Teoria Da Vibração Com Aplicações

8/19/2019 Teoria Da Vibração Com Aplicações

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TEORIA DA VIBRAÇÃO com aplicações

Professor de Engenharia Mecânicn

da Universidade da Califórnia,

Santa Bárbara

Cássio Sigaud

Engenheiro Civil



Copyright © 1973 by Prentice-Halllnc.

Ali rights reserved.

Publicado em inglês com o titulo

Theory of Vibration with Applications

Prentice Halllnc., Englewood Cliffs,

New Jersey, USA.

PREFÁCIO

,-:,','?,:;'/(:';:'''i::':~;,i,>:,:.',,;:''',.:7''-/Dii:eito$,.Reseryadosem 1978 por

Editora lõte~ciência Ltda.

Rio de,Janeiro, Brasil

Programação Visual e CapaInterciência 'Arte

Composição do Texto

Interciência

o assunto vibrações tem uma fascinação única. Trata-se de um tema lógico,

explicável através de princípios básicos d~ mecânica. Ao contrário do que seobservacom algumas matérias, seus conceitos matemáticos são todos eles ãssociados a fenô-

menos físicos c;ue podem ser experimentados e medidos. É um assunto que agrada

ensinar e debater com os alunos. Desde o 'primeiro texto eleme'ntar, "Mechanical

Vibrations", publicado em 1948, o autor tem procurado melliorar suaapresentação,quer acompanhando o progresso tecnológico, quer pelo tirocínio adquirido no

ensino e na prática. Neste sentido, no decorrer dos anos, muitos' professores eestudantes contribuíram com sugestões e troca de idéias~

CIP·Srasi!. Catalogaç50-na·fonte

Sindicato Nacional do. Editores de Livro., RJ.

COO - 620.30183COU - 620.178.5: 681.3

Este texto novo, reescrito na sua quase totalidade; é mais uma vez um desejo,

da parte do autor, no propósito de uma apresentação mais clara, com técnicas moderonas que são hoje rotina. Nos cinco capítulos iniciais, que tratam dos sistemas de um

e dos de dois graus de liberdade, foi mantida a sin1plicidade do texto anterior, con-fiantemente melliorado. Tendo em vista o ,uso corrente do computador digital,

sua aplicação no campo das vibrações é encorajada com alguns exemplos simples.Apesar da versatilidade do computador digital, o computador analógico ainda é u m

instrumento útil e, em muitos casos, plenamente justificado. Os primeiros cinco

capítulos, que abordam os sistemas de dois graus de liberdade de um ponto de vista

simples e físico, fom1am o fundamento para a compreensão do que é básico em

vibrações e podem ser lecionados num curso inici~l, em período de três meses aum semestre.

Thomson, William T.

T396t Teoria da vibração com aplicações/William T. Thomson; tradução de

Cássio Sigaud. - Rio de Janeiro: Interciéncia, 1978.

Tradução de: Theory 01 vibration with applications

Apéndices

Bibliografia

1. Processamento eletrônico de dado. - Mecânica aplicada 2.

Vibração I. T(tulo

I1I EDITORA INTERClfNCIA LTOA.

Rua Vema r,1agalhjies, 66, Tels.: 281-7495/263-5899

ZC·16 - 20710 - Rio de Janeiro - Brasil

No Capítulo 6 há uma generalização dos conceitos dos sistemas de dois grausde liberdade para os de muitos graus. A ênfase neste capítulo 'é a teoria e a extensão

para os sistemas de muitos graus de liberdade é apresentada elegantemente, com o

auxI1io da álgebra matricial. O emprego das matrizes esclarece toda a base para o

desacoplamento das coordenadas. São introduzidas algumas idéias fora do comum de

modos normais na_vibração forçada e o método espaço-estado, utilizado corrente-

mente em teoria de controle.

~ proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios,

sem autorização por escrito da ed'itora



Há muitas abordagens analíticas para o estudo da vibração de estruturas com·

plexas de muitos graus de liberdade. O Capítulo 7 apresenta alguns dos mais úteis

métodos e, embora os sistemas de muitos graus de liberdade, na sua maioria, sejam

resolvidos atualmente no computador digital, necessita-se ainda conhecer, não só

como formular tais problemas para a computação eficiente, como algumas das apro-

'ximações que se podem fazer para checar os cálculos. Todos os problemas aqui

podem ser programados para o computador, sendo entretanto necessário que se

entenda a teoria básica das computações. Como exemplo, é apresentada a compu·

tação digital de um problema do tipo Holzer.

O Capítulo 8 refere-se aos sistemas contínuos ou àqueles problemas associados

a equações diferenciais parciais. Uma apreciação de problemas de vigas pelas dife-

renças frnitas oferece uma oportunidade de resolvê-Ios no computador digital.

As equações de Lagrange, objeto do Capítulo 9, reforçam o entendimento dos

sistemas dinárnicos apresentados anteriormente e alargam a visão para outros desen·volvimentos. Por exemplo, os conceitos importantes do método da sorna de modos

é urna conseqüência natural das coordenadas generalizadas Lagrangianas. O sentido

das equações restritivas como condições de contorno físico para a síntese modal é

entendido logicamente outra vez, por meio da teoria de Lagrange.

O Capítulo 10 trata dos sistemas dinâmicos excitados por forças aleatórias ou

deslocamentos. Tais problemas devem ser examinados sob um ponto 'de vista esta-

tístico e, em muitos casos, a densidade da probabilidade da excitação àleatória é

distribuída normalmente. O ponto de vista adotado aqui é o de que, apresentado

um registro àleat6rio, determina-se facilmente uma autocorrelação que permite o

cálculo da densidade espectral e da resposta quadrática média. O computador digital

é essenciàl novamente para o trabalho númerico.

No Capítulo 11, dá·;eênfase ~ introdução do método do plano de fase no

tratamento dos sistemas não-lineares. Quando as não-linearidades são pequenas, os

'métodos de perturbação ou iteração proporcionam uma abordagem analítica. Resul·

tados de computações a máquina para um sistema não-linear ilustram o que pode

ser feito.

Os Capítulos 6 a 1I contêm matéria apropriada para um segundo curso sobre

vibração, que pode ser dado em nível de graduação.

íNDICE

l.1 Introdução .

1.2 Movimento Harmônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2

1.3 Análise Harmônica , 5

1.4 Função Transiente de Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7

1.5 Função Aleatória de Tempo ... ' .' . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Propriedades do Movimento Oscilatório. . . . . . . . . . . . . . . . .. 9

VIBRAÇÃO LIVRE

2.1 Métodos de Sonia de Forças 1.5

2.2 Método de Energia 18

2.3 Massa Efetiva , .. ' 20

2.4 Vibração Livre Amortecida 23

2.5 Decremento Logarítmico 28

2.6 Amortecimento de Coulomb 32

2.7 Rigidez e Flexibilidade ',' 33

MOVIMENTO EXCITADO HARMONICAMENTE

3.1 Introdução ' 47

3.2 Vibração Ham1ônica Forçada : 47

3.3 Desbalanceamento Rotativo 513.4 "Whirling" de Eixos Rotativos 57

3.5 Movimento de Suporte 59

3.6 Instrumentos Medidores de Vibração - 61

3.7 I solamento de Vibração .. , ~ 64

3.8 Am ortecim ento ....•............................. 6 73.9 Amortecimento Viscoso Equivalente .......•............ 71

3.10 Amortecimento Estrutural 72

3.11 Agudeza de Ressonância 74



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Introdução " 83Excitação de Impulso " 83

Excitação Arbitrária : . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85

Formulação da Transtóf1!ladade Laplace. . . . . . . . . . . . . . .. 91

Espectro de Resposta: ' .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96o Computador Analógico 101

Di fe rença s Fi nit as e m Computa ção Di gi tal " 111A Computação Runge-Kutta ' 119

SISTEMAS DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE

5.1 Introdução , , 129

5.2 Vibração de Modo Normal ~ 1295.3 Acoplamento de Coordenadas ~ .. ' 1365.4 Vibração Harmônica Forçada 1395.5 Absorvedor de Vibração : ' 1425.6 Pêndulo Centrífugo Absorvedor de Vibração 1445.7 O Amortecedor de Vibração .. ' 1465.8 Efeito Giroscópico sob ~e Eixos R~iativos 1515.9 Computação Digital 153

SISTEMAS DE MUITOS GRAUS DE LIBERDADE

6.1 Introdução 1696.2 Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez o. 169

6.3 Teorema de Reciprocidade 1736.4 Autovalores e Autovetores " , '. : 1736.5 Propriedades Ortogonals dos Autovetores 1776.6 Raízes Repetidas 178

6.7 A Matriz Modal P , : '; 1806.8 Vibração Forçàda CDesacoplamentode Coordenadas 182

6.9 Modos Normais Forçados de Sis temas Amortecidos 183

6.10 Método Espaço Estado: ' 188

SISTEMAS DE PARÃMETIWS CONCENTRADOS,\ .

7.1 Introdução ...• ; : 1997.2 Equação Característica 199

7.3 Método dos Coeficientes de Inf1uência ' 200

7.4 Princípio de Raylelgh , 203,7.5 Fórmula de Dunkerley 212

7.6 Método de Iteração Matricial Ó • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • 215

7.7 Cálculo de Modos Mais Altos 217

7.8 'Matrizes de Transferência - (Problemas tipo BaIzer) 2217.9 Sistema Torcioúal : . ' ' 223

7.1O Sistema Engrenado 232

7.11 Sistemas Bifl1rcados 2337.12 Vigas .'.~' 236

7.13 Estruturas Repetidas e Matriz deTransferência •........... 244

7.14 Equação de Diferença ; ; 247

SISTEMAS CONTlNUOS

8.1 Introdução ' .. ' 265

8.2 A Corda Vibratória 266

8.3 Vibração Longitudinal de Barras ' 2698.4 Vibração Torcíonal de Barras 2718.5 A Equação de Euler para a Vig;l. . 2748.6 Efeito de Inércia Rotativa Dcformil\,ão de Cisalhamento 2788.7 Vibração de Membranas ' 2798.8 Computação Digital 2818.9 Solução Transientc pelas Transformadas de Lap1ace 289

EQUAÇÃO DE LAGRANGE

9.1 Intradução " ' 2999.2 Coordenadas Generalizadas , 2999.3 P rincí pi o do T rabal ho Vi rtual .. .. ... .. .. .. •. .. , 3009.4 Desenvolvimento da Equação de Lagrange 3039.5 Massa e Rigidez Generalizadas 307

9.6 Método de Soma de Modos 3099.7 Ortogonalidade da Viga, Incluindo Inércia Rotaviva e De-

formaçãoporCisalhamento 3139.8 Modos Normais de Estrutura Vinculadas 315

9.9 Método Aceleração-Modo 320

9.10 Síntese Modal 322

VIBRA çÃO ALEA TÓRIA

10.1 Introdução 33310.2 A Função da Resposta da Freqüência 33510.3 Densidade Espectral. '-.33710.4 Distribuição da Probabilidade 344



10.5 Correlação 353

10.6 Transformada de Fourier 357

10.7 Resposta de Estruturas Contínuas à E xc it aç ão Ale at óri a 36 2

VIBRAÇOES NÃO-LINEARES

11.1 Introdução 371

11.2 O Plano de Fase 372

11.3 Sistemas Conservativos 374

l iA E st ab ilid ad e d e E qu il íb rio . ... .. ..• ... ... .. ... ... .. . 37 6

I 1.5 Método das Isóclinas 379

11.6 O Métódo Delta 381

11.7 Método de Lienard ',' 384·

1 1.8 Mé to do d as Re sta s I ncl in ad as . . . . . . . . . . . . . . . . . , 38 6

11.9 O Método de Perturbação : 390

lU O Método de Iteração , 39411.11 Oscilações Auto-Excitadas , 399

11.12 Circuitos do Computador Analógico para Sistemas

Não-lineares 40 I

11.13 O Método Runge-Kutta 402

MOVIMEf.JTO OSCILA TÓRIO

O estudo da vibração diz respeito aos movimentos oscilatórios de corpos e às forças

que Ihes são associadas. Todos os corpos dotados de massa e elasticidade são capazes

de vibração. Deste modo, a maior parte das máquinas e estruturas está sujeita a certo

grau de vibração e o seu projeto requer geralmente o exame do seu comportamento

oscilatório.

Os sistemas oscilatórios podem ser, de um modo geral, caracterizados como

lineares ou não-lineares. Para os primeiros prevalece o princípio de superposição

e estão bem desenvolvidos os métodos matemáticos disponíveis para o seu estudo.

Ao contrário, são bem menos conhecidos e de difícil aplicação os métodos para

análise dos sistemas não-lineares. Entretanto, é proveitoso algum conhecimento

destes sistema~, uma vez que eles representam o estado final para o qual tendem

todos os sistemas, com o aumento da amplitude de oscilação.

Existem duas classes gerais de vibrações, a livre e a forçada. A vibração livre

acontece· quanda um sistema oscila sob a ação Qe forças que lhe são inerentes e na

ausência da ação de qualquer força externa. No caso de vibração livre o sistema

poderá vibrar com uma ou mais das suas freqüências naturais; que são peculiares ao

sistema dinâmico estabelecido pela distribuição de sua massa e rigidez.

Denomina-se l'ibração forçada quando ela ocorre sob a excitação de forças ex-

ternas. Quando a excitação é oscilatória, o sistema é obrigado a vibrar na freqüência

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:'}da'excitação. Se. esta freqüência coincide com uma das freqüências naturais do

;sistema, forma-se um estado de ressonância, daí podendo resultar amplas e perigosas'':''í<.,~~~,i-~''''';'··~:·..~•.t..,·..•:,,'·.;~,',:._~:.,:,~:;l..:..',.',..·1·.•..· " :;. ,•. ":', .•:

oséilações:' Está ressonância pode ser a causa de temível colapso de estruturas como

.as de edifícios, pontes e asas de avião. Assim sendo, é de importância o eálculo das

freqüências naturais no estudo das vibrações.

solta, ela· oscilará para cima e para baixo. Dotando·se a massa com uma pequena

fonte 'Iuminosa, o seu movimento podeser registrado numa tira de filme sensível à

luz, que se faz mover à suafrente, a uma velocidade constante.

Os.sistemas de vibração são todos eles sujeitos a um certo grau de amorteci·

mento, em face do desgaste de energia pelo atrito e outras resistências. Se O amor-

tecimento é fraco, a sua influência torna·se muito pequena e não é geralmente consi·

derada nos.cálcul~s das Jre(Úiên~ias daturais .. o . amortécimento, ,,'ntretanto, é de

grande importância ao limitar a amplitude de oscilação na ressonâneia.

Chama~se grau de liberdade de um sistema o número de coordenadas indepen-

dentes requerido para a descrição do seu movimento. Nestas condições, uma partí·

cula livre em movimento no espaço tem três graus de liberdade, enq~anto um eorpo

rígido terá seis graus, isto é, três componentes de posição e três ângulos que del1nema ..sua orientação. Em se tratando de um corpo elástico contínuo, ele requer um nú·chero infinito de coordenadas (três para cada ponto do corpo), para se descrever o

seu movimento. Daí ser infinito o seu número de graus de liberdade. Entretanto, emmuitos easos, pode-se admit~r que um corpo desta natureza seja parcialmen te rígido,tornandu possível considerar·se o sistema dinamicamente equivalente .a outro comum número I1nito de graus de liberdade. De fato, um surpreendente'grande número

.de problemas de vibração pode ser resolvido com exatidão suficiente, pela redução

a outro com um só grau de liberdade.

·f x = A sen 21f-T

na qual A é a amplitude de oscilação, medida a partir da posição de equilíbrio da

massa, e T é o período. O movin1ento é repetido qua.ndo .t = T.

O movimento harmônico é muitas vezes representado como a projeção numalinha reta, de um ponto que se move numa circunferência a velocidade. constante,como indicado na Fig. 1.2-2. Designada por w a velocidade angular da linha 'op, o

deslocamento x é expresso pela equação .

/Çl: \I. L ( < . X o'.9 .movll1ento oscilat6rio pode repetir.se regularmente, como no volante de um

;re16giO, ou apresentar irregularidade considerável, como em terremotos. Quando o

.movll1ento se repete a intervalos iguais de tempoT, ele é denominado movimento

.;periódico. 'O·, tempo de . repetição T é denominado periodo da oscilação, e sua

j~edproca f= ' 1 /1 ' é denominada a freqüência. Se o movimento é designado peh

;ji,função de·tempox(t), em conseqüência qualquer movimento periódico deve satis·'.;.\·.·.f.a.z.·er a relação x(t) = x( t + 1').; ;t /, -, _> _

,-,;~~tvl"Movimentosirregulares, que aparentam não possuir período definido, podem

·,:~s~r-'consideradosa·soma de }1m muito' gralldg"núm.e.lQde movimentos regulares de

IJ,iti~eCjüênciasvariadas. As propriedades de tais movll1entos podem ser definidas esta·,·j',tistic;uIie,nte.A discussão dessas propriedades será tratada em seção mais adiante.

) i\. 'Jorma ' ~~ is . simpl es Ú~ovimento periódico é movimento harmônico.

)'odé ser demonstrado por meio de uma massa suspensa de uma pequena mola,lindicadona·Fig:>!:2.L Se a massa é levantada da sua posição de repouso ed . _ ,_ ' . . , ' " . . . . . I' ' .•

Figura 1.2·2. Movimento harmônico com proíeção dc um ponto

que se move numa circunferência.

por freqüência angular. U~a vez que o movll1ento se repete em cada 21f radianos,

temos a relação



É muitas vezes necessário considerar-se dois moviInentos harmônicos da mesma

freqüência, porém diferindo da fase pelo valor < f i . Os dois movimentos podem sei

expressos pelos fasores

21tro = T =21tf

Assim, a velocidade e a aceleração são também harmônicas, com a mesma freqüência

de oscilação, mas à frente do deslocamento por rr/2 e rr radianos, respectivamente,

como indicado na Fig. 1.2·3.onde r e f são o período e a freqüência do movimento harmônico, usualmente me-

didos em segundos e ciclos por segundo, respectivamente.

É conveniente, no caso de mo~in1ento de um ponto numa circunferência, ado-

tar-se um eixo imaginário ie admitir-se que o raio da circunferência seja representa·

do por uma quantidade complexa z chamada fasor.

O fasor z ê expresso pela equação

que define os componentes, real e imaginário. Com O

variam senoidalmente como tempo

Re z = A cos wt

1m z = A sen wt

Figura 1.2·3. No mOl'imento hannônico, a l'elocidade e a aceleração estão à frente do

deslocamento por rr/2 e rr.

Z1 = Ate 1wt

Zz = Azei(wr+ r P )

de modo que no movimento harmônico a aceleração é proporcional ao deslocamento

e dirigida para a origem. Visto que a segunda lei de movimento de Newton estabelece

que a aceleração é proporciónal à força, podemos presumir o movimento harmônico

para os sistemas com molas lineares com força variando com 10:.

onde A I e A2 são números reais. O segundo fasor pode ser expresso em, seguida

como

onde A1 é agora um número complexo. Esta fonna é muitas vezes útil em proble.

mas que envolvem movin1ento hannônico.

A açlição, multiplicação e. potenciação de fasores obedecem a regras simples,

que são dadas no Apêndice A. Com a expressão do movimento harmônico por fa-son,s, os cálculos tornam-se fáceis de efetuar.

A velocidade e a aceleração do movimento harmônico podem scr determinadas

sin1plesmente pela diferenciação da Eq. (J .2·2). Usando a notação ponto para a de·

rivada, obtemos

É muito comum a existcllcia simultânea de vibrações com .várias freqüências dife-

rentes. Por exemplo, a vibração de urna corda de violino é composta da freqüência

fundamental f e de todas as suas harmônicas 2[, 3f etc. Outro exemplo é a vibra-

ção livre de um sistema de muitos·graus-de·liberdade, para a qual contribuem as vi·

brações de cada freqüência natural. Tais vibrações resultam num perfil \le ondacomplexa, que se repete periodicamente, como indica â Fig. 1.3-1.

x =roA cos rol =roA sen (ro/ - + ~ )

.~= -'ro'A·senrol =ro'Asen,(rol +:n)

(1.2-6)

(1.2·7)

o matemático francês J . Fouricr (1768·1830) mostrou que qualquer movi-

mento periôdico pode ser representado por uma série de senos e co·senos que' são

hamlOl1icamente relacionados. Sc x(t) é uma Íunção .periódica do período T, ela

é representada pela seguinte série de Fourier

X(I) o.,c f i ' ,i· a, cos ro ,I -1-.(12 cos 2W11 -I-



tg ! p = b.G.

Deste modo, cn e!Pn (ou an e bn) defmem completamente a contribuição

harmônica da onda periódica.

O resultado da representação gráfica de cn e ! P n em função da freqüência

nw I, para todos os valores de n, é uma série de retas discretas correspondentes a

WI, 2WI' 3wI etc., como se observa na Fig. 1.3·2. Tal representação gráfica

forma o que se chama de Espectro de Fourier do perfll da onda.

Faz-se atualmente a análise 'harmônica, com eficiéncia e num mínimo de tem-

po, graças ao auxílio do computador digital. Obtém-se, ainda maior redução no

tempo de computação, com o uso de um novo algoritmo para compu'tador, lançadorecentemente e conhecido como "Fast Fourier 'J:ransform""'.

onde Wl = 2rr/r é a freqüência fundamental. Para se determinar os coeficientes

an e bn , multiplicamos ambos os lados da Eq. (1.3-1) por cos nW1 t e sen nw,1 t cintegramos cada termo sobre o período r. Examinando as seguintes relações

r se m 7": 11

cn,"J ' , cos IIW,I COS IIlW,1 dI =. ! E . .

se 111 =11. - f, 2 00

1

J 'i ', sen'lIw,1 sen IIlW,1 dI = _ ~ { O nse 1117":11 O W1'j 2w,

se 111 =~ 11

" ' n-1',2 " W

1X' .f '" t se 1117":11

,., cos IIw,1 se,n mw,1 dI = °

se 111 O ," 11 O w, 2w,' - f, 2

todos os termos, exceto um do lado direito da equação, se~ã:o iguais ~ 2;ero e obtemos

os resultados

Chama·se Junção transiente de tempo a uma função que existe apenas num ,espaço

limitado de tempo, sendo nula em qualquer outro tempo. Tais funções não são pe-riódicas. A Fig. 1.4-1 mostra uma variáção de pressão típica de um estrondo, que é

uma função transiente de tempo. Outro exemplo é a força de impacto durante a

colisão de dois corpos.

Vol~ando à Eq~ (1.3.1). e, examinando os dois termos numa das freqüências,

, suasoma pode ser expres~a como

G. COS I/W,I -I- b.sen IIW,I

~I b ,f Gn,_ I_I== v G. -1- u, {..ja; -]- b; ; cos IIW, '

=Cn COS(IIW,I - rp.)

•J. W , Coolcy and J. W . Tukcy, "An algorithm for the Machine Calculation of ComplcxFouricr Scries." Mathcmatics ofComputation 19; 90 (abril 1965, págs. 297-301).

Vidc também: "Spccial Issue on Fast Fourier Transform", IEEE Trans. on Audío &

Elcctroacoustícs, \1'01. AV-15, Nq 2 (1967).



de modo a permitir o estabelecimento de características gerais, úteis em projetos de

engenharia. O Capítulo 10 trata desses processos em detalhe. Resumidamente

se pode mencionar que, à semelhança das vibrações periódicas e transientes, ·os con-

ceitos de amplitude e distribuição de sua freqüência são de importância fundamental.

Essas quantidades, na vibração aleatória, são representadas por valores médios esti-

mados estatisticamente, tais como a raiz da média quadrática e a média quadráti-

ca da densidade espectral.

Chama-se geralmente de resposta transiente à resposta de um sistema mecânico

a um impulso ou choque. Em razão da presença de amortecimento, uma vez cessada

a excitação, cessam as vibrações. .' i

Não sendo periódicas. as ondas transientes, não é aplicável o método da série

de Fourier. Todavia, as funções não periódicas podem ser analisadas no que elas

contêm de freqÜência, pelo método das Transformadas de Fourier (vide Capítulo 10).

Em contraste-com o espectro discreto da freqüência nas funções periódicas, é contí-

nuo o seu correspondente nas funções transientes.

Certas propriedades do movimento oscilatório são de interesse na medida da vibra-

ção. As mais simples delas são o valor pico e o valor médio.

O valor pico indica geralmente o esforço máximo a que está submetida a parte

vibrante. Ele estabelece também um limite na exigência do "espaço de trepidação".

O valor médio indica um valor estável ou estático, de certa forma semelhante

ao nível de corrente contínua de urna corrente elétrica. Ele pode ser determinado

pela seguinte integração

- . II T

X = 11m '" X CI) dIT'~ 1 o

ConsideranlOs até agora tipos de funções que podem ser classificadas de determi-

nistas, pois seus valores instantâneos são determinados para qualquer tempo t, pelo

uso de expressões matemáticas deduzidas. Há, entretanto, fenômenos físicos que re-

sultam em dados não deterministas, cujos valores instantâneos futuros não são

previsíveis, num sentido detenninista. Corno exemplos, podemos citar a saída de

um gerador de ruído, as alturas das ondas em mar encapelado e a pressão de rajadas

de vento encontradas no vôo de UlI) avião. Todos esses fenômenos têm uma caracte-

rística comum, que é a imprevisibilidade do seu valor instantâneo em qualquer tempo

futuro. Dados não deterministas deste tipo sITodenominados como funções aleató-

riasde tempo.

A Fig. 1.5-1 é um exemplo de f~nção aleatória t ípica. Apesar da natureza

irregular da função, certos processos de média podem ser aplicados a. tais dados,

x(t)

Por exemplo, o valor médio para um ciclo completo de urna onda senoidal, A sen t,

é zero, enquanto seu valor médio para um meio ciclo é

. A I " I 2A x =- sen I(,I= -n : c n :

É evidente que este é também o valor médio da onda senoidal retificada, conforme

a Fig. 1.6-1.

O quadrad.o do deslocamento é assocudo geralmente à energia de vibração,

para a qual o valor quadrático médio é urna medida. b valor quadrático médio de

9



função de tempo x(t) é determinado pela média dos valores quadráticos,

limites de algum intervalo de tempo T:

-' I J T .1'2 =lim -T X 2(1 ) di

T ....•'... . o

As funções aleatórias de tempo não são periódicas, e seus espectros de freqüen-

cia são determinados pela integral de Fourier e não pela sua série. Este assunto é

tratado no Capítulo 10. Por enquanto, basta mencionar que o seu espectro é urna

apresentação da sua densidade quadrática média, traçada' em função da freqüência,

como indica a Fig. 1.6-3. Tais curvas são contínuas e podem ser determinadasPor exemplo, se x(t) = A sen wt, seu valor quadrático médio é

- A 2 J T I I x

2 = ~~ T o 2(1 - cos 2ml) di = 2A 2

o valor da raiz da média. quadrática é a raiz quadrada do valor da média qua·

drática. De acordo com o exemplo anterior, a raiz da média quadrática da onda

senoidal de amplitude A é A I - J2 .

Espectro da Freqüência. O conteúdo de freqüência de um movimento osciJat6rio é

de importância para caracterizar a vibração. No caso de uma só onda senoidal, oconteúdo de freqüência é representado por urna reta de comprimento igual à sua,

amplitude, traçada no ponto correspondente à freqüência do seu movimento.

No caso de um movimento periódico, o espcctro da freqüência é constituído

de uma série de retas traçadas' a partir dos pontos que marcam os múltiplos inteiros

da freqüência fundamental, conforme definidos pela sua série de Fourier. Pode-se

'também apresentar a fase de cada componente em relação à fundamental, de modo a

se ter uma representação completa, corno se vê na Fig. 1.6-2.

O movimento transiente, embora limitado no tempo, pode ser considerado

corno movimento periódico de período infinito, pela inclusão das regiões de valor

zero até o infinito. Com T = 2rr/w) -> 00, ou w) -> 0, as retas espectrais ficam

muito juntas aproximando-se deuma curva contínua.

por instrumentos eletrônicos projetados para este fim específico. De um modo

geral, a fase de uma função aleatória de tempo não apresenta intcresse e não é

considerada.

o w, 2w, 3w,

"' n

'jIII

O w, 2w, 3w,

Figura,j.6-2.

(;~0\;~ni.oViment~ harmôI:i~o tem uma :uuplitude de 0,:0 por e u~ períod~ de

?!. "'0,15 s. Detemlmar o maXlmo da velOCIdade e ace1eraçao.

~um a ce le rô me tro ind i~a q ue u ma e stru tu ra e stá. v ib ra nd o a 8 2 c ps e u ma

~aceleração máxima de 50 g. Detemúnara amplitude da vibração.

1 'J Um movimento harmônico tem urna freqüência de 10 cps e sua velocidade

1',,-) máxima é de 180 pol/s. Determinar sua ampÚtude, seu período e sua ace-

leração máxima.

1-4 Achar a soma de dois movimentos harmônicos de amplitude igual, mas com

freqüências ligeiramente diferentes. Discutir o fenômeno de batimento que

resulta da sua soma.

(~~0xpressar o número complexo 4 + ,3i n~ forma exponencial AeÍO•

//'1'1-6 'Adicionar os dois números complexos (2+ 3i) ~ (4' -' i), expressando o re-

sultado para A L O.

1-7 Mostrar que unl fasor gira 90° quando multiplicado por i.

1-8 Determinar a' sorna de. dois fasores5t!rr/6 e 4(/rr/3' e enco"ntrar o ângulo entre

~y ...,a resultan.te eoprimeiro f asor. " ' I ' ' ' '

' ') ~ Determina r a sé rie d e F ou rier p ara a 'on'da 'retangular Índicada na Fig. P.I-9.

/. 11



1-10 Determinar a série de Fourier para o caso da origem da onda quadrada doProb!. 1-9 ser deslocada de rr/2 para a direita.

1-11 Determinar a série de Fourier para a onda triangular indicada na Fig. P.I-II.

1-17 Estabelecer a equação para o deslocamento s do pistão no mecanismo de

manivela indicado na Fig. P.I-I7, e determinar os componentes harmônicos e

suas magnitudes relativas.

1·12 Determinar a séi-iede Fourier para o perfil em dente de serra representado na

Fig. P.I-I2.

1·13 Determinar o valor da raiz da média quadráticaO

de uma onda formada das

porções positivas de uma senóide.

1-14 Determinarovalordamédiaquadráticadaonda em dente de serradoProbl 1-12.

Fazê-Io de dois modos, pela curva quadrada -epeta série de Fourier.

1-15 Traçar o espectro da freqüência relativo à onda triangular do Prob!. 1-11.

1·16 Determinar a série de Fourier e o espectro da freqüência de um conjunto de

-pulsos retangulares indicado na Fig. P.I-I6- .



VIBRAÇÃO LivRE

Qualquer sistema que possua massa e elasticidade é capaz de vibração. O mais

simples sistema oscilatório consiste em uma massa e uma mola, conforme a Fig. 2.1·1.

A mola que suporta a'massa é considerada de peso desprezível e de uma rigidez de

k lb por unidade de dellexão. O sistema possui um grau de liberdade, em razão do

seu movimento ser definido por uma coordenada apenas , x.

Quanúo posto em movimento, haverá oscilação na freqüência natural !", que

ê uma propriedade do sistema. Examinemos agora alguns dos conceitos básicos

associados à livre vibração de sistemas com um grau de liberdade.

O exame do movimento do sistema' baseia·sé, inicialmente, na segunda lei de

Newton. Conforme indica' a Fig: 2.1·1, a deforinação da mola na posição de equi-

líbrio estático é t. e a força da mola kt. é igual à força gravitacional w atuandosobre a massa m:

Medindo o deslocamento x da posição de equilíbrio estático, as forças que atuam

sobre m são k(t. + x) e w. Considerando-se x positivo na direção de cima para

:baixo, todas as quan tidades - força" velocidad.e e aceleração - são também positivas

na mesma direção.



k

Posição sem k t:.

-"" ,m o' ' '· · m· -:I~.c p _ . ir·~) l~ ; i; ; , ~ ~ : . : , , , '" '.. w

w

, T = 2 7 t j ! f .

_ J li:_ 3,127 fn - 27t '1/ t:' - ~ cps (Hcrtz)

187,6=~c.p.m.

i. -••••. -••••

--------~--• •• •

• •••. -•-•- _ . -~

Essas quantidades são expressas em termos da del1exão estática l:1 , notando-se

pela Eq. (2.1-1) que k f : : , . = mg. Considerando g = 386 pOI/S1 e l:1 em polegadas,

a expressão da freqüência natural em termos de l:1 é

T ~-0N\.O-·

r~~ l\_' - - ' " ) 2 - tJK-~"J~2)[~ t s 'L \ = 2-

~ evidente -que a escolha da posição de equil íbrio estático como referência para rfT\. !T::> -t// /7 x e1im'nou da qua R' d v' t f t 't' d I k A

. stas condições, a freqüência natural de um sistema de um grau de liberdade é, I e ç"o e mo lmen o o peso w e a orça es a Ica a mo a < -> , e a //' . . ' " .r

orça

resulta-nte sobr m é' I t r d I d'd d 1 t " defimda UnIcamente pela deflexão estatlca A. A Flg, (2.1-2) apresenta um graficol' e S lm p e sm en e a .o rça a mo a e VI o a o e s o came n o x. \_ logarítmico da Eq. (2.1-9).

Definindo-se a freqüência angular wn pela equaçffo ., L \ ' ~q"' - A. .A O Embora os sistemas osci!atóríos possam diferir na aparência, a presente discus·

y \)J ~ Ir' \ "....: i · - . : .~ são aplica.se a todos os sistemas de um grau de liberdade, submetidos à vibração livre

não amortecida. Em alguns casos a oscilação é rotaÚva, como no pêndulo rota-

x ( O ) .x =-~ sen w.1 + x(O) cos Wn1

W. .

donal, em cujo caso a segunda lei de Newton é substituída pela sua correspondente

rotativa

e concluímos, pela comparaçffo com a Eq. (1.2-8), que o movimento é harmônico. A

equação diferencial l inear de segunda ordem homogênea (2.1-4) tem a seguinte

solução geral

0,05 0,10 ·0, 50 . 1,0

Dcl1exâo A"onde A e B são duas constantes necessárias. Essas constantes são calculadas para

as condições iniciais x(O) e x(O) e a Eq. (2.1-5) é simplificada para



l)

)

>)

>

)

)

Exemplo 2.2-1

Detenninar a freqüência natural do pêndulo torcional indicado na Fig. 2.2-1.

onde M é o momento, J o momento de inércia da massa, e (j a aceleração angu-

lar, tudo referido a um mesmo eixo inercial fIxo de rotação. A equação acima é

também válida em relação ao eixo do centro de massa que pode estar em movimento,

o total de energia em um sistema' conservativo é constante, e a equação diferencial de

movimento é estabelecida pelo prinéípio de conservação de energia. A energia na

vibraçãp livre de um sistema não amortecido é parte cinétiea e parte potencial. A

, energia cinética T é conservada na massa em razão da sua velocidade, enquanto a

energia potencial U é conservada sob a forma de esforço na deformação elástica ou'trabalho realizado num campo de força como a gravidade. Sendo constante a energia

total, sua taxa de variação é zero, conforme se depreende das seguintes equações

Figura 2.2-1. Pêndulo rorciollal.

Solução: Suponhamos que o movimento oscilatório seja harmônico e expresso pela

equação

o = A sen wllt

Os máximos das energias cinética,e potencial são

Tma :- . :-= lJe~ax=iJ w ; A 2

T + U = constan te

d , dt (T + U) =O

(2.2-1)

(2.2-2)

Umu = iKe~u = iKA'

Igualando as duas. energias, chegamos à expressão da sua freqüência natural, que é

Se o no~so interesse está apenas na freqüência natural do sistema, ela pode ser

determinada pelas seguintes considerações. Podemos estabelecer, de acordo eom o

p'~incípio de conservaçào da energia, que Exemplo 2.2-2

Um cilindro de peso w e raio r rola sem deslizar sobre uma superfície cilín-

drica de raio R como indica a Fig. 2.2-2. Determinar sua equação diferencial

de movimento para oscilações pequenas em volta do seu ponto mais baixo .

Por não haver deslizamento r r p = RO .onde .1 e 2 representam duas instâncias de tempo. Admitimos que 1 seja o ins-

tante em que a massa passa pela sua posição de equilibrio estático, e escolhemos

U1

= O como referência para a energia potencial. Seja z o tempo correspondente

ao máximo deslocamento da massa. Nesta posição, a velocidade, da massa é zero,

resultando T z = O . Temos então

se o sistema está submetido a um movimento harmónico, os valores

são os máximos, e daíFigura 2.2·2.

Solução: Deve·se notar, ao se determinar a energia cinética do cilindro, que há

uma translação e, uma rotação. A velocidade de translação do centro do cilindro

é (R - r)Ô, enquanto a velocidade de rotação é (~ - li) = = (R ir - 1)0, uma

19



v ez qu e ~

agora como

T =l;[ (R - r )8 J 2 + ~ ; ; [(~ - 1 ) 8 ] '=1.~( R - r)282

4 g

onde ( w / g ) ( / / 2 ) é o m om ent o de inércia do ci l indro em relação ao seu cent ro

de massa.

A energia potencial referida à sua posição mais baixa é

Exemplo 2.3-1

Determinar o efeito da massa da mola na freqüência natural do sistema indica-

do na Fig. 2.3- I.

dyms

I:massa do clcmcntoda mola

que é igual ao negativo do trabalho efetuado pela força da gravidade no levantar o

cilindro na distância vertical (R - r) (I - c os O }

Substituindo na Eq. (2.2-2)

[~ ; (R - r)2 (j -I- Ir(R - r)sen {}J Ó " 0,

y

x1 ": velocidade do ele-mento da mola

e fazendo sen O = = O para ângulos p~quenos, obtemos a,conhecida equação para o

movimento harmônico

Solução: Com.\: igual à velocidade da m assa concent rada m . suporem os que a

velocidade de um elemento da mola, localizado à distância y da sua extremidade

fixa, varie linearmente com y da forma seguinte

(j ·i _2.L-o ~.°3(R - r)

e encont ram os para a m assa efet iva o valor de um t erço da m assa da m ola. A dicio-

nando o valor da massa efetiva ao da massa concentrada, a expressão da 'freqüência

natural revista será

A t é agora admitim os, no cálculo da f reqüência natural , a inexis tência de m assa na

mola. Muitas vezes a mola e outros elementos móveis podem representar uma fração

pond eráv el da mass a total do siste ma, e do seu aban dono pode m resu ltar freqü ênci as

naturais altas demais.

Para obtermos uma estimativa melhor da freqüência natural, podemos compu-

tar a energia cinética adicional dos elementos móveis, que não foi considerada ante-

riormente. Isto, é claro, requer uma suposição quanto ao movimento dos elementos

distribuídos. O resultado integrado da energia cinética adicional pode ser, então,

expresso em termos da velocidade j; da massa concentrada na forma de

20

Exemplo 2.3-2

Muitas vezes os sistemas oscilatórios são compostos de 'alavílJlcas, engrenagens

e outras ligações que complicam aparentemente a análise. Um exemplo típico

desses casos está no sistema de vá!vul3 de motor indicado na Fig. 2.3-2. É ge-

ralmente van"tajosa a reduç:To de um tal sistema para outro equivalente mais

simples.



f -. . - aI O

: \Quando um sistema linear de um grau de liberdade é excitado, sua resposta depen-

derá do tipo de excitação e do amortecimento presente. Geralmente a equação do

movimento terá a seguinte fórmula

onde F(l) é a exeitação e Pd a força de amortecimento. Embora seja difícil a des-

crição real da força de amortecimento, é possível a admissão de modelos ideais de

amortecimento, que muitas vezes resultam em prognósticos satisfatórios da resposta.

Dentre esses modelos, a força de amortecimento viscoso, proporcional" à velocidade,

conduz ao tratamento matemático mais simples.

A força de amortecimento viscoso é expressa pela seguinte equação

onde c é uma constante de proporcionalidade. Ela é represelltada simbolicamente

por um amortecedor, conforme indicado na Fig. 2.4·J.

To' +JÓ ' ++mJbÓ} ' t;C~') (hÓ) '

~ + ( J + m,/) ' - + - }m,b ' )Ó'

o balancim com momento de inércia J. a válvula eom massa mv e a mola

com massa ms podem ser reduzidos a uma simples massa em A pela seguinte for-

mulação da equação da energia cinética

Admitindo-se que a velocidade em A seja xforma em

A sülu\:ão da equação acima ~em ullas partes. Se P(t)." O,- lemos a equação di-

ferencial homogênea, cuja solução corresponde fisicamente àquela 'de vibração livre

de amortecimento_ Com P(t) c/. O, obtemos a solução particular devido ;\ excita-

ção sem restrição da solução homogênea. Examinaremos inieialmente a equação

homogênea, que nos dará alguma compreensão do papel do amortecimento.Com o tucho reduzido a uma molá e uma massa adicional na extremidade A. o siste·

m"a-inteiro está reduzido a uma mola e uma massa apenas, como indica a Fig. 2.3-2.



Para o valor de c que reduz o radical. a zero temos o caso limite, entre o mo·

vimen to osciJatório e o não·oscilatório, e que definimos como amortecimento

critico.

É agora oportuno o exame desses três casos em detalhe, e em termos de quan·

tidades' usadas na prática. Começamos com o amortecimento crítico.

Amortecimento Crítieo. '0 radical da Eq. (2.4·9) é zero para o amortecimento

crítico c C"

onde !i é uma constante. Feita a substituição na equação diferencial, temos

(ms2 + cs + k)e" = O

que é satisfeita por todos os valores de t quando

• c k Os- + -s .1 . - = J }l I /1Z

É conveniente expressar o valor de qualquer amortecimento em termos do amor·

tecimento critico, por meio da fração não-mensurável

c J ( C ) ' k s . 7= . _- - l : . : - - -'.- 2m -' 2111 m

que é chamada fração de amortecimento. Expressamos agora as raízes da Eq. (2.4·7)

em termos de S , notando que

onde A e B são constantes a serem determinadas de acordo com as condições

iniciais x(O) e x (O).

Considerando os valores da Eq. (2.4·7), temos para (2.4-8) a seguinte expressão

o primeiro termo e' C ':2m)' é simplesmente uma função de tempo exponencialmente

declinante. O comportamento dos termos dentro do parêntese depende, entretanto,

do valor numérico sob o radical ser positivo, zero ou ncgativo.

Quando o termo de amortecimento (c/2m)2 é maior que k/m, os expoentes

na equação acima são números reais e não há oscilação poss ível. Referimo-nos aeste caso como superamortecido.

Quando o termo de amortecimento (c/2m)' é menor que k/m, o expoente

torna-se um número imaginário, ± i .jk / n z , . (c/2m)2 t. Urna vez que

e os três casos de amortecimento discutidos ~nteriormente dependem agora de S ser

maior, menor·ou igual à unidade.

A Fig. 2.4-2 mostra a Eq.(2.4-12) traçada num plano complexo, com S ao

longo do eixo horizontal. Se S = O, a Eq. (2.4-12) fica red'uzida a SI. ,/wll

=± í,

de modo que as ra ízes no eixo imaginário correspondem ao caso de não-amorte-cimento. Para 0< s < 1, a Eq. (2.4-12) é reescrita na'forma

As raÍzes s, e s, SolO então pontos complexos eonjugados sobre u'm arco circular

convergindo no ponto SI.2/Wn =- 1,0. Á medida que S cresce acnna da unidade.

as ra ízcs separam-se ao longo do cixo horizontal e permanccem números rcais. Ten-

do presente cste diagrama, estamos aptos a examinar a solução dada pela Eq. (2.4-9).

25

e'.i'":'"-'''Z''')'' ,= coso / 5 . . . , _ . (~ )2 1 ~I = isen / 5 . . . _ _n (~ )2 t Y m 2m '\ m 2m

os. teImas da Eq. (2.4-9) dentro do parêntese são oscilatórios. Denominamos este

caso como subamortecido.



Eixo, = O imaginário

·1,0

-1,0

, = O

Movimento Oscilatório. [~ < 1,0 (Caso de subamortecimento ).] Substituindo a

Eq. (2.4-12) na (2.4-8). a solução geral torna·se A ~= X(O) - 1 - C( - 1 - ~)co_x(O)

. 2 c o _ - - / '> - I

x = Xe-(""'sen'(~ CO_ I + r /J )

=cC e-(""'(C, sen~ co.1 -I - C1cos ~ co_1)

o movimento é uma [unção de tempo exponencialmente decrescente, conforme in-

dicado na Fig. 2.4-4, c é denOI;ninado como aperiódico.

(2.4-14)

(2.4-15)

onde as constan tes arbitrárias X. < / 1 . ou C I , C2 são detemúnadas de acordo com

as condições iniciais. Com as condições iniciais x (O) e X (O), pode·se mostrar a

redução da Eq. (2.4-15) para a seguinte

,,"" Ae ( -, +.Jf2=1) w/lI

"~""

A equação indica que a freqüência da oscilaçãó all/ortecida é igual a

co J c ~: c.~ w.vT=T'

o/'-B-<· ,-~)wIlI

/ e,

I

IB

Movimento n:To Oscilatório. II > 1,0 (Caso de supcramortccimcnto).j Quando

Ié maior que a unidade, as duas raizes permanecem no eixo real da Fig. 2.4-2 e

separadas, uma aumentando e outra decrescendo. A expressão da solução geral é

então

26

Movimento Amortecido Criticamente. [~ = = 1,0] Para ~ = = I,óbtemos uma raiz

dupla SI = = S2 = = - wll

' e os dois termos da Eq. (2.4-8) combinam para formar

apenas um



q u e n ã o t em o n ú m er o u e c o ns ta n te s r e qu e ri do p a ra s a ti sf a ze r ; \s d ua s c o nd iç õ es

iniciais. A solução para as condições iniciais é encontrada pela Eq. (2.4.16), fazen-

u o- se \ - , 1Substituinuo·se T < 1 pelo seu valor T J =cc 2njúJ",/l':"-'l, a expressão do decremento

logarítmico se t ransforma em

A s p a rt es m ó ve is d e m u i to s m e di d or es e lé tr ic o s e i n s tr um e nt o s s ã o a mo r te c id o s

crit icamente, a fim de evitar a ultrapassagem e a oscilação.

que é uma equação exata.

Quando \ ' é pequeno, ..)1"= 1 2 = = I , e obtém-se uma equação aproximada

A F i g . 2 . 5 -2 m o st ra u m g r áf ic o d o s va lo r es ,> e x at os e a pr o xi m ad o s, d e {j como

' fu n çã o d e \.

A medida da taxa· de decréscimo das oscilações l ivres é um meio conveniente para se

d e te rm i na r a q ua n ti da d e d e a mo r te ci m en to p re s en te n u m s i st em a . Q u an to m a io r o

amortecimento, maior a taxa de decréscimo.

Consideremos uma vibração amortecida representada pela equação (2.4-14)

que é indicada graficamente na' Fig. 2.5-1. ln t raduzimos aqui urna expressão deno-minada decremento logarítmico que é del1nida como o logaritmo natural do quo-

ciente de duas quaisquer amplitudes consecutivas. A fórmula do decrernento laga-r ítrnico é pois

15--, ln x , X 2

! IO 0.2 ü A -, -0, 6 0, 8 1, 0

, ' o, ! : . . -_~,Raâo de amortecimento('tOe u m a v ez q u e o s v a lo r es d o s s c no s s ã o i gu a is q u an d o o t e m po é aumcn tado do

perío do de amor tecim cn to T< 1 ' . a relação acima fica reduzida para

28



Exemplo 2.5-1

Um 'sistema em vibração com amortecimento viscoso apresenta os seguintes

dados: w = 101b, k = 3 0 l b/ pol e c = 0,12 Ib/pol pors. Determinaro

decremento logadtmico e a razão entre duas amplitudes sucessivas quaisquer.

(j ;;; 2 7 1 C =J...ln 2 =0,693n n

n C ~ ~ ~693 cc.o ° 110. 271 '

A última equação é a de uma hipérbole retangular e está traçada na Fig. 2.5-3.

Solução: A freqüência natural não amortecida do sistema em radianos por segundo é

(k !3OX386 /(1). =y m ='I~ 0 = 34,0 rad s

O coeficiente de amortecimento crítico Cc e a fração ou razão de amortecimento

~ são

~6" ""5"o.

~5- ---------

o .

'~4 ---

1 1"" "

c, = 2111(1). = 2 X 1.\8°6 X 34,0 = 1,76 lb/pol/s

C - - !:- - 0,12 -- 00681- c, - 1 ,76 -- , .

De acordo com a Eq. (2.S-3), o decremento logarítmico é

e 5 = 271C~ 'co 271x 0,068 ~ cC 0,429,Jf - " JI - 0,0681"

A razão entre duas amplitudes consecutivas quaisquer é

*o'"~o. 2---

"~o u" "~8."~ o 0, 05 0, 10 0, 15 0, 20

r ; ; : ' " - : . : ; t=Razão de amortccimnto~ = c' =eO.

4'9 c.= I,S4

x:

Exemplo 2.5-2

Mostrar que o decremento logarítmico é dado também pela equação

I xe 5 = - ln.:-Q11 X n

Exemplo 2.5-3

Mostrar que o decremento logarítmico, no caso de amortecimento pequeno,

pode ser expresso em termos da energia de vibração U e da energia t:.U dis-

sipada em cada ciclo.

Solução: A Fig. 2.S-4 mostra uma vibração amortecida com amplitude conse-

cutivas x I, x 2. X 3, ... naseados na definição do decremento logarítrrúco

onde xn representa a amplitude após decorridos n ciclos. Traçar uma CUlva

dando o número de ciclos decorridos em função de ~ para que a amplitude

diminua de 50 por cento.

Solução: Para duas'CJuaisquer amplitudes consecutivas a razão é

Xo = Xl :..:.:...:X2 = ... ~::~ .::.::-:e'S

Xl X2 X3 x"

Pode-se escrever a razão xo/xn da forma seguinte

de onde se obtém a equação requerida que é

e 5 0= J . . . ln

.\0

Il x"

Obtemos da equação acima - a seguinte relação, a fim de determinar o número

de ciclos decorridos para a redução de S O por cento na amplitude

30



Ó ln xllx2' escrevemos a relação de amplitudes na forma exponencial

x. o'-l ,~e-J oc= I- o + - - ...

x, 2 1

A energia de vibração do sistema é aquela conservada na mola no deslocamento

máximo, ou

t át ico, o qual é geralm ent e m aior que a força do a t ri to c íné t ico. Pode-se m ost rar

também que a freqüência ele oscilação é wjJ.Jk1Iil, que ~ a mesma do s ist em a não

amortecido.

Deste modo, obtemos a seguínte relação para li de pequeno valor

/1U U=2ó

A Fig . 2 .6-1 m ost ra a vibração l ivre de um sist ema com am ortecim ent o de

Coulomb. Deve-se notar que as amplitudes decaem linearmente em função do tempo.

o am ort ecim ent o de C oulom b re 'sult a do desl izamento de duas superfíc ies secas .

A força de am ort ecim ent o é igual ao produt o da força norm al e o coeficient e de

atrito )1 e é adm itido como independent e da velocidade, um a vez iniciado o m o-

vimento. Visto que o sinal da força de amortecimento é sempre oposto ao da veloci-

dade, a equação diferencial de movimento para cada sinal é válida apenas para inter-

valos de meio ciclo.

Recorremos ao princípio da equivalência entre' o trabalho realizado e a variação

da energia c iné tica, para determinar o decréscim o da ampl it ude. Escolhendo um

meio ciclo a partir da posição extrema, com velocidade igual a zero e a amplitude

igual a X" a variação na energia cinética é zero e o trabalho realizado sobre m é

também nulo.

As medidas de massa e rigidez são necessári~s para os cálculos da freqüência natural,

nos s ist em as de um grau de l iberdade. Pode-se efet uar o cálculo da m assa efet iva ,

ut il izando-se como referência qualquer pont o adequado do s ist em a. Entretanto,

deve-se determinar t ambém a r igidez para est e pont o. R igidez é def inida como a

força necess:iria para prodúzir uma unidade de deslocamento na direção especifica-

da. Se x é o deslocamento especificado sob a força l~ a rigidez é determinada pela

relação.

. Fl i . =-},;

Flexibilidade é a recíproca da rigidez. É designada pela letra "a" e é definida

pela equa ção

onde X_ I é a amplitude após o meio ciclo. como indicado na Fig. 2.6-1. Repetindoesta norma para o próximo meio ciclo, será encon trado ou tro decréscimo de ampli-

t ude no valor de 2F d lk . de m odo que o decréscim o de ampl it ude por c ic lo é um a

constante igual a

4F Xl - X2

=--"k

Em outra seção mais adiante, precisaremos determinar a rigidez, considerados

dois pontos ie i do sistema .. A flexibilidade aij é então definida como a deflexão

em i prod uzid a por uma unid ade de forç a em j.' A rigidez kij é a força necessária

em i para uma unid ade de defle xão em i, com tódas as outras deflexões iguais a

zero. O k e o "a" das Eqs. ( 2 .7 -1) e ' ( 2 .7 ~2) são os leu e aU em termos dessas

quantidades. A t abc!a no f inal dest a seção apresenta os valores de r ig idez para vá-

rios tipos de molas.

o movim ent o cessará , entre tanto. quando a ampl it ude se t ornar m enor que

! :J ., em cuja posição â força da mola é insuficiente para superar a força do atrito es-



Exemplo 2.7-1

Determinar a rigidez das molas no sistema indicado na Fig. 2.7-1.k, ' k,

~k,

~k,

1k c~ . .---_

1/k1 + l/k,

i r =k, + k,

EI

k = "

GJ k =--

I

-r}(}/}/J!}[t~=]~k = 6 ~ ~ f : 3n = número de espíras

-,<c-â

••. 2-1 Uma mola leve alonga de 0,31 paI quando ligada ao peso de uma libra. Deter-

minar a freqüência natural do sistema.

,,2-2 Em um sistema mola-massa k I, m t em u m a f r e qü ê nc ia n a tu r al d e fi' Se uma

segunda nlola é adicionada .em série à primeira, a freqüência natural baixa para

1(2 fi' Determinar k 2 em função de 1 < 1 '

2-3 Um peso de 10 Ib.l igado à extremidade inferior de uma molá cuja extrcI~lidade

superior é f ixa, vibra com um período natural de 0 ,45 s. Determinar o período

n a tu r al q u an do u m p e so d e 5 l b é li g ad o a o m ei o d a m ol a, c o m a m b a s a s ex -

tremidades fiXas_

2k 35

~

~I r-T 'I

I

CT--1 L.c

~ ~I

;t:::"i-j .J~

~

Solução: Sistema (a): Aplicando-se a força F na extremidade in!t 'rior da segunda

m ol a c ad a m ol a e st ic ar á d e F/k, e F/k 2 , respectivamente, e o deslocamento

total 'na extremidade inferior é x = F/k l + F/k 2• De acordo com a Eq. (2.7-1)a

rigidez é en tão

F k k,k =-r-F' =k , ~ 1 -k 2-+-k, k2

Sistema (b): A força F o aplicada em O divide-se em Foú/(a + b) e Foa/(a + b),

respectivamente. As deflexões de I e 2 são Fob/(a + b)k, e Foa/(a + b)k 1 , e a

do ponto O é

{ b a [ a b I I xo=F o (a+b)k

l-I-(a+b) (a+b)k

2-(a+b)k l

F ( a ' b 2 )= (a +ob)' k, -\- k,

F (a -I- b)'k ° = x ° = - ( - a ~ 2- - b ~ 'c - )

° 7( +7(, I

Se k l = k 2 = k e a = b. a equação acima se reduz a k o

34

48Ef k=--

f~

192 Ef k= -1-'-

768Ef k=--

7/'



Um peso desconheddo de IV Ib, l igado à extremidade de uma mola desco-

nhecida k, tem uma freqüência natural de 94 cpm. Aumentando-se de uma Ib

o pesO de W . a freqüência natural baixa para 76,7 cpm. Determinar o peso

desconhecido IVlb e a constante k Ib/pol da mola.

Um peso w 1 suspenso por uma mola k está em equil íbrio est<ítico. Um se-

gundo peso w2 cai da altura h e junta-se a \VI sem ressaltar, como indicado

na Fig. 1'.2-5. Determinar o movimento subseqüente.

k/h

i

· _ ,_ ,- ;- ; .;% W :z

h _1_

IV,

2-6 Tendo em vista o pêndulo torcional da Fig. 2.2-1, explicar como a freqüência

natural depende de: (a) comprimento do arame, (b) diâmetro do arame,

(c) material do arame, (d) do peso suspenso e (e) raio de rotação do pesosuspenso.

2·7 Um volante pesando 70 Ib, -apoiado numa aresta pela face interna do aro,

conforme a Fig. 1' .2-7, oscila como um pêndulo. Determinar o momento

de inércia do volante em relação ao seu eixo geométrico, para o caso do perío-

do de oscilação medido ter sido 1,22 s.

2-9 Um volante de peso JiI é suspenso horizontalmente por três arames de seis

pés de comprimento cada, igualmente espaçados em volta de uma circunferên-

cia de 10 pol de raio. Determinar seu raio de rotação, sabendo-se que é de

2,17 s o per iodo de oscilação em torno de um eixo vertical passando pelo cen.

tro da roda.

2-10 Um conjunto rod" e eixo, de momento de inércia J, é inclinado de um ângulo

C < em relação il vertical. como se vê na Fig. 1'.2-10. Determinar a freqüência

de oscilação resultante de um pequeno peso com li' libras, situado excentri.

camente à dislància a pbl do eixo.

