UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ENRIQUE RENÉ BEAUXIS REYES

Teoria de cordas bosônicas

Rio de Janeiro2015

UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ENRIQUE RENÉ BEAUXIS REYES

TEORIA DE CORDAS BOSÔNICAS

Trabalho de Conclusãode Curso apresentadoà Universidade FederalFluminense como requisitoparcial para a obtenção dograu Bacharel em Física.

ORIENTADOR: Prof. Rubens Luis Pinto Gurgel do Amaral

Rio de Janeiro2015

ENRIQUE RENÉ BEAUXIS REYES

TEORIA DE CORDAS BOSÔNICAS

Trabalho de Conclusãode Curso apresentado àUniversidade Federal Flumi-nense como requisito parcialpara a obtenção do grau Bacha-rel em Física.

Aprovada em Agosto de 2015

BANCA EXAMINADORA

Prof. Rubens Luis Pinto Gurgel do Amaral (Orientador)UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Prof. Marco MoriconiUFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Profa. Maria Emília Xavier GuimarãesUFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Ao meu irmão, para lhe darum bom exemplo.

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, que apesar dos sacrifícios, sempre me ofereceram uma boa edu-cação, que me proporcionou e proporciona até hoje oportunidades que muitos nãotem. Também agradeço pelo apoio emocional e sempre estarem abertos ao diálogo.À todos os professores que contribuíram na minha formação de alguma maneira, masem especial:Ao professor Fraccesco Ribeiro, professor do ensino médio, ao qual incentivou e agu-çou minha curiosidade científica, e passou a me fazer sonhar em fazer parte de gran-des avanços na ciência. Tal sonho me fez optar pela graduação em química.À professora Eluzir Pedrazzi Chacon (GQI/IQ–UFF), quem me apresentou a teoria decordas, pela qual pesquisei, me interessei e sempre foi meu objetivo na física, após amudança de curso.Ao professor Jackson Antônio Lamounier Camargos Resende (GQI/IQ–UFF), quemsempre esteve aberto a conversa e me apoiou na mudança de curso num momentode grande dúvida, ajudando a tomada da decisão.À professora Marina Tebet Azevedo de Mariz (GAN/IME–UFF) por me incentivar à ma-temática, não só em sala de aula mas também com leituras extras e sempre abertapara receber questões e dúvidas. Tal incentivo com certeza me abriu caminhos quehoje estou aproveitando.Ao professor Rubens Luis Pinto Gurgel do Amaral, excelente orientador pois semprebusca uma maneira de motivar aos estudos. Agradeço também pela oportunidade deorientação, mesmo eu não tendo CR compatível, numa área de pesquisa diferente dadele, sempre disposto a estudar junto comigo.Ao professor Nivaldo Agostinho Lemos, sempre disposto a conversar e grande incen-tivador aos estudos, sempre estimulando a aprender mais e com mais solidez.Ao professor Antonio de Padua Brito Serbeto, talvez aquele que tenha me feito passarpela transição de “amadurecimento” nos estudos, com quem entendi a maneira depensar de um físico, a maneira de estudar e me ajudou a criar uma disciplina própriade estudo, o que com certeza foi crucial para meu desenvolvimento até aqui e será nofuturo.Ao professor Marco Moriconi pelas frutíferas discussões informais as quais me fizeramatentar para detalhes importantes sobre pesquisa, e por aceitar o convite de participa-ção da banca avaliadora.À professora Maria Emília Xavier Guimarães, por aceitar o convite de participação dabanca avaliadora.

