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XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 01

COMITÊ BRASILEIRO DE BARRAGENS XXVIII SEMINÁRIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENS RIO DE JANEIRO – RJ, 25 A 28 DE OUTUBRO DE 2011

CÁLCULO 3D DE TENSÕES IN SITU EM MACIÇOS ROCHOSOS

Elysio Roberto Figueiredo RUGGERI

Engenheiro Civil – Furnas Centrais Elétricas SA

Flávio Mamede Pereira GOMES

Engenheiro Civil, M. Sc. – Furnas Centrais Elétricas SA RESUMO ABSTRACT


1. INTRODUÇÃO.

1.1 SOBRE O MACIÇO.

Um maciço rochoso, no contexto deste artigo, é uma massa de rocha de grandes dimensões dotada de tensões iniciais em estado natural, sem forma exterior especial, cujo comportamento mecânico tridimensional pode ser descrito pela teoria da elasticidade clássica para corpos homogêneos, isotrópicos, lineares (dos pontos de vista físico e geométrico) e elásticos.

No maciço em pauta será executado um furo cuja seção, de plano , é uma circunferência de raio a e cujo centro O pertencerá a uma curva, o eixo do furo, suposta dada em relação a algum sistema de coordenadas fixado. 1.2 SISTEMAS DE COORDENADAS.

1.2.1 Sistema O-XYZ.

O plano horizontal h conduzido por O e o plano formam o ângulo diedro ' e a interseção deles define a direção do eixo OX, com vetor unitário I e sentido arbitrário. O eixo OZ será a normal descendente do plano horizontal e seu vetor de base é o unitário K . O eixo (horizontal) OY, com unitário J , deve ser escolhido de forma que o sistema O-XYZ seja direto (Figura 1).

1.2.2 Sistemas ligados ao furo: cilíndrico O-r e cartesiano: O-xyz

Liga-se ao furo um sistema cilíndrico de referência com eixo O tangente ao eixo da curva em O e vetor unitário . Esse vetor é, pois, normal ao plano da seção reta do

furo, está contido no plano vertical OZY e sua inclinação sobre OY é igual ao

complemento de ' (Figura 1). Por ser O tangente ao eixo da curva em O, a

variável só pode assumir valores próximos de zero.

No plano (Figura 2) os ângulos polares , de vértice O, terão por lado inicial a reta suporte do unitário I e serão considerados positivos quando medidos no sentido

anti-horário para quem observa do semi-espaço que contém (vista no sentido

contrário ao de ). O sistema polar em terá r e por vetores unitários ortogonais

de base, o primeiro tendo a direção de um raio inclinado de sobre I e apontando para o interior do maciço, o sentido do segundo sendo tal que o triedro }ˆ,ˆ,ˆ{ r seja

positivo. Em define-se ainda um sistema cartesiano de eixos OxOX (com unitário

Ii ˆˆ ), OzO (com ˆk ) e Oy, de unitário j , tal que O-xyz seja direto (Figura 2). No

plano vertical OYZOy os eixos OY, Oy, OZ e Oz se posicionam conforme indicado na Figura 3.

Figura 1 - Sistema de eixos O-XYZ

Figura 2 Sistema cilíndrico ligado ao furo

Figura 3 – Eixos no plano OYZ


1.2.3 Sistema principal de O Esse é um sistema triortogonal, O-x’y’z’, com vetores unitários l , m e n definidos pelas direções principais do tensor de tensões de O existente antes da execução do furo, ou seja, o tensor in situ do ponto O. Essas direções e as tensões principais correspondentes, pl, pm e pn são as incógnitas do problema que será posto na seção 2 e equacionado e resolvido na seção 3. 1.3 NOTAÇÕES.

No ponto genérico P de , o tensor de tensões é representado na forma de uma

matriz simétrica. Em coordenadas cilíndricas (r,,) e cartesianas O-xyz e O-x'y'z', essas matrizes são:

r

r

rrr

r ,

zyzxz

yzyxy

xzxyx

xyz

σσσ

σσσ

σσσ

][σ , e

n

m

l

lmn

p00

0p0

00p

][σ , (1.1).

Não obedecendo às notações clássicas, o vetor deslocamento u de P, conseqüente à execução do furo, terá u, v e w por componentes no sistema cilíndrico, ou melhor, nas direções de r , e , respectivamente.

O tensor das deformações é denotado por e suas componentes são denotadas tal

como as correspondes ao tensor de tensões (r, , , ..., ou x, y, z, yz...).

2. POSIÇÃO DO PROBLEMA 2.1 ESTABELECIMENTO DE UM PRINCÍPIO PRÁTICO O elemento de volume representativo (EVR) de um maciço é o menor volume de maciço que pode representá-lo em termos de valores médios de propriedades (especialmente as mecânicas). Em torno de cada ponto de um maciço intato pode ser considerado um EVR, nas proximidades da superfície imaginária do qual atuam as tensões in situ. Assim, tais tensões, relativas a um ponto O, ocorrendo segundo as direções principais do tensor de O, são praticamente as mesmas que as relativas a qualquer outro ponto P do EVR de O. A dimensão característica do EVR de um maciço pode ser maior ou menor do que o diâmetro 2a da seção circular de um furo executado no maciço, cujo eixo contenha o centro O. Em qualquer um dos casos os tensores de tensão in situ dos EVR's atingidos, relativos a pontos O', O" etc., inicialmente todos idênticos em cada EVR (mas diferentes de um EVR para outro), assumem agora um valor em cada ponto dos mesmos desde que esses pontos O', O" ... estejam situados até uma "distância crítica" de O. Em estudos com chapas metálicas (em que os EVR's são muito pequenos) a experiência mostra que, nos pontos situados a distâncias maiores que 5a de O, essa mudança nos valores dos tensores pós-furo é desprezível em relação aos valores


dos mesmos tensores relativos à chapa original intata. Esse valor 5a apenas sugere um valor de referência para a distância crítica mencionada para os maciços rochosos porque não é possível estabelecer para estes um valor mais rigoroso. A sugestão pode ser aceitável com alguma reserva, especialmente quando se vão executar furos muito próximos nos maciços rochosos. Desta forma, pode ser aceita a idéia aproximada de que, nos maciços rochosos em estado natural (não sujeitos à ação de esforços exteriores), os tensores de tensão em pontos do plano da seção reta de um furo praticado no mesmo se modificam aproximadamente até as fronteiras dos EVR's dos pontos mais distantes de O (como O', O" ...) nos quais o equilíbrio original possa ter sido modificado (onde as tensões in situ eram diferentes daquelas de O). A partir das fronteiras dos EVR's de O', O" ..., no sentido radial de O, os tensores originais nos EVR's desses pontos atingidos estarão praticamente mantidos. Logo, podemos aceitar o seguinte princípio:

em pontos suficientemente afastados de um ponto qualquer de um maciço os tensores de tensão in situ (originais) são invariantes com qualquer furo cujo eixo contenha o ponto.