- - - T - I. I I

I '12" 16"

I

2-8 Uma biela com peso de 4.80 Ib oscila 53 vezes em um minuto. quando suspen-

sa na forma indicada na Fig. r.2-S. Determinar seu momento de inércia em re-

lação ao seu centro de gravidade, que e,tá situado a 10,0 pol do ponto desuspensão.

2-11 Um cilindro de massa m c com o momento de inércia da massa Jo rola li-

vremente ~('1l1 deslizar, mas é reCreado pela mola k. como indicado na

Fif'. ,. '·tcrmin~r a freqüência nalural de oscilação.



" " ' : : " ~ - - l ~ " " " "-- ----- --

2-12 Um cronógrafo. é para ser acionado por um pêndulo de 2 segundos, de compri-

mento L, representado na Fig. P.2-12. Um arame de platina ligado ao disco

do pêndulo completa o circuito elétrico de regulação, at ravés lima gota de mer-

cúrio, quando ele passa pelo ponto mais baixo. Pergu[lta-s~: (a) Qual deve

ser o comprimento do pêndulo? (b) Se o arame de platina está em contacto

com o mercúrio numa extensão de um oitavo de polegada da oscilação, qualdeve ser a amplitude 00' a fim de limitar a 0,01 s a duração do contacto?

(Admitir que a velocidade é constante durante o contacto, e que a amplitude

de oscilação é pequena.)

2-14 Uma placa fina retangular é arqueada, formando um cilindro semicircular

como representado na Fig. P.2-14. Determinar o seu período de oscilação, s~

se permite que ele balance sobre uma superfície horizontal.

2-15 Uma barra uniforme de compnmento. L e pesp' W é suspensa simetricamente

por dois fios, con forme a Fig. P.2- J 5. Estabelecer a equação diferencial de

movimento, para pequenas oscilações angulares da barra, em volta do eixo

vertical O-O, e determinar o seu per íodo.

Uma barra uniforme de comprimento L é suspensa na posição horizontal

por dois fios verticais do mesmo comprimento, presos às extremidade;. Se

ti é o período de oscilação rIO plano da barra e~dos fios, e se t2 é o período

de oscilação em vol ta de uma reta vertical que passa pelo' centro de gravidade

da barra, mostrar que o raio de rotação da barra em volta do' centro de gravi-

dade é dado pela expressão .

2-13 Um hidrômetro Dutuador, indicado na Fig. 1'.2-13, é utilizado para medir o

pcso específico dos Iíquidos. O seu peso é de 0,082 lb e o diàmetro da parte

cilíndrica, que se estende acima da superfície, é de 1/4 po1. Determinar o pe-

ríodo de vibração quando se deixa o aparelho balançar para cima e para baixo,

em um fluido de peso espec ífico 1,20. k =(~H-

3\



2 -1 7 U m a b a r ra u n if o rm e , c o m o r a i o d e r ot aç ã o k em volta do seu centro de gra-

vidade, é suspensa horizontalmente por dois fios verticais de comprimento

h, às distâncias a e b d o c e n tr o d a m a ss a. P r ov a r q u e a b a r ra o s ci la rá e m

'1011# I)!I 111/» Y/"fIi,.ul'I'II~ J);I~,~ pt:1l) t;l;nl(l/ IJ~ rn:',\iJ, ~ t1durnin:a ~ frqUi;n-

tia de oscilação.

2 - 18 U m e ix o d e a ç o, d e 5 0 p a I d e c o m p ri m en t o d e 1 - 1 /2 p a i d e d i â me tr o , é u sa d o

c o mo u m a m o la d e t or çã o p a ra a s ro d as d e u m a u to m óv el l e ve , c o nf or m e i n-

dicado na Fig. P.2-18. Determinar a freqüência natural do sistema, consideran-

do que o conjunto roda e pneu pesa 38 lb e que o seu raio de rotação em volta

do seu eixo é de 9,0 1 '0 1 . Discutir a diferença na freqüência natural, estando a

roda travada ou destravada do braço.

2-21 Determinar a massa efet iva do motor de foguete representado na Fig. P.2-2 I , aser adicionada ;l massa m I do atuador.

2 - 22 U m a b a rr a c an t il ev er u n if o rm e v a i se r s u bs ti tu íd a p e la s ua m a s s a e f et iv a , n a

s ua e x t re m id a de l iv re . S u po r u m a c u rv a d e d e f1 e xã o e st át ic a p a ra u m a c a rg a

unifom1C. Calcular a massa efet iva.

2 -2 3 D e te rm i na r o , m o me n t o d e i n é rc ia d a m a ss a e fe ti va p a ra o e i xo I , n o s is te m a

representado na Fig. P.2-23. .

2 -1 9 T a câ m et ro é u m i n s tr u me n to d o t i po f re q üe n cí m et ro d e lâ m in a s, f or m ad o

de pequenas lâminas de aço em balanço, com pesos fixados nas extremidades.

O tacâmetro vibrará quando a freqüência de vibração corresponder à freqüên-

c ia n a t ur al d e u m a d a s l âm i na s, i nd i ca n do d e ss e m o do a f re qü ê nc ia . D e qu e

tamanho deve ser o peso colocado na extremidade de uma lâmina, const ituída

d e u m a m o la d e a ç o c o m 0 ,0 4 p a i d e e s pe ss u ra , 0 ,2 5 p a I d e la rg u ra e 3, 50 p aI

de comprimento, para uma freqüência natural de 20 cps?

2 -2 0 D e te rm i na r a m as sa e fe ti v a n o p o n to O d e um a h a s te u n if or m e d e ma s sa

m e comprimento I, pivotada a uma distância nl d e O, c o m o i nd ic a do n aFig. P.2-20. .

2 -2 4 D et er mi na r e m f un çã o d e ;i: a e ne rg ia c in ét ic a d o s is te ma i nd ic ad o n aFig. P.2-24.



2 -2 5 D e t er m in a r a m a ss a e fe ti va n o p o nt o Il p a ra o s i st em a r ep re s en t ad o n a

Fig. P.2-25.

E s cr ev e r a e q ua çã o d if e re n'c ia l d e mo v im e nt o p a ra o s is te m a i nd ic a do n a

F i g. 1 '. 2- 3 3, c d e te rm i na r a f r e qü ê nc ia n a tu ra l d a o s ci la çã o a m or te c id a e o

coeficiente de amortecimento crít ico.

U m p e s o d e 2 I b é f ix a do n a e xt re m id a de d e u ma m o la q u e t e m a r i gi de z d e

41b/pol. Determinar o coeficiente de amortecimento crít ico.

P a ra c a li br ar u m a m or te ce d or , m e di u -s e a ve lo c id a de d o ê m b ol o q u an d o l he

era aplicada certa força. Considerando-se que um peso de 1/2 Ib produziu uma

v el o ci da d e c o ns ta n te d e 1 ,2 0 p ol /s , c a lc u la r o f at or d e a mo r te ci m en to ~ ,

quando usado com'o sistema do Probl. 2-26.

2 -2 8 U m s is te m a v i br at ó ri o c o me ç a s o b a s s e gu i nt es c o nd i çõ e s i ni ci ai s: x = O,

i = vo . De te rm in ar a e qu aç ão d e m ov im en to q ua nd o: ( a) ~ = 2,0,

( b) ~ = 0 ,5 0, ( c) ~ = 1 ,0 . T r aç ar a s c ur v as n ã o d i m en s io n ai s p ar a o s t r ê s

casos, tendo w,.r como abscissa e xwn/vo como ordenada.

U_m sistema .mola-massa com amortecimento viscoso é deslocado da sua posi-

çao de equIlrbno c sol to. Qual a fração de amortecimcnto crít ico do sistema,

se a amplitude baixou de 5% em cada ciclo?

U m a . ba r ra u n if or m e r íg id a d e m a ss a m c c o m pr im e nt o I é art iculada por

um p1l10 em O c s u po r ta d a p o r u m a m o la c u m a m o rt ec ed o r v i sc o so , c o mo

r ep :e s en ta d o n a r ig . 1 ' .2 - 35 . M e di nd o O a , part ir da posição de equilíbrio

estallco, determlflar: (a) a equação para um valor pequeno de O (o momento

d e i n ér ci a d a b a r ra e m r e la ç ão a O é ml2 / 3) , ( b ) a e qu a çã o n o c as o d a f r e-

q ü ên ci a n a tu ra l n ; lo a m or te c id a , e ( c ) a e xp r es sã o p ar a o a m or te ci m en tocrítico.

2 -2 9 U m s i s te m a v ib ra t ór io f o rm a do d e u m p es o d e 5 I b c u ma m o la c o m r i gi d ez

de 10 Ib/po! é amortecido viscosamente de tal modo que a relação entre duas

amplitudes consecutivas quaisquer é de 1,00 para 0 ,98. Determinar: (a) a fre-

q ü ên c ia n at u ra l d o s is te m a a m or te ci do , ( b ) o d ec r em e nt o l og a rí tm i co , ( c) o

fator de amortecimento, e (dj 'o coeficiente de amortecimento.

2-30 Um sistema vibratório é formado de um peso de 10 Ib e uma mola com rigidez

, de 2 0 l b /p o l, e u m a m or te ce d or c o m u m c o e fi ci en te d e am o rt ec im e nt o d e

0 , 071 I b /p o l p or s e g u nd o . C a lc u la r: ( a) o f a t o r d e a m o r te ci m en t o. ( b ) o

decremento logarítmico, e (c) a razão de duas amplitudes consecutivas quais-

quer.

2-31 Um sistema vibratório tem as seguintes cOllStantcs: IV =38,6lb, k =40 Ib/pol,

e c = 0,40 Ib/pol por segundo. Determinar: (a) o fator de amortecimento,

(b) a freqüência natural da oscilação amortecida. (c) o decremento logarítmi·

c o, e ( d ) a r az ão d e d ua s [ re ü ~ ' . ~ cu ti va s q ua is qu er .

2-32 Estabelecer a equação diferenci 1 de movimento para o sistema reprcsentado

n a F i g . 1 ' . 2· 32 . D e te r mi na r a e x pr e ss ão p a ra : ( a) o c o e fi c ic n te d e a m o rt e-

cimen to crít ico, e (b) a freqüência natural da oscilaçJo amortecida.2 - 36 U r na p l a ca f in a d e á r e a A e peso W é presa à ex tr e mi da d e d e u ma m o la e

oscila num fluido viscoso, conforme a Fi~. P.2-36. Se TI é o período natural

43



de osci lação não am ort ecida ( is to é , quando o s ist ema osci la no ar) e 72, o

perío do amor tecid o.com a plac a imers a no fluid o, most rar que

onde a força amortecedora sobre a placa é F d = J12A v, 2A é a área total da

plac a, e v é a sua velocidade.

2-42 Determinar a flexibilidade de uma barra uniforme de comprimento L, supor.

tada simplesmente em um ponto situado a 1/3 L da extremidade.

2-43 Determinar a rigidez efetiva do sistema representado na Fig. P.2-43, em termos

do deslocamento x.

\2·37 U m cano de canhão com 1200 Ib de peso t em um a m ola de recuo com a r ig idez

/A Í e 20.000 Ib por pé. Se o cano recua 4 pés 'ao atirar, determinar: (a) a veloci-

".'--~/".. dade inicial de recuo do cano, (b) o coeficien te de an1ortecin~cn to crítico de

um am ortecedor que é ac ionado no f im do curso de recuo, e ( c) o tem po

necessário par~ o cano voltar a uma distáncia de 2 pol da sua posição inicial.

2·38 U m pis tãq pesando 10 Ib percorre um t ubo com a velocidade de 50 pés/ s e

aciona uma mola e um amortecedor, conforme indica a Fig. P.2-38. Determi.

nar o deslocamento m áxim o do pis tão após acionar o conjunto m ola.am or .

tecedor. Quantos segundos dura este deslbcamen to'!

v = = 50 pésls c = = I ~':..::-

& B ~ I P o l

2·44 D et erm inar a r igidez efet iva do s is tem a t orciona! indicado na Fig . P.2-44.

Os dois eix~s em série/têm os valores k, e k2 , respectivamente, para a rigidez

torcional.

2·39 Um absorvedor de choque é para ser projetado de modo que ultrapasse de 10% o

deslocamento inicia!, quando solto. Determinar \ I' Se \ é igualado a 1(2 \ I'

de quanto será a ultrapassagem'!

2·40 D iscuti r as l im it ações da equação 6.UjU = 2 8 c on si de ra nd o o c a so d e

X2/X, = = 1(2.

2·41 Determinar a rigidez efetiva das molas representadas na Fig. P.241.44

2-45 U m sist ema m ola-massa m , k é posto em ação com um deslocamento inicial

unitário e uma velocidade inicial de zero. Representar graficamente lnX em

funç,yo de li, sendo X a am pl it ude no cic l6 li para. (a) amortecimento vis.

c os o c om \ = 0 .0 5. e ( I l) a m or te ci me nt o d 'e C o u] om ll c om a f or ça d e

amortecimento F d = = 0.05k. Quando as amplitudes·serão iguais?



MOVIMENTO EXCITADOHARMONICAMENTE

)

)

) 3

A excitação ham1ônica é muitas vezes encontrada em sistemas mecânicos. Ela é

geralmente produzida pelo desequilíbrio em máquinas rotativas. Embora a ex~itação

harmônica pura seja menos freqüente que a periódica ou de outros tipos, é essencial

a noção. do comportamento d;: um sistema a ela submetido, a fim de se compreender como o mesmo responderá a tipos mais comuns de excitação. A excitação harmônica pode ser sob a forma de uma força ou deslocamento de um ponto do sistema.

Vamos considerar primeiro um sistema com um grau de liberdade com amortecimento

viscoso, excitado por uma força harmônica F o sen wt, conforme indicado na Fig. 3.2-1.

L ~ . : ~Figura 3.2-1. Sistema ~í scosamellte amortecido com excitaçaã harmônica.



A sua equação diferencial de movimento é a seguinte, deduzida do diagrama docorpo-livre:

A solução desta equação consiste de duas partes, a função complementar, que é

a solução da equação homogênea, e a íntegral particular. A função complementar,

neste caso, é uma vibração livre amortecida que foi discutida no Capítulo 2.

A solução particular para a equação acima é uma oscilação de estado perma.

nente da mesma freqüência €.o) que ade excitação. Podemos supor que a solução particular seja da forma

cúJ

tg q ; = TJnúJ'

l--k-

As equações acima podem ainda ser expressas em termos das seguintes quan-tidades

úJn~c, ~ = = Freqüência natural de oscilação não-amortecida

onde X é a amplitude de oscilaçã"o e lf J é a fase do deslocamento, com relaçã"o ãforça de excitaçã"o.

Para se ter os valores da amplitude e da fase, substitui.se x na Eq. (3.2-1)

pelo seu valor na Eq. (3.2-2). Lembrando-se que no movimento harmônico as fases

da velocidade e da aceleraçã"o estiro 90° e 180° além do deslocamento, respectiva.

mente, os termos da equação diferencial podem também ser apresentados graficamen-te, como na Fig.3.2-2.

, , ~ ~ = = Fração ou fator de amortecimentoc,

As expressões não-dimensionais para a amplitude e a fase tornam-se então

Xk • I

F o ~,c I r [ - - (úJ) 2 J ' [ ' . ( úJ ) J '- V I I ~ úJn

-I- 2( úJ

n

Figura 3.2-2. Diagrama vetorial para a vibração forçada com amortecimento.

Este diagrama permite concluir-se facilmente que

X- . Fo

- : : J ( k - JnW ')2 + (cúJ)'

Essas equações indicam que a amplitude não-dimensional XkjF o

e a fase 1 > . são

funçõcs somente da razão de frc9üências w/wn e do fator de amortecimento ~ e

podem ser represcntadas graficamente, como indica II Fig. 3.2-3. Essas curvas mos-

' tram que o fator de amortecimen to tem uma grande iiJiluência na amplitude e no

ângulo dc fase, na zona de freqüências próximas à ressonância. Pode-se obter melhor

compreensão do comportamento do sistema, pelo estudo do diagrama dé forças

correspondendo à Fig. 3.2-3, nas zonas onde w/wn

é peq~ena, w/wlI

= = I ew/w

ll é grande.

Vamos expressar agora as Eqs. (3.2.3) e (3.2-4) em forma não-dínlCnsional,

o que permite uma apresentação grática concisa desses resultados. Dividindo por

k o numerador e o denominador das Eqs.(3.2-3) e (3.2-4), obtemos48



Para valores grandes de w/wn muito maiores que um, c / J aproxima·se de

1800

e a força aplicada é gasta quase que inteiramente para vencer a grande força

de inércia, conforme se observa na Fig. 3.2-4c .

Resumindo, a equação diferencial e a sua solução completa são expressas da

seguintc forma, incluindo o termo transiente:

."- 0,05 .;::

0,10 ~ 90°

I o

0,15 r c ~oI ~ =- "

0,25 c,'-<

I0,375

~senWIm2 3 4 5

Razão de freqüência W

w nFo sen(WI-rP)

TJl1 - - -(; Y T I [2 t;:J! X1c-c"''''sen("/I --/;"w,./ + rPI)- +

I

° 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 .w

Razão de freqüências -Wn

Figura 3.2·3. Gráfico relativo às Hqs, (3.2.7) p (3.2·8).

o desbalanceamento em m.íquinas· rotativas é uma fonte comum de excitação vibra·

tória. Consideramos aqui um sistema mola·massa obrigado a se mover na direção

vertical e excitado por uma máquina rotativa que está desbalanceuda, conforme a

Fig. 3.3-1. O desbalanceamento é representado por uma massa excêntrica III com

excentricidade c, que está girando com a velocidade angular w.Tanto a inércia como as forças de amortecimento são pequenas para valores de

.w/wn muito menores que um, Jo que resulta um pequeno ângulo de fase c / J . A

magnitude da força aplicada é então aproximadamente igual à força da mola, como se

observa na Fig. 3.2-4a.

Para w/wn '" I ,O, o ângulo de fase é 900

e o diagrama de forças apresen·

ta·se como na Fig. 3.2-4b. A força de inércia, que é maior agora, é equilibrada pela

força da mola, ao passo que a força aplicada supera a força de amortecimento.

O valor da amplitude na ressonância, tanto se pode obter pcla Eq. (3.2-5) ou a

Eq. (3.2.7), ou pela Fig. 3.2-4b, e tem a seguinte expressão:

X =Fo . - - J : < L( 'ú .> " - 2(k

Figura 3.3·1. Força Jiannônica pcrturbadora remitante de

deshalanceamcnlo ro/ativo.

Sendo x o deslocamento da posição de equilibrio ~stático da massa que não gira

(M - m), o deslocaJ1lento de m é



, {J2

(M - 1 1 1 ) 3 .: -I- 1 1 1 - / ,(x -I- (' sen WI){/o

x = mewz ,.j(k - MwZ)Z + - (cw)O

apresentadas graficamente na Fig. 3.3·2. A equação seguinte dá a solução completa

.\"(1) - = X 1 (' ;" ' - ' se n ( "í .- (' w,/ + rP 1 "J

+ - - ~ " ~ ' ~ ~ ~ ~ ~ : . . ==sen(o){ ... 1;) (3.3-6) , U ;·- Mw')' + (cw)'

É pois evidenté que a equação aci~a é idêntica à Eq. (3.2-1). onde 1" 0 está subs.

tituída por mew2

, e , nestas condições, a solução do estado permanente da seçãoanterior pode ser substituída por .

Exemplo 3.3-1

Um peso excitador, formado de peças excêntricas que giram em sentidos con-

trários, é utilizado para produzir oscilação forçada em massa suportada por molas, como se observa na Fig. 3.3-3.

- < >~

< S

~ 90· -- '0'0

o"3

~,~2.0

~I~ 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Raz50 de ffeq üências ~

wlI

Foi registrada uma amplitude ressonante de 0,60 pol, com a variação da

velocidade de rotação. Quando se aumentou a velocidade de rotaçáo muito

além da freqüência de ressonância, notou·sc que a amplitude se aproximava de

um valor lixo de 0,08 pol. Calcular o fator de amortecimento do sistema.

.11.r -- ,.,. '" 0.60 pol- <,

Quando w é muito maior que wlI' a mesma equação se transforma em.//1('

:tI" 0,08 pol3.0

R'1Z. io de freqüências -~~w n

Figura 3.3-2. Gráfico das equações (3.3.4) e (J.f5) para () caso de l'ihrara"o

forçada com úesbalanceamento rotativo. o.o~. = O 0666~ X 0,60 .



Mostramos' que uma massa m situada à distância radial e do eixo de rotação

resulta numa força centrífuga. mew2• Tais forças provocam o desbalanceamento.

,que será estático ou dinâmico, confQnne a sua distribuição no rotor.

Desbalanceamento estático. Quando as massas desb,t1anceadas estão todas elas num

mesmo plano, como no caso de um disco rotor fino, o desbalanceamento resultante

é uma única força radial. Confonne se observa na Fig. 3.3-4, pode:se constatar

este desbalanceamento por meio de um teste estático, no qual o conjunto roda-eixo é

colocado sobre um par de trilhos horizontais. A roda gira então para uma posição

onde o ponto pesado fica diretamente abaixo do eixo. Tal desbalanceamento é

denominado de estático, pela razão de não ser necess,írio fazer girar a roda para

descobri·lo.

Via de regra, um rotor longo tal como o induzido de um motor ou o eixo de

manivela de um automóvel é considerado como uma série de discos finos, cada um

com algum desbalanceamento. É necessário fazer girar tais rotores a fim de se de-

tectar o desbalaneeamento. Há máquinas para detectar e corrigir o desbaJanceamen-

to. Essencialmente, essas l;:!áquinas consistem de mancais de apoio mont~~o~~

molas cujo movimento revela o desbalanceamento, como indica a Fig. 3.3-6. Co·

nhecendo-se a amplitude de cada mancal ea su;-fase relativa, é possível d~le~;;:;;~:;e

o desbalanceamento do rotor e corrigi-Io.

Embora um disco fino seja balanceado estaticamente, o mesmo resultado se

obtém dinamicamente. Neste. sentido, expomos um teste que se faz sim-

plesmente.

O disco é apoiado sobre mancais contidos por molas que se movem hori-

zontalmente, como indica a Fig. 3.3·7.

~'-------~.""

Desbalanceamento dinâmico. Quando odesbalanceamento se apresenta em mais

de um plano, a conseqüência é uma força e um momento oscilante referido como

desbalanceamento dinâmico. Como vimos antes, podemos encontrar a força resul-

tante por meio de um teste estático, mas o momento oscilante só é detectado com a

rotação do motor. Por exemplo, consideremos um eixo com dois discos, conforme a

Fig.3.3.5. Se as duas massas não-balanceadas são iguais e defasadas de 180°, o rotor

cstari baJanceado estaticamente em relação ao eixo. Entretanto, quando o rotor

está girando, cada disco não-balanceado desenvolve uma força centrífuga rotativa,

cuja tendência é fazer o eixo oscilar nos seus mancais.

, Girando a qualquer velocidade predetenninada, anotam·se a amplitude X o e

a posição "a" da roda na excursão máxima. Um acclerômetro no mal~cal e

um estroboscópio podem ser usados para esta observação. A amplitude Xo ,

devido ao desbalanceamento original IVo, é desenhada na escala sobre a roda

na direção de o para a.

Em seguida, um peso de ensaIO IVI é adicionado cm qualquer ponto da

roda e o processo é repetido na mcsma velocidade. A nova amplitude XI e a

posição "b" da foda, que resultam do desbalanceamellto originaJ Wo e do

peso de ensaio IV;, são representados pelo'vetor ob. O vetor diferença ab éentão o efeito do peso de ensaio IV, somente. Se a posição de IVI é agora

avançada do ângulo ljJ indicado no diagrama vetorial, e se a magnitude de

IVI é aumentada de IVI (oa/ab), o vetor.ab torllar-se-á igual e oposto ao

vetor oa. A roda está agora balanceada, pois XI é zero.

TH :1

li tLJr Rolor

Exemplo 3.3-3

Faz·se o balanceamento de!Jm rotor longo pela adição ou remoção de pesos

corretivos em dois quaisquer planos paralelos. Geralmente se faz a correção

55

Figura 3.3·5. Sistema com desbalallceamento Figura 3.3-6. Máquilla de ba/allceamclltodillâmico. de rotor.



abrindo furos nos dois planos extremos, isto é, cada força de inércia radial

mew2

é substituída por duas forças paralelas, uma em cada plano extremo.

Agindo-se de fomla semelhante com várias massas não-balanceadas, obtém-se a

correção desejada pela resultante das forças nos dois planos extremos.Os eixos rotativos apresentam a tendência a curvar quando atingem certas velocidades

e de girar de um modo complicado. "Whirling" é definido como a rotação do plano

formado pelo eixo curvado c a reta que passa pe los centros dos mancais. As causas

do fenômeno são várias, tais como o desequil íbrio de massa, o amortecimento de his-

terese no eixo, forças giroscópicas, atrilo dos fluidos nos mancais etc. O "whirling"

pode acontecer na mesma ou na direção oposta à rotação do eixo. Quanto à sua

velocidade, tan to pode ser igual como diversa da do eixo.

O assunto "whirling" de eixos é um tema sutil e o seu movimento, de um modo

geral, está sob a classificação de au to-excitado, no qual as forças excitadoras que o.

induzem são co.ntroladas por cle próprio. A apreciação de um modo geral do movi-

mento "whirling" de eixo está além do objetivo deste texto. lndicamos aos interes-

sados um excelente trabalho quc trata do assunto, de autoria de Edgar l.Gunter, lr. * *

.Apreciaremos nesta seç:To o caso mais simples de rotação slÍzcrona, e m qu e a

velocidade de rotaç:To. do cixo é idêntica à de "whirling". Neste propósito, vamos

supor um sistema ideal formado de um disco de massa m, montado simetricamente

num eixo suportado por dois mancais, conforme a Fig. 3.4-1. O centro G da

Figura J.J~8. Correção do c1es!Ja/anceamcnto de UIll rotor longo em dois

planos eXlremós.

Consideremos o balanceamento de um rotor longo de 4 paI, representado na

Fig. 3.3-S. Ele tem um desbalanceamento de 3 oz/pol em um plano a I paI

da extremidade esquerda e um de 2 oz/pol no plano médio, deslocando angu-

larmente de 90° do primeiro.

O desbalanceamento de 3 oz/pol é equivalente a 2...L oz/pol na extrelllida-. 4

de esquerda e 3/4 oz/pol na extremidade direita, como indicado. O de 20z/pol

no meio é obviamente igual a I oz/pol nos extremos. Combinando os dois des-

balanceamentos em cada extremo, as correções são:

I

B I = tg-

I

- = 24° O ' 110sentido horário, a partir do plano2,25do primeiro desbalanceamento

B -tg-I 1., - 53° no sentido horário, a partir do pl.ano do2 ~ m ~

primeiro desbalanceamen to

•• Edgar J. eUI1!cr, Jr., "Dy,mníc Stability or Rotor-lJearing SY$terns", NASA Sf'-J JJ,1966, U. S. Government f'ríl1!il1g Offíce, Washington, D. C. 20402.



massa do disco ·está a uma distância radial e do seu centro gcométrico S. A reta

que passa pelos centros dos mancais atravessa o plano do disco em O , e O S re·

presenta a Oexão do centro do eixo. Neste caso de sincronismo, O , S e e per·

manecem fIxos, cada um em relação ao outro, ao passo que o eixo e o disco giram a

uma velocidade constante w. Com a posição do centro S do eixo defInida por xs e

Ys' as coordenadas do centro e de massa são (xs + ecos wt) e (ys + e sen wt).

Admitindo que o amortecimento viscoso seja proporcional à velocidade de S, são

. as segui~tes as equações de movimento nas direções de x e y

à velocidade crítica wll = .jffiii, ou a freqüência natural do eixo em vibra:;,ro Ia.

teral, encontramos uma condição de ressonância na qual a amplitude é contida apenas

pelo amortecimento. A Fig. 3.4-2 mostra o sistema disco·eixo sob três condições

diferentes de velocidade.

d 'III-,(X 1 - ecos úJl)

di' '

Em muitos casos o sistema dinâmico é excitado pelo movimento do ponto de supor.

te, conforme indicado na Fig. 3.5-1. Chamamos de y o deslocamento harmônico

do· ponto de suporte c medimos o deslocamento x da massa m a partir de uma

referência fixa.

Na posição deslocada, as forças desbalanceadas são devidas ao amortecimento e

às molas, c a equação diferencial do movimento torna·se

( / , ,.1Il-(Y + esenúJl)'~ -f{l'.'. c)',

di' , - ,

111.\', + c~,+ kx, ,~ lIleúJ' cos úJ/

IIlji, -I· C)i, + k)', 'c., IIlcúJ' sen úJ/

Estas equações são similares à Eq. (3.3-1) e por inspeção podemos escrever a solução

meúJ' COS(úJI - rp)

Xl = ,,/(k __- l11(2)2 _ 1 _ ( C W ) 2

mew'sen(WI - rp)

y, =-/(k -- !I1CtJ'V-j (CúJ)'

r - " : ]- ; i r I k(x-y)

lIlew'

O S ,~ r " Jx; -I y ;. J(k:- IIlw')21(cw»

t r p - _ CúJg - k -- IIlW'

É então evidente que a reta se = e está adiantadá de um ângulo de fase e p sobre

o deslocamento da reta OS = r, ângulo este que depende da quantidade de amor-

.tecimento e da velocidade de rotação w. Quando a velocidade de rotação wé igual

14-/ " -

/ . \I G /\ S\ O

\\''- .~

G /

s

que mostra estar o deslocamentq x defasado pelo ângulo e p do deslocamento y.

Levando estes valores na Eq. (3.5-2), obtemos

. Figura 3.4-2, Relaçaõ amplirude-fase em rotação s{llcro,lla

com amortecimento ~·iscoso. (3.5-4 )

59



A Fig. 3.6·1 mostra os elementos essenciais de um instrumento medidor de vibração.

Consiste ele de uma massa sísmiea suportada por molas dentro de urna caixa,'a qual

é para ser presa ao eorpo em vibraçJ'o . O m ovimento a ser m edido é y e o movi.

mento relativo ( x - : y) ent re a m assa ni e a caixa que a cont ém é sensorizado.

C onsiderem os, para determinar o com portam ento de t ais ins trumentos , a

equação de movimento da massa m. que é

' Pa ra a ch ar o â n gu lo d e f a~ e I /J , igualam os as par tes real e Im ag1l1ana na

Eq. ( 3 .5-4) a f im de determ inar o seno e o co·seno de r I J . A razão resulta pois na

equação para o ângulo de fase, que é

_.-0.05- - - - - - - ,.-0,10

I0,15

.- 0,25

-+ ---0,375

I0,50'--'

2 ( ( W ) . 1Ú)"

- ( ~ ) ' - ; - ( 2 ( (j) )'

,Ú)/I O)"

;.=0.05

0,10 _ _ _ _ _ _ . O . I 5 = = = = .

0,250,3750,50

A dmitindo para o corpo em vibração o m ovim ent o senoidal y

mos a equação

que é · idêntiea na fODl1a à Eq. (3.3·1), com z e mYw2 substituindo x e IIICW2,

respectivamente. Examinando. constatamos então que está dispon ível a solução de

estado permanente z = Z s en (wt .. r I J ) que é

ww n ·

mYw' fiC~~;(,)'F~~(;ZJji

A s equações ( 3.5-5) e ( 3 .5-6) para a am pl it ude do est ado perm anente e fase S :IO

repr~sentadas graficamente na Fig. 3.5·2. Observa-se que as curvas relativas às ampli.

t udes para diferentes am ortecim ent os, t odas e las apresent am o m esm o valor de

IX /Y I = 1,0 para a razão de freqüêneias w/wn

= vI2.60



A Fig. 3.6-2 apresenta um gdfico da Eq. (3.6-5) que ê idêntico ao da Fig. 3.3-2

com Z/Y substituindo MX/me. O t ip o d o i n st ru m en to é i n di ca d o p e la s u a f a ix a

útil de freqüências com relação à freqüência natural.

Sismômetro. Um sismômetro é um instrumento de freqüência natural baixa. Nestas

c on d iç õ es , a f a ix a d e f r e qü ên c ia s p a ra a q u al e le é d e st in ad o c ar a ct er iz a- s e p o r

u m v a l or g ra n de d e w/wn- U m e x am e d a E q . ( 3. 6- 5) m o st ra q u e à medida que

w/ w n -+ 00, o d é sl oc a me n to r el at iv o Z t o r na -s e i gu a l a Y, o u I Z /Y I 1,0.

Então, a massa m permanece estaeion,íria enquanto a caixa de suporte nlovimen-

ta-se com o corpo em vibração.

Uma das desvantagens do sismômetro é o s eu t a ma nh o g ra nd e. U ma v e z

q u e I ZI = = I Yj, o movimento relat ivo da massa sísmica deve ser da mesma ordem

de magnitude que a vibração a ser medida.

O m o vi m en t o r el at iv o é g e ra lm e nt e c o nv e rt id o n u ma v ol ta g em e lé tr ic a . f a-

z e nd o -s e d a m a ss a s ís m ic a u m m a gn e to q ue s e m ov e e m r c \ aç ão a b o bi n as f ix ad a sn a c a ix a. U m a v e z q u e a v o lt ag e m g er a da é p r o po r ci on a l : \ t ax a d e v a ri aç ã o' d o

campo magnético, a leitura do instrumcnto scrá proporcional à vclocidade do corpo

em vibração.

A e e\ er ôm e tr o. 'Os i ns tr um e nt o s m e di d or es d e v i br a çã o s ão , a t ua l me n te , n a su a

maioria, const itu ídos de acelerômetros. Mesmo os terrcmotos são regislrados por

esses aparelhos, sendo a velocidade e o deslocamento obtidos por integração. A pre-

ferência pelos acelerômetros como aparelhos medidores de vibração baseia-se no seu

tamanho pequeno e alta sensibilidade.

Acelerômelros são instrumentos de freqüência natural alta, e a faixa út il do seu

f u nc io n am e nt o é w/w/I e nt re z e ro e c er c a d e 0 , 4. O e xa m e d a E q . ( 3 .6 .5 ) p a ra

w/wlI -+ O conduz a

z, - (02 ~ C~ aceleraçãow ; w ;

05\\ L--- ----: . . : = = ---\,0----

- r = 0,70 f--

c, em conseqüência, Z torna-se proporcional à aceleração do movimento a ser medi-

do. A sensibilidade baixa, entretanto, à medida que wll

a u me n ta , d e m od o q u e

wll não deve ser mais alta que o necessário. Por .exemplo, acelerômetros ut ilizados

extensivamente para 'medições em terremotos têm uma freqüência natural de 20 cps,o que permite reproduzir com fidelidade movimentos do terreno eom freqüências'

inferiores a 8 cps. Efet ivamel:te, uma correção.na calibração do instrumento permite

a medida de movimen tos até 16 cps. •

O acelerômelro de cristal piezoelétrico é ut ilizado extensivamente para uma

f ai xa m a io r d e f r eq ü ên ci a s. S u a f r eq ü ên ci a n a tu ra l é g e ra lm e nt e m u it o a lt a, o q ue

torna sua aplicação possível para freqüências até 1000 cps ou mais.

A faixa út il de freqüêneià do acelerômetro não amortecido é, de certa forma,

limitada, eio face da queda rápida do denominador I-(W /W n)2 à medida que W

a u me n ta . E n tr e ta n to , c o m'] a m or te ci m en to d e nt ro d o s l im i te s d e \ ' = = 0,65 a 0,70,

a redução do termo I - (W/W,)2 é compensada pelo termo adicional (2\,W/WIl

)2,

de modo a aumentar de muito a faixa út il do instrumento.

1800

1

\0 "0-

1 "3,0 .;:l'J

90''O

IZ/YI o'30 "", . - , :

O 1,0 2,0 3,0 4.0 5.0

R a z ão d t .. : fr e qü ê n ci a s - ~wll

1,05U-= l _I I

I" : ' , ~ : - - L--71 / i ~ ,~0,6 ,

I I ./ !I' ! D -,------3 3" r~O V

.v, 1.02 - - - - 1 1 ' l/V -r-r- ------f---

'" 1,01 ---:;~- :7""L--P'"/'---- Nr - 0,65 \

+ 1 ,00 f-'-.: 1--- " I

-r-.... r - - . . . . . I'\!

I"~ 0,99 "-... "-..._ r=O,70!\

i 313 " 0,98 - 'i I i! 'I 0,97 - - - '"

! ~ 0,96 r = 0,75\ ! \~ ~. '1\ I

0,95 : \

O

'uR a 7 . : To de f r e qüê nc i a s - - - --

wll

U m i n s tr um e nt o t íp ic o d e st à e s p éé ie t em u m a f r e qü ê nc ia n a tu ra l e n tr e 2 a 5 c ps e

uma faixa út il entre 10 e 500 cps. A sua sensibilidade varia em torno de 100 l1lVpor

pol/s , com deslo came nto limit ado a 0,2 pol.

62

WIl

Fi,\7Ira J.6-3. Erro do acC!crólIlelro em fUlIção da freqüência. lendo r COIllOparâmelro.



para vários valores de amortecimento, representado graficamente, em escala aumen.

tada. A maioria dos aeelerômetros utiliza o amortecimento próximo de \ '" 0,70,

o que não só estende a faixa útil de freqüências como evita a dístorção de fase.

Distorção de fase. Para reproduzir uma onda complexa sem mudar a sua forma, a

fase de todos os componentes harmônicos deve variar igualmente ao longo do eixo do

tempo. Isto pode se realizar se O ângulo de fase < p da saída do acelerômetro aumen .

. ta l inearmente com a freqüência. Por exemplo, se < p = = n/2 X w/w/l' que ê sa-

tisfeito aproximadamente por \ = = 0,70, a distorção de fase é praticamente eli-minada.

Exemplo 3.6-1

Investigar a saída de um acelerômetro com amortecimento \ = = 0,70 quando

usado para medir um movimento periódico com o deslocamento dado pelaequação

Visto que a amplitude X desenvolvida sob a força F o sen wt é dada pela Eq.(3.2-5),

a equação acima fica reduzida a

FoJI I (Tr )[1- líl~)2rlt~~f

Solução: Para \ =0,7,0, r f> 2 ! n/2 X w/w/l' de modo que rf> 1

e <P2 = = n/2 X W2/W/l' A salda do acelerômetro é então A comparação das Eqs: (3.7-2) c (3.5.5) indica que IFT/Fo I é idêntica a

IX /n = = Iw2 X /W 2 n. Desta forma, o problema do isolamento de uma massa do

movimento do ponto de apoio é idêntico ao do isolamento das forças perturbadoras.

Cada uma destas razões é definida como transmissiDilidade, e a ordenada da Fig. 3.5.2

representada igualmente transmissibilidade de força ou de deslocamento. Essas curvas

mostram que a transmissilibidade é menor que a unidade apenas para w/wn

> ..j2,

estabelecendo,deste modo,o fato de que o isolamento da vibração é possível somente

para w/w/l > 0. Conforme se vê na Fig. 3.5-2, na região wlwn > 0, uma mola.

não· amortecida é superior a outra amortecida, na redução da transmissibilidade. Bdesejável algum amortecimento quando é necessário que W varie através da região

de ressonância, embora a grande amplitude na ressonância possa' ser limitada por

paradas.

Quando o amortccimen to é desprezível, a equação de' transmissibilidade se

reduz a

: ' ~ {w iY , senOJ,(I- 2w~) i (J)~y,Senwl(1 .3 - ') )" - " 2OJ"

Muitas vezes as forças vibratórias geradas por máquinas e motores são inevitáveis.

Consegue·se, entretanto, a redução substancial dos seus efeitos sobre um sistema di-

nâmico pelo emprego de molas projetadas adequadamente, que são denominadas deisoladores.

64

I

( . w rw"

)

)

I , )

/



ficando entendido que o valor de w/wn a ser usado é sempre· maior que 0. E

mais, substituindo-se w : z por g/ ! :J ." , onde g = 386 pol/s2 e !:J ." = deflexão está-

tica em polegadas, a Eq. (3.7-3) é expressa como

I

TR = = {2nf)'!:J.-'---1

g

das. Para esses casos mais avançados indicamos ao leitor o excelenle Iraballlo de

C. Crede* sobrc isolamcnto da vibração.

Exemplo 3.7-1

Uma' m<Íquina, com o peso de 200 lb e suportada por molas com a rigidez

total de 4000 lb/pol, tem um elemento rotativo desbalaneeado do qual resulta

uma força perturbadora de 80 Ib a uma veloeidade de 3000 rpm. Supondo um

fator de amortecimento ~ = 0,20, determinar (a) sua amplitude de movimen-

to em face do desbalanceamento, (b) a tr'Jnsmissibilidade, e (c) a força trans-mitida.

Resolvendo em relação a f e convertendo-o para ciclos por minuto, obtemos a se-

guinte equação

f ....= 1 8 8 f ~ , , (i R -I- I) , f= 1 8 8 , 1 ~ " ( 7 ~ =~ D (3.7.5)

onde a redução percentual na transmissibilidade é definida como R =(l - TR). A

Fig. 3.7·2 apresenta a Eq. (3.7·5) para f em função de !:J ." com R como parâmetro.

Solução: A dellexão estática do sistema é io o o o o =0,05 pol, e sua freqüência na-tural é

30000

20000

15000

10000

7000

5000

Ê~ 3000

'"o 2000

"'".o

~ 1500

"" - 1000

'"u" 700.","g'

500, ; : :

300

200

150

t : ~'2f'J8() 841 cpm.o n 2n\ 0,05

(a) Substituindo na Eq. (3.2·7), tem·se a amplitude de vibração

(4~80 )

. , .1 [1 ()~~~º)2Fi [2>, 0,20 x W f º .l'

(b) A transmissibilidade, conforme a Eq. (3.7-2), é

~-----'--'-----,-,,;.-o-'~/I i (2/0,20 x ífffJ'

,ifi n (3~0;)t)2j2 ! (2:..-: 0,20 ~< ~)'

0,010 0.02 0.05 0.10

DeOexão estática (pol)

o amortecimento está presente em todos os sistemas oscilatórios. Seú efeito é retirar

energia do sistema. A energia em um sistema em vibração ou é dissipada sob a forma

de calor ou irradiada. Faz-se uma experiência simples da dissipação de energia em

calor, ao se dobrar um certo número de vezes uma tira de metal, de um lado para o

outro. Todos nós sabemos do som que irradia de um objeto ao levar uma pancada.

Quando se faz uma bóia balançar para baixo e para cima na água, ela irradia ondas edai resulta a sua perda de energia. .

Na análise de vibração, estamos geralmente interessados com amortecimento

em termos da resposta do sistema. A conseqüência da perda de energia no sistemaEsta discussão foi limitada a corpos com translação apenas ao longo de uma

só coordenada. Regra geral, um corpo rígido tem seis graus de liberdade a saber,

translação ao longo e rotação em volta dos três eixos perpendiculares das coordena.

66)

J

-c. E. Credc, "Vibration and Shock Isolatíon" (Ncw York: John Wilcy & Sons. 1951).

67



oscilatório é a queda da amplitude da vibração livre. Navibraç,To forçada do estado

perm anent e, a perd a de energ ia é compensada pela energia suprida pela excitaç,To.

Um sistema em vibração pode encontrar muitos tipos de forças amortecedoras,

desde o atrito molecular interno ao atrito por deslizamento e resistência de Ouido.

Geralmente, a descrição matemática dessas forças é muito complicada e não se presta

para a análi se da vibra ção. Nest as' cond ições , foram dese nvolv idos vário s mode los

simplificados de amortecimento, considerados adequados cm muitos casos de ava-

liação da resposta do sistema. Por exemplo, já usamos o modelo de amortecimento

viscoso, representado pelo amortecedor, que conduz a soluções matemáticas tratáveis.

A dissipação de energia é ·usualmente determinada sob condições de oscilações

cíclicas. A representação gráfIca da relação força-deslocamento pode diferir muito,

conforme o tipo de amortecimento presente. Em todos os casos, entretanto, a curva

força-deslocamento incluirá uma área, denominada como laçada de hisierese, que é

prop orcio nal à energia perdida por c ic lo. A energia perdida por c iclo pela açâo de

uma força de amortecimento F d é calculada por meio da equação geral

.Y wXCOS(WI r/J) ·cc :1:wXv/i-sen'(WI--r/J)

'!ú)~ X' · · 'x '

( F ) ' ( Y ) ' _,_I I _ ~ _cwX X

reconhecemo-Ia como a dc uma clipse com Fd e x traçados ao longo dos eixos ver-

t ical e horizontal , como indicado na Fig . 3 .8-I (a) . A área abrangida pela eJ ipse re-

prese nta então a ener gia dissip ada por ciclo . Se adici onam os a Fd a força kx da

mola ideal, a laçada da histerese sofre uma rotação, confornlC indica a Fig. 3.8-I(b).

Esta representação es tá , pois, conform e o modelo de Voigt, que consis te em um

amortecedor em paralelo com uma mola.

I1Id dependerá geralmente de muitos fatores tais corno temperatura, freqüência ou

amplitude.

V amos considerar nest a seção o caso m ais s im ples de dissipação de energia ,

que é o de um sis tema m ola·m assa com am ort ecim ent o viscoso. A força de am or.

t ecimento neste caso é Fd = c,\:. C om o deslocamento do est ado pcrm anente evelocidade

,I

I

I,,,I

-+---, X II

~~X---i_· .. x - I

x =X se n( wl . í /J )

.Y =wX cos Iwl .. r/J)

IVJ = f d tlx =f d' til

f " "=cw'X' o COS'(ú)1 - í/J) d I = lr(' WX'

São muitos os critérios adotados na elaboração de listas com as propriedades

de amortecimento de materiais, variando de acordo com as áreas técnicas a que são

destinadas. Dentre essas propriedades, enumeramos duas unidades relativas à energia

que t êm largo em prego. A prim eira delas ~ a capacidade de amoriecimento especi-

fico, def inida como a perda dc energia por c iclo I V d dividida pela energia poten-cial máxima U.

n de particular interesse a cnergia dissipada cm vibração forçada na ressonância.

Substituindo; wn = yk/m e c 0 = 2 1 ; - j k I / 1 , a equação acima na ressonância se

transforma em

Podemos representar graficamentc a energia dissipada por ciclos pela força de

amortecimento do seguintcmodo.· Escrevendo a velocidade sob a forma

68

!I. s~gunda quant idade é o coeficienle dI! perda, definido cOmo o quociente

da perda de energia de amortecimen to por radiano I V d/2rr dividido pelo potencial

máximo out rabalho de deformação U.



[

1.', f l / ' ]W ~ ,w F O X O co:; 30" J o sen 71/cos 71/dt + s en 3 0° : s en 2 71/ dt

[. 0,866 ( t sen 271t)JI."

71 > : 10 ;< 2. - . ~ cos 2 7 1 t + 0,50 '2 - 4"7r" o

16,51 pol lb

A curva da histerese é uma el ipse no caso do am ortecim ent o l inear , quando a

perd a de ener gia é prop orcio nal ao quad rado da defo rmaç ão ou ampli tude . O coef i-

ciente de perda para a maior parte dos materiais varia entre O ,O O J e a unidade, de-

penc !end o da sua natu reza e das cond ições sob as quai s são efetu ~do s os teste s. A

curva da hist erese não será m ais um a el ipse quando a perda do am ortecim ent o não

for uma função quadrátiea da deformação ou amplitude. Novament~, o coeficiente

de perda pode variar entre 0,00 Ie aproximadamente 0,2.A influência principal do amortecimento nos sistemas Qscilatórios é a de l imi tar a

amplitude de resposta na ressonância. As curvas de resposta na Fig. 3.2-3 mostram

que o amortecimento tem inf1uência pequena nas regiões afastadas da ressonância.

No caso de amor tecim ento visco so, a expr essã o enco ntrad a para a ampl itude

na ressonânci!!, Eq. (3.2-9), foi .

Exem pio 3.8-1

D eterminar a expressão para a potência desenvolvida para um a força F

=Fo sen (wt + tjJ ) atuando sobre um deslocamento x = Xo sen wt.

. Sotução: Potência é o trabalho realizado na unidade de tempo, isto é, o produto da

força pela velocidade.

p ,- Fi/x "(wXoF o) sen ( w/ - I < / 1 ) cos w/ dt

=(wXoFo)[cos cp.sen w t co:; w t + sen cp.cos' w/]

=1wXo Fo [ s e n c p + sen (2w/ + c p ) ]

O primeiro termo é uma constante, representando o fluxo contínuo de trabalho por

unidade de tempo. O segundo termo é uma onda senoidaJ de duas vezes a freqüência

que representa o componente variável de potência, cujo valor médio é zero duran te

qualquer intervalo de tempo que seja múltiplo do período.

Não exis te expre ssão tão simpl es para outro s tipos de amor tecim ento . .8 possível,

entretanto, aproximar-se da amplitude na ressonância, substituindo na equação acima

c por um amortecimento equivalente ceq. .

Encontra-se o amortecimento equivalente ceq igualando a energia dissipada

pelo amor tecim ento visco so com a da força de amor tecim ento não· visco so com movi -

mento harmônico suposto. De acordo com a Eq. (3.8-2)

Exemplo 3.8-2

Uma forçaF =10 sen 7 1t lb atua sobre um deslocamento de x, =2 sen(71t - 7 1/6).

D eterm inar ( a) o t rabalho efet uado durante os pr im eiros 6 segundos; ( b) o

trabalho efetuado durante o primeiro meio segundo.

Solução: R eeserevendo a Eq. ( 3 .8-1) como W = f F'X dt e substituindo F =

= Fo sen wt e x = X sen (w t - tjJ ) , o trabalho efetuado por ciclo torna-se

W ,= 71F o X sen c p

Exemplo 3.9-1

Corpos em movimento com velocidade moderada (10 a 50 pés/s) em fluidos,

tais como água ou ar, encontram a resistência de uma força de am.ortecimento

que é proporcional ao quadrado da velocidade. Determinar o amortecimento

equivalente para tais forças atuando sobre um sistema oscilatório e encontrar

a sua amplitude ressonante.Para a força e o deslocamento dados neste problema, Fo = 10, X = 2, r j J = 71 /6 ,

e o período T = 2 segundos. Assim, nos 6 segundos especificados em (a) decorrem

três ciclos completos, e o trabalho efetuado é

Solução: Seja a força de amortecim~nto expressa pela equação

Fd = ±ax' onde o sinal negativo deve ser usado quando.x é positivo e vice-versa. Supondo-se

o movimento harmônico com o tempo medido a partir da posição de deslocamentonegativo extremoO t rabalho referido em ( b) é obtido pela integração da expressão de trabalho, nos

limites de O a 1/2 segundo.

70



a energia dissipada por ciclo é

W d = = 2 f : x ai2dx =2aco2 Xl J : senJ cotd(cut)

=~aco2Xl

O amortecimento viscoso equivalente, de acordo com a Eq. (3.9-2), é então

c ~.~-!acoX '. 371

A amplitude na ressonância é determinada pela substituição de c pelo ceq na

Eq. (3.9.1), com W = = wn

tra de uma larga faixa n.io inOuem na energia dissipada por ciclo e que esta é pro-

porcional ao quadrado da amplitude de vibração. Denomina·se amortecimento sóli-

do ou amortecimento estl1l/llrai ao amortecimento interno que satisfaz esta classi·

ficação. O coeficieI1te de perda é uma constante, no caso da dissipação de energia

por ciclo ser proporcional ao quadrado da amplitude de vibração, e a forma da curva

de histerese permanece a mesma quanto à amplitude e independente da taxa de

deformação.

A energia dissipada pelo amortecimenfo estrutural tem a seguinte expressão

Exemplo 3.9-2

Sabe-se que um sistema oscilató!io forçado a vibrar por uma força excitadora

Fo sen wt está sob a ação de diversas forças de amortecimento. Desenvolver

a equação relativa ao amortecimento equivalente e indicar o processo paradeterminar a amplitude na ressonáncia.

onde Q é urna constante. Usando o conceito de amortecimento viscoso equivalCnte,

a Eq. (3.9-2) nos dá

Solução: Seja VI . V 2 , V 3• etc. a energia dissipada por ciclo para cada urna das

diversas forças de amortecimento. Igualando a energia dissipada total àquela do amor-

tecimento viscoso equivalenteCom a substituição dc c por ceq , a equação diferencial de movimento para um

sistema com amortecimento estrutural é a seguinte

Encontra-se o coeficiente do amortecimento viscoso equivalente

=~c,. 71COX'

Para determinar a amplitude, é necessário obter expressões para VI, U2 • 'V3 , etc.,

que conterão X elevado a várias potências. Substituindo-se c por ceq na expres-

são (3.9-1), tem-se

Rigidez complexa. Usa-se o conceito de rigidez complexa no cálculo das veloci-

dades de vibração das superfícies das asas e das caudas dos aviões. Chegou-se a.este

conceito com a hipótese das oscilações serem harmônicas, que permite escrever a

Eq. (3.10-3) da seguinte forma

lII.i' i ( k i i~) . r F " e " '"

Colocando-se em evidência a rigidez k e fazendo r torna-se

A quantidade k (l + ir) é chamada a rigidez complexa e r é o fator de amor-

tecimento estnltural.

A dissipação de energia nos materiais se faz internamente neles próprios, quando

submetidos a esforços cíclicos. Experiências de diversos pesquisadores" mostram que

para a maioria dos metais estruturais, tais como aço ou alumínio, as freqüências den·

O uso do conceito de rigidez complexa para problemas em vibrações estrutu,

rais é vantajoso no sentido de se precisar apenas mul'1.iplicar por (I + ir) os termos

de rigidez no sistema. Entretanto,. o método só tem justificação para oscilações har·

mônicas. Com a solução x = = X eiwt , a a mp li tu de d e e stad o p erma ne nte d a

Eq. (3.10.4) torna·se• Kimball, A.L. "Vibration damping, including the case of solid damping". Trans. ASME.

APM51-52,(-I929). '.

Lazan, B. 1. "Damping of Materiais and Members in Slructural Mechanics". Pergamon

Press. 1968).

72

F ____ ..Jl _

(k lIIú)2) '1 - iJ'/.: (3.10-5)

7 3

)

)

)

)

)

( )

)



S up on do \" « I e desprezando os tennos de ordem maior de \", chegamos ao

resultadoFI XI ·· · { )- - Y k

Da comparação desta com a resposta ressonante de um sistema com amortecimento

vi.scoso.F

I I X l c c2 C

T -

concluímos que, com amplitudes iguais na ressonüncia, o fator de amortecimento es-

trutural é igual ao dobro do fator de amortecimento viscoso.

Chamando de WI e W2 as duas freqüências corre'spondent~s às raízes da Eq. (3.1.1-3),

obtemos·

(i)" _. /" I012 - 01

1 - / 2 - / , ' ~ 2 Ç

Aqui, novamente, podemos ~sar o amortecimento equivalente a fllU de definir Q

para sistemas com outras formas de amortecimento. Assim, para o amortecimento

estrutural, a expressão de Q é

Há na vibração forçada uma quantidade Q, relacionada ao amortecimento, que é

uma medida de agudeza de ressonância. Para detenniná-Ia, suponhamos o amortc-cimento viscoso e começamos com a Eq. (3.2-7).

QU2.'ldo c,,'/wn = = I, a amplitude ressonante é X,cs = = (Fo/k) /2\". Procura-

mos agora as duas freqüências em cada lado da ressonüncia (muitas vezes denomina-

das de faixas laterais), onde X é 0,707 X,cs ' Estes pontos são também denomina-

dos de pontos de meia potência e estão indicados na Fig. 3.1 ]-1.

1Q C~_

Y

3-1 Uma pcça· de máquina pesando 4,3 lb vibra num meio viscoso. Determinar o

coeficientc de amortecimento quando uma força harmônica cxcitadora de

5,5 íb resulta numa amplitude ressonante de 0,50 pol, com um período de

0,20 s.

3·2 Se o sistema do PrubI. 3·J é excitado por uma força harmônica com freqüên-

cia de 4 cps, qual será a percentagem de. aumento na amplitude de vibração

forçada quando o amortecedor for reúJOvido ..

3-3 Um peso ligadêl a uma mola com a rigidez de .3,0 lb/pol tem um dispositivo

de amortecimento viscoso. Quando o peso é deslocado e solto, o período devibração encontrado é de. 1,80 s e a relação de duas amplitudes consecuti.

va s é de 4,2 para. 1,0. Determinar a amplitude e a fase quando uma força

F = = 2 cos 3t atua sobre o sistema. •

3-4 Mostrar que. para o sislema mola-massa amortecido, a amplitude máxima

ocorre a uma raz;'io de freqüências dadá pela expressão

1

( E - . ) " J I l 2 Ç ( E - . ) J

Resolvendo em relação a (W/W,)2, lemos

( : Y ( I· - 2Ç2 ):L 2ç,/f--:-::ç'



3-5 Um sistema mola-massa é excitado por uma força Fo scn wt. A amplitudcmedida na ressonância é 0,58 paI. Na freqüência ressonante 0,80, a ampli-

tude medida é 0,46 paI. Determinar o fator de amortecimento c do sistema.

(Sugestão: Supor que o termo de amortecimento seja desprezível para resso-

nância a 0,80.)

Um disco circular girando em tomo de seu eixo geométrico tem dois orifícios

A e B que o atravessam. O diâmetro e posição dos orifícios são dA = 1,0 pol,

r A = 3,0 pai, e 0A = 0°; dE = 1/2 paI, r E = 2 pol, 08 = 90°. Deter-

minar o diâmetro e posição de um terceiro orifício a I pai de raio, que balan·

ceará o disco.

