Teorema Que Apresenta as Condições Necessárias de Karush

O problema de otimização consistem em minimizar Teorema que apresenta as condições necessárias de Karush-Kuhn-Tucker (KKT): Teorema (Condições necessárias de Karush-Kuhn-Tucker) Seja X≠∅, aberto X⊂R n e f : R n →R, g i : R n →R , i=1 ,…,m e h i : R n →R , i=1 ,…,l e considere o problema P dado por (110)- (113). minf ( x ) s.a ( 110) g i ( x) ≤ 0 ; i=1 , ... ,l h i ( x ) =0 ; i=1 , ... ,m ( 111) ( 112) x∊X ( 113) Seja x uma solução factível e I={i;g i ( x )=0 } . Suponha que f e g i para i∊I são diferenciáveis em x e para cada i∉I, g i é contínua em x e que cada h i para i=1 ,…l é continuamente diferenciável em x. Suponha ainda que ∇g i ( x ) para i∊I e ∇h i ( x ) , i=1 ,…l são linearmente independentes. Se x resolve localmente o problema P, então existem escalares u i para i∊I e v i , para i=1 ,…l, definidos de maneira única, tais que (114) é satisfeita. ∇f ( x ) + ∑ i∊I u i ∇g i ( x ) + ∑ i=1 l v i ∇h i ( x )=0 ( 114 ) para todo u i ≥ 0 , onde i∊I.

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KKT

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O problema de otimizao consistem em minimizar

Teorema que apresenta as condies necessrias de Karush-Kuhn-Tucker (KKT):Teorema (Condies necessrias de Karush-Kuhn-Tucker)Seja , aberto e , , e , e considere o problema dado por (110)-(113).

Seja uma soluo factvel e . Suponha que e para so diferenciveis em e para cada , contnua em e que cada para continuamente diferencivel em .Suponha ainda que para e , so linearmente independentes. Se resolve localmente o problema , ento existem escalares para e , para , definidos de maneira nica, tais que (114) satisfeita.

para todo , onde .Alm disso, se cada para , diferencivel em , as condies de KKT podem ser reescritas como (115)-(117).

A restrio (115) representa a condio de estacionaridade, a equao (116) representa a condio de complementaridade e a equao (117) a condio de viabilidade dual.Cada uma das restries do problema tem um multiplicador de lagrange vinculado. Estes escalares so de suma importncia teoria de otimizao devido sua aplicabilidade nos problemas de engenharia. Os multiplicadores de Lagrange associados s restries fornecem as informaes de sensibilidade, isto , o quanto muda o valor da funo objetivo quando h um acrscimo ou decrscimo unitrio de valores na restrio.