Teoria da Vibração Aleatória
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T e o r i a d a V i b r a ç ã o S e n o i d a l
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Teoria da Vibração Aleatória
T e o r i a d a V i b r a ç ã o S e n o i d a l
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Índice Lista de Figuras .................................................................................................................................................................. 3
Definição de Aleatório ...................................................................................................................................................... 4
Condições Naturais ....................................................................................................................................................... 4
Condições Induzidas ...................................................................................................................................................... 5
Introdução à Vibração Aleatória ....................................................................................................................................... 5
Unidades Aleatórias ...................................................................................................................................................... 6
Relação entre PSD e Grms ............................................................................................................................................ 7
Limitações na Geração de Vibração Aleatória .................................................................................................................. 7
Solução Prática para Geração de Vibração Aleatória ....................................................................................................... 8
Limitação Sigma ............................................................................................................................................................ 8
Distribuição Gaussiana ...................................................................................................................................................... 9
Graus de Liberdade ........................................................................................................................................................... 9
Linhas de Resolução ........................................................................................................................................................ 10
Requisitos de Resolução em Baixas frequências ............................................................................................................ 11
Controle de Resolução Variável ...................................................................................................................................... 11
Severidades do Teste ...................................................................................................................................................... 12
Tempo Equivalente para a Mudança do nível PSD ......................................................................................................... 12
Conclusões ...................................................................................................................................................................... 12
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Lista de Figuras Figura 1 – Formas de Onda ............................................................................................................................................... 4
Figura 2 – Projeto de uma ponte ...................................................................................................................................... 4
Figura 3 – Efluxo de motor de foguete ............................................................................................................................. 5
Figura 4 – Caminhão numa estrada esburacada ............................................................................................................... 5
Figura 5 – Gráfico de Vibração Aleatória .......................................................................................................................... 5
Figura 6 – Gráfico comparativo entre Banda Larga e Estreita .......................................................................................... 6
Figura 7 – Dois casos com o mesmo Grms, mas com conteúdo de diferentes frequências ............................................. 6
Figura 8 – Gráfico g2/Hz contra freqüência ....................................................................................................................... 7
Figura 9 –Comparação entre diferentes larguras de banda ............................................................................................. 7
Figura 10 – 3Sigmas .......................................................................................................................................................... 8
Figura 11 – Gráfico Densidade de Probabilidade .............................................................................................................. 8
Figura 12 – Curva de Probabilidade Normal ..................................................................................................................... 9
Figura 13 – Gráficos de Amplitude e Fase ......................................................................................................................... 9
Figura 14 – Gráfico da Vibração Aleatória ...................................................................................................................... 10
Figura 15 - Curva mostrando o detalhamento pobre, nas menores frequências ........................................................... 11
Figura 16 – Método de Resolução Variável .................................................................................................................... 11
Figura 17 – Regra de Miner ............................................................................................................................................. 12
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Definição de Aleatório
Ruído cuja amplitude instantânea não é especificada em qualquer instante do tempo. Amplitude instantânea só
pode ser definida estatisticamente por uma função de distribuição de probabilidade, que dá a fracção do tempo
total que a amplitude situa-se dentro de intervalos de amplitude especificadas.
Figura 1 – Formas de Onda
Condições Naturais Vibrações aleatórias podem ocorrer naturalmente no meio ambiente, ou podem ser induzidas.
O engenheiro estará interessado am ambos, para assegurar que o produto estará pronto para sobreviver.
Por exemplo, uma ponte será projetada para suportar o movimento provocado por um terremoto e a forte
turbulência dos ventos – ambos em forma de vibração aleatória que influenciam diferentes freqüências.
Figura 2 – Projeto de uma ponte
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Condições Induzidas Um estresse ambiental induzido é,
geralmente, um criado pelo homem,
tais como aqueles experimentados
durante o manuseio e transporte.
Os efluxos de um motor de foguete
produzem uma fonte constante de
vibração aleatória para outros
componentes. Se o amortecimento é
suficiente, esses componentes
sofreráo um nível muito mais baixo,
mas ainda vibrarão de forma aleatória.
Se dirigir um caminhão por uma estrada esburacada, este será
submetido à excitação aleatória. Podemos simular esta vibração do
transporte sob condições controladas em laboratório e projetar
embalagens para proteger os componentes.
Introdução à Vibração Aleatória
Algo que segue um movimento repetitivo e previsível é
periódico.
Para os testes de vibração também é preciso estar
ciente da influência aperiódica que está presente no
mundo real.
Se for possível reproduzir essas vibrações não
previsíveis, em seguida, pode-se começar a simular
algumas condições ambientais reais.
Os perfis de ensaio são definidos com amplitudes de frequência com restrições de frequência superior e inferior.
