Teoria das estruturas parte 3

Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2

46

3.2 - Mtodo da fora Virtual Unitria (MFVU): Efeito da temperatura

Seja a estrutura composta por elementos (peas, barras reta) de altura h

representada na figura 11 em que se impe o efeito da temperatura, com te na face

ou fibra externa ou superior da barra e ti na face ou fibra interna ou inferior da

barra. Ao longo da altura h da seo das barras da estrutura, a variao de

temperatura possui uma lei de comportamento linear.

Fig. 11: estrutura sob o efeito de temperatura Uma livre sem vnculos externos submetida variao de temperatura pode

sofrer um alongamento ou um encurtamento ao longo de seu eixo longitudinal, fazendo

com que a barra adquira uma curvatura que pode ser voltada para cima ou para baixo,

conforme ilustrado na figura 11.

O alongamento ou encurtamento da fibra que passa pelo centro de gravidade da

seo transversal da barra devido variao de temperatura provoca deslocamentos

relativos internos entre as sees adjacentes distantes dx, conforme ilustrado na figura

11.

Considerando o coeficiente de dilatao trmica do material e dx a distncia

entre duas sees adjacentes, estas por sua vez, adquirem deslocamentos relativos

compostos de duas partes:

a) deslocamento relativo axial (longitudinal): d = . tg . dx

b) rotao relativa entre essas sees: d= [ (ti - te)/h ] . dx

para pequenos ngulos: dtg d

tg d= C.O./C.A ti .dx - te . dx) / h] = [ (ti - te)/h ].dx

h/2

s

s .te.dx

h

dx

C. G.

h

ti

te

.ti.dx

.tg.dx C. G. = centro geomtrico da seo, ou seja, o centride da seo tg = temperatura no centride da seo

dx

d

h

te

ti

ti > te

te

ti te > ti

te = temperatura na fibra externa ou superior ti = temperatura na fibra interna ou inferior

d C.O.

d


47

O deslocamento () em uma dada direo, em uma determinada seo s de uma

estrutura sujeita apenas ao efeito da temperatura determinado por meio da expresso

geral do MFVU para estruturas compostas por vrios elementos ((peas do tipo barra:

reta ou curva ex: vigas, trelias, prticos e grelhas)), sendo esta dada por:

+ ( . _ ) = [ . + . + .

+ . ]

0

=1,2,

Considerando que a nica solicitao real externa sobre a estrutura seja o

efeito da temperatura, ou seja, a estrutura no possui deslocamentos prescritos, o que

permite escrever a equao anterior da seguinte forma:

= [ . + . + .

+ . ]

0

=1,2,

Neste caso, a contribuio do esforo cortante tambm desprezvel. Assim,

para estruturas sem a presena de momento toror, a equao anterior pode ser

escrita da seguinte forma:

= [ . + .

]

0

=1,2,

E finalmente substituindo na equao anterior as expresses dos deslocamentos

provocados pelo efeito da temperatura obtm-se a equao que permite calcular o

deslocamento de qualquer seo s de uma estrutura do tipo, VIGAS, TRELIAS E

PRTICOS, quando a solicitao real externa o efeito da temperatura, sendo esta

dada por:

d = . tg . dx

d= [ (ti - te)/h ] . dx

= [ . + .

]

0

=1,2,

O efeito da temperatura em grelhas no abordado nesta apostila.


48

= [ . . . + . [ . ( )/].

]

0

=1,2,

= [ . . .

+ . [ . ( )/] .

]

0

=1,2,

Como, , tg, te, ti so constantes ao longo das barras, e para barras com h constante

este termos podem sair da integral, e desta forma a equao anterior pode ser escrita

da seguinte forma:

= [ . . .

+ [ . ( )/] . .

]

0

=1,2,

Na equao acima as integrais .dx e . dx se identificam como o valor

das reas dos diagramas de esforo normal e de momento fletor dos elementos

(peas, barras) da estrutura sob a ao da fora virtual unitria externa, assim a

equao anterior pode ser escrita da seguinte forma:

= [ . . + [ . (

)/] . ]

0

=1,2,

Para Vigas, trelias e prticos (sem contraventamento) sem momento toror,

com seo constante ao longo comprimento do elemento (pea, barra);

Se os elementos (peas, barras) da estrutura no tiverem seo constante, o

deslocamento de uma seo qualquer s da estrutura deve ser determinado utilizando a

seguinte equao:

= [ . . .