2.2 PRESSUPOSTOS PARA A SOLUÇÃO As equações da elasticidade linear para corpos isotrópicos, supostas aplicáveis ao problema aqui abordado, constituem um sistema compatível de 15 equações diferenciais parciais de primeira ordem e de segunda, com 15 funções incógnitas (6 tensões, 6 deformações e 3 deslocamentos), que devem satisfazer condições no contorno e condições de compatibilidade das deformações. Esse sistema, para o presente problema, foi resolvido por HIRAMATSU e OKA [1] com base em alguns pressupostos; algumas das notações expostas em [1] foram aqui conservadas, mas pormenores relativos a interpretações e modo de abordagem são dos autores.

Quando se dá um acréscimo à variável em P, mantendo-se r e fixos, obtém-se uma seção do furo, paralela à anterior, que contém o ponto P’ correspondente de P (o segmento PP’ é paralelo ao eixo). Nestas condições, tensões, deformações e deslocamentos sofrem acréscimos de P para P’ conforme os pressupostos seguintes (que não são condições de contorno, pois são verificados no ponto genérico interior ao maciço). Primeiro pressuposto: - em P, são nulas as razões dos acréscimos das componentes u e v do

deslocamento para o acréscimo de , isto é:

0vu

(2.1.a),

o que significa que u e v só podem depender de r e . Segundo pressuposto:

- em P, é nula a razão do acréscimo do tensor de tensões para o acréscimo

de , ou seja,

, (2.1.b),


o que também significa que só depende de r e . Terceiro pressuposto: - em P, é constante a razão do acréscimo de deslocamento w para o acréscimo

de , ou seja,

Kw

, (2.1.c),

o que significa que w varia linearmente com além de variar com r e . Desses pressupostos se deduz que:

),r(uu , ),r(vv , K),r(ww e ),r( , (2.2).

3. EQUACIONAMENTO

Em P (ponto genérico da seção do furo), a equação de equilíbrio estático é o div ,

desde que se desprezem os efeitos de forças mássicas. A conexão entre os

tensores e é dada pela lei de Hooke: =2+(Tr)I, em que e são as

constantes de Lamé da rocha, Tr é o traço de (a dilatação cúbica) e I o tensor

unidade. O tensor se expressa em função do vetor deslocamento u de P na forma

2/)( Tuu . Em resumo, as equações simultâneas determinantes do estado de

tensão/deformação do maciço são:

)(2

1

)Tr(2

div

Tuu

o

, (3.1).

Há que se juntar às equações (3.1) as equações de compatibilidade das deformações, sintetizadas na forma:

Trotrot , (3.1-a),

e as condições de contorno, sintetizadas nas formas seguintes:

- para r=a, são: (r)r=a=(r)r=a=(r)r=a=0, (3.1-b), e

- para as direções (principais) l , m e n do ponto O: x’y’=y’z’=z’x’=0, (3.1-c). 3.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DESLOCAMENTO W. Para equacionar o problema (de natureza cilíndrica) e expressar suas particularidades definidas pelas expressões (2.1-a), (2.1-b), (2.1-c), (3.1-b) e (3.1-c), é conveniente representar as leis em coordenadas cilíndricas (ver [2], Chapter 2). Assim, já considerando os pressupostos, a equação o div equivale ao sistema:


(c) ,0rr

1

r

(b) ,0r

2r

1

r

(a) ,0rr

1

r

rr

rr

rrr

, (3.2);

a equação =2+(Tr)I equivale a um sistema único de equações, mas que, por conveniência, se apresenta desdobrado nas formas:

(c) ,K2e

(b) ),r

uv

r

1(2e

(a) ,r

u2er

, (3.3) e

(c) ),u

r

1

r

v

r

v(

(b) ,r

w

(a) ,w

r

1

r

r , (3.4);

em que K é dada por (2.1-c) e

Kv

r

1

r

u

r

ue Tr

, (3.5),

de onde deduzimos, para uso futuro,

)r

uru()Ke(r

v

(3.5-a) e )

r

u

r

u()Ke(

v

r

1

, (3.5-b).

Por (3.3) e (3.4) podemos calcular as derivadas necessárias para posterior substituição de resultados em (3.2). Assim procedendo, operando e simplificando, encontram-se as equações:

(c) ,0w

r

1

r

w

r

1

r

w

(b) ,0)u

r

2v

r

1

r

v

r

v

r

1

r

v(

e

r

1)(

(a) ,0)v

r

2u

r

1

r

u

r

u

r

1

r

u(

r

e)(

2

2

22

2

22

2

222

2

22

2

222

2

, (3.6).

Note-se que a equação (c) em (3.6) pode ser integrada imediatamente. Entretanto, considerando (3.5), vê-se que a equação (a) em (3.6) apresenta derivada de v em

relação a , bem como a equação (b) apresenta derivada de u em relação . A eliminação dessas derivadas poderá gerar equações em que apenas as letras u e v estejam submetidas às derivações parciais; a integração dessas equações será realizada no item 3.4. 3.2 UM MESMO TENSOR DE TENSÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS Os três vetores de uma base ortonormada são ligados aos vetores de outra base ortonormada mediante uma matriz de rotação. Vamos considerar todas as relações matriciais entre os vetores de cada par de bases vetoriais dentre os quatro sistemas de coordenadas considerados no item 1.2. Tem-se: - por serem l , m e n os unitários das direções principais:


k

j

i

n

m

l

ˆ

ˆ

ˆ

R.

ˆ

ˆ

ˆ

, com

zyx

zyx

zyx

nnn

mmm

lll

R , (3.7),

lx, ly e lz sendo os co-senos diretores de l , mx, ...os de m e nx, ... os de n ; - da Figura 2: jir ˆ sen cosˆ , ji ˆ cos senˆ e kˆ , donde:

k

j

ir

ˆ

ˆ

ˆ

.Pˆ

ˆ

, com

cossen

sencos

P , (3.8);

- da Figura 3: Ii ˆˆ , KJj ˆ cosˆ senˆ e KJk ˆ senˆ cosˆ , donde:

K

J

I

.

k

j

i

ˆ

ˆ

ˆ

T

ˆ

ˆ

ˆ

, com

sencos

cossen0

01

T , (3.9).