O conteúdo de energia é, portanto, uma combinação de um nível médio sobre a largura de banda. Esta área sob o
perfil nos dá um valor Grms
Figura 3 – Efluxo de motor de foguete
Figura 4 – Caminhão numa estrada esburacada
Figura 5 – Gráfico de Vibração Aleatória
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Unidades Aleatórias
Não se pode simplesmente definir o perfil utilizando o nível Grms, pois a largura de banda de freqüência precisa ser
considerada.
Um baixo nível de banda larga poderia ter a mesma área ou Grms que um alto nível de banda estreita.
Figura 6 – Gráfico comparativo entre Banda Larga e Estreita
Tratando de um espectro de muitas frequências, o nível é expresso como uma largura de banda de grms2 numa
largura de banda de 1 Hz comumente escritas como g2/Hz
Figura 7 – Dois casos com o mesmo Grms, mas com conteúdo de diferentes frequências
A unidade g2/Hz descreve a potência média observada em 1 Hz de largura de banda, ou seja, a densidade espectral
de potência.
Pode-se agora definir o perfil em termos de g2/Hz contra freqüência para produzir um gráfico.
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Figura 8 – Gráfico g2/Hz contra freqüência
O gráfico de densidade espectral de potência (PSD) representa a "intensidade média" dos componentes de onda
senoidal em cada frequência.
Relação entre PSD e Grms
Se tabular alguns resultados para diferentes larguras de banda, pode-se verificar diferentes tensões de saída RMS.
Figura 9 –Comparação entre diferentes larguras de banda
Isto é verdade para todos os níveis em todas as larguras de banda. Um nível plano de 0,10 g2/Hz sobre a faixa de 100
Hz a 900 Hz dará uma leitura RMS verdadeira de 8,9443 GRMS.
Limitações na Geração de Vibração Aleatória
Vibração aleatória é definida como ruído cuja amplitude instantânea não é especificada, em qualquer instante do
tempo.
Em outras palavras, a amplitude de pico em qualquer das frequências pode ser zero ou infinito.
A energia total GRMS do perfil aleatório continuará a média para os níveis definidos.
No entanto, não se pode permitir que picos instantâneos passem para o amplificador, o shaker ou item de teste.
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Solução Prática para Geração de Vibração Aleatória
A vibração de seno pura tem um valor de pico que é √ 2 vezes o seu valor RMS (ou seja, 1,414 x RMS).
Essa relação é chamada de fator de crista.
No entanto, a vibração aleatória não tem uma relação fixa entre o seu pico e valores RMS e por isso precisa-se
definí-lo.
Para evitar danos causados por picos infinitos da amostra aleatória, deve-se cortá-los. Faz-se isso através da
definição de um limite no controlador que corta picos instantâneos acima de um fator de crista de 3 que forem
gerados.
Limitação Sigma
Valor do desvio padrão = valor RMS, quando a média é zero.
Representa-se este valor pela 18ª letra do alfabeto grego (minúsculas) -
sigma σ.
Gpico ÷ GRMS, para vibração aleatória, define o fator de crista que na
realidade pode ser extremamente elevado.
Foi limitado a 3 Sigmas, uma vez que abrange 99,73% dos possíveis
picos aleatórios e protege o teste.
Assim, o controlador solicita um valor sigma de limitação para ser
aplicado ao espectro. Um valor inferior a 3 não representará um
sinal aleatório verdadeiro.
Com a limitação sigma desativada, o fator de crista do sinal de
unidade é um sinal aleatório distribuição quase Gaussiano em
torno de 4 a 5 desvios-padrão. Quando a limitação sigma é
aplicada, o factor de pico será, teoricamente, igual ao número de
limitação sigma.
Usando Limitação 3 Sigma se elimina energia além de 3 desvios-
padrão.
Figura 10 – 3Sigmas
Figura 11 – Gráfico Densidade de Probabilidade
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Distribuição Gaussiana
Numa curva de probabilidade normal utilizada na análise estatística, usa-se uma curva de Bell ou Gaussiana.
Na vibração aleatória, a curva Gaussiana é uma função de probabilidade da densidade de uma variável aleatória
normalmente distribuída.
Figura 12 – Curva de Probabilidade Normal
O desvio padrão mede a propagação dos dados sobre o valor médio.
Limites configurados como ± 3s = 99.73% / ± 2s = 95.45% / ± 1s =68.27%
Graus de Liberdade
DOF (Degrees of Freedom) é um termo que se refere a estatística do número de variáveis independentes utilizadas
para calcular uma média. Para o controle aleatório, DOF refere-se ao número de médias utilizadas para calcular o
PSD controlado. Cada média contribui com duas DOF. Quanto maior for o DOF, maior a confiança na precisão de
controle do PSD.
No entanto, o tempo de ciclo vai aumentar para recolher mais dados que os DOF aumenta.
