TE231

Capitulo 3 –

Sistemas de

Equações Lineares;

Prof. Mateus Duarte

Teixeira

Sumário 1. Introdução

2. História

3. Matrizes

4. Sistemas de Equações Lineares

5. Normas Vetoriais e Matriciais

6. Métodos Diretos

1. Instabilidades

2. Condicionamento da Matriz

7. Métodos Iterativos

1. Introdução

Resolvem vários problemas teóricos e práticos:

Inteligência artificial: resolução das equações de

Bellman;

Teoria dos grafos: fluxo factível (caixeiro viajante: simétrico ou assimétrico (trechos percorridos

diferentes));

Circuitos elétricos: análise de sistemas lineares (forma

real e complexa);

Teoria de controle: sistemas lineares e a linearização

de sistemas não lineares;

Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos;

APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES LINEARES

A aplicação de equações e sistemas lineares é fundamental na

resolução de problemas que envolvem equações com muitas incógnitas.

Problemas desse tipo se apresentam por exemplo, na distribuição de

energia elétrica, no gerenciamento das linhas de telecomunicações e na

logística para transporte de mercadorias em uma região.

Em que situações devemos resolver um

sistema de equações?

Resolver sistemas de equações é

necessário em qualquer estudo

onde se pesquise a interação de

variáveis em determinado fenômeno

ou experimento.

Exemplos:

Circuitos Elétricos:

Descobrir as correntes.

I1 I2 + I3 = 0

4I1 + I2 = 8

I2 + 4I3 = 16

Exemplos:

Balanceamento de equações químicas

wNH3 + x O2 yN2 + zH2O

w = 2y

3w = 2z

2x = z

Temperaturas em uma

placa de circuito eletrônico

Perfis de potencial elétrico no

interior do motor eletrostático

Fluxo magnético no interior

de um motor elétrico

O que é uma equação linear?

Equação com certo número de variáveis onde

cada termo não pode ter grau diferente de 1.

Exemplo:

3x + πy – 6z + w = 2

3xy + 5z = 7

Produto de duas variáveis de grau 1 tem grau 2.

1

𝑥− 3𝑦 + 𝑧 = 10

Equivale x-1, o grau não é 1

Conjunto de equações lineares.

Exemplos:

x + y – z = 7 x + y – 3z + w = 0 x – 2y + z = 8

2x – 4y + z = 0 x – y + z + 2w = 5 3x + y – z = 1

x + y = 3 2x – y – z – w = 3 x + y + z = 2

x – y – 3z = 13

3 equações 3 equações 4 equações

3 incógnitas 4 incógnitas 3 incógnitas

Um sistema linear com m equações e

n incógnitas pode ser escrito na forma:

coeficientes constantes variáveis

nnmnmm

n

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

222222121

11212111

nxnbmna

Resolver o sistema linear

Calcular os valores de , caso

existam, que satisfaçam as m equações.

)...,,2,1( njx j

Notação matricial:

onde

é a matriz dos coeficientes.

BXA

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

É o vetor das variáveis

É o vetor dos termos independentes

nx

x

x

X

2

1

nb

b

b

B

2

1

Consideremos a situação de duas equações e de duas variáveis

solução única

retas concorrentes

infinitas soluções

retas coincidentes

nenhuma solução

retas paralelas

23

32

21

21

xx

xx

624

32

21

21

xx

xx

224

32

21

21

xx

xx

1

1x

23x

2. Interpretação Geométrica

Cada equação linear de duas variáveis é a

equação de uma reta:

2x+y=3 → y = - 2x + 3 (forma da função afim)

coef. angular a = -2 coef. linear : b = 3

x – 2y = 4 →

coef. angular 𝑎 =1

2 coef. linear: b = -2;

y=x

2− 2

Gráficos:

2x+ y = 3

x – 2y = 4

S={(2,-1)}

A solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas é o ponto de intersecção de duas retas representadas por essas equações.

2x+y=3

x-2y=4

Vimos um exemplo que as retas possuem um

ponto de intersecção , associado ao conjunto

solução do sistema: UMA ÙNICA SOLUÇÃO.

