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1 Professor Substituto da Universidade Federal da Bahia (UFBA) e Professor da UNIJORGE (Centro Universitário Jorge Amado)

O Teorema de Rolle

Teorema de Rolle2: Seja �� ��� �� � R contínua, tal que f(a) = f(b). Se f é derivável em (a, b) então existe um ponto c ∈ (a, b) onde f ’ (c) = 0.

Demonstração: Pode acontecer que f tenha valor constante f(x) = f(a) = f(b) em todo o intervalo [a, b]; nesse caso, sua derivada f ’ é identicamente nula e o teorema está demonstrado. Se f não for constante, ela terá que assumir valores maiores ou menores que f(a) = f(b). Se f(x) > f(a), para algum x em (a, b), pelo Teorema do Valor Extremo, f assume um valor máximo em algum ponto de [a, b]. Como f(a) = f(b) ela deve assumir esse valor em um número c no intervalo aberto (a, b). Então f tem um máximo local em c e f é diferenciável em c (pela hipótese de que f é diferenciável no intervalo (a, b)). Portanto, f ’ (c) = 0 pelo Teorema de Fermat. Se f(x) < f(a), para algum x em (a, b), pelo Teorema do Valor Extremo assume um valor mínimo em algum ponto de [a, b]. Como f(a) = f(b) ela deve assumir esse valor em um número c no intervalo aberto (a, b). Então f tem um mínimo local em c e f é diferenciável em c (pela hipótese de que f é diferenciável no intervalo (a, b)). Portanto, f ’ (c) = 0 pelo Teorema de Fermat. Obs. O inverso do teorema de Rolle não é verdadeiro. Isto é, não podemos concluir que se uma função f for tal que f ’ (c) = 0, como a < c < b, então serão verdadeiras as condições: Seja uma função f, tal que (i) ela seja contínua no intervalo [a, b]; (ii) ela seja derivável no intervalo aberto (a, b); (iii) f(a) = 0 e f(b) = 0. Então existe um número c no intervalo aberto (a, b), tal que f ’ (c) = 0. A hipótese de f ser contínua em [a, b], mas derivável em (a, b) é feita porque as derivadas f ’(a) e f ’(b) não intervêm na demonstração. Aplicação do Teorema de Rolle:

Verifique se o Teorema de Rolle se aplica as funções 24

)(2

−

−=x

xxxf e

24

)(2

+

−=x

xxxg .

2 Para respaldar a demonstração do Teorema de Rolle, vamos enunciar os Teoremas do Valor Extremo e o Teorema de Fermat: Teorema do Valor Extremo: Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em algum número c e d em [a, b]. Teorema de Fermat: Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, e f ’ (c) existir, então f ’ (c) = 0.

Solução: Consideremos24

)(2

−

−=x

xxxf . Observemos que para x = 0 ou x = 4, f(x) = 0.

Observemos também que f(x) é descontínua em x = 2, que é um ponto do intervalo 40 ≤≤ x , logo, não se pode aplicar o Teorema de Rolle.

Consideremos agora 24

)(2

+

−=x

xxxg , nesse caso a função é descontínua em

x = - 2 que não pertence ao intervalo 40 ≤≤ x . Derivando g(x), temos:

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

)2(842

)(')2(

842)2(

48442

)2()4(1)2).(42(

)2()4)'.(2()2)'.(4(

)('

+

−+=∴

+

−+=

+

+−−−+=

=+

−−+−=

+

−+−+−=

xxx

xgx

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxxx

xg

Podemos concluir que2

2

)2(842

)('+

−+=

xxx

xg está definida em todos os pontos do

intervalo, exceto x = - 2. Portanto, pode-se aplicar o Teorema de Rolle. 2. Seja �� ���� � � � ���� � ���� Temos g contínua em [-1, +1], g(-1) = g(1), mas não existe � � ���� tal que ����� � �. O motivo é que g não tem derivada no ponto 0. Considerando o Teorema de Rolle como lema preliminar a outro teorema muito famoso da matemática, vamos inserir nesse contexto, um grande matemático ítalo-francês chamado Joseph – Louis Lagrange, que provou no século XVIII um teorema que ficou conhecido como Teorema do Valor Médio de Lagrange. O Teorema do Valor Médio possui um conteúdo geométrico muito sugestivo, que merece ser analisado antes mesmo de enunciá-lo. Para isso vamos considerar a função f e dois pontos sobre o seu gráfico: A = (a, f(a)) e B = (b, f(b))

Figura 1

O declive da secante AB é dado por abafbf

−

− )()(. Observemos que a figura sugere que

entre A e B deve haver algum ponto C = (c, f(c)) sobre o gráfico, onde a reta tangente à curva seja paralela a secante AB. Mas então os declives dessas duas retas serão iguais.

Como o declive da tangente em C é f(c), teremos )(')()(

cfabafbf

=−

− ou ainda

))((')()( abcfafbf −=− . Observemos que o valor c entre a e b, satisfazendo a equação ))((')()( abcfafbf −=− pode não ser único. A figura abaixo ilustra uma situação em que há dois pontos C e D entre A e B, onde as tangentes são paralelas à secante AB.