Por substituição de (3.9) em (3.8) resulta:

K

J

Ir

ˆ

ˆ

ˆ

.Mˆ

ˆ

, donde

ˆ

M

ˆ

ˆ

ˆ

T

r

.

K

J

I

com .

sencos

coscossencossen

cossensensencos

TPM

. , (3.10),

Como o tensor pode ser escrito nas formas

etc.][...ˆˆˆ[

ˆ

ˆ

ˆ

.

p00

0p0

00p

.ˆˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

..ˆˆˆ

3

2

1

r

r

rrr

kji

n

m

l

nml

r

r

, (3.11),

são deduzidas, por consideração das expressões (3.7), (3.8), (3.9) e (3.10):

Tlmn

TTxyz

TXYZr P.R]..[R.PP]..[PM]..[M][ , (3.12.a),

R]..[RP]..[PT]..[T][ lmnT

rTT

XYZxyz , (3.12.b),

T.R]..[R.TT]..[TM]..[M][ lmnTT

xyzT

rT

XYZ (3.12.c).

Tem-se, então, desenvolvendo o último membro de (3.12.b), lembrando (3.7):


n2

zm2

zl2

znzymzylzynzxmzxlzx

nzymzylzyn2

ym2

yl2

ynxxmyxlyx

nzxmzxlzxnxxmyxlyxn2

xm2

xl2

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

pnpmplpnnpmmpllpnnpmmpll

pnnpmmpllpnpmplpnnpmmpll

pnnpmmpllpnnpmmpllpnpmpl

, (3.13).

Desenvolvendo o terceiro membro de (3.12.a), lembrando a matriz em (3.8), tem-se:

zyzxzyzxz

yzxzxy

2x

2y

xy

yx

yzxz

xy

yx

xy

2y

2x

r

cossen sen cos

cossen 2sen

sen cos

2cos

)( 2sen2

1

sen cos2cos

)( 2sen2

1

2sen

sen cos

][ , (3.14);

donde, pelas substituições sen2=(1-cos2)/2 e cos2

=(1+cos2)/2:

45656

5632132

5632321

r

sen cossen cos

osc sen2sen2cos2cos2sen

sen cos2cos2sen2sen 2cos

][ , (3.15),

com tensões

)(2

1yx1 , z4 ,

)(2

1yx2 , yz5 , (3.16).

xy3 , xz6 ,

Pelo princípio estabelecido na seção 2.1, para pontos afastados de O, mas próximos da fronteira do EVR, o tensor de tensões é único (pois, longe de O, tudo se passa como se o maciço estivesse intato e a distribuição das tensões fosse uniforme). Isto

significa que, para pontos distantes de O, as tensões 1, 2 etc. são constantes, ou

seja, que a matriz [xyz] é constante, bem como [lmn].

3.3 AS TENSÕES E R.

A equação (c) em (3.6), equivalente a lap w=0 (ou 2w=0), pode ser resolvida imediatamente, a sua integral podendo ser posta na forma:

sen)r

DCr(cos)

r

BAr(w , (3.17),


em que A, B, C e D são constantes não nulas de integração. Logo, as equações (a) e (b) em (3.4) podem ser escritas nas formas:

]cos)r

DC(sen)

r

BA([

22 (3.18),

e

]sen)r

DC(cos)

r

BA[(

22r , (3.19).

Impondo que (3.19) satisfaça as condições de contorno (3.1-b), obtém-se:

sen)a

C/D1(Ccos)

a

A/B1(A0

22,

para qualquer , ou seja: 2aC

D

A

B . Impondo que (3.18) satisfaça as condições de

contorno (3.1-c), vem: )cosCAsen( . Lembrando que pode ser extraída do

sistema (3.16), deve ser: sen cos)cosCAsen( 65 . Então: C5 e

A6 . Em resumo:

6A , 26 aB

,

5C , e 25 aD

, (3.20).

Substituindo-se em (3.18) e (3.19) os valores (3.20) encontrados para as constantes resultam, finalmente:

)sen cos )(r

a1( 652

2

, (3.21),

)cossen )(r

a1( 652

2

r , (3.22),

e

)ens cos)(r

a1(

1

r

w562

2

, (3.23).

3.4 OS DESLOCAMENTOS u E v, E A DILATÂNCIA e. Com as equações (3.6-(a)), (3.6-(b)) e (3.5) é possível eliminar todas as derivadas

parciais de u e v em relação a r e a para obter-se uma equação em e apenas. Derivando (3.5) em relação a r, tem-se:

r

u

r

1

r

v

r

1v

r

1

r

u

r

u

r

e 2

22

2

2

, (3.24),

entrevendo-se parcelas comuns nos segundos membros de (3.25) e (3.6-a). Por substituição dessas parcelas de (3.25) em (3.6-a) resulta:


0)u

r

1v

r

1

r

v

r

1(

r

e)2(

2

2

22

2

, (3.25).

Analogamente, derivando-se (3.5) em relação a e depois dividindo-se ambos os membros por r, tem-se:

2

2

2

2

2

v

r

1

r

u

r

1u

r

1e

r

1

, (3.26),

entrevendo-se agora parcelas comuns nos segundos membros de (3.26) e de (3.6-(b)). Por substituição, obtém-se:

0)r

u

r

1u

r

1

r

v

r

v

r

1

r

v(

e

r

1)2(

2

222

2

, (3.27).

Derivando-se parcialmente (3.25) em relação a r e cancelando termos, obtém-se:

0)r

u

r

1u

r

2v

r

2

r

v(

rr

e)2(

2

3

2

2

222

3

2

2

, (3.28).

Derivando-se parcialmente a equação (3.27) em relação a e depois dividindo ambos os membros por r, obtém-se:

0)r

u

r

1u

r

1v

r

1

r

v

r

1

r

v(

r

e

r

1)2(

2

3

2

2

22

2

2

3

2

2

2

, (3.29).

