da restauração de intensidade fica:

sendo N1 a matriz diagonal, com as entradas diagonais sendo:

Deve-se perceber a natureza multiplicativa do ruído no domínio da intensidade. Para restauração da intensidade da imagem, a natureza multiplicativa do ruído

granulado de filme (film-grain noise) geralmente é negligenciada e um modelo adicional assumido:

Para restauração de imagem, pode-se assumir baixo contraste; se a calibração de

intensidade da imagem original é pequena, então a pequena variação é aproximadamente linear. A restauração da densidade de imagem correspondente:

As duas últimas equações resultam em sinal aditivo e ruído e a teoria pode ser

aplicada. Devida qualidade visual superior dos resultados, a preferência do autor se dá pela restauração no domínio da densidade, mesmo quando a aproximação de baixo contraste não se mostra válida.

Fontes de degradação existentes para as quais a restauração digital de imagem é procurada são: motion-blur, óptica fora de foco, e borrão (imagem desfocada) devido à turbulência atmosférica.

Técnicas de restauração de imagem

A FFT (Transformada rápida de Fourier) torna viável a solução numérica de grandes sistemas lineares presentes em problemas de restauração digital invariantes no espaço. O emprego de FFT não afeta o comportamento de sistemas mal-condicionados. O mal-comportamento é controlado por pressupostos feitos para desenvolver uma técnica particular de restauração. Não há solução única dado o comportamento mal-condicionado e a existência de ruído; ao invés, existe uma infinita gama de soluções, e precisa-se de um critério que determine qual é a solução ótima.

Como as equações 35 e 36 tem a mesma estrutura, usamos a estrutura como paradigma:

Um critério de solução é o MMSE:

, onde é a imagem estimada restaurada. Sendo HT (em 37) um bloco Toeplitz (matriz de diagonais constantes), pode-se empregar a aproximação de bloco circulante. Assumindo as funções de covariância das imagens e ruído estacionário que decai à zero em um intervalo finito, então as matrizes covariantes resultantes dos vetores ordenados lexicograficamente ‘f’ e ‘n’ são blocos Toeplitz e pode-se usar a aproximação de bloco circulante. O algoritmo de restauração resultante é um filtro linear espacial digital que pode ser descrito no domínio da freqüência como:

E a imagem restaurada Wiener estimada é descrita no domínio da freqüência como:

Para que a transformada de Fourier possa ser computada, a PSF (point-spread

function) precisa ser conhecida. Restaurações do filtro de Wiener têm lacunas que exigem extensivas

informações a priori, como a PSF e conhecimentos detalhados da imagem e função auto-covariante de ruído. A estimativa por mínimos quadrados condicionado elimina a necessidade da informação de covariância, a qual é obtida resolvendo o problema de minimização:

Minimização:

Referente à Onde C é a matriz condicionada, 'e' é proporcional à variância de ruído, e 'T'

significa matriz transposta. Com os pressupostos dados para HT e assumindo C na forma Toeplitz, o problema pode ser resolvido com uma Transformada discreta de Fourier, e o filtro no domínio da freqüência é:

sendo determinado por iteração. Pode-se gerar uma família de filtros, da qual (38) é um caso especial.

As técnicas homomórficas de Stockham, Cole e Cannon assumem a PSF desconhecida e estimada com médias de segmentos de imagem no domínio log-espectral da imagem degradada,. o filtro homomórfico é descrito no domínio da freqüência como:

Para a PSF com fase zero, o filtro homomórfico tem um significado entre o

Filtro de Wiener e o filtro inverso:

A maioria das restaurações de imagem, na prática, utilizam uma ou mais das

técnicas já mencionadas. Outros métodos propostos não são aplicáveis, devido aos requerimentos computacionais necessários.

Temos uma abordagem diferente com o trabalho de Frieden e Hershel, onde um modelo aleatório de grão é assumido. Restauração é conseguida com a maximização da função probabilidade de alocação de grão e satisfazendo a formação da imagem da forma das equações 35 e 36. O processo gera uma equação não-linear que garante a restauração.

