Teoria de conjuntosConceitos básicos

Relações entre conjuntos

Operações com conjuntos

Resolução de problemas

I. CONCEITOS BÁSICOS

Conjunto: agrupamento/colecção de objectos/indivíduos.

Exemplo: - conjunto das vogais do alfabeto.

- conjunto dos rios de Moçambique.

- conjunto dos números ímpares positivos

- conjunto das equipas do moçambola

Elemento: cada mebro/objecto que forma o conjunto.

Exemplo: - segunda-feira pertence ao conjunto dos dias da semana.

- 1 pertence ao conjunto dos números ímpares positivos

- O Armando pertence ao conjunto dos alunos da turma da 10ª A.

Teoria de conjuntos

Designação de um conjunto

• Os conjuntos indicam-se, geralmente, por letras maiúsculas: A, B, C, …

• Os elementos são, em geral, indicados por letras minúsculas: a, b, c, …

Exemplos:

, ,

vogais do alfabeto português

Bairros da cidade da Matola

A a b c

V

D

Teoria de conjuntos

Representação de conjuntos

1. Em chavetas

2. Em diagrama de Venn

Exemplo: , ,A a b c

Exemplo:

Relação de pertença

Seja A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos:

Para indicar que x não é elemento de A, escrevemos: .

Ax

Ax

Teoria de conjuntos

Definiação de um conjunto

Um conjunto define-se de duas formas:

1. por extensão: enumera-se/cita-se/escreve-se os elementos do conjunto.

Exemplos:

2. Por compreensão: indica-se uma característica comum dos elementos ou um padrão.

Exemplos:

, , , ,

Maputo,Sofala,Nampula

4,5,6

V a e i o u

M

B

| é vogal

| é província de Mocambique

| é um número inteiro maior que 3 e menor que 7

V x x

M x x

B x x

Teoria de conjuntos

Cardinal de um conjunto

O cardinal de um conjunto é o número de elementos que um conjunto possui, e denota-se por #A ou n(A).

Exemplo:

Determine o cardinal de cada um dos seguintes conjuntos:

a) V = {a, e, i, o, u}

b) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Teoria de conjuntos

Conjunto vazio e conjunto singular

1. Conjunto vazio: não possui elemento algum, e representa-se por Ø ou {}.

Exemplo: A = {x| x é um homem que vive no sol} → n(A) = 0.

→ n(B) = 0.

2. Conjunto singular ou unitário: possui um único elemento.

Exemplo: A = {x ϵ IN| x é um número primo e par} → n(A) = 1.

B = {x ϵ IN: x + 2 = 5} → n(B) = 1.

2B = { IN : 0}x x

Teoria de conjuntos

Conjunto finito e conjunto infinito

1. Conjunto finito: quando é possível contar os seus elemento e terminar a

contagem.

Exemplo: - A = {x| x é um homem que vive no sol}

- D = {1,2,4,8}

- M = {0,1,2,3,…,500}

2. Conjunto infinito: apresenta uma quantidade ilimitada de elementos.

Exemplo: - o conjunto dos números inteiros →{…-3,-2,-1,0,1,2,3,…} .

- o conjunto dos números reais → ]0;1[

Teoria de conjuntos

II. RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

1. Conjunto universal

Conjunto univ ersal ou Universo de um conjunto: conjunto de todos oselementos que sao considerados num determinado estudo, designadogeralmente por U.

Exemplo:

Teoria de conjuntos

• No estudo dos alunos da Willow, o Universo é o conjunto formado por todos os alunos da Willow;

• Se procuramos as soluções reais de uma equação, o Universo é o conjunto dos números reais (IR).

2. Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais se, cada elemento do conjunto A for, também, elemento do conjunto B, e vice-versa.

Exemplos:

Teoria de conjuntos

• A = {2, 4, 6, 8} e B = {8, 4, 2, 6} → A = B, porque ambos conjuntos têm os mesmos elementos.

• , porque tem os mesmos elementos.

•

2B = { : 0} e C {0;1} B Cx x x

{1, 3, 5, 7, ...} { | é inteiro, positivo e ímpar}x x

A repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo

inútil pois, por exemplo: {a, b, d} = {a, a, b, b, b, d}.

Se A não é igual a B, escrevemos .

Teoria de conjuntos

A B

3. Subconjuntos

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.

Representa-se e lê-se “A é subconjunto de B”

ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”.

Exemplo:

Teoria de conjuntos

A B

Sinal de inclusão " "

a, b a, b, c, d

1 1, 2

a, b a, b

| é inteiro e par | é inteirox x x x

Exemplo:

Seja A = {a,b}, B = {a,b,c}, e C = {a,d}. Qual das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa? Justifique.

a) b) c) d)

Resolução

a) F → porque c pertence a B mas não pertence a A.

b) V → porque todo elemento de A e também elemento de B.

c) F → porque d pertence a C mas não pertence a B.

d) F → porque d pertence a C mas não pertence a B.

B A A B C B C A

Teoria de conjuntos

- Quando também podemos escrever , que se lê “B contém A”.

- Usamos a notação , para indicar que A não é subconjunto de B.

Exemplo:

A B B A

"A B"

a, b, c b, c, d, e

a, b c, d, e

| é inteiro e par | é inteiro e primox x x x

Teoria de conjuntos

Conjunto das partes de A

Ao conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A,

chama-se conjunto das partes de A e indica-se por P(A).

Exemplo:

• O cardinal de P(A), ou seja, o número de subconjuntos de um conjunto A, é dado pela formula, , onde n é o número de elementos de A.