Chamamos essa posição de: RETAS

CONCORRENTES

Exemplo:

6x – 3y = 1

2x – y = 3

Sistema Impossível.

Como são as retas associadas às equações?

Não possuindo intersecção, as retas são: PARALELAS.

6x-3y=1

2x-y=3

Exemplo:

2x + 2y = 8

x + y = 4

Infinitas soluções.

Duas maneiras diferentes de

apresentar a mesma equação.

Nessa situação dizemos que as retas são COINCIDENTES.

2x+2y=8

x+y=4

No caso geral de m equações e n variáveis

também temos estas três situações: solução

única, infinitas soluções e nenhuma solução.

Notação:

solução exata

solução aproximada

xx

3. Tipos de Métodos

Existem dois tipos de métodos para

resolver sistemas de equações lineares:

Métodos Diretos: Utilizam um número finito de

passos para obter a solução do sistema. Para

minimizar erros de arredondamento adota-se

o pivoteamento.

Métodos Iterativos: Podem ser mais rápidos,

fornecendo sequências que convergem para

a solução sob certas condições.

Métodos Diretos

Eliminação de Gauss: Pivotamento

Gauss Jordan (Inversa)

Decomposição LU: A = LU (L é matriz triangular inferior e U matriz

triangular superior); LUx=b; logo Ly=b (obtém y) em seguida Ux = y (obtém-se x)

Choleski: Se A = AT e A é positiva definida então A = LLT,

onde L é matriz triangular inferior.

Observações:

Um sistema é considerado de pequeno

porte se contém até 30 variáveis

Um sistema é considerado de médio porte

se contém até 50 variáveis

Um sistema é de grande porte se contém mais de 50 variáveis.

Para escolher um algoritmo eficiente para

calcular a solução de um sistema deve-se levar em consideração a estrutura da matriz

A, seu tamanho, esparsidade e simetria.

4. Eliminação de Gauss

Neste método direto operações

elementares da Álgebra Linear são

aplicadas:

Troca de linhas

Multiplicação de uma linha por uma

constante não nula;

Adição (subtração) de uma linha com um

múltiplo de outra linha, para substituir uma

das linhas envolvidas na operação.

O método consiste de dois passos básicos:

Triangularização: transforma a matriz A numa matriz triangular superior, mediante operações elementares nas linhas, pois este tipo de sistema é de fácil resolução.

Retrosubstituição: consiste no cálculo dos componentes do vetor solução, a partir da solução imediata do último componente e então substituímos regressivamente nas equações anteriores.

Teorema 1: Seja um sistema linear.

Aplicando sobre as equações deste uma

sequência de operações elementares

escolhidas entre:

trocar a ordem das equações,

multiplicar uma equação por constante,

adicionar um multiplo de uma equação a outra;

Obtemos um novo sistema

equivalente. bxA~~

bAx

Suponha . A eliminação e

efetuada por colunas.

O elemento é denominado pivô na

primeira etapa. O elemento é o pivô

da segunda etapa. O processo repete-se

até termos um sistema linear triangular.

Os elementos são os

multiplicadores da primeira etapa.

Para gerar os zeros da coluna 1 linha i,

faça na linha i. Repita o

processo para a coluna 2.

0ADet

11a

22a

1111 aam ii

11 LmLL iii

Exemplo:

Seja o seguinte sistema linear

3234

22

1423

321

321

321

xxx

xxx

xxx

3/53/223/1

3/53/23/1

1423

32

32

321

xx

xx

xxx

03/24

3/53/23/1

1423

3

32

321

x

xx

xxx

0

5

3

x

12122 LmLL

3

4,

3

13121 mm

13133 LmLL

13/1

3/132 m

Problema: Pivô nulo ou próximo de zero!!!!

Estratégia de pivoteamento parcial: No início de cada eliminação de Gauss,

trocando as linhas, escolher para o pivô o maior da coluna j.

Estratégia de pivoteamento total No início de cada eliminação de Gauss,

escolher para o pivô o maior entre todos elementos que atuam no processo de eliminação.