Ao professor Kaled Dechoum, pelas melhores aulas ministradas da minha gradua-ção, sempre motivadoras, além de terem um caráter filosófico de questionamento aoqual me identifico muito.Ao professor Jorge Simões de Sá Martins, não só pelas aulas espetaculares, mas tam-bém por sempre me desafiar com questões não-triviais e sempre estimular a busca.Os professores Kaled, Jorge e Nivaldo foram grandes motivadores também na minhadecisão de seguir a carreira como docente e pesquisar sobre métodos de ensino emfísica e matemática.Ao professor Edson Pereira da Silva (Biomar/IB–UFF), pelas deslumbrantes aulas deevolução e tópicos em epistemologia. Sempre me recebendo de braços abertos epronto para conversar, grande motivador para estudar assuntos na área de filosofia erepensar sobre o que é ciência, me fazendo entender a proposta da epistemologia,área de pesquisa a qual tenho grande atração.Ao professor José Koiller (GAN/IME–UFF), presente neste último ano de graduaçãocomo orientador de projeto de monitoria, mas que esteve sempre disposto a me aju-dar quando possível, me motivando mais ainda a seguir o mestrado em matemática,o que me motivou mais para a escrita da monografia e forças pra enfrentar o final dagraduação.Ao professor Rafael Nardi (IF–UNIFAP), quem na verdade é um amigo e conheci forada universidade, e devo agradecer dentro e fora do mundo acadêmico. Quando co-nheci, doutorando em teoria de cordas, sempre me incentivou não somente à teoria,mas também à carreira científica, sempre apontando questionamentos importantesnão apresentados em salas de aula. Me apresentou perspectivas que foram úteis emtoda a minha graduação, e consegui enxergar atalhos no aprendizado, podendo meconcetrar em coisas além. Em momentos de desespero, frustração, me fez não desis-tir e sempre seguir em frente.Aos também professores, mas colegas de trabalho, Willian Silva e Vinícius Flores, meajudando a me manter no curso de física em momentos de crise financeira até.Ao amigo e professor Rodney Janson pelos ensinamentos em inglês, o que foi essen-cial, já que toda a literatura de teoria de cordas é estrangeira.Aos funcionários da universidade, do setor administrativo ao setor de limpeza & ma-nutenção, os quais geralmente são esquecidos, mas que tem presença indispensáveljá que sem tal trabalho não haveria nem mesmo universidade.Por fim, agradeço à minha namorada Nathalya Reimol, quem sempre me fez resgataros sonhos quando não sonhava com mais nada, estudar quando não queria mais e pa-rar de estudar quando já estressado. Meu maior apoio emocional não só na academia,sem o qual teria sido muito difícil ter continuado.

Resumo

Desde seu surgimento, a teoria de cordas tem se mostrado uma teoria bonita e muitofrutífera, com capacidade de resolver problemas impressionantes. A teoria de cordasnasceu tentando resolver a questão em torno dos polos de Regge, uma relação linearentre o momento angular total e o quadrado da massa das partículas. Depois, acromodinâmica quântica foi estabelecida como modelo padrão das interações fortes ea teoria de cordas foi deixada de fora das pesquisas principais em física nuclear e departículas. No entanto, a teoria é capaz de trazer consigo todos os bósons de spin 1,mediadores de três forças fundamentais e um estado bosônico não-massivo de spin2, o qual se identifica com o gráviton, partícula teorizada responsável pela mediaçãodas interações gravitacionais, o que traz a teoria de cordas para o hall das pesquisascentrais em física, agora com a proposta de uma teoria de tudo.Este trabalho se divide em quatro capítulos. O primeiro capítulo aborda a história dosurgimento da teoria assim como seus primeiros passos, e depois a história é deixadaum pouco de lado para descrever e explicar alguns conceitos principais da teoria, massem nenhum aprofundamento em nível técnico. O desenvolvimento técnico começano segundo capítulo e se estende em nível clássico até o capítulo três, onde vemosa ação de Nambu-Goto e de Polyakov, invariâncias de gauge, simetrias e algumaspropriedades da dinâmica da corda. O quartoo capítulo é destinado para o estudotécnico da quantização da corda bem como suas propriedades. O grande resultadodeste capítulo é a demonstração do surgimento natural do gráviton.

Palavras-chave: Teoria bosônica de cordas, Teoria de cordas, Teoria quântica dagravidade, Teoria de gravidade quântica.