Teoria de conjuntos

1. Se A 1 , então P A ,{1}

2. Se A 1,2 , então P A ,{1},{2},{1,2}

3. Se A 1,2,3 , então P A ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

#P 2nA

Propriedades da inclusão

Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, temos:

1. A

2. A A propriedade reflexiva

3. Se A B e B A, então A B propriedade anti-simétrica

4. A B e B C, então A C propriedade transitiva

5. O número de subconjuntos de um conjunto com elementos é 2 .nn

Teoria de conjuntos

1. Reunião de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

Denota-se por e lê-se “A reunião B”. Simbolicamente, escreve-se

Exemplo:

Teoria de conjuntosII. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

A B

A B | A ou Bx x x

Se A { , , , } e B { , , , }, então

A B { , , , } { , , , } { , , , , , }

a b c d a c e f

a b c d a c e f a b c d e f

Exercício

Determine a reunião de cada par de conjuntos seguintes.

a) A = {a, b, c, d, e, f};

B = {a, d, g, h}

b) C = {1, 3, 5, 7, 9};

D = {1, 3, 5}

b) E = {x, y, z};

F = {m, n, p, k}

Teoria de conjuntosResolução

Propriedades da Reunião

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:

Teoria de conjuntos

1. A A A Idempotência

2. A B B A Comutativa

3. A B C A B C Associativa

4. A A Elemento neutro

5. A U U

Teoria de conjuntos2. Intersecção de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem, simultaneamente, a A também a B. Denota-se por e lê-se “A intersecção com B”. Simbolicamente, escreve-se

Exemplo:

A B

A B | A e Bx x x

Se A { , , , } e B { , , , },

então, A B { , , , } { , , , } { , }

a b c d a c e f

a b c d a c e f a c

Exercício

Determine a intersecção de cada par de conjuntos seguintes.

a) A = {a, b, c, d, e, f};

B = {a, d, g, h}

b) C = {1, 3, 5, 7, 9};

D = {1, 3, 5}

b) E = {x, y, z};

F = {m, n, p, k}

Teoria de conjuntosResolução

Conjuntos disjuntos

Quando , isto é, quando os conjuntos A e B não têm elemento comum, A e B dizem-se disjuntos.

Exemplo:

Resolução:

Teoria de conjuntos

A B

Seja A = {1,2,3,4} e B = {5,6,7} então . Assim os conjuntos A e B são disjuntos.

A B

Propriedades da intersecção

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:

Teoria de conjuntos

1. A A A Idempotência

2. A B B A Comutativa

3. A B C A B C Associativa

4. A U A Elemento neutro

5. A

Leis distributivas

Sejam A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 6} e C = {1, 2, 5, 7}. Determine os seguintes conjuntos e compare-os.

a) A ∩ B ∪ C e A ∩ B ∪ A ∩ C

b) A ∪ B ∩ C e A ∪ B ∩ A ∪ C

Resolução:

Teoria de conjuntos

3. Diferença de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjuntoformado pelos elementos de A que não pertencem a B.

Representa-se por A – B ou A\B e lê-se “A menos B”.

Simbolicamente,A − B = 𝑥 𝑥 ∈ A e 𝑥 ∉ B}

Exemplo:

Sejam A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e}, C = {b, c}, D = {c, d, e, f}, E ={a, b} e

F = {a, b, c, d, e}. Determine:

a) A – B b) A – C c) E – D d) E – F

Teoria de conjuntos

Resolução:

Teoria de conjuntos

4. Complementar de um conjunto

Chama-se complementar de A, o conjunto de elementos de U que não pertencem a A e denota-se por “ A” ou “Ac”.

Simbolicamente,

A = 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑈 e 𝑥 ∉ A .

Exemplo:

Seja U = {3, 4, 5, 7, 8, 9, a, b} e A = {a, 3, 7, 9}.

Determine:

a) A b) A ∪ A c) A ∩ A d) A

Teoria de conjuntos

AA A

Resolução:

Teoria de conjuntos

Problemas concretos da vida real

Os problemas sobre os quais se aplicam a Teoria de conjuntos,

geralmente, tomam as formas seguintes:

1. É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões

ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado

dele.

2. É dada a proporção ou percentagem de alguns subconjuntos de algum

conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.

A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn,

marcando-se em cada área o número (ou percentagem) de elementos,

começando-se sempre do mais interno para o mais externo.

Teoria de conjuntos

Exemplo:Numa turma de 36 alunos, 24 gostam de Matemática e 18 de Português. Quantos alunos gostam de Matemática e Português?

Resolução:

Teoria de conjuntos

Exemplo:

Em uma cidade, 15% da população foi exposta ao Antrax, 20% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 77% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Que percentagem população foi expostas a Antrax e Peste Bubônica?

Resolução:

Teoria de conjuntos

Problema – Tarefa em grupo

Em 2014, os alunos da Willow tiveram como opções curriculares “ o currículoCambridge” e “o currículo Nacional”. Sabe-se que todos os alunos escolherampelo menos um dos dois currículos. O número de alunos que optou peloCambridge foi 114, o número de alunos que optou pelo Nacional foi 228 e onúmero de alunos que optou por ambos currículos foi 80.

a) Quantos alunos teve a Willow naquele ano?

b) Quantos alunos optaram pelo currículo Cambridge, somente?

c) Quantos alunos optaram apenas, pelo currículo Nacional?

d) Quantos alunos optaram por um só currículo?

Teoria de conjuntos