Problema: Muitas operações de

comparação!!

ija

ija

Pivoteamento Parcial X Pivoteamento total

parcial continuar

total continuar

150420

77530

63010

5123

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

150420

63010

77530

5123

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

150420

77530

63010

5123

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

152400

61030

73570

5213

2341

2341

2341

2341

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

5. Decomposição LU Dado um sistema de equações lineares, com A

não-singular:

Ax = b

A decomposição LU busca encontrar três matrizes nxn de maneira que

PA = LU A = P-1LU

Onde: P é uma matriz de permutação (de pivoteamento),

inicia-se com a matriz I (identidade) que é colocada ao lado da matriz A, tal matriz sofrerá mudanças nas linhas se ocorrerem trocas entre linhas.

L é uma matriz diagonal inferior (Lower)

U é uma matriz triangular superior (Upper)

Na decomposição A=LU a matriz L é

triangular inferior com diagonal unitária e

a matriz U é triangular superior.

Passos para a solução:

Resolver Ly=Pb por substituição direta.

Resolver Ux=y por retrosubstituição.

Substituição Direta

Retro substituição

Para o calculo de cada termo das

matrizes L e U:

Exemplo da decomposição LU para uma

matriz A3x3 sem pivotamento.

33

2322

131211

3231

21

ˆ00

ˆˆ0

ˆˆˆ

1

01

001

a

aa

aaa

mm

mLUAjj

ij

a

amij

Exemplo de fatoração LU. Considere

onde

Do método de Gauss sem pivoteamento:

3234

22

1423

321

321

321

xxx

xxx

xxx

234

211

423

A

234

211

423

A

3/103/10

3/23/10

423

3/103/13/4

3/23/13/1

423

Assim, as matrizes L e U são

234

211

423

A

3/103/13/4

3/23/13/1

423

113/4

013/1

001

L

413/4

3/23/13/1

423

400

3/23/10

423

U AUL

Resolvendo o sistema por fatoração LU:

Continuando

0

5

3

x

3234

22

1423

321

321

321

xxx

xxx

xxx

bxA

byL

33/4

23/1

1

321

21

1

yyy

yy

y

yxU

04

3/53/23/1

1423

3

32

321

x

xx

xxx

0

3/5

1

y

6. Fatoração de Cholesky(i)

Se Anxn é uma matriz definida positiva (xT Ax > 0) e simétrica, então tal matriz pode ser fatorada na forma A = LU = LLT cujos elementos diagonais de L são estritamente positivos.

Fatoração de Cholesky: Primeiro verificar se uma matriz simétrica é definida positiva. Em caso positivo, continuar com o método de Cholesky.

O método de Cholesky requer aproximadamente a metade das operações necessárias para a fatoração LU, da ordem de n3/6 operações.

Como calcular os elementos de L

Obtida a matriz L

resolve-se o sistema:

Passo 1: Calcular Ly=b

Passo 2: Calcular LTx=y

Obtenha a solução do sistema de

equações lineares através de Cholesky.

𝑥 + 𝑦 = 2

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1

−𝑦 + 3𝑧 = 5

Fatoração de Cholesky: Primeiro verificar

se uma matriz simétrica é definida positiva.

Em caso positivo, continuar com o método

de Cholesky.

O método de Cholesky requer

aproximadamente a metade das

operações necessárias para a fatoração

LU, da ordem de n3/6 operações.

7. Métodos Iterativos

É bastante comum encontrar sistemas lineares

que envolvem uma grande porcentagem de

coeficientes nulos.

Esses sistemas são chamados de sistemas

esparsos.

Para esses tipos de sistemas, o método de

Eliminação de Gauss não é o mais apropriado,

pois ele não preserva essa esparsidade, que

pode ser útil por facilitar a resolução do sistema.

Métodos Iterativos são indicados para resolver sistemas esparsos e de grande porte;

Partem de uma solução inicial e sistematicamente geram uma sequência de iterandos;

Métodos diretos: eliminação por Gauss, fatoração LU, fatoração de Cholesky, ... Fornecem solução de qualquer sistema. Para minimizar problemas de arredondamento, adota-se o pivoteamento.