Somando-se membro a membro as equações (3.28) e (3.29), cancelando termos e simplificando, vem:

0)u

r

1v

r

1

r

v

r

1(

r)

e

r

1

r

e)(2(

2

2

22

2

2

2

22

2

, (3.30),

donde, por consideração de (3.25) e observando-se que +20:

0e

r

1

r

e

r

1

r

e2

2

22

2

(3.31),

equação que equivale a lap e=0 (ou 2e=0). Embora esta equação (3.31) seja do mesmo tipo que a equação (3.6-(c)), cuja solução geral é dada pela equação (3.19), sua integral geral pode ser escrita na forma mais conveniente:

)2Gsen2cosF(r

1Ue

2 , (3.32),

em que U, F e G são constantes de integração e da qual deduzimos, para uso futuro,

)2sen G2cosF(r

2)KU(

r

2)Ke(

r

23

, (3.32.a),


e

)2sen G2cosF(r

1r)KU(r)Ke( (3.32.b).

Agora pode ser calculada a derivada parcial de e em relação a r,

)2Gsen2cosF(r

2

r

e3

,

para substituição do resultado na equação (a) em (3.6). Obtém-se:

0)]v

r

1(

r

2u

r

1

r

u

r

u

r

1

r

u[)2Gsen2cosF(

r

2)(

2

2

222

2

3

, (3.33),

donde, lembrando a equação (3.5-b) e simplificando:

)Ke(r

2u

r

1

r

u

r

u

r

3

r

u)2Gsen2cosF(

r

22

2

222

2

3

, (3.34).

A equação (3.34), gerada de (3.33) por eliminação da derivada de e em relação a r e

da derivada de v em relação a , só contém as derivadas de u em relação a r e a . Agora, considerando a equação (3.32-a), tem-se, por substituição em (3.34) e após simplificações:

2

2

222

2

3

u

r

1

r

u

r

u

r

3

r

u

r

)KU(2)2Gsen2cosF(

r

122

, (3.35).

A solução geral da equação (3.35) pode ser escrita na forma:

2sen)

r

G

2

2

r

NMr(2cos)

r

F

2

2

r

LJr(

r

Hr)KU(

2

1u

33, (3.36),

em que H, J, L, M, N e G são novas constantes de integração.

Por procedimento análogo, calculando-se a derivada parcial de e em relação a e substituição na equação (b) em (3.6) etc., é possível encontrar-se uma equação com derivadas parciais de v e integrá-la. Entretanto, como de (3.36) se deduza facilmente:

2sen)

r

G

2

2

r

N3Mr(2cos)

r

F

2

2

r

L3Jr(

r

Hr)KU(

2

1

r

ur

33,

tem-se, logo:

2sen)

r

NMr(22cos)

r

LJr(2r)KU(

r

uru

33, (3.37).

Substituindo-se (3.37) na equação (3.5-a), bem como a parcela r(e-K) pelo seu valor exposto em (3.32-b); obtém-se:


2sen)]

r

NMr(2

r

G[2cos)]

r

LJr(2

r

F[

v33

, (3.38),

cuja solução geral é

2cos)r2

G

r

NMr(2sen)

r2

F

r

LJr(v

33, (3.39).

Deve ser observado que a função arbitrária de r, (r), que deveria ser somada ao segundo membro de (3.39), é desnecessária uma vez que, devendo ela subsistir

para qualquer valor de , deveria ser, para =0 e =/2: )r()r2

G

r

NMr(v

3 e

)r()r2

G

r

NMr(v

3 . Então, para aqueles valores de , deve ser necessariamente

v=(r); o que é absurdo, pois r2

G

r

NMr

3 não é nulo em geral.

As equações (3.32), (3.36) e (3.39) dão os valores de e, u e v como funções de r, e constantes que podem ser determinadas em função das condições de contorno (3.1.b) e (3.1.c). 3.5 AS EQUAÇÕES FINAIS DE TENSÕES E DESLOCAMENTOS.

Com as equações (3.36) e (3.39) pode ser obtida uma expressão para a tensão r conforme (3.4.(c)). Tem-se:

2sen)

r2

F

r

L3J(2cos)

r2

G

r

N3M(

r

v2424

,

2sen)r2

F

r

LJ(2cos)

r2

G

r

NM(

r

v

2424, (3.39.a),

e

2sen)

r

F2

r

L2J2(2cos)

r

G2

r

N2M2(

u

r

1

2424,

donde

2sen)

r

F

r

L6J2(2cos)

r

G

r

N6M2(

12424r , (3.40).

Lembrando que o elemento da primeira linha e segunda coluna de (3.15) deve ser

equivalente a (3.40) para r, tem-se:

2sen 2cos)2sen J2cos M(21

23r ,

donde

2M 3 e

2J 2 , (3.41).


Tem-se de (3.40), para r=a, considerando a condição de contorno (3.1-b):

02sen)a

F

a

L6J2(2cos)

a

G

a

N6M2(

2424

,

donde, por ser arbitrário e levando-se em conta as constantes dadas por (3.41):

0a

G

a

N624

3

e 0

a

F

a

L624

2

, (3.42).

As igualdades (3.41) serão utilizadas oportunamente.

*

Com as equações (3.32) e (3.36) calcula-se r dada por (3.3.(a)). De (3.32), vem:

2senr

G2cos

r

FUe

22;

e de (3.36):

2sen)

r

G

2

2

r

N3M(22cos)

r

F

2

2

r

L3J(2

r

H2)KU(

r

u2

24242.

Por substituição desses resultados em (3.3.a) resulta, após simplificações:

2sen]r

G)(2)

r

N3M(2[2cos]

r

F)(2)

r

L3J(2[

r

H2KU)(

24242r , (3.43).

Lembrando que o elemento da primeira linha e primeira coluna de (3.16) deve ser

equivalente a (3.43) para r, vem:

2sen 2cos)2Msen2cosJ(2KU)( 321r , (3.44),

donde

KU)(1 , (3.45).

Como para r é e=U e, conforme a terceira linha e terceira coluna de (3.16), é

=4, a equação (3.3.(c)) é escrita na forma K2U4 . Então, extraindo desta

igualdade o valor de U, substituindo-o na equação (3.45) e multiplicando por ambos os membros da expressão formada, tem-se: K)K2)(( 41 .

Explicitando-se o valor de K, vem:

14)23()23(

)(K

, (3.46).