Comparativo

Comparando as quatro técnicas de restauração mais simples (filtro inverso, filtro de Wiener, estimativa de mínimos quadrados condicionado, filtro homomórfico) temos:

a) Relação sinal ruído: se o sinal-ruído for bom o suficiente, não existe preferência, e as técnicas convergem para o filtro inversor (onde a função degradação é invertida, e utilizada para restaurar a imagem).

b) Correlação de imagem e ruído: O comportamento das imagens é basicamente passa-baixa, então ruído passa-alta é a restauração mais simples, e passa-baixa e ruído branco tem o mesmo nível de dificuldade.

c) Informação a priori. O filtro homomórfico exige menos informação, pois pode realizar a restauração à partir da própria imagem degradada. Em seguida temos a estimativa de mínimos quadrados condicionada, que exige a PSF (point-spread function); a variância de ruído também é necessária, mas pode ser estimada a partir da imagem degradada. O que exige mais informação a priori é o filtro de Wiener: a PSF, mais as funções correlação do sinal e ruído.

d) Qualidade visual da imagem restaurada: Nos casos mostrados, o filtro homomórfico produz restauração com o melhor aspecto visual, e em seguida (perto) temos a estimativa de mínimos quadrados condicionada, e por último (distante) temos o filtro de Wiener. Esta ordem é mais visível para baixas relações de sinal-ruído (aproximadamente 10dB).

Vê-se o mau desempenho do filtro de Wiener, se comparado aos outros. A otimização de Wiener vem da teoria linear, e o sistema visual humano percebe imagens com conhecidos efeitos não-lineares, e provavelmente outros ainda desconhecidos. A estrutura logarítmica do filtro homomórfico torna-o preferível, tendo em conta a resposta logarítmica do olho humano. O desempenho desejável dos mínimos quadrados condicionado não é explicado pela teoria atual.

Filtragem linear, com um filtro passa-alta, é útil para revelar estrutura e detalhes da imagem por exemplo; filtragem passa-baixa é geralmente usada para suprimir ruído; filtragem notch é usada para eliminar efeitos de ruídos periódicos( filtros notch são filtros capazes de rejeitar uma faixa bastante estreita de freqüências, assim sua utilização é recomendada quando o sinal a ser atenuado é bem definido). Histograma de equalização pode ser relacionado em uma teoria de informação, senso para geração de imagem que tem máxima entropia. Outras técnicas que que se mostraram úteis: processamento homomórfico para faixa de compressão dinâmica com filtragem linear, a técnica de "crispening"; processamento não-linear da transformada de Fourier em magnitude com a fase inalterada, o processamento alpha de Andrews; mapeamento de intensidade ou densidade de imagem em uma tela colorida (pseudocolor); retificação de distorções geométricas conhecidas; geração de contornos de imagem, etc.

V. Modelo visual simples em restauração de imagem

Na falta de informação de priori, os métodos homomórficos de Stockham, Cole e Cannon geram restaurações satisfatórias. Se tivermos todas as informações podemos utilizar o filtro ótimo (Wiener) que, porém tem sua utilidade questionada como descrito antes. No meio termo temos a estimativa de mínimos quadrados condicionado, que requer somente a forma da PSF.

Resposta do Sistema Visual Humano

Sabe-se que o sistema visual humano percebe o logarítmo de intensidade da luz incidente que entra no olho. A percepção humana registra níveis de iluminação que enquadram desde uma noite sem lua, ao sol de meio dia em um campo de neve, com uma gama de intensidade de oito ordens de grandeza.

O sistema visual humano também age como um filtro espacial de freqüência. Existe um limite para a freqüência espacial que pode ser percebida a certa distância, pois ninguém vê com infinita resolução. Os olhos comportam-se como um filtro passa-baixa, sem nenhuma resolução para além de certo limite de alta freqüência. O sistema

pesa as freqüências médias com mais ênfase do que as baixa ou altas. A fig. 7 ilustra a resposta da visão em função da freqüência.

A resposta é assumida radialmente (circularmente) simétrica, sendo assim o

gráfico uma intersecção no plano. A característica de subida das baixas-freqüências corresponde à um diferenciador com ênfase em gamas medianos. Para descrever o gráfico temos:

Vemos que a freqüência de corte corresponde à 100 ciclos por unidade, porém

sabe-se que a freqüência de corte se dá em função da distância, então para uma dada distância de visualização o eixo da freqüência desde ser redimensionado.

Mínimos Quadrados Condicionado e efeitos do sistema visual

Se a intensidade incidente no olho for originada de uma imagem correlacionada, a função de covariância da imagem não é uma função de Dirac; a imagem percebida não deve ter a mesma correlação. O filtro linear visual (do olho) deve induzir uma nova correlação na imagem, e o espectro de força percebido deve ser multiplicado pela fig. 7.