Figura 2 Portanto, nesse caso há duas abscissas c e d tais que

))(('))((')()( abdfabcfafbf −=−=− . Pode acontecer também, que não haja ponto algum nas condições citadas, como em

||)( xxf = . Isso mostra que para validade geral da equação ))((')()( abcfafbf −=− , é imprescindível que a função f seja derivável no intervalo

(a, b). No caso particular em que f (a) = f (b), a equação ))((')()( abcfafbf −=− se reduz a f’(c) = 0. Esse fato é conhecido como o Teorema de Rolle, que já demonstramos acima. Vamos enunciar então o Teorema do Valor Médio de Lagrange. Seja f: [a, b] → IR uma função que satisfaz as seguintes condições: 1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]. 2. f é derivável no intervalo aberto (a, b). Então, existe um número c em (a, b) tal que

abafbf

cf−

−=

)()()('

Demonstração do Teorema do Valor Médio: A demonstração desse teorema consiste em síntese em duas etapas; 1o) Definir uma função F(x) no intervalo [a, b] que satisfaça as hipóteses do Teorema de Rolle. 2o) Aplicar a F(x) o Teorema de Rolle.

Demonstração: Vamos considerar a função reta secante AB, ou seja, F(x) = f(x)

AB• é a reta pelo ponto (a

por

()()(

)( xabafbf

afY −−

−=−

Portanto a Função F(x) = f(x) )(

)()()(bbf

afxfxF −−=

Daí podemos observar facilmente que F(a) = F(b) = 0, além do que F é derivável nos pontos internos ao intervalo [a, b]. Logo o Teorema de Rolle é aplicável a essa função: existe um ponto c, entre a e

abafbf

xfxF−

−−=

()()(')('

Ou ainda (')()( fafbf =−

Agora, vamos ver como utilizar o Teorema do Valor Médio para elucidar o seguinte problema: Dois corredores iniciaram uma corrida num mesmo instante e terminaram a corrida empatados. Prove que em algum instante durante a corrida eles têm a mesma velocidade. Solução: Consideremos inicialmente que tais corredores gastaram um tempo T para terminar a corrida, daí sejam S

É bastante razoável, do ponto de vista físico, que tais funções serão deriváveis satisfazendo S1(0) = S2(0), (pois os corredores partem da mesma posição inicial) e S= S2(T) (pois os mesmos terminam a corrida empatados).Com base em tais informações, consideremos a função F: [0, T] F(t) = S1(T) - S2(T) • Observe a Figura 1

F(x) igual à diferença entre as ordenadas f(x)F(x) = f(x) – Y, para um mesmo valor x da abscissa. A secante

a, f(a)) com decliveabafbf

−

− )()(; Logo sua equação é dada

)a− ou )()()(

)( axabafbf

afY −−

−+=

F(x) = f(x) – Y será dada por:

)()(

axaaf

−−

−

Daí podemos observar facilmente que F(a) = F(b) = 0, além do que F é derivável nos pontos internos ao intervalo [a, b]. Logo o Teorema de Rolle é aplicável a essa função:

e b, tal que F’(c) = 0. Mas a)

de sorte que F’(c) = 0 significa f

cf =(

)('

))( abc − . Isso completa a demonstração do Teorema.

Agora, vamos ver como utilizar o Teorema do Valor Médio para elucidar o seguinte

Dois corredores iniciaram uma corrida num mesmo instante e terminaram a corrida empatados. Prove que em algum instante durante a corrida eles têm a mesma

: Consideremos inicialmente que tais corredores gastaram um tempo T para a corrida, daí sejam S1 e S2 definidas no intervalo [0, T]

É bastante razoável, do ponto de vista físico, que tais funções serão deriváveis (0), (pois os corredores partem da mesma posição inicial) e Ss terminam a corrida empatados).

Com base em tais informações, consideremos a função F: [0, T] → IR definida por:

f(x) da curva e Y da da abscissa. A secante

; Logo sua equação é dada

Daí podemos observar facilmente que F(a) = F(b) = 0, além do que F é derivável nos pontos internos ao intervalo [a, b]. Logo o Teorema de Rolle é aplicável a essa função:

abafb

−

− )()(

. Isso completa a demonstração do Teorema.

Agora, vamos ver como utilizar o Teorema do Valor Médio para elucidar o seguinte

Dois corredores iniciaram uma corrida num mesmo instante e terminaram a corrida empatados. Prove que em algum instante durante a corrida eles têm a mesma

: Consideremos inicialmente que tais corredores gastaram um tempo T para

É bastante razoável, do ponto de vista físico, que tais funções serão deriváveis (0), (pois os corredores partem da mesma posição inicial) e S1(T)

IR definida por:

Notemos também que a função F também é derivável, pois é a diferença entre duas funções deriváveis, e a mesma satisfaz que F(0) = F(T) = 0. Utilizando o Teorema do Valor Médio de Lagrange, observemos então que deve existir um tempo t ∈ (0, t) satisfazendo

00

)0()()(' =

−

−=

TFTF

tF

Usando a definição de F temos que S’1(T) – S’2(T) = 0 e lembrando-se que a derivada da posição é a velocidade, segue que no tempo t vale V1(t) - V2(t) Onde V1 e V2 são as respectivas velocidades, concluindo assim nossa demonstração. Bibliografia

STEWART; JAMES - Cálculo Volume I, Ed. Cengage Learning ÁVILA; GERALDO - Cálculo 1- Funções de uma variável - Ed. LTC