O braço de manivela e pino ·de um eixo de manivela de dois cilindros, indicado

na Fig. P.3-7, é equivalente a um peso excêntrico de 'v lb a um raio de r paI.

Determinar os contrapesos necessários nos dois volantes, se eles tambémsão colocados a uma distância radial de

r poL

Se o desembalanço de cada roda do excitador é de 4 lb/pol, determinar (a) a

freqüência natural da estrutura, (b) o fator de amortecimento da estrutura,

(c) a amplitude a 1200 rpm, e (d) a posição angular dos excêntricos no ins-tante em que a estrutura completa o deslocamento para cima da sua posiçãode equil íbrio. .

Um disco maciço com.10 lb de peso é enchavetado no centro de um eixo de

aço de 1/2 paI e 2 pés entre mancais. Determinar a velocidade crítica mais

baixa. (Supor o eixo simplesmente apoiado nos mancais.)

Um rotor de turbina pesando 30 lb é fixado no meio do comprimento de umeixo. com mancais distanciados 16 paI, conforme a Fig. P.3-11. Sabe-se que

o rotor tem um desembalunço de 4 oz/pol. Determinar as forças que atuamsobre os mancaisa.urna velocidade de 6000 rpm, se o diâmetro do eixo de aço

é 1,0 paI. Comparar este resultado com o do mesmo rotor montado sobre um

eixo de aço de 3/4 paI de diâmetro. (Supor o eixo simplesmente apoiado nos

mancais.)

Estabelecer a equação de tÍ1ovimento para o sistema indicado na Fig. 1'.3-8 e

empregar álgebra complexa para resolvê-Ia, para a amplitude de estado perma-

nente e ângulo de fase.

~ . '-,,_ " .X, " " W ,~ r - - - ~

~~

Um excitador formado de pesos excêntricos de contra-rotação, conforme aFig. P.3-9, é usado para determinar as características vibratórias de uma estru-

tura com o peso de 400 lb. A uma velocidade de 900 rpm, um estroboscópio

mostra a posição dos pesos excêntricos no topo, .no instante em que a estru-

tura completa o deslocamento para cima da sua posiÇão de equil íbrio estáticoe a amplitude correspondente é 0,85 paI.

.Mostrar que, se o amortecimento é pequen~, a amplitude da vibração lateral de

um eixo na velocidade crítica eleva-se de acordo com a equação('

r= z ç ( 1-· l' ''''''')

onde e é a excentricidade.

••• •••••~

••AlI

••~

• •• •• •• •• •-~• .



3-13 'No caso de turbinas que operam acima da velocidade crítica, são instalados

dispositivos de parada para limitar a amplitude quando é atingida esta veloci-

dade. Na turbina do ProbJ. 3-11, se a folga entre oeixo de I pol e os dispositi-

vos é 0,02 pol e a excentricidade do eixo é 1/120 pol, determinar o tempo re-

querido para o eixo alcançar os dispositivos de parada, supondo-se que a velo-

cidade crítica é.atingida com amplitude zero.

3-14 A Fig. P.3-l4 representa um diagrama simplificaao de um veículo montado so-

bre molas, rodando numa estrada acidentada. Determinar' a equação para a

amplitude de W como função da velocidade e determinar a velocidade mais

desfavorável.

II

If-x~

3-18 Um tipo comercia.! de "pickup" de vibração tem uma freqüência natura.! de

4,75 cps e um fator de amortecimento r =0,65. Qual é a menor freqüência

que pode ser medida com (a) um erro de um .por cento; (b) um erro de dois

por ccnto?

3-19 Um "pickup" de vibração não-amortecida, com uma freqüência natural de

I cps, é usado para medir urna vibração harmônica de 4 cps. Se a amplitude

indicada pelo "pickup" (amplitude relativa entre a massa do "pickup" e

chassi) é 0,052 pol, qual é a amplitude correta?

3-20 O eixo de um torciógrafo, conforme a Fig. P.3-20, é submetido a uma oscilação

harmônica torciona.! 00 sçnwt. Determinar a expressão para a amplitude re-

Iativa da roda exterior com relação a (a) o eixo, (b) uma referência fixa.

3·15 As molas de um reboque de automóvel estão comprimidas 4 pol sob o seu

peso. Achar a velocidade crítica quando o rehoque roda numa estrada que

apresenta um perfil que se aproxima de uma onda senoidal de amplitude de

3 pol e 48 pés de comprimento de onda .. Qual será a ampli tude de vibração

a 40 milhas por hora'! (Não considerar o amortecimento.)

3-16 A Fig. P.3-l6 mostra um cilindro de massa m ligado a uma mola de rigidez

k, . excitado através o atrito viscoso c com um pistão de movimento y =

= A sen wt. Determinar a amplitude do movimento do cilindro e sua fase em

relação ao pistão.

3-17 Dá-se ao ponto de suspensão de um pêndulo simples um movimento harmô-

nico Xo = X o sen wt, ao 10ngJ de urna reta horizontal, confonne se vê

na Fig. P.3-l7. Utilizando as coordenadas indieadas, escrever a equação

diferencial de movimento para pequena amplitude de oscilação. Dar a solução

para x/xo e mostrar que, para w = v'2 wlI

' o nó fica situado no meio de

/. Mostrar que, de um modo geral, a distúneia I z entre a massa c o nó é dada

) pela equação h = I(W,,1W)2 onde wlI

= . . f i / I .78

)

)

)

3-21 Discutir os requisitos de um instrumento sísmico sob o ponto de vista de limi-

tação de di storção de fase de ondas complexas. -

3-22 Uma unidade de refrigerador (;om o peso de 651b é para ser suportada por três

mola, com rigidez de k lb/pol cada. Se o refrigáador opera com 580 rpm,

qual deve ser o valor da constante de mola k se apenas 10 por cento da

79



força de trepidação da unidade é para ser transmitida à estrutura de susten-

tação?

3-23 Urna máquina industrial com o peso de 1000 Ib é suportada por molas com

uma def1exão estática de 0,20 pol. Se a máquina tem um desequilíbrio rotativo

de 20 lb/pol, determinar (a) a força transmitida ao piso a 1200 rpm, (b) a

amplitude dinâmica nesta velocidade. (Supor o amortecimento desprezível.)

3-24 Se a máquina do Probl. 3-23 está montada sobre um grande bloco de concreto

pesando 2500 lb e a rigidez das molas ou apoios sob o bloco é aumentada de

modo que a def1exão estática ainda seja de 0,20 pol, qual será a amplitude

dinâmica?

3-25 Um rádio de aeronave pesando 24 lb tem que ser isolado das \ ' ibrações de

motor cuja freqüência varia de 1600 a 2200 cpm. Qual a dcf1exão estática

que devem ter os isoladores a 'fim de se obter 85 por cento de isolamento?

3-26 Mostrar que no amortecimento viscoso, o fator de perda 1) é independenteda amplitude e proporcional à freqüência.

3-27 Expressar a equação para a vibração livre de um sistema de um grau de liber-

dade, em função do fator de perda 1) na ressonância.

3-28 M~strar que 7n/7d traçado graficamente em função de ~ é um quarto de cír-

culo onde 7d ~ período natural de amortecimento e 7n = período natural

de não-amortecimento.

3-34 Utilizando o resultado do Probl. 3-33, determinar a amplitude de movimento

de um sistema mola-massa com amortecimento de Coulomb, quando excitado

por uma força harmônica Fo sen wt. Sob 'que condições sc mantém estc mo-

vimento?

3-35 Supor que, no caso de amortecimento estrutural, a rigidez seja uma quantidade

complexa da forma k = kei2{J. Determinar a equação para a resposta sob ex-

citação harmônica.

3-36 Mostrar que o = 1r (/2 0 _ - f i ) / f r onde fi e f2 são freqüências que corres-

pondem aos pontos de meia potência da curva de ressonância'-

3-29 Mostrar que a energia dissipada por ciclo no caso, de atrito viscoso pode ser

expressa como

w _ . nF õ 2(d'- k [I - «(.0/(.0.)2]2 -I - [ 2((.0/(.0.)]2

3-30 Determinar o amortecimento' necessário a fim de que a energia dissipada por

ciclo seja independente da relação de freqüência w/wn-

3-31 Em amortecimento pequeno, a energia dissipada por ciclo dividida pela ener-

gia potencial máxima é igual a 20 e também a I/Q. (Vide Eq. 3.7-6). Mostrar

que no amortecimento viscoso

3-32 Em geral, a perda de energia por ciclo é uma função, tanto da amplitude como

da freqüência. Estabelecer sob qual condição o decremento Ioga ritmo o é

• independente da amplitude.

3-33 O amortecimento de Coulomb entre superfícies secas é uma constante D sem-

pre oposta ao movimento. Determinar o amortecimento viscoso equivalente.



VIBRAÇÃO TRANSIENTE

4

Quando um sistema dinâmico é excitado pela aplicação súbita de uma excitação

F(l) não-periódica, tal como a representada na Fig. 4.1-1, a resposta a este tipo

de excitação é denomina.>!a resposta trallsiente. uma vez que não são geralmente

produzidas oscilações de estado perlllanen te. Tais oscilações ocorrem na freqüência

natural do sistema, variando a amplitude de uma maneira dependente do tiRO daexcitação.

Inicialmente, estudamos a resposta de um sistema mola-massa a uma excitação

de impulso, por ser cste caso importante para a compreensão do mais geral problemade transien teso

Impulso é o tempo integral da força, e o designamo.s pela notaç,To ]i'

/ = J F(I) di

Encontramos COlJ1UlJ1enteuma força, de muito grande magnitude, que atua durante

um período de tempo muito curto, mas com um tempo integral que é finito. Essasforças são denominadas impulsivas.



L ' f (I )O(1 - - ç) di C-..C f(ç)

Desde que Fdl = mdv, o impulso F atuando sobre a massa re su lt ará numa sú-

bita muda nça r,a sua veloc idade igual a Fim sem apreciável mudança no seu desloca-

mento_ Quando da vibração livre, constatamos q'ue o sistema mola-massa não-amor-

tecido com condições iniciais x(O) e x(O) comportava-se de acordo com a equação

x cc x(O) sen úJNI + x(O) cos úJNI

úJ"

A Fig. 4.2-1 mostra uma força impulsiva de magnitude F I E com uma duração

de E. À medida que € se áproxima de zero, tais forças tendem para infinito. Entre-

t an to , o impulso de fin ido por seu tempo integ ral é F , que é considerado tini to.

F

Por isso. a resposta de um sistema mola-massa inicialmente em repouso e excitado

por um impu lso Fé' fé

x C~ --sen OJ"I

IIlOJN

jf.(k

Ú)n --- ' V mQuando o amor tec imento e s tá p resen te , podemos inic ia r com a equação de

vibração livre

e substituindo as condições iniciais acima, chegamos à equação

x - - -- -' ~ . ., __ ~__.- ._ e-""'" sen , / -1 - - ("WNI /1/w "JI --C " -

Quando P é igual à unidade, tal força no caso ~estri to de E -, O é denominadaunidade de impulso ou a [unção delta. A função delta quando I= ~é identi-

[jcada pelo símbolo Ó(I - O e tem as seguintes propriedades

Ó(I - O - O p ar a t od os o s v al or es de I * - ~ A resposta ao impuls!) unitário é importante para os problemas de transientes,

e é identificada pela designação especial g(r). Nestas condições, quer se trate de um

caso amor tec ido ou não-amor tecido, a equação para a r espos ta impu ls iva pode se r

ex pressa como se segueJ : 0 (1 - Ç) d I = 1,0 0< ç < (Xl

Se Ó (I - O é mult ip li cada por qua lquer função de t empo f(l), como indicado

na F ig . 4 .2-2, o p rodu to se rá sempre ze ro , exce to quando I = t e suairltegral

será

Tendo a resposta g(t) para um impulso unitário 'de excitação, é possível estabelecer

a equação para a resposta do sistema excitado pai uma 'força arbitrária f(l). Para

este desenvolvimento, consideram'os a força arbitrária como sendo uma série de im-

pulso s, conf orme a Fig. 4.3-1 . Se exam inam os um dos impu lsos (o que está hach u:

rado)no tempo I = t sua força é



Excitação base. Muitas vezes o suporte do sistema dinâmico é sujeito a um movi-

mento repentino estabeleeido por seu deslocal11cnto, velocidade, ou aceleração. A

equação de movimento pode então ser expressa cm termos do deslocamento relativo

z = x -- y como se segue

e sua contribuição para a resposta no tempo t depende do tempo decorrido (t - nou

Sendo li~ear o sistema que estamos considerando, o princípio de superposição pre-

valece. Desta forma, combinando todas essas contribuições, a resposta para e daí, todos os resultados para o sistema excitado-força aplicam-se para z no sistema

excitado-base, quando o termo Fo/m é substituído por - y ou o negativo da acc-

leração de base.

No caso de um sistema não-amortecido, inicialmente em repouso, a solução

para o deslocamento relativo torna-se

Exemplo 4.3-1

Determinar a resposta de um sistema de um grau de l iberdade à excitação

degrau representada na Fig. 4.3-2.

l{t)

f O I

O ~ - - - - -- - - - - - -

l-t-l------{t -1;)------- - - I,= 1

x ( t) . ~ L J (é,) g( i . é ,) dé, (4.3-])

A integral acima é chamada de Convolução integral ou algumas vezes referida como

a superposição integral.

Estabelecendo r = (t - ~) encontramos outra forma desta equação. En-

tão, ~ = t - T, d~ = -dr, e obtemos

Solução: Considerando o sistema não-amortecido, temos

fi(1) .0 _1- sen Cú t . /11ú J

nfi

.' \

Substituindo na Eq. (4.3-]) a resposta do sistema não-amortecido é

F I "x( t) • __ lL sen Cún(t .' é,) d é,II/Cún• o

x(i) cc

L J(I-- ,)g(,) d, F- t( I -- cos C ún /)

Estc resultado indica que a resposta máxima à excitação degrau de magnitude Fo é

igual a duas vezes a deflexão estáti<ea.

Para um sistema amortecido, o proce~o é repetido com

e"·~"I·,l ~g(t)~" --~sen.y I --I;-Cúnl

IlICúh.,j I -..1 ; '

ou, alter~ativamente, podemos considerar ~implcsmcnte a equação diferencial

Quando t é mai or que a dur ação do pul so, i st o é , t P' o limite superior da

Eq. (4.3-]) permanece em t p' porque, então, a integral pode ser expressa corno

X ( I ) = f " J(ç)g(t --é,) dç + f ' J(é,)g(l ... é ,) dé,o ~

=L J(é,)g(t - ç) dé" I:> Ip

Aqui, a segunda integral é zero, uma vez que f(~) = O para ~ > t p'

86 .



·~ - I- 2'con x -I- co;x = fJJm

cuja solução é a soma das soluções da equação homogênea e da solução particular,

a qual para este caso é Fo/mw~. Assim, a equação ,.~

O

ajustada às condições iniciais de x(O) = :<:(0) = O resultará na solução que é dada

como

tg 1 /J = ,.j , -1 _ ' 2

A Fig. 4.3-3 mostra um gráfico de xk/F o versus wnr, com ~ como parâmetro, e éevidente que a resposta máxima é menor que 2F o /k. quando o amortecimento

está presente.Da substituição de ji(t) na Eq. (4.3-5) resulta

z(r) 'o, -- VO I ' {S(Ç) - ...!.-e .{,.( sen.conO _. ç) dçC O n o r o {

,.., __ V~ __ ( e " " - co t senco t ... , co~ co r }1 1 (COnlo )' nO. n n

Exemplo 4.3-3

Uma massa m fixada a uma mola de rigidez k é sujeita ao impulso repetido

F, de duração despreiível, a intervalos de Ti' conforme a Fig. 4.3-5. Deter·

minar a resposta de estado permanente.

4 8 10 12 14 16 18 20wnr

Figura 4.3·3. Resposta a uma função degrau unitária.

Exemplo 4.3-2

Considerar um sistema mola·massa não- amortecido onde o movimento da

base é especificado por uma velocidade de pulso da forma

Solução: Entre cada dois impulsos. o sistema está em vibração livre na sua freqüên.

cia natural wn = Vkfiii, Fazendo t = O imediatamente após cada impulso,

~

F 1:1..~.~--~vvv~

}'(I) -, voe":"

que é representada na Fig. 4.3·4 juntamente com sua taxa de variação de tem·

po a = P.

Solução: A velocidade de pulso para r = O dá um salto repentino de zero para

Vo e sua taxa de mudança (ou aceleração) é infinita. Admitindo quefa dr = ÍJ.

a súbita mudança na velocidade para I= O é satisfeita por

f " •

1'0 S(I) dI v" • o

Assim, a aceleração da base torna·se

88

x ~~ A sen (co.1 +</J)

:é _ 'c c o nA cos (COnl + < / J )

(a)

(b)

89

)

( )

)

)..

_:~



O, temos

x(O) = A s en r p

x(O) ~=úJnA cos r p

A= __ f _ " _ _

2úJn

lll s en úJ2

T,

Pode ser de interesse o valor máximo da força da mola FsEq. (k) toma a forma

úJnT,

Ti~' o.~ 2F scn 0)" T,

2 Nestas co ndições, a amplitude ou força da mola torna-se infinita quando

úJ"T, n .! " O 2 3-2;:-::::r = , n , n , T e, .. .

A Eq. (I) 'mostra também que a força máxima da mola F s é um mínimo quando

n.!" 7f 3 n Sn

TO~2-'T'2' ...

1\ variação de tempo do deslocamento e da velocidade pode aparecer como naFig,4.3-().

onde Ti é o intervalo de tempo entre os impulsos. O impulso atuando nestc tempoaumenta a velocidade subitamente, de P /m , embora o deslocamento permaneça

essencialmente sem modificação.

Se é atingido o estado permanente, repetem-se o deslocamento e a velocidade

depois de cada ciclo. Deste modo, podemos escrever

Pode-se aplicar um processo semclllânte, quando é ,incluído o amortecimento,embora o trabalho numérico ,seja aumentado eomideravelmente.

A .i~1 - - - - ~ . _ _ .J

f cos (úJnT, + c f J ) - cos r p =---A

úJnlll

senúJ

2 T1 cos (úJ

2 TI + c f J ) =O

sen úJnT, sen (úJ" T, + r p ) =~.2 2 2úJnlllA

Uma vez que sen wnT)2 não pode ser zero para Ti arbitrário, a Eq. (i') é satisfeita

somente se

,cos(~~ + r p ) =O

L ( ú J2 T1 + c f J ) =1

O método da transformada de Laplace para resolver a equação diferencial fornece

uma solução complet~, abrangendo a vibração transiente e a forçada. Apresentamos

91



no Apêndice um resumo da teoria deste método destinado aos não familiarizados!

com o assunto. Nesta seção ilustraremos o seu uso com alguns exemplos simples.

Exemplo 4.4-2

Uma massa m é acondicionada numa caixa, conforme a Fig. 4.4-2, e cai de

uma altura h. Deseja-se determinar aExemplo 4.4-1

Formular' a solução da transfórmada de Laplaee de um sistema mola-massa

viscosamente amortecido com as condições iniciais x(O) e x (O).

Solução: A equação dc movimento para o sistema excitado por uma força arbi-trária F(t) é

w~L L l f ' - - - - - - - - ' ~

h

7 f t , ' I/I I 1/I/lIl I I //l/Il 1//1

Figura 4.4-2. Teste de queda de uma massa acondicionada.

Adotando a sua transfórmada de Laplace, temos

m[s'x(s) -- x(O)s - x(O)] - I - c[.\'(s) -/- x(O)] + kx(s) = tis)

t(s) _ I (ms - I - c)x(O) + mx(O)x(s) =m s' / cs -/ - k ms' + cs - 1 - k

O inverso da Eq. (4.4-1) nos dá a resposta x(t). O primeiro termo representa a vi-

bração'forçada, e, o segundo, a solução transiente devido às condições iniciais.

a força máxima transmitida à massa m e o necessário espaço de trepidação

(rattle space*).

Solução: Idealizamos as seguintes hipóteses: (I) A massa m é suportada dentro da

caixa por uma mola linear de rigidez k Ib/pol. (2) A massa da caixa é grande se

comparada à da massa acondicionada m, de mogo q\,le a qu~~~)ivre d~caixa n[o~

influenciada pelo movimento relativo da massa m. (3) Ao tocar o piso, a caixa per·

manece em contacto com ele .

Fazendo x o deslocamento 'de m em relaç[o à caixa, medido de cima para

baixo, a partir da posição de equilíbrio estático, e y, o deslocamento da caixa da

posição de partida, a equação-geral do movimento de m é

~( ) _ A(s). x s -- B(s)

onde A (s) e B(s) são polinômios, sendo que o segundo é geralmente de ordem maisalta que A(s).

Se é apenas considerada a solução forçada, podemos definir a transfonnadaimpedância

P(s) ~, z(s) -oco ms' 1 - cs l- k x(s)

A sua recíproca é a transformada admitância

IH(s) = z(s) (4.4-4)

Usa-se freqüentemente um diagrama de bloco para significar a entrada e asaída, conforme a Fig. (4.4-1). Então a transformada admitância ff(s) pode também

Entrada F(s)--~ Saída x(s)

Figura 4.4-1. Diagrama de bioco.

Para as condições iniciais x(O), x (O), y(O), jJ (O), a transformada de Laplace

para a equação acima é

. . I s2ji(S)x(s) ,= [x(O) 1-)"(0)]--'--::'- -I [x(O) -!- )'(O)]s' _'. w : - S2 -f- w :

s' - I - w ;; 1....

ser considerada como função de transferência de sistema, definida como a propor-

ção no plano subsidiário da saída sobre a entrada, com todas as condições iniciaisiguais a zero.

92

• R. D. Mindlin, "Dynamie, of Paekagc Cu,hioning", Dell Sy,t. Teeh., Jour., 24, (julho1954) págs. 353-461.



X (I) =[X (O ) -I- y (O ) ] COS 0).1 + -.L[.x(0) + - );(0)] sen O) I - "C-I~2J'(S) (4.4-8) .'." CO

n . T I S " - /- w ;;

Podemos agora adaptar esta equação às condições do nosso problema. De interesse

particular são o deslocamento x(to) c a ve lo cida de x (to) d e m no tempo to

quando a caixa atinge o piso.

As condições iniciais para o intervalo da queda livre são x(O) = = )'(0)

= = . x (O ) = = y (O), e o movimento da caixa e a sua transformada são

)'(1) ~~ { g I 2 , y(s) = ~ (4.4-9)

Levando-se à Eq. (4.4-8) os valores da Eq. (4.4-9), encontra-se' o movimento de

'm durante a queda livre, com as condições iniciais zero, o que leva a

x(l) 'c~ _"C-I. ~ ._c -..1,'.(1 .- cos O) I) (4.4-10)s(s21- 0);) 0); •

. Sendo to = = v2hjg o tempo da queda da altura h, chegamos às seguintes quan'tj-

dades de interesse

Essas quantidades tornam-se as condições iniciais para a segunda fase do problema,

após o impacto da caixa sobre o piso.

Redefinindo o tempo a partir do instante do impacto, são as seguintes as condi-

ções iniciais para a segunda fase do problema

) '(0) '" O, x(O) c _ , . . ~i ;(1- cos 0).10)

lf ---~se[jw!,to

De acordo com a equação geral, Eq. (4.4-8), a equação para o deslocamento de

m depois do impacto torna-se

X(I) ,= --- L (I ... cos O) I) COS O) 1 1- ( f2 ! . . º _ E , sen W 10

) 5en O) IÚ); 11 " W n

w~ fi fi

= ..K.j(1 .- cos O) I )2 -I- (O) I -- sen O) I )2 sen(O) t- A o)W2 , 11 o fi O' fi o 11 " P. .

(I .....cos 0>.10

)

tg r / J • . . (w.t~-~no)7:-j

Assim, a amplitude máxima atingida por m é

XI . C : ; , v (1 - COSO).lo )' + (0).10 - senO).lo )2

que ocorre no ter .po ( W n1 l - - r /J ) = = rr/2. A força máxima é simplesmente kX 1 ,

94

Xl tem um valor máximo quando wn -+ 0, para qualquer altura de queda

h, ou tempo de quedá to =...j2h/g. Isto se mostra recolocando sen wnt o ecos wnt oc om s ua s forma s e m s érie s e a dmit in do q ue wntose aproxinla de zero. A

Fig. 4.4-3 mostra uma resposta de deslocamento de X i em função da freqüência

f n = (l/2rr) VfTíiipara h = 10, 5, 1 e 0 ,1 5p ol . A E q. (4.4-13) indica, entre-

tanto, que w~Xdg = X 1 /l ; s t é uma função somente de

Cú.lo = Cú.--!21z/g = ~ (4.4-14)

de modo que as curvas da Fig. 4.4-3 são representadas graficamente por uma única

curva não·dimensional como indica a Fig. 4.4-4.

10li =5 'li ='10

Õ 1,0, e ,

: . : " I~. 0,3 li =0,25 ----

I

.~ + - - -õ.0,1E

< :

0,03

0,010,1 0,3 1,0 3 10 30 100

Freqüência, f n (cp')

Figura 4.4-3. Resposta de deslocamento para um teste de queda.

1000 -'t.=IO"=h

IX =: 5"

100 0=1",ti'

XI /"6 st

10 /";;I~

1,0

" r I ~: . : - 0,1

. O,OO!

0,01



Um choque resulta dà aplicação repentina de uma força, ou outra forma de rompi-

mento, que provoca uma resposta transiente de um sistema. O valor máximo da

resposta é uma boa medida da severidade do choque e é, obviamente, dependente das

características dinâmicas do sistema. Com o objetivo de classificar todos os tipos de

excitações de choque, escolhe-se como um sistema-padrão um oscilador (sistema

mola·massa) não amortecido, de um simples grau de liberdade.

Engenhéiros acharam útil pa'ra projetos o conceito de espectro da resposta.

Um espectro de resposta ,é uma representação gráfica do pico máximo da resposta

do oscilador de um simples grau de liberdade, em função da freqüência natural do

mesmo oscila dor. Diferentes tipos de excitações de choque resultarão em diferentesespectros de resposta.

Considerando que o espectro de resposta é determinado a partir de um simples

ponto na curva resposta· tempo, o qual representa um dado incompleto de informa.

ção, ele sozinho não define a força do choque. De fato, é possível que espectros

de resposta muito semelhantes corrrespondam a duas excitações de choque diferen.

teso Apesar desta limitação, o espectro de resposta é um conceito útil extensivamen.te usado.

A resposta de um sistema à excitação arbitrária f(r) era expressa em termos doimpulso resposta g(t) pela Eq. (4.3-1)

X(I) = f :f(ç)g(1 -- ç) dç (4.5'1)

1g(l) = -- sén 0).1

mO).

de modo que a resposta de pico a ser usada no gráfico do espectro de resposta é dada pela equação

x(t)mu ~= 1 - 1 - J ' f(ç) sen 0).(1 - ç) dç IInWIf o m.x

No caso em que o choque é devido a um repentino movimento do ponto de supor.

te, f(t) na Eq. (4.5-3) é substituído por -ji(t), a aceleração do ponto de suporte, ou

Z(I)mn c ~ I = - ! . J ' j '(ç)senW.(1 - Ç)dÇ/ (4.5-4)O J" o m.ax.

Algum tempo característico ti, tal como a duração do pulso do choque, está

associado com a excitação do choque f(t) ou - ji(I). Com r como a freqüência

natural do oscilador, o valor máximo de x(t) ou z(t) é representado graficamente

como uma função de ti / 1 1 .96

As Figs, 4.5-1, 4.5-2 e 4.5·3 representam' os espectros de respostas para trés

diferentes excitações, A escala horizontal é

2'O~

( Xk) IFo~

Fomax ~

1,0 O - 1 2 3 lt /r = wnt,

, 2"

Figura 4.5·J.

é igual à relação lI/r, enquan to a escala vertical é um número não·dimensional, que

é uma medida do efeito dinâmico sobre o de uma càrga estaticamente aplicada. O

fator dinâmico de um choque é então menor que dois.

Espectros de pseudo·resposta. Em situações de choque de solo, é muitas vezes con'

veniente expressar os espectros de respostas em termos de espectros de velocidade.



Os espectros de deslocamento e aceleração podem então ser expressos em termos de

espectros de velocidade, dividindo-se ou multiplicando-se por wlI" Tais resultados

chamam-se pseudo-espectros, uma vez que eles são exatos somente quando a respos-

ta máxima ocorre após haver passado o pulso do choque, em cujo caso o movimento

é harmônico.

Os espectros de velocidade são usados extensivamente em análise de terremotos,

e o amortecimento é incluído geralmente. Com o deslocamento relativo z = x·· y,

é a seguinte a equação para o oscilado r amortecido

i -I- 2CCú.i - I- Cú'; =-ye a Eq. (4.5-4) é substituída por

Z(I) = FC2 f ' y(ç)e-(w,IHI sen ~ Cú.(1 - ç) dç c o

n O,

Relações aproximadas para o deslocamento e aceleração máximos, conhecidas como pse uclo -es pec tros , são então '

J \ ' _ y J = S,'# max

Cú.! ! . . f ' f(11Ç)clÇo~ r ' af(I,Ç)d';lf(I,Ç)~ o - o ~

obtemos para a velocidade

i(l) = -1 ' J ' y(e;)e'·(w.IHICú.J i - ~2 o

[-eCú. sen ~ Cú.(1 - ç)

-I- Cú.,,;T=1'2 cos,J'l'=1' C ú .( t - ç)] dç

Exemplo 4.5-1

Determinar o espectro de resposta não amortecida para uma função degraucom uma elevação de tempo ti, conforme a Fig. 4.5-5.

iF

li!O ',\

\,\

Figura 4.5·5.)

)

)

)

)

)

). Se a Eq. (4.5-12) é traçada em função do tempo, ela aparece como uma onda

) modulada de amplitude, como se vê na Fig. 4.5-4. Assim, a velocidade máxima de

) r es Fosta Sv' ou o espectro de velocidade, é dada com exatidão suficiente pelo valor pico da envolvente

) 98

)

)

A Eq. (4.5-8) pode ser expressa como

e -c " )II!

i(l) =. . . /1 _[2([Ae - B~]sen~lCú.1

-I- [A,,;T=1'2 -I Be ] cos,,;T=1'2 (0.1]

Solução: A entrada pode ser considerada a soma de duas funções-rampa Fo(t/td,

a segunda das quais é negativa e retardada do tempo tI' Para a primeira função-rampa os termos de integral de convolução são

f(l) ~~ Fo (I/I,)

() I - úJ'g I eco --, senCú IO~ ....!!senúJ I tnC O

n 11 k ~ 11

e a resposta torna-se~, F e ;

X(I) "-"~úJk •J ~ sen OJ.(I - ç) de ;

. o I,



f )

)

)

}

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

) 102

o elemento básico' do computador analógico é o amplificador operacional de

'alto ganho, indicado simbolicamente na Fig. 4.6-1. Não é, entretanto, necessário

conhecer os detalhes da sua parte eletrônica. Tais 'amplificadores são caracterizados

pela equação

Nestas equações, eg é insignificante' em comparação com eo

e e" e Í é uma' , I g ,

quantIdade dGsprezivel em comparação com Í; e lI' Assim, com eg

= Íg

= 0, asequações acima se transformam em

eo -- jJ.e,

cg 8 > C o

( ' ; = .0 i,Z,

--'('0 ,= ÍfZf

Obtemos, a partir delas, a relação entrada-saída

eo __, Zf e; - - Z;

que é fundamental para o computador analógieo.

(a) Mudança de sÍna!.. A mudança de sinal é a operação mais simples. Fazen-

do Zi = Ri e Zf = Rf , a Eq. (4.6-2) torna.se

onde Jl é o fator de amplificação e eg e' eo são as voltagens da rede e da saída. O

fator de amplificação Jl para os amplificadores operacionais modernos é apro-

ximadamente 108• Considerando que a voltagem de saída é lim'itada geralmente a± 100 volts, a ordem de magnitude da voltagem c.Iarede eg é ± 10- 6 volts. A cor-

rente eonsumida pela rede é também muito pequena, com um valor representativode 10-7 amps.

Várias operações de diferenciação, integração, soma, ete., são possíveis de

realizar, pela conexão do amplificador operaeional a diferentes tipos de impedâneia.

A Fig. 4.6-2 indica um entrelaçamento geral do amplifieador com uma impedâneia

de modo que se Rf =Ri obtemos simplesmente

C o =-(li

A Fig. 4.6-3 mostra o circuito para a J11Udança de sinal.

R I

j~ ; r (b) Soma. Se mais de uma entrada está ligada ao ponto g, conforme indi.

cado na Fig. 4.6-4, então Íf é a soma das correntes de entrada

de entrada Z; e uma impedâneia de realimentação Zf' As seguintes equações sãorelativas ao circuito acima

C j -c/l = ijZi

l', - l'o =ÍfZf

ii=~if+i,Se todas as resistências são iguais, a conseqüência é o somatório das voltagens de cn.trnc.l~ .



(d) Diferenciação. Não se faz diferenciação em computadores analógicos pelo

fato do inevitável sinal de ru ído na entrada ser ampliado por / - L , provocando a satu-

ração do amplificador. Em vez, é usualmente possível rearruma,r as equações para

integração.

(e) Divisão de voltagem. O potenciômetro muitas vezes usado para se obter

uma fração k vezes a voltagem de entrada

e2 = ke,

R,

R1 _~2-.-

I R, - . ! . . ! . + g

l l i ~ ' _L é designado simbolicamente na Fig. 4.6-6(a). O ajustamento fracionário k no po-

tenciâmetro só prevalece quando a saída está em circuito aberto.

(c) fntegraçãà. Se a impediíncia de realimentação é um capacitor C, como

indica a Fig_ 4.6-5, o circuito efetuará a função de integração. Com a voltagem

inicial e C O ) através do capacitor, a sua voltagem a qualquer tempo t é (lembran-

do que eg = = O) .

eo ,~ - ~ { i di I· eCO)

Quando uma resistência de carga R L é colocada através a saída, como na Fig. 4.6-6(b),

pode-se mostrar que a volt agem de saída é igual a

. k [ 1 ]e2 , , = e l RI -I- R

L

k(l - k)

onde R é a resistência do poténciâmetro. É evidente que esta equação se aproxima

de kel quando R/R L -> O .

(f) Multiplicação. Multiplicação é uma das mais difÍ,ceis operações para o

computador analÓgico. Em um método, o princípio do potenciômetro descarregado

é aproveitado usando-se um servomecanismo com um potenciômetro conjugado,

conforme a Fig. 4.6·7. O primeiro potenciômetro é ligado a ± 100 volts, ao passo

que o segundo é ligado a ± e2. a voltagem a ser multiplicada por el'

I f '('o =..i<c ridi -!- e(0), o

e I - IOOk Servo-'lleca-m s m o

Com R = I m eg aoh m e C = I microfarad, RC = I s eg un do , e o tempo d o

computador é diretamente em segundos.

A voltagem inicial eC O ) é obtida do circuito indicado em linha pontilhada.

·fechando-se a chave S antes de iniciar a computação. Iniciada esta: a chave S é

simultaneamente aberta por um relê.104 .

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

))

)

)

)

)

)

)

l )

i )

I)



A função do servom~canismo é posicionar - o cursor do potenciômetro cali-

brado - em 'zero o erro entre a saída do primeiro potenciômetro e a voltagem de

entrada elo Visto que a saída de cada potel;ciômetro é proporcional a k, ,temos

fato da vibração efetiva poder ser de freqüência alta demais parao computador e o

registrador acompanharem. Por outro lado, se a vibração efetiva é baixa demars em

freqüência, o tempo do computador torna-se longo em excesso, e por isso introd~zin.

do erros por desvios. O escaiamento da amplitude '6 também necessário, de modo que

os ampld1cadores operem dentro dos limites de ± 100 volts. A resposta pico deve

ser aproximada dos limites de ± IOO-volt, para o máximo de exatidão.

Suponhamos que a equação para o sistema vigente seja

5:(1) 1-2(w"x(l) -I- W;X(I) = ~F(I)111

(g) Circuito do Computador para o Sistema de Um Grau de Liberdade. O cir-

cuito da Fig. 4.6-8 demonstra o uso do computador analógico na solução do sistema

linear de um grau de liberdade. A equação representada é

111.~-,- c .\" - I- k x , ,~ F(I) Se desejamos mudar de a a escala de tempo do problema, fazemos

r 000 ai

Então as equações seguintes dão as derivadasa!!....oc!!...., ( j , z ! : ! . ! : . . . _ _ ! : ! . ! : . . .

dr di d-r:z - diZ

e a equação diferencial original comsuas condições íniciai~ torna-se

2 (/'x(-r) dx(r) , I ' "a d7:,-I- 2t:w~aJi- -I- w;.-.:(r)" rnF(r)

(/.-.:(0) I d.-.:(O)dr a({[-'

X I

F(t) Sol

~'i(I) ('i'\

01

Q)

Dividindo-se p'or a2 , esta equação toma a forma de

(J2.-.:(r) _ I 2t:(w,,~dx(r) I (W,,)2'x(r) '=. . ! . . F(r) '·(4.~12)·J7:2' a) dr a IJ,' l1l

que mostra que ' 3 . freqüência natural do sistema mudou de wn para 2 wn/a. 6 fator de amortecimento s - . entretanto, não mudou, uma vez que o amortecimento

c rí tico cer '" 2m.wll para a equação original mudou para cer '" 2m2 para aequação nova.

Teoricamente, é possível planejar um circuito de computador para 'resolver

esta noya equação e interpretar seus resultados em termos das variáveis priginais.

Entretanto, há problemas relativos às ordens de magnitudes das ~oltagens' d~circ~ito

do computador que precisam de mais atenção, e cuja discussão e melhor em terrnosdo exemplo seguinte. '

Admitindc> que a entrada do primeiro amplificador seja X , sua saida é - X ,

etc. As voltagens nos três terminais Q) , Q) , e Q) ,que são iguais a x são aque-

las do lado direito da equação acim,a. Observar que o sinal muda através de cada ampli-

ficador e que Os ajustamentos do: potenciômetro são para 2s-wll

e w~. As condi-

ções iniciais x(O) e ,x(O) são as voltagens nos dois capacitorcs no tempo t '" O.

Quando o computador é po'sto em funcionamento pelo fechamento da chave So, as

chaves SI e S2 abrem-se simultaneamente.

(h) Mudança de Escala. Se as variáveis do problema passam por uma trans-

formação linear, as características do sistema permanecem as mesmas, e apenas ex-

pandimos ou contraímos a escala das variáveis. Na solução de um problema no

computador, é muitas vezes necessário fazer tal mudança de escala, em razão das li-

mitações do computador. Uma mudança na escala do tempo pode ser necessária pelo

106

Exemplo 4.6-1

A equação para certo sistemq mecâníco, extitadopor UIna carga degrau f (t) '" 2000 Ib é apresentada como' , '" ."

O,IO.\: -I- 5.\" -1- 4000x =2 0 0 0 I b



:eC O ) = - 20 pol/s e x(O) = 0.25 pol.

Escrever novamente a equação para o computador e estabelecer um circuito

praticável para a sua cámputação.

Através da equação modificada, reconhecemos que o amortecimento elimina-

ri e,entualmente todas as oscilações e que o deslocamento fma1 atingido será igual a

x('r), ..• =~'~=0,5 pol,

Notamos também que, sem o amortecimento, a amplitude pico sob a excitação de

uma função degrau é duas vezes o valor acima, ou

X(T) = 1,0 pol

A velocidade e aceleração máximas a serem encontradas são as seguintes, estimadas

na base de movimento harmônico

[dX(T)] =OX(T) =2 pol/sdr max mu.

[d2x~r)] =O'X(T) =4-pol/s2dr mu mlX

Esta freqüência é muito álta para o computador, de modo que escolhemos arbitra-

riamente a = 100 para baixar por um fator de 100 a escala do tempo. A nova

equação com r como variável independente é então [Vide Eq. (4.6-12»)

d 2 x(T) I.O 50 dx(r) -\- 4 O ter) -~ 2,0dr ' " dT ' -

com as condições iniciaisdx(O) -20" " "dT . • .• 100 =.• -0,20, x,(O) 0_.0,25

e observamos que a freqüência natural ficou reduzida a n = 2rad/s.

Se ignora~os as ordens de magnitudes, o seguinte circuito da Fig. 4.6-9 satisfaz

essas equaçÕes. Todavia, para que o computador dê resultados seguros, as voltagens

de saída dos amplificadores não devem exceder ± I00 volts, nem serem pequenas

demais. Em face dessas considerações, é necessário fazer uma estimativa do deslo-

camento, velocidade e aceleração máximos a serem encontrados na equação dife·

renclal modificada e estabelecer fatores apropriados de escala, que darão voltagens

pico de saída de amplificadores aproximadas do máximo admissível de ± 100 volts.

Se examinamos agora o circuito da Fig. 4.6·9 com os valores máximos acima, consta-

tamos que os amplificadores 1, 2 e 3 têm voltagens pico de saída de 4, 2 e 4 voltssomente, e que não podemos obter exatidão com tal circuito.

Para superar esta dificuldade, efetuamos uma mudança de escala de modo que,

com x(r) = 1 pol, a saída estará mais aproximada do pico admissivel de 100 volts.max

A fim de evitar que ultrapasse o limite IOO-volt, fixaremos esta voltagem em 80 volts.

Multiplicando a equação diferencial modificada por 20, obtemos

20d'x(r ). = _ lOdx(T) _ SOx('r) ·1· 40dr dr

O circuito para esta equação de escala acrescida toma agora a forma indicada na

Fig: 4.6.10, onde as voltagens iniciais são escaladas de acordo com a saída dos ampli·

ficadores, isto é, com dx(O)/dr = - 0,20 pol/s, e a saída do amplificador 2 igual a

dx(1)

-~ dx

-10 J;0,25

dX(1)

+0,$ --;;;- dx+IO~

d1



-10(d;x.(r)/dr), seu valor seria -10(-0,20) = + 2volts. De forma semelhante, a

voltag~m inici~1 do amplificador 3 seria 80 x 0,25 = 20 volts.

. Temos 'agora uma saída de 80 volts para o amplificador 3, correspondendo à

amplitude máxima esperada de 1 pol. Entretanto, uma vez que a velocidade máxima

esperada é de 2 pol/s, a saída pico do amplificador 2 é somente I,O(dx/dr) =.20 volts.

É preferível, então, mudar o ganho do amplificador 2 por um fator de 4 e redUZir

conseqüentemente o.ganho do amplificador 3, conforme mostra a Fig. 4.6-11. Sendo

de 4 pol/s o valor máximo esperado da aceleração, não há necessidade de mudar o

ganho do amplificador I. O ganho do amplificador é determinado pela quanllcla.de

RC, que é unidade para' R = I megaolun e C = I microfarad. Observe-se tambem

que essas mudanças requerem mais uma mudança na voltagem inicial do amplificador

2, de 2 para 8 volts.

Finalmente, esses circuitos d~ computador aparentam não serem únicos, e a

mesma equação pode ser resolvida por diferentes circuitos. Assim, a equação para

este problema pode também ser resolvida pelo circuito da Fig. 4.6-12. .-j1ih20v'

I, ~ .

9

Id' x

20 (f;'

dx+10-.' dr

d' x

20d;' 40v

..Q": dx-40~

Quando ~ equação diferencial não' pode s~r integrada na forma fechada, métodos nu-

méricos devem ser' empregados. Este pode 'bem ser o caso q~ando um sistema mo-

la-massa é excitado por uma força que não pode ser expressa por funções analíticas

simples, ou quando uma tal força é dada gráfica ou numericamente apenas.

A integração numérica é um processo pelo qual a equação diferencial de mo-

vimen to é resolvida progressivamente em incrementos de tempo, partindo de algum

tempo, qU2ndo o deslocamcnto e a velocidade eram .conhecidos. A solução é aproxi-

mada mas, à medida que o intervalo de tempo é reduzido,. o resultado se aproxima

da solução exata. Embora existam diferentes métodos numéricos disponíveis, vamos

considerar neste cap ítulo apenas dois, escolhid~s pela sua simplicidade. Os méritos

dos vários métodos são associados aos erros e convergéncia do processo. Estes são

discytidos em muitos trábalhos sobre' análise numérica. *

A base da solução numéric,! é essencialmente.a de se obter os valores numéricosda integral, a ser detemlinada, nos pontos pivotais ao longo do eixo do tempo. Neste

sentido, as derivadas na equação diferencial são aproximadas de um certo número de

termos na expansão de Taylor. Na expansão Taylor, xi+ 1 e Xi _ l' em termosdos pontos pivotais são

0,5:r i / : : " 1

/ : : " 1 2 . . . / : : , . , . 1

IXiiI -'"i '\"-2 -'"ie;- I ..

61 2 '" / : : , . ' , . 1 i'- 2 (4.7·1).\" i

I \ ... :r i

/::,.( '\"-2 .- '\ie;- i . , ." i.

dx-40-

dr

Estas equações recorrentes, juntamente com as equações diferenciais de movi.mento., são suficientes para a solução numérica~ Eptretanto, algumasconsideraçõcs

são necessárias para começarmos o r.rocesso de computação .

• A. Rablnn c II.'S. Wilr, Malhl'1l1allGlI Methnds for DIgItal Computers Vol<. I & 1 1 (Novalnrqueí 10hn Wiky & Sons, 1968) .• ( .

M. G. ~al.vadn'i eM ..L. Baron, Nume,ieal Melilods.·in. Enginecring (Prenlicc-Hall"'lnc.,1952). . .



Quando a aceleração inicial (ou força) não é zero, o processo mais simples é

admitir que ela permaneça constante durante o primeiro intervalo. Como subzero

não é disponível no computador digital, usamos sub I para os valores iniciais. Temos

então

esquerda para ® e © onde I é agora igual a 2, e assim seguimos para a direita para calcular XI' Admitindo N intervalos de .tH, o caminho é para a direção

NO e a iteração direita é repetida N vezes até I = : N + I, em cujo tempo os

resultados são impressos.

O programa Fortran para a computação é dado conforme o diagrama de fluxo.:~2== X, C J.I (4.74)

_ _ I ~ C J . 2

X2 -- T'\' I

A aceleração x I a ser usada na equação acima é determinada a partir da equação

diferencial de movimento e suas condições iniciais XI e X I

_ IF() c. kXI =m I( - m X ' - m X \

O deslocamento Xl e velocidade Xl são então determinados pda Eq. (4.7-4)

e substituídos na equação diferencial para Xl' Tanto X2 e X2 são então substi·

tuídos na Eq. (4.7·3) para determinar Xl

e o processo se repete. Usualmente,um intervalo de tempo 61 ..; 1/107, onde 'T é o período natural, é suficientemente

. pequeno para resultar numa solução satisfatória.

Um diagrama de fluxo para o cálculo digital é indicado na Fig. 4.7·1.

FORTRAN PROGRAM

1=1

20 '\1 =l(xl, I( + - (1- I) C J .I)

IF (I.GT.l) GO TO 30

X 2 occ 1 .\, C J.1 2 + - : ~ , C J.I + x,

1 = 1 + I GO TO 20

30 XI = " 2xl_, - X I _2

+ x l_, Ât2

IF (/ ,=, N - I- I) GO TO 40

l·"~l+ I

GO TO 20

40 PRINT

STOP

END

ji x (x.tl

x(t,) = x,

@ .(1\)=.,Prinl

61 resulls

!=1Se a aceleraçko inicial X l é zero, a Eq. (4.7.4) resulta em x2 ::: 0, e o pro·

cesso de cálculo não pode começar. Esta condição pode ser retificada pelo desenvol-

vimento de uma equação nova baseada na hipótese de que a aceleração varia Iinerar·

mente de X l para Xl durante o primeiro intervalo, como se segue

.\', '.= .\' r - I- a C J .I

• _ .. ~ A li A 2 X 2 ....• \,0.1 "'Ta ul

®']= (XI, 1,+(!-H6tl

. . _ I - A' - 1 - I A J"2 ... 2 X, ul (;Cf. 0.1

Eliminando a na última equação, tirando o seu valor da primeira. obtemos

X,' -}-",,6./' + { ( - i z ~ ' \ : ' . ) 6.t'

. I (I'" , ') A :'l; _.\I I .\, ~'

Com os dados· fornecidos no bloco ® seguimos para o bloco ® que e a equação

diferencial. Indo a © pela primeira vez, J não é maior que I, e daí seguimos para

a- esquerda onde Xl é cak."Ulado.Aumentando r de I comptetamos a. itcraç:ro1\2 • .

Com Xl = O , a Eq. (4.7·5) e a equação diferencial têm de s er resolvidas por tenta·

tivas e erros, isto é .



Temos agora X2 e X3 ;""3 pode ser computado a partir da equação d.iferencial.

A Eq. (4.7-3) dá então X4, e o processo é repetido entre a equação difercncial e a

Eq. (4.7-3). A tabela seguinte ilustra a seqüência do cálculo, cujos resultados são

representados gr.lficamente na Fig. 4.7-3.

x, occ ,\.'(, Ót'

'\,'=rf;(x" F 2)

O método Runge-Kutta, que é auto-iniciado, é discutido na Seção 4.8.

Exemplo 4.7-1

Resolver numericamente a equação diferencial 4x + 2000x = F(l), com

as condições iniciais XI = XI = ° e F(l) eomo estabelccido na Fig" 4,7·2.

F(t)~, "100I '

I,,, ,

I,, ,

I

° 0,10 O.2()(

"

,,,,

0----1.--'::"'"0.10 0,20

,,0,10

Figura 4.7·J.

lF(r) 500", .\' . f : l1r l ' "1 O 25,0 °

25 0,0225

°2 0,03 25,0 5,65 19,35 0,0174 0,0133'

3 0,06 25,0 20,00 5,00 0 ,0045 0, 0400"

4 0,09 25,0 36,60 -11,60 -0,0104 0,0732

5 0,120 20,0 48,0 -28,0 -0, 0252 0, 0960

6 0,150 12,5 46,80 - 34,3 -0, 0309 0, 0936.7 0,180 5,0 30,15 - 25,15 -0,0226 0,060)

8 0,210 O 2,20 - 2,20 -0,0020 0,0044

9 0,240 ° -26,75 26,75 0,0241 -0,0535

10 0,270

° -43,65 43,65 0,0393 -0,0873

11 0,300

° -40,90 40,90 0,0368 -0,0818

12 0,330

° -19,75 19,75 0,0!78 -0,0395

13 0,360

° 10,30 -10,30 -0, 0093 0, 0206

14 0,390 ° 35,70 -'35,70 -0,0321 0,0714

15 0,420

° 45,05 -45,05 -0,0405 0,0901

16 0,450

°

0,0683

'Da Eq. (4.7-4) x, = 1 x, /lt' = +(0,0225) = 0,0113

"Da Eq. (4.7-3) x, = -x, + 2x, + ·x , /lt' = -O + 2(0,0113) + 0,0174 = 0,040.Exemplo 4.7-2

N~ste problema utilizaremos a régua de cálculo' para efetuar a computação, c esco-

lhemos t = 0,030, que é aproxima~amente 1/10T, a fim de reduzir a um mínimo

o número de computações.

/\. eeíuaçã~ 'diferencial nos dá a a~eleração 'que é J"' ;

X 2

="t(25)(0,03W = 0,0113

Com X2 = 0.,0113 voltamos à equação difer~ncia1 p3ra determinar, X2

.'(,=W O O ) , 500(0,0113)

= 25 -5,65 = 19,35.

. As quantidades X2 e X2 sã o a go ra su bs ti tu íd as n aE q. (4.7-3) c om 2Resolver pelo computador digital ~ problema de um sistema mola·massa ex·

citado por um pulso triangular. São as seguintes aequação diferencial c as con-

dições iniciais

19,35(0,030/ =0- 2(0,0113) + x,

xJ ~ 0;0400'



. . . . •- ; : : :'"

: ; : ;I : : : :? J '"• . . . •

; : ; : '" ' "< i' "

~N

< X l ,o ~<l + . . . . •o r<)' li:10

,i

" ' ". . . . • . . . . ."; : ; : : ; : ; . . . . • \ )

:)'{

117 I )

I )

)

( )

A resposta x versus t indica um máximo para x " '" 1,97 pol. Uma vez que

k = = 81T2 = = 7 9, 0 e F o = = 100, um ponto no espectro da resposta doProbl. 4.23

é verificado comoX, ='-(', =0

A força triangular é definida na Fig. 4.7-4 ( x k ) = = 1,97 x 79 = = 1,54Fo ' " ' ' 100 •

Solução: O período natural do sistema é

2rc 2rc

r ~. W =4 rc -c

0,50

. O incremento de tempo será escolhido como t = = 0,05, e a equação diferencial é

reorganizada como

X;I-". . . . :

wt:a::5:

- ; : : :,. . . . •)'(

''J~ + : : : .,

N >:. . . . • , '"< i

• . . . • t: vi: ; : ; Y 2 K

§ , , . . , :'"

• . . . •

.~" < i i: LN. . . . •

I " Lt.

li: • . . . • . . . . •:)(' :)'{

1 1

. . . . •)'(

A força e a aceleração sendo zero quando t = = O, é necessário começar o

processo computacional com as Eqs. (4.7.6), que são

X 2 70 tx2(O,OS)2 = = O,000417X2

x 2 = = 2 F (0 ,O S ) - 1 61 T2 x 2 = = S O - IS8x2

A sua solução simultânea conduz a

(0,OS)2 F(O,OS) x2 ------

3 + 81T2(O,05)2

.~ 2 "C 46,91

O diagrama do fluxo para a «omputação está representado na Fig. 4.7·S. ComM = = O,OS, a duração do tempo para a força deve ser dividida em regiões J = = I

at é S, J = = 6 a té 9 e J > 9. O indice J controla o caminho da computação no

diagrama.

O programa Fortran pode ser escrito de muitos modos, um dos quais está

indicado na Fig. 4.7-6, e os resultados, na Fig. 4.7-7, podem ser represeJ;ltados grafi·

camente pelo computador, conforme a Fig. 4.7·8, Um b.t menor resultaria em

gráfico menos acentuado.

116



-;

\'

)

)

)

)

ISII 00G21StI 00031511 0004IStI 000515t1 0006ISII 000715:1 00081511 00091511 00101511 0011!511 0012rStI OG131511 00141511 00161511 0017r Sll 0013ISrI 0019IStl 00201SIl oonISII 0024I SI l 0026ISrI 0027I SII 0028

1511 0029I SrI 00 301511 00311511 0032

1511 003315/1 0034I S N 0035

15;1 00361511 0037

VWRATIOII 1'ROBLEII

OHIEII510II X(25) ,OX2(25) , r (25) , T(25) , J(25) ,VAR(25)1'12"3.1415**2OT"0.05OT2"OT**2X(1 )"0.0OX2(1 )"0.0F( 1)"0.0T(1)"O.OJ(lHDO 1 1"2 ,25J( 1)"1T(I)"OT*(I-1)I F ( I . GT . 2 ) G O TO 2F ( I ) "500*OT* ( r -1)

'X( rHOT2*F( 1) ) ( (3+B*PI2*OT2)OX2( I ) "2*F ( I ) -16*PI 2*X( I )G O T O 1

2 I F (r . L E. 5 ) F (I ) "500*OT *(J - l)I F ( I . GT . 5 . A1I O. I . L T. 9) F ( r) "200-500*OT *(l - 1)1 F ( I . GE . 9 ) F (I )" O. O .x( I) ,OX2( , · ·1 )*OT2-X (1-2)+2*X( I - I)OX2( I ) "2*F ( I ) -16*I' I 2*X( I )

1 COIITlIlUE

:IRITE(6,3)3 F OR MA T( 41 HI J T Ul E O IS 1'L A CC LR Tl I FO RC E)

WRITE(6,4) (J( I) , T ( I) , X ( I ) , DX2( I ) , F ( !) , 1"1 , 25)4 F ORMAT (3X , 12 , 2X ,F 6 .4 , 3X ,F 6 .3 , 3X ,F 7 . 2 , 4X , F7 . 2 )

PLOTTIIIG

00 5 1"1, 255 V AR( r ) 'X( 1 ) *10

CALI. I'L0T1(VAR,25)STOP[i/O

T IM E0.00.05000.10000.15000.20000.2500

0.30000.35000.40000.45000.50000.5500

0.60000.65000.70000.75000.80000.85000.90000.95001.00001.05001.10001.15001.2000

OI5PL0.0

0.0200.1560.4810.9921.6101. 9681.7991.045

-0.122-1.240-1. 869

-1.760-0.957

0.2251.3131.8901. 7170.865

-0.328-1.391-1.906-1.668-0.772

0.429

ACCLRTlI0.0

46.9175.3173.9743.44

-104.25

-210.78-234.10-165.01

19.22195.B5295.19

277 .9B151.04-35.52

-208.06-298.47-271.05-136.54

51.72

219.66300. B9263.33121.83-57.77

FORCE0.0

25.0050.0075.00

100.0075.0050.00

25.000.000.00.00.0

0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0O.U

0.0

o processo de computação Runge-Kutta é muito popular, por ser auto·iniciaao e

apresentar resultados com precisão satisfatória. A seguir, uma discussão resumida

da sua' base.

Consideremos a equação diferencial para o sistema de um grau de Iib~rdade

lP\, d\' .111-', + ('_:" I- kx '~F(I)

dl- dI

dy "" }'(I X, j')dI '.

x e y, ambos na vizinhança de Xi e Yj, podem ser expressos em termos da sériede Taylor. Fazendo o incremento de tempo h = til

(d.\') li « f 2 . \ ' ) ~ idI ,I dIZ < 2.