+ [ . ( )/] . .

]

0

=1,2,

Para Vigas, trelias e prticos ( sem contraventamento) sem momento toror,

com seo varivel ao longo comprimento do elemento (pea, barra);



49

Para o emprego das duas ltimas equaes, as seguintes convenes de sinais so

adotadas:

Nu (+ ), barra tracionada;

Nu ( - ), barra comprimida;

Mu (+ ), fibras internas e inferiores tracionadas;

Mu ( - ), fibras externas e superiores tracionadas;

Efeito combinado: Caso a estrutura esteja submetido a uma solicitao real externa

composta pelo efeito combinado de foras reais externas e pelo efeito da temperatura;

Para estruturas compostas por vrios elementos ((peas do tipo barra: reta ou

curva ex: vigas, trelias e prticos)) de com comportamento linear elstico, com

seo e propriedades constantes, o deslocamento total determinado somando-se o

deslocamento provocado por cada efeito calculado em separado, sendo este

deslocamento total dado por:

= [

. [. 3 ]]

0

=1,2,

+ [ . . + [ . ( )/] . ]

0

=1,2,

Para Vigas, trelias e prticos (sem contraventamento) sem momento toror e

com seo constante ao longo comprimento do elemento (pea, barra);


Fibras internas

Fibras externas

+ M

M +

M +

M -

M -

- M


50

Exemplo7: Calcule para a estrutura devido a foras externas e variao de temperatura apresentados abaixo os seguintes deslocamentos a) a rotao do ponto a devido variao de temperatura. b) o deslocamento horizontal do ponto c devido ao efeito combinado (Foras externas + variao de temperatura);

E = 205 GPa; = 0,3; = 1,2x10-5/0C; Resoluo: Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotao no ponto a.

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma fora momento virtual unitria no ponto a. Caso 3 da tabela 2 2 - Esboar os diagramas de esforo normal Nu e de momento fletor Mu devido ao da Fora momento virtual unitria.

Ma= 0 + Vd . 6,0 + 1,0 = 0 Vd = 1/6 = - 0,167 Vd = 0,167

+ Fy = 0 Va - Vd = 0 Va = 0,167

d

x= 5+tg

-50C

A

ti =+15 0C

b

A A

50 kN

4,0 m

a

6,0 m

3,0 m

b c

1

2

3

q= 10 kN/m

Ha = 0 Mu = 1

4,0 m

a

6,0 m

3,0 m

b c

d

va = 0,167

Vd = 0,167

1

2

3

A B

B

B

B

A A h = 40 cm

b = 7 cm

a

h b h

a

b

te = - 5 0C

150C

tg = ?

5+15 = 20

h h/2

h / 20 = (h/2) / x x = (h/2) . (20/h) x = 20/2 = 10 x = 5 + tg tg = x - 5 = 10 - 5 = 5 tg = 50C

C.G.

s1

s2

s1

s2

s1

s2


51

3 - Clculo da rotao relativa do ponto a (a =?)

= [ . . + [ . (

)/] . ]

0

=1,2,

ti - te = 15 - (-5) = 20

= {1,2x10-5.5 . [(-0,167 . 4) + (0,167 . 3)]} + {1,2x10-5. 20/0,40 . [ (-1.4) + (-1.6/2) ]}

= { -1,002x10-5 } + {- 420,0X10-5} = - 421x10-5 = - 0,0042 rad

= -0,0042 rad lembrete: 2rad = 3600 O valor negativo indica que o sentido arbitrado para a fora momento virtual unitria est errado, ou seja, o ponto a sofre uma rotao de 0,0042 rad no sentido horrio. Resoluo: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto c devido ao efeito combinado (Foras externas + variao de temperatura).

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma fora virtual unitria no ponto b. Caso 2 da tabela 2 2 - Esboar os diagramas de esforo normal Nu e de momento fletor Mu devido ao da Fora virtual unitria.

Ma= 0 + Vd . 6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 Vd = 4/6 = 0,67

+ Fy = 0 Va + Vd = 0 Va = - 0,67 = 0,67

Ha = 1

Fu = 1

4,0 m

a

6,0 m

3,0 m

b c

d

va = 0,67 Vd = 0,67

1

2

3


52

3 - Esboar o diagrama de momento fletor M devido ao da solicitao real: carregamento exterior.