Queremos limitar o residual da equação 40 à uma quantidade significativa; uma vez que esta define os mínimos quadrados condicionado, método que não é exato. Se

, então o resíduo é limitado à representar o ruído, sendo a variância de ruído. Assumindo uma escolha de C (em 40) de modo que:

Sendo ‘Rf’ a matriz de covariância do objeto original, então a transformação

‘Cf’ leva a uma representação não-correlacionada (whitened) de ‘f’, e o problema se torna em uma minimização do tamanho do vetor objeto não-correlacionado relativo ao vetor ‘f’, para dar o lado condicionado. A ausência de matriz peso no condicionamento de (40) é equivalente à assumir ruído não-correlacionado (ruído branco). A escolha da matriz C (45) é necessária para pré-whitening na teoria estimada dos mínimos quadrados.

O uso da matriz de covariância de f não é desejável, pois a matriz de covariância geralmente não é obtida a priori; assim se pressupõem que a covariância de f é uma função de Dirac, e as intensidades f do objeto original são amostras de um processo branco aleatório (o que é chamado como máximo pressuposto de ignorância). A correlação da imagem percebida pelo cérebro é a correlação induzida pelo sistema visual. Pelo máximo pressuposto da ignorância, a matriz de covariância Rf é o

correspondente ao poder de descrição do espectro dada pela equação 44. O filtro de restauração no domínio discreto da freqüência é:

sendo a transformada de Fourier da PSF (piont-spread function), e uma formulação bidimensional da resposta visual simétrica radial em 44.

Resultados experimentais. Fig 8 é a exibição de uma imagem amostrada em 200um para estudo dos efeitos do modelo-olho discutido antes na restauração de mínimos quadrados condicionado. A imagem foi degradada com um filtro espacial digital. Uma PSF (point-spread function) gaussiana foi usada para simular o borrão da imagem por uma observação de longo prazo em uma atmosfera turbulenta. A PSF era circularmente simétrica com largura total em metade do máximo de 1400um (7 amostras). Depois de a imagem ser desfocada, foi adicionado ruído no domínio da densidade, para simular ruído de granulado de filme (film-grain noise). Sabendo que restaurações com muito ruído são mais difíceis, mesmo para pequenos/moderados graus de borrão.

A amplitude estatística do ruído era gaussiana e o ruído correlacionado por uma

leve filtragem passa-alta com característica do domínio discreto da freqüência:

, sendo circularmente simétrico, e em unidades de ciclos por milímetro. Na fig 9 vemos o resultado da desfocagem e do ruído.

Foi tentada restauração com filtro inverso, porém a natureza mal-condicionada não resultou em imagem discernível; a aparência resultante foi o campo de ruído aleatório (randômico). Então a restauração pelo filtro de Wiener foi computada. O espectro de potência original foi computado e assumido um modelo seccionalmente polinomial exponencial para medir o espectro. O espectro do ruído também foi computado, pela equação 47, e então a restauração de Wiener feita. Foi pressuposto pequeno-sinal (aproximação linear para logaritmo) e o processo feito no domínio da densidade. O resultado é visto na fig. 10. O ruído pôde ser fortemente reduzido, mas não temos ganho de resolução observável.

A próxima restauração foi a dos mínimos quadrados condicionado, com o pressuposto da máxima ignorância, sobre sinal e ruído; a imagem original e ruído foram assumidos como processos aleatórios incorrelacionados (branco). A única estatística de covariância sob a máxima ignorância seria a induzida pelo sistema visual e o resultado do filtro para os mínimos quadrados condicionado pode ser induzido pela equação 46,

com variado para satisfazer a condição de lado (em 40) para . A restauração não pode ser feita até termos a freqüência de corte da fig. 7. No experimento a freqüência de corte do modelo sistema visual foi adotado igual à freqüência de Nyquist da imagem amostrada na fig. 8, com 2,5 ciclos por mm para um raio de 200um. O modelo de sistema visual será válido apenas para certa distância, pois a resolução é em função da distância do olho ao objeto, com a escolha da freqüência de corte na freqüência de Nyquist. Temos na fig. 11 a imagem restaurada.

Quando a figura 11 é vista da distância adequada, e com o corte do sistema visual localizado, fica evidente a superioridade da fig. 11 em relação à 10, e também em relação à 9; existe mais nitidez na fig. 11 se comparada à 9 e um número de detalhes finos mais visível em relação à 8.