(d Y ) li i (~) h Z

dI I . dIZ 12

Em lugar de usar est'as expressões, é possível substituir a primeira derivada por

uma inclinação média e ignorar as derivadas de ordem mais elevada



x .'C'- X ; ·1 ( d X ) Id L i 111' 1

y:c' Y i 1 ( d Y ) IIdI ; a"

4.3 Mostrar que o tempo I p correspondente à resposta pico do sistcma mola-mas-

sa amortecido, excitado por uma força degrau Fo, é WI/lp = = 1T/~.4-4 Mostrar que, para o sistema do l'robl. 3, a rc~posta pico é igual a

Se tivermos usado a regra de Simpson, a inclinação média no intervalo I r torna-se,

isto éUm pulso 'retangular de altura Fo e duração 10 é aplicado a um sistema

mola-massa não-amortecido, Considerando ser o pulso a sorna de dois pulsos

degraus, como indicado na Fig. 1 '.4-5, determinar sua resposta para I > 10

pela superposição das soluções não-amortecidas:

( d Y ) , J . . [ ( d Y ) - I - 4 ( d Y ) - I - ( ~ J ! . ) Jd t i/lI' '6' d I ri d t I, I h 2 d t r I I h

o método Runge-Kutta é muito semelhante às computações acima, com a

exceção de que o termo central da Eq. (4.8-4) é dividido em dois termos, c quatro

valores de I, x. y, e f são computados para cada ponto i, como se segue F " \ _ . _ J _ . _ _. _ . ,.......· '- '0 , . ~ l. ... '__

x Y . \ : I y - . \'

T, .... I; X, ...ri Y, . • I' F, e ,[ ( T, . X ,. Y,)

"

T2 ,,' I;+ i~ x , .. , Xi Y, i ! . . Y, .ri F h F, ~, [(T2, X" Y2)2 2 \2"

Tj 1 4 - Xj - 1 - h Yj F h Fj : . I (T " X j•

, ' I; .--:."Xi Y22- .l'i [' 22

Yj)

T 4 I; I h .1' 4 Xj YJh Y, - .l'i i F,h r. I(T" X" 1'4)

4-6 Sc uma força arbitrária f(t) é aplicada a um oscilador não-amortecido, que

tem condições iniciais diferentes de zero, mostrar que a solução deve ser na

forma X i'II Xi I ~[Y 1 2Y,I 2Y j 1 Y,] (4.8-5 )

,6 1

.1';'1 ~ - ; J ' j '\ ~[F ,I 2F, - I 2F j - I - F, l (4.8-6)

6 I

,. I r 'x(t), xocOSW,,1 I . .. .' !.se nw.I!- f(ç )s en úJ ,, (1 -ç)r/çúJ

n 1l1W/1 •. ' o . '

4-7 Mostrar que a resposta a uma função degrau unitária, designada por h(I),

é rel'acionada à resposta impulsiva g(t) pela equação g ( i) " ' ~ li (t).

4-8 Mostrar que a in tegral de convolução pode também ser escrita em termos de

h(t) como

onde se reconhece que os quatro valores de Y divididos por 6 representam uma in-

clinação média dx/di e o s q ua tro v alores d e F divididos por 6 resultam numa

média de dx/dl, como definidas pelas Eqs. (4.8-2) e (4.8-3).

.1(1) j(O)h(t) I r ' /(ç)lz(t ... ç) r/ç, o

4-1 Mostrar que o tempo t p' corrcspondcnte à rcsposta pico para o sistema

mola-massa excitado impulsivamente, é dado pela equaç,To

onde h (I) é a resposta a uma função degrau unitária.

4-9 Na Scção 4.4, a Eq. (4.4-1) d,\ a equação subsidiária para o sistcma mola·massa

viscosamcnte amortecido, Avaliar o segundo termo devido a condições iniciais

pelas transformadas inversas.

4-10. Um sistema mola-massa não-àmortecido recebe u,ma excitaçãO base de y (i) = =

= = 20(1 - Si). Determinar odeslocamento rel~ti~o máximo, sabendo-se que

a freqüência natural do sistema é wl/ = = 10 S-I .

4-11 Ul~1 pulso senoidal é considerado como a superposiçãO de duas ondas senoidais,

confom1e a Fig. 13.4-11. Mostrar que a solução é

4-2 Determinar o deslocamento pico para o sistema mola-massa impulsivamente

excitado, e mostrar que ele pode ser expres~o na forma

xpico -. jk iii " . ( ( . _ I ' ~) _ ., exp - --- tg ---F. .-/1 - -C ' (

Representar graficamente este resultado como uma função de \.

, )

I )



( Xk) ~= 1 (sen 27 11 _ ~ sen ! ! ! . . )Fo (T/2I, -- 2I,/T) T T_ I,

( ' f ~ ' ! ' o ' ) 1 [( 2711 21, 7 1 1 ).,-,(T/21, - 21 ,/ T ) _ senr - - T- sen'7

( I - - I , 21, I - I, ) I-I- sen2n --- - -senn . ,T T 1,_

onde T = 2rr/w.

F

4-14 Com referência ao Exemplo 4.4-2, determinar o espaço de trepidação ("rattle

space") necessário. no caso do sistema suspenso ter uma freqüência natural

de 10 cps c da caixa cair de uma altura de 1,0 pól.

4-15 Um peso de 38,6 lb é suportado por várias molas, euja rigidez combinada é

de 6,40 Ib/pol. Se (l sistema é suspenso de modo que a base da;. molas é ao mes-

mo tempo livre e so!t;,. detenninar o deslocamento máximo de m, e o tempo para a compressão máxima.

4·16 U,,, instrumento delicado é suportado por I1'olas dentro de uma c,·ixa, confor.

me indicado na Fig. PA·16. onde Slla freqüencia natural e de 10 cps. Na posi.

ção de suportado, o espaço livre entre o imtrumento e as paredes da caixa é de

1,0 pol. Pergunta·se, se a caixa cai acidenU,!rnentc de uma altura de 20 paI, oinstrumento baterá nas paredes?

~\-1\ /\ I\ / \ I

\ I \ I' - ' " . • . . . . _/

2F o( I - r I )X=- ----sen2n- ,

k I, 2m, T

2Fo { - I T [ 2n ( I) I l 1 .x =- I - - -I- -- 2 sen- I- -I, -sen 2n - J •k I, 2m, _ T 2 T_

~

)

))

)

) 4-13

)

) 122

)

)

F I I

I'- II

~/ / , I" ' " • . . . . . . ,' '-- /

4-17I I I

F I ~ Io

~o / ,, 7 I" •......I

II

II

Um sistema mola·massa da Fig. PA-17 tem um amortecimento de CouJomb que

exerce um atrito constante de força f Mostrar que a solUÇão para uma excita-

ção de base é

Wo Z _1_(1 -I- Jr..... .)([ - CoSW,I) -senW,1l'O úJ,l1 /lH"o

x ~= 2 :o {2 ;d 2s en~ (1 - {li) -se n~1!.( t - 1 ,)--Se n2 71 +]}, I> I,

Um sistema mola-massa desliza para baixo Ilum plano inclinado suave de 30°.

conforme a Fig. PA-13. Determinar o tempo decorrido entre o primeiro con-

tato da mola até que ela desfaça novamente o contato.



4·18 Mostrar que a resposta pi-::o para o Probl. 4·17 é

O)"Zmu :~c _1 (1- & ) 1 1 - ~ (I + ~) I"o 0),,1, t- /111'0 I t - 1 ( li, ) I'

, V 1 +0),,11

1 - I- l " i I r ; ; J

o espectro da rcsposta para o pulso senoidal é indicado na Fig. 1'.4-21. Mostrar

quc a resposta pico ocorre na rcgião t > t I para pequcnos valores de t dr.

Mostrar que a resposta pico ocorre em t = ti, quando ti Ir = 1/2.

2,0

O~)01ax

Dividindo-se por wnt 1, a quantidade z01axlvotl pode ser representada gra-

ficamente como fU!lção de wnh com ftdmvo como parâmetro.

4·19 No Probl. 4·18, a força máxima transmitida a m é

Representar graficamente esta quantidade em forma n;To-dimensional, multipli-

car por t1lmvo para obter

! :..! ! 2 :1 ~JJH'o

Ji,- -I (0),,/1) '( = . " " ')J1l/'u 10' I

I ,/T

Figura 1'.4-21.

4-22 Um sistema mola-massa não-amortecido com w = 16,1 lh tcm um período

natural de 0,5 segundos. Ele está sujeito a um impulso de 20 lh/pol de forma

triangular, com a duração de 0,40 segundos. Determinar o deslocamento máxi-

mo da massa,

4.23 No caso de um pulso triangular de duração ti, mostrar que, quando

2.0

que novamente pode ser representada graficamente como função de wt I,

com parâmetros ft,/mvo. Traçar IW /lzmax/v O I e IZ01ax/1I0tll como fun-

ção de wnt, para ftdmllo igual aO, 0,20 e 1,0.

4·20 Mostrar que o espectro da resposta para o pulso retangular de duração t!, re-

presentado na Fig. P,4·20 é dado por

( x k ) 2scn7!lui'~, ,ma' r

( X k )F o O1aX

( X k )Fo 01"-'1,0

ti /r = 1/2, a resposta pico ocorre em t

partir da equação



WnZmu:

1'0 OJ nt 1

2 21Cf,(I. ) ~ I, (I, I ) 2lrl, Ir cos -- ~ - 0 ,5 - c os •.Ir - ~ - - cos -- - - 0 '_ ' O, •. I, r I, r I,

encontrada ao se diferenciar a equaç,lo para o deslocamento com 1 > I" A

Fig. 1'.4·23 mostra o espectro da resposta para o pulso triangular.

4·24 Se o período natural T do oseilador é grande, comparado ao de duração de

pulso ti' a resposta pico máxima ocorrerá na região t > ti' Para o oscilador

não amortecido, as integrais escritas da forma seguinte

x ---~~·(senw.1 J r f(ç) cos w"ç dç - - cos W"I r {(ç)Senúl"ç d ç lo . ~. o

Não mudarão para t > t 1> uma v ez q ue n es ta reg iã o f(t) = O. Assim,

fazendo-se a substituição

A c o s i f > w:J~f(Ç)C0SW.Ç<IÇ

Asen if > , - _ o 0). r " ~ f(ç)scn O).Ç< 1 1 ;• o

4-27 Se t > tino Probl. 4-26, mostrar que a solução é

w.z\ [ () ]r;;- ~o -sen W.I + úlol, COS W. I - I, - COS W"I

a resposta para t > t I é um movimento harmônico simples, com amplitude

A, Discutir a natureza do espectro da resposta para este caso.

4-25 Um sistema mola·massa não-amortecido, m. k. é sujeito a uma força de ex-

citação F(t), como Indicado na Fig. 1'.4·25, Mostrar que para t < to

kx(t) _~ _I_(W"I _' sen W"I)7';- W"lo

4-28 Determinar a resposta para o 1'robl. 4·10, usando a integração numérica.

4-29 Determinar a re.spostatempo para o l'robl. 4·22, usando a integração numérica.

4·30 Estabelecer um circuito de computador analógico para resolver o sistema

não·amortecido excitado na base, do 1'robl. 4·26. Verificar o espectro da

10

6

4

2

1,0

0,6

x l 0,4E - -

N ,0

0,2N -

0,10

0,06

0,04

0,02

I I IIExcitação da velocidade

'I. y = 60e-o.,o 1

x" y= 60 (l-51)

x~---- ----

- ~~t--

.- --

~ l----1 ' . " - . .

-l-

"- I .'" ~í'•.

kx(t) I [ () ] . ( )-ç;- .~W"lo

senw" 1 - 10 - sen Wol -I- COS úl" I- 10

4·26 A base de um sistema mola-massa não-amortecido, m. k, é sujeita a UI11 pulso

de velocidade, confonne a Fig. 1 ' .4·26. Mostrar que se o pico ocorre para

t < ti' o espectro da resposta é dado pela equação



i{r)" 60('-' 10, .('(1) (lO(I ,51)

Os espectros da resposta para as excitações acima s ;T o indicados em escala naFig. PA-30.

4·31 Um sistema mola·massa tem a equação

, ~ ., 2 . \' 1 1 0 0 .1 ' O

com as condições iniciais x (O ) = 1,0 pol c , x ( O) = 3 pol/s. Diminuir a equa·

ção do computador po r um fa tor 10, c determinar o diagrama do circuito eos fatores de escala para a sua computaç,To eficiente.

4·32 São dados os seguintés valores 'para um certo sistema de um grau de liberdade:

m = 0,122 Ib/s2/pol, k = 6100 Ib/rol, c = O,lace' Esco lhe rum tempo

do computador que seja 500 vezes ma io r que o t empo e fet ivo e escreve r a

equação para o computador para uma excitação arbitrária F(T). Desenvolver ? diagrama do circuito em escala apropriada.

4·33 Escrever a equação de movimento para um sistema amortecido com excitação

de base y(t). T raça r o c ir cu ito do computador analóg ico e mos trar com asquantidades z = (x - y) e x podem ser medidas.

4·34 Um s i s tema mola ·massa com amortec imen tos v i scoso está in icialmen te e r i1

repouso com deslocamento zero. Se o sistema é ativado por uma 'força harmô'

nica de freqüência W = wn = - J k 7 1 ii, determina r a equação pa ra o seumovimento.

SISTEMAS

DE DOIS GRAUSDE LIBERDADE

5

4·35 Mostrar no Probl. 4·34 que , com amor tec imento pequeno , a ampli tude se rá

elevada a um valor (1 - e - I) vezes o valor do es tado pe rmanen te no t em. po t = li/nó. (ó = deeremento Ioga rítmico).

4 ·36 Supor que um s is tema levemen te amor tec ido é ac ionado por uma fo rçaFo sen wnt onde w" é a freqüência natural do sistema. Determinar a equação

para o caso da força ser subita ment e remo vida. Most rar que a ampl itudedecai para um valor e-I vezes o valor inicial, no tempo t = I / f l / ó.

Um sistema é denominado de dois graus de liberdade quando requer duas coorde-

nadas para a descrição do seu movimento. Tal sistema proporciona uma introdução

simples ;lO comportamento de sistemas com vários graus de liberdade.

Um sistema com uois graus de liberdade terá também duas freqüênei 'ls naturais.Quando ocorre vibraç.To livle com uma destas freqüências 'naturais, eXÍ! '. te uma

relação definida entre as amplitudes das dU;ls coordenadas e, a coníigur; lção é referida

Como o /Ilodo //ormal. O sistem;l de dois graus de liberdade terá então duas vibrações

de modo norm;ll . correspondentes às duas freqüências naturais. i\ vibração livre

iniciada sob qualquer condiç;To será geralmente a superposição das duas vibr; lções

de modo norm;ll. Entretanto. vibração harmônica forçada ocorrerá na freqüência

da exc i tação , e a ampl itude das duas coordenadas t enderá pa ra um máximo nasduas freqiie'ncias naturais.

Consideremos '0 s is lema não·amortec ido da F ig. 5.2·1: Usando as coordenad~s

XI e X2, medid~s a parlir d~ rererênci~ inercial , ~s equações diferenciais de movi·men to p~ra o sistema vêm a ser

{ )

()

()

I)



mX1 = -k(x, -- x,) -- kx,

2mx 2 = k(x, -- x,) -- kx,

jO : 6 3 4 f .w _ =~ .1.:" co, 0,634-I 111

w, =.1.i" =! 2 366 k , _ m

A substituição destes valores na Eq. (5.2-3) nos pem1ite achar a razão das

amplitudes. Para w i= 0,634k/m, obtemos

kx, I::lk(x, -x, l r:; : l2 kx,~- ~-- k I2 k - w;m =" 2 __ 0,634 ~= 0,731

Definimos agora uma oscilação de modo normal àquela na qual cada massa

é submetida ao movimento harmônico da mesma freqüência, passando simultanea'

mente pela posição de equilíbrio. Fazemos, para tal movimento,

que é a razão de amplitude ou perfil do modo, correspondendô ao primeiro' modo

normal.

Repetindo, para w~ = 2,366k/m, obtemos

XI :::...:A1ej(J/t

x 2 = A

2e hut

' ( A ) ' " k . I A: ,_co 2k __ w lm =2 _ 2,366 =-2,73

A substituição destes nas equações diferenciais resulta em

( 2k - - w'm) A, - kA, OO-~ O

-kA I + (2k - 2w'm)A, .,= O

para o perfil do modo que correspçmde ao segundo modo normal. Mostramos grafica-

mente na Fig. 5.2·2 os dois modos nom1ais. No primeiro, as duas massas movem-se

em fase. No segundo, as massas movem·se em oposiçlfo ou fora de fase, uma em

relação à outra.

~- k

w : =0,634 m!

(2 k - w'm) - k l --k (2k _ 2w'm) "o" O

( k ) 3 ( k ) ' .1.' - 3- .1.+ - - == Om 2 m Exemplo 5.2.1

Considerado o sistema da Fig. 5,2-1, fazer o par de molas ao centro igual a

Ilk

e computar as freqüências naturais e os perfis dos modos .

.1.,=" (~ + -} - /T ) ~ ,2,366 ' : 2

e os val~res encontrados para asfreqüêllcias naturais do sistema são

130



Variando o valor de n, os seguintes valores numencos para (WI /WIl)2 e

(W2/WIl)2 são estabelecidos e traçados, conforme a Fig. 5.2-3. Observamos que

(wdwll? pernlanece quase constante.

FreqÜências de modos normais, como função de n

Exemplo 5.2-2

A Fig. 5.2-5 representa dois pêndulos acoplados por meio de uma mola frágil

k, que não está sob tensão quando as duas hastes dos pêndulos estão na

posição vertical. Determinar a vibração de modo normal.

n (w,/w,,)' (w,/wlI )'

O 0,50 t,O

0,5 0,611 1,6411,0 0,634 2,3662,0 0,650 3,8504,0 0,660 6,840

10,0 0,666 15,83100,0 0,666 150,8

0,666

Solução: Admitindo como positivos os deslocamentos angulares anti-horários,

e tomando os momentos em relação aos pontos de suspensão, obtemos as seguintes

equações de movimento para pequenas oscilações:

m /'ã ,

m/'ã,

mg/e, _.. ka'(e, .....eJ

. mgf(), - 1 - ka'(O I :. O,)w '

( w ," J

O , , ', cos wl

O, A,coswl

( A2

,)") _ I L 2( / )'~ __ Tn- W,W,' n w, ff W, J J l . ., k a'

. / ~mT'

(~r' 1,0 (~r) -1,0.A2

1 1 ,

Por exemplo, se n = 4, os dois modos normais são como estão representadosna Fig. 5.2-4.

Nestas condições, no primeiro modo os dois pêndulos movem-se em fase e a molanão é estendida. No segundo modo, os dois pêndulos movem-se em oposição e a

mola de acoplamento é ativamente envolvida com um nó no seu ponto médio:

Daí resulta que a freqüência natural" é mais alta.

Exemplo 5.2-3

Se o pêndulo acoplado do Exemplo 5:2-2 é posto em movimento com condi-

ções iniciais diferindo daquelas dos modos normais, as oscilações conterão

133



simultaneamente ambos os modos normais. Por exemplo, se as condições

'lôTcÍ'lÍssIToo-1(O) = A c 0z(O) = O, as equações de movimento serão

Solução: Qualquer vibração livre pode ser considerada como sendo a superposição

dos seus modos normais. Assim, os dois deslocamentos' podem ser expressos como

e,(I) =·i A cos OJ,t + iA COS OJ,I

8,(1) ~~1 1 . COS OJ,I - iA COS OJ,I

.\", "A sen (OJ,I + 1 J f,) '-0 Bsen (co,' + - 1 J f,)

.\" "" A sen (OJ,' + 1 J f1 ) + - Bsen (co,' + - IJfJ

Considerar o caso da mola de àcoplamento ser muito fraca, e mostrar que um

fenômeno de batimento ocorre entre os dois pêndulos.

Deve-se notar aqui que os primeiros termos à direita correspondem ao primeiro

modo normal na freqüência natural WI' Sua razão de amplitudes é também

A l/A 2 = A/A = I,que é o primeiro perfil do modo nOfmal. Os segundos termos

oscilam à freqüência Wz com razão de amplitudes B dB z = - B/E = - 1,

em conformidade com a vibração do segundo modo normal. As fases 1/11 e I/Iz

simplesmente permitem a mudança do tempo de origem e não alteram o caráter dos

modos normais. As constantes A, B, 1/11 C 1/12 são suficientes para satisfazer as

quatro'eondições iniciais, as quais podem ser escolhidas arbitrariamente.

(w -- úl )e , (I) = = A cos I 2 'I (

C O + W )cos -'-2--. 1

(w -- W ) ( W + W )e,( 1) ~ - A sen ' 2 " ~en I 2 'I

Já que (W l - wz ) é muito pequeno, Ol(t) c 02(1) agirão como eos (W I + w2)t/2.e sen (WI + W2 t)/2 com amplitudes variando lentamente, conforme mostra a

Fig. 5.2-6. Visto que o sistema é eonservativo, a energia é transferida de um pêndulo

para outro.

',~~4S " o ~ « Ç ff fsp ,

A sen 1 J f , ~ 2,5

Bsen 1 J f, = -2,5

Diferenciando a Eq. (a) para a velocidade e fazendo O obtemos duas outras

equações

O C "' co, A cos 1 J f , - 0), Bcos 1 J f,

O,,, 0), A cos '11, + 0), B cos 1 J f,

Exemplo 5.24

Se as massas e molas do sistema representado na Fig. 5.2-7 são igualadas

a m e k como indicado, os modos normais vêm a ser

cos 1 J f, = O ou

cos 1 J f, =O ou

1 J f. = 90°

1 J f, = 90°

k 3k ~:w ; w i ~ m m . -.~III m

:iJ. A , }+-x,+--x,

·--1A , : 4 - - ; Figura 5.2· 7 ''k J I 1 k x, = 2,5 cos . I_I - 2,5 cos ..l-{

'Y m . m

If - fi k x I = , 2 ,5 co s - ( + 2,5 COS -Im m

x,(O) =·5

.~ ,(O ) O

.\",(0) ~' O

:ê ,(O) 0.00 O {

X , } { I } (k {-I } !3 k" 2,5 cos V n : / . - 2,5 cos V f;;f X, I m l' m



k I, k 2· Trata-se de um sistema de dois graus de liberdade, visto que são neces-

sárias duas coordenadas para se deserever seu movimento_ A escolha das coor-

denadas definirá o tipo de acoplamento que pode ser determinado imediata-

mente a partir das matrizes de massa e rigidez. ~assa ou acop!amcnto dinâmico

existe ~;sall1atriz de massa é não-di:lgonal, enquanto que rigidez ou acàp!a-

mento estático existe se amatriz de rigidez é não-diagonal. I: possível também

que haja as duas formas de acoplamento.

As equaçõesdifereneiais de movimento para o sistema de dois graus de liberdade

são em geral acopladas, no sentido de que :ul1bas as coordenadas aparecem em eada

equação. No caso mais geral, as duas equações para o sistema n:lo-;nl1ortecicJo têm

a forma seguinte

11111'~I + 1 1112:\ :2 t- k"x , + k, O

/11 2 ,,'( , + 1 11 22 ,\::, - / k 2,x, + k ~2X2 O

que revela imediatamente o tipo de acoplamen'to presente. Massa ou acop!a/l1cnto

dil!~~'?__ .c.?'is~e.se:I_1DaJrt~dç.1I1as§a (IIão-diagonal, ao passo que rigidez ou Ilcopla- Inento estático existe se a matriz de rigidez é não-diagonal.

E possível também estabelecer o tipo de acoplamento a partir das expressões

para as energias cinética e potencial. Produtos cruzados em cada expressão denotam

acoplamento, dinâmico ou estático, dependendo que eles sejam encontrados em

T ou U. A escolha de coordenadas estabelece o t ipo de acoplalllento e ambos

podem estar presentes.

E possível encontrar um sistema de coordenadas que não apresente qualquer

formaõC'lícoplãmcntõ:-Nestêéâsõ, ;rsequtiçõés são desacopladas e cada uma pode

ser resolvida separadamente da outra. Tais coordenadas são chamadas coordenadas principais ou coordenadas normais.

Embora seja sempre praticável desacoplar.a:, equa~ões ..de .movinlento.parao

sisterna-não-amor'tcêi,fo,esteniior5 •sempre o caso para .um. sistema amortecido.

A;;q;;;;çõ~~-;;tri~'i;i~;~guintes mó~íram um sistema que tem- ós aC;Jplamen [os dinâmi-

co e estático zero, porém as coordenadas são acopladas pcla matriz de amortecimen to.

.Aeoplamento Estático. Escolhendo as coordenadas x

e O ,

sendo x

o desloca.

mento linear do centro de massa, o sistema terá acoplamento estático, como se

observa na equação matricial

I(k I k,)

i ( k, l, k ,l ,)

Se k, I I = k 2 1 2, o acoplamento desaparece, e obtemos x desacoplado e vibrações O.

Aeoplamento Din;imico. 11:' .dgum ponto C ao longo da barra onde .; força arl,i:

cada normalmente à barra produz translação simples, isto é, k I/J, = k;-Ç f'~de.~eiííàstrar que são as seguintes as equações em termos de Xc e 0--------· ----- ..-- ..

1/1<'

I F ~ }Jc lO o - J { x c} { }(k,/~ I k2/~) 0-' °Se na equação acima Cl2 = C21 = 0, então se diz que o amortecimento é propur-

cional (proporcional à matri~ de rigidez ou de massa), e o sistema de equações

torna-se desacoplado_

A Fig. 5.3·1 mostra urna barra rígida com seu centro de massa n.lo coincidente

com seu eentro geométrico, isto é, / , o F /2, e suportada por duas molas,



)

)

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)'

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)

)

)

) 138

que mostram terem as coordenádas escolhidas eliminado o acoplamento estático

e introduzidó o dinâmico.

~,,()plamento Estático e Dinâmico .. Se escolhemos x

'bar~;,-~s equações de movimento tornam-se

Determinar os modos normais de vibração de um automóvel simulado pelo siste-

ma simplificado de dois graus de liberdade, com os seguintes valores numéricos.

/, = 4,5 pés k,"~ 2400 lb/pés

/,=5,5 pés k, c= 2600 lb/pésJc =W r' g

r =4 pés

m x -I- k,(x -- I,e) -I- k ,(xl 1,0) ° Jc Õ -,- k,(x ,-- 1,0)/, + k,(x + I,e)/, O

[(k, ! k, ":-w'm)

, -(k.t, -- k,l,)

-(k,l, --k,I,) - l { " }(k, l; \ k, n ·_-w'J,>. e

w, =6,90 rad/s = 1,10 cps

w, =9,06 radjs = 1,44 cps

( " )7 f " "

(.:~t,~~1,09 pésjrad =0,288 poljgr~u

Consideramos aqui um sistema excita'do por uma força harmônica FI sen wt,

Supondo que o movilllento seja r~presenlado pela equação matriciaJ

° 1 { X ' } I [ ' k "1 1 1 , . 1 , ~ , l i , , k

12' J { " J { F ' l, ,,_e Iscn úJ{

k" x, .0



r i (k " - -- 111/»2)

_ k '2

k'2 - j { X , } { F , }(k22 --- m,w'). X, o {

F }o ' sen (r){

: : >

i .

1II o ' F '}I () 1 \ "i nl j .\' ::

cDeste modo, temos k'l k 22 = 2k; k J2 = k 21 = - k; w ;w~ 3k/lll. Portanto, as Eqs. (5.4-6) da Seç, 5.4 tornam-se

E conveniente aqui o desdobramento de cada uma das equações acima em frações

parciais. Obtemos para X J

onde WJ e W2 são as freqüências dos modos normais. Visto que a Eq. (5.4-3)

torna-se

{ X , } , ~ _1_[(k22 - /Il2W

2)

X, [Z(w)1 ·-k'2

c - = - ~ ~ ~ II1W; lF] _ r,, ,- 1I I'(wj - w; ) - ' [; ;,

..//

De forma sernelhante, C2 é calculado pela multipliéâ'Ção por (w~- wy

fazendo W = W2 / __ ----------

-k'2 ] { F }(k" - lI1,(2) O

\' _ (kn ..- lI1,w')F, I - 1I1,1I I, (W; -- w')(w~ . - W2)

( 2 k - - - ;I1(2) F" - . - . r Ic 2 -.. .. --_. - ' _..J._' -::---- . . . . , ! . . . . -

/-JI1'(CÓ;'·o.: 'wD'_":'-',~íl1

Uma forma alternativa de X é e ~i ã~ ' \ , :' , . ',1 .v-

Exemplo 5.4-1

Aplicar as Eqs. (5.4-6) da Seç. 5.4 ao sistema representado na Fig. 5.4-1 quandoml é excitado pela força F J sen wt. Traçar sua curva de resposta da freqüência.

F [--r k l

,." I J(w/w,)' - I - 3 - - (w/w,)'

F [- I' I ]X2 2 1 . I -, (W/W,)2 - 3 -- (W/WJ2



e admitindo o movimento eomo harmônieo, a equação para a amplitude XI pode

ser apresentada como igual a

4 ' l I --~F

1 ' 1

,

xk x k3 , O f --- ~---

F I, F

2,0 -',I

1,0

wO 3 , 0 w,

- 1,0

- 2,0

- 3,0

A Figura 5.5·2 apresenla um gráfico desta equação, com J . t = = /n2//Ill cumo parà·

melro. Note-se que kdk 1 = J . t (W22/Wll)2 . Visto que o sistema é de dois graus

de Iibcrdade" cxistem duas freqüências naturais. Estas sãu representadas em função

de J . t na Fig. 5.5-3.

Até agora nada sc disse sobre u tamanho da massa do absorvedor. Com

W = = W22, a amplitude XI = 0, mas a massa do absorvedor é submetida a uma

amplitude

I I I : 1

1

I I ', - - - i~ I--r ..-

~ I " " o 4 .-----") . : 1 - i~+J--:\ II 1 ! ' = 0 , 2 f I \ ~ I \ w , , _ _

- t \ " + A- W- - 1,0 __ o

I ; \ 11

,\ I

0,8 \ 1, 25 ' ••••I r - . . -

Um sistema mola-massa k 2• /n" afinado com a freqüência da força excitadora

tal que t•.} ~', k 2 /m 2, atuará como um absorvedür de vibração e reduzirá a zero

(Imovimentl) da massa principal m J • Fazendo a substituiç.lo

(j) ~!

k ,eu], '3." _ _ 1 . -

n/ j 1111.

o sistema absorvedor k 2 , 1Il2 exef(;e uma força igual e contrária à furça perturbadora.

Nestas condições, o tamanho de k,c /Il2 depcnde du valur admissivel de X 2'



1,6

1,4

1,3

- - - - - - 1,2

3 1 ; :J 1,1 -

/I. Figura S,(,·j Illostra () essencial de Ulll péndu\o centrífugo,

Ele é um sistema não linear de dois graus de l iberdade. Todavia, l imitaremos as

oscilações a ângulos pequenos, reduzindo assim a sua complexidade.

Fazendo as coordenadas. no ponto O' paralela e normal a r, a reta r gira

I 'd d' j. (O ' + , .; ,) A aceleração de m é .igual ao vetor soma dacom ve OCl a e angu ar ' I' '

aceleração de O' e a aceleração de m rc1ativa a O',

[R Õ sen r P R O ' ws r P r(O ! ~)'Ji

, [ RÕ cos r P ! RÓ ' sen r i ) I r(Õ!· ~)J.j

Visto que o moménto- em rc1ação a O' é zero, ternos

III[UÕ cos r P i UÓ ' sen q,1 1'(0,1 ~)]r O

0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 0 ,8

Razão de massas /l Admitindo que r j J seja pequeno, fazemos cos t / J

equação para o pêndulo

. . ( R 0 " ) , 1 .rp l r .'i'

A força atuando na roda grande é a força do pêndulo, que é dirigida ao longo

de r.o absorvedor de vibração da Seç. 5.5 é eficiente apenas a uma freqüência,

W = W22• Além disso, com freqüências ressonantes de eada lado de "'-'22, é muitolimitada a utilidade do absorvcdor mola.massa.

Para um sistema rotativo como o do motor de automóvel, os torques de exci.

tação s50 proporcionais à velocidade rotacional /l, que pode variar numa larga faixa.

Nestas condições, para que o absorvedor seja eficiente, sua freqüência natural deve

ser também proporcional à velocidade. As características do pêndulo centrífugo

são idealmente adequadas para este propósito,

o momento desta força na roda grande é FR senq" de modo que, admitindo ângulos

pequenos, a segunda equação é

onde T é o torque perturbador na roda grande.

Os ângulos O e q, requerem a solução simultânea das Eqs. (5.6.3) e ~5.6.5),

o que obviamente somos incapazes de efetuar. Suporemos então .que..o mov~ento

da roda seja uma rotação constante /l mais uma pequena oscilaçao senOldal na

forma seguinte

/

,/1/

r

O' ,

O F o = /lI + Oosenwl

()= 11 + w O oc o sw l ~ /l

Õ =-W20o sen wl



A Eq. (5.6-3) torna-se então

- ( R ) ( R + r )! f i + -;:li' ' " = -r- w200sen wl

giram livremente no eixo e que são aeionadas somente por meio dos anéis de atrito

b, quando a pressão normal é exercida pelas molas das cavilh~s c.

Quando devidamente regulados, os discos giram com o eixo em pequenas

oscilações. Entretanto, quando as oscilações torcionais do eixo apresent~ a ten-

dência de aumentar e se tornarem grandes, os discos não acompanham o eixo, em

razão da sua. grande inércia, e a energia é dissipada peio atEito resultante do movi-

mento relativo. A dissipação de energia limita assim a amplitude de oscilação e evi-

ta desta forma altos esforços de torção no êixo.

Apesar da simplicidade do amortecedor torcional, a análise matemática do

seu comportamento é um tanto complicada. Por exemplo, os discos podem deslizar

continllamente, durante parte do ciclo ou absolutamente nada, isto na dependência

da pressão exercida p'clas molas das cavilhas. Se a pressão no anel de atrito é excessiva

para deslizamento ou nula, não haverá dissipação de energia e o amortecedor torna-se'

inútil. Evidentemente, a dissipação máxima de energia ocorre sob alguma pressão

intermediária, resultando em eficiência ótima do amortecedor.

Admitindo uma solução de estado permanente < f i

tudes torna-se

II'R--w'

00 r

a qual indica claramente que a o>cilação O o da roda torna-se zero quando

W = 1 1 v' R/r. I~ . T

Inclinaçao = J Jilgura 5. 7·2. Amortecedor torcional sob deslizamento continuo.

Em contraste com o absorvedor de vibração que se opõe à força excitadora, o amor-

tecedor de vibração dissipa à energia. A Fig. 5.7-1 representa um amortecedor de

vibração do tipo de atrito, conhecido pelo nome de Lanchester, de emprego prático

. em sistemas torcionais como motores a gás e diesel, na limitação das amplitudes de

vibração nas velocidades críticas. O amortecedor consiste de dois discos 1 1 que

Para dar uma idéia do problema, vamos considerar resumidamente o caso em

que os discos deslizam continuamente. Admitindo-se que o bosso do eixo esteja

oscilando nas proximidades ~a sua velocidade angular média, conforme indicado na

Fig. 5.7-2, os discos estarão sob urna ação constante do torque de atrito T, enquanto

deslizam. A accieração do disco, representada pela inclinação da curva de velocidade,

será em conseqüência constante e igual a TjJ, onde J é o momento de inércia dos

discos, e sua velocidade será representada por urna série de linhas retas. A velocidade

dos discos será crescente enquanto a velocidade do eixo for superior, e decrescente

quando a do eixo passar a inferior, de acordo com o que mostra o diagrama.

O trabalho efetuado pelo amortecedor

IV ,= f Tde ,~ T J 0/ di

onde w' é a velocidade relativa', é igual ao produto do torque T e a área hachurada

da Fig. 5.7-2. Considerando que ~sta área é pequenip~ra T grande e grande para T

pequeno, o máximo de energia é dissipado para algum valor intermediário de T.*

• J. 1'. Dcn H"rlog c J. Ormondroyd, "To~sional-Vibralíon Dampcrs", Trans. ASMEAPM-52-13 (sctcmbro.Jczcrnbro, 1930), p,ígs. 133-152.



Obviamente, o amortecedor deve ser colocado numa posição onde a amplitude

de oscilação seja a maior, a qual geralmente se encontra do lado do eixo distante do

volante principal, uma vez que o nodo está usualmente perto da massa maior.

o nde 00 c 'P o sJo amplitudes complexas, sua substituição Ilas equações diferenciaisresul ta em

1' ( l \ ' ) ' .1 '0 1 '1 0 ,,- or ~ [-..,

.I '.I , "il'w _ Mo-T!fl" - To Amortecedor de Vibração Viscoso Não-Sintonizado. Em um sistema rotativo

tal corno o motor de automóvel, as freqüências 'perturbadoras para oscilações torcio-

nais são proporcionais à velocidade de rotaç,To. Entretanto, h<l geralrnente mais de

uma freqüência desta natureza, e o pêndulo centrífugo tem a desvantagem de que

vários deles são necessários e sintonizados com o número de ordem da perturbação.

Em contraste com o pêndulo centrífugo, o amortecedor torcional viscoso 11ãosinto-

nizado é eficiente numa larga faixa operacional. Ele consiste em Urna massa livre

rotativa dentro de uma cavidade cilíndrica, cheia com fluido viscoso, conforme

a Fig. 5.7-3. Tal sistema é geralmente incorporado no interior da polia, na extremi-

dade de um eixo de manivela, que aciona a correia do ventilador, e é muitas vezesdenomiIlado corno o amortecedor HoudaiUe.

i~ 'C 1 !O

J "d

Eliminando 'Pó entre as duas equações, a expressão para a amplitude O o da poliatorna-se

(01'.Id iro))

[cü'.Id (Á'--J01')] ! ic01[01'.Id

I'I' =--21m

(', "

1

° , 0 ° / / fl'(w/01Y ! 4 Ç ' Af o - -. '\fl --'-(01-/01-")-,-(-,--0-)-,/- 0 1 ~ - ; - ) - '- i ~4~~'~f.u-(-w-/-O-),,-)~2-'--(-I~--w-'-/w--;~)J 2

a qual indica que IKOo/lv!o I é uma função de três parâmetros, L 1 1 e (w/wn).

Se 1 1 é mantido con1:tante e I KOo/M o I é traçado como urna função de

(w/W/I)' a curva para qualquer \ aparecerá de alguma forma similar àquela de um

sistema de um grau de l iberdade com um único pico. Os dois valores extremos

de \ = = ° e \ = = 00 são de interesse. Quando \ = = 0, temos um sistema não

amortecido com freqüência ressonante W n = = Y KjJ, e a amplitude será infinita

nesta freqüência. Se \ = = 00, a massa do amortecedor e a roda moverão juntas

como uma massa única e novamente temos um sistema não amortecido, porém

com freqüência natural de yk/(J + J d).

Desta forma, como o amortecedor Lanchester da seção anterior, há um amorte-cimento ótimo \0 para o qual a amplitude pico é um mínimo, conforme a Fig.5.7-4.

O resultado pode ser apresentado como um gráfico dos valores pico corno uma

função de \ para qualquer 11 , conforme a Fig. 5.7-5v

Pode-se mostrar que o amortecimento ótimo é igual a

Podemos examinar o amortecedor viscoso não sintonizado corno um sistema

de dois graus de liberdade, ao considerar o eIxo de manivela, ao qual ele está ligado,

como fIxo numa extremidade e com o amortecedor nà outra. Com a rigidez toreional

do eixo igual a K pol I b/rad, o amortecedor pode ser considerado como excitado

por um torque harmônico Moe!Wl. O torque do amortecedor resulta da viscosidade

do fluido dentro da cavidade da polia, e suporemos que ele é proporcional à veloci-

dade rotacional relativa entre a polia e a massa livre. Desta forma, as duas equaçõesde movimento paJa a polia e a massa livre são ,

lÕ + K O + dÓ -, rp) = Mllci •••,

. I i i J - dÓ - rp) =()

0= 0IlC'"''

!fl =!fluei .."

I

./2(1 + ti)(2 ~fIi)



obtemos a expressão para ~o. É evidente que ..estas conclusões aplicam-se também

ao sistema mola·massa da Fig. 5.7-6, o qual é um caso especial do absorvedor de

vibração amortecida, com a mola do amortecedor igual a zero.

Figura 5. 7-4. Respusta de um amortecedor. visco,\'O llrió sintonizado(todas as cUrl'as passam por I'J.

Uma roda e eixo rotativos com m?mento angular H podem, sob certas condições,introduzir um momento giroscópico, acoplando desta forma deflexão e inclinação

para criar um problema de dois graus de liber dade. Ilustraremos este efeito com umaroda girando num eixo em balanço, conforme a Fig. 5.8-i.

~~.. --F-j~.. ··:S ..w l !. ,'0'

. . .. "'coso

Se a velocidade rotâtiva do eixo é w, seus componentes, paralelo e nomial

à face da roda, são w sen O e w cos O . Assim, os momentos angulares nessas dire-

ções são Jd w sen O e Jp w cos O , onde J p e Jd são os momentos de inércia daroda ao longo do eixo polar e seu diâmetro. .

Resolvendo essesvetores ao longo da direção de w e na sua perpendicular, o compo-

nente normal a w é

Se o plano de deflexão do eixo gira excentricamente com velocidade angular WI'

é necessário um momento na ,roda igual·a Hnwi, não sofrendo alteração o compo-nente de H paralelo a w. Um momento contrário- está então atuando sobre o eixoPodemos chegar a estas conclusões observando que todas as curvas da Fig. 5.7-4

passam por um ponto comum P, qualquer que seja o valor numérico de \. Assim,

igualando a equação de IKOojM i para r = o e r = 00, encontramos a Eq. 5.7·8.Então, a curva para amortecimento ótimo deve passar por P com uma inclinação

zero, de modo que se substituímos (wjwn) 2 = 2/(2 + J .1 ) na Eq. 5.7·6 e a igua-

lamos à amplitude encontrada na curva não amortecida para a mcsma freqüência,

150

Para considerar este momento na forma de' dellexão do eixo, expressamos as

equaçõcs para a deflexão e inclinaçãO na extremidade do eixo



onde os coeficientes de F e M são funções de influência de deflexão e inclinação

devido à força unitária ou momento unitário atuando sobre a extremidade do eixo,

e F e M são a força e momento na mesma extremidade. A força F é simplesmente

m wfy e M ébináriogiroscópico' - (J p - Jd )ww \O, de modo que as Eqs. 5.8-3tornam-se

3Jd Q =-

14 ml'

Vimos na Seç. 3.4 que para 'uma roda ou disco com um desequilíbrio, liveloci-

dade excêntrica WI pode ser igual a w. Assim, a equação de freqüência podetomar a forma

o método de diferenças fmitas da Seç. 4.7 pode ser estendido facilmente para a

solução de sistemas com dois graus de liberdade. O 'problema seguinte ilustra o processo, sendo programado e resolv ido pelo computador digital.

A Fig. 5.9-1 representa o sistema a ser resolvido. A fun de evitar confusãocom subscritos, chamamos os deSlocamentos por x e y.

Para uma roda que se aproxima dé um disco fino, Jpqüência se reduz a

k 1 = 200 Ib/pol

k 2 = 100 Ib/pol

/Il1 = 0,50 Ib s2/pol

/112= 0,20 lb s2/pol

F = 100 lb (função degrau)

{F = _ O para t < O

Fpara t > OVisto que, na ausência do binário giroscópico, a freqüência natural do sistema é

wy = - J 3EI/m Z 3 , podemosreescrever a equação de freqüência como .

' . I ' 4 , ( I I) 2 4. OW -. Wo -- W --w =, 1 r x , r x 1

x ,"C' ;~ ,~c y = j ' " ' " F = O

Os subscritos para x e y indicalTI então a seqüénç:ia de tempo d~ computação:

As equações de movimento são~)Ilde' IX '7' ~Jd/m Z2 pode ser visto ,como um termo de acoplamento. A Fig. 5.8-2

mostra a relação entre (W/W y)2 e a. Para valores muito grandes de a, a razão

O/ y aproxima-se ,de zero e afreqüência natural do 'sistema tende para o valor w= - J 12EI/kZ 3.' ,. .

152

0,50i:= -200x + loo(y -x)

0,20 y = -Io o(y - x ) + 100



Escolhemos por esta razão um valor arbitrário f : : > . t = 0,020 s. !.'Iota-setambém que

as aceleraçõcs inieiais são XI = O e YI = 500, o que nos obriga a usar a Eq. 4.7-4 para y e a Eq. 4.7-6 para x. Utilizando Y I = 500, temos Isrl 0002

1,11 0003I SN 00041SII 0005IS1I 0006ISII 0007ISII 0008I srl 00091511 0010Isrr 0011IStl 00121Sil 001315'1 00141511 00161511 0017ISN OOlR ISN 0019

1511 0020Is : r 00 21 2 00Isrl 00221511 00231Stl 0024Is r l 0 02 5 1 00ISII 0026Is: r 0 02 7 3 001SII 0028Isr , 0 02 9 4 0015:1 0030ISII 0031

As quantidades X2 e X2 têm de ser determinadas simultaneamente a partir dasequaçõcs

33.33)'2~t2Xl 0.- I-i , 1()()~2

o diagrama do fluxo para a computação é apresentado na Fig. 5.9-2 e o pro·grama Fortran está expresso na Fig. 5;9·3. A Fig. 5.9-4 apresenta os resultadoscomputados e os gráficos relativos a x e y.

154

ó.t = 0.02

y(1) = x(ll = x(l) = O

y(1) =500

1l1l1UISIOII X(40). Y(40) ,DX2(40) ,OY2(40), T(40),J(40), I( 1 )< 1 -

1lT-0.02DT2=OT**2OX2(1 )=0.0OY2( 1) =500X( 1) =0.0Y(I)-o.OT(I )-0.000100 1=2,40J( 1 ) = I

T(1)=U1'(1-1)Ir( 1.[,1.2) GO TO 200Y( I )=OY2(I-l)'oT2/2x( I) =33.33'Y (I) 'UT2/( 1+100'OT2)DY2(1 l'SOO'(X( 1)-Y( 1)+ 1)OX2(I) =-600' x( I) +200'Y( I)GO TO 100Y(I) =OY2( 1-1 )'OT2+2'y(I_l) -Y (1.2)X( 1)=DXZ( 1-1) 'OTZ+Z'X( 1-1 l-Xl 1-2)Oyz(I) -500'( x( 1)- Y(1)+ I)DXZ(I )=.600'( 1) +200'Y(I)CorlT!lIUEWRlTE (6,300) •rORW\T (50 111 J T lt1 E ol SP X o lsp ·r AC C- X. AC C-Y )HRlTE (6,400) (J( I), T( I) ,x(l), Y(r) ,OX2(I) ,OY2(1) ,1=1,40)FORMAT (Ix, 12,3X,F7.4,3X,f6.4,3X,r7.4,3X,F9.2 ,3X,F9.2lsT o r[W"



5-1 Escrever as equações de movimento para o sistema representado ll<l Fig. P.S-I

e determinar suas freqüências naturais e seus perl1s de modos.

Tabela 5.9·1.

J TIM E OISPJ O ISP-Y ACC-X ACC-Y

I 0.0 0.0 0.0 0.0 s o a .002 0.0200 0.0013 0.1000 19.23 450.643 0.0400 0.0103 0.3803 69.90 315.004 0.0600 0.0472 0.7865 128.99 130.345 0.0800 0.1357 1-.2449 167.55 -54.596 0.1000 0.2913 1.6815 161.53 -195.097 0.1200 0.5114 2.0400 101.14 -264.278 0.1400 0.7720 2.2928 -4.67 -260.379 0.1600 1.0308 2.4414 -130.19 -205.32

10 0.1800 • 1.2375 2.5080 -240.88 -135.2511 0.2000 1.3478 2.5204 -304.59 -86.3112 0.2200 1. 3363 2.4983 -302.10 -81.0213 0.2400 1.2039 2.44 38 .-233.58 -119.9514 0.2600 0.9781 2. 3413 -118.61 -181.6015 0.2800 0.7049 2.1662 10.31 -230.6516 0.3000 0.4358 1.8988 118.30 -231.5217 0.3200 0.2140 1.5388 179.37 -162.4218 0.3400 0.0639 1. 1139 184.41 -24.9619 0.3600 -.0123 0.6789 143.18 154.3720 0.3800 -.0313 0.3057 79.95 351.4721 0.4000 -.0184 0.0651 24.04 458.2622 0.4200 0.0042 0.0078 -0.97 498.2023 0.4400 0.0264 0.1498 14.10 438.3224 0.4600 0.0543 0.4671 60.86 293.5925 0.4800

0.1065 0.9018 116.49 102.31.26 0.5000 0.2052 1.3775 152.36 -86. 1327 0.5200 0.3650 1.8187 144.76 -226.8728 0.5400 0.5826 2.1692 84.28 -293.2929 0.5600 0 .8339 2.40 23 -19.90 - 284 .1930 0.5800 1.0773 2.5218 -142.03 -222.2431 0.6000 1.2639 2.5524 -247.86 -144.2432 0.6200 1.3513 2.52"2 -305.73 -86.9733 0.6400 1.3164 2.4633 - 297.19 -73.4 534 0.6600 1.1627 2.3720 -223.20 -104.6835 0.6800 0.9196 2.2389 -104.01 -159.6136 0.7000 0.6350 2.0419 27.37 -203.4337 0.7200 0.3613 1.7635 135.90 -201.0838 0.7400 0.1420 1.4047 195.74 -131.3439 0.7600 0.0010 0.9933 198.09 3.8?40 0.7800 - .0608 0.5835 153.20 177.83

1S 6

5-2 Determinar os modos normais e freqüências do sistema representado na

Fig. P.S-2, quando n = 1.

5-3 Determinar. as freqüências naturais como funções de /l, para o sistema do

Probl. 5-2.

5-4 Determinar as freqüências naturais e perfis de modos do sistema representado

na Fig. P.SA.

~' ~'

~

k'k 3k3m . m

, ,

5-5 Determinar os modos normais do sistema torcional representado na Fig. P.5-S

para K 1 = K 2 e J 1 = 2J 2 •



5-6 Se K1 = O no sistema torcional do ProbI. 5-5, ele degenera e toma-se um

sistema de dois graus de liberdade com apenas uma freqüência natural. Discutir

os modos normais deste sistema assim como um sistema linear mola-massa

que lhe seja equivalente. Mostrar que o sistema pode ser tralado comosendo

de um simples grau de liberdade, usando-se a coordenada < / > = (O I - O2

),

5-7 Determinar a freqüência natural do sistema torcional representado na Fig. P.S-7

e traçar a curva do modo normal.;

5 lb/pol/s'~lb/POI/s1

rn J - .- 1 2 ,, -L 6 " ~

5-10 Estabelecer as equações de movimento do pêndulo duplo em termos dos

ângulos O I e e 2 medidos a partir da vertical.

5-11 Duas massas mie 1112 são ligadas a uma mola fraca, com tensão T, con-forme a Fig. P.5-ll. Supondo que T permanece a mesma quando as massas

são deslocadas normalmente à mola, escrever as' equações de movimento naforma matricial.

5-8 Um trçm elétrico formado de dois carros eom o peso de 50.000 Ib cada é

ligado por engates de rigidez igual a 16.000 Ib/pol, como representado na

Fig. P.5-8. Determinar a freqüência natural dwistema.

: w ! , . . ~ , . , " ' . ' . ' . " . . ",Ol .. GE...: . . : .

O 00

5-12 Se as duas massas forem éonsideradas iguais no Probl. 5·11, mostrar que as

freqüências dos modos nonnais são w = . . , ; T/ml e w2

= . . , ;3T/ml. Estab~-

lecer a configuração para esses modos normais.

5-13 Se ml = 2m e m2 = m noProbl. 5-1 I, determinar as freqüências dos mo-dos normais e os perfis dos modos .

5-14 Um sistema torcional representado na Fig. P.S-14 é composto de um eixo

de rigidez K 1, um cubo com raio r e momento de inércia J1 , quatro molas

de folhas de rigidez k2 e uma roda externa de raio R e momento de inércia

J2• Estabelecer as equações diferenciais para a oscilação torcional, supondoque uma das ex tremidades do eixo seja fixa. Mostrar que a equação da fre.qüência fica reduzida a

5·9 Supondo amplitudes pequenas, estabelecer a equação diferencial para o pên-

dulo duplo usando as coordenadas indicadas na Fig. P.5-9. Mostrar que as

freqüências naturais do sis.tema são dadas pela equação

Determinar a razão de amplitudes XI/X2 e localizar os nós para os dois modosde vibração.



5-20 Escolher coordenadas x para o deslocamento de c e O no sentido horário

para a rotação ela barra uniforme representada na Fig. P.5-20, e determinar

as freqüências naturais e os perfis dos modos.

Dois pêndulos iguais livres para girar em volta do eixo x-x são acoplados por

uma mangueira de borracha de rigidez torcional de k Ib pol/rad, conforme a

Fig. P.5-15. Determinar às freqÜências naturais para os modos normais de vibra-

ção, e descrever como esses movimentos podem começar. Se I = 19,3 paI,

mg = 3 ,8 6 I b , e k = 2,0 I b pol/rad, determinar o período de batimento

para um movimento iniciado com O , =

O e O 2 = 00

, Examinar com

euidado a fase do movimento à medida que a amplitude se aproxima de zero.

5-21 Estabelecer a equação matricial de movimento par.a o sistema representado na

Fig. P.5-21, usando coordenadas x 1 e x2 em m e 2m. DeternJinar a equa-

ção para as freqüências dos modos normais e descrever os perfis dos modos.

.+ I + . ./

5-22 No Probl. 5-2 I, se são usadas as coordenadas x em m e O , que forma de

acoplamento resultará?

5-23 Comparar os Probls. 5-9 e 5-10 na forma matrieial e indicar o tipo de acopla-

mento presente em cada sistema de coordenadas.

5-24 As seguintes informações são relativas a um automóvel representado na

Fig. P.5-24.

5-16 Determinar as equações de movimento para o sistema do Probl. 5-4, sendo as

seguintes as condições iniciais: x \ (O) = A, x \ (O) = X2 (O) = x2 (O) = O.

5-17 O pêndulo duplo do Probl. 5-9 começa o movimento com as seguintes condi-

ções iniciais: x,(O) = x 2(0) = X, x\(O) = x 2(0) = O. Determinar as

equações de movimento.

5-18 Dá-se uma pancada brusca na massa inferior do Probl. 5-], imprimindo-lhe uma

velocidade incial ' * 2 (O) = V. Determinar a equação.

5-19 Se o sistema do Probl. 5-1 começa o movimento com as condições iniciais

x1(0) = O, X2(0) = 1,0, x1(0) = X2(0) = O, mostrar que as equações

de movimento são

W 3500lb

/, -- 4,4 pés

/, 5,6 pés

k, ~. 2000 Ib/pés

k, --,2400 Ibjpés

,.= 4 pés = raio de rotação em volta de c

X ,(I ) =0,447 cos ()),I - 0,447 cos ()),I

X,(I) =0,722 cos ()),I + - 0,278 CQS()),I



5·25 Uma seção de superfície de sustentação, a ser testada em túnel aerodinâmico,

é suportada por uma mola linear k e uma mola torcional K, conforme

a Fig. P.5-25. Se o centro de gravidade da seção está a urna distância e à

frente do ponto de suporte, determinar as equações diferenciais de movimentodo sistema.

5-28 Um edifício de dois pavimentos é representado na Fig. P.5-28 por um sistema

de massa acumulada onde m 1 = 1/2 m 2 e k 1 = 1/2 k 2• Mostrar que seus

modos normais são

( X I ) l' ) _X ; - 2,

(X1) l2) _ - --1,X2

5-26 Determinar as freqüências naturais e os modos nomlais do sistema representado

na Fig. P.5-26 quando

k, =20lb/pol

k 2 =10 lb/pol

Quando forçado por F, = Fo senwt, determinar as equações para as ampli-

tudes, traçando o seu gráfico em função de W /W , I'

5-29 Considerado o Probl. 5-28, se uma força é aplicada em m I para desviá-Ia

de uma unidade, e o sistema é solto desta posição, determinar a equação

de movimento de cada massa, utilizando o método de soma dos modos normais.

5-30 Considerado o Probl. 5.19, determinar a razão do cisalhamen,to máximo no

primeiro e segundo pavimentos.

5-31 Repetir o Probl. 5-29, para o caso da carga ser aplicada em m2, desIocando-a

de uma unidade.

5-32 Supondo no 'Probl. 5·28 que um terremoto faz<;om que' a te~ra oseile na direção

horizontal de acordo com a equação xg = X g senwt, determinar a resposta

do edifício e traçá·Ia em função de w! w 1•

5·33 A fim de simular o efeito de um terremoto sobre um edifício rígido, supõc-se

que a base seja ligada ao solo através de duas molas; K h ' relativa à rigidez

, 163

5-27 Um roto r é montado sobre mancais que têm liberdade de movimento num

plano único, conforme a Fig. P.5-27. O roto r é simétrico em relação a O,

tendo ma~sa total M e momento de inércia 10 em relação a uma axial per-

pendicular ao eixo. Determinar as equações de movimen to para uma velocidade

rotativa w, para o caso de um pequeno desequilibrio mr atuar a uma distân-

cia axial b do seu centro O.



de translação, e K" à rigidez de rotação. Se é atribuído ao solo um movi·

mento hannônico Y g = Y Gsenwt, estabelecer as equações de movimento

em termos das coorde'nadas indicadas na Fig. P.5-33.