Abstract

Since its appearanve, the string theory presents itself as a beautiful and very fruitfultheory, being able to solve impressive problems. The theory arose out of trying to solvequestion about Regge’s poles, a linear relation between the total angular momentumand the square of the mass of particles. The Quantum Chromodynamics has becomethe standard theory of strong nuclear interactions and the string theory grew out ofmajor studies on particle and nuclear physics. However, the theory has all of the 1-spinbosons, mediators of three fundamental forces, and carries a bosonic massless 2-spinstate which identifies the graviton, fundamental particle of gravitational interactionswhich brings the string theory to the hall of central researches on physics, now with thepropose of a theory of Everything.This work has four chapters. The first chapter deals the subject from historical point ofview, from the first steps, and then we look at the main concepts of the theory withoutget into a highly technical discussion. The technical development begins in the secondchapter and go until the third one only in the classical level, where we show the Nambu-Goto and the Polyakov actions, gauge invariances, symmetries and some propertiesof string dynamics. The third chapter focuses on string quantization technical studiesand its properties. The main result of this chapter is the natural arising of the graviton.

Key-words: Bosonic string theory, String-theory, Quantum theory of gravitaty, Quan-tum gravity theory.

Sumário

Introdução 1

1 Panorama geral 31.1 Antes das cordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 A física moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 No encontro dos pilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 A partir desses pilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 O nascimento e primeiros passos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Pouca atenção no início . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 A 1a revolução na teoria de cordas . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 A 2a revolução na teoria de cordas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Um resumo não-histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Dimensões extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Entre as cordas e o mundo cotidiano . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Escalas de importância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Espaços de Calabi-Yau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.5 Alguns problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Propriedades da teoria bosônica clássica 102.1 A ação de Nambu-Goto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Calibre estático (Static Gauge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3 Corda na Dp-brana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 A ação de uma p-brana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Ação de Polyakov ou Modelo – σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Soluções (clássicas) para a equação de movimento 263.1 Parametrização σ e generalização do gauge estático . . . . . . . . . . . 283.2 Variáveis de cone-de-luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 A teoria bosônica em nível quântico 334.1 Quantização covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Corda aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Corda fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Conclusão 43

Bibliografia 44

Introdução

Desde seu surgimento até os dias de hoje, a teoria de cordas desperta certa curi-osidade nas pessoas. Talvez por se tratar de dimensões extras, e a primeira vista terum aspecto meio esotérico por isso, talvez por aceitar universos paralelos como nateoria dos universos bolhas, ou também por ser uma promessa de teoria de grandeunificação. É uma teoria riquíssima tanto do ponto de vista fenomenológico quantodo ponto de vista matemático. Por anos os pesquisadores da teoria de cordas, emconversas informais conhecidos como cordistas, se atêram apenas ao estudo puroda teoria, sem aplicações fenomenológicas, pois não se entendia o funcionamentoda teoria. Após alguns anos começou-se o estudo fenomenológico em peso, e estese mantém até hoje, com muitas aplicações a buracos negros, universo primordial,aglomerados de galáxias entre outras. A fenomenologia de cordas mais difundida éa física de partículas e aplicações cosmológicas. A teoria faz muitas interseções comvárias áreas de fronteira da matemática da geometria e topologia diferencial, geome-tria e topologia algébrica, como os espaços de Calabi-Yau, teoria de Morse, espaçosModuli, compactificações, supersimetrias entre outras.

Faremos um estudo elementar da teoria e portanto não veremos nada sobre a fe-nomenologia supracitada, muito menos sobre as áreas de fronteira na matemática,na qual a teoria de cordas tem conexão. O que será visto a seguir é importante paratermos uma base para técnicas mais modernas. A motivação principal para o estudoda teoria de cordas é entender como funciona e o que se pode extrair de uma candi-data a teoria de gravitação quântica, além disso, uma teoria de grande unificação. Doponto de vista matemático a teoria traz muitas novidades, e mesmo que se ignore afenomenologia de interesse físico, a teoria ainda é muito frutífera.