Lembrando as fórmulas clássicas: )23(E)( , )23(2E e 2)21( ,

K e U podem ser explícitas em função do módulo de elasticidade E e do coeficiente


de Poisson (além de 4 e 1):

)2(E

1K 14 , )2(

E

21U 14

(3.47),

das quais se deduz, para uso futuro,

])1[(E

1)KU(

2

141 , (3.47.a).

*

Tem-se de (3.43), para r=a, considerando (3.1-b) e (3.41):

2sen ]

a

G

M 2

)(2)

Ma

N31[(2cos ]

a

F

J 2

)(2)

Ja

L31[(

a

H20

24324221 .

Por ser arbitrário, devem ser:

0a

H2

21 , 0a

F

J 2

)(2

Ja

L31

24

e 0

a

G

M 2

)(2

Ma

N31

24

.

Da primeira igualdade resulta:

1

2

2

aH

, (3.48).

Das duas outras igualdades e das igualdades (3.42) resultam os sistemas

0a

F

a

L6J2

0a

F)(2

a J

L31

24

22

4

e

0a

G

a

N6M2

0a

G)(2

a M

N31

24

23

4

que resolvidos acarretam

2

4

2

aL

, 3

4

2

aN

, 2

2a2F

e 3

2a2G

, (3.49).

Substituindo as constantes M e J, dadas por (3.41), U dada por (3.47), H dada por (3.48) e L, N, F e G dadas por (3.49) nas equações (3.40) e (3.43) que definem as

tensões r e r, respectivamente, resultam:

)2sen 2cos)(r

a3

r

a41()

r

a1( 324

4

2

2

12

2

r , (3.50),

e

)2sen 2cos)(r

a3

r

a21( 234

4

2

2

r , (3.51).


Considerando as igualdades (3.47) e (3.47.a), as expressões (3.32), (3.36) de e e u passam a ser:

)]2sen 2cos(r

a)1(42[

E

21e 322

2

14

(3.52),

)2sen2cos( ]r

a)1(4

r

a1[

E

1

E

1 ]

r

a)1()1[(

E

1

r

u422

2

4

4

412

2

, (3.53).

Considerando as expressões de J e M dadas por (3.41) e as de L, N, F e G dadas por (3.49), obtém-se, por substituição em (3.39.a) e em (3.38), após simplificações:

)2sen 2cos( ]r

a)21(2

r

a1[

E

1

r

v232

2

4

4

, (3.54),

e

)2cos 2sen( ]r

a)21(2

r

a1[

E

)1(2v

r

1232

2

4

4

, (3.54.a),

Finalmente comprova-se, não sem muito trabalho, por substituição de (3.52), (3.53) e (3.54.a) em (3.3.b) que

)2sen 2cos)(r

a31()

r

a1( 324

4

12

2

, (3.55);

e por substituição de (3.52) e (3.46) em (3.3.(c)):

)2sen 2cos(r

a4 322

2

4 , (3.56).

3.6 AS EQUAÇÕES DE DEFORMAÇÕES. As expressões das componentes de deformações podem ser rapidamente obtidas em função das componentes de tensões por aplicação da lei de Hooke:

[I] ][Tr E

][E

1][ rrr

, (3.57),

a matriz [r] sendo dada por (3.16) e as expressões das tensões por (3.21), (3.22), (3.50), (3.51), (3.55) e (3.56). Como (3.57) é válida também entre sistemas cartesianos, ou seja,

[I] ][Tr E

][E

1][ xyzxyzxyz

, (3.58),

pode obter-se também, se necessário, a expressão de [xyz] em função de [xyz]. De (3.57) tem-se:


)]2sen 2cos)(r

a1(

r

a[ )1()( E 424

4

12

2

411r , (3.59),

)2sen 2cos)(r

a4

r

a31( )1( ]

r

a)1(1[ E 322

2

4

4

412

2

, (3.60),

e

K)2(E

114 , (3.61),

este último resultado já conhecido por (3.47). Considerando (3.51), (3.21) e (3.22), obtêm-se, respectivamente:

)2sen 2cos)(r

a3

r

a21)(1( E 234

4

2

2

r , (3.62).

)sen cos)(r

a1)(1( E 652

2

, (3.63),

e

)cossen )(r

a1)(1( E 652

2

r , (3.64).

4. AS TENSÕES IN SITU

4.1 A EQUAÇÃO FINAL. As tensões definidas por (3.16) podem ser postas na forma matricial

xy

zx

yz

z

y

x

6

5

4

3

2

1

].2/1[ , com .

010000

001000

000100

100000

00005,05,0

00005,05,0

]2/1[

(4.1),

em que a coluna do segundo membro, também denotada pela forma compacta

{xyz}, é formada com as componentes do tensor de tensões in situ referido ao sistema cartesiano O-xyz ligado ao furo. Com a representação (4.1), as equações que representam a solução do problema em apreço, em conformidade com a teoria da elasticidade, são resumidas nas equações (3.50), (3.51), (3.55), (3.56), (3.62), (3.64). Estas, para efeito de cálculos computacionais, ficam mais bem expressas na forma equivalente matricial:


}).{,,(M}{ xyzr , (4.2),

em que, em forma transposta,

rrrT

r }{ , (4.3),

e, para =a/r, M(,,) é a matriz 6x6,

2cos)321(0002sen)321(5,02sen)321(5,0

0cos)1(sen)1(000

0sen)1(cos)1(000

2sen40012cos22cos2

2sen)31(000]2cos)31(

)1[(5,0

]2cos)31(5,0

)1[(5,0

2sen)341(000]2cos)341(

)1[(5,0

]2cos)341(

)1[(5,0

424242

22

22

222

44

2

4

2

4242

2

42

2

, (4.4).

A equação (4.1) estabelece a relação (direta) entre o tensor de tensões pós-furo,

[r], do ponto de coordenadas (r,) de , referido à base { ˆ,ˆ,r }, com o tensor in

situ do ponto (,) de , [xyz], referido aos vetores de base { kji ˆ,ˆ,ˆ }.

A matriz M(,,) é fundamental para o cálculo do tensor in situ. Observando-se que

)31)(1(341 2242 e )31)(1(321 2242 , (4.5),

M pode ser escrita como o produto das matrizes 6x6:

M(,,)=L(,) . Q() . [1/2], (4.5.a), sendo

000)31)(1()31)(1(0

010000

100000

001440

000)31()31(1

000)31)(1()31)(1(1

),(L

2222

2

2

22

442

22222

, (4.6),

e

sencos0000

cossen0000

001000

000)2sen2(cos5,0)2sen2(cos5,00

000)2sen2(cos5,0)2sen2(cos5,00

000001

)(Q , (4.7),

Pode comprovar-se, não sem algum trabalho, que


)31()1)(1(4),(Ldet 2422 , 2

1)(Qdet e

2

1]2/1det[ (4.8),

o que acarreta

)31()1)(1(),,(Mdet 2422 , (4.9).