5-36 As juntas de expansão de uma estrada concretada estão distantes 45 pés uma da

outra. Estas juntas causam uma série de impulsos, a intervalos iguais, que

afetam carros trafeg:lOdo a uma velocidad~ constante. Determinar as veloci·

dades nas quais os movimentos de arfagem (lon~tudinal) e alternativo vertical

têm maior possibilidade de surgir para o automóvel do Probl. 5·24.

5-37 No sistema representado na Fig. P.5-37, Wr = 200 Ib e o peso do absorvedor

W 2 = 50 Ib. Se IV 1 é excit:Jdo por um desembalanço de 2 lb/pol, c~m uma

rotação de 1800 rpm, determinar o valor adequado da mola k 2 do absorvedor.

Qual será a amplitude de W 2? .

o1.~-k< 2 '$

<'

. ! . - k 2 I

:~=0,734 e ': 0 =-1,14

que indicam um movimento que é predominantemente translacional. Determi-

nar a segunda freqüência natural c o seu modo (Yr = Y o - 2/ 000 = des·locamento do ponto mais alto).

5·35 A Fig. P.5·35 representa a resposta e configuração do modo para os

Probls. 5·33 e 5-34. Verificar os perfis dos modos para vários valores da razão

de freqüências.5

5.38 No Probl. 5-37, se um amortecedor c é colocado entre W1 e W 2, determinar

as equações da amplitude pelo método de álgebra COmPlexa.

5.39, Um volante, com momé~to de inércia. I, .tem um absorvedor torcionalde mo·

mento de inércia ld que gira livremente no eixo e é ligado ao volante por

quatro molas de rigidez k Ib/pol, conforme indicado na Fig. P.5·39. Estabe·

lecer as equações de movimento para o sistema, e discutir a sua resposta a um

torque oscilatório.



5-44 A Fig. 1'.5-44 mostra um tipo de amortecedor freqüentemente usado em eixos

de manivela de automóveis. J representa um disco sólido que gira livremente

no eixo, e o espaço entre o disco e a caixa,é cheio com um óleo silieone com o

coeficiente de viscosidade J 1 • A ação de amortecimento resulta de qualquer

movimento relativo entre os' dois. Derivar uma equação para o torque de

amortecimento exercido pelo disco sobre a caixa, devido a uma velocidaderelativa de w.

cerytrífugo para eliminar oscilações torcionais. O peso em forma de U encaixa

frouxamente e rola, por meio de dois pinos de diâmetro dz, dentro de orifí-cios maiores com o diâmetro' igual di' Com relação à manivela, o contrapesotem um movimento de translação eurvilíneo, eom cada ponto fazendo um

percurso circular de raio r = di - dz.Provar que o peso em forma de Umove·se de fato numa linha ci!cular de raio igual a di - d z.

5-41 Um pêndulo centrífugo do tipo bifllar é sugerido para eliminar uma perturbação

de freqüência igual a quatro vezes a velocidade rotativa. Se se faz a distânciaR ao centro de gravidade da massa do pêndulo igual a 4,0 pol e di = 3/4 pol,

qual deve ser o diâmetro dz dos pinos?

Determinar o amortecimento ótimo 10 e a freqüência na qual o amortecedor

é mais eficiente, para o amortecedor viscoso Houdaille com relação de m'assa

J 1 = 0,25.

Se o amortecimento para o amortecedor viscoso do Probl. 5·45 é igual a

1 = 0,10, determinar a amplitude pico comparada com a ótima.

Estabelecer as conexões apresentadas pelas Eqs. (5.7.7) e (5.7.8) da Seç. 5.7.

Um eixo simplesmente apoiado, de comprimento I e rigidez EI tem um disco

fino, mas rígido, enchavetado no ponto 1/3, conforme a Fig. 1'.5·48. Estabele·

cer as equações de movimento para y e O e traçar (w/wy)Z como função

de Jd /mI2

•

542 Um classificador de carvão tem uma peneira que alterna com uma freqüênciade 600 cpm. O classificador pesa 500 Ib e tem uma freqüência fundamental

de 400 cpm. Se um absorvedor pesando 125 Ib está para ser instalado a fun de

eliminar a vibração da estrutura do classificador, determinar a rigidez da sua

mola. Quais serão as duasfreqüências naturais resultantes do sistema?

5-47

5-48

543 Em certo estabelecimento de refrigeração, um tubo de transporte do refrige.

rante vibrava violentamente numa velocidade de compressor de 232 rpm.

A fun de eliminar esta dificuldade foi proposto prender·se ao tubo um sistema

mola·massa, para agir como um absorvedor. Em um teste experimental, umabsorvedor de 2,0 Ib sintonizado em 232 cpm, 'resultou em duas freqüências

naturais de 198 e 272 cpm. Qual deve ser o peso e a rigidez da mola, no caso

do sistem<t absorvedor ser projetado de modo que as freqüências naturais

fiquem fora dos limites de 160 e 320 cpm.Traçar o diagrama de fluxo e desenvolver o programa Fortran para a computa-

ção da resposta do sistema indicado no Probl. 5-4, quando a massa 3m é167



excitada por um pulso retangular de 100 Ib de magnitude e duração de

6rrvmlk s.

5·50 Admitir os seguintes dados no Probl. 5-28, k I = 4 X 103 Ibjpol,

k 2 = 6 X 103 Ibjpol, ml m2 = 100. Desenvolver o diagrama de

fluxo e o programa Fortran para o caso em que o solo sofre um deslocamento

y = 10" senrrt durante 4 segundos.

i)

( )

, )

I )

, )

, )

)

)

)

( )

i )

)

6 )

I )

SISTEMAS

DE MUITOS GRAUS

DE LIBERDADE

A análise dos sistemas dinâmicos de vários graus de liberdade é complicada por um

grande número de equações e muitas computações detalhadas. É, pois, conveniente

abordar-se o problema de um !]lodo sucinto, que conduzirá claramente aos resultados

desejados, sem o embaraço do envo!vimento em detalhes intermediários. A este res-

peito os métodos matriciais são ideais, pelo fato de que grandes grupos de equações .

podem ser manipulados com notação sumária. O grande volume de computação ge-

ralmente necessária tem que ser atribuído ao computador digital, sem o qual os proble-

mas (ornam-se impraticáveis.

Discutiremos neste capítulo as diversas técnicas matriciais aplicáveis à vibração

dos sistemas dinâmicos de muitos graus de liberdade. Inicialmente, vamos examinar

conceitos fundamentais essenciais na formulação das equações e desenvolver em

notação matricial diversos conceitos relativos à teoria da vibração. Esses conceitos

formam a base para o tratamento e compreensão do comportamento dos grandes

sistemas.

O coeficiente de influência de flexibilidade 0ij é definido como o deslocamento

em idevido a uma força unitária aplicada em j. Com forças fI , f 2 ' e f3, atuando



= 0, X2 = 1 ,0 e X3 = = 0, são k 12, k 22 e k 32• Portanto, a regra geral para es-

tabelecer os elemen tos de rigidez de qualquer coluna é fazer o deslocamento Corres-

pondente a esta coluna igual à unidade, com todos os outros deslocamentos iguais a

zero, e medir as forças requeri das em cada ponto.

nos pontos I, 2 e 3, pode·se aplicar o princípio da superposição para determinar os

deslocamentos em termos dos coeficientes de influência de flexibilidade.

~I ~. a,,/, - 1 - a'2/2 - 1 - alJ/,

X 2 a2 ,/, -I- a22 / 2 -1 - 0lJ/'

x, = aJlfl + a'2/2 + a,,/,

Exemplo 6.2-)

Determinar os coeficientes de influência para os pontos (I), (2) e (3) da barra

cantiiever uniforme representada na Fig. 6.2-1.

[

ai,

[a] == a21

aJl

éa matriz de flexibilidade.

Se a Eq. (6.2-2) é premultiplicada pelo inverso da matriz de flexibilidade

obtemos a equação

I ~ _ . _ · - , - . Q,) ,..

Solução: Os coeficientes de inlluência são determinados, colocando-se cargas unitá-

rias em (I), (2) e (3), como indicado, e calculando-se os desvios nesses pontos. Adotan-

do o método* de momento de área, o desvio nos vários pontos ti igual ao momento

da curva M/E! em relação ao_ponto em questão. Por exemplo, o valor de a z I

= aJ 2 é encontrado a partir da Fig. 6.2-1 (b) com se segue

. Encontramos deste modo o inverso da matriz denexibilidade, que é a matriz de ri-

gidez [k ]

I r - I 7 J 14 /'(l,2 EI .2(2/)2 X J/ '~3EI

2 7 / 'a" .,!; EI

8 /'a22 = = 3EI

I /'

a" 3EI

14 /'a21 _ ..

a 123EI

alJ Gj'}, 2,5 /'"3EI

E a seguinte a interpretação dos vários elementos da matriz de rigidez. Se Xl = 1,0

e X2 = X3 = 0, as forças em I, 2 e 3, que são requeri das para manter este desloca-

mento de acordo com a Eq. (6.2-6), são k 11, k Z1 ' e k 31. Da mesma forma, as

) forças fI , f2 C f3, requeridas para manter a configuração do deslocamento XI =

) 1 70

- Egor P. Popov. Inlroduction to Mcchanic, of 50Ii<1' (Eoglcwood Chfr" N. J.: Prcnticc-

Ibll .•Ioe:, 1968), p;Íg. 411.



4 ]~,5

o teorema de reciprocidade estabelece que em um sistema linear aij = = aji' Para a

prova deste teorema, consideramos o trabalho efetuado pelas forças fi e fj, no qual

a ordem de carga é iseguido por j e depois pelo seu inverso. Constatamos a recipro-

cidade quando reconhecemos que o trabalho efetuado é independente da ordem de

earga.

Aplicando fi' o trabalho efetuado é ~ fla;;, Aplicando fj' o trabalho

Iefetuado por fj é " 2 fJajj' Entretanto, i é submetido a outro deslocamento

ai/j e o trabalho adicional efetuado por fi torna-se a i/jÍ;- Assim, o trabalhototal efetuado é

Exemplo 6.2-2 .

A Fig. 6.2-2 mostra um sistema de três graus de liberdade. Determinar a matrizde rigidez.

Solução: Seja XI = 1,0 e X2 = = X3 = O. As forças requeridasem 1,2e3,consi-derando como positivas forças para a direita, são

fi =k, +k 2 "',kll

f2 =--k 2 == k 21

f,""O =cc. k'l

fi = --k 2 ~,kI2

f2 = k2 + k, = k22

f, C'C ---k, =., k]Z Para o sistema não-amortecido de vários graus de liberdade, a equação de movimentoexpressa na forma matrícial torna-se

fi = 0= k 13

f2 =

--k, ,~k2)f, =k, -I- k. =k JJ

!vi [ 1 / 1 : 11

!Jl. n I

-k 2

(k2 + k,)

-k,



x ~ I ; :"'''00 d' ',," 0 0 = 0 0 ," (m", m'I,;"olo",1

Xn

Se fizermos agora À = À i,um autovalor, o detenninante à esquerda da equação é

então igual a zero e obtemos

. .Quando não há ambigüidade, dispensamos colchetes e chaves e usamos letras maiús-

culas e escrevemos simplesmente a equação matricial como A equação acima é válida para todos Ài e representa 11 equações para o sistema de

1 1 graus de liberdade. Comparando esta equação com a Eq. (6.4-3) para o modo

i-ésimo

M-I/l! ,,,I (uma matriz unitária)

A1 -IK = A (uma matriz dinámica)reconhecemos que a matriz adjunta, adj [A - À/], deve consistir de colunas, cada

uma das quais é o autovetor Xi (multiplicado por uma constante arbitrária).

Exemplo 6.4·1

Considerar o sistema da Fig. 6.4-\(9.4-2)

W2, a Eq. (6.4-2)Admitindo o movimento harmônico X = -' ;\X, onde ~,

torna-se

a-:X,

que é a equação caracteristica do sistema. As raízes Ài da equação característica são

denominadas autovalores e as naturais freqüências do sistema são determinadas a

partir da igualdade[111 O J { ' ~ ' } [ 2 k - k J { X ' } _ { O }O 2111 Xl - k 2k x 2 O

Pela substituição de Ài

na equação matricial (6.4-3), obtemos o perfil de modo cor-

respondente Xi que é denominado o autovetor. Nestas condições, para um sistema

de n graus de liberdade, há n autovalores e 11 autovetores.

É possível também achar os autovetores a partir da matriz adjunta (Vi de Apên-

dice C) do sistema. Se, para efeitos de concisão, adotarmos a abreviação n =

= A - À I e começarmos com a definição do invcrso

[

-I ]- Om

M-I.o O ~

2m

n-I = D n adj B i~(2~ ).) kI r : )111 J II

A ) . l x , ' O

k ( k-)- -

m111



À' .- 3~À I 2( ! . . . ) ' ~ - o111 2 111

de onde são' tirados os autovalores

À1 0,634 ~m

À2 = 2,366 ~m

Os autovalores podem ser determinados através da Eq. (b) pela substituição dos

valores acima de À. Desejamos, entretanto, ilustrar o uso da matriz adjunta no seucálculo.

A matriz adjunta da Eq. (b) é

[

- ( ! . . . - - X )/11 '

k . 2111

[0,366

0,500

1,000J!..

1,377. m

[0,732

1,000O,732J {0,732}

ou X =1,000. 1 1,000

De forma semelhante, quando é usado À2 = 2,366 k/m, o segundo autovetor obti.do da coluna correspondente da Eq. (e) é

X ={-2,7312 I , oo i

A Fig. 6.4·2 mostra os dois modos normais.

A seguir mostramos como os modos normais, ou os autovetores do sistema, podem

ser apresentados como ortogonais em relação às matrizes de massa e de rigidez.

Seja a equação para o i-ésimo modo

A seguir, começar corn a equação para o j-ésimo modo e premultiplicar por

X 'j, para obter

Visto que K e M são matrizes simétricas, as seguintes expressões são válidas"

X~MX, = X;MX j

X;KX, = X:KX j

Assim, subtraindo a Eq. (6.5-3) da Eq. (6.5-2), obtemos

° = (À. , - Àj}X;M XI

Se À j = I' À j, a equação acima requer que

X;M X j = °t t ambém evi dent e, à vi st a da Eq. (6.5-2) ou (6.5-3), que em conseqüência

da Eq. (6.5-6)

As Eqs. (6.5-6) e (6.5-7) definem o caráter ortogonal dos modos normais.

r:ina\mcntc, se i= j, a Eq. (6.5-5) é satisfeita por qualquer valor f1nito dos

produtos apresentados pelas Eqs. (6.5-6) ou (6.5-7). Portanto, fazemos

Estes valores são denominados massa generalizada c rigidez gçneralizada, respecti-

vamente.



Quandp s<;encontram raízes repetidas na equação característica, os autovetores cor-

re,spondentes não são, únicos e sua combinação linear pode satisfazer também à equa-

ção de movimento. Para ilustrar este ponto, sejam XI e X 2 autovetores perten-

certes a um autovetor comum Ào, e X3 um terceiro autovetor pertencente a À3

que é diferente de Ào. P ode mo s en tão e scr ev er .

AXI = }'oXI

AX , C~ }-oX , (6.6-1)

,AX J =ÀJ XJ

Multiplicando a segunda equação por uma constante b e adicionando-se à primeira,

obtemos outra equação

e rotação, os quais são ortogonais. As freqüências naturais para os dois modos,

entretanto, são iguais e seu valor calculado é

w == (2í(• 'Vm

Exemplo 6.6-2

Determinar os autovalores e autovetores quando

[

O

A =-;

Nestas condições, um novo autnvetor, X 12 = X I +. bX 2, que é uma cOlllbillaçáo

linear 'dos dois primeiros, satisfaz também à cquaçáo b~íslca

, AXI , =c À OXI2 (6.6-3)

e por esta razão não exiSte modo único para Ào.

Qualquer dos modos correspondendo a Ào deve ser ortogonal a X J, para que

ele seja um modo normal. Se todos os três modos sao ortogonais, eles sãO linearlllen-

te independentes e podem ser combinados para descrever a vibração livre resultantede qualquer condição inicial.

assim os autovalores são À1 = = I, À2 = = I , e À3 - 2.

Formando a matriz adjunta

[

(À' - I)

adj [A - , 1, 1) = -(À - I)

(À - I)

-(À - I)

(,ll- I)

(À - I)

(À - I) ](À - I)

(À' - I)

Exemplo 6.6-1

Considerar o sistema representado na ·Fig. 6.6-1 onde a barra de conex~To é:(rígida e de peso desprezível.

Os dois modos normais' de vibração são apresentados como de translação

n~ mp

7 : 1 7 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 1 / : A substituição deÀI = = À2 = = I na ma,triz adjunta leva tudo a zero, assim

voltamos à equação matricial original [A - À IJ X = = O com À = = I

-XI '-x 2 +x J = O

-XI -x 2 +xJ

=O

XI +x, -XJ =O

Essas três equações são da forma



( x , .1'1 .\.)),

P' (X, XL X))l C~ [X, X ; X )]" (6.7-2)

( x , XL X )}J.

(XJ) [X,J = O

l, podia s.eobter

com cada linha correspondendo a um modo. Se agora fonnamos o produto PM Pou P'KP, o resultado será uma matriz diagonal visto que os termos fora da diagonal

expressam simplesmente relações de ortogonalldade que são zero.

Como um exemplo, consideremos um sistema de dois graus de liberdade.

Efetuando a operação indicada com a matriz modal, temos

P'MP c. [X , X L)'[M ][X , X2]

[ X'IM XI X'. MX 2J

~ ~ X 'l M X, X ~" IX LA Eq. (6.6-2) nos mostrou previamente que X, e X 2 não são únicos, c que qual-

quer combinação linear de Xl e X2

satisfará também a equação matricial original.

=[:' :J Na equação acima, os termos fora da diagonal são zero, em razã~ da orto gonalidade,

e os termos em diagonal são a massa generalizada Mi.

É evidente que uma formulação semelhante aplica-se também à matriz de rigi-

dez K, que resulta na seguinte equaçãoVerificamos no Capítulo 5 que o acoplamento estático ou ·dinâmico resulta da esco-

lha de coordenadas e que, para um sistema não amortecido, existe :.1mgrupo de coor-

denadas principais que expressa as equações de movimento na fonna desacoplada.

Tais coordenadas desacopladas são desejáveis, uma vez que cada equação pode ser resolvida fndep~ndentertlente das outras,

Para um sistema de massa concentrnda de muitos graus de liberdade, as coorde-nadas escoIlúdas em cada ponto de mllS~nresultarão numa matriz de massa que édiagonal, mas a matriz de rigidez conterá termos fora da diagonal, indicando acopla-

mento estático. A escolha de coordenadas de outra maneira importará em acopIa-mento dinânúco ou tanto dinâmico como estático.

É possível desacoplar as equàções de movimento de um sistema de n-graus de

liberdade, desde que conheçamos previamente os modos nonnais do sistema. Quan-

do os n modos normais (ou autovalores) são reunidos numa matriz quadrada, comcada modo normal representado por uma coluna, nós a denominamos de matriz mo-

dai P. Portanto, a matriz modal para um sistema de três graus de liberdade apresenta-se como

[K

P'KP = c O I

Os termos em diagonal aqui stfo lirigidez generalizada K ,.Se cada uma das colúnas da matriz modal P é dividida peia raiz quadrada da

massa generalizada M io a nova matriz é denominada matriz modal ponderada e s~u

símbolo é P~ É fácil de se ver que a diagonalização da matriz de massa pela matnz

modal ponderada resulta na matriz unitária

Visto que K/Mi = À j, a matriz de rigidez tratada de forma semelhante pela

matriz moda! ponderada torna-se uma matriz diagonal de autovaIores.

1; 1 , 0 ' ' . ~ n - ] ' A

PK P o" [ X I ) r i ) r " )1 ; : , 1 ; : J ; : J

A matriz moda! torna possível incluir-se todas as relações de ortogonalidade da

Seç. 6.5 numa equação. Para esta operação precisamos também da transposta de P,.que é

180

Consideremos o sistema simétrico de dois graus de liberdade representado na

Fig.6.7-1. A equação de movimento na forma matricial é



rm 0 J { ' \ ' ' } I - r 2 k1 0 !li.\' 2 [. - k

Se a matriz de amortecimento C é proporcional à matriz de massa ou à matriz de

rigidez, ou a uma combinação linear das duas, o amortecimento é entã6 denominado

amortecimento proporcional e pode ser expresso como

onde Q e iJ são constantes.

Para o caso do amortecimento proporcional, as equações de movimento repre-

sentadas pela Eq. (6.8-1) podem ser desacopladas, quer pela matriz mo dai P, quer

pela 'matriz modal ponderada P- do correspondente sistema vibratório livre. Usando

}~ seja

t-- x

, :1- - x

,

Figura 6.7·1.

x - i' Y (6 .8-3)'\

onde Y é outra matriz coluna. A Eq. (6.8-3) representa uma transformação de eo-

ordenadas de X para Y. Substituindo a Eq. (6.8-3) na Eq. (6.8-1) e premultiplican.

do por P, obtemos

{ X I } { I } { X I } { - - I }X, J, I' X,), I

A massa generalizada para ambos os modos é 2m, e a matriz modal e a matriz

modal ponderada são

Com C igual à Eq, (6.8-2) e admitindo as Eqs. (6.7-5) e (6.7-6), a equação acima

torna-se

I 1 I. .)2/)1 . J

{ X I } ' [ ' x, == ..)1m I - ; I J t J Visto que todos os coeficientes do lado esquerdo desta equação são matrizes diago-

nais, a Eq. (6.8-5) representa um grupo de equações de segunda ordem desacopladas

da formae preniultiplicarmos por P' para obter

P'MPy! J"KJ'Y. O

A solução das equações acima pode ser efetuada de modo satisfatório pela transfor-

mação Laplace.

Se a matriz de amortecimento não é proporcional, as equações de movimento

, serão acopladas pela matriz de amortecimento, e o grup6 de equações deve ser resol-

vido simultaneamente ou pelo método espaço-estado da Seç. 6.10.Assim, a Eq. (a) foi transformada na Eq. desacoplada (e) pela transformação de

coordenadas da Eq. (d). As coordenadas YI e Y2 são denominadas como

coordenadas principais ou normais.

6.8 VIBRAÇÃO FORÇADA E DESACOPLAMENTO DE COORDE-NADAS

Na vibração de modo normal, todo ponto do sistema,está sujeito a movimento har-

mônico e passa pela posição de equi1Jbrio simultane~ente. Vimos que tal movi-

mento é possível no caso da vibração livre não-amortecida.

As equações de movimento de um sistema de n graus de liberdade com amorteci-

mento viscoso e excitação arbitrária F(l) podem ser apresentadas na forma matricial



o tipo modo normal de vibração é possível também num sistema amortecido,

se ele é excitado por um número de forças harmônicas igual ao número de graus de

liberdade do sistema. Para mostrar isto, consideramos um' sistema viscosamente amor·

tecido de n graus de liberdade, excitado por forças harmônicas de freq,üência w.

Sua equação de movimento é

tg 0 ip :) ; ([ k ] . . [ 1I I ]W2) (X) , '- w fX I' Jc] (Xl i ,~O

tg O JX ); {[k ] [m ]w 2) [X L' - w [X Uc ][X L o:: O

Em face da simetria de [1 1 1 ], [ k] ,. e [ e] , obtemos então, subtraindo, as seguintes

relações para tg O i * ' tg O j

(X L([k ] . [ m ] w 2 ) [ X ) , , . O

(X} ; [ c ] [X) , ~= O

(6.9·6)

(6.9-7)

Vários investigadores têm examinado tal problema. * E suas conclusões são no

sentido de que para uma determinada freqüência w, existem 11 soluções do tipo

descrito pela Eq. (5.9·2), onde cada um desses modos é associado com uma fase de fi-ilida 0i e uma distribuição do vetor força {Fl

ique é requerida para a sua excita-

ção. A resposta sob estas condições é denominada modos Ilormais forçados do sis-

tema amortecido, em que todo o ponto no sistema move-se em fase e passa pela sua

posição de equilíbrio simultaneamente em relação aos outros pontos. Tal como no

caso da vibração livre não-amortecida, existem relações de ortogonalidade entre os

modos.

Transformação de Coordenadas. Simplificação considerável resulta da transformação

de coordenadas, utilizando-se ou a matriz modal [P ] do sistema não-amortecido ou a

matriz modal normalizada ponderada [F], que é a matriz modal [P ] com as i·ésimas

colunas divididas pela raiz quadrada da sua massa generalizada ( {Xlí[m] {XlYI1

(Vide Seç. 6.7). Sé a transformação

Se levamos a Eq. (6.9-2) à Eq. (6.9-1) e igualamos os coeficientes dos termos

semelhantes, obtemos as,duas equações

[([k]- [m](2) sen O _.c. [c]w cos O ][ X) • • (O)

[ ([ k ] - - [m](2) cos fi -I- [c)w sen 0 ] [ X ] C ~ = f. F I(6.9-3)(6.9-4)

L À , l . , [P ] '[k][J '] =' quadrados das freqüências

naturais não-amortecidas

[C) .~ [1']'[c][1'] =' matriz de amortecimento simétrica

til- [1']'[m][1'] =' matriz unitária

é evidente que há /I valores da tg ° i correspondendo aos /I autovalores da

Eq. (6.9-5), e que para cada tg O i há um autovetor correspondente { X h - As necessá·

rias funções que forçam {Fli são obtidas então pela substituição de 0i e {X li

na Eg.. (6.9-4)., .Obtém-se as relações de ortogonalidade reescrevendo a Eq. (6.9-3) para os

i.ésimos autovalor e autovctor, premultiplicando pela transposta do j-ésimo autove-

tor, e repetindo o processo com ie f intercambiados.

[t11 t g ~ - - ( t{X ;-~ w 2]rC)]( y lo~ O

[(tÀ,l--- w 't 11) cos ~ -I- w[C] sen4>H Y} =[,i']'[F}

[ Y ] ; ( t J . , l - - t 11w')( Y L '- .~ O[ Y);[ C ll Y 1 .' O

I YJ;[1']Vl O

(6.9-12)

(6.9-13)

(6.9.14)

(6.9.15)

(6.9-16)185

• B. M. Fracjis de Vcubckc. "Déphasagcs Ch~lmctcristiql:c~ ct Vibration~ Forcés J'un Sy~-

téme Amorti':, Académie Royale de Belgique, Ilulletiíl de Ia Ctasse des Seionce" Series 5. Vol.

XXXIV (1948), pág. 626.

184 \



Se a matriz modal rp] é usada no lugar da matriz normalizada ponderada [P],

ambas as matrizes de massa e de rigidez serão diagonalizadas, mas a matriz de massa

não será unitária.

Exemplo Numérico

A Fig. (6.9-1) apresenta um sistema de dois graus de liberdade euja equação de

movimento é

~ J { ~ : } !'{~I - - I J " I X ' } , i2I l x , - ,. ~-I

--I {'~'}2 .\,

{ ~ JsenWI

0)'//1

---r 1(/)'//1 .- J L

, I . .--i;

Para obter valores' numéricos, é necessário especificar a freqüência de excita-ção w ou W2 m/k. Para W2 m/k = = 0,50, obtemos

k ).,=-m ( : S .) =' I

x, ,

( : S . ) =_]

x, 2

li, . 1,105 J L , 2,895

íY L "2,24

. í Y L ,c o - 2,24

c o a 1,00

. k ).,=3-

m

Visto. que a massa generalizada é 2 hz para ambos os modos, a matriz modal e amatriz normalizada ponderada são Essas quantidades satisfazem as relações de ortogonalidade das Eqs. (6.9-14) e

(6.9-15). A Eq. (6.9-16) nos permite achar a razão de forças. A equação

IY];"(I']'(F],,, °[ P ] = [ : ~ I JUsando [.p], temos

- I [IP - -- -r ] - ,flm 1

k [ I 0 JtÀ /l = m ° 3

e

[I - IJ[e] =2m _I 5

··-T----T-~·lI I ii

,

1 4 mw'

I k . ,

- i

r

i

m' mI--

me k tg c/J--

2k

l o ,

_I I , i

I ,

1',/1', 1---2---.J~



resulta em (Fi/F 2 )1 1 1

resulta emPara esta reformulação, a cada uma das variáveis originais e suas derivadas são atri-

buídas novas variáveis, denominadas por variáveis-estado, e por esta razão segundas

derivadas tornam-se primeiras das novas variáveis-estado. Embora este processo redu-

za a ordem das derivadas, ele dobra o número de variáveis, resultando daí aumento

no trabalho de computação. Nestas condições, o uso do computador digital é indis-

pensável para a computação numérica.Finalmente, através da transformação (n= = [P] {Y} achamos as amplitudes

reais {X}

{0,382}

[X L , ~c 1,000 { 2 , 6 1 }(XL , - ,1,00 1

x, t . ckA fim de completar o problema, outras freqüências W2 m/k têm de ser escolhi.

. das e repetida a computação acima. As Figs. 6.9-2 e 6.9·3 apresentam os gráficos das

razões de forças e amplitudes para os dois modos.

I-J,

Exemplo 6.1 O-I

Considerem'os o sistema amortecido visco-elasticamente da Fig. 6.1 0-1. O siste-

ma difere do viscosamente amortecido pela adição da mola k l que insere urna

nova coordenada Xl no sistema. As equações de movimento para o sistema

em coordenadas inerciais X e X 1 são

}}IX c, ·-kx-- c ( . o( - " .0(,) -I- F

O e ( X . . - .\ - ,) - - k , x ,

{ 1 • ~m

( J. . ~.

c

XI 2,

:( I Z 1

No caso mais geral de inexistência de amortecimento proporcional, o sistema de

equações de segunda 'ordem da forma da Eq. (6.8-4) não pode ser desacoplado, a

não ser que elas sejam reformuladas em termos de equações de primeira ordem.188

x o-~ : :2

. \' ec, ::J , .- _



Esta equação aparentemente simples, nada tem de simples na realidade e re-

quer tratamento numérico considerável, que é apresentado na próxima seção.

CAI = ,e-'[s I - A r'c= ,e_,adj[sl- A ]

IsI- AI

É evidente aqui que as raízes Sj da equação característica IsI - A I = O devem ser

calculadas e que o lado direito da equação, após o processo de inversão, será uma ma-

triz quadrada, cujos elementos são e Sjl multiplicados por constantes. Se raízes repe-

tidas estão presentes, terinos tais como teSjl aparecerão também na matriz.

onde

' + 1 " ~ 1 ~ 1-

- I X O I

e A O O I

- / 3 -w G Om

Solução 2: Podemos examinar também a solução par~ a equação espaço-estado

como um problema de au tovalor, autovetor. A equação característica fornece os

autovalores

e os autov~tores são tirados de uma das colunas da matriz adjunta adj [M - A] com" j para o i-ésimo modo.

Antes de prosseguir com este problema, introduzimos aqui uma técnica de dia-

gonalização que será essencial à solus:ão. A equação homogênea da Eq. (6.10-5) é

escrita primeiro para o i-ésimo modo como

A solução desta equação de primeira ordem é bem conhecida e pode ser expres-

sa na seguinte forma feehada

Solução 1: Consideremos a equação homogênea

i = Az

onde se supõe que os autovalores sejam distintos.

Existem n (para este problema, n = 3) equações como esta que rearranja-

remos como

o termo e A t, nesta equação, requer interpretação. Um processo seria considerar a

solução pcla transformada de Laplace da equação homogênea e comparar os resulta-

dos. Fazendo z(s) a transformada de Laplace do vetor coluna z, obtemos

Essas n equações matriciais podem ser reuilidas numa única equação matricial em

termos da matriz modal P e uma matriz diagonal dos autovalores definida como

] .de onde concluímos que

190

(6.10-16)191



a qual pode ser facilmente verificada como fi equações do tipo designado como

Eq. (6.10-14). Obtemos, se a equação acima é premultiplicada por p-1

P-IAP =1\

e a matriz A é diagonalizada em termos dos autovalores do sistema.

Voltando agora à solução da Eq. (6.1 0-5), introduzimos a transformação decoordenadas

6-2 Estabelecer as matrizes de rigidez e flexibilidade para o Probl. 6-9.

6-3 Uma barra uniforme de comprimento I, simplesmente apoiada, é carregada com

pesos nas posições 0 ,251 e 0 ,61. Determinar os coeficientes de influência de

flexibilidade pára estas posições.

Py=PAY+1I

Premultiplicando por P-1 , temos

y =P-'AP)' - + P-III

=~ Ay + P-'1I

A Eq. (6.10-20) está agora deóacoplada, c' a soluçJo para Yi

pela transformação Laplace.

Considerando somente a equação homogênea

y =, Ay

6-4 Determinar a matriz de flexibiJidade para a barra ~antilever representada na

Fig. P.6-4 e calcular por meio de sua inversa a matriz de rigidez.

6-5 Considerar o sistema com fi' molas em sêrie, como se vê na Fig. P.6-S, e mos-

trar que a matriz de rigidez é uma matriz faixa ao longo da diagonal.

( Y ' ) _ [ e " ' . O

)'2 -. O e'"

Yl _ O O

O ] ( ) ' I )O Y 2

e,h t Y3 o

Para transformar as coordenadas originais, notemos que Y

Eq. (6. I0-22) e premultiplicando por P, obtemos

6-6 Determinar a matriz de flexibilidade para o sistema do Probl. 6-5.

6-7 Utilizando a matriz adjunta, determinar os modos normais do sistema mola-

massa indicado na Fig. P.6-7.

6-1 Deterrminar a matriz de rigidez para o sistema representado na Fig. P.6- I e

estabelecer a matriz de t1exibilidade pela sua inversa.6-S Para o sistema indicado na Fig. P.6-S, escrever as equações de movimento na

forma matricial e determinar os modos normais a partir da matriz adjunta.



6-21 Determinar a matriz de amortecimento para o sistema apresentado na

Fig. P.6-21 e mostrar que ela não é proporcional. (- 11,351

I 1,0 I- 3,676.

6-27 Se 1..2 = = -0,1619 + i10,43 é substituído em adj [A - À!J do ProbL6-24,

mostrar que cada coluna fica reduzida ao segundo autovetor que é

1,00

0,1(,19

;0,338 I

! iIO ,43(6-22 Usando a matriz modal P, reduzir o ProbL 6-21 a outro que seja acopIado

apenas por amortecimento e resolver pelo método da transformada de Laplacc.

6-23 Determinar a resposta do estado permanente forçado do sistema indicado naFig. P.6-23.

[

- 11,35

P = = 1,00

- 3 ,676

0,876 + iO,338

1,00

- 0,1619 + il0,43

0,876 - iO,338]1,00

-0,1619-il0,43

6-29 Mostrar, pela comparaç;To do sistema viscoelástico da 'Fig. 6.10-1 eom o sistema

amortecido viscosamente, que o amortecimento viscoso equivalente e a rigidezequivalente são

( ~ , ( ) Z

(k, I k J ( c r ;lI : (~ ~ )Z

~ ".10,m

Deterntinar a matriz do sistema [Ã - À1J.

6:25 Para o Probl. 6-24, mostrar que a adj [A - À!J é6-30 Considerar um sistema viscosamente amortecido de um grau de liberdade

[

( . . 1 . 2 - I - 100)

-10

-10. .1.

~IOO. .1 . (4- I - . .1. )1 10

-100(4 -1. .1.)

. . 1 . ]

(4 -1..1.)

. .1 .( 4 - 1 - ..1 .) e expressá-I o na equação matricial estado.espaço .

6-31 Resolver a equação estado· espaço do Probl. 6-30 e comparar com a SOlução daequação de segunda ordem.

Usando À1, mostrar que cada coluna da matriz adjunta é proporcional ao au-

tovetor de modo I, que pode ser reduzido para



SISTEMAS

DE PARÂMETROS

CONCENTRADOS

7

Quando sc torna grandc o númcro de graus dc libcrdadc dc um sistcma, aumenta a

dificuldadc para a obtcnção dc rcsultados numéricos. Para sc tcr a solução é prcciso

confiar no computador clct;ônico de alta velocidade. Embora o problema de achar

os auto-valores e autovetores de uma equação matricial seja tratado rotineiramente

pelo computador eletrônico, há processos de aproximação e outros alternativos que

são muitas vezes proveitosos. De modo particular, é útil o conceito dc fragmentar-se

um sistema complicado em subsistemas com propriedades clásticas e dinâmicassimples, no sentido de tornar abordáveis sistemas cujas soluções aparecem obscure-

cidas em complexidade.

Neste capítulo serão discutidas e ilustradas COmexcm plos simples as idéias

básicas desses processos.

Dois processos alternativos são disponíveis para o problema do autovalor e autovetor.

A equação matricial



)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

))

)

)

)

)

)

)

)

No caso do sistema conservativo de um grau de liberdade, encontra-se a freqüêncianatural igualando o máximo da energia cinética ao máximo da energia potencial.

Rayleigh mostrou que este processo pode ser aplicado também a sistemas de maiores

graus 'de liberdade, contanto que se admita uma razoável distribuição da def1exão.

O método é discutido a seguir de modo conveniente, em termos de notação matricial.

Sejam M e K as matrizes de massa e rigidez e X o vetor de deslocamento

admitido para a amplitude de vibração. Considerado o movimento harmônico,são as seguintes as expressões dos máximos das energias cinétiea e potencialn [ 2 1

14

4 r ' o

° l r Jw'[J 8 2,5 o o x,

: : = 3E I 1:111,

2,5 1 o o I/lL x,

Exemplo 7.3-2

Dada a equação

Este quociente aproxima-se da mais baixa freqüência natural (ou freqüênciafundamental) do lado alto, e seu valor é de algum modo insensível à escolha dasamplitudes admitidas. Para mostrar essas qualidades, expressaremos a curva dodesloçamento admitido em termos dos modos normais Xi na forma seguintex all a" ,

x, a" a2J

f, =x 3 aJ2 G33

lal

la22 G " I

k ~C~~

11 I G I

onde termos cruzados da forma X;KX j e X;MX j foram eliminados pelas condi-

ções de ortogonalid'lde.

Todos os outros termos podem ser determinados do mesmo modo. Deve-se notar

que o processo acima é simplesmente o da inversão da matriz [ a ) .

• 101m \V. Strutt, Baron Rayleigh, The Thcory 01' Sound (2~ cd, rcv.)(Nova Iorque: Dovcr Publícations, 1937), Vol. I. págs. 109-10.



Quando X ': expresso em termos dos modos normais CO!1l0 :U1tC:·:, 'i' "ondiçiíes

de ortogonal idadc e l imina rão novamente todos os t e rmos p , lr a ' " qua is i 'F i,e a estimativa da freqüência fundamental torna-se

' \ I ' C ' ((V i(J)l - I '-----j

,. \(ui

U m a v ez q ue ( I w; /cúj ) é menor que ( wJ jw ; . - 1) onde "'i> Wl, a

Eq. (7.4-9) resulta i luma estimativa melhor ,h freqüência fund:Jt"lelltaL

Desejamos estender nesta· seção o método de Rayleigil ;lS vibrações de barras.

Seja:n /Il a massa por un idade de comprimen to ao longo da ba r ra e y a amplitude

da eurva de deflex,]o admitida, a energia einétiea é expressa pela equação

T",,, 1 J . i " dl11 - lw ' J Y' dl11

onde w é a freqüência fundamental em radianos por segundo.

1\ energia potencial da barra é determinada pelo trabalho a que foi submetidae que nela está acumulado como rnergia elástica. Sendo M o momento de fl exão e

O a inclinação da curva el,ística, o trabalho efetuado é igual a

U lr M dO

I) X ' l~fX, I " , 1 ,X',/v IX, '

É evidente, então, que W2 é maior que w; por ser wjjw; > I , V isto que C2

representa o desvio das amplitudcs admitidas em relação ;lS amplitudes cxalas Xl,o e rro na f reqüência eomputada é somente p roporc ional ao quadrado do desv io

das amplitudes admitidas em relação aos seus valores exatos.

Esta análise mostra que se é admitida a deflexão fundamental exata (ou modo) X" a freqüência fundamental encontrada por este método ser<i a freqüência exata,uma vez que C 2 , CJ etc. serão então iguais a zero. Para qualqucr outra curva, a

freqüência determinada será mais alta que a fundamental. Explica·se este fato sob ofundamento de que qualquer desvio da curva natural requer rcfreamento adicional,

o que implica em rigidez maior e freqüência mais alta. Em geral, o uso da curva de

deflexão estática do eorpo elásticq resulta em valor razoavelmente aproximado da

freqüência fundamental. Se o objetivo é uma exatidão maior, a curva aproximada

pode ser repet idam ente melh orada . .

Ou tra forma do quociente de Rayleigh que fornece uma es t ima tiva me lhor

da f reqüência fundamenta l pode se r ob tida a par ti r da equação de movimento ba -

seada no coeficiente de influência da flexibilidade

Visto que a del1exão em barras é geralmente pequena, admitimos que prevaleçam asseguintes relações geométricas

I dO R c tlx

x ,~,aM,Y

~~ (t)'aMX

2 X'MX (V =Y'MaMX 1 A I

R EI



onde EI é a rigidez flexional da barra e R é o raio de curvatura. Com a substituição

de dO e l/R , U pode ser expressa como

Exemplo 7.4-2

Se a distância en tre. as ex trem idades da barra da Fig. 7.4-2 é fixada rigidamen te,

um esforço de tensão a surgirá em conseqüência da deflexão lateral. Conside-

rar este adicional trabalho de deformação na equação de freqüência.If M 2 If ( d 'Y ) 'U mu = 2" EI dx =~ 2" EI dx2 dx

Igualando as duas energias, cinética e potencial, a freqüência fundamental da barra

é determinada pela equação

f EI(d 2 y/dx')' dx(02="--------

f y' dm

Exemplo 7.4-1

Aplicando este processo a uma barra simplesmente apoiada, de seção trans-

versal uniforme, indicada na Fig. 7.4-2, supomos que a def1exão seja repre-

sentada por uma curva senoidal de fórmula

Y = ( Y o sen n t) sen WI .

onde A é a área da seção transversal, a é o esforço de tensão, e E = 1/2 (dx/dy)"

é a unidade de deformação.

Igualando a energia cinética ao total do trabalho de deformação da f1exão e

tensão, obtemos

I j " . I J ( t l 2)')' I J E A ( < l I ' ) 4-(j)' )" dl1l c.. -- EI -, <Ix -I- -- _ .~ dx2. 2 dx- '24<1x

J EI(~r dx - \- J ~(~r <Ix

J ) " dmonde )'0 é a f1exão máxima no meio do vão. A derivada segunda torna-se

entã_o

d'y = -(!!..)'yosen nX sen wldx' I I Exemplo 7.4-3

Consideremos a seguir a barra cantilever indicada na Fig. 7.4-3. Suporemos

aqui que a amplitude da barra em qualquer ponto x é dada com exatidão

suficiente pela curva de deflexão estática de uma barra cantilever sem massa,

com urna carga concentrada na extremidade. Escrevendo esta equação na

forma

(j)' '=EI( T r 'To sen' T dx =C~ 7 1 .4 gEI

IV

f i s 2 nx d w/

4

- en - xg o I

[ - (') ' ( ,) J]) ' =1)'0 _3 - cr .. I

t...: 1 1 1 : , 1 / -~x No caso da eurva admitida ser a correta, a freqüência exata é obtida pelo

método de Rayleigh. Qualquer outra curva admitida para o caso resultará

numa constante maior que rr 2 na equação de freqüência.



onde Yo = P[3/3EI é a ampliluue da '?xtremidade livre. a rigidez nesle ponlo

vem a ser k = P l .vo = 3EI/IJ. 1\ ~nergia pOlencial que é igual ao trabalhoefeluado, é enlão

:'El .2/ J ~ )'i)

Exemplo 7.4-4

Para ilustrar o uso desta equação, vamos determinar a primeira aproximaçau

para a freqüência fundamental de vibraç,lo lateral para (} sistcma indicadona foig. 7.4-4.

A energia cinética é determinada a seguir pela integraç,lo de urna metade do

iJrouuto da massa e o quadrado da velocidade, sobre o comprimento da barra

= = 8 = '= = '[ " ,3 U ' " , . f (i) C D

Il' ( O ) \ ' o ) " j " I ( X ) ' Y')- 13-·.....g \ ~ () L I I

(\.),n,

,'j 1 tlx.1

\ ( : ' 3 1 1 " ) , . ,2 T 4 ü :;'; (J).J o

A equação acima indica que para a curva de detlexão suposta, a barra contínua

de w I b/pé é equivalente em características de vibração à barra sem peso com um peso (33/140w/) concentrado na extremidade.

Igualando as duas energias, a freqüência fundamental de vibração em radianos por segundo é a seguinte

Com referência à Fig. 7.4-5, a detlexão em qualquer ponto x. devido a uma

carga concentrada W, às distâncias a e b das extremidades, pode ser determinada pela equação

que pode ser eneo,ntraua em qualquer livro paurão sobre resistência dos materiais. *As detlexães nas cargas podcm ser obtidas pela superposição 'das duas cargas, mos-trada na Fig. 7.4·6

1 " :'OO<~~.:.:.J' ( I0'• I 6 / /0 El

.1", :'O.o.:~5,!3(1r;'ú I X U

4 5 ,2 ; - ; 1 06 I--D--po.

Em geral, a curva de deflexão suposta para o problema deve satisfazer as

condições de contorno de deflexão, inclinação, cisalhamento e momento. Estas

condições são satisfeitas pela curva de detlexão estática que geralmente resultanuma freqüência de exatidão aceitável.

Se uma barra é representada por uma série de cargas concentradas W \. W2 ,

W 3 , ••• , o trabalho de deformação máximo pode ser -determinado pelo trabalho

efetuado por estes pesos. Como uma primeira aproximação, pode-se usar a detlexão

estática Y I ,Y2 ,Y3 , ... dos pontos correspondentes. ern cujo caso as cnergias cinélicae potencial rnáx irnas são

4 0, 7 ; . I O ó-U,,-pol.

~="~~.

(i) 0

I 0)' ,

2R'[W,.J'i ! W,)'~ I W,)'; i···]

- iU V,)', I IV,)', : IV,)', I",] (i) Q)

Figura 7.4·6 .

' f ' ( d Y ' ) ' • Obtém-se o mesmo resultado eom a equação U m" ~ 1 O EI d . r ; . d.\'. • j':gor P. l'0pov. Introductioll to MeclJanies ar Solids, (Englewood C1iffs. N. l.: Prentiee--Jlall, Ille., 1968 l. . .



,I' =500 X 8 X 10(18' _ 10' _ 8') X 12' = 103,OXIO'poiJ'l 6 X 18 X EI EI .

"= 500 X 8 X 5(18' _ 5' __ 8') X 12'c 2~ x l2 .': l'oi y, 6 X 18 X EI EI , .

10' y, =148 X EI'

10'y,=116x--

EI Figura 7 . 4 - 7 . Diagrama de corpo livre

do elemento da 'barra_

Solução: Se utilizamos a Eq. (7.4-11), vamos chegar a um resultado errado, visto

que a curva acima não satisfaz as condições de contorno na extremidade livre. Usando

a Eq. (7.4-11), obtemos= )~ = )386(500 X 148 -I- 300 X 116)EI w 1 I;W y' (500 X 148' + 300 X 116')10'

- c . 0,00 17-/El rad/s

Se outra exatidão é desejada, pode-se ter uma melhor aproximação à curva dinâmica

pelo emprego de cargas dinâmicas no lugar de pesos estáticos. Uma vez que a carga

dinâmica é m w' y, que é proporcional à deflexão, podemos recalculá-Ia com os

pesos modificados W, e W, (Y'/Y I)'

o processo resumido na seção anterior conduz a resultados aceitáveis, utili-

zaI1do-se a curva dada.

o coneeito de cargas dinâmicas pode também ser usado, começando com

uma curva muito mais simples que a estática. Supondo-se que tal curva seja y(x),

a carga dinâmica por unidade de comprimento é w'm(x)y(x) que deve igualar

a mudança em cisalhamento ao longo da barra.

V(e;) w' 1 : /IIeç' de ; W'/IIl' (/'

3

M(.\) r V(ç) dç- W '; I I C r (I'. ç') de;

'c ~~le(31' --- 41'xl x4)

Substituindo M(x) em Umax , temos o trabalho máximo de deformação

eomo indicado na Fig. 7.4-7. Uma vez que dM Vdx, encontra-se o momento

M pela integração e substituindo na equação

l ' f M ' Um •• ~= 2" EI dx

__I (w'me)' f I 4 , 4 ,U mu - '5 . E 7 12 O ( 31 - 4 1 X -I - X ) dx

W4 m'c'312

=2EI 144 ffi I" que é então proporcional a W4. Na realidade, a equação de T max não é tão sensível

às inexatidões da curva admitida, quanto o trabalho de deformação que depende

da curvatura, podendo muito provavelmen te estar em erro e por isso deve ser com·

putada eom cuidado. f i' J I '11

T mu '~, i y 'm dx ,~ - i e 'w 'm ; ,' d x = ie2w211J 5O, o .

Determinar a freqüência fundamental da barra cantilcver uniforme indicada

na Fig.7.4-8, utiliz~ndo a curva simples y. =cx'.W, = ,J12,47 EIlml4 == 3,53,JEIlmI 4

que é muito próximo do resultado exato.



o limite superior para a freqüência fund:unental é dado pelo princípio de Rayleigh,

que é complementado pela fórmula de Dunkerley da qual decorre o limite inferior.As Eqs. (7.3-3) e (7.3-4) mostram claramente que é a seguinte a relaç:To para umsistema de l1·graus de liberdade

freqüência fundamental da estru.tura mais excitador,freqüência fundamental da estrutura sozinha,

freqüência natural iÍú cxci tador montado sobre a e s tru tu ra113 ausência de outra, massas·.

I I I'W' 1 w' 'I '" 'I w' J, n

f convl;niente, algumas vezes, "prcscntar esta equação sob outra f6rma, por exemplo

Uma vez que aii éo coeficiente de influência igual à detlexão em i, resul-

tante de uma un idade de ca rga nesse pon to , sua rec íp roca deve se r ( ) coef ic ien tede rigidez k ii• igual à força por unidade de deflexão em i. Também

onde m2 é a massa do P l'SO wncen trado ou exc itador e a22 o coeficientede influência da estrutura no ponto de ligaç:To do excit<ldor.

"a freqüência natural do sistelll" quando ~Olr;':I, t" til, 'ést'; preSCl1lt', Podemos pcrt antu c~;c revcr a Eq. (7,5-1) na:' seguintes fOrJli:,:;eqllivaJellk~;.

Exelllplo 7,5·2

Um profundo! (peça hUlizoiltal di,) It ·nlc.l de aviàu apreseIltou uma freqüência

ressonantc di: : ; :) C, 'S c;1I3ndJ~vibr;;,!:, i)(Jr um ag,/; ,dor de maSSa excêntrica

c om o p c so d e 1,5 Ib. J \ ad iç :io de I ,S U- ao pew do ag itador baLxou a f re -

qüência r es sonante pa r: : 24 CI)S. r~"'I'>rIllin,Jl a freqül~ncia natural verdadeirado profundor.

!II.l. II/I,t

k 1I k"

I J-, -1--

2 ·1

(i)II W 22

. , ' . ! /1"1

(,,:

I"'1-2

(JJ nn

Soluçiio: As freyüências reSSonallli- . . l: l<'djd:!\ "Jo uquelas resultantes da massa

to ta l do p rofundor c ag itador. Sendo f, I a f r eq üência na tu ral do p rofundor , esubstituindo na Eq, (b) do Exemplo 7.5-1, obtemos

Faz-se a estima'tiva da freqüência fundamental reconhecendo que ' " - ' 1 , W3 etc"são freqüências naturais de modos mais altos c por isso I/w~, I/w} etc., podem

ser desprezados no lado esquerdo da Eq . (7.5-3). Com o abandono desses termos,

I /w; é ma ior que o seu va lor ve rdade iro e portanto 0)1 é menor que o va lor eXato da freqüência fundamental.

Exemplo 7.5-1

A equação de Dunkerley é de utilidade para a estimativa da freqüência funda-

menta l de uma est ru tura em tes te de v ibração. As f reqüências na tu rai s dasestruturas são determinadas, muitas vezes, por meio de um excitado; de massa

excêntrica ligado ,) estrutura, e pela anotação das freqüências correspondendo

à amplitude máxima. As freqüências medidas desta forma representam as da

estrutura mais excitador e podem se afastar consideravelmente das freqüências

na tu rai s da p rópr ia e s tru tu ra, quando a massa do exci tador r epresen ta uma

perc entag em subs tanc ial da mas sa total . Em tais caso s, a freqü ênci a fund a-mental da estrutura sozinha pode ser determinada pela seguinte equaç:To

l,I 45,3 cps

A r igidez do p rofundor no pon to de l igação com o agi tador é determinada por m e io d e I /a22 ' cujo valor tirado da mesma equação é

I I

k 2 "' 2 ll;i 5 ü ,f c i7 246Ib/pol.

Exemplo 7.5-3

Determinar a freqüência fundamental de uma barra caritilever uniformemente

ca rregada com uma massa M concen trada na ex tremidade , igua l à massada" '! uniforme. (Vide Fig. 7,5.1) .

• S. Duokcrley. "00 the Whirliog and Vibration 01' Shafls".l'hil, Ilans. !(oY., Soe"185 (1895), págs. 269-360.

212



Exemplo 7.5·5

A freqüência fundamental de uma viga uniforme de massa M, simplesmente

apoiada como na Fig. 7.5-2 é igual a 11 2 ..) 8I/MP. Se um'a massa concentrada

lIlo é presa à viga em x = 1/3, determinar a nova freqüência fundamental.

Solução: A equação de freqüência para a barra com a carga uniforme do próprio

peso é

• ( EI )W i, • 3,515 iJ7j

Solução: Começando com a Eq. (b) do Exemplo 7.5-1, façamos Wll a freqüência

fundamental da vig~ uniforme e Wl a nova freqüência fundamental com mo presa

àviga. Multiplicando aEq. (b) por wi , temos

( w ')' I , ( W ') '- . - Q!.Z,nOW11 -

W11 W11

c o 1, . .

3 ,O O (f t~ J )Substituindo na fórmula de Dunkerley re:llrum31b na mancHa seguinte, a frequência

natural do sistema é determinada como

(~r = I -I- a12mOW'r,

A quantidade a22 é o coeficiente de influência em x = 1/3 devido a uma

unidade de carga aplicada no mesmo ponto. Seu valor, forriecido por meio da fór-

mula da barra no Exemplo 7.4-4, é

' 4 1 ( E I )~ , "M í'

Podemos comparar este resultado com o da equação de freqüência obtida pelo

método de Rayleigh que é

2 ,4 3 ( ~ ~ J ) . 8 I'. . . 6 >~ 81 8I

Exemplo 7.5-4

A freqüência natural de uma asa de avião em torção é 1600 cpm. Qual será a

nova freqüência torcional se um tanque de combust ível de 1000 lb é suspenso

numa posição um sexto da semi·envergadura, a contar da linha central do

a vião tal q ue s eu momen to d e in ércia e m relaç ão 3 0 eixo torcion al é

1800 lb pol/s2? A rigidez torcional da asa neste ponto é 60 X 106 pollb/rad.

As equações de movimento, formu.ladas quer na base da equação de rigidez quer na

de l1exibilidade, são similares na forma e se apresentam como

f i ! 0 - 1 0 - :; : - r O ' - ")1) I . . - 1745 'p. =_ _~~____- ~, l ps - l III

" 2n'\ IWO

Xl a" G12

" ' " I

x,x , a" °22 x2

- À (7.6-1)

" . a., a.2 a•• x .

onde À é igual a I/W2 para a fom1Ulação de rigidez e w2 para a de flexibilidade.

215

A nova freqüência torcional com o tanque, conforme a Eq. (a) do Exemplo 7.5·!.

) . torna-se então

I I I

fi =16(50 ' -: - r't45"



o processo de iteração tem in ício pela admissão de um conjunto de deflexões para a colu na direi ta, da Eq. (7.6 -1) e pela exec uç:T o das oper açõe s indic adas , do que

resulta urna coluna de números. Esta é então normalizada fazendo-se uma das ampli-

tudes igual à unidade e dividindo-se cada tenno da coluna pela amplitude escolhida

que foi normalizada. O processo é então repetido com a coluna normalizada até queas amplitudes estabilizem num padrão definido.

Conforme se verá na Seç . 7 .7 , o p rocesso de i t e ração converge pa ra o valor mais baixo de À, de maneira que se encontra o modo fundamental ou o mais baixo

de v ibração pa ra a equação formulada na base das coe ficien tes de inJ1uência dellexibilidade. Igualmente, para ,a equaç,Io formulada na base dos coeficientes de

influência de rigidez, a convergência é pa ra o modo mais a I to , que corresponde aovalor mais baixo de À = = I/v.}.