Métodos iterativos: podem ser mais rápidos e necessitar de menos memória do computador. Fornecem seqüências que convergem para a solução sob certas condições.

Seja Ax=b um sistema linear de ordem n.

A ideia é generalizar o método do ponto

fixo, escrevendo o sistema linear na forma

x=Cx+g

onde C é uma matriz de ordem n e g é

um vetor coluna nx1.

Dado um vetor aproximação inicial x(0) ,

construímos iterativamente:

gxCx )1()2(

gxCx )0()1(

Se a sequência x(0) , x(1) ,....., x(k)

convergir

Então é a solução do sistema linear

gxCxLim kk

grandek

)1()(

xbxA com

Se a sequência x(k) estiver suficientemente

próximo de x(k+1) paramos o processo, segundo

uma precisão ,

então x(k) é a solução do sistema linear.

Computacionalmente, um número máximo de

iterações também é critério de parada.

1

1

)( ki

ki

ni

k xxMAXd

7.1. Método de Gauss-Jacobi

Seja o sistema linear:

Se podemos isolar

por separação da diagonal.

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

......

.........................................................

......

......

332211

22323222121

11313212111

niaii ...1para0

gxCx

Iterativamente, o sistema reescreve-se como:

)(

11,

)(

22

)(

11

)1(

)(

2

)(

323

)(

1212

22

)1(

2

)(

1

)(

313

)(

2121

11

)1(

1

......1

.........................................................

......1

......1

k

nnn

k

n

k

nn

nn

k

n

k

nn

kkk

k

nn

kkk

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

Desta forma temos , onde

Do método de Gauss-Jacobi, dado ,

Obtemos , ....., através da relação

recursiva

gxCx

0.......//

.................................

/.......0/

/....../0

21

2222221

1111112

nnnnnn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

C

nnn ab

ab

ab

g

/

.......

/

/

222

111

)0(x)1( kx)1(x

gxCx kk )()1(

Exemplo: Seja o sistema linear

Seja com .Portanto,

61032

851

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

6.0

6.1

7.0)0(x 05.0

010/35/1

5/105/1

10/110/20

C

6.0

6.1

7.0

10/6

5/8

10/7

g

Substituindo

Segue . Calculando

94.06.0)6.1(3.0)7.0(2.06.03.02.0

86.16.1)6.0(2.0)7.0(2.06.12.02.0

96.07.0)6.0(1.0)6.1(2.07.01.02.0

)0(

2

)0(

1

)1(

3

)0(

3

)0(

1

)1(

2

)0(

3

)0(

2

)1(

1

xxx

xxx

xxx

94.0

86.1

96.0)1(x

05.034.0

05.026.0

05.026.0

)0(3

)1(3

)1(3

)0(2

)1(2

)1(2

)0(1

)1(1

)1(1

xxd

xxd

xxd

Continuando com

Segue é a solução, pois

966.0

98.1

978.0)2(x

12.012

1

)2(ii

ni

xxMAXd

998.0

999.1

999.0)3(x

032.0)2()3(

1

)3(ii

ni

xxMAXd

Critérios de Convergência

Nos métodos iterativos são necessários critérios que garantam a convergência.

Um critério para a convergência do Método de Gauss-Jacobi é dado pelo Critério das linhas.

Dado o sistema Ax=b , seja

Se , então o método de Gauss-Jacobi

gera uma série convergente para a solução do

sistema independentemente da escolha de .

||/)||(1

kk

n

kjj

kjk aa

1max1

knk

)0(x

Exemplo: Considere o sistema já estudado:

Critério das linhas:

Logo, convergência OK!

1032

151

1210

A

61032

851

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

13.010

121

15.010

323

14.0

5

112

15.0max1

knk

Obs1: O sistema converge pelo método de

Gauss-Jacobi. No entanto, . Isto mostra que o

Teorema das linhas é apenas suficiente para convergência.

Obs2: O sistema

Contudo, o sistema

equivalente converge

pelo critério das linhas!