Fica assim comprovado que a matriz M é sempre invertivel para qualquer ,

qualquer 1 e qualquer . Particularmente, 00364,0)92,0(Mdet .

Então, se, por algum meio, for possível determinar o tensor do ponto (r,), para o

qual 1, poder-se-á calcular o tensor in situ, pois será:

}).{,,(M}{ r1

xyz , (4.10).

Conhecida a coluna {xyz}, escrever-se-á a matriz simétrica 3x3 representante do tensor in situ (o tensor original relativo a qualquer ponto do EVR de O, ver seção 2). Os autovalores dessa matriz são as tensões principais in situ, e seus autovetores as direções em que ocorrem. É conveniente observar-se que, embora as matrizes do segundo membro de (4.10)

sejam variáveis com (1), (0) e , o produto delas é uma constante. Obviamente essa conclusão deve ser verdadeira dentro das condições admitidas para a solução do problema e expostas na seção 2.

4.2 A DETERMINAÇÃO DE {R}. Conforme o método dos macacos planos de pequena área [3], é possível a

determinação do tensor de tensões [r] em qualquer "ponto da parede" do furo

correspondente a =0,92 e qualquer , ou seja, ponto situado a aproximadamente r=1,087a de O. Por exemplo, para uma seção com 3,0m de diâmetro o ponto estaria cerca de 13 cm para dentro do maciço. Deve ser observado que a forma do furo não teve nenhuma influência direta na obtenção das equações componentes de (4.1), mas toda a solução foi encontrada em relação ao sistema cilíndrico. Para simplificar a análise, é desejável que o ponto O, fixo, seja centro de simetria da seção, caso em que a equação polar do furo deve ser da forma: )()( .

Não se consegue determinar as componentes do tensor de tensões em (r,), contendo o índice r. De fato, conforme o método dos macacos planos [3], tais cálculos são feitos a partir de uma lista de medidas de tensões normais segundo dois pares de direções ortogonais (a cada direção correspondendo um rasgo na rocha). Refere-se ao unitário relativo ao rasgo q (para q = 1, 2, 3, 4) no painel da geratriz do ponto R pela notação qn . Em relação ao referencial }ˆ,ˆ,ˆ{ r , em que kˆ ,

tal unitário, conforme Figura 4, é escrito na forma

kn ˆsenˆcosˆ qqq , (4.11),

o ângulo q de qn com devendo ser medido no sentido positivo (a partir de e no


sentido de para ). Tem-se sempre: 1+2=180=3+4 e 31.

Figura 4 – Disposição dos rasgos em um painel, dos unitários das normais

aos seus planos e os ângulos dessas normais com o unitário k . O tensor de tensões é um tensor pleno porque não é nulo o vetor tensão (que é paralelo ao unitário r ) relativo à face da galeria. Assim, o valor da tensão normal

medida, medq, sobre um elemento plano (almofada) ortogonal ao vetor unitário qn

pode ser escrito na forma

q

q

r

r

rrr

qqmedq

sen

cos

0

..sen cos0 ,

ou, operando, na forma

2sen sen cos qq2

q2

medq .

Como se vê, esta expressão não envolve as componentes do tensor com índice r. Dispõe-se, então, para cada painel, de um conjunto de quatro equações envolvendo apenas três das seis incógnitas. Para q = 1, 2, 3, 4 as quatro equações acima podem ser escritas de uma só vez na forma matricial seguinte:

})].{(N[}{ medrmed , (4.12),

em que

4med

3med

2med

1med

med }{ ,

442

42

332

32

222

22

112

12

2sensencos

2sensencos

2sensencos

2sensencos

)](N[ e

}{ medr , (4.13).

De (4.12) deduz-se facilmente:

}.{)](N)].[(A[}{ medT , (4.14),

onde

1T )])(N.[)](N([)](A[ , (4.15).


Lembrando que os pares 1 e 2, bem como 3 e 4 são suplementares e que o

ensaio só faz sentido se 31, a inversão de NT.N será sempre possível porque, nesse caso, o posto de matriz é igual a 3. 4.3 O CÁLCULO DOS TENSORES: IN SITU E LOCAL.

A coluna do tensor de tensões do ponto R é escrita na forma (4.3) em que r, kr e r são as tensões desconhecidas e sem as quais não se calcula diretamente o tensor de tensões in situ. Apenas por conveniência é interessante trabalhar-se não com a

coluna (4.3), mas com a coluna {r} definida pela expressão:

}{.

000001

100000

010000

001000

000100

000010

rincr

med

r

r

r

r

r

r

, (4.16),

destacando-se nas três primeiras linhas da coluna do segundo membro os valores

do tensor de tensões {rk} calculáveis por (4.14) e no terceiro membro indicado pela

coluna 3x1 {med}, e nas três outras as tensões incógnitas indicadas por {rinc}. Sendo, evidentemente,

100000

010000

001000

000100

000010

000001

000001

100000

010000

001000

000100

000010

.

010001

001000

000100

000010

000001

100000

, (4.16.a),

então a operação que consiste em intercalar as matrizes fatores de (4.16.a) entre as matrizes do segundo membro de (4.10) mantém a validade desta expressão. Mas agora ela deverá ser escrita na forma:

1x36x66x1

r6cc11

xyz }.{),,(M}{

, (4.17),

em que M-1(,,)1c6c é o produto da matriz M-1(,,) em (4.10) pela primeira

matriz fator no primeiro membro de (4.16.a), ou seja, é a própria M-1(,,) em que se passe a primeira coluna para a posição de sexta coluna.

A matriz M-1(,,)1c6c deve, agora, ser decomposta em duas submatrizes 6x3, da esquerda para a direita, denotadas por M1 e M2, respectivamente, escrevendo-se, pois:

]]M][M[[]M[

6x36x36x6

211

.