1

- , x , ' 1x,1

~J)_'/J I 135,3,,'1" 135,3W'/'ll'001KE1g 333,0 SElg _2,461

[' ,I,O O j ',2,60

e a raz,To de amplitudes encontrada é

x, ==~ x2 2,60

Exemplo 7.6-1

A barra unifornlC da Fig. 7,6-1, l ivre para vibrar no plano indicado, tem dois

peso s conc entra dos W, = = 50 0l b e W 2 = = 100 Ib, Determinar a freqüênciafundamental do sistema. ' Ob tém-se uma exat idão su ficiente com os re ' su l tados da p rimei ra e segundaiteraçôes, se apenas a freqÜência fundamental é de intl 'resse. As forças de inércia

da p r ime ira i te ração são 500w2 /g e 208w2 /g . Estas forças produzem deflexães

obtidas na segunda iteraç,Io que são x, = = 135,3w2 I J /8EIg = 16,92w2 I J /Eige X2 = = 2,46x,. O trabalho efetuado por estas forças é então

I - ,,.., ,,;, )w' .' I x 1012 X (O'X,, ,-()OO,- , ,-OS,', . ,46 -x, -'-? g2 g •.•r

1~e a energia cinética correspondente é

I w' I v w'x;-,,(500 1- 100 .,' 2,46')-x;'- -2- > ; J 105 " -,,-L 'g "Solução: São os seguintes os coeficientes de influência para este problema, deter-

minados por n :e io das equações de de llexão de ba r ras , colocando-se uma ca rgaunitária nas posições I e 2-

457 m, ''17'

I " ' " '/ .1 I ) o oI .,

J . ú) II

Ix, ='xD!i I ) 0,0, • '. 4

I~O

I i .1' I :

100 1 , \ , I Quando as equaçües de movimen to são formuladas em te rmos dos cocf ic ien t~s

de in fluência de f l exibi lidade , o p rocesso de i t eração converge pa ra o modo maIS

baix o pres ente na defle x:To adm itida , É evidente que,se o modo mais baixo é ausen:e

na deflexão admitida, a técnica da ileração convergirá para 'o modo próximo maIS baix o, ou o segu ndo mod o,

Seja :~éurva admitida X expressa pela soma dos modos nonnais Xi

X C,, \' , 1 C,Xz ; C,XJ ' 1 - , . ,

I x, I _ ?)'~ 11 0 8, 3; _ _ 10§~~(J)~i11J , 00

Ix, ! - XUg 225,0 I - - XUg i 2,08

Se o p rocesso.é r epe t ido com x,216



Pa~a fazer distinção na equação acima entre a curva admitida X e os modos normais

Xi, designaremos estes últimos por

Xi =1 : : )1 x 3I

o processo de iteraçãoaplicado à Eq. (7.7-7) convergirá para o segundo modo.

Repete-se o processo para o terceiro m~do. C outros mais altos, fazendo

C1 = C2 = O, etc.Assim, de cada vez é reduzida a ordem da equação matricial.

Entretanto, se há introdução de impurezas através das matrizes de varredura, torna-se

mais crítica ~ convergência para modos mais altos. É conveniente checar o ~odo

mais aIto pela inversão da equação matricial original, inversão esta que deve ser igual

à equação formulada em termos dos coeficientes de influência de rigidez.

Exemplo 7.7-1

Escrever a equação matricial baseada nos coeficientes de influência de flexibili·

dade, para o sistema representado na Fig. 7.7-1 e determinar todos os modosnaturais.

Estabelecemos agora a condição CI = O a fim dc remover o primeiro modo

da deflexão admitida X. Para isto, introduzimos a relação de ortogonalidade premul-

tiplicando a Eq. (7.7-1) por Xl M, o que elimina todos os termos do lado direito

exceto o primeiro.

Igualando a zero o lado esquerdo da equação acima, C\ torna-se zero e é eliminado

o primeiro modo da Eq. (7.7-1)'

111, O

O ] r )X'IMX =(x, x2 x,) O /112I~J ;: ~c

O

O O

=/I1IX,;I', + - 1I12 X 2'>;2 + - I1IJXJSJ =0

G, h,Figura 7.7-1.

Solução: Encontram-se os coeficientes de influência pela aplicação de.uma unidade

de carga, uma de cada vez, no~ pontos 1, 2 e 3.

- ... _/I12(X2) ~ _ /I1J( : S ) - X ._- - - x2 - XJ

1 !1' jX, /11 1 XI

.'(2 '0, ''(2

.'( J C.C .'( J

a22•• GJ2 =. a2J =U k ·1· ~) == 3~

I I I 7aJJ = 3k + - k + - k =3k

As equações de movimento na forma matricial são entãoonde as duas últimas equações do conjunto acima aparecem apenas como identidades.

Na forma matricial a Eq. (7.7-4) torna-se

t : j = 0)2' ~~]

[ 4 ~ 1 2 ~ 1 ~ ] t i )L 'J 3k 4 7 O O l/l 1 x :

j X ' ) [ 4 2 I ] f i l );; •• ~~/l : .: ~ 1 : ; '

Começando com valores arbitrários de x j x2 X J, a equação acima converge

para o primeiro modo que é '.

{ X l l :~= SX

- n ! J ( : S ) - J /11, ,\,

O (Xl

I

Visto que esta equação é o resultado de C] = O, o primeiro modo foi varrido

da deflexão admitida pela matriz varredura S. Levando SX à equação matricial

original

218



I ) ' jO'25)':.•' ~'~ 14 32 079" . 3k ,- ,

x) . 1,00

0,25

-0,79

1,001' ~ ' ) [ O O'\1 O O

XJ O O

i3k (kw, 'VT4,32m~0,457'Vm

Para determinar o segundo modo, formamos a matriz varredura de acordocom a Eq. (7.7-5) Esta matriz está destituída dos dois primeiros modos e ,pode ser utilizada como

uma matriz de varredura para o terceiro modo. }'ondo isto em prática para a equação

original, obtemos,_.1(0,79)2 0,25

I

O

_ J .. ( lR Q ) ] '4 0,25

O

I ri 4 2 1 1 o o

0,25 r Iw'm,\,

3k 4 8 ~IO O -0,79 x,

x) 4 8 o O 1,00, '~J

o terceiro modo resulta imediatamente da equação acima, sendoDe acordo com a Eq. (7.7-6), a nova quação para a i teração do segundo m.odo é

r I 4 2 I O - 1 ,5 8 ~I

rl x 2

W'1I1 4 8 4 o I o3k .\,x) 4 8 7 o o Xl

'O -4 ,32 - 3 ' ~ I F )W'/11 O 1,673k

O 1,67 3.0 I XJ

1 X") 1 0 , 2 5 \9!.'m 1,68 -0,79.\, 3k

XJ 1,00

n:1,34.\!~111

Começando o processo de iteraçào com amplitudes arbitrÜfias, a equação acimaconverge para o segundo modo, que é

7.8 MATRIZES DE TRANSFERÉNCIA' - (PROBLEMASTIPO HOLZER)

1- 1•

0)

3 O

1,0 No método de matrizes de transferência, um sistema grande é dividido em subsistemas

com propriedades elásticas e dinâmicas simples. A formulação é em termos:

do vetar de estado, que é uma matriz coluna dos deslocamentos e das forçasinternas; •

da matriz ponto, que encerra as propriedades dinâmicas do subsistema;e da matriz campo, que define as propriedades elásticas do subsistema.

O cálculo se processa em ter~l1os dessas quantidades, de um extremo a outro do

sistema, e as freqüências naturais são estabelecidas satisfazendo às condições apro-

priadas de con torno.

Para a determinação do terceiro modo,estabeleeel11os as condiçõesC1 '" Cl .- O da equação de ortogonalidacle (7.7-3)

) .C , 2 . . : lI1i(X)'·~i'4(0,25).\', 1 2(0,79),\',/1(1 , O ) , \ ,) . - O

j·1

J

C, L : m,(x) "\'i'- 4( - 1,0).\', i 2(0).\', - i- 1( 1 ,O).\') o. Oi I

Obtemos dessas duas equações

220

• . E , C, Pestel e [ ' , A. Leekíe, "MDtr íx Méthods in ElastomechDnícs" (Nova Iorque:McGrDw-IIíllllook Co" 1963),



o Sistema Mola-Massa. A Fig. 7.8-1 apresenta uma parte de um sistema linear

mola-massa 'com uma das subseçães isolada. A n-ésima seção consiste da massa

m com deslocamento x e a mola com rigidez kfl, cujas extremidades têmn fl . d _deslocamentos X n e X n _ l' Quando necessário fazê-Ia, designamos quantlda es a

esquerda e à direita do elemento com sobrescritos L e R, respectivamente.onde a matriz quadrada acima é a matriz campo.

Relacionamos agora as quantidades na estaçãon em termos de quantidades

na estação n - I, pela substituição da Eq. (7.8-6) na Eq. (7.8-3)

f . \ l " c I - ~][~+ F x l "l F L I. .IF L II.-(0'111

~ I ~ , , , ,~ ; , , ) H: \ :

(7.8-7)

(I

A equação acima é denominada de matriz de transferência para a seção n,

por ser através dela que o vetar de estado em 1/ - 1 é transferido para o vetar de

estado em n. Com valores conhecidos do vetar de estado na estação 1 e um valor

escolhido de w1 , .é possível computar progressivamente os vetares de estado até

a última estação n. Tanto x n como F n podem ser representados graficamente

em função de w2 , dependendo apenas das condições de contorno. As freqÜências

naturais do sistema são estabelecidas quando satisfeitas as condições de contorno.

São denominados tipo-Holzer os' problemas em que um deslocamento apenas é

associado com cada massa. Ilolzer* desenvolveu um método tabular deste tipo,

que aplicou ao problema torciona! de muitas massas.

Con side ra nd o q ue é o mes mo o d es lo ca me nto e m c ad a lad o d e m", temos a

identidade

{ . ~ } RF "

o nd e {}} é o vetor de estado e a matriz quadrada é a matriz ponto.

Examinamos a seguir a mola k Il cujas forças extremas são iguais

Sinais são muitas vezes a fonte de confusão nos sistemas rotativos, sendo necessário

definir claramente o sentido das quantidades positivas. A coordenada ao longo do

eixo rotativo é considerada positiva no sentido da direita. Feita uma seção transversa!

no eixo, é positiva a face cuja normal externa é no sentido da coordenada positiva.

Faz-se a indicação dos torques positivos e deslocamentos angulares positivos por

meio de setas apontando positivamente, de acorpo com á regra de parafuso de

mão direita, conforme a Fig. 7.9-1.

FR\.R _ , , - - I

~\n -\ - - - - c

Reunimos agora as Eqs. (7.8-4) e (7.8-5) na forma matricial

222

• H. llolzcr, Qie ilcrcchnung ucr Drchsehwingungcn (Bcrlim: Springcr-Ycrlag, 1921).

22 3



As três equações acima têm de ser resolvidas em rc1aç,To a O e TI ? a cada

ponto N .da estrutura e para diversos valores de À. Para as freqliências naturais,

O deve ser zero na extremidade fixá.

A faixa de freqüências pode ser percorrida pela escolha de um w incial e de

um incremento 6w. Neste problema, por exemplo, escolhemos as freqüências

0(1, I)

TR(I,I)

as equações (a), (b) e (c) são computadas para cada N(posição na estrutura),

mantendo-se l(ou freqüência) fixo. Quando se atinge N '= 4, J avançou um

númtro inteiro para a próxill ld freqüência c sc repcte o proccsso. O diagrama de

f1uxo da Fig. 7.9-7 mostra clarmnente cstas operações.

As seções seguintes apresentam os resultados do computador. A Fig. 7.9·8

mostra graficamente o üngulo 04 em função de w. As freqüências naturais do

sistema são as que correspondem aos valores zero dc 04 e a Fig. 7.9-8 mostra queelas são

úJ, 160

úJ, 356

úJJ 552

O üngulo O i de cada ponto é apresentado na Fig. 7.9-9 para W I = 160.

Sistemas com Amortecimento. QGando é incluído o amortecimento, não se alteraa forma da matriz de transferência, mas os elcrnen tos de massa e rigidez tornam-se

quantidades complexas. Isto é fácil de se mostrar escrevendo as equações para o

l1-ésimo subsistcma representado na Fig. 7.9-10. A equaç,To de [arque para [)disco 11 é

r- - -} jw(l)=40

>-.(1)= 1600

8([,1)= 1

- - - - - 1 " " - - -[-------'

TR([, 1) = ->-.(l)*J(ll

G(l) = w2([)

I w (l) = 40 ~ u : = - ; - )• 20 I

I[ ; R I N T J

~

\ a,I!,

2,0 -íI! 1,0t

!O --L...-..

600 w



as quais são idênticas às da hipótese de não amortecimento. Quanto aos elementos

de massa e rigidez, eles são agora quantidades complexas.

Exemplo 7.9·3

O sistema tarcional da Fig. 7.9·11 é excitado por um torque harmônico num

ponto à direita do disco 4. Determinar a curva freqüência·torque e estabelecer

a primeira freqüência natural do sistema.

J, == J2 =500 Ib paI. S2

J, =J. =1000 Ib pai S2

K2 = K, = K. =106 lb polfrad

c2 = 10' lb pai sfrad

g. = 0 2 x 10' lb pai sfrad

J = 15 20

K x 10· ' = 2 2

T;;c_c K.({}.- 0._,)·\ iwg.(O. ···0._,)

(K. I iwg.)(O •.. - 0.- 1 )

. Nestas condições, para o sistema amortecido a matriz ponto e a matriz campo

tornam-se

Solução: As computações numéricas para W2 = 1000 são indieadas na primeira

tabela abaixo. Os termos complexos de massa e rigidez são inicia1mjlnte tabuladas

para cada estação 11. Com a sua substituição nas matrizes ponto e campo, isto é,

nas Eqs" (7.9-7) e (7.9-8), enc.ontramos a amplitude e torque complexos para cada

estação, conforme a segunda tabela abaixo.

li (W2J. _. iwc.)IO-b (K. + iüJg.)IO-·

0,50 + O,Oi

2 0,50 - 0,316i 1,0 + O,Oi

1,0 + O,Oi 1,0 + O,Oi

4 1,0 + O,Oi 1,0 + O,635i

1/ 0" r : (para w' =1000)

1,0 + 0,0i' (-0,50 + O,Oi) X 10'

2 0,50 + O, Oi ( -0 ,7 50 +0,158i) X 10'

.·0,250 + 0,158i (-0,50 + O,Oi) X 10'

4 -0,607 +- O,384i (0,107 - 0,384i)' X ! O,



As compu [ações aCima s:1o rCpelltl.Js um nlllTICI" de vezes que permita u tra-

çado da curva freqüência-torque da Fig. 7.9-12. O gráfico mostra as

Figura 7. 9-12. Curva freqiiência-torque para o sistema torcionalamortecido da Figura 7.9·11.

partes real e imaginária de T§ assim como a sua resultante, que é o torque

excitador neste problema. Por exemplo, o torque resultante em W2 '= 1000 é

106 J 0,107

2+ 0,3842 '= 0,394 X 106 pol lb. O valor encontrado para a

primeira freqüência natural do sistema deste diagrama é aproximadamente

W '= v'93õ '= 30,5 rad/s. Neste caso a freqüência natural é definida como a de

um sistema não amortecido que não requer torque para sustentar o movimento.

Exemplo 7.9-4

Na Fig. 7.9-11, se T '= 2000 p ol lb e vitu de do segundo disco.

Solução.: A ta be la a cima mos tra q ue u m to rq ue d e 394.000 pol Ib produzirá

u ma a mp li tu de d e O 2 '= 0,50 radiano. Considerando que amplitude épro.

porcional ao torque, a amplitude do segundo disco para o torque especificado é0,50 X 2/394 '= 0,00254 rad.

Seja o sistema torcional engrenado da Fig. 7.1 q-I, no qual 12 é a relação de veloci-

dade do eixo 2 para o eixo I. O sistema pode ser reduzido a outro equivalente deeixo único, como a seguir

232

J'~_. _K ,

)

t O)

)K J,,

n

f

K n 2K ' ), n 2 JzJ, I

Considerada a velocidade do eixo 2 igual a Ó 2

do sistema é

Nestas condições, 122 J2 é a inércia equivalente do eixo 2 referida ao eixo I.

Para se determinar a rigidez equivalente do eixo 2 referida ao eixo. I, pren~em-~e

discos I e 2 e aplica-se um torque na engrenagem I, fazendo-a glfa~ um a~gu oos . _ _ I O - n O que sera lambem a01 • À engrenagem 2 rodara en tao um angu o 2. -. 1,

rotação no eixo 2. A energia potencial do sistema sera pOIS

e n2 K 2 é a rigidez equivalente do eixo 2 referida ao eixo L

. temas engrenados é pois muito simples: multiplicar por A re gra p ara o s SIS _ • dn2 toda a rigidez e inércias "do eixo engrenado, sendo n a relaçao de veloclda es

entre o eixo engrenado e o eixo de referência.

Os sistemas bifurcados são enconúados com freqüênc'ia, sendo exemplos co~ec~dos

o sistema duplo de hélices de uma instalação maríti~a e o eixo de transnllssao e

diferencial de um automóvel, ambos representados na FIg. 7.11-1 233



l o o o 0 F ! i 1 ,= = , ,~

Tais sistemas podem ser reduzidos para a forma com uma-para-uma engrena-

gens, multiplicando-se todas as inércias e rigidez as dos ramos pelos quadrados das

suas relações de ve:ocidades.

Figura 7.11-2. Sistema bifurcado reduzido a velocidades comuns por 1 para 1engrenagens.

Exemplo 7.11-1

Esboçar o processo matricial para resolver o sistema bifurcado torcional da

Fig.7.11-3.

Solução: Inicialmente multiplicamos por n2 a rigidez e a inércia do ramo B

para converter num sistema tendo uma-para-uma engrenagens, confonne indicado

na Fig. 7.11-3(b). Podemos então prosseguir da estação O até a estação 3, tomando

nota do fato de engrenagem B introduzir um torque T~l sobre a engrenagem A.

A Fig. 7.11-4 mostra o diagrama de corpo-livre das duas engrenagens. Sendo

T~ 1 considerado como torque positivo, o torque exercido pela engrenagem B

sobre a engrenagem A é negativo como está indicado. O balanço dos torques sobre

a engrenagem A é então

e precisamos agora expressar T ~ 1 em termos do deslocamento angular O I do

eixo A.

K K J,I

,

(I)

(a) R

LI IR

:RII

I : B I

I I

I I

K I K I

I , I

' A I

II II II J, J, III I

3

R _TAl

---R

°AI

O ~I ~= (I'-- ( J ) Y ') 8 ~ ~= -8~,, K.,

T~, = (J)21l2J.8~ • .



T" - O) '11'./., D I,

1 1 1 - (I . 9 l / - , , - ) ' " I4

Substituindo o v~lor ~cima de T~1 na Eq. (7.1 l-I), a função dc transfcrência do

eixo A através as engrenagens torna-se

{ ~ : r w'.l, O - I r l (7.11-6)

( I (t~{;) I T, I

. I4

Quando uma viga é substituíd~ por um~ outra formada de massas concentrad~s

ligadas por seções sem massa, pode-se utilizar o método que N. O. Myklestad*

desenvolveu para computar progressivamente, de urna estação para outra, a dcllexão,

inclinação, momento e cisalhamento, de um modo semelhante ao método de Holzer.

A eXpressão dessas equações na forma matricial é novamente vantajosa, no sentido

da concisão e eficiência de computação ..

(a) Vibrações de flexão desacopladas. A Fig. 7.12-1 mostra uma seção típica

I I

n-1 n

yw'lmn Y"

M~~_1M~

i

M *I

( 1 ln t I

ln+ ,

I

JC r & 1 ) qV n5, t I T RV,í V"

• N. O. Myklestad, "A Ne\V Method 01' Calculaling Natural Modos of Uncollplcd llcnding

Vibration of Airplane Wings and Olher Typcs ()f Bcams", JOllr. Acro. Sci.{abril, 1944), prigs. 153-62.

23 6

de uma viga idealizada com massas concentradas, Examinando a /1-ésima seção,

as forças e momentos nela atuando são indicados pelo diagrama de corpo-livre. Por

meio deles se encontram as equações seguintes para o cisalhamento e momento

V~_1 = V~

M~_I = M~ - V~/.

Referimo-nos à Fig, 7.12-2 para a deformação elástica da n-ésima seção da viga.

A deílex,To e inclinação nas extremidades são dadas então pelas equações

10 M L~_VL~J'. "C ) '" o , - I - • • - , - I - , 2(El )" • 3(El ),

onde os Vlírios coeficientes de Influêncla utilizados são baseados sobre seçtro uniforme

e são:

II devido a um momento unitário em /1.

o . ! . . ' : . . . devido a um cisalhamentó unitário em n- 2EI .

/"o c 2 ~I devido a um momento unitárlo em /1

I ) devido a um cisalhamento unitário em n3E I

Expressando naEq. (7.12-2) M" e V" em termos de M"_l e V"_1

da Eq. (7.12-1), estas equações podem ser reescritas como.



, M~_ ,/~ V~_leY.' ) '.-,1 I .e •. , ' 2(EI). 1 6(EI).

e I M : _ , / . , V ~_I/~

e.- 01 .-1 . ( E/ ). ' 2(EI) .

A Eq. (7.12-6) nos permite, para qualquer freqüência w, começar pelo con-

torno esquerdo O e prosseguir para o contorno direito N, sendo essas quantidades

relacionadas linearmente pela equação

r y 1 r

Ull

e UZ1

M U"

V N U41

UIZ U!l

U Z2 U2l

Ul2 Ull

MI;.c o I- o I M : _ , -I V,~_,/.

V I;.O ·IO OIV~-1

e expressas como uma matriz campo

L. [2 Il-]-- - R

Y lEI 6E I y

(} O I 12

(} (7.12-4)- > Ei 'lEi

M O O 1 1 M

V O O O I - " V ~ n . I

Geralmente, são conhecidas duas das condições de contorno em cada extremidade,

de modo que as freqüências que satisfazem essas condições são as naturais da viga.

Exemplo 7.12-1

Uma viga cantilever, flxada na extremidade esquerda, é representada por

diversas massas conccn tradas. Determinar as equaç.õe5'de contorno que con-duzem às freqüências naturais.

M N =uJ,MO . + . U34V O

V N ~--, u4,Mo + - u44VO

- Y I R I I O O 0 1 r y 1 "e o I o o eM' 0010 M

_V _. l _ w 2 111 o o I • V n

Substituindo a coluna no lado direito da Eq. (7.12-5) pela Eq. (7.12-4), enconlra-se

a equação final seguinte relacionando os velores de estado em n c 11 - 1

onde M o e Vo são desconhecidos e M N e V N devem ser zero. As condições de

contorno são então satisfeitas se o determinante. da equação é zero, ou

.'\'

de modo que esta quantidade pode ser representada graficamente em função de w

para estabelecer as freqüências naturais da viga.

(b) Peças ratat/vas. Examinaremos nesta seção a vibração perpendicular ao

plano de rotação, de peças rotativas tais eomo pás de hélice e palhetas de turbina.

Em face ~a força centrífuga; necessitaremos considerar termos em acréscimo à

análise sobre barras da seção anterior.A Fig. 7.12-3 mostra' a força centrífuga, que é normal ao eixo de rotação,

e igual a mllrl2xll para a massa mil' A quantidllde adicional que deve ser intro-

duzida é el1tão a força axial 1

R

O O 1 2 l'

Y O 2EI 6iD \.

O O 1 1 2

ee O O "E l 2Ei

M O O I O O O I 1 MV II1W' O O I O O o I V . I

(7.12-6)1 2 I J

2EI (--;i} l'

1 I' ()OEI 2Ei

o o I M

W21 11 w 21 111 CJ)2 II1F , 1 JV

-2EI CJ)"1I1

6E1 n- 1

238

(7.12-9)

239



lUc...0r------ ,,,--xn ----------.~I p;yf ---lo>-m"U2XII

I /11

I y": Yn-J I .

III

A deflexão e a inclinação são influenciadas também por FL e levamos isto emn'

conta ao considerar somente o componente de F ;; normal à peça como uma cargade cisalhamcnto

Estas equações podem ser rearrumadas agora, a fim do cálculo prosseguir da direita para a esquerda, da forma seguinte

)':-1 ' Y~ ' - - 01-[/.' F~'/~J - 1 - MI.~ __ VI_ 1 _ J _ . " " , 6(EI),,_ " 2 ( El)n . "6( E1)"

0 : _ 1 _ - o O ~ - [ I - / 2 f~ ~ ~ J-~ -M~-(l:~0" ! V~-2(~/J

M:_. --MI'[II F~'I; J _. . ln'[ -I :n '2~EI)" " _ " ,

F~'/~ l I 1 [ - , F.~t; J6 (Ú)n - O . ,F , ; _ I" - , - 6 (EI) , ,_

- ( I - I : : : : _ ~ )

( I - I F I')2E I

- ( I { ~ ~ )O

I'2E I

1-EI

( I 1 ; ~ _ ~ )O

l~r I O O

mnO I O

(7.12:]])O O 1

-l1lúJ' O O

Substituindo por esta a coluna direita da Eq. (7.12-10); temos o resul ta do final

l

r - ( lIlúJ'J3) ( FlJ) !' I J R

Y I-!"7;E/ - I -I- 6E1 2EI -(;0 Y

J : t

lIlúJ'l' ( F I ') I I' ( J- 2EI 1 I- 2E I -EJ n'l

( F I ' ) ( F IJ) ( F l 2 ) ( F I ' ) MlIlúJ' 1 - 1 - 6E I --F 1+ 6E I 1+ 2E1 - - 1 - 1- 6EI

V

J , , - , --lIlúJ' O O I

" V..Jn

(7.12-12)

(c) Vibração de Torção-Flexão Acopladas. Os modos naturais de vibração

de asas de avião e de ou tras estru turas de barras são muitas vczes modos de torção-

flexão acoplados, os quais quando_ mais altos diferem consideravelmente dos modos

mais altos desacoplados. ~ necessário, para tratar tais problemas, intrnduzir um

coeficiente de influência adicional, li", definido como o ângulo de torção da estação

11 relativamente à estação 11 I , e resultante de um torque unitário em n. Com

referência à seção de barra da Fig. 7.12-4, são as seguintes as' equações relatívas

ao torque T

T: _ o : T~' - J " t p " - I l1l"cn . i 'n

-J"w'rp" -- IIInC"úJ'Yn



estação 7 na ponta da asa, com rn 7 1 7

[ ]~ que agora fica igual a [ ]f .

onde J" = Jnc g + rnnc;' é o momento de inéreia da seção n-ésima relativamente

ao eixo elástico da barra. O cisalhamento através da massa é

V ; ' - - V : c.c" '--III"W'Cl'" -I- c" rp,,)

e a matriz ponto através de m pode ser escrita desta forma

l' I O O O : O °l i .! ' I.

a O I O O : OO I a,

M O O I O , O O M,V IIIW' () () I , IIIW'C () I - (7.12-13)

,

rp o o o o o rp

T J " -- IIICW' o O O Jw, I T A inclinação de f1exão 0 * , o cisalhamento V * e o torque de torção T * são

zero na linha do centro para os modos simétricos, ao passo que na ponta da asa o

momen to , o c isa lh amen to e o torqu e s ão z erO. As eq ua çõ es d e c on to rn o d a

E q. ( 7_ -1 2- 14 ) ap ar ece m e nt ão c om o -

A matriz campo ertre a estação (n - I)R e (n)L é a mesma da Eq_ (7.12-4)

com duas equações adicionais

L I' I' .. N

I' 2 7 : ..7 ()tJ O () \'

a () I I' O () o'Fi 21 0 ,

M () () I () o A I (7.12-14)

)' () o o o o I -

rp o o o () I 1 1 rp

T o o o O O . T ." I

y R

oM M

;- - . . : . :U jj

V or p

T 7 o

que podem ser.reescritas na forma

I~IUJI U 33

" " r rU 41. U4J U., M

.U61 U.3 U~l . r p o

Nestas condições, substituindo a coluna direita da Eq. (7.12-13) pela Eq. (7,12.14),

os vetores de estado na estação (n)R são relacionados' aos vetores de estado na

estação (n - I)R.

Exem'plo 7.12-2

A Fig. 7.12-5 mostra a decomposição de massa para a fuselagem e asa de um

avião de combate para a vibração de torção-flexão. Estabelecer as equações de

contorno para a determinação dos modos de torção-flexão simétricos. '

As quantidades .vo. Mo e 'f!o na linha do centro são desconhecidas; entretanto,

a matriz coluna à esquerda é zero na ponta da asa, pàra o mOJ11ento, cisa1hamento e

torque. Desta maneira, o determinante do Uij, que é uma função de w deve ser

zero para satisfazer as condições de contorno.

As freqüências naturais para os modos sjmétricos sãO'estabelecidas por meio da

represen tação da quan tidade '

Solução: A fun de utilizar a equação matrieial (7.12-14), fazemos a estaçã~ O na

reta central do avião, e sejam rnl e J1 a metade da massa e do momento de inércia

da massa da fuselagem em relação ao eixo elástico, com /1 =' O. Colocamos a

) 2 4 2



1/" 1/J.1 1/-"

D(w) eco 1/., I/.J 1/.\

bl a C HllIl 'SlI1<l ~qH<lI(:i()qHe a ( 7.S ·7) com ( ) vetor de estado invertido, Segundo cnso ,com F ig . 7 .13-2.

~~n

·~~J-;ll X n_· 1

Figura 7./3-2.

num gráfico, em função de w. Os perfis dos modos são então detcrminados para as

freqüências naturais obtidas, compu tando-se Y ll, O Jl e 'P n . A Fig. 7.12-6 mostra uma

curva típica para o segundq modo simétrico de um avião de combate característico.

I w= 210 /

I~ w"m )

--kTiwc

FI~_l' k lv- ----= é::: ~ F n. III

VVv----

~ k -X,I_I x n

Figura 7 . !.l-3.

A matr iz de t r ans fe rência do cap ítu lo an te rior conduz a a lguns re su ltados inte-

ressantes, quando aplicada a seções idênticas repetidas. Cumpre notar que o determi·

nante da matriz de transferência é unidade, quer o sistema scja amortecido ou não.

Os três casos seguintes são. apresen lados para verificar a afirmação acima. O primeirocaso, com a Fig. 7.13-1. .

A coordenada intcrmediária y. foi eliminada na equaçITo acima.

Em cada um dos casos acima, a matriz de transferência é da forma

[Tl=[~ ~ Je o determinante AD - B C = = 1,0. Pode-se mostrar facilmente que o detcrminante

da ma tr iz 4 X 4 é unidade, a té mesmo pa ra a ma tr iz de tr ans fe rência da seçãoda viga, isto é, Eq. 7.12-6.

Quando o s is tema tem II seções idênticas, o prosseguimento da matriz detransferência conduz à cquação

{ F } oc [T l'{ ~ }. ~X. li X o

c daí o interesse em se poder calcular a Il-ésima potência da matriz de transferência.

Para tanto, determinam-se primeiro os autovalores f1 c autove tores ~ da ma tr iz

245



[T], os quais não devem ser confundidos com as freqüências naturais e perfis de

. modos do sistema discutido anteriormente.

Os autovalores e autovetores da matriz [T] satisfazem a equação [Tj2 = [T] [T] = [P](A][Pt I[PJ[AJ[Pt J

=; [P][A]Z[Pt1

onde [A]2 =[ / . 10

; O ]/ . I ~

Multiplicações repetidas conduzem à n·ésima potêncià

[T] [ A B D ] ' os autovalores são obtidos da equação característicaPara =C

\

(A-/.I) B \ O. C (D -- tI)

Por exemplo, se a extremidade O é fIxa e a extremidade n é livre, Xo O e

Fn = = O, e obtemos

Visto que F o '1 = O , encontramos as freqüências naturais a partir. de tIl = = O .

Se há amortecimento, os elementos da matriz de transferência são quantidades

complexas. Neste caso, o deslocamento final X n pode ser escolhido como unidade

e determinamos a força Fo por meio de

" e" podem ser reunidas agora coma uma única equação matricial (Vide para r -- I r -- 2

também a Eq. (6.10-16)).

A equação de diferença oferece' outra maneira de se abordar o problema de seções.idênticas repetidas. Como um exemplo de seções repet.idas, consideremos o edifício

de n pavimentos representado na Fig. 7.14.1, onde a massa de cada piso é me a rigidez lateral ou de cisalhamento é' de k pol/lb. A equação de movimento

para a Il-ésima m3.ssaé então

onde [A] ~.•[~I ~J....matriz diagonal dos autovalores.

pós.multiplicando por [p]-I obtemos

(7.14.1)

247



.\

)

)

(7.14-7)

)

(7.14-8)

)

(7.14-9) )

2 cos ft(N -I- D sen ~ =°

O) 2~k/lI1sen ~

a qual pode ser representada para movimento harmônico em termos da amplitude

como

0),- 2 IJ: sen n. Viii 2(2N + 1)

,. 2 ( ! f . : sen 3n0)2\ m 2(2N + I)

X- 2 ( 1 . . - W 'I I 1 ) X . . . .:-X =Onl I 2k n' 'l-I

Encontramos a solução desta equação substituindo c

. 2 n: sen (2 N - 1 )nViii 2(2N -I- I)

(j)'m = = 2 ( 1k

cos ft) = = 4sen' 4

onde A e B são calculados eonforme as condições de contorno. Na base, Il = 0,

a amplitude X o 0, de modo que A = O. No último piso, Il = N, a equação

de movimento é

que, em termos de amplitude, torna-se

X N _ , = = (I - ~ ! - f l Y N (7.14-6)

A figura 7.14-2 mostra uma representação gráfica dessas freqüências naturais quando N = = 4. . •

o método da equação de diferença que apresentamos é apliéável a muitos

outros sistemas dinâmicos com seções repétidas. As freqüências naturais são dadas

sempre pela Eq. (7.14-9); entretanto, a quantidade I J deve ser estabelecida para

cada problema de acordo com as condiçoes de contorno;



7-1 Estabelecer a equação matricial para o sistema apresentado na Fig. P,7·j, na

forma {8} = W2 [aJ [J ) {8}.

7-6 Determinar os coeficientes de influência para o pêndulo triplo representadona Fig. P.7-6.

7·2 Determinar os coeficientes de influência para o sistema mola-massa apresentado

na Fig.P.7-2.

7·3 Escrever as expressões das energias potencial e cinética para o sistema do

ProbI. 7·2, quando

k, "~k,

k 2 =3k,

kJ =2k,

e determinar a equação para W2 igualando as duas energias. Fazendo X2/Xl = n, traçar W2 em funçaõ de 11. De posse dos valores máximo emínimo de W2 e os correspondentes de n, mostrar que eles representam

os dois modos naturais do sístema.

7-7 Determinar os coeficientes de influência para o sistema mola·massa de três

graus de liberdade representado na Fig. P.7·7.

7-4 Determinar os coeficientes de influência para a viga eantilever de duas massas

indicada na Fig. P.7-4, e-escrevera sua equação de movimento na forma matricial.

7-5 Três molas iguais de rigidez k lb/pol são reunidas numa das pontas, sendoas outras pontas dispostas simetricamente a 1200 uma da outra, como indicado

na Fig. P.7-S. Provar que os coeficientes de influência dajunção numa direção 7-8 Mostrar que a equação de freqüência para um sistema torcionaI de três discose dois eixos indicado na Fig. P.7-8 é



7·27 Utilizando o método de Holzer .na forma matricial, determinar as duas pri-

meiras freqüências naturais e modos normais do sistema torcional representado

na Fig. P.7-27 com os seguintes valores de J e K

J, ~'J2 =J3 "",IQlbI101

J4 ~= 20 lb pol s~

K, =K 2 =1,5 x lQ6 Ib pol/rad

KJ =2,0 x lQ6 lb pol/rad

7-19 Uma carga de 100 lb na ponta da asa de um avião de combate produziu uma

def1exão correspondente de 0,78 pol. Se a freqüência fundamental de f1exão

dessa mesma asa é 622 cpm, indicar o valor aproximado da nova freqüência

de·f1exão para o caso de um tanque de 320 lb;inclusive o combustível contido,

ser fixado na pon ta da asa.

7-20 Uma determinada viga vibrava por meio de um agitador de peso excêntrico,

pesando 12 lb, colocado no seu meio vão. Encon trou-se ressonància a 435 cps.

Com um peso adicional de 10 lb, a freqüência de ressonància baixou para 398 cps.Determinar a freqüência natural da viga. ,

7-28 Uma asa de avião de combate é reduzida a uma série de discos e eixos para

a análise de t-Jolzer, conforme indicado na Fig. P.7·28. Determinar as duas

primeiras freqüências naturais para as oscilações torcionais simétricas e anti-

simétricas das asas, e representar graficamente o modo torcionaI correspon-

dente a cada uma.7·21 Determinar os dois modos naturais do sistema do Probl. 7-10 e mostrar que

eles são ortogonais.

7·22 Dêterminar os modos normais da viga cantilever do Probl. 7-13 e verificar

a sua ortogonalidade.

7-23 Para o sistema do Probl. 7-7, sejam

o 40" 70"105"145"200"

J Ib pol s' K lb pol/rad : C D I I I In

I I I= I : I I - - -1 50 15 x 10 '

2 138 30 I I3 2

3 14 5 22 I I4 181 36 I I5 260 12 0 I I6 t x 140 , 000 _ 0 _ 0 _ '_ '

. k j = 3k,

k, . 7 = k,

kj '" k,

Jll1 " ': : : c 4111

111, =~ 2111

Estabelecer a equação matricial e determinar por iteração os três modos princi·

pais. Checar a ortogonalidade dos modos encontrados.

7·24 Utilizando a equação de Dunkerley, calcular a freqüência fundamental para

o Probl. 7-23 e comparar com os resultados da iteração matricial. .7-29 Se um torqueharmônico de 10.000 pollb ~ '!J ' " 150 rad/s é'aplicado ao

disco 3 do sistema indicadô no Exemplo 7.9-1, determinaf a amplitude e fase

de cada disco.

7-30 Um sistema tor 'cional com um am?rteced?f tOfcionaI é representado na

Fig. P.7-30. Detemlinar a curva freqücncia·torque paia o sistema.

7-25 Determinar os três modos principais da viga representada na Fig. P.7-IS quando

W1 '" W 2 '" W 3• Checar a freqüência fundamcntal com a equação dc Dunkerley.

7-26 Mostrar que a equação de Dunkerley resulta scmprc numa freqliência funda-

mental que é menor que o valor exato.



Para o sistema do Exemplo 7.9-3, Fig. 7.9-11, determinar a amplitude e fasede cada disco para W2 =.600 quando é aplicado sobre o disco 4 um torque

de 0,040 X 106 pollb.

A Fig. P.7-32 representa um sistema linel!r com amortecimento entre as massas

1 e 2. Efetuar uma análise de computador para os valores numéricos designados

pelo professor, e determinar a amplitude e fase de cada massa para uma fre-qüência especificada_

7)3 Determinar o sistema torcional equivalente para o sistema engrenado repre-

sentado na Fig. P.7-33, e calcular a sua freqüência natural.

6" diarn.J, =10 pol Ib 5'

7-34 Determinar o sistema equivalente de eixo único e estabelecer as freqüências

naturais, no caso das engrenagens pequena e grande do Probl. 7-33 terem as

inércias l' = 2 e J" = 6, respectivamente.

7-35 Determinar as duas freqüências naturais mais baixas do sistema torcional

representado na Fig. P.7-35, para os seguintes valores de J, K e Il

J1 15 pollb S2 K 1 2 X 106 pollb/rad

J2 10 pollbs2 K 2 1,6 X 106 pollb/rad

J3 18 pollb S2 K 3 1 X 1 06 pollb/rad

J4 6 pollb S2 K4 4 X 106 pollb/rad

RelaçãO entre asvelocidades do eixo de transmissão e eixo do veículo = 4 para I.

Reduzir o sistema torcional do automóvel representado em (a) para o torcional

equivalente indicado em (b). Os dados necessários são os seguintes

J de cada roda trazeira .= 9,2 pollb S2

J do volante = 12,~ pollb S2 •

Relação das velocidades de transmissão'(entre eixo de transmissão e motor) =

= 1,0 pa~a 3,0Relação diferencial de velocidades (entre eixo do veículo e eixo de trans-

missão)'= 1,0 para 3,5'Dimensões do eixo do veículo

(cada)



Dimensões do eixo de transmissão = 1-1/4" de diâmetro e 75" de compri-

mentoRigidez do virabrequim entre os cilindros, medida aproximadamente

6,1 X 106 pol Ib/rad

Rigidez do virabrequim entre o cilindro 4 e o volante 4,5 X 106 pollb/rad

Supor que o- J de cada cilindro do Probl. 7-36 = 0,20 pollb S2 e determinar

as freqüências naturais do sistema.

Determinar as equações de' movimento para o sistema torcional representadona Fig. P.7-38, e arrumá-Ias na (arma matricial de íteração. Rl'solver em relação

aos modos principais de oscilação.

7-39 Aplicar o método matricial para uma viga cantilever de comprimento I e massa

m na extremidade, e mostrar que se obtém diretamente a equação de freqüência

natural.

740 Aplicar o método matricial para uma vigacantilever com duas massas iguais,. espaçadas igualmente de uma distância I. Mostrar que as condições de con·

torno de zero para a inclinação e deflexão conduzem à equação

.. ± IIIW2/K(5 -I- t mw 2/ 2K ) _ 1 + imW2/2K -I- Ctmw2/2Kj20,,- 1 -I- if2Kmw2 - 2/ + !rnw2/JK .

onde K l/E/o

Deduzir a equação de freqüência da relação acima e determinar as duas fre-qüências naturais.

Resolver o Probl. 7-39 pelo método da Seção 7.12(b) quando se faz girar a

barra em torno de um eixo, ao qual está fixada por uma extremidade, comuma velocidade angular n.Determinar as freqüências naturais da' viga cantilcver do Probl. 7.17 pelométodo da Seção 7.12 (a).

743 Estabelecer o determinante de contorno D(w) para uma viga simplesmenteapoiada, por meio da equação de contorno (7.12.7).

744 Furmular o determinante de contorno D(w) para uma viga duplamente

engastada.

745 Formular o determinante de contorno D(w) para uma viga engastada-articulada.

7-46 Formular o determinante de contorno D(w) para uma viga articulada.livre.

Uma pá rotativa, tal como a de uma hélice de helicóptero, é algumas vezes

considerada como presa ao cubo por meio de pino. Formular o determinantede contorno D(w) para l'sta hipótese.

Supor que uma pá de hélice de hilicóptero seja representada por três massasconcentradas igualmente espaçadas, com a extremidade do cubo engastada.Determinar as freqüências naturais para a velocidade de rotação n, na baseda rigidez de flexão constan te. .

Determinar a vibração de torção-flexão para o sistema representado na Fig.P.7-49

I~m

~ 2c \J'm

Utilizando a formulação matricial. estabclecct as condições de contorno para

os modos de tlexão simétiicos e anti·simétrico·s p~ra o sistema indicado na

Fig. P.7-50. Representar graficamente o det~nninaJíte de contorno em funçãoda freqüência w para estabeleeer as freqüências naturais, e traltar os primeirosdois perfis de modos.



P'

~

olm'lTfl\l - ,

----- - - 'lEI :" ._--

---~---

onde ,B é simétrico em relação à sua diagonal. Fazendo ó

L = = (M, V)', mostrar que a matriz de rigidez é

7-56 Calcular as matrizes parceladas do Probl. 7-55 e mostrar que elas estão na

forma (plicas indicam transposta)

7·51 Provar que os elementos da matriz modal [P ] para um sistema de dois graus

de liberdade são

que é esperada, em face do teorema de reciprocidade de Betti-MaxwelI. *

7-57 Usando a notação do Probl. 7-56, reescrever a Eq. 7.12-6 na formaonde a seção do sistema é formada de uma mola e uma massa, conforme a

Fig.7.13-1.

7-52 Mostrar que para o sistema indicado na Fig. !,.7-52, a utilização do processo

da Seção 7.13 reduz a equação de freqüência natural para { Ó } R =[ ~ : + ~ J{ Ó } RL n Q, S L n-1

e mostrar que o determinante da matriz de transferência é igual à unidade.

7-58 Estabelecer as equações de diferença para o sistema torcional representado

na Fig. P.7-58. Determinar as equações de contorno e resolvê-Ias para as fre-

qüências naturais.

7-53 Fazendo 111 =; eOt

e 112 = = e-Ot na Eq. (7.13-8), (A + D)/2 = = cos lux.

Desenvolve~ a equação de freqüência nos termos desta substituição.

7-54 Reduzir o sistema da Fig. 7.13-3 para um equivalente ao sistema indicadona Fig. 7.13-2.

7·55 Permutando O e y, a Eq. 7.12-4 pode ser rearrumada para a forma7-59 Estabelecer as equações de diferença para N massas iguais numa corda com

tensão T, conforme indicado na Fig. P.7-59. Determinar as equações de

contorno e as freqÜências naturais.8

,1 I' 8o : 1:'/ 'lEI,,

, F 1 J)' 1 .

J : 2U 6U )'

,, / ' - . 1 O O

,1 AI,

,V O O

,O V n , n I

I~ f 'i r 7-60

: l ~ L1 _ O

,,

26 0

Escrever as equações de diferença, para o sistema mola-massa representado na

Fig. P.7·60 e determinar as freqüências naturais do sistema.



•

)

7-61 A Fig. P.7-61 representa um pêndulo de N ll!assas. Determinar as equações

de diferença, as condições de contorno e as freqüências naturais

7-64 Uma estrutura tipo escada é fixada em ambas as extremidades, conforme a

Fig. P.7-64. Determinar as freqüências naturais.

7 -6 2 S e u m v olan te p es ad o é l ig ad o à extremidade esquerda do sistema do

Probl. 7-58, conforme a Fig. P.7·62, mostrar que as condições de contorno

conduzem à equaçã~ 7-65 Se a base dCJ,!m edifício de N pavimentos gira em sentido contrário ào da

resistência de~ma mola K ;, conforme a Fig. P.7·65, determinar as equações

de contorno e as frcquências naturais.

(-senNp cos p +sen N P )( 1 + 4 :. :fsen2{)

=-2jsen2 fsen p cos N p

7-63 Se o pavimento mais alto de um edifício é contido por uma mola de rigidez

KN, conforme a Fig. P.7-63, determinar as freqüências naturais do edifício

de N pavimentos.



SISTEMAS CON.TíNU·OS

8

Vamos estudar neste capítulo os sistemas relativos a corpos com massa e elasticidade

distribuídas continuamente. Esses corpos são considerados homogêneos e isotrópi-

cos, comportando-se de acordo com a lei de Hooke, quando dentro dos limites deelasticidade. Cada partícula de um corpo elástico necessita de coordenadas para

descrevet a sua posição, resultando daí que corpos desta natureza possuem um nú-mero infinito de graus de liberdade.

Geralmente, a vibração livre desses corpos é a soma dos modos principais,

como foi exposto anteriormente no Capítulo 5. No modo principal de vibração,

cada partícula do corpo realiza movimento harmônico simples, na freqüência corres-

pondente à raiz particular da equação de freqüência e passa simultaneamente através

de sua respectiva posição de equil íbrio. Se a curva elástica do corpo sob a qual o mo-

vimento começou coincide exatamente com uma dos modos principais, somente este

modo principal será produzido. Entretanto, a curva elástica resultante de um choque

ou de uma súbita retirada de forças corresponde raramente àquela de um modo prin-cipal, e nestas condições todos os modos são excitados. Em muitos casos, porém,

pode-se excitar um modo principàl específico por IT\eio de condições iniciais ade-qua'das. '

São considerados neste capítulo alguns dos mais simples problemas de vibração

de corpos elásticos, cujas soluções são discu tidas em termos dos modos principaisde vibração.



Uma corda flexível de massa p por unidade de comprimento é estendida sob ten-

são T. Supondo que seja pequena a deflexão lateral y da corda, a mudança em ten-

são com deflexãoé insignificante e pode ser ignorada.

A Fig, 8.2-1 mostra um diagrama de corpo livre de um comprimento elementar

dx da corda. Supondo deflexões e inclinações pequenas, a equação de movimento

na direção y é

(a o ) a 2

yT 0+ axdx - TO = pdx7fiT

a 2 y ia 2 y (8 2 2)ax2 = Ci al2 • -

o nd e c = - . . t t 1 P pode ser reconhecido como a velocidade de propagação da onda

ao longo da corda.

A solução geral da Eq. (8.2-2) pode ser expressa na forma

onde FI e F2 são funções arbitrárias. Não. obstante o tipo de função F, o argu-

mento (ct ± x) conduz sob diferenciação à equação

a 2F Ia 2F a x 2 = CiffiT

e em conseqüência a equação diferencial é satisfeita.

Considerando o componente y= FI (c t - x ), seu valor é detenninado pelo

argumento (ct - x ) e portanto por uma faixa de vàlores de t e x. Por exemplo,

se c = 1 0, a e qu aç ão p ara y = Fi (100) é satisfeita por t = O, x = -100;

t = 1, x =: -90; t = 2, x = -80 etc. Então, o perfIl da onda move-se na di-

reção x positiva com velocidade c. De maneira semelhante podemos mostrar que

F2(ct + x) representa uma onda movendo-se na direção x negativa com velocidade

c. Referimo-nos em conseqüência a c como a velocidade de propagação de onda.

Um método de reso1'ler equações diferenciais parciais é o da separação de va-

riáveis. Neste método a solução ê admitida na forma.

Obtemos pela substituição na Eq. (8.2-2)

I~l'Y I Id2GY dx2 = c 2e ; (j[2

Considerando que o lado esquerdo desta equação é independente de t, ao passo que

o lado direito é independente de' x, resulta que cada lado deve ser uma constante.

Fazendo esta constante _(WfC)2 obtemos duas equações diferenciais ordinárias

{l'Y + - (~ )2 Y'=_~°dx2 C

Y = A sen O) x + B cos CJ) x 'c . c'

As constantes arbitrárias A, B, C e D dependem das condições de contorno

e das iniciais. Por exemplo, se a .corda é fistendidaentre dois pontos fixos distan-

ciados de I, as condições de conto~no~ão ;V(O, t) = 'y(i, t) = O . A condição dey(O, t) = ° vai exigir que B .~ 0, de modo ql\e a sqlução aparecerá como '

. . .'. .. .•.... .' O)

jI =(CsenO)I + DcosO)t)'sen-x. . . c

O conduz ent~o à eq\lação

sen 0)1 = °c



w) 2 7 1 / C=T =1171,

e À = c /r ê o comprimento de onda e r ê a freqüência de oscilação. Cada 11 re-

presenta uma vibração de modo normal Com freqüência natural determinada pelaequação

11 II!Tf.=2' c = 2'.y fi '

xY = sen 11717

No caso mais geral de vibração livre iniciada de qualquer maneira, a solução

conterá muitos dos modos normais e a equação para o deslocamento pode ser expres-sa como

y(x, t) =n~ (Cn sen wnt - I - Dn cos OJnt) sen 1 1 7 x

1171COJ n =-,-

a cn e o Dn podem ser calculados adaptando-se esta equação às condições iniciaisde y(x,O) e Y(x,O).

Exemplo 8.2-}

Uma corda uniforme de comprimento I é fIxada nas extremidades e estendida

sob a tensão T. Se a corda ê desloca da para um perfIl arbitrário y(x,O) e sol.ta, determinar Cn e Dn da Eq. (8.2.14)

Solução: Para t = O, o deslocamento e velocidade são

y(x, O) = i: Dn

sen 1171Xn" I ' I

y(x, O) = i; OJnC n sen 1171X = On" t ,

Multiplicando cada equação por sen krrx/l e integrando de x

todos os termos do lado direito serão zero, exceto o termo 11

mos ao resultado

Oax=1

k. Assim chega- '

D 2 f i ( k71Xk = 7 o y x, O ) sen - ,- dx

Ck = O

Supomos que a barra considerada nesta seção seja fma e uniforme ao longo do seu

comprimento. Em razão de forças axiais haverá deslocamento u ao longo da barra

que serão função tanto da posiÇão x como do tempo t. Como a barra tem um

número infinito de modos naturais de vibração, a distribuição do deslocamento vaidiferir com cada modo.

Consideremos um elemento desta barra de comprimento dx (Fig. 8.3-1).

Se u é o deslocamento em x, o deslocamento em x + dx será u + (élu jax)dx.

É evidente então que o elemento dx na nova posição mudou em comprimento de

uma quantidade (élujélx)dx, e desta forma a unidade de elongamento é élu/élx.

Visto que pela lei de Hooke a relação entre a unidade de força e a unidade de elon-

gamento é igual ao módulo de elasticidade E, pod.emos escrever

I P ~ ~ ~ - - P - + - : : _ d _ X ~~ X l:t~·+ :; dx

I ~ , . . . . . . . = = - = - ~ ~ ~ _ - _ - _ - ~H

3u'dx + ã;' dx

Figura 8.3·1. Deslocamento de elemento de barra.

onde A é a área da seção transversal da barra. Diferenciando em relação a x

Aplicamos agora a lei de movimento de Newton e igualamos a força desiquili. brada ao produto da massa e aceleração do elemento

onde p é a densidade da barra em libras por unidade oe volume'. Eliminando élPjõxentre as Eqs. (8.3-2) e (8.3-3), obtemos a equação diferenCial parcial.



que é similar à da Eq. (8.2-2) para a corda. A velocidade de propagação do desloca-

mento ou onda de tensão na barra é igual, então, a

resultará em duas equações diferenciais ordinárias semelhantes às Eqs, (8.2-7) e

(8.2-8), com

U(x) = A sen co x + B cos co xc ,c

Exemplo 8.3-1

Detenninar as freqüências naturais e perfis de modos de uma barra com ambas

as extremidades livres.

Solução: Numa barra nestas condições a tensão nas extremidades deve ser zero.

Uma vez que a tensão é dada pela equação E3uj3x. a unidade de elongamento nas

extremidades deve ser também zero, isto é '

~~=O em x =O , e x =I

São portanto is seguintes as duas equações correSpondentes às condições de contorno

acima

( a l i ) = A co (C sen co! + ' D COSCO!) = Oa x X'O c

" ( a U ) ' =:co ( A cos col~'Bsen COI)(Csen,co! '+ Dcos co!) ~~ oa x x./ C C c

C,onsiderando que essas equações devem, valer para qualquer tempo !, A deve ser

zero na primeira equação. Uma vez qué B deve' ser tInito para que haja vioração,

a,segunda equação é satisfeita quando

sen co/ =0c

onde n representa a ordem do modo. Pode-se então escrever a solução para a barra

livre nas extremidades com deslocanlento inicial zero

•. m e 1 1 7 1 : fE l<li ~" li o cos I x sen T'II -p-l

A anlplitude da vibração longitudinal ao longo da barra é pois uma onda co-seno_

tendo n nós.

A equação de movimento de uma barra em vibração torcional é semelhante àquela da

vibração longitudinal de barras, discutida na seção anterior.'

Fazendo-se a medida de x ao longo da barra, o ângulo de torçâ'Çl devido a um

torque T. em qualquer comprimento dx da barra, é

d e = Tdx IrG

onde IpG é a rigidez torcional dada pelo produto do momento polar de inércia Ip

da área da seção transversal e o módulo de cisalhamento de elasticidade G. Sendo

T e T + (3Tj3x)dx o torque sobre as duas faces do elemento, conforme indicado

na Fig. 8.4·1, o torque líquid9 da Eq. (8.4-1) torna-se

0 ) O)

Igualando este torque ao produto do momento de inéteia da massa (p/g)Il'dx doe.le·

mento e a: aceleração angular 32 e /3t 2 ) onde p é a densidàde qa barra em libras

por unidade de volume, a equação diferenciiJl de movimento torna·se :. L t ,:','r:.: 1 , < , '

" : '(8.4.3)',.,':



Esta equação é da mesma forma. que a da vibração longitudinal de barras onde O

e Gglp substituem u e Eglp, respectivamente. Resulta pois que por comparaçãoa solução geral pode ser escrita imediatamente corno

O = ( A sen OJ/1fgx + - B cos OJ/1fgx) (C sen OJ r -I - D cos OJr)

Exemplo 8.4-1

Determinar a equação para as freqüências naturais de urna barra uniforme

em oscilação torcional, com urna extremidade fIxa e a outra livre, corno naFig. 8.4-2. .

Solução: Começando com a equação

O =(A sen OJ.,jp/Ggx + - B cos OJ..jp/Ggx) sen OJ r

aplicar as condições de contomo;que são

(I) quando x = O, O = O,

(2) quando x = /, t or que O , ou

a od X =O

Condição de contorno (1) resulta em B = O

Condição de contorno (2) resulta na equação

cos OJ..jp/Ggi =O

que é satisfeita pelos seguintes ângulos

O J n / l g 1 = ~ , 3 ; , 5 ; , . . . , ( 1 1 - 1 -- } ) n

Em conseqüência, as freqüências naturais da barra são determinadas pela equação

-.·0 ( 1 1 / - } ) 7 jfj

Exemplo 8.4·2 .

O tubo da sonda de um poço de petróleo termina na sua extremidade inferior

por uma barra contendo uma broca. Derivar a expressão para as freqüências

naturais, supondo que o tubo da sonda seja uniforme e fIxo na extremidade

superior e que a barra e a broca sejam representadas por urna massa fInal com

momento de inércia Jo , como indicado na Fig. 8.4·3.

J 1 T I

®- - - -- - - - - - - -

~2 0 )

Torque -J 2

de inércia o ar x =I

Solução: A condição de contorno na extremidade superior é x = O, O = O, oque requer que B seja O na Eq. (8.44).

Quanto à extremidade inferior, o torque sobre o eixo é devido ao torquedç inércia do disco fInal, conforme representado pelo diagrama de corpo livre da

Fig. 8.4-3. O torque de inércia do disco é -Jo(à 20/à 2t)x=l' = Jow2(O\=1

ao passo que o torque do eixo da Eq. (8.4-1) é TI = GIpede Idx)x =I' Igualando

os dois, ternos

Esta equação é da forma

{3tg/3 = J~:ra, P = O J I / lgque pode ser resolvida grafIcamente ou por meio de\abelas. *.

• Vide lahnke e Emdc, Tables of Functions, 4~ ed. (Dover Publications, Inc., 1945),

Tabela V, pág. 32.



Exemplo 8.4·3

Utilizando 'a equação de freqüência desenvolvida no exemplo anterior, deter-

minar as duas primeiras freqüências naturais de um tubo de sonda, de um

poço de petróleo, eom 500 pés de comprimento, fixo na extremidade superior

e terminando na inferior por um colar de perfuração com 120 pés de co mpri-mento. Sãodados a seguir os valores médios do tu~o e do colar.