4 - Clculo do deslocamento horizontal do ponto c (c =?) devido ao efeito combinado (Foras externas + variao de temperatura);

= [

. [ . 3 ]]

0

=1,2,

+ [ . . + [ . ( )/] . ]

0

=1,2,

Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto c Barra 1: + - 1/3.L.Mb.Mub + 1/3.L.Mm.Mub - 1/3 . 4. 120000 . 4 + 1/3 . 4 . 20000 . 4 = - 533333,33

Mb = 120 KN.m Mub = 4 Mub = 4 Mm = 20 KN.m


53

Barra 2: -1/3.L.Ma.Mua -1/3 . 6 . 120000 . 4 = - 960000

= [

. [ . 3 ]]

0

=1,2,

F = 1 . [ - 533333,33 - 960000 + 0 ] = 1 . - 1493333,33 E.I (205x109. 37333,33x10-8)

F = - 0,0195 m = - 19,2 mm

= [ . . + [ . (

)/] . ]

0

=1,2,

ti - te = 15 - (-5) = 20

t= {1,2x10-5. 5 . [(0,67 . 4)+(1x6)+(-0,67. 3)] } + {1,2X10-5. (20/0,40). [(4.4/2)+(4.6/2)] }

t= { 40,0x10-5 } + {1200x10-5} = 1240x10-5 = 0,0124 m = 12,4 mm

total = - 19,2 + 12,4 = - 6,8 mm O valor negativo indica que o sentido arbitrado para a fora unitria est errado, ou seja, o ponto a sofre um deslocamento horizontal de 6,8 mm para a esquerda. Exemplo8: Calcule para a estrutura devido ao acrscimo uniforme de temperatura no valor de 30 0C a rotao relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rtula d;

E = 25 GPa; = 0,2; = 1,0x105/0C; Resoluo: Item a)

e a A

D

A A

18 kN

3,0 m

1,5 m

5,0 m b

c

1

2

4

q= 15 kN/m

A B

B B

B

A A

D = 50 cm

a

D c D D

3,0 m

2,0 m d 3

300C

300C

tg = ? h = 50 cm

Acrscimo uniforme de temperatura:

Todas as fibras esto sob o efeito de uma mesma temperatura, inclusive o centride da seo. Ento: tg = 300C

C.G.

s

s

s

s

s

s

Ma = 120KN.m Mua = 4


54

1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotao relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rtula d.

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de fora momento unitria em d. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboar os diagramas de esforo normal Nu e de momento fletor Mu devido ao do par de Fora momento virtual unitria. 1 ordem:

Md = 0 + He . 5,0 + 1,0 = 0 p/inferior

He = -1/5 = - 0,20 He = 0,20

+ Fx = 0 Hb - He = 0 Hb = 0,2

Md = 0 + - Hb . 2,0 + Vb . 4,5 + 1,0 = 0 p/esquerda

4,5 Vb = 0,2 . 2,0 - 1,0 Vb = -0,6/4,5 = -0,133 Vb = 0,133

+ Fy = 0 - Vb + Ve = 0 Ve = 0,133 2 ordem:

Ma= 0 + Hb . 3,0 + Ma = 0 Ma = -0,6 Ma = 0,6

Hb = 0,2

3,0 m 1,5 m

d

Mu = 1

Mu = 1

e a

3,0 m 5,0 m

b

c

1

2

4

2,0 m 3

d

Mu = 1

Mu = 1

e

b

c

2

4

3

5,0 m

3,0 m 1,5 m

3,0 m

2,0 m

Q. 1 ordem

He = 0,2 Vb = 0,133

Ve = 0,133

a

3,0 m

b

1

Hb = 0,2

Vb = 0,133

Q. 2 ordem

Ha = 0,2

Va = 0,133

Ma = 0,6


55

3 - Clculo da rotao relativa do ponto d ( =?)