Definindo-se a transposta da coluna de todas as incógnitas por

1x61x3

TTxyz

Tincr

}{}{ , (4.18),

a equação (4.17) é escrita na forma equivalente:

6x9

6x19x16x66x33x16x3

inc2med1

}0{}{ . ]I[]M[}]{M[ ,

em que a matriz 6x6, [-I], é a matriz unidade 6x6 multiplicada por (-1). Transpondo a primeira parcela para o segundo membro resulta, então:

6x9

3x16x39x16x66x3

med1inc2

}{ .]M[}{ . ]I[]M[ , (4.19),

Em (4.19) todas as matrizes são conhecidas, exceto a coluna das incógnitas que foi definida em (4.18), suas três primeiras linhas contendo as componentes

desconhecidas do tensor de tensões do ponto (r,), as demais linhas contendo as componentes do tensor in situ. Havendo 6 equações e 9 incógnitas em (4.19), conclui-se que o sistema é indeterminado. Como a equação (4.19) pode ser aplicada para diferentes pontos do

maciço com os mesmos e (=a/r), é prudente escrevê-la na forma }].{M[}{ . IM )(med)(1)(inc)(2 , (4.20),

Para o par de pontos (r,1) e (r,2) devem subsistir simultaneamente:

}].{M[}{ . IM

}].{M[}{ . IM

)(med)(1)(inc)(2

)(med)(1)(inc)(2

2222

1111

,

sistema esse que pode ser escrito como uma única expressão matricial:

}{

}{ .

M0

0M

}{

}{

}{

. IM0

I0M

)med(

)med(

)(1

)(1

xyz

)inc(

)inc(

)(2

)(2

2

1

2

1

2

1

2

1 , (4.21),

representando, assim, um sistema de 12 equações com 12 incógnitas. Esse sistema, entretanto é impossível porque sua matriz (quadrada) das incógnitas é singular. De fato, o valor do determinante do sistema não muda se subtrairmos a sexta linha da primeira linha, a sétima linha da segunda etc. e a décima segunda da sexta. Assim,

0MMIM0

0MM

IM0

I0M)(2)(2

)(2

)(2)(2

)(2

)(2

21

2

21

2

1

.


Relembrando que o tensor in situ em (4.10) deve ser o mesmo qualquer que seja a medição feita, então, para uma série de N medições feitas:

}).{,,(M...}).{,,(M

}).{,,(M}).{,,(M}{

N3

21

rN1

r31

r21

r11

xyz

, (4.22).

Como a cada par de geratrizes (no ensaio com almofadas) corresponde um conjunto de seis equações independentes, dispõe-se, em resumo, de um conjunto de 6(N-1) equações independentes e 3N incógnitas (3 em cada medição) para as N medições. Com duas medições apenas seria aparentemente possível calcular-se o tensor in situ uma vez que, para que 6(N-1)=3N basta que N=2; mas a matriz do sistema formado, conforme demonstrado, é singular. Ter-se à disposição um número N>2 de medições pode ser vantajoso do ponto de vista estatístico, pois, nesse caso, existirão mais equações que incógnitas. De fato, as equações excedentes são em número de 6(N-1)-3N=3(N-2), ou seja: 3 para N=3, 6 para N=4 etc.. É evidente que se as medições são confiáveis é desejável N>2, apesar do aumento da quantidade de medições acarretar mais incerteza no valor final do tensor in situ.


Exemplos. Serão utilizados para cálculos numéricos os tensores registrados no artigo [3] relativos ao maciço da UHE de Serra da Mesa, que se transcreve a seguir, as

componentes do tensor estando apresentadas na seqüência r,, , , , r e r:

Geratriz Inclinação (em ) Tensor referido ao sistema }ˆ ˆ ˆ{ kr . Valores em 10 MPa (ou kgf/cm2).

1 2230' 1r1r1r 47,2542,2634,38

2 11230' 2r2r2r 27,2895,6011,334

3 135 3r3r3r 96,282,7893,215

4 180 4r4r4r 73,166,5158,3

5 210 5r5r5r 58,404,4633,0

6 236 6r6r6r 08,1980,6736,97

7 301 7r7r7r 65,4161,15224,476

8 33430' 8r8r8r 86,2027,7084,188

No que seguirá, valerão: =0,92 e =0,15.

- Para 1=2230' tem-se para M-1(,,1), conforme (4.3):

0.00678749 0.160387 0. 0. 0. 0.167175

0.190203 1.1902 0. 0. 0. 2.22681

0.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.359097

0. 0. 0. 1.70585 0.706587 0.

0. 0. 0. 0.0587802 0.141908 0.

0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398.

cujo determinante vale .......

- Para 2=11230' tem-se para M-1(,,2),

0.160387 0.00678749 0. 0. 0. 0.167175

2.0366 1.0366 0. 0. 0. 2.22681

0.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.359097

0. 0. 0. 0.706587 1.70585 0.

0. 0. 0. 0.141908 0.0587802 0.

0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398


resultando as equações:

8027,26

27889,5

7444,12

17047,7

5403,31

1456,85

.

053109,055129,4

01484,600

49143,200

0552755,026871,3

0395049,08662,11

074571,39688,20

r

r

1r

=

975,106

1454,14

85922,5

8788,15

834,339

884,125

.

00845,2975,106

49143,200

01484,600

0253162,049707,1

0180933,01324,13

071554,196337,8

2r

2r

2r

.

Tais equações podem ser escritas na forma compacta S . {s} = {A}, (4.11), em que S é a matriz 6x6 (cujo determinante é igual a –0,591039),

00845,2975,106053109,055129,4

49143,20001484,600

01484,60049143,200

0253162,049707,10552755,026871,3

0180933,01324,130395049,08662,11

071554,196337,8074571,39688,20

S , (4.12),

{s} é a coluna de seis linhas que, transposta, é escrita na forma

2r2r2r1r1r1r

T}s{ ,

e {A} a coluna de 6 linhas cuja transposta é: 7777,13342429,1988518,604927,232937,3087384,40 .