Tubo da sonda:

Diâmetro externo =;4-1/2 pol

Diâmetro interno = 3,83 pol.I p = 0,00094 pés4

I = 5000 pés

p I Õ 490J barra = Ip - = 0,00 94 X X 5000

g 32,2

Diâmetro externo = 7-5/8 polDiâmetro interno = 2,0 pol

J{ 3 tg { 3 =' barra = 2,44

Jo

.NaTabelaV,pág. 32, de "Jahnke andEmde", { 3 = 1,135,3,722 ...

f J - - - ",1 /p __ 5000'" ~ 490 . O 470"- ~ y G g - ~ f2 X 106 X 122 X 32.2 ' ~

Resolvendo em relação a w, encontram-se as duas primeiras freqüências naturais

1,135 '.Wj =-- =2,41 rad/s =0,384 cps

0,4703,722 .

W2

=-- =7,93 rad/s =1,26 cps0,470

Consideremos as forças e momentos atuando sobre um elemento da viga representada

na F:ig. &}-1, a fl1119-e.determinar, a equação diferencial para a Y!.?,rilçãqlateral de

vigas.2 ' ] 4 . .

Y I• •

p(x )dx

MC 1Õ ~)M +d M

v\+-;-1V+dV dx

x

Figura 8.5·1.

VeM são os momentos de cisa!hamento e flexão, respectivamente, e p(x)

representa a carga por unidade de comprimento da viga.

Somando as forças na direção y

Somando os momentos em relação a qualquer ponto sobre a face direita doelemento

dVdx =p(x), dM = V

dx

A primeira parte da Eq. (8.5-3) exprime que a taxa de variação do cisalhamen-

to ao longo da viga é igual à earga por unidade de comprimento, e a segunda exprime

que a taxa de variação do momento ao longo da viga é igual ao cisalhamento.

Obtemos o seguinte 'da Eq. (8.5-3)

d 2 M dV dx2 = dx = p(x)

O momento de flexão é relacionado à curvatura pela equação d(;;flexão, a qual, para

as coordenadas indicadas na Fig. 8.5-1, é

M =Eld2 ydx2

d2

( d2y)._

dx2 EI dx2 :- p(x)

Para uma viga vibrando, sob O, seu próprio peso, em' volta da sua posição de

equilíbrio estático,·a carga por unidade de comprimento é igual à carga de inércia

275



devido à sua massa e aceleração. Considerando que a força de inércia é na mesma di-

reção que p'(x), conforme indicado na Fig. 8.5·1, temos, supondo o movimentoharmônico

p(x) =~úJ'Y (8.5.7)g

onde w/g é a massa por unidade de complimento da viga. Usando esta relação, a .equação para a vibração lateral da viga se reduz a

(fi,/)' (fi,!)' (fil!)'Fundamental Segundo modo Terceiro modo

9,87 39,5 88,93.52 22,4 61.7

22.4 61.7 121,022,4 61,7 121,015,4 50,0 104,0

O 15,4 50,0

Apoiada simplesmente .. '......•.

Cantílever ou em balanço .

Duplamente livre .

Duplamente engastada .

Engastada-artieulada ; .

Articulada-livre .

No caso especial da rigidez de f1exão EI ser uma constante, a equação acima pode ser escrita na forma

Exemplo 8.5-1

Determinar as freqüências naturais de vibração de uma viga uniforme engas-

tada numa extremidade e livre na outra.

[l. C~ ~ úJ'

g EI

obtemos a equação diferencial de quarta ordem

!y=O

emx =O dy_ --Odx

para a vibração de uma viga uniforme.

Podemos mostrar que a solução geral da Eq. (8.5-11) é ! M=O

emx =I

V=O

(A.o = A + C = O, :. A =-C

( Z t. o = [l[Asenh [lx + - B cosh [lx - Csen [lx + D cos [lx]x.o = O

P[B + - D] =O, B =-D

(~~t.1=P[A cosh [lI + - Bsenh [lI - C cos pl - D sen [lI] = c O

A(cosh [lI -I- cos [lI) -I- B(senh[lI + sen [ll)= O

(dl

) - .

d;' x=/ =[ll[Asenh [lI . - t - B cosh [lI + Csen fil - D cos fil] = O.A(senh [ll- senfll) + B(cosh[lI +.cos fi/) = O

{"fi., = cosh [lx :J:senh [lx

.(" 'fi.' =cos [lx ± i sen [lx

estabelecemos prontamente a solução na forma da Eq. (8.5-12).

A Eq. (8.5-10) nos dá as freqüências naturai~ de vibração

úJn =fJ ' ..jgl:'f/II'cosh[ll -I- cos [lI __ senh [lI + - sen [lIsenh [lI - sen [l I - cosh fil + cos [lIonde o número {3depende das condições de contorno do problema. A tabela seguin-

27 6



tly V 1jI- tlx~" kAG

tlljI M

tlx = EI

cosh p! cos p! - 1 - 1 =O

Esta última equação é satisfeita ppr um número de valores de {3!, correspondendo

a cada modo normal de oscilação, valores estes que são para o primeiro e segundo

modos 1,875 e 4,695, respectivamente. Em conseqüência, a freqüência natural para

o primeiro modo é . onde A é a área da seção transversal, G o módulo de cisalhamento, k um fator

dependendo da forma da seção transversal, e EI a rigidez de flexão. Complementan-

do, há duas equações dinâmicas= 1,875' fiEl = 3,515 fiEl(o, . [2 "1/7 [2 "1/7

8.6 EFEITO DE INERCIA ROTA TlVA E DEFORMAÇÃO DE

CISALHAMENTO

(momento) Jrp =~':.- V

(força) my =-~~+ p(x, r)

A teoria de Timoshenko diz respeito t81HO i 1 inércia rotativa como à deformaçITode cisalhamento da viga. O diagrama dt' ,;·'T" li"w c a l.lisp(J'ição geométrica do ele·

mento da viga são representados na Fi:( iLrí·l. Se a deformação de cisalllamento

é zero,

oll,de J e m são a inércia rotativa e. a massa da viga por unidade de comprimento.

Com a substituição das equaç15es elásticas nas equações dinâmicas, temos

1x (E I~ ) + k AG( ~ - 1jI ) - JIfI =O

my - f . x [ kAG(~~ - I j I ) J - p(x, r) =O

que são as equações acopladas de movimento para a viga.

Se 1 / 1 é eliminado e a seção transversal permanece constante, estas duas equa·

ções podem ser reduzidas a uma única

a'y a'y (' Elm) a'y Jm a'y_ EI ax ' + m a I' - J + kAG ax'al' + kAGdt4 -,- p(x, I)

J a 2 p EI a 'p+ kAG a r ' - kAG ô X '-

a reta central do elemento da viga coincidirá com a perpendicular à face da seção

transversa!. Devido ao cisalhamento, o elemento retangular tende a tornar a forma

de um diamante sem rotação da face e a inclinação da reta central é diminuída do

ângulo de cisalhamento ( l/ J - dyjdx). As seguintes quantidades podem então ser

definidas

B evidente então que a equação de Euler

a'y a'y __EI ax' + m a i ' - p(x, I)

é um caso especial da equação geral da viga incluindo a inércia rotativa e a deforma-

ção de cisalhamento.

Y. = deflexão da reta cen tral da viga

'tly _dx - inclinação da reta central da viga

ljI = inclinação devido à flexão

' I! - : ~ ~ = " perda da inclinação, igual ao ângulo de cisalhamcnto

278

Uma membrana não tem rigidez de flexão, ~ quando sujeita a uma carga lateral ;esis.

te apenas pela sua prGlpria tens[o. Pode-se derivar sua equação de movimento por um

processo semelhante ao utilizado para a corda, aplicado porém em duas dimensõcs.27 9



SuponhIDlOS que a membrana esteja sob tensão uniforme, T Ib por unidade

de 'comprimento, a qual é grande de modo que seja pequena sua variação devido à

deDexão lateral. Definindo a posição de equilíbrio da membrana no plano xy, e

sendo w a deflexão lateral, examinemos as forças sobre um elemento dxdy,

conforme representado na Fig. 8.7·J. A força resultante na direção w em virtudeda tensão nas orlas dy é

Da mesma forma, a tens:ro sobre as orlas lix resulta na componente T(à!/J/ày)dy dx.

Considerando que as inclinações nas direções x e y são O = àw/íJx e r / J = àw/ày,

y

a força lateral total devido à tensão T é

(aZI\' aZI\' )

T axZ -I- ayZ dxdy

Sendo p a mas sa p or u uida de d e á re a d a me mb ra na e p(x, y) a pressão.I:lteral aplicada, a equação de movimento torna-se

a 2w ' ( a Z w a 'w )p flx dy alz eoo T ax' + ayz tlx ti) ' -I- p(x, y) dx dy

Esta equação aplica-se tIDlbém em outras coordenadas com expressão apropriada para "1 Z ,

280

Para o tipo dc modo normal de vibração, p(x, y)

e a equação diferencial se reduz a

( W ) Z V'1l' + C ll' = O

o método de separação de variáveis pode ser usado para se chegar à solução, no

caso de uma membrana retangular de dimensões (x, y) = (a, b) representada na

Fig. 8.7-2. Fazendo w(x, y) = X(x) Y(y) e substituindo na Eq. (8.7-4), é fácil

de mostrar que a solução é da forma

X(x) =C, se-no:x + Cz cos o:x

Y(y) =CJ sen P . v + C4 cos py

onde C t.~ + f3 2 = (W /C )2 . A co ns ta nte C j nestas equações deve ser determinada

de acordo com as condições de contorno.

b -----j

T

As soluções analíticas não são possíveis para muitos problemas, havendo então o re-

curso de métodos numéricos aproximados, dos quais existem diversos disponíveis e

sua escolha depende da natureza de cada problema. Discutiremos nesta seção,

resumidamente, dois métodos numéricos de largo emprego .

. Diferenças finitas. Neste método as equações diferenciais e suas condições de con-torno são substituídas pelas equações de difer~nças finitas correspondentes. Isto

reduz então o problema a um grupo de equaçõe~ algébricas simultâneas que podem

ser resolvidas pelo computador digital.

Consideremos uma função y(x) que é representada ná Fig. 8.8-1. Em algum

ponto x j a derivada é aproximada pela eqlJação

(d f Y ) ~ _ / 1

1(Yi' I -- y,) C"~ _ / 1 / 1 1 ..1 '

(X i (8.8-1)

281



o processo acima pode ser repetido um número qualquer de vezes para derivadas de

ordens mais elevadas. A tabela seguinte mostra o modelo de diferenças finitas atéa quarta derivada.

Condições de Contorno. Para satisfazer as condições de contorno, devem ser esco-lhidos pontos fictícios fora da estrutura. Os exemplos seguintes referem·se a condi·ções de contorno típicas para vigas.

Viga Simplesmente Apoiada. Conforme a Fig. 8.8·2, seja p o ponto à esquerda

da etapa 1. As condições de contorno na extremidade esquerda da vigasão

Escrevendo a equação de diferença para a segunda derivada na etapa 1, temos

I I 'h2 (Y2 - 2y, + Y p) = h2 (h - O + Y p) = O

Nestas condições Y p' deve ser igual a -Y2'

- - -• . . . , ; : :

+ +N $ :~I I. E . .

~+ +. . ~~ ~

I,

- 5 ~-I::: - I : : :

. . •;., • . . . ;.,

I I

:: : ~ . .~ '". . . . . . . . . •

+ -I +~ . •~' ". ~• . . ,

. • ~~ ;., ,:,

- 1 : < : - T : < : - 1 : < :

;., , ; : : ~ ;,

+ + + +, ; : : ~

. • • . . .• . . .N N N N

I I

5 . • ~ ~,j ,j

-T~-I~ r' -I~-- "

- - : : : - - -~.

- - -;., , ; : : ~ ~I 1 I I I. . • ' . .

- 5 3,j ;., ,j

-\-" - 1 - : : - 1 - " - - 1 - < : - 1 - < :



Extremidade Engastada. Tanto a deflexão como a inclinação são zero na extremi.

dade engastada, conforme indica a Fig. 8.8·3. Sendo novarriente y p a deflexão à

esquerda da etapa I, temos, usando um intervalo de 2h

Portanto y p = Y2 , e a curva de deflexão é simétrica em relação à parede.

Viga. Parcialme~te Contida. Consideramos agora o caso da extremidade esquerda

da viga ser parcialmente contida. Podemos representar ,esta condição por uma mola

espiral de rigidez K pol lb/rad, conforme a Fig. 8.8-4. O momento no limite éM1 = -K81 , porém

M , =E I(~ , ' ; ,),=;,;(Y1 - O + yp)

-K81> e resolvendo em relação a y ; , obtemos

_ (2EI + Kiz)Y p- - - Y 1 2EI-Kh

Extremidade Livre. Na extremidade livre da viga, o momento e o cisalliamento de.

vem ser zero. Introduzimos dois pontos fictícios p e q, e um número arbitrário

4 para a etapa na extremidade, conforme a Fig. 8.8-5. A tabela de diferenças acimanos dá para o momento

( d 1 Y ) Id X14=h,(Yp-2Y4-1-y,)=O

Quanto ao cisalhamento, obtemos geralmente maior eX;ltidão por meio da mé·

dia das derivadas terceiras na extremidade, na forma seguinte

( ; ; . ; ' ) 4 c-~ + [ / : ' C v q- 3yp -I· 3 Y4 - y ,) -I, I : J (Y p - 3 Y4 -I- 3y , - Y 1) J

I= 2h,(Y q -- 2y p O ! . 2y, -- Y1) =O

Exemplo 8.8·1

Uma viga de momento de inércia não uniforme assenta sobre uma fundação

elástica de rigidez k pol/lb, conforme indicado na Fig. 8.8-6. Suas freqüên-

cias naturais devem ser determinadas por meio da sua equação diferencial que é

( J2 ( d' V )- EI-'- -[ !Cy- w'my = - Odx1 dx2

Para resolver este problema pelo método das diferenças fmitas, numeramos de

I a n as etapas ao longo da viga, e atribuímos uma nova rigidez de fundação para

cada seção, a qual é klh conforme a Fig. 8.8·7. A equação (a) é também reescritana forma .

d 4 y d'ydI d 1 yd 1[ • 1_

EI d ---. + 2Ed~ - d + Ed---z - d 2 + (k - mw )y - O x x x x x

I r'-j k ' L1"ELLLÂ.1 2 3 4 5 n

'Figura 8.8-7.

Vamos escrever agora a equação de diferenças linitas para a etapa 2, tendo em vista

as condições de contorno na extremidade esquerda. As derivadas encontradas são



Podem ser escritas de uma maneira' semelhante as equações para as outras etapas.Devem ser consideradas também as condições de contorno da extremidade direita,e o grupo resultante de equações algébricas pode ser programado para computaçãodigital.

Método Rooge-Kutta. O método Runge-Kutta é popular pelo fato de ser auto-ini-

ciado e de apresentar boa exatidão. O erro é da ordem de hS•

Para ilustrar o processo, vamos considerar a,viga com jnérc~arotativa e termos

de cisa1hamento que discutimos na Seção 8.6. A equação da quarta ordem é escrita

inicialmente em termos de quatro equações de primeira ordem na forma seguinte

d'll Mdx ,= E/ =F(x, ' 1 1 , y, M, V)

,~~= '11- k~G =G(x, 'II,y, M, V)

~~ = V - (J)2J'II =P(x, '11, y, M, V)

dV. 2 K( Mdx = (J) my = x, '1 1 , y, ,V)

O processo Runge-Kutta, discutido na Seção 4.8 para uma coordenada única, é am-

pliado agora para a solução simultânea de quatro variáveis relacionadas abaixo

2 86 .

'11 = = 'li, + ~(f, + 2/ 2. + 2 / 3 +1.)

y := y, + - ~ ( g, + 2 g) + 2g 3 -I- g~),

,"h( "2 2 )'M, M, •.6PI"17 P 2 + P 3 -I' P.

V ,= V -I - !!...(k + 2k' , 6' 2

onde h = b.x.

A computação prossegue na forma seguinte

f, = F(x" 'II"y" M" V,)

g, =G(x"'II"y"M,,V 1 )

P 1'= P(x l' '11,. y " ;\1l' V,)

k, , , = K(x" '11" y" M" V,)

1.,= F(x, + h, 'li, +f3h,y, -I - gJh, M, -I - P3h, V, -I - k 3h)

g. =,G(x, -1 - h, 'li, -I ; 13h,)', -I - g3h, M, -I - P3h, V, + kJh)

P. = P(x, -I - h,'II,' -I - !3h, y, +g3h, M,\~ P3h, V I + k 3h)

k. = K(x, -I- h, ' 1 1 1 -I - 13h,)', -I - g3h, M, - + - P3h, V, -f k 3h)

Com estas quantidades substituídas na Eq. (8.8.4), encontram-se as variáveis depen-

dentes no ponto vi~inho Xl, 'e o processo se repete para o ponto X3 etc.



Voltando às equações da viga, as condições de contorno na extremidade' de

início Xl fornecem um ponto de partida. Por exemplo, na viga cantilever com ori.

gem no ponto fixo, as condições de contorno no ponto de inído são

//fI =0, M,=M,

y, =0, V, = V,

Estas podem ser consideradas como sendo a combinação linear de dois vetares decontorno na forma seguinte

A iteração pode começar com três freqüências diferentes, as quais resultam

em três valores do determinante. Uma parábola é passada através estes três pontos e

o zero da curva é escolhido para uma nova estimativa da freqüência. Quando a fre.

qüência está perto do valor correto, a nova estimativa pode ser feita por uma linha

reta entre dois valores dodetenninante de contorno.

Visto que o sistema é linear, podemos cvnJeçar com cada vctor de contorno separa.damente. Começando com Cl> obtemo'.

8.9 SOLUÇÃO TRANSIENTE PELAS TRANSFORMADASDE LAPLACE

A utilização da técnica da transformada de Laplace é de vantagem para o exame daresposta dos sistemas contínuos a condições de contorno prescritas arbitrariamente.

Considerando que os problemas da corda e os movimentos longitudinais e torci anais

da barra fina têm a mesma equação diferencial, podemos examinar a equação

,a 'u _ a u' c . a x' - a I'

com as condições iniciais u(x, O) = u'(x, O) = O correspondendo ao sistemaini~ialmente parado.

Tomamos primeiro a transformada de Laplace ü (x, s) em termos do tempo

t, reduzindo a eqUação para uma equação diferencial ordinária com x como a

variável independente

Agora estas devem somar para satisfazer as condições de contorno efetivas na extre.

midade fmal, as quais são para a extremidade livre de uma cantilever

M;c -I- (J.M ND

== O

'V NC + IXV ND - = O

IX = _MNC = VNC

M ND

-V ND

onde as constantes C1 e C2 dependerão dás condições de contorno. E neste ponto

que deve ser definido o problema físico;a fim de' que as condições de contorno sejam

compatíveis com a realidade:

A Corda. Consideremos uma corda de comprimento infmito com movimento ar.

bitrariamente prescrito da extremidade X = O. A quantidade u(x, t) é então o mo-

vimento lateral da corda e c = v ITlP é a velocidade de propagaçã~ de qualquer'

perturbação ao longo da corda, com T como tensão e p como massa por unidadede comprimento. .



Na extremidade distante x = I -+ 00, o deslocamento deve ser zero, o

qual requer que C1 = O. Na extreITÚdade x = = O o deslocamento é prescrito como

u(O, t) de modo que C2 = u(O, s ). A solução geral torna-se então

Considerando que o deslocamento é a integral em relação ao tempo da velocidade,

podemos substituir ii(x, s) por (lls) v ( x, s ) e' obter uma expressão geral entre a

velocidade na extremidade x = I e a força F(/, t), na forma seguinte

P(I, s)~' i!(/, .1 ') (AcE) cotg h ( ~)

.= i!(I, s) (AcE) [I + 2e -llü;,) + 2e -4(,/1<) + .. ,]

Utilizando novamente o segundo teorema de deslocamento, obtemos

Utilizando o segundo teorema de deslocamento (Vide Apêndice B).

.r,-'e-"'j(s) =/(r - a)'li(r- a)

F(I, r) ~ ( A c E ) [ v(/, r) + 2v(/, t - ~/)'li ( t - : / )

+ 2 V ( / , r - ~ / ) ' l i ( t - ~ / ) + . ; . Ju(x, r) ~ u ( o , r - ~) ' li (r - :)

a qual é interpretada da forma seguinte: A função unitária ' U o ( 1 - x/c) é zero para

t < x/c, de modo que as unidades x da corda a partir da origem permanecem em

r epouso a té o t empo r = x/c. Após t = x/c o movimento da cord:: em x é o

mesmo que o prescrito da extremidade x = O. .f pois evidente que o movimento prescrito da extrcITÚdade x = O prossegue ao longo da c(mia com a velocidade de

propagação c. como indicado na Fig. 8.9-1.

r = = o 1 -Y\v~----------------

A solução acima exprime que a força da extreITÚdade é proporcional à velocidade

v (I. t) da extreITÚdade livre até o tempo t = 21/c, justamente quando o reflexo da

extreITÚda?efixa introduz um termo adicional 2v(/, t - 21/c) etc. o

O método da transformada de L:tplace pennite tratar de forma semelhante

muitos outros problemas deste tipo; encaminhamos o leitor para "Laplace Trans-

formation". *

r==~ I !lc -.----x----l 8-1 Calcular a velocidade de onda ao longo de uma corda cuja densidade é de

um quarto de l ibra por pé, quando esticada sob uma tensão de 100 libras.

8-2 Derivar a equação para as freqüências naturais de uma corda uniforme de ~om-

primento I, tlxada nas duas extremidades. A corda é estica da sob uma tensão

T e sua massa por unidade de comprimento é p.

8-3 Uma corda de comprimento .[ e massa p por unidade de comprimento está

sob tensão T, com a extremidade esquerda fIxa e a direita ligada a um sistema

mola-massa, conforme a Fig. r.8-3. Detenninar a equação para as freqüências

naturais ..

Movimento Longitudinal de uma Barra. Consideremos aqui uma barra ftxa em

x =' O com uma força F(l, t) aplicada na extremidade livre x = I. O desloca-

mento longitudinal é agora .u(x, t) com c = .J E i lP a velocidadc de propagação

das. perturbações.

As condições de contorno são

Ú(O, . 1 ' ) = C , + C 2 = O

AEaú(1 . 1 ') = AE!-(C e ' I, " - C e- Ü,") = t(1 r)a x ' o . C I 2 .,.

C = -C = eF(I, s)I 2 d

2AEs cosh':"'"c

Pu, s)scnh sx('

ü(x, s) . = . A E:~ L:O sh sJ.

c c

·W. T. Thomson, Laplacc Transformation, 2~ 00. (Englcwood Cliffs, N. J.; Prcnticc-lIall,Inc., 1960), Capo8. . o



8-4 Uma vibração harmônica tem uma amplitude que varia como uma função co.se.

"no ao longo da direç~o x tal que

Mostrar que se é adicionada à primeira vibração uma outra vibração harmônica

da mesma· freqüência e amplitude igual, deslocada de um quarto de compri-

mento de onda em fase espaço e fase tempo, a vibração resultante representará

uma onda em movimento cuja velocidade de propagação é c = w/k.

8·5 Detenninar a velocidade de ondas longitudinais ao longo de uma barra fi·

na de aço. O módulo de elasticidade e peso por unidade de volume do aço

s ão 2 9 X 1 06 lb/poe e O,2821b/poI3.

8-6 Uma barra uniforme de comprimento I é fIxa numa extreITÚdade e livre na

outra. Mostrar que as freqüências das vibrações longitudinais normais são

f = (n + 1/21c /2/, onde c = . .. ; Eglp é a velocidade das ondas longitu-

dinais na barra, e n = 0, 1, 2, ...

8·7 Uma barra uniforme de comprimento I e seção transversal de área A é ftxa

na extremidade superior, sendo a outra carregada com um peso W. Mostrar

que as freqüências naturais são detenninadas por meio da equação

rol fLE

tg rol fL=d P !.VÊ[: "lEi W

8·8 Mostrar que a freqüência fundamental para os sistema do Probl. 8-7 pode ser

expressa na fornla

. M barrá

r=---M '

k = AE I '

Reduzindo o sistema acima para uma mola k e uma massa na extremidade

igual a M + 1/3 M barra' determinar uma equação aproximada para a freqüên.

cia fundamental. Mostrar que a relação entre a freqüência aproximada e a exata

encontrada acima é (l/~d"';3rl(3 + r).

8-9 A freqüência de osciladores de magnetostrição é determinada pelo comprimen-

to da barra de liga de níquel, a qual gera uma voltagem alternada nas espirais

que a circundam igual à freqüência da vibração longitudinal da barra, confor.

me a Fig. P.8-9. DeterITÚnar o comprimento adequado da barra engastada no

meio para uma freqüência de 20 kcps, se o módulo de elasticidade e a densi.

dade são E = 30 X 106 lb/pol2 e p = 0,31 Ib/poJ3.

, '" /: ,/ /

Figura P. 8· 9.

8·10 Mostrar que c = . . jG g /p é a velocidade de propagação da deformaçãó tor· •

ciona! ao longo da barra. Qual é o valor numérico de c para o aço?

8-11 Determinar a expressão para as freqüências naturais das oscilações torcionais de

uma barra uniforme de comprimento I engasta da no meio e livre nas duas

extremidades.

8-12 Determinar as freqüências naturais de um sistema toreional formado de um

eixo uniforme Com momento de inércia de massa Js com um disco de inércia

Jo ligado a cada extremidade. Checar a freqüência fundamental pela redução

do eixo uniforme a uma mola de torção com massas nas extremidades.

8·13 DeterITÚnar a expressão Pllra as freqüências naturais de uma barra livre emambas as extremidades em vibração lateral.

8·14 Determinar a posição do nodo para o modo fundamental da viga livre em amo

bas as extremidades, pelo método de Rayleigh, supondo que a curva seja

y = sen( 11 xl l) - b. Igualando o momento a zero, determinar b. Substituir

este valor de b para achar w 1 •

8-15 C onst at ou·se que uma viga par a t est e de concr et o de 2 X 2 X 12 paI,

apoiada sobre dois pontos a 0;224 I das extremidades, ressonava a 1690 cps.

Sendo a densidade do concreto de 153 libras por pé cúbico, determinar o mó-

. dulo de elasticidade, supondo que a viga seja fina.

8-16' Determinar as freqüências naturais de uma viga uniforme de comprimento

I engastada em ambas aS extremidades .

8·17 Detenninar as freqüências naturais de uma viga uniforme de comprimento

I, engastada numa extremidade e presa por pinos na outra.

8·18 Uma viga uniforme de comprimento I e peso W b é engasta da numa extre-

midade e suporta um peso concentrado W o na outra. Especificar as condições

de contorno e detenninar a equação de freqüência.

8-19 Transmite-se à extremidade presa por pinos de uma viga - a outra extremidade

é livre - um movimento harmônico de amplitude. Yo perpendicular à viga.

Mostrar que as condições de contorno resultam na equação, .

~ o" senh ~I cos ~ I - cosh {3 1 sen {:lI

y/ senh ~l - sen ~l



S-23 A Fig. P.S-23 mostra um cabo flexível preso numa ponta e livre para oscilar

sob a ação da gravidade. Mostrar que a equação de movimento lateral é8-20 Uma barra uniforme tem estas especificações: comprimento i, densidade por

unidade, de volume p e a rigidez torcional' IpC onde Ip é o momento po-

lar de inércia da seção transversal e C 'o módulo de cisalhamento. A extre-

midade x = O é presa a uma mola em espiral de rigidez K pol lb/rad, en-

quanto a extremidade i é fixa, como indica a Fig. P.8-20. Determinar a equa-

ção transcendental da qual as freqüências naturais possam ser estabelecidas.

Verificar se esta equação está correta, considerando casos especiais para K = O

e K = 00.

8-21 Uma viga simplesmente apoiada tem uma saliência de comprimento i2, con-

forme indicado na Fig. P.8-2!. Se é livre a extremidade da saliência, mostrar que as condições de contorno requerem que a equação de deflexão para cada

vão seja

g(i'Y -I- a y)a x 2 a x

I~ iT+dTI .,.I'

T '

I , pgdx

D i

i I ,

S-24 Supor uma solução no Probl. 23 na forma y = Y(x) cos wr e mustrar que

Y(x) pode ser reduzido a uma equação diferencial de llessel

d 2 Vez) -I- 1 . . dY(z) ,/., Vez) =Odz 2 Z - - ; r z -4 > , =c (s en px - s en P p ll senh p x )

, senh I,

if J 2 = A flcos p x - / - cosh p x - ( C O S ~~2 + cos~ ::2)CsenPX -/-senh f3 x )}sen 2 -/- sen 2

por uma mudança em variável Z2 = 4W2 xjg.

8-25 Uma membrana é esticada com grande tensão T lbjpol, de modo que sua de-

flexão lateral y não aumenta· T de modo apreciável. Utilizando coordenadas

polare~, mostrar que a equação diferencial de vibração lateral é '

8-22 Um satélite particular consiste de duas massas, cada uma com o mesmo valor

m, ligadas por um cabo de comprimento 2i e densidade p, conforme indi-

cado na Fig. P.8-22. O conjunto gira no espaço com velocidade angular Wo· Se

não é considerada a variação na tensão do cabo, mostrar que a equação diferen-cial de movimento lateral do mesmo é

a 2y._ --.I!-(B2y W'J')

a x 2 . - mwi;I a r 2 - o

, 8-26 Aplicar os resultados do Probl. 25 a uma membrana circular de raio a com

as condições de contorno y(a) = O. Pode,se mostrar que Jo(r";pw2 jT) dáa deflexão dos modos simétricos sem linhas de nodos radiais. Para o caso geral

de nodos circunferenciais e' radiais, as freqüên~ias naturais são calculadas por

meio das condições de contorno em r = a e 'r . = O" as quais resultam nu-

ma equação da forma

2 ._ ( n ) ' ( m w o /) 2W ·""27 -p- -Wo.



I 2

"- @{ ) c t~~

8-32 Considerada a disposição da viga representada na Fig. P.8-32, determinar a

equação de diferenças finitas para a etapa 2.

8-31 Mostrar que a equação diferencial da viga, quando sli'oincluídos o cisalhamento

e a inércia rotativa, pode ser expressa pela equação matricial de primeira ordem

o I

El

O O

O O

W2m O

onde n refere-se ao número de nodos radiais, e m ao número de nodos cir-culares incluindo aqueles do contorno externo. A Fig. P.8-26 mostra alguns

perfis.

8-27 A equação relativa às oscilações longitudinais de uma barra fina com amorte-cimento viscoso é

8-33 Estabelecer as equações de diferenças finitas que se aplicam às etapas 5 e 7 daviga do Probl. 32.

8-34 Desenvolver as equações de diferenças finitas para as etapas 9 e 10 da viga doProbl. 32.

a2

u AE a2uNaú + P o ( )f(I')mãi2 = ax2 - •.•aI TP x

onde a carga por unidade de comprimento é considerada separável. Fazendo

u = 'E/<I!,(x)q/(t) e p(x) "" 'E/bf'!'/(x) mostrar que

1 1 = . Po I: bjc(Jjf' f (t - -r)r'wJ'senWj~-rdr ml../I - ' 2 j OJI o

bl =+ f>(x}Plx)dX

8-35 Urna corda de comprimento I, flxa nas extremidades, está sob tensão T.

Em x = O dá-se à corda uma velocidade inicial

11(0, I)

Determinar seu movimento.

8-36 Uma mola helicoidal de comprimento I e rigidez k está posta naturalmente

sobre um plano horizontal sem atrito. Imprimindo-se à extremidade x = O

Uma velocidade prescrita v(O,t), deteffiÚnar o movimento em qualquer ponto x. Qual é a tensão na mola no ponto x?Derivar a equação relativa à tensão em qualquer ponto x.

8-28 Supor que a orla da membrana retangular da Fig. 8.7-2 seja presa e mostrar

que asua solução é

~ ~ m7tx' n7t yw(x, y, t ) = . : ' 5 ; \ nL ; \ sen -b-sen a(A m n senOJmnt+ B m n ços O Jm nt)

8-29 Mostrar que a equação seguinte dá as freqüências naturais da membrana do

Prohl. 8.28

2 2 2 ( m 211

2)

OJ m•n =C 7t Fi +QT

onde m, n = I, 2, 3, ...

8-30 Descrever os perfis dos modos naturais para a membrana quadrada com orla

presa.



!

\

!

\

"J)

S

J)

1)

))

j

}

)

)

»

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}

~

)

)

)

) i

I)

)1

I~. I)

I~ I)

!

I)

EQUACÃO DE LAGRANGE,

9

Lagrange* desenvolveu um tratamento geral de sistemas dinâmicos formulado por

meio das quantidades escalares de energia einética T, energia potencial U, e tra-

balho W. À medida que o sistema. fica mais eon.plicado, torna-se progressivamente

difícil" o estabelecimento de relações vetoriais requerido pelas leis de Newton, quando

então há vantagem considerável na apreciação escalar baseada em energia e trabalho.

Além disto, a formulação das equações de movimento de Lagrange dispensa comple-

tamente a consideração das forças restritivas de articulações e guias sem atrito.

As equações de movimento de um sistema podem ser formuladas por meio de diversos

sistemas de coordenadas. Entretanto, são nçcessárias n coordenadas independentes para descrever o movimento de um sistema de n graus de liberdade. Tais coorde-

nadas independentes são chall1:adascoordenadas generalizadas e são usualmente

represen tadas pelas letras q.j'

O movimento de corpos nem sempre é livre, mas sufeito muitas vezes a limitações predeterminadas. Como exemplo.a Fig. 9.2-1 mostra um pêndulo esférico de compri-



EQUACÃO DE LAGRANGE,

9

Lagrange* desenvolveu um tratamento geral de sistemas dinâmicos formulado por

meio das quantidades escalares de energia cinética T, energia potencial U, e tra-

balho W. À medida que o sistema. fica mais con.plicado, torna-se progressivamente

difícil' o estabelecimento de relações vetoriais requerido pelas leis de Newton, quandoentão há vantagem considerável na apreciação escalar baseada em energia e trabalho.

Além disto, a formulação das equações de movimento de Lagrange dispensa comple-

tamente a consideração das forças restritivas de articulações c guias sem atrito.

As equações de movimento de um sistema podem ser formuladas por meio de diversos

sistemas de coordenadas. Entretanto, são nçcessárias n coordenadas independentes para descrever o movimento de um sistema de n graus de liberdade. Tais coorde-

nadas independentes são charT\adas coordenadas generalizadas e são usualmente

representadas pelas letras q, .O movimento de corpos nem sempre é livre, mas sujeito muitas vezes a limitações

predeterminadas. Como exemplo.a Fig. 9.2-1 mostra um pêndulo esférico de compri-



mento I.Sua posição. pode ser completamente definida pelas duas coordenadas

independentes 1/J, e, t / J . Nestas ,co,ndições t / J e t / J são coordenadas generali-

zádas, é ' o pêndufo esférico representa um sistema de dois graus de liberdade.

Consideremos um sistema de partículas sob a influêncía de várias forças. Seo sistema está em equilíbrio estático, a resultante R j das forças atuando sobre

qualquer partícula j deve ser zero, e nulo é o trabalho realizado por estas forças

num deslocamento virtual lir j .

óW = L : RJ·ór J =OJ

Se a força Ri é dividida numa força aplicada F j e numa, força restritiva fi, há

então equilíbrio entre F i e fi e nenhuma delas é zero. Limitando nossa discussão

a forças restritivas que não realizam trabalho, tal como a reação de um assoalho

liso, a equação do trabalho virtual se reduz a

A posição do pêndulo esférico pode ser também estabelecida pelas três coor-denadas retangulares x, y e z, que excedem de um os graus de liberdade do sis-

tema. Entretanto, as coordenadas x, y e z não são independentes, pois elas

estão relacionadas pela equação de restrição .

a qual exprime o princípio do trabalho virtual como apresentado por J. Bemoulli

(1717). Em resumo, a equação acima estabelece que, num sistema em equillbrio

estático, o trabalho efetuado pelas forças aplicadas num deslocamento virtualcompatível com as restrições é igual a zero.

'Uma das coordenadas pode ser eliminada pela equação acima, reduzindo desta formaa dois o número de coordenadas necessáriás.

Chamam·se coordenadas supérfluas as que excedem o número de graus deliberdade do sistema, e é necessário para a sua eliminação número igual de equaçõesde restrição. Denominam-se de holonômicas as restrições se as coordenadas em

excesso podem ser eliminadas por meio das equações de restrição. Tais restriçõessão na forma

Trabalho Virtual em Termos de Coordenadas Generalizadas. Consideremos um

sistema de n graus de liberdade no qual o deslocamento ri possa ser expresso

por n coordenadas generalizadas independentes qj e o tempo t

o deslocamento virtual da coordenada ri é

ór J = 2:~ óq, (9.34), I oq,

As restrições nos sistemas não-holonômicos não são expressas em termos de

coordenadas ou coordenadas e tempo, como na Eq. (9.2-2). Restrições não-holonô-

micas são expressas somente como relações entre as diferenciais, como na seguinteequação

e o tempo t ilão é envolvido.

Quando o sistema está eIlijequilíbrio, o trabalho virtual pode ser expresso

agora em termos das coordenadas generalizadas qj, pela Eq. (9.3·4) ,

Um deslocamento virtual a x , a O , a r etc., é uma mudança infinitesimal da coorde-

nada' que pode ser concebida de qualquer maneira sem consideração do tempo t, masnão violando as restrições do sistema,

300

definida como a força generalizada, o trabalho virtual do sistema, expresso em

termos das coordenadas generalizadas, torna-se ~

(9.3· 7)

301



onde o trabalho efetuado pelas torças restritivas fi' é zero novamente. Nestas

condições, para um sistema dinâmico, o princípio do "trabalho virtual requer que a

força aplicada Fi seja substituída por (Fi - mii:i) a qual introduz um novo termo

'Eimii: i • Ó ri' Vamos mostrar agora que este novo termo é relacionado à energiacinética T pela equação

• Considerando um corpo possível de ser representado por um sistema'de partí.culas, sua energia cinética é igual a .

T = L; ± m /-,z = L; ± m ,i','f ii j

A posição de qualquer partícula, num sistema de n graus de liberdade, 'pode ser expressa em termos das n coordenadas generalizadas q" Q2, ••••qn' e em algUnscasos do tempo t.

. ar,. I ar,. f ar,. f- ar,r = -q --.,,--q - - ... --'-fl - '37

' aql I vq22 aq.7' vI

Duas importantes relações resultam destas equações. Primeira. se tomamos a derivada parcial de r; com relação a t i k, ela será igual ao coeficiente de t i k

Segundo, o deslocamento virtual de ri a partir da Eq. (9.3-4) é

ar a r ar • ar,D r, =-a IÔq, +a- IÔq2 - I - ' " -LDq. cc I: -' Ôq.q, q2 aq. ..,aq.

onde se nota que o tempo t não entra na equação (definição de deslocamentovirtual, independente de tempo).

Utilizando a equação acima para ó ri> temos

Na Eq. (9.4-6). 3r/àqk no primeiro termo pode ser substituído por 3t;/3qk' e a ordem de diferenciação no segundo termo pode ser invertida de modo que

Somando as i partículas, chegamos ao resultado

~ .. ó ~ [ d aT aTJ J:.:.. mir,' r, = "'"' - d - a ' - "l:"" uq., '.~I I q. uq.

onde T =lI;m/,2 é a energia cinética do sistema.,Para completar. o desenvolvimento, o trabalho efetuado pelas forças aplicadas

no deslocamento virtual são expressas da seguinte forma , • a r

ôW = I; F,·ôr, =1:FI' I; ~ óq. ,. i k'-'lUqk

• ( a r )=:I : :EF,,~ Óq •• ~I i vq.

Q. = :I:F,,~ , vq.

é chamada a força generalizada associada à coordenada qk' As dimensões de Qk

dependerão das dimensões de qk' de modo que se qk é um ângulo 0, a força'generalizada será um momento.

Voltamos agora as Eqs. (9.4-12) e (9.4.13) à Eq. original (9.4.2)

t( ! ! . . B: - ~ - Q . ) D q. =O."' dI aq. uqk

Considerando que as 'nóqk correspondentes aos n graus de liberdade são quanti·

dades independentes, podemos escolhê-Ias de qualquer maneira que quisermos.

Isolando uma das aqi = 1 0 O e considerando zero as restantes óqs' obtemos a equa.ção de Lagrange para a coordenada qj

! ! . . aT _ aT _ Q J = OdI aih aq,



Un:a equação .s,emelhante pode ser estabelecida para as 11 coordenadas do sistema,

com a repetição·do processo com as outras coordenadas.

Há poucas variações da equação de Lagrange que podem ser mencionadas

agora. Se temos um sistema conservativo, o trabalho efetuado é igual ao negativo

da energia potencial

Num sistema conservativo, as forças podem ser derivadas dá energia potencial U,

que é uma função das coordenadas generalizadas qj' Expandindo U numa série

de Taylor em volta da posição de equilíbrio, temos, para um sistema de 11 graus

de liberdade

Uo nesta expressão é uma constante arbitrária que podemos considerar igual

a zero.' As derivadas, de U são calculadas na'posição de equilíbrio O e são cons·

tantes quando as qj são quantidades pequenas iguais a zero na posição de equi·

líbrio. Uma vez que U é um'mínimo na posição de equilíbrio, a primeira derivada

(o U/oqj)o é zero, deixando apenas (02 U/oqjoq/)o é termos de ordem mais elevada., .Os termos além da segunda ordem são ignorados na teoria das pequenas osci·

lações em volta da posição de equiIJbrio, e a equação de energia potencial fica redu-

zida a

Assim, em lugar de Qk usamos - (OU/oqk)e reescrevemos a equaçã~ de Lagrange

desta forma

A segunda variante resuI1a do conhecimento que U não é uma função de q,de modo que definimos um: Lagrangiano L como

A derivada segunda calculada em O é uma constante associada com a rigidez gene-ralizada '

k jl =(a ;: ~ q )oe a energia potencial é expressa como

.Quando existem forças não-conservativas no sistema, o trabalho por elas

efetuado pode ser separado na forma

= -}rq)'[k]fq}

e neste caso é possível apresentar a equação de Lagrange para um ,sistemanão-con-

servativo como

li aL_ ~L ,= Q k dt a ( jk a q k

li a T . " a T -+ a u =, Q kdt a q k a q k a q k

Estas últimas formas nos permitem estender ' ) uso do método de Lagrange aos

sistemas não-conservativos e, em conseqüência, o método de Lagrangc é aplicável

a todos os sistemas dinâmicos, incluindo vibrações amortecidas.

r. =' ta r , q, - + a r l, /=, aq / J ai

Considerando um sistem~ escleronômico o~de a~restrições são independentes

do tempo, o último termo da equação acima é zero, e temos



, ; 1 2 - - .0 - .0 ~ ~ . .I - L..J L..J a 'a qJql

J" 1 I," 1 qJ ql

Portanto, a énergia cinét ica torna-se ' As equações de movimento eram desacopladas na Seç. 6.7 pela matriz modelo, a

fun de se obter a solução .da vibração forçada' em termo~ das coordenadas normais

do sistema. Aplicamos nesta seção uma técnica semelhante para sistemas contínuos,

expandindo a deflexão em termos dos modos normais do sistema.

Consideremos, por exemplo, o movimento geral de uma viga carregada por uma

força distribuída p(x, t), cuja equação de movimento é

T = - 21 tJI1 I[t f' ar l ,arl q q J

1 "1 J "', t: 1 a qJ a ql I I

Permutamos agora a ordem de soma e reescrevemos a·equação acima

T = + . t t MI(tJI1laàrl 'aar,)J"'I"I 1 qJ ql

Definindo a m assa generalizada como

mJI = (tm1aar /,ar,)

"·1 . qJ aq l

a energia cinética pode ser expressa como

e suas condições de contorno. Os.modos normais i f>i(x) são também funções orto-gonais satisfazendo a relação

f i { O para j - - 1 = i. m(x)rp,rp;dx =o Mi para j = i

Representando a solução para o problema geral em termos de i f>i(x)

=+[qJ'[m][q}

As equações (9.5.3) e (9.5·10) tornam evidente que k. = k. e m _ D t '. II II jl - mlj'

es a maneIra, as matnzes de massa e de rigidez são simétricas em relação à diagonal.

A. wbstituição de TeU na equação de Lagrange conduz a um grupo deequações que pode ser expresso pela seguinte equação matricial.

podemos determinar a coordenada generalizada qj (t) por meio da equação deLagrartge, estabelecendo previamente as energias cinética e potencial.

Admitindo a relação de ortogonalidade, Eq. (9.6.3), a energia cinética éQu~do os autovetores {q} são coordenadas (principais) normais, os termos

fora da dlagonal da equação matricial são zero e as equações de movimento desa.copiam para T = - 1 { jJ2(x, t)m(x) dx = i~~q A J f~ ip,r/JJm(x)dx

=- t L M,q;1

onde ~ massa generalizada M i é definida como

M1

=( rp,l(x)m(x) dx .

m'/L + kuql = O (9.5.12)

A solução é enÜro a vibração de modo normal q. AI = i s~nw;f, cuja substituição na

equação diferencial resulta em

ku = -OJ,2mli (9.5-13)O uso de coordenadas normais eliminará todos os termos k. em, d' - --J- I

.,. . h . . - II 11 on e J T-

e: em consequencla, á a sunphficaçao das expressões das energias cinética e oten-Cla!para as formas ' p

(9.5-14)

(9.5-15)

T = - i ' 2 f muq; == i[q}'[m][q}

U = - ± ~ kuqr = J[q}'[k][q]

onde L ] simboliza uma matriz diagona!.308



onde a rigidez generalizada é

K, =( E/[i f i; ' (x)F dx

Exemplo 9.6-1

Uma viga simplesmente apoiada de massa Mo é carregada subitamente por

uma força representada na Fig. 9.6-\. Determinar a equação de movimento .. ftJém de TeU, precisamos da força generalizada Qj, que é determinada

por meio .do trabalho efetuado pela força aplicada p (x, t )dx no deslocamento

virtual o q j • ' . . . .[ " ' l l i 1 a 1 T p \.'" ) w.-:r1:f' ,.

f f " = --.L- Jrim. - - -

, f = C - = - - = - - I : I

g(I)

j , O C LO II -I

(b)

óW,c f o

p(x, t )(~ if > / J q , ) dx

=~ó q, ( p( x, t )r p, (x )d x

Q, = J~p (x , t )~ Jx ) d x

Substituindo na equação de Lagrange

( % ( ~ ; ) " ~ ; , - I - ~ ~ c-c, Q,

a equação diferencial enconttada para qj ( t) é

q, + - W!qi = ~ f ' p(x, l ) if i ,(x) dx'o .

Solução: Os modos normais da viga são

ifiJx) =.J2sen II;X

w" '-= (IITC)2-J EI/Mo J 3

e a massa generalizada é

M =~JI2sen2I1TCXd-=M"I I x o

• o Neste ponto é conveniente considerar o caso da carga por unidade de com-

primento p (x, t) ser separá •••el na forma '

p(x, t ) =~o p(x)f(l)

A Eq. (9.6-12) é então reduzida para , p

q, I- w,'q,. ~, M;rJ(I)

f i f i .o p(x, t ) if i " dx = g(t) o W ( .J2~en I1~X dx

=" (I) IV O..J '2 ' [sen ( l17 ex /l ) _ x cos (lI1ex/I)J'

g I (IITC/I)2 (IITC/I) o

IV r'll=-g(I)~ cos IITC

I1TC

. = _.J2llVo (1)(-1)-I 1T C g

I J ir,= T o p(x)rp,(x) dx (9.6-15)

é defInido como fator de participação de modo para o modo i . A solução da

Eq. (9.6-14) é então

q,(l) = q,(O) cos wJ -I· ~, q,(O)sen O JJ(9.6-16)

-I- (P o r,,)w , f I f(ç)sen W , ( I - ç) d ç MjO)j o

Considerando que a i-ésima deflexão estática do modo (com q j (t) =O) desen-

volvida em termos de c f> j(x) é p.r jfM jW f, a quantidade

onde g(t) é a cronologia da carga. A equação para qn é então

q " -I - w~q" == _.J2 IIV O(_I)"g(l)I1TCMo

D,(I) =OJ, ( f(ç) sen w,(t ,- ç)dç

pode ser denominada o fator de carga dinâmica para o i-ésimo modo.

310

a qual tem a solução

( 1 _ ( 1 ) . - , ",/'2'111'0 (-1")"( I 'I)" ll7eM o ÚJ~ -- cos w "

-= -..J'2-/ll'o (-1)"(1 -' cos w I)I1nM o w;' ~

+ 2..J'2~/:vo(-I)"[I_cos w (t - t J)JI1TCMow~ " ,



Desta maneira, a deilexão da viga é expressa pela soma

.1'(x, r) == i: q.(r).J:rsen m,lx• I

Exemplo 9.6-2

Um míssil na sua trajetória é excitado longitudinalmente pelo impulso F(r)

do seu motor de foguete à' extremidade x '" O. Determinar a equação para o

deslocamento u(x, I) e a aceleração li (x. I).

u(x, I) = = L : qJt)rpJx)

onde 'Pi(x) são os modos normais do míssil em oscilação longitudinal. A coorde-

nada generalizada qi satisfaz a equação diferen.eial .[E1y"(x. I» )" + m(x)y(x, r) =-m(x)Yb(/)

Desta maneira, em vez da força por unidade de comprimento F(x, I ) ternos a força

de inércia por unidade de comprimento - m(x)ji b (I). Admitindo a solução na

formaS e, e m v ez d e F(r), um impulso unitário atuasse em x '" O, a equação acima

teria a solução ( 'P ;CO)/ Miwi) sen wil para as condições inciais qi (O ) ' " (Íi ( O) =

= O. A resposta, portanto, à forç~ arbitrária F(I) é

qJr) " tp,(O) f r F(ç) sen w Jr - - ç) dç Mi ú!; o

e o deslocamento em qualquer ponto x é

u(x, r) 'L: rp/x)rp,(O) J " F(ç)sen w/r .-- ç) dç . MjOJ{ ti

a·equação para a coordenada generalizada .qi torna-se

q, -/ w;q, = - y. (r ) ~. f i rpJx) dx" o

A solução para qi difere então somente do fator - I/Mif~'Pi(X)dx daquela de

um oscilador simples, de maneira que para as condições iniciais y(O) = y(O) = O

q,(r) ~~ ( - ~/i J : tp,(x) d X } ~i J ~ j'.(ç) sen w,(r -- ç) d e ;A aceleração q, (t) do modo i pode ser determinada reescrevendo-se a

equação diferencial e substituindo a solução anterior para qi (I)

q,(r) =F(rz,(O) - W,'qii

= );-(t)gJ/O) _ p,(O)w, J ' F(ç) sen w,(t - ç) d e ;M, Mi o

9.7 ORTOGONALlDADE DA VIGA, INCLUINDO INERCIA

ROTA TlVA E DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO

As equações para a viga, incluindo inércia rotativa e deformação por cisa1ha-

mento, foram derivadas na Seç. 8.6. A ortogonalidade para tais vigas não é mais

expressa pela Eq. (9.6-3), mas pela equação

~ L : {F(r)rp,(O)rp,(x) - ~,(O)tp,(X)Wi J ' F(ç) sen w,(t - ç) dÇ },M, M, o

Determinar a resposta de urna viga cantilever quando se transmite à sua base

um movimento Yb (I) normal ao eixo da viga, conforme indicado na Fig. 9.6-2

a qual pode ser provada da seguinte maneira.

Vamos reescrever por conveniência as Eqs. (8.6-5) e (8.6-6), incluindo um

momento distribuído por unidade de comprimento ;Jl1(x, r)



':L(Eld'fl) -I kAG(tl y

-- ' fi) - J/iI- ~m_(x , t) Otlx tlx ,tlx

mji -- (~~,[k A G ( ~ ? ~ - - 'f i) J - p(x, t) O (8.6-6)

A deflexãc y(x,t) e a inclinação de flexão Ij;(x,t), no caso de osçilação forçada

com excitação p (x,t) e;m (x,t) por unidade de comprimcn to da viga, podem,

ser expressas em tem10S das coordenadas generalizadas

y : L : qj(t)q;}x) j

i j,l OJ~q,= I~ { J~p(x, t)1fI/dx -1 - f : ~ll(x, t)'fI/ dX}

f i {O S e j4 = -i

(1Il1fljlfl,-\- J'fIj'fl,) tlx = '"o M j se I = = I

que define a ortogonalidade para a viga, incluindo inércia rotativa.e deformação

por cisalhamento.

Substiuídas estas somas nas duas equações da viga, obtemos

J : L : iij'flj =: L : qj{ (,l(EI'fl~) I' kAG(IfI~'- 'fIj)} I ~rr(x,t)J J ( ~\ •

m : L : ijjlflj . = : L : qj (,'JkAG(q;>- VI)) - I p(x, t) j J {.\

Entretanto, vibrações de modo-normal são da fonna

Quando uma estrutura é alterad.a pela adição de uma massa ou de uma mola, nós a

denominamos de estrutura vinculada. Por exemplo, a tendência de uma mola é

a de atuar como uma restrição ao movimento da estrutura no ponto da sua aplicaçãoe, possivelmente, aumentar as freqüências naturais do sistema. Uma massa adicio-

nada, ao contrário, pode diminuir as freqüências naturais do sistema. Tais problemas

podem ser formulados em temlOS de coordenadas generalizadas e a técniea de soma

de modos.

Consideremos a vibração forçada de qualquer uma estrutura de uma dimensão

(isto é, uma coordenada x para definir os pontos sobre a estrutura) excitada por

uma força por unidade de comprin1ento [(x,t) e momento por unidade de com-

primento M(x, t). Se conhecemos os modos normais da estrutura, Wj, e 'Pj(x),

sua denexão em qualquer ponto pode ser representada por

y =q;/x)e'Wj'

'fi "" lfI/x)eiWj

'

-OJJ1'f1j =:X<EI'fl~) -\- kAG(q;~ - 'fIj)

-wJ.mq;j ,= :')kAG(q;~ - 'fIj»)

Os lados direitos deste grupo de equações são os coeficientes das coordenadas gene-

ralizadas qj nas equações da vibração forçada, de modo que podemos escrever

as Eqs. (9.7-3) na fonna

J :L :qj'flj =-:L : qjOJ}J'fIj -\--~l(x, t) j j

m : L :q/Pj =-:L : qjOJ]mlflj -\- p(x, I) j j

onde a coordenada generalizada q j deve satisfazer a equação

ij,(t) -\- OJ;q.(t) == A ~ J f f(x, 1)q;,(X) tlx -\- f M(x, 1)1fI;(X)IIxJ

O lado direito desta equação é 'I/M j vezes a força generalizada Qj, a qual pode

ser detenninada por meio do trabalho virtual das cargas aplicadas como Qj = =

= = 'o W /o q j 'Se, no lugar de cargas distribuídas, temos uma força concentrada F(a, t)

e um momento concentrado M(a,t) em algum ponto x = = a, a força generalizada

para tais cargas é encontrada por meio de

ó W ,=F(a, I) óy(a, t) -\- M(a, I) óy'(a, I)

= = F(a, I) : L : 'P,(a) óqj + M(a, I) 1: ço;(a)óq,.; I

Multiplicando estas duas equações por 'Pj dx e Ij; j dx, somando e integrando,

obtemos

: L : qj f i (m'Pjlfll -\- J'fIj'fl,) dx -\- : L : qjOJ] r (mq;jq;, - 1 - J'fIj'fl,) dx) o J o

=(p(x, 1)I fI ,IIx - 1 - ( ~l(x, t)'fI, dx

Se os q nestas equações são coordenadas generalizadas, eles devem ser coor-

denadas independentes que satisfazem a equação

314

Q, '7 ~~ = F(a, 1)IfI,(a) + M(a, 1)1fI;(a)



Estas equações formam o ponto de partida para a análise das estruturas vinculadas,

desde que as restrições sejam representáveis como cargas externas sobre a estrutura.

Como um' exemplo, consideremos prender uma mola torcional e linear à vigasiJpplesmente apoiada da Fig. 9.8-1. A mola linear exerce sobre a viga uma forçaigual a

Então, em vez da Eq. (9.5.2), obtemos a equação

iM O + w,zq,(/) = ~-[F(a, I)rpi(a) -I- /I'/(a, I)rp;(a)]I

I~.rA ;;

r---- x·_-~

Desta maneira, em lugar da Eq. (9.8-8), obteríamos a equação

q ='I ( .! .Jw'mo9,(a) ~ ri/p/a) 7.i.' :,(:)7 - (:J-F__. j ....J

F(a, I) = -ky(a, I) = -k I: qJI)rpJa)/ Exemplo 9.8-1

Dar uma aproximação de modo único para a freqüência natural de uma viga

simplesmente apoiada quando ligada a uma massa mo em x = 1/3.

Solução: Quando é usado apenas um modo, a Eq. (9.8-lU) é reduzida a

M,(w; , - w')·= W'/1Iorp;(a)

Resolvendo para W2, obtemos

M (a, t). = - Ky'(a, t) = - K I : qJt)rp~(a) j

I

1 + ~rp;(a)M,

Temos para o primeiro modo da viga não·vinculada

Substjtuindo estas equações na Eq. (9.54), obtemos

q , . . : . w;q, = A r : i-kç',(a) Lqjç'/a) - Kç;(a) r:qj~;Ca)"I . IL j J_

,) /T 7CX9,~X =., -sen y

ç'.( !...) = ..,;7sen : : = .../2 x 0,866 '\ 3/ J

Jf, =J!=massa efetiva

Assim, sua substituição na equação acima dá o segunite valor para a aproximação

de modo único para a viga vinculada

( W ) ' Iw, = I + J ,5~Q

O mesmo problema tratado por meio da equação de Dunkerley no Exemplo 7.5-5

deu para esta relação o resultado

Os modos normais dos modos vinculados sao harmônicos também e assim podemosescrever

Se usamos n modos, haverá' n valores de qj e n equações tais como a (9.8-8).