33

3

21

21

xx

xx

1max1

knk

6860

3225

231

321

321

321

xxx

xxx

xxx

4max1

knk

6860

231

3225

321

321

321

xxx

xxx

xxx18.0max

1

k

nk

7.2. Método de Gauss-Seidel

Seja o sistema linear:

Se podemos isolar

por separação da diagonal.

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

......

.........................................................

......

......

332211

22323222121

11313212111

niaii ...1para0

gxCx

Iterativamente, o sistema reescreve-se como:

)1(

11,

)1(

22

)1(

11

)1(

)(

2

)(

323

)1(

1212

22

)1(

2

)(

1

)(

313

)(

2121

11

)1(

1

......1

.........................................................

......1

......1

k

nnn

k

n

k

nn

nn

k

n

k

nn

kkk

k

nn

kkk

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

O Método de Gauss-Seidel é uma

variação do Método de Gauss-Jacobi,

pois para calcular utilizamos os

valores

já calculados e os valores restantes

)1( k

jx

)1(

1

)1(

3

)1(

2

)1(

1 ,.....,,,

k

j

kkkxxxx

)1()1(

2

)1(

1 ,.....,,

k

n

k

j

k

j xxx

Exemplo:

Seja o sistema linear

Seja com . Portanto,

0

0

0)0(x 05.0

0633

6143

5115

321

321

321

xxx

xxx

xxx

)1(

2

)1(

1

)1(

3

)(

3

)1(

1

)1(

2

)(

3

)(

2

)1(

1

5.05.00

25.075.05.1

2.02.01

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

Logo, a primeira iteração fornece

88.075.05.015.05.05.00

75.0025.0175.05.125.075.05.1

10012.02.01

)1(

2

)1(

1

)1(

3

)0(

3

)1(

1

)1(

2

)0(

3

)0(

2

)1(

1

xxx

xxx

xxx

88.0

75.0

1)1(x

88.0088.0

75.0075.0

101

)0(

3

)1(

3

)0(

2

)1(

2

)0(

1

)1(

1

xx

xx

xx

A segunda iteração fornece:

99.05.05.00

95.025.075.05.1

03.12.02.01

)2(

2

)2(

1

)2(

3

)1(

3

)2(

1

)2(

2

)1(

3

)1(

2

)2(

1

xxx

xxx

xxx

99.0

95.0

03.1)2(x

11.0

2.0

03.0

)1(

3

)2(

3

)1(

2

)2(

2

)1(

1

)2(

1

xx

xx

xx

A terceira iteração fornece:

00.15.05.00

99.025.075.05.1

01.12.02.01

)3(

2

)3(

1

)3(

3

)2(

3

)3(

1

)3(

2

)2(

3

)2(

2

)3(

1

xxx

xxx

xxx

00.1

99.0

01.1)3(x

01.0

04.0

02.0

)2(

3

)3(

3

)2(

2

)3(

2

)2(

1

)3(

1

xx

xx

xx

Logo, após a terceira iteração

é solução do sistema considerado com erro menor

do que .

00.1

99.0

01.1)3(xx

05.0

8. Critérios de Convergência

Nos métodos iterativos são necessários critérios

que garantam a convergência.

Convergência para o Método de Gauss-Seidel:

1) Critério das linhas (já visto)

2) Critério de Sassenfeld

Os critérios acima estabelecem condições

suficientes para a convergência.

Método de Gauss-Seidel

Convergência - Critério de Sassenfeld

Sejam

e

n

j

jn

a

a

a

aaa

2 11

1

11

113121

||

||

||

||||||

niaaa

a

aaaaa

ii

n

ij

ijj

i

j

ij

ii

iniiiiiiii

,3,2||/|]|||[

||

||||||||||

1

1

1

1112211

Critério de Sassenfeld

Seja

Se β < 1, o método de Gauss-Seidel gera uma

sequência convergente para qualquer .

Quanto menor β, mais rápida a convergência.