Encontram-se os seguintes valores (em kgf/cm2):

r1=-536.995,0 r1=11.731.900,0 r1=-2,35175 e

r2=-536.995,0 r2=29.373.500,0 r2=-2,11883

1.12602 107, 6.37212 10

6, 1.75527 10

6, 2.92292 10

7, 7.05655 10

7, 2.44405 10

6

4.81341 106, 7.05235 10

6, 803938. , 1.76677 10

8, 7.3182 10

7, 1.11948 10

6


11 CONCLUSÕES 12 PALAVRAS-CHAVE Tensões in situ, maciços rochosos, medição de tensões 13 AGRADECIMENTOS Gratidão a Furnas Centrais Elétricas SA. 14 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS [1] HIRAMATSU, Y. and OKA, Y. (1962) – "Stress around a shaft ou level in ground with a three-dimensional stress state", Mem. Fac. Engr. Kyoto, V., XXIV, Part 1, Jan. 1962, pp. 56-76. [2].....HUGHES, W. F. and GAYLORD, E. W. (1964) – "Basic Equations of Engineering Science", Schaum Publishing Company, New York. [3] RUGGERI, E. R. F. e PORFÌRIO, N. T. = " [4] RUGGERI, E. R. F. (2005) – "Tensões in situ, em estado triplo" (Uma aplicação ao maciço rochoso da UHE de Serra da Mesa), Comitê Brasileiro de Barragens. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens, Goiânia – GO, 11 a 15 de abril de 2005.


1.1.A SOBRE OS MACIÇOS ROCHOSOS. Um maciço rochoso é uma massa de rocha de grandes dimensões ligada à terra, dotada de tensões iniciais em estado natural e sem forma exterior especial. Um maciço é uma pequena parte do planeta do qual se originou. O tamanho a considerar de um maciço é relativo a algum problema que o envolva, sendo, em geral, infinito em relação à dimensão linear característica do problema. Quando se pretende, por exemplo, abrir um túnel com certa pretensão de eixo e com seção circular de raio a, toda a parte do maciço, em cada seção, à distância maior que 6a digamos, poderá ser dita infinitamente distante do túnel. A essa distância os pontos do maciço estarão nas mesmas posições iniciais. Da mesma forma, ao construir-se uma barragem sobre um maciço rochoso, toda a parte deste distante em profundidade cerca de uma vez a altura da barragem pode ser considerada infinitamente afastada da mesma, pois daí em diante, na vertical, os pontos estarão nas mesmas posições iniciais. Em geral, a fronteira de um maciço terá uma parte livre, exposta ao ar, e uma parte rígida que não sofre quaisquer deslocamentos quaisquer que sejam as ações sobre ele. Pela parte exposta o maciço poderá receber a ação de esforços: como o peso de uma barragem e o da água de um reservatório, a pressão de fluidos no interior de um furo nele executado, a passagem de um trem de carga por um túnel etc. Pela parte não exposta, um dos esforços ativos está ligado à construção de furos. O estado de tensões iniciais de um maciço (intato) variará certamente de uma região para outra do mesmo. Dependendo da formação geológica do maciço e das dimensões consideradas para estudo, as tensões iniciais poderão variar entre a constância, a ligeira variância a extrema variância, a ponto de não se conseguir enquadrá-lo em nenhum tipo de material de comportamento aproximado conhecido. Procurar entender o comportamento mecânico de um maciço rochoso é como procurar as propriedades de um número inteiro dado ao acaso: deste não será possível saber mais que sua paridade, daquele ... praticamente nada. Na maioria dos casos, entretanto, pretende-se ver o maciço como um elemento estrutural, isto é, como um corpo cujo comportamento mecânico deva ser previsto em relação à função que lhe caberá desempenhar. Mas esse enfoque deve ser entendido de forma bem ampla, pois na operação de escavação se descalça (material é retirado), enquanto na operação de construção, contrariamente, se calça (material é posto). Em ambas as operações o corpo (escavado ou construído) estará submetido à ação de esforços e deverá resisti-los sempre da forma mais econômica possível. 1.1.B OUTROS MACIÇOS. Do ponto de vista conceitual, entretanto, outros corpos materiais podem ser considerados maciços, estejam eles submetidos a tensões iniciais ou não, podendo ser naturais ou artificiais. Nesses casos podem ser enquadrados os blocos estruturais, sejam eles de concreto, de metais, ou outros materiais, como uma porção de osso.


Assim, quando possível, o comportamento mecânico tridimensional de um maciço poderá ser descrito pela teoria da elasticidade clássica para corpos homogêneos, isotrópicos, lineares (dos pontos de vista físico e geométrico) e elásticos. Nesse caso o presente trabalho poderá ser útil. 1.1.C TRABALHABILIDADE COM OS MACIÇOS. As tensões iniciais em um maciço são, em geral, desconhecidas; e qualquer operação utilizada para detectá-las, ou acarreta modificação das mesmas, ou falseia os valores medidos. Algumas situações importantes podem ser citadas. No caso dos maciços rochosos, ou se abrem furos circulares de pequeno diâmetro (até 5 cm) para investigação, ou se abrem galerias, em geral com seções também circulares de não menos que 3 m de diâmetro, para recepção de pessoas, equipamentos, instrumentos etc., com a mesma finalidade. Em qualquer um dos casos a perturbação é evidente, mas algumas medições poderão orientar trabalhos a serem realizados no futuro. No caso de galerias antigas o objetivo poderá ser a avaliação do estado de tensões reinante, desconhecendo-se eventualmente as características mecânicas do material onde fora executada a galeria (nas minerações, em escavações arqueológicas etc.). Uma situação que apresenta interesse para efeito de aprendizado pode ser gerada em laboratório; nesta, o corpo é um cubo, feito com algum material de características mecânicas conhecidas, dotado de um furo cilíndrico com eixo em posição conhecida, sobre as faces do qual se vão aplicar cargas conhecidas. Havendo possibilidade de se medirem grandezas físicas (em geral, deformações) será possível testar modelos explicativos de comportamento e procurar condições adequadas para se apreenderem resultados úteis em outras situações. No caso dos ossos esta-se diante de situação um pouco diferente, pois suas propriedades mecânicas mudam com a idade e não são materiais isotrópicos. A ortotropia dos ossos ainda é fator complicador para estudo de seu comportamento mecânico. Por outro lado, embora apresentem pequenas dimensões, se apresentam na forma natural aproximada de um tubo cilíndrico oco, que pode ser investigado pela instalação de instrumentos (em geral, extensômetros) nas suas superfícies interna e externa. Na impossibilidade do uso de osso propriamente, pode ser utilizado algum corpo em forma de anel cilíndrico com parede espessa e material conhecido (argamassa, por exemplo). Finalmente, apesar de todas as complicações em termos das formas dos corpos e de suas características mecânicas, deve ser lembrado que muitos desses problemas podem ser contornados com a utilização da mecânica computacional, ou seja, de modelagem mecânica processada com computadores, não sem o competente respaldo das medições em laboratório ou "em campo". Vislumbradas

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