O determinante formado pelos coeficientes de q j conduzirá então às freqüências

naturais dos modos vinculados, e os perfis dos modos da estrutura vinculada são

obtidos pela substituição do q j na Eq. (9.8-1).

Se, em lugar de molas, uma massa mo é colocada num ponto x = a, con.forme a Fig. 9:8-2, a força exercida por mo sobre a viga é

I

_\- 16/110

'M

Um míssil é vinculado numa plataforma de teste por molas lineares e tor·

cionais, conforme indica na Fig. 9.8-3.



I,..;<lJ?(a), "'i' D,(o))

K 2 : ~ia)cIJ,(a)i D/01)

O pcrfil do modo duplamcntc'livre é dado cntão por

/(0)

)'(0)

,'" ()'" . , t' 1"(0),,,,( )" ((

'\'>'i a '>'i(X) I J\ -'(-)''>', a..•>,.I') y x) 'CI: yaY(o) , D,(m}

Formular o problema invcrso que é . o de determinar scus modos duplamente

livres por meio dos modos normais do míssil vinculado, os quais são designadoscomo '* 'i e ni ·

Solução: O problema é abordado de uma maneira semelhante àquela do problema

direto onde, em lugar de <P i e wi' utilizamos '* 'i e ni . Livramos agora os vín·

culos dos suportes ~Ia introdução de forças opostas -F(a) e -M(a) iguais a

ky(a) c Ky'(a). A fIm de resolver este problema com maior detalhe, começamos

com a equação

Exemplo 9.8·3

Determinar os modos vinculados do rn[ssil da Fig. 9.8·3. utilizando somente

o primeiro modo duplamente livre ":1 (x), Wl, junto com a translação < P T == 1, nT = ° e rotação < P R = x. nR = 0, oJlde x é medido positiva·

mente no sentido da cauda do míssil.

-F(a)1>;(a) - M(a)1>;(a)q, = M,nw - (01/ny]

M T = J dl/l ,~ M

Mi< ' f x' dl/l ,.. /.'0 Mp'

M, ' . f q>;(x) <11/1 M

que substitui a Eq. (9.8.8). Fazendo Di/w = Minl(i - (w/ny], o deslocamen·

toemx=aé

( ) _ "cIJ( )- _ " -F(a)1>f(a) - M(a)1>;(a)1>,(a)

y a - Lr ,a q, - L.r D,(01) onde o modo < P l (x) foi normalizado de maJleira que M1 = M = massa efctiva.

Os fatores Di depcndentes da frcqüência são

, ( ) _ " ky(a)<lJ1'(a) -I- Ky'(a)1>;(a)1>;(a) ya - L . r DlO1)

ira) = I: ky(a)cIJ;(a)cIJ;(a) -I- Ky'(a)1>;'(a)

, ' D,(01)

y(a)[ 1 - k I: 1>1'(a)J = y'(a)K 2: 1>';(a)1>,(a), D,(01) ,D,(01)

y(a)k :I : cIJ;(a)cIJ,(a) ~~y'(a)[1 - K : I: 1>;'(a)J, D ,( 01 ) i Di(01)

A equação da frcqüência para este problema é a mcsma que a do Excmplo 9.8·2,

excetuados os k ncgativos quc são su'bstituídos por k positivos c <p(x) e w

substituem <I>(x) e n. Substituindo cstas quantidadeS na equação da frcqüência,

tcmos



(I- M:'2,[~ + ~ - ~.J}{I __~[_I tp',2(a)]}~ A p2.1. ( I - . 1. t Mw; p2 .1. - (J -.1.)

- ~{=!!. -L ~ (a) tp ,(a) }2 ~ O M2W : p2.1.' (1 - À) --

devem representar funções de- influêneia, onde a (a, x) e Ma, x) são as deflexões

em x devido a uma unidade de carga e momento unitário em a, respectivamente.Podemos reescrever, nestas condições, a Eq. (9.9-2) na forma

.1.2

( 1 - . 1.) - 1 - (M:;)[ tp;(a) - /- ~ tp?(a)]. . t 2 - (M:;)[ I - + ;~ - + k~2]..to -.1.)

+ (-kf k~2 (I - . 1 . ) - (M::r ~ ,1.{tp',2(a) + ) 2 [tp,(a) -- atp'.(a)J2} = O

São de interesse, alguns éasos especiais da equação acima e meneionamosum deles. Se K = O, a equação da freqüência simplifica para

y(x, I) =F(a, I)a(a, x) 1 - M(a, t )f i( a , x ) _ L : q,(tZ;(X)

. 1 . 2- { I + ( - - " - ) [ 1 + a2

+ tp;(a)]}.1. _ 1 _ ( ~ - - , ) ( I -+ ( 2) =O Mw; p2 _ MWj p2

Aqui x = a podia ser tomado negativamente de modo que o míssil ficaria pendu-rado por uma mola.

A convergência é melhoráda em relação ao método de soma de modos, pela razãode estar w l no denominador dos termos somados.

No problema de vibração forçada onde F(a. t) e M(a, r) são excitações,a Eq. (9.8-4) é primeiramente resolvida em relação a qi(t), na maneira convencional,

c em seguida substituída na Eq. (9.9-4) para a del1exão. Quanto aos modos normais

de estruturas vinculadas, F(a. t) e M(a , t ) são novamente as forças e momentos

exercidos pelos vínculos, e o problema é tratado de maneira semelhante à da

Seção -9.8. Entretanto, em face da convergência melhorada, menor número de modos

será considerado necessário.

9.9 METODOACELERAÇÃO_MODO

Exemplo 9.9-1

Utilizando o método aceleração-modo, resolver o problema da Fig.9.8-2 deuma massa concentrada mo ligada à estrutura.

Uma das dificuldades deparadas em qualquer método de Soma de modos diz respeito

à Convergência do processo. Se esta convergência é escassa, torna-se neeessário o

emprego de grande número de modos e assim aumentando a ordem do determinante

da freqüência. A tendência do método aceleraçao-modo é a de superar esta dificul-

dade, melhorando a convergência e, em conseqüência, diminuindo o número demodos normais necessários.

•O método aceleração-modo começa com a mesma equação diferenciál para a

coordenada generalizada qi' mas com a ordem rearrumada. Por exemplo, podemos. começar com a Eq. (9.8-4) e escrevê-Ia na ordem

q,(t) =F(a, t)tp/a) -+ M(a, t)~;(a) _ q,(;) (9.9-1) Mi ro, . Mi w, 01;

Solução: Admitindo oscilações harmônicas

F(a, t) = F(a)e'W<

q,(t) = q , e 'W f

y(x, t) = y(x)c'wt

Substituindo estas equações na Eq. (9.9-4) e fazendo x = a,

. j i( a) =F(a)rx(a, a) -+ W2 ~ qi~~a)J j

Substituindo esta na Eq. (9.8-1), obtemos

y(x, t) =L : q,(t)tp,(x),= F(a, t) L : Q!.1(a)tpi~'\-)-+ M(a , t ) L : ~;(a)~,~x) _ L : q,(t)~/x)

, M,w, I Miw, ,w' .

Notamos aqui que se F(a, t) e M(a, t) fossem cargas estátieas, seria zero oúltimo termo contendo a aceleração. Portanto os termos

L : tpl(a)tpl~x) = rx(a, x)i. MiO);

L : tp;(a)tp+\:) =, fiCa, x).Miw,

Visto que a força exercida por mo sobre a estrutura e

F(a) = /I1 ow2 ji(a)

podemos eliminar; (a) entre as duas equações acima, obtendo

F(a)2 = F (a)x(a, a ) -+ W2 L : qjrpj~a)/I1o W j wJ

Se substituímos agora esta equação na Eq. (9.8-4) e admitimos o movimento har-mônico, obtemos a equação



Separamos a viga em duas seções, C D e G ) ,cujas coordenadas são represen-

tadas por IVI, x; IV2, x; e 1/2, x: Supomos que a deflexão para a seção C Dseja

) . [I - mow1a(a, a)J(wl -- W 1)i j, =w 4n~J a) ~ i jJ ~;j a )

que representa um grupo de equações lineares em q k' A série represcntadapela

soma, entretanto, convergirá rapidamente por ter w J no denominador. Em con-

traste com esta vantagem de menor número de modos, há o inconveniente dessasequações serem da quarta ordem em 0.) e não quadráticas ..

Notamos que as duas funções de modos satisfazem as eondições de força e geomé-

tricas nos limites da seção C D na forma seguinte

w,(O) =O w,(l) = P, + P1

w',(O) = O w',(l) = 7 P, + f p ,

" M(O) 2 "(/) _ M( l) _ 2 I 61 ", (0 )= E I = yz P, IV, - EI -YZP'--I ' :P1

"'(0) _ V(O) _ 6 . " '( I) _ V(I ) _ 6w, - EI -l'P1 w'. -ET-l'ho estudo de grandes sistemas estruturais pode ser simplificado pela divisão do sistema·

em subsistemas menores, os quais sào relacionados através das condições de desloca-

mento e força nos seus pon tos de junção. Cada subsistema é representado por funções

de modos, cuja soma permite a satisfação das condições de deslocamento e forçanas junções. Não há necessidade destas funções serem ortogonais ou modos normaisdo subsistema, e cada modo utilizado não precisa satisfazer as condições de junção,desde que a sua soma combinada permita que estas condições sejam satisfeitas. As

equações de Lagrange e, em particular, o método das coordenadas supérfluas, for-mam a base para o processo de síntese.

A fIm de apresentar as idéias básicas do método de síntese modal, vamos

considerar uma viga simples com uma dobra de 90°, exemplo este que foi utilizado por W. Hurty*. Admitimos que a viga representada na Fig. 9.10-1 vibre apenas no plano do p apel.

A seguir consideramos a seção G ) com a extremidade livre como a origem

das coordenadas W2, x. As seguintes funções satisfarão as condições de contornoda seção G ) da viga

w1(x, I) =f/J,(X)p,(I) + <P4(X)P4(t) + f/J,(X)p,(I) +

( x ) ( X ) 4=lp, + T P4 + T P,

U1(X, t) = 1>6(X)P6(t)' +=1 P.

onde 1/2 (x, t) é o deslocamento na direção x.

O próximo passo é calcular a massa generalizada por meio da equação

o T-w, x

I

oT w,

- 1 - - -

_ " ' ~ f ( 2 ;

mu = r m(x)1>Jx)ep/x) dx, o

Temos para a subseção C D

ml' = J~ m1> ,1>1dx = {m( ~ ) 4 dx =O,20ml

111'1= {mep'1>2dx'= J~m(~)'dx~0,166ml=m2'

mu = J~ 1111> 11>2d x ~ { me ; r dx = 0:1428ml

), • Walte: C. lIurty, ",vi?rations or Struct~ra[ Systems by Component Syntilcsis ," lour Engr. Mech. DIV. , Proc. or ASCE (ag05to,1960), pags. 51-69.

)322

A massa generalizada para ~ subseção G ) é computada de maneira semelhanteusando 1 / > 3 e 1 / > 6



PI I~~ o

P2 -I

P,

o l - ~ : ~ ~ :4,50

{~:}= [ C J { ; JP 4 -5,0

Ps 0,50

P. I

A Fig. 9.10-2 mostra os perfis dos modos que correspondem às freqüências

acima. Considerando que a Eq .•(9.l0-12) permite a solução dos autove'tores somente

em termos de uma referência arbitrária, q6 p~de ser detenninado com ql = 1,0.

m/[nl][ji} -I- ~![k]fp} =O

substituímos {p} em termos de {q} da equação restritiva (9.1 0-9)

m/[m][C]fq} + ~;[k][C][q} =O

Premultiplicamos pela transposta [c]'

m/[C]'[m][C][q} + ~';[C]'[k][C]}q} = O

As coordenadas P são obtidas da Eq. (9.10-9) e determinamos os perfis de modos por meio das Eqs. (9.10-1), (9.10-3) e (9.10 4).

Comparando as Eqs. (9.10-10) e (9.10-11), notamos que em (9.10-10) as

matrizes de rigidez e de massa são 6 X 6 (Vide Eqs 9.10-5 e 9.10-6), ao passo que

as matrizes [C]' [ m] [c] e [C]' [ k] [c] na Eq. (9.10-11) são 2 X 2. Nestas

condições reduzimos o tamanho do sistema de um problema de 6 X 6 para um

de 2 X 2 .

Fazendo {q}= _W2 {q}, aEq.(9.10-ll)apresentaaforma

9-1 Mostrar que o fator de carga dinâmica atinge um valor máximo de 2,0 para urna

força constante aplicada subitamente.

9-2 Se urna força constante aplicada subitamente é aplicada em um sistema no

qual o fator de amorteci~entodó i-ésimo modo é t = c/ cc r ' mostrar que

o fator de carga dinâmica é dado aproximadamente pela equação

Os valores numéricos das matrizes [ ajj] e [bijl das Eqs. (9.10-5), (9.10-6) e

(9.10-9) são

[1,1774

[a,)] =[C]'[m][C) =2,6614

[7200

[bJ ) l ~ [C] '[k ] [C] =10:800

2,6614J

7,3206

10,800 ]

19,200

9-3 Determinar o fator de participação de modo para urna força distribuída uni-

formemente.

94 Se uma força concentrada atua em x =a, a carga correspondente por uni-dade de comprimento pode ser representada por urna f~nção delta I ó (x - a).

Mostrar que o fator de participação de modp torna-se então K j = 'P j (a)e a deflexão é exprimível como

Com o emprego destes resultados numéricos, determinamos as <luas freqüências

naturais do sistema por meio da equação característica da Eq. (9.10-12)

W1 = 1 ,1 7 2 , .f!f .

Y(X I) =Pol, '" p,(a)!p,(x) D(I' .' E l "t < P,!)4 "

onde w J = ({3jl)4(EI/MI 3) e ((3jl). é o autovalor da equ'ação do modo

normal.

9-5 Para um binário de momento Mo atuando em X = a, mostrar que a carga

p(x) ç o caso limite de duas funções delta. indicadas na Fig. P.9-S à medida327

fElw2 =3,198" m P



que € tende para zero. Mostrar também que o fator de participação de modo

para este caso é

igualmente (isto é, que o fator de participação de modo é independente do

número de modos), a solução completa sendo

2 F o ' j c o s T - T cos 3 ; - T In(x, I) =/tE (T r D,(~)+ c ; r D3(1) + ...

Se a força do Probl. 9-9 é concentrada em x = 1/3, determinar quais os

modos que estarão ausentes na solução.

No Probl. 9-10, determinar o fator de participação dos modos presentes e

obter uma solução completa para uma variação arbitrária de tempo da força

aplicada.

Considerar uma viga uniforme de massa M e comprimento 1 suportada por

molas iguais de rigidez total k, conforme indicado na Fig. P.9-12(a). Supor

que a deflexão seja

Ki =1dPdlx) I = (ft,l)rp;(x)x •• x x-a

I' I': ; . { b < 6 ( X - a - < )--x-a_____ e

1

!~Â

· 1

9-6 Uma força concentrada Pof(t) é aplicada· no centro de uma viga uniforme

simplesmente apoiada, conforme a Fig. P.9-6. Mostrar que a deflexão·é dada por

_ Pol' "K,rp;(x) .y(x, I) - E/ ~ (P,/)' D,

. 2Pop!sen It-T sen 31t-T "sen 51t-]-

I=l'T 1t4"D,(t) - ('j"iij' DJ(t) + (5104 Dj(I) ...

9·7 Um binário de momento Mo é aplicado no centro da viga do Probl. 9-6,

como indicado na Fig. P.9-? Mostrar que a deflexão em qualquer ponto

é dada pela equação

( X t) = Mo f2 " rp;(a)p,(x) D(I)

y, EI ~ (ft,l}3 . ,

I x . x x I2M

o /2se l) 21T.T s~n 4ltT ,sen 61T.T

= - - - - n - - (2il'5'ID2(t) + (41T.)' D:(I) - ((ii!)'JD6( t) . ..

e escolher <Pl

mostrar que

y(X, I) ~- ip ,(x)q, (I) + ((J2(X)fP2(/)

sen 1 1 '; e ' -P 2 = 1,0. Utilizando a .equação de Lagrange,

ii, + .i.ii2 + w r ,q , = OIt

~.M,Ik k

'2 2'

U 1 1 IqPo .rÃ - r f f f Ltiln.\--1..-.+.-1..-1

2· 2

Figura P.9,8.

~ " - - " ' I ~ 0,53 f -

9-8 Uma viga uniformesimples!llente apoiada recebe subitamente uma carga

cuja distribuição está indicada na Fig. P.9-8, sendo a variação de tempo uma

função degrau. Determinar a resposta y(x,t) em termos dos modos normais

da viga. Indicar quais os modos ausentes e relacionar' os dois primeiros exis-

tentes.

9·9 Uma barra delgada de comprimento I, livre em x = O e fixa em x = 1

é golpeada longitudinalmente por uma força que varia com o tempo con-

centrada na extremidade x = O. Mostrar que todos os modos são excitados

0,010, 1 0 ,2 0;5 1, 0 2

R '= (~ )' w"

Figura P. 9-12. Duas primeiras freqüências naturais dosistema da Fig. P.9-12.



~ L 3 - i _ - ~ J _ I J3 _ 3

Figura P. 9-15.

onde W~l 1f4 (EI/M P) = freqüência natural da viga sobre suportes rígidos

W2 = k/M = freqüência natural da viga rígida sobre molas22

9-16 Escrever as equações para a aproximação de dois modos ao Prob19-15.

9-17 Repctir o Probl. 9-16, utilizando o método aceleração-modo.

9-18 Mostrar que para o problema de uma mola presa a quaIquer ponto x =a

de uma viga, tanto o método modo-vinculado como ó aceleração-modo resul-

tam na mesma equação quando somente um modo é utilizado, scndo esta

equação

r . , 2 _ r . , 2 1 1 .2 J < _ R _ + _ I ) _ ± _ J _ < R _ - _ J _ ) 2 _ 'l _ '~ _ ~ _ R I~ - ~n 2 1 ' 11.2 ~ 8

Fazer y(x, t) = ( b + sen 1 f X ) q e utilizar o método de Rayleigh para obter I ' -

~ = b C~ i { ( R - , I) 'F J < R - 1): + ~ ~ R } 9-19 A viga representada na Fig. P.9-19 tem uma mola de rigidez rotacional de K

paI lb/rad na extremidade a esquerda. Utilizando ciois mo'dos na Eq. (9.8-8),

determinar a freqüência fundamental do sistema con1l' uma função de K/Mwlonde W j é a freqüência fundamental da viga sÚnplesmente apoiada.

K 1M 2-~' -'~-=:A-

R = (~ )2Wn

A Fig. P.9-12 (b) representa um gráfico das freqüências naturais do sistema

9-13 Uma viga uniforme, engastada em ambas as extremidades, é excitada por uma

força concentrada Po/(t) no meio do vão, conformc a Fig. P.9-13. Dcterminar

a deflexão sob a carga e o momento de flexão resultante nas extremidades

engastadas.,9-20 Dcterminar a freqüéncia fundamental para o caso dc ambas as extremidades

da viga da Fig. P.9-19 serem vinculadas por molas de rigidez K. À medida que

,K se 'aproxima do infinito,o resultado tende a ser o da viga engastada.

9-21 Um avião é esquematizado sob a forma de uma viga uniforme de comprimento

I e massa ,m por unida~e de _compri.mento, com uma J!lassa conc~ntrada M ono seu centro, conforme a Fig. P.9-l!.

! 9-14 Se uma carga uniformemente ç1istribuída de variação de tempo arbitrária é

aplicada sobre uma viga cantilever uniforme, determinar o fator de partici-

pação dos três primeÍros modos.

9 -1 ;'; Uma mola de rigidez k é presa a uma viga uniforme, conforme indicadona Fig. P.9-15. Mostrar que a aproximação de um modo resulta na equação

de freqüência

======@I=====

Utilizando a translação de Mo como uma das coordenadas generalizadas,

escrever as equações de movimento e estabelecer a freqüência natural do modo

simétrico. Utílizar.o primeiro n:ôdo cai1til~ver par; a.asa.

9-22 Para o sistema do Probl. 9-21, determinar o modo anti-simé'tricó utilizando

a rotação da fuselagem como uma das cóordenada~ generalizadas.

9-23 Determinar à nova freqüênCia no caso de tanques 'de: massa M 1, de ponta

de asa, seremadicionados ao sistema do Probl. 9-21.

G : : , r =1 + 1,5(~ )(::~:1)



Utilizando o método de modos vinculados, mostrar que o efeito da adição de

uma massa ml, com momento de inércia JI, num ponto XI sobre a estru-

tura, é a mudança da freqüência natural WI para

w', = W,

,,)1 + ';,/,qJt(x,) + ' / . d , qJ',2(X,)

e da massa generalizada e amortecimento para

VIBRA CÃO AL EA TÓ RIA

onde uma aproximação de um modo é utilizada para as forças de inércia.

Formular. por meio da síntese modal o pr~blema de vibração da flexão indi-cada na Flg. P.9-25. Admitir que os cantos permanecem com 90°.

/, 10

Tratamos. nos Capítulos anteriores da resposta de sistemas dinâmicos e excitaçlro

deterministas, representáveis por uma função mate~ática de tempo. A resposta a

tal excitação é determinista tambéJn.

Com o desenvolvimento de motores a jato e aeronaves de alta velocidade,

surgiu um novo aspecto de vibração, o da vibração variando de uma maneira aleató-

ria, conforme indicado na Fig. 10.1-1. A característica de tal funçlro é a de que nã'o

podemos fazer o prog nóstico do seu valor instantâneo num sentido deterrninista.

Apesar das suas variações imprevisíveis, muitos fenômenos aleatórios apresen-

tam certo grau de regularidade estatística que toma possível uma abordagem estatís-

tica para o problema. Por exemplo, é possível predizer a probabilidade de encontrar

Um~ barra de seção transve~sal circular é dobrada em ângulo reto num plano

honzontal, conforme indicado na Fig. P.9-26. Utilizando a síntese modal

estabelecer as equações para a vibração perpendicular ao plano da barra:

Notar que a parte 1 está em flexão e torção. Admitir sua flexão apenas no

plano vertical.

~

X



J

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

J

)

)

)

)

)

)

)

o valor instantâneo da resposta dentro de uma faixa especificada de valores x a

x + tu. Outras quantidades, tais como os valores de média e média quadrática,

podem ser 'estabelecidas pcloseu cálculo, e o conteúdo de freqüências da variável

em questão pode ser determinado por vários métodos baseados na análise de Fourier.

. e necessário um grande número de dados para estabelecer ~ confiabilidade em

qualquer método estatístico. Por exemplo, um avião tem de reunir centenas de regis-

tros do tipo representado na Fig. 10.1-12, a fim de estabelecer a estatística da va-

riação de pressão motivada pela turbulência do ar em determinada rota aérea. Deno-

mina-se cada registro de amostra e a sua coleção completa de. conjullIo. Podemos

computar a m6dia das pressões instantâneas no tempo tI' Podemos também multi-

plicar as pressões instantâneas em cada amostra nos tempos tI e ti + T, e tirar a

média desses resultados para o conjunto. Se tais médias não diferem quando escolhe-

mos diversos valores de ti' então o processo aleatório descrito para o conjunto aci-

ma é chamado de estacionário.

número de vezes, ou durante um longo período de tempo. No caso de variáveis dis.

eretas Xi' o valor esperado é dado pela equação

. I "E [x ] ~ ~ ! 1 m - I;x,

li-h" n j"'l

Estas operações de cálculo de médias podem ser aplicadas a qualquer variável

tal como x2 (t) ou x(t) • y(t), e o valor esperado (ou expectativa) é associado à

distribuição de probabilidade da variável.

Há uma relação linear direta entre a entrada e a saída em qualquer sistema linear.

Esta relação, que prevalece também para funções aleatórias, é representada pelá

diagrama de bloco da Fig. 10.2-1. O sistema, caracterizado por sua função de trans-

~.~-

ferência (Vi de Eq. 4.4-4) e modifica a entrada para a saída.

Considerando um sistema mola-massa de um grau de liberdade com amorte-

cimento viscoso, definido pela equação diferencial .

vimos (Capítulo 3) que a solução geral cOllsiste do termo transiente, o qual depende

das condições iniciais e diminui com tempo devido ao amortecimento, dependendo

a solução particular da excitação. (Vi de Eq. 3.2-11). Dcfl11imos agora a função da

resposta da freqüência como: a relação entre a saída e a entrada sob as condições do

estado permanente, com a entrada igual a uma função llamzúnica de tempo com am-

plitude unitária. e assim excluída nesta consideração a solução transiente.

Sendo a entrada

Se ~ médias do' conjunto são em seguida substituídas por médias de tempo,

e se os resultados computados de cada amostra são os mesmos que os de outra amos-

tra qualquer e iguais à média do conjunto; então o processo aleatório é denominado

de ergódico. Este capítulo tratará somente desta classe de funções aleatórias, para

as quais a média de tempo pode ser adotada com imutabilidade assegurada.O conceito de média de tempo em todo este capítulo refere-se a longo interva-

lo. As notações mais comuns para esta operação são definidas pela seguinte equação

na qual x (t) .é a variável.

-." I J T xC!) = (X(I» = lim -T X(I) dI

r . . . •o < > o

O número acima é igual também ao valor esperado de x(t),

definido como a média ou valor. médio de uma quantidade

334

ou E[x(t)], o qual é

amostrada um grandesua substituição na Eq. (10.2-1) resulta na função da resposta da freqüência H(w)que é



IH(w) =k ~---f-n-())~2-.-t.-l-·())-C número e do seu conjugado complexo, simbolizando por ~. podemos reescrevera

Eq..(lO.2.7) na forma

Notamos que H(w) é uma função complexa de w/wn e do fator de amorteci.

mento t, e tem as dimensões de deslocamento sobre força.* * O valor absoluto

desta quantidade é dado pela Eq. (3.2.7) e sua variação com a freqüência e o amor.

tecimento é representada graficamente na Fig. 3.2·3. Para amortecimento pequeno,

seu pico ocorre para w/ wn ~ 1,0 e a agudeza da curva de ressonância é definida por Q = 1 /2 t.

Valor Quadrático Médio. As condições iniciais e a fase t/J são ignoradas nas vibra.

'ções aleatórias por sua pequena significação. Estamos preocupados principalmentecom a energia média, a qual podemos associar à média quadrática de x. O valor

quadrático médio, designado pela notação x2 , é encontrado pela integração de x~

'num intervalo de tempo T e tomando seu valor médio de acordo com a equação

Assim, elevando ao q\ladrado e substituindo na Eq. (10.2·5), o valor quadrático

médio de x é

x2 = F~ li m J . . . I r (H2 e'2"" + 2HH* + H*e -12 "" ) dt 4 r-~ T o

= F~ H(w)H*(w) =PI H(w ) 1 22

-' I I r x2 =t im - x2 dir-- T o

Na avaliação acima, o primeiro e o último termoS tornam·se zero porque T -+ - 00 no

denonúnador, ao passo que o termo do meio é independente de T. A Eq. (10.2.9)

indica que o valor quadrático médio da resposta é igual ao valor quadrático médioda excitação multiplicado pelo quadrado do valor absoluto da função da respostado sistema.

Esta equação pode, evidentemente, ser aplicada à força excitadora ou à resposta.Por exemplo, se temos uma força harmônica F = Fo sen wt, seu valor'quadrá.tico médio é

P=fim ~ J r Fi(l .- cos 2wl) di ... F~. r.",T 02 ····2

Para deteTnúnar a relação entre a média quadrática da resposta e a média

quadrática da excitação, começamos com a equação da resposta

As vibrações aleatórias contêm freqüências numa distribuição contínua sobre uma

faixa larga. : e de interesse na vibração aleatória a quantidade de energia representada

nas divçrsas freqüências. Abordamos este problema considerando inicialmente umafunção periódica 'F(t) que contém muitas freqüências discretas. Ela pode ser representada pela parte real da série

adnútindo que estamos interessados na parte real da expressão acima. Uma vez que

para qualquer número complexo a· parte real é igual a uma metade da soma do

onde F n é um número complexo, e R e significa a parte real da série". Escrevemos

esta equação em termos do seu conjugado complexo na forma

'Muitas vezes o fator dimensional O!k na Eq. 10.2-4) é.considerado junto com a força,deixando a função da resposta da freqüência como uma quantidade não-dimensional

e deteTnúnamos seu valor quadrático médio a seguir ~

}{(w) = ~I- ( ! ! ! . . ) + i 2 C ( . . " : ! . . )

W n . <O"

"No exemplo 10.6'3, a função da resposta da freqüência é apresentada também comosendo a transformada de Fourier da função da resposta do impulso.

336



Ne.stascondições, o valor quadrático médio da onda de·muitas freqüências é simples-

mente a soma dos valores quadráticos médios de cada componente harmônico presen-

te, sendo o resultado um espectro discreto de freqüência conforme indicado pela

figo 10.3-1. *

p=[S(f)df

Se uma força excitadora Fneinw.t atua sobre um sistema com função daresposta da freqüência H(w), sua resposta, conforme a Eq. (10.2-7) é

i .:. " ' 1 I.ó.W Ik. N H

tf; I~LJ~l1~j w

O Wo 2w o 3w o : flW o:

I II I

Assim, para um entrada de muitas freqüências, a resposta quadrática média é a super- posição da totalid ade de tais valores ou

Examinamos a seguir a contribuição da média quadrática no intervalo defreqüência. Âw. Sendo S(nwo) a densidade do valor da média quadrática no inter-

valo Âw na freqüência nwo, obtemos

- FF*X" = I; TH(nwo)H*(nwo)

. .= I; SF(nwo)H(nwo)H*(nwo)ô'W

F F*S(nw ) =---"-"o 2ô,w

1 ' t evidente que quando F(t) contém um número muito grande de componen·tes de freqüências, a função de densidade discreta S(nwo) aproxima-se de uma fun·ção de densidade espectral contínua S(w), tal como a representada na Fig. 10.3-2.

O valor quadrático médio de F é então

p=s : S(w) dw (10.3-6)

achamos que Sx(nwo) é também um espectro discreto, igual à densidade espec-

traI da éxcitação modificada pela função da resposta da freqüência. Desta forma,

SF(nwO) e Sx(nwo) podem aparecer como na Fig. 10.3-3. No caso de um espec-tro contínuo, o somatório da Eq. (10.3-9) é substituído por uma integral e a respostaquadrática média é dada pela equação

x"= r S(w)H(w)H*(w) dwo .

Sp (nwo)1

~o w

1 1 1 1 1 "'Especificamos na Eq 00.3-1) a parte da sérieque é expressana Eq. (10.3-2).Assimum número inteiro positivoe o espectroda Fig.10.3-1 é definidona base de freqüênciase não deambasasfreqüênciaspositivase negativas.



Na prática, a função da densidade espectral é dada geralmente em termos dafreqüência f = w/2rr cps e, em conseqüência, a equação toma.se é um registro aleatório de banda estreita que é típico da resposta de um sistema

agudamente ressonante a uma entrada de banda ampla. Sua função de densidade

espectralé concentrada em torno da freqüência da variação instantânea dentro d~envoltória.

Pode-se medir eletronicamente por meio do circuito da Fig. 10.3·7 a densidade

espectral de um determinado registro. Aquí a densidade espectral é mencionadacomo a contribuição do valor

x2=( S(f)H(f)H*(f) di

1

k H(f) = [l - uIJ:n + i(2CUlfn)]

Num sistema ligeiramente amortecido, a função da resposta H(f) vai ao má.

ximo abruptamente na ressonância e, se é larga a densidade espectral da excitação,como na Fig. 10.3-4, a resposta quadrática média pode ser aproximada pela equação

- l W + A Wx'

wS(w)Aw

x2 ;;; /"S(/,,) :,

As Figs. 10.3-5 e 10.3·6 representam funções de densidade espectral caracterís-ticas para dois tipos comuns de registros aleatórios. O primeiro é um registro relativo

a ruído de banda ampla que tem uma larga função de densidade cspectral. O segundo

S(w) = Iim Ã(x

2

) Aw -o dw

O mtro de banda-passante da banda passante B = dw passa xCt) no intervalo de

freqüência de w para w + Àw, e a saída é elevada ao quadrado, tirada a média, edividida por dw.

Para alta resolução, dw deve ser tão estreito.quanto possível; entretanto, a

banda passante do mtro não pode ser reduzid a indefinidamente sem se perd er a con-

fiabilidade da medida. Além disso, um registro longo é necessário para a estimativareal do valor quadrático médio, mas os existentes são sempre de comprimento finito.

341



h evidente agora que um parâmetro de importância é o produto do comprimento

do registro pela largura da banda, 2ET, a qual deve ser suficientemente longa. *

Exemplo 10.3-1

Um sistema de um grau de liberdade com freqüência natural wn = ..jkfíii e

amortecimento ~ = 0,20 é excitado pela forçaA Fig. I0.3~8 apresenta os espectros da entrada e da saída para o problema.

Os componentes da entrada quadrática média são os mesmos para cada freqüência

e iguais a F 2 /2. O espectro da saída é modificado pela função da resposta da fre-

qüência do sistema.F(t) = F co s iW,,! + F cos w,,! + F COS1W,,!

1 : : F cos mw,,!m ,[ 2, ]-, 3.2 i~l I L L ' - - - - - - - - - - - - . .

.". g E

g O 0,5 1,0 1,5.

" - l wjwn

~ I'ro

.g~::l."

~E.~ Oro

' "

Determinar a resposta quadrática média e comparar o espectro da saída com o

da entrada.

Solução: A.resposta do sistema é simplesmen te a soma das respostas do sistema de

um grau de liberdade para cada um dos componentes harmônicos da força excitadora

1,0

wjwnI

IH(F:v.) I T 1.29

J16 1(Õ-:-iO)2k I

I H(w.) I - fl (~ 20)2 2 .~ 0

I

IH(1w,,) I.. T, ~ ;7 J:J HT 9T ó- ;O -2 ? "

4 > ': 2 = tg- I~( =0,08371

r / J , = tg-I 00 ..00,5071

A. __ 1-12(_., 0142'I' J 2 - tg ~ - .. -, 71

Exemplo 10.3-2

Deternúnar os coeficientes de Fouder Cn ~ a densidade espectral de potência

da função periódica representada na Fig. 10.3·9.

i c D ~ F _ o ~_ _ ~ 4t I I 1 <

" 2T--' I

x(t ) "" : [1,29cos(0,5wn - 0,08311)

+ 2,50 cos (wnt - 0,5011)

+ 0,72 cos (l,5w,,! +0,14211)]

1 I T I l . FCo =-- F o d e ; , = ....!l

2T. -T:2 2

c =,.l- Iri2 F e··.!"""{ dç.'= 'F o (' seli (~n/2»)" 2 T _Ti 2 o ' . 2 nn/2,.

, . ; , .

'Vide Bendat, J. S. e A. G. Piersol em "Random Data" Wiley lnterscience, Nova lorque

\ ( 1971) pág. 96.

342

Os valores numéricos de C n são computados a'segUire'representados na·Fig. 10.3-10

343



0,'127.- -

./4 5 6- 0.212

2F. C n

1,0

tempO total em que x(t) é menos que XI, a qual é a propabilidade de que xCt)será encontrada menos que XI'

Figura 10.3-10. Coeficientes de Fourier em função de n.

"" "" C nn "2 sen 2

O O O 0. = 100.2 . 2

" 1 (2 ) !:!! =06360.'2"2 ' 2

2

" O O3 3~ -I ( _ .2 .) !:!! = -O 2l2~2 3" 2 . 24 2" O O5 5~ I (2 ) !:!! = O 127~2 5" 2 ' 2

P(x,) =Probo [x(t) <xJ

.' . I=hm- L ;Â t,t-~ t

Se é escolhido para XI um número grande negativo. não haverá prolongamentonegativo da curva além de x I, e por esta razão P(x 1 -+ - 00) = - O. À medida que a

reta horizontal correspondente a Xl é movida para cima, mais de·x(t) se estenderánegativamente além de XI. e deverá crescer a fração do tempo total na qual x(t)

estende-se abaixo de Xl. conforme indicado na Fig. 1O.4-2(a).Quando X -+ 00,

x(t) estará integralmente na região menos que x = 00, e em conseqüência é certaa probabilidade de x(t) ser menos que x = 00, ou P(x = 00) = 1,0. Nestas con-dições, a curva da Fig. 1O.4-2(a) que é cumulativa para x positivo deve crescer

monotonamente de zero para X = - 00 até 1,0 para x = + 00.' A curva é deno-minada função de distribuição da probabilidade cumulativa P(x).e uma vez que f- ; = J '; ; StC w) d w, < I função da densidade espectral pode ser repre-

sentada por uma série de funções delta como

Com referência à função aleatória de tempo da Fig. 10.4-1, qual é a probabilidáde

do seu valor instantâneo ser menos que (mais negativo do que) algum valor especifica-

do de Xl? Para responder a esta pergunta, traçamos uma reta horizontal no valor especificado x I e somamos os intervalos .de tempo I::iti durante os quais x(t) é.

menos que Xl' &ta soma dividida pelo tempo total representa então a fração do344



f\ f\' f\ (\1A\TVV

-- -- -- ~ ~ x ll~ 7 -- - - = 1 - = ,o

L,. 0

para zero. Quando N o /2M = = O , a distribuição de densidade da probabilidade dos

valores de pico torna-se Gaussiana, ao passo que quando N o /2M = = 1, como no

caso da banda estreita, a tendência da distribuição de densidade da probabilidade

dos valores de pico é para a distribuição Rayleigh.

Uma especificação para teste de vibração aleatória estabelece para

Valor médio da aceleração = = O

Densidade da aceleração, 0,025 g2 cps

Faixa da freqüência, 20 a 2000 cps

Determinar o valor rms da aceleração.

~,O

Solução: O valor rms da aceleração é· a raiz quadrada do prodúto da deilsidade

da aceleração pela largura da fab.a .

No caso do registro de banda-larga, a anlplitude, a fase e a freqüência variam

rodas .aleatoriamente e não é possível uma expressão analítica para seus valores

instantâneos. Encontram-se tais funções em ruído de rádio, na flu tuação da pressão

do motor a jato. na turbulência atmosférica. ete., e a distribuição mais provável da

. probabilidade para tais registros é a Gaussiana.

Quando um registro de banda-larga é colocado através um fi1tro de banda-

estreita. ou um sistema de ressonância onde a largura da banda do filtro é pequena

em comparação com sua freqüência central [o, obtemos o terceiro tipo de onda

que é essencialmente 'uma oscilação de freqüência constante, com amplitude e fase

variando lentamente. A distribuição da probab;lidade para seus valores instantâneos

é a mesma que a da função aleatória de banda larga. Entretanto, os valores absolutos

dos seus picos, correspondendo à envoltória, terão a distribuição Rayleigh.

Outra quantidade de grande interesse é a distribuição dos valores de pico.Rice*mostra que a distribuição dos valores de pico depende da quantidade N o /2M

onde No é o número.decruzamentos zero e 2M é o'número de picos positivos c

negativos. Para uma onda senoidal ou uma banda estreita, No é igual a 2M de m0do

que a relação N o /2M = = 1. Para um registro aleatório de banda-larga, o número de

picos excederá de muito o número de cruzamentos zero, de modo que N o /2M tende

I p(x) c= 11 . . .. / A2 _ Xi

=0

Exemplo 10.4-2

Um sinal aleatório tem uma dellSida(;~ e>pectía! que é constante

en tre 20 e 1200 eps, e zero fora desta faixa de freqüência. Seu valor médio

é de 2,0 pol. Determinar seu desvio padrão e seu valor nus.

Soluç50: Se o valor médio n,tro é zero, temos que usar a Eq. (1 DA· 7)

f ~ f l 2 0 0 .

(;2 = S(f) d I = 0,004 d[ = = 4,72(l . 20 '



S(f)

(X)' '= 4

ITabela Numérica

j !:.j S(!i) Ilf(!il I \lf(!ilI2 !:.j S(!i) Ilf (!iW M

cps cps g2/cpS Não-dimensional cps g' unidades

O 10 O 1,0 10 O

10 10 O 1,0 10 O

20 10 0,2 1,1 12,1 2,4

! 30 10 0,6 1,4 19,6 11,8

t 40 10 1,2 2,0 40 48,0

50 10 1,8 1,3 16,9 30,5

60 10 1,8 1,3 16,9 30,5

70 10 1,1 2,0 40 44,0

80 10 0,9 3,7 137 123

90 10 1,1 5,4 291 320

100 10 1,2 2,2 48,4 57,7

110 10 1,1 1,3 16,9 18,6

120 10 0,8 0,8 6,4 5,1

130 10 0,6 0,6 3,6 2,2

140 10 0,3 0,5 2,5 0,8150 10 0,2 0,6 3,6 0,7

160 10 0,2 0,7 4,9 0,1

170 10 0,1 1,3 16,9 1,7

180 10 0,1 1,1 12,1 .1,2

190 10 0,5 0,7 4,9 2,3

200 10 O 0,5 2,5 O

'210 .'10 O 0,4 1.6 O

ã2 = 7oo.6g2

(1 = ./7oo,6g2 = 26,6g

As probabilidades de haver excesso sobre acelerações especificadas s[o

p [la I> 26,6g] "" 31,7% p [la I> 79,8g] = = 0,3%

p [a p ic o > 26,6 g] = 60,7% p [a p ic o > 79,8g] = = 1,2%

Exemplo 10.4-3

A resposta de qualquer estrutura a uma excitação aleatória em um ponto

único pode ser computada por um processo numérico simples, desde que sejam

conhecidas a densidade espectral da excitação e a curva da resposta da freqüên-

cia da estrutura. Considere-se, por exemplo, a estrutura da Fig. 10.4-9(a)

cuja base é sujeita a uma entrada de aceleração aleatória com a função dadensidade espectral de potência representada na Fig. 10A-9(b). Deseja-se

. computar a resposta do ponto p e estabelecer a probabilidade de haver exces-

so sobre qualquer aceleração especificada.

Pode-se obter experimentalmente a função da resposta da freqüência H(j)

para o ponto p, aplicando-se à base um agitador senoidal de freqüência variável com

\ uma entrada da aceleração constante ao e medindo-se a resposta da aceleração em

p. Dividindo·se a aceleração medida por ao. H(j) aparece como na Fig. 10.4-9(c)~

A resposta quadrática média a~ em p é calculada numericamente por meio

da equação

Correlação é uma medida da similaridade entre duas quantidades. Suponhamos

que temos dois registros, XI (t) e xz(t), conforme a Fig. 10.5-1. A correlação

X I ( I ) \ _ ~ . ~

p~~~ro~' '.~c-. ~

COO-.J '"' ........,.~

Figura 10.5-1 Correlação enlre x, (t) e x,(I).A tabela numérica seguinte ilustra o processo de computação.

352



entre eles é computada pela multiplicação das ordenadas dos dois registros em cada

tempo t e determinando o valor'médio <XI (t)X2 (t) > pela divisão da soma dos

prodUtos pelo seu número. É evidente que a correlação calculada desta maneira será

maior quando os dois registros forem similares ou idênticos. Para registros dissimila-

res, alguns produtos scrão positivos e outros negativos, e assim',sua soma será ~;enor.

Consideremos agora o caso em que X 2 (t) é idêntico a Xl (t) mas desl.ocado

para a esquerda de um tempo r, conforme a Fig. 10.5-L Então no tempo t, quando

XI é x(t), o valor de X 2 é x(t + r), e a correlação será dada por < x(t)x(t + 7) >.Aqui, se r = O , temos correlação completa; à medida que r aumenta a correlação

.vai decrescendo.

É evidente que o resultado acima pode ser computado por meio' de um,registro

único, multiplicando-se as ordenadas nos tempos t e t + r e determin:mdo a mé·dia. Designamos então este resultado a autocorrelação e a chamamos por R (7),

Ela é

R(r) = E[x(t)x(t + r)] = <x(t)x(t -I - '7 ; )

I J T ! l=~i~T -Til X (I)X (I + r) di

Visto que o segundo registro da Fig. 10.5·2 pode'ser considerado como atrasado em

relação ao primeiro registro, ou o primciro adiantado em relação ao segundo, é evi·

dente que R(r) = R( - '7) é simétrico em relaçãO à origcm 70= ° e é sempre

menos que R(O).

Funções altamcnte aleatórias, tais como a representada na Fig. 10.5-3 perdem

logo sua similaridade dentro de,um deslocamento curto de tempo. Sua autocorrela-)354

)

ção, portanto; é uma ponta aguda em 7 = ° que cai rapidamente com ± 7 como'indicado.

~t'

Para o caso especial de uma onda periódica, a autocorrelação deve ser periódica

do mesmo pcríodo uma vez que se deslocando a onda de um período ela volta àcoincidência novamente. A Fig. 10.5-4 mostra uma onda senoidal e sua autocorre·lação.

A' R(T) =""2cos WoT

A autocorrelação para o ruído de banda larga é uma curva com o pico em

7 = O , caindo de cada lado muito rapidamente e aproximando-se de zero. Isto signi·

fica que a correlação ou não existe ou é pequena, exceto perto de r = O , para osregistros aleatórios de banda larga.

,Para o registro de banda estreita representado na Fig. 10.5·5, a autocorrelação

tem aIgumas das caiacterísticas encontradas para a onda senoidal, no sentido de que

ela é novamente urna função p~r com um máximo para r = ° e freqÜência wQ'

correspondendo à freqüência dominante ou central.'

Rcsposta de banda estreil.

r fD rh'anf 7 1 r: A W t

. , V .V JIX 1l _ \ 1 - V = v J [ L

A diferença aparece riO fato de R(r) aproximar-se de zero para r grande no ca-

so de registro de banda estreita. É evidente então que periodicidades ocultas num355



Daqui em diante usaremos sempre que possível esta expressão simétriea da transfor-

mada de Fourier.

Teorema de Parseval. O teorema de Parseval é um intrumento útil para eonverter

integração de tempo em integração de freqüência. Se XI (f) e X2 (J) são transfor-

madas de Fourier das funções reais de tempo XI (t) e X2 (t) respectivamente,

o teorema de Parseval estabeleee que

A freqüência w = nwo é especificada aqui em intervalos discretos, e por isto

o seu incremento é

L. x,(I)X 2(1) dI =[. XI (J)X,(- f ) d f

' .' ~ [~ XI (- f )X ,U ) df De acordo com esta expressão, substituímos 1fT por !:J.wf21f e notamos que

T -+ 00, !:J.w -+ d w e r-wo -+ w. Assim no easo limite, a Eq. 00.6-3) tarna-se

X1(I)X,(I).c x,(1)

r " X, (J)ei

"/' df ,

f xl(t)x,(1) dI r ~ , " , x,(I) [M X ,U)e "' /' d f d I

..L.. X,(f)[L. x,(I)e"·/t dI] df

=[" X,(J)X 2(-f)df

que é a integral de Fourier.

Considerando que a quantidade dentro das chaves internas é uma funçãosomente de iw, podemos reescrever esta equação em duas partes a seguir

X(iw) =r~x(ç)e"iw{ dç (I0.6-5)

X (I) = i - f · " X(iw)eiwr dwn _~

Todas as fórmulas anteriores para o valor quadrático médio, autocorrelação e cor-

relação cruzada podem ser expressas agora pelo teorema de Parseval, em termos da

transfo'rmada de Fourier.

A quantidade X(iw) é a transformada de Fourier de x(t), e as duas equações acima

são ,denominadas como o par da transformada de Fourier. A Eq. (10.6-5) reduz a

função· x(t) a seus componentes harmônicos X(iw), enquanto a Eg. 00.6-6) reúne,estes componentes na função original x(t).

Para medidas na prática, é mais conveniente adotar a freqüência f do que a

freqüência angular w.· Desta forma, há também matematicamente a vantagem de

-reduzir o par da transformada de Fourier às expressões simétricas abaixo

Exemplo 10.6-1.

Expressar o valor quadrático médio em termos da, transformada de Fourier.

Fazendo x I(t) = X2 (t) = x(t), e tirando a média no intervalo T, que pode

variar até "", obtemos

Daqui em diante usaremos sempre que possível esta expressão simétrica da transfor·

mada de Fourier.

358

Exemplo 10.6·2.

Expressar a autoeorrelação em termos da transformada de Fourier. Começa-

mos eom a transformada de Fourier de x(t + 1)



X(I + 't}=S : o o X(f)eI2>[(/h) di

I f o oR(-r) =~~~T _00 X(I)X(I + r)dI

= li m 1- J o o x(l) f o o X(f)e '2>[t el2>[T di dI r-oo T -00 _00

= J o o lim 1 - { J o o x(l)e' 2.[t dl}X(f)e ,2.f< di-00 T-M T -00

= f o o " f 1im 1 - X*(f )X(f) }e i2.[T di, _00 (r _ oo T

Sendo R(r) simétrica em relação a r = O, a última equação pode ser expressatambém na forma

. S(f) = 2 5 : R(r) cos 21tfor dr

Estas são as equações de Wiener-Kinchin, e elas exprimem que 'a função da densidadeexpectral pode ser determinada pela função de autocorrelação.

Paralelamente às equações de Wiener-Kinchin, podemos definir a correlaçãocruzada entre duas quantidades x(t) e y(t) como

I f T / 2';:,lr) = <X(/)Y(I + r» = lim -T X(I)Y(I + r) dI r - o < > -T/2

= f o o lim 1- X *(f)Y(f)e I2>[T di-00 T-oo T

Rx/ or) =f o o Sxy(f)ei2.[T df

onde a densidade espectral é definida como360

SXy(f) == ~ i_ ~ ~ X*(f)Y(f)

=~i_~ ~X(f)Y*(f)

=S':,(f) = Sx/-f)

quc é a paralela à Eq. (10.6-12). Ao contrário da autocorrelação, as funções de

correlação cruzada e densidade espectral cruzada não são geralmente funções pares.

Portanto, são mantidos os limites - 00 a + 00. '

Exemplo 10.6-3

Mostrar que a função da resposta da freqüência H(w) é a transformada deFourier da função da resposta do impulso g(t).

Solução: De acordo com a integral de convolução, Eq. (4.3-1), a equação da resposta em termos da função da resposta do impulso é

X (I) = LJ(ç)g(1 - ç ) dç

onde o limite inferior foi estendido a - 00 para abranger todas excitações passadas.Fazendo r = (t - ~). a integral acima toma-se

X(I) = s : f (1 - r)g(r) d o r

X (I) =s : eiw(/-')g(r) d o r

=ei~1 ( g(or)e- iWT dr

A comparação deste resultado com a Eq. (10.2-3) mostra que a função da resposta

da freqüência é

H(w) =,f '~ g(or)e-iWT d o ro '

Densidade Espectral pela Transformação de Laplace da Autocorrelação. Usaremos

até aqui as transformadas de Fourier supondo que elas existem para o registro' em

questão. Para as transformadas de Fourier



S(s) =r . , R(r)e-" dr I J ~ f(l) = - F(w)eiwt dw

2 7 1 : _ ~

F(w) =r~ f(l)e -iW ' dI

Uma vez que R (7 ) é uma função simétrica, o limite inferior pode ser mudado para

zero e dobrado o valor da integral.

S(s) =2 r : R(r)e-" dr a integração é ao longo do eixo real, de - 00 a + 00.

Suponhamos a mudança do curso da integração para uma reta paralela ao eixo

real, mas abaixo dele uma distância r, como indicado na Fig. 10.6-1 (a). Os limitesda.integração Nestas condições, a função da densidade espectra/ pode ser determinada pela tranS-

form ada de Lapla ce da [ ulIçã o de auto corre laçã o. Para as funções de autoeorrelação

que não têm a transformada de Fourier, a equação acima oferece um processo alteronativo para a avaliação da função da densidade espectral S(i21Tf).

10.7 RESPOSTADE ESTRUTURAS CONTINUAS A

EXCITAÇÃO ALEATOR(A

Consideramos aqui o problema da determinação da resposta quadrática média

y2 (x, t) de uma estrutura elástica contínua excitada por uma força aleatória f(x, t)

distribuída. Tratando o problema por meio da soma dos modos normais

são então w = - 00 - ir a w = + 00 - ir, e aintegral de Fourier é estendida

para incluir funções para as quais as equaçõ es anteriores não podiam ser válidas.y(x, i) =.2: ~/x)q/I)

j

J J ' ~ - - i r f(l) ~c - F(w)e""' dw2n -'"-i,

onde 4J/x) são os modos normais da estrutura, podemos utilizar o nosso conheci·

mento plhio da resposta do sistema de um grau de liberdade, discutida na Seç. 10.2.

Para isto devemos admitir amortecimento proporcional definido por

Se introduzimos agora .I' = iw, é evidente q~e pontos na Fig. 10.6-1(a) giram

900

como na Fig. 10.6-1(b), e o curso da integração torna-se uma linha vertical a

uma distância r à direita da origem. As transformadas de Fourier tornam-se agorar c(x)rf>/X)rf>k(X) dx =o

.0

f(l) = _ 1 _ . J r f i - " F(s)e" d o i ' 2m r-i"

F(s) =r... f(l)e -" dI

e são assim convertidas no par de dois lados da lransformada de Laptace.

Consideremos a seguir a Eq. (10.6-12) da função da densidade espectral da potência

AI j =s : rf>;(x}dm massa ~eneralizada

Fi/) o, S : f(x ,t)rf>'/x) dx = força generalizada

Com i21Tf = iw = .1', a equação acima é reconhecida como a transformada deLaplace de dois lados

362

Ao estabelecer a resposta quadrática média. de' y(x, t), .devemos considerar

as seguintes somas ..

1·,/!



- I J T ! 2y2(X, I) = li m -T y2 (X, I) dI

T-H>O' -T12

Bretschneider*. A Fig. 10.7·1 pode representar um tal espectro, para um

determinado estado do mar.

Notamos aqui que estamos envolvidos com a correlação cruzada de q/t) e qk (I)

que, pelo teorema de Parseval. pode ser substituída pela integração da freqüênciadas transformadas de Fourier '

I J T ! 2 J = I~i~T -Ti2 q/l)qk(l) dI = _ = ~ ~ r : ? >TQ/f)Qt(f) df

onde as letras maiúsculas representam as T.F. das quantidades correspondentes em

letras rÚinúsculas. De acordo com a Eq. (10.~.15),notamos também que

S.,••C/ ) =~~~~Q/f)Qt(J)

é a densidade espectral cruzada das coordenadas generalizadas, a qual é relacionadaà.densidade espectral cruzada da:orça excitadora, SFjFk(f) (Vide Ed. /0.3.10).

S.,••(J) = Hif)Ht(J)Sp'P.(J)

Na determinação da resposta de uma estrutura de océano a tal excitação, um

caminho é a admissão de forças ondulatórias harmônicas da forma

F(I) =C :E ai co s (rol + ~I)I

onde para concordar co~ o espectro ondulatório, as amplitudes aj são escolhidas

pela r elação seguinte para cada freqüência Wj

É necessário freqüentemente trabalhar estritamente no período do tempo em

que a equação diferencial do moviment.o seja da forma

Pode-se admitir que a fase tPj tenha uma piobabilidade igual entre O e 2~ . e, emconseqüência, pode ser escolhida fazendo·se girar uma roda de roleta (ou utilIZando

o método de Monte Cado com números aleatórios). Quando somadas todas as fre·

qüências corresponden tes ao aspectro ondulatório, a excitação F(t) é uma função

aleatória de tempo.

Aplicando F(t) à equação diferencial do sIstema sob consideração, a resposta

x(l) é obtida por um computador. A partir da resposta x(t) a correlação R(1) é

computada e o espectro da resposta é obtido por meio da Eq. (10.6.13) ou (/0.6·19)

onde F(t) é admitida como uma função aleatória de tempo e L(x. x , ~ ) é uma

equação diferencia} que pode ser não-linear. A solução para uma equação eomoesta seria obtida mais provavelmente no computador digital ou no analógico, sendoo resultado uma resposta aleatória x(t).

No caso de se querer o espectro da resposta para o problema acima, o primeiro passo será o d e formar a função de auto correlação S(J) =2 s : R(7:) cos 2nf7:dr

= 2 5 : R (7 :) e- " d 7: ( s = i2n/)

o espectro da resposta S(f) será então obtido pela relação Wiener-Khinchin,

Eq. (10.6-13).

Exemplo 10.7·1

As alturas das ondas oceânicas são geralmente distribuídas numa forma Ray·

leigh, comum espectro de freqüência conhecido como o espectro do mar de'C. L., Brctschncidcr, :'Wavc Variability and Wave Spectra for Wind·Gencratcd Gravily

Waves." T. M. N9 118 Beach Erosion Board, U. S. Army Corps ofEngineers.



10·30 Iniciando com a equação

Spx(w) ~~ lim 2-~T F*(iw)X(iw)'1''"'' n

Jilll ~-F*(FlI)· 5 pll'1 ' • . •• 2nT

SXF(W) o~ lilll _I_X*F =lim ~.-(F*fI*)F =5}.11*'1'_•• ,2nT T- ••• 2nT

S,..(w) '--' S"X<w) . _ 0 lI(iw)SXf'(w) Sp(w)

10·31 A equação diferencial para o movimento longitudinal de uma barra fina

if é

Teoria Da Vibração Com Aplicações

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