}{max1

ini

)0(x

Seja o sistema:

5.22.03.01.0

0.12.02.01.0

6.21.02.02.0

2.01.01.05.0

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

274.01/]358.02.044.02.07.01.0[

||/]|||||[|||/|]|||[

358.01/]2.044.02.07.01.0[

||/|]||||[|||/|]|||[

44.01/]1.02.07.02.0[

||/|]||||[|||/|]|||[

7.01/]1.01.05.0[||/|]||||[|||/]||[

4434324214144

4

14

4

14

1

44

333423213133

4

13

3

13

1

33

22242312122

4

12

2

12

1

22

1114131211

4

2

11

aaaaaaa

aaaaaaa

aaaaaaa

aaaaaa

j

jj

j

j

j

jj

j

j

j

jj

j

j

j

j

Então,

de modo que o método de Gauss-Seidel converge.

17.0}{max1

ini

Seja o sistema:

Neste caso,

Trocando a 1ª equação pela terceira,

Nesta disposição:

33

1

932

31

32

321

xx

xx

xxx

122/]31[1

932

1

33

321

32

31

xxx

xx

xx

131/]30[1

Agora se trocarmos a 1ª coluna pela terceira,

Nesta disposição:

923

1

3 3

123

23

13

xxx

xx

xx

3/22//)3/1(1)3/1(3[

3/11/]0)3/1(1[

3/13/]11[

3

2

1

13/2}{max1

ini

Garantia de

convergência

33

1

932

31

32

321

xx

xx

xxx

Seja o sistema:

O método de Gauss-Seidel gera uma sequência

convergente, apesar do critério das linhas não ser

satisfeito.

Pelo critério de Sassenfeld

33

3

21

21

xx

xx

3/13/11

11/1

2

1

O critério de Sassenfeld

não é satisfeito.

O critério de Sassenfeld também é

suficiente, mas não necessário.

9. Metodos Iterativos - Comparação

Seja o sistema:

Método de Gauss-Jacobi:

Temos a sequência:

33

3

21

21

xx

xx

)(1

)1(2

)(2

)1(1

33

1

3

kk

kk

xx

xx

3/4

3/4,

3/5

1,

2

2,

1

3,

0

0 )4()3()2()1()0( xxxxx

Seja o sistema:

Método de Gauss-Seidel:

Temos a sequência:

33

3

21

21

xx

xx

)1(1

)1(2

)(2

)1(1

33

1

3

kk

kk

xx

xx

9/14

3/5,

3/4

1,

2

3,

0

0 )3()2()1()0( xxxx

Comentário1: As duas sequências convergem para a solução exata do sistema . Vejamos,

a) Gauss-Jacobi :

b) Gauss-Seidel:

Comentário 2: A convergência do Método de Gauss-Seidel é mais rápida, por construção do método.

Comentário 3: Embora a ordem das equações num sistema linear não mude a solução exata, as sequências geradas pelos Métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel dependem fundamentalmente da disposição das equações.

5.15.1x

33.133.1)4(GJx

56.167.1)3(GSx

10. Metodos Diretos e Iterativos -

Comparação

1) Convergência:

Os Métodos Diretos são processos finitos portanto

fornecem solução para qualquer sistema linear

não-singular.

Os Métodos Iterativos têm convergência

assegurada sob certas condições.

2) Esparsidade da Matriz:

Em problemas reais, como a discretização de EDO’s

pelo Método de Elementos Finitos ou Diferenças Finitas,

as matrizes dos coeficientes tornam-se esparsas. A

forma de armazenamento destes dados tira proveito da

esparsidade.

Métodos diretos em sistemas esparsos provocam o

preenchimento da matriz e no processo de

Eliminação (escalonamento) geram elementos não-

nulos, onde originalmente tínhamos elementos nulos.

Técnicas especiais de pivoteamento reduzem este

preenchimento. Fatoramento LU dão bons resultados.

Algumas situações estes métodos não são possíveis.

Métodos iterativos não alteram a estrutura da matriz

dos coeficientes. Vantagem.

3) Erros de Arredondamento

Métodos Diretos têm problemas de

arredondamento. Técnicas de Pivoteamento

amenizam tais erros.

Métodos iterativos têm menos erros de

arredondamento, quando a convergência

estiver assegurada.