= [ . . + [ . (

)/] . ]

0

=1,2,

ti - te = 30 - (30) = 0

Para acrscimos uniformes de temperatura a contribuio do momento fletor nula. Ento:

= [ . . + [ . (0)/] . ]

0

=1,2,

= [ . . ]

0

=1,2,

= {1,0x10-5. 30 . [(0,133 . 3) + (-0,014 . 2,5) + (-0,2 .3) + (-0,133 . 5) ] }

= -27,03x10-5 = - 0,00027 rad

= -0,00027 rad lembrete: 2rad = 3600 O valor negativo indica que o sentido arbitrado para o par de fora momento unitria est errado, ou seja, as barras 3 e 4 se aproximam, conforme ilustrado no esquema ao lado.


56

Exemplo9: Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (Foras externas + variao de temperatura) a rotao relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rtula c;

E = 200 GPa; = 0,2; = 1,2x105/0C; Resoluo: Item a)

Momento de inrcia da seo transversal: tabela 1 (Iy = b3tb/6) Iy = 21333,33 cm4

Iy = 2,133 . 10-4 m4 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rtula c.

=? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de fora momento virtual unitria em torno da rtula c. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboar os diagramas de esforo normal Nu e de momento fletor Mu devido ao do par de fora momento virtual unitria em torno da rtula c. . Q. 1 ordem Mcp/inferior = 0 + - Hd . 5 - 1 = 0 Hd = -1/5 = -0,2 Hd = 0,2 Ento: Hb = 0,2

d a A A A

18 kN

3,0 m 5,0 m

b

1

2

3

q= 15 kN/m

A B

B

B

B

A A b

5,0 m

2,0 m c

th tb = 2,0 cm th = 2,5 cm

b = 40 cm

h = 50 cm

tb a

b

b

x= ?

100C

300C

tg =10 + x

20

h h/2

h / 20 = (h/2) / x x = (h/2) . (20/h) x = 20/2 = 10 tg = 10 + x = 10 +10 tg = 200C

C.G.

s1

s2

s1

s2

s1

s2

ti =+30 0C

te = +10 0C

d a

3,0 m 5,0 m

b

1

2

3

5,0 m

2,0 m c

Mu = 1

Mu = 1

c

Mu = 1

d

b

Vb = 0,12

Vd = 0,12

Hb = 0,2

Hd = 0,2

Mcp/esquerda = 0 + - Hb . 2 + Vb . 5 + 1 = 0 - 0,2 . 2 + Vb . 5 + 1 = 0 5. Vb = 0,4 - 1 Vb = - 0,12 Vb = 0,12 Ento: Vd = 0,12

2

3


57

Q. 2 ordem 3 - Esboar o diagrama de momento fletor M devido ao da solicitao real: carregamento exterior: Q. 1 ordem Mcp/inferior = 0 + - Hd . 5 = 0 Hd = 0 Ento: Hb = 18 kN

a

b

1

Vb = 0,12

Hb = 0,2

Va = 0,12 Ha = 0,2

Ma = 0 + - Hb . 3 + Ma = 0 - 0,2 . 3 + Ma = 0 Ma = 0,6 3,0 m

d a

3,0 m 5,0 m

b

1

2

3

5,0 m

2,0 m c

c

d

b

Vb = 44,7 kN

Vd = 30,3 kN

Hb = 18 kN

Hd = 0

Mcp/esquerda = 0 + - Hb . 2 - R . 2,5 + Vb . 5 = 0 Vb = 44,7 kN Ento: Vd = 75 44,7 = 30 ,3 kN

2

3

18 kN

18 kN

q= 15 kN/m

R= 75 kN

Ma = 0,6


58

Q. 2 ordem

4 - Clculo da rotao relativa do ponto d (d =?) devido ao efeito combinado (Foras externas + variao de temperatura);

= [

. [ . 3 ]]

0

=1,2,

+ [ . . + [ . ( )/] . ]

0

=1,2,

Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto d Barra 1: + 1/3.L.Mb.Mub + 1/3 . 3. 54000 . 0,6 = 32400 Barra 2: -1/3.L.Mm.Mub -1/3 . 5,39 . 46880 . 1 = - 84227,73

a

b

1

Vb = 44,7 kN

Hb = 18 kN

Va = 44,7 kN Ha = 18 kN

Ma = 0 + - Hb . 3 + Ma = 0 - 18 . 3 + Ma = 0 Ma = 54 kN.m 3,0 m

Ma = 54 kN.m

Mm = 46,88 KN.m Mub = 1

Mb = 54 KN.m Mub = 0,6

15 . 5,02

8

46,88 kN.m

46,88 kN.m


59

= [

. [ . 3 ]]