Um valor aceitável para os controladores modernos é 154 DOF.
Figura 13 – Gráficos de Amplitude e Fase
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Linhas de Resolução
A vibração aleatória é feita de muitas freqüências restritas a uma largura de banda definida. As baixas freqüências
produzirão grandes deslocamentos que pode-se ver durante o teste. Este sinal em tempo real é definido e medido
no domínio da freqüência utilizando técnicas de análise de Transformada Rápida de Fourier.
Figura 14 – Gráfico da Vibração Aleatória
As centenas de pontos que compõem a curva do PSD são chamados de “Linhas de Análise" e determinam a
resolução do teste aleatório de frequência.
O sistema de controle utilizará a Transformada Rápida de Fourier (FFT) para analisar o sinal sobre a largura de banda
de freqüência. Este processo digital significa que os dados são amostrados de forma eficaz em intervalos de
frequência discretos.
O número de linhas determina o nível de detalhe que será visível. Se, por exemplo, estamos testando até 2000 Hz e
1.600 linhas usando o incremento de freqüência será 2000/1600 = 1,25 Hz.
Se a largura de banda de teste é estreita, então o número de linhas pode ser baixo. Esta continua a proporcionar
boas medidas detalhadas, com incrementos boa frequência. Exemplo: testar até 500 Hz, com 400 linhas dá 1,25 Hz.
Se a resolução de freqüência é muito grande, então altos picos talvez sejam alterados ou perdidos. Ex: 2000 Hz com
400 linhas = incrementos de 5 Hz.
Deve-se permitir para o tipo de teste e a faixa de freqüência e selecionar as linhas de resolução em conformidade. A
resolução máxima nem sempre é adequada.
O número de linhas afeta o tempo de ciclo de controle. Detalhes demais podem causar dificuldades de controle do
controlador não reagir rápido o suficiente.
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Requisitos de Resolução em Baixas frequências
Existem sistemas de controle que têm a capacidade para mais de 1.600 linhas de resolução de teste.
Normalmente 3.200 linhas podem ser usados para melhorar os detalhes de mudanças bruscas na especificação.
A desvantagem é que isso leva tempo e pode exigir muita análise nas freqüências mais elevadas, causando
problemas de controle.
Figura 15 - Curva mostrando o detalhamento pobre, nas menores frequências
Controle de Resolução Variável
Ciclos de controle duplo.
Ciclo de baixa freqüência (primeiro 1/10).
Ciclo de alta freqüência (último 9/10).
Efetivamente aumenta resolução para
baixas freqüências.
Com a resolução variável selecionada, as
freqüências mais baixas têm uma
melhoria na resolução de 8 para 1.
Profile
Fs/20 Fs/2Fh Freq
Low bandProfile
Fs/20 Freq Fs/20 Fs/2Fh Freq
High bandProfile
Fig.3 Profile divide into 2 bandsFigura 16 – Método de Resolução Variável
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Severidades do Teste
Para duplicar o estresse real e as condições de fadiga de um produto, os testes serão extremamente demorados.
Um produto em serviço pode ter níveis baixos de vibração durante meses ou anos antes da sua fiabilidade tornar-se
um problema.
Testes podem acelerar falhas, aumentando os níveis de entrada aplicados. Um aumento no nível de PSD permite
reduzir o tempo de ensaio.
Tempo Equivalente para a Mudança do nível PSD
É possível aumentar o nível de teste e diminuir o tempo de teste para proporcionar um ensaio de fadiga equivalente
aproximado.
A fórmula é derivada de uma relação de fadiga linear baseado na regra de
Miner.
Exemplo: Encontrar a relação de tempo entre 2 níveis.
T = Tempo
W = Nível de Vibração
N = Constante do Material
Para Vibração Aleatória, usar N=4 e para Senoidal N=6.
Conclusões
A vibração que nós experimentamos é natural ou induzida.
A vibração pode ser senoidal, aleatória ou ambos.
A vibração senoidal é definida pela amplitude em g e Freqüência em Hz.
A unidade de vibração aleatória G2/Hz descreve a potência média observada em 1 Hz de largura de banda. Esta é a densidade de potência espectral.
A vibração senoidal pode ser varrida ou fixa na freqüência.
Aleatória é definida utilizando estatística como a amplitude instantânea não pode ser especificada em qualquer instante de tempo.
Varredura de vibração senoidal é usada para isolar freqüências ressonantes. Ressonância fatiga os produtos.
A vibração aleatória excitará todos os modos ressonantes em conjunto e é usada para determinar se um produto pode suportar vibrações da "vida real".
“Pessoalmente, estou sempre disposto a aprender, embora nem sempre goste de ser ensinado”
Sir Winston Churchill
Figura 17 – Regra de Miner