Tecnicas Dem

Matemática Computacional

Matemática Computacional- Noções Básicas -- Noções Básicas -

Ana Paula Neves Ferreira da SilvaAna Paula Neves Ferreira da Silva

Lógica de 1ª OrdemDepartamento de Engenharia das Tecnologias da Informação


[email protected] 2

Técnicas de Demonstração

Demonstração por exemplo;

Demonstração por verificação exaustiva;

Demonstração utilizando variáveis;

Demonstração directa;

Demonstração indirecta:

– Demonstração do oposto;

– Demonstração por contradição.

Demonstração SE e Só SE.



[email protected] 3

Técnicas de Demonstrarão

Demonstração por exemplo:– “Existe um número par entre 1 e 3”.

– 2 é par e 1<2<3, desta forma conseguimos provar, com um exemplo, que a afirmação é verdadeira.

– “Existe um múltiplo de 3 entre 1 e 3”.

– O único inteiro entre 1 e 3 é 2. 2 não é múltiplo de 3.

– Outra possibilidade:

• 6 é o 1º múltiplo de 3 e não está entre 1 e 3.



[email protected] 4


Demonstração por verificação exaustiva– “ A soma de quaisquer dois números do conjunto {1,

3, 5, 7} é sempre um número par”.

• 1+1=2;

• 1+3=4;

• 1+5=6;

• 1+7=8;

• 3+5=8;

• 3+7=10;

• 5+7=12.

Os resultados das somas são:

2, 4, 6, 8, 10 e 12, ou seja apenas números pares. Provamos assim a veracidade da afirmação.



[email protected] 5


Demonstração utilizando variáveis– “A soma de quaisquer dois números inteiros pares

resulta num número par”.

– Sejam m e n dois números inteiros, ou seja m e n є Z.– 2m e 2n representam dois inteiros pares.– 2m+2n=2(m+n)

– 2m+2n=2p, 2p é um número par, dado que o resultado do produto de qualquer inteiro por 2 é um número par.

A soma de dois números inteirosé um número inteiro.

Seja m+n=p



[email protected] 6


Demonstração usando variáveis– Sugestão:

• Demonstrar que a soma de dois números inteiros ímpares é um número par.



[email protected] 7


Técnicas de prova directa– “Se A então B”

• Cadeia de afirmações que conduzem a afirmação A à declaração B.

A C D B



[email protected] 8


Técnicas de prova indirecta– Demonstração do oposto

• “Se x2 é par, então x é par”.• Vamos provar o oposto:

• (para demonstrar o oposto vamos usar a demonstração por variáveis)

n є Z: x=2n+1x2=(2n+1)2 x2=4n2+4n+1 x2=2 (2 (n2+n)) + 1 x2 é ímpar

• Provámos que se x é ímpar então x2 é ímpar, donde se prova que se x2 é par então x é par.

“ Se x é ímpar, então x2 é ímpar”.

Elevando ambos os membros ao quadrado



[email protected] 9


Técnicas de prova indirecta– Demonstração por contradição

• “Existe uma infinidade de números primos”

• Por contradição, vamos provar que a afirmação é verdadeira,

demonstrando que se assumirmos a existência de um número

finito de números primos essa assumpção conduz-nos a uma

contradição.

• Esse facto permite-nos concluir que a negação da nossa

hipótese é verdadeira, ou seja que existe uma infinidade de

números primos.Todo o número inteiro maior que um, pode ser escrito como o produto de dois números primos.FACTO



[email protected] 10


Técnicas de prova indirecta

– Demonstração por contradição (continuação)

• Hipótese: “Existe um número finito de números primos”.

• Se existe um número finito de números primos então existe um primo que é maior que todos os outros. Ou seja, temos 1, 2, 3, 5, 7, ....,p.

• Consideremos m um número inteiro que é o resultado do produto de todos os números primos, ou seja

– m=1 x 2 x 3 x 5 x 7 x .... x p





Técnicas de prova indirecta– Demonstração por contradição (continuação)

• m+1 é um inteiro, como m+1>1, pela propriedade referida dos números primos, m+1 escreve-se como produto de dois números primos.

• Logo tem que existir um número primo maior que p, o que contraria a nossa assumpção de p ser o maior número primo. Como chegámos a uma contradição podemos concluir que a negação da nossa hipótese é verdadeira. Ou seja, que existe uma infinidade de números primos.

p é o maior número primo!

Existe um número primo maior que p!

Contradição





Provas do tipo Se e Só Se

– As declarações do tipo “A se e só se B”, são abreviaturas

de duas declarações diferentes:

• “Se A Então B”.

• “Se B Então A”.

– Vulgarmente, também se utiliza a expressão “A é

condição suficiente e necessária de B”, ou “B é

condição suficiente e necessária de A”.

– São necessárias duas provas distintas para as declarações

deste tipo: uma para cada condicional envolvida.





Provas do tipo Se e Só Se– Exemplo:

• “x é par se e só se x2 é par”.• Temos que demonstrar as duas condicionais envolvidas:

Se x é par então x2 é par.

Se x2 é par então x é par.

Tecnicas Dem

Documents

Transcript of Tecnicas Dem