0

=1,2,

F = 1 . [ 32400 84227,73 ] = 1 . 51827,73 E.I (200x109. 2,133x10-4)

F = - 0,001215 rad

= [ . . + [ . (

)/] . ]

0

=1,2,

ti - te = 30 - (10) = 20

t= {1,2x10-5. 20 . [(0,12 . 3) + (-0,14 . 5,39) + (-0,12 .5) ] } + {1,2x10-5. 20/0,40 . [(0,6 . 3/2) + (-1,0 . 5,39/2) + (-1,0 .5/2) ] }

t= -23,8704 x 10-5 - 257,7 x10-5 = - 0,00282 rad

total = - 0,001215 + (- 0,00282 ) = - 0,004035 rad

lembrete: 2rad = 3600 O valor negativo indica que o sentido arbitrado para o par de fora momento unitria est errado, ou seja, as barras 2 e 3 se aproximam, conforme ilustrado no esquema ao lado.


60

2 Lista de exerccios: 1) Calcule para a estrutura abaixo os seguintes deslocamentos: a) o deslocamento horizontal do ponto c devido apenas a variao de temperatura. b) a rotao relativa do ponto do b devido ao efeito combinado (fora externas + variao de temperatura).

E = 25 GPa; = 0,2; = 1,0x10-5/0C; 2) Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (foras externa + acrscimo uniforme de temperatura no valor de 30 0C) os seguintes deslocamentos: a) o deslocamento vertical do ponto b. b) a rotao relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rtula c.

E = 205 GPa; = 0,3; = 1,2x10-5/0C; 3) Calcule para a estrutura devido aos acrscimos de temperatura apresentados abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotao relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rtula d. b) o deslocamento vertical do ponto c.

E = 23 GPa; = 0,2; = 1,0x10-5/0C;

e

7 kN.m

ti =+50 0C

6,0 m

5 kN

4,0 m

a

b c

1

2

3

q= 8 kN/m

d 2,0 m

A A A A

B

B

4,0 m

b

B

B

A A h = 60 cm

b = 15 cm

a

b h

a

b

te = - 5 0C

h

ti =+30 0C

3,0 m 4,0 m

7 kN

4,0 m

a

b c

1

2

3

q = 10 kN/m

d A A

A A B

B

4,0 m

b

B

B

A A

h = 50 cm

b = 15 cm

d

h

a

b

te = + 30 0C

h

4

ti =+30 0C e

te = + 30 0C b

ti =+38 0C

4,0 m

7 kN.m

2,0 m

a

b

1

2

3

q = 13 kN/m

A A A A

B

B

b

B

B

A A

h = 40 cm

b = 15 cm

a

h b

te = -10 0C

h

d

te = -10 0C c

c

2,0 m

4,0 m 3,0 m

4


61

4) Calcule para a estrutura devido ao decrscimo uniforme de temperatura no valor de - 25 0C apresentado abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotao relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rtula c. b) o deslocamento horizontal do ponto b.

E = 205 GPa; = 0,3; = 1,2x10-5/0C; 5) Calcule para a estrutura devido ao efeito combinado (foras externas + variao de temperatura) os seguintes deslocamentos: a) a rotao relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rtula d. b) o deslocamento vertical do ponto c.

E = 25 GPa; = 0,2; = 1,0x10-5/0C;

B

d

4,0 m 3,0 m 1,5 m

ti = - 25 0C

A h

e

4,0 m

7 kN

a d

b

3

4

q = 10 kN/m

A A

B

B

b

B

B

A

h = 30 cm

b = 15 cm

a

h b

b

te = - 25 0C

c

4,0 m 6

ti = - 25 0C

2

te = - 25 0C

f

g

5

1

te = + 15 0C

e

a A

D

A A

18 kN

3,0 m

1,5 m

5,0 m b

c

1

2

4

q= 15 kN/m

B

B B

A A

D = 35 cm

a

D d D D

2,0 m 3,5 m

2,0 m 3

A f

ti = + 30 0C

Teoria das estruturas parte 3

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