VI. Máxima estimativa a posteriori

À princípio pode parecer que o filtro de Wiener seja a melhor técnica de restauração quando se tem o máximo de informação a priori, mas isso não é verdade, uma vez que o filtro de Wiener é desenvolvido de um modelo linear, como na equação 37, que é obtido de simplificações/aproximações que não consideram a resposta não-linear do filme ou sensores fotoelétricos.

A. pressuposto de modelo básico. Adotando o modelo da equação 32 como base:

, desenvolvendo a densidade de probabilidade para o vetor f condicionado na imagem gravada ‘gd’ e então maximizando a densidade condicional para chegar à estimativa. O vetor 'n' é uma amostra do ruído aditivo; geralmente trata-se o ruído como processo aleatório gaussiano em ruído de grão de filme (film-grain noise) ou sistemas fotoeletrônicos. O vetor ‘n’ pode ser descrito por uma densidade de probabilidade multivariante normal

onde e são a média e covariância do ruído amostrado respectivamente.

Assumindo média zero de ruído; e pressupondo ruído estacionário, então a matriz tem o formato de Toeplitz.

O vetor ‘f’ (intensidade do objeto), também é assumido como amostra de um processo aleatório bidimensional subjacente. Foi escolhida uma média positiva como

modelo para intensidades um processo flutuante gaussiano. Processo gaussiano gera valores negativos, independente de quão grande a média positiva. No entanto, se temos pouca variação em torno da média, uma boa parte dos valores são positivos, e o modelo torna-se razoável. Sabe-se por histogramas, que as intensidades podem às vezes ser modeladas por estatísticas gaussianas, e outras não; é um pressuposto assumido para tratamento matemático. As intensidades ‘f’ amostradas são descritas por densidade normal multivariada.

, sendo e a média e matrizes de covariância. Em 48 e 49 assumem-se amostras pontuais N; para descrição bidimensional, o número de amostras N pode ser o produto de dimensões de imagem amostradas.

Derivação de equações estimadas

Dada a imagem gravada (amostrada como ‘gd’), a densidade de ‘f’ condicionada em ‘gd’ é determinada pela lei de Bayes:

A estimada máxima a posteriori (MAP) é derivada da diferenciação em ‘f’ e

eqüalizando o resultado a zero. Pode-se primeiro pegar o logaritmo dos dois lados e maximizar resultando em

O termo involvendo ‘p(f)’ vem da equação 49. O condicional de ‘gd’ em ‘f’ é descrito em termos de densidade de ruído (de 48) como:

Substituindo 49 e 52 em 51 chegamos:

Sendo a equação com a estimada MAP satisfeita, a matriz ‘Sb’ é uma matriz

diagonal de derivadas dadas por:

, e:

1- Se sabemos pouco a priori, a média de ‘f’ pode ser assumida como constante ou zero; mas se soubermos mais sobre a imagem restaurada, podemos usar como média a priori.

2- Se a função ‘s’ é uma transformada linear, então a matriz ‘Sb’ vira uma matriz identidade, e 53 pode ser manipulada em uma forma que descreve o domínio do espaço com um filtro discreto de Wiener. O uso de aproximações circulantes para ‘Rf’, ‘HT’ e ‘Rn’ permite estimar a estimada MAP no domínio discreto da freqüência como em (38). Sabe-se da equivalência entre MAP e estimada MMSE para sistemas lineares e densidades simétricas.

3- Vendo a fig. 12, a estrutura é equivalente a um sistema de feedback não-linear derivado em Van Trees para sistemas contínuos variáveis no tempo unidimensionais. Uma equação como a 53 pode ser derivada diretamente da sua correspondente em Van Trees por aproximações discretas variáveis para as equações integrais equivalentes. A abordagem de Van Trees usa a expansão de Karhunen-Loeve para sinais de unidimensionais. É mais simples a abordagem dada com dados discretos, e uso de vetores imagem ordenados lexicograficamente e matrizes bloco fazem o estimador direto bidimensional sem precisar recorrer a alterações na derivação de Van Trees.

Soluções de Equações MAP

A equação 53 é uma matriz não-linear, com o vetor desconhecido em ambos os lados da equação. A solução para a estimativa MAP não é conhecida em geral, como as equações integrais não-lineares de Van Trees que não tem solução em geral. Os esforços atuais focam em métodos para solução (53) que sejam compatíveis com os requerimentos computacionais. Dois métodos estão sob investigação.

1- Iteração por Transformada rápida, onde a equação 53 pode ser escrita na forma funcional:

,

onde é uma função vetor não-linear de . Um esquema iterativo para 55 é baseado

em sucessivas substituições de um

: Que converge:

As operações restantes são produtos lineares de matriz que podem ser resolvidos

com transformadas discretas em freqüência. A FFT (fast Fourier Transform) pode ser

usada para chegar à solução iterativa. Dado um , quantidade é computada por

FFT, transformada para e subtraída da imagem digital gravada .

Transformadas rápidas são usadas para computar o produto com . O produto com

é escalar seguido por Transformada rápida para computação do produto .

Então é adicionado para gerar , assim prosseguindo a iteração. 2- Métodos Gradiente: a maximização da função posterior densidade é

equivalente à minimização das formas quadráticas associadas com pressupostos gaussianos. A equação 53 é o gradiente das formas quadráticas avaliadas ao máximo. Pelos pressupostos de Toeplitz para a PSF e matrizes covariantes, o gradiente pode ser calculado por técnicas FFT. Com iterações padrões, um algoritmo pode ser empregado para resolver as equações MAP.

Para fins especiais de hardware, a estrutura da Fig 12 deve ser realizável em hardware, porém devido à natureza dos filtros, estruturas como esta não podem ser aplicadas diretamente em estimativas MAP, para funções no domínio do tempo, sendo necessários resposta antecipada e filtros não-causais. No entanto, causalidade não é uma restrição no processamento de imagens, e filtros podem ser implementados opticamente desde que causalidade não seja um problema. Da mesma forma, também podemos ter feedback em sistemas ópticos. Por último, existem moduladores de luz programáveis digitalmente que podem ser usados para criar operações não-lineares associadas com a função ‘s’ e suas derivadas. Assim, existe a possibilidade que um processador híbrido digital/óptico possa ser construído para servir como um dispositivo de propósito especial em hardware, para restauração de imagem por estimativa MAP.

Discussão

O domínio da restauração de imagem não é tão satisfatório intelectualmente quanto a sua codificação. Com técnicas mais sofisticadas de processamento (iniciando com estimativa MAP), o autor acredita que se terá mais unidade intelectual. A estimativa MAP é a primeira a oferecer, uma equação para a imagem restaurada que mantém as características não-lineares da imagem gravada, a função 's' explícita na formulação. As relações entre estimativas MAP e MMSE já usadas são conhecidas em termos do modo e média das densidades condicionais. Para sistemas não-lineares estimativas MAP e MMSE são diferentes, mas muitas vezes têm-se certa equivalência.

Ainda há muito a fazer. A equação básica 53 deve ser implementada em programas computacionais eficientes e otimizados. Relações com outras técnicas de estimativas precisam ser exploradas. A derivação de 53 foi pressuposta em uma descrição gaussiana da imagem, e uma descrição mais apropriada, como densidade lognormal precisa ser examinada. Por último, englobando o conhecimento do modelo-olho no método MAP deve ser explorado. Futuramente, com as tarefas feitas, devemos ter uma base melhor para descrever a restauração completa de imagem digital, em termos de formulações completas e sem as simplificações anteriores. Até lá a restauração digital de imagem deve ser um dos mais interessantes e desafiadores ramos do maior campo do processamento digital de sinais.

VIII. Conclusão

Processamento digital demanda recursos computacionais e de pessoal, e deste modo merece uma especial atenção. A imagem digital pode ser vista como uma matriz bidimensional, com seu processamento feito por computador. O processamento digital de sinais engloba as técnicas e os algoritmos utilizados para manipular os sinais após estes terem sido convertidos para a forma digital. Conceitos estudados tais como o da Transformada de Fourier, FFT, filtros, sistemas variantes/invariantes, etc., mostram-se aplicáveis em sistemas de processamento digital de imagem. IX. Referências Bibliográficas -“Digital Image Processing”, B.R. Hunt, Proceedings of the IEEE vol. 63, n.4; April, 1975;

Sites: -http://pt.wikipedia.org -http://gnoia.org/projetos/unioeste/4ano/tcc/pecenin/www/node6.html -http://scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-47442007000300020&lng=pt&nrm= iso -http://eca.usp.br/prof/iazzetta/tutor/audio/filtros/filtros.html -http://atlas.ucpel.tche.br/~vbastos/pi.htm -http://64.233.169.104/search?q=cache:O-XcDUsOZC0J:www.cbpf.br/cat/download/seminarios /internos/Clayton.ppt+processamento+digital+de+imagem&hl=pt-BR&ct=clnk&cd=2&gl=br&client=firefox-a