É um assunto não mencionado na graduação de física, e por isso este texto temcomo objetivo também difundir a teoria num nível acessível a um estudante de gra-duação que tenha alguma noção básica de mecânica lagrangeana, como extrair asequações de movimento a partir da ação, princípio variacional de Hamilton, e a defini-ção de momento canonicamente conjugado.

1

Entender o que são variáveis dinâmicas é muito importante, bem como conheci-mento básico em relatividade especial. O que se requer de mecânica quântica é co-nhecer álgebra de operadores e comutadores, e conceitos fundamentais da teoria. Onível matemático do texto não causa nenhum problema para alguém que conheça osmétodos elementares de resolução de equações diferenciais ordinárias, com ênfasena solução da equação de onda e expansão em série de Fourier.

2

Capítulo 1

Panorama geral

Este capítulo é reservado para uma breve apresentação da teoria de cordas (stringtheory) do ponto de vista histórico, com o intuito de mostrar suas motivações, em queescalas se torna importante, o que podemos esperar dela e os obtáculos que ela trazconsigo.

1.1 Antes das cordas

1.1.1 A física moderna

Até aproximadamente o ano de 1860 existia a crença de a física ter sido totalmenteresolvida, e o trabalho a ser feito era apenas de aumentar a precisão das medidase da teoria. No entando, havia “duas nuvens negras” que pairavam sobre a física,como disse Lord Kelvin, que obscureciam o entendimento total dos fenômenos físicos.A primeira delas era o problema da estabilidade da matéria, já que o átomo comoRutheford havia modelado não era estável, e os elétrons em órbita se chocariam aonúcleo após um tempo, de acordo com o eletromagnetismo clássico em vigor. Tambémera uma questão intrigante o problema da radiação de corpo negro, e os cálculos daenergia total dos modos normais em uma cavidade davam infinitos... ora, não sepode esperar que uma teoria que explique bem o fenômeno estudado tenha comoresultado para alguma grandeza um infinito. Esses problemas foram solucionadoscom o advento da Mecânica Quântica (entre 1900 e 1905) e totalmente formuladaem 1925, quando se chamou de mecânica quântica moderna. A segunda nuvem queobscurecia o entendimento da física era a incompatibilidade entre o eletromagnetismode Maxwell e a mecânica de Newton. O eletromagnetismo havia se mostrado muitopreciso para ser descartado, e a mecânica newtoniana já era muito bem estabelecidae cada vez com mais resultados ao seu favor. A tarefa não era simplesmente escolheruma delas, mas encontrar o motivo dessa incompatibilidade, que na verdade está nas

3

transformações de coordenadas. A mecânica newtoniana tem como transformação decoordenadas as transformações de Galileu, enquanto o eletromagnetismo mostrou-seinvariante sob transformações de Lorentz. As transformações de Lorentz podem servistas como uma generalização das transformações de Galileu, ou estas como umcaso limite da transformação de Lorentz quando as velocidades são muito menoresdo que a velocidade da luz. Com as transformações de Lorentz, Einstein propõe em1905 a Relatividade Especial, ou Relatividade Restrita. Deve ser deixado claro queas transformações na relatividade especial são válidas entre referenciais inerciais, ouseja, não há aceleração relativa entre estes. Então fica a pergunta: quais são astransformações entre referenciais não-inerciais? A resposta para esta pergunta veioem um trabalho de 1915, também de Einstein, onde apresentou uma nova teoria aqual chamamos de Relatividade Geral, ou a Gravitação de Einstein. Eis onde surge afísica moderna e esses são seus dois pilares de sustentação: relatividade e mecânicaquântica.

1.1.2 No encontro dos pilares

Esses dois pilares tem, cada um, regimes de atuação diferentes. A mecânica quân-tica é a área da física usada para descrever sistemas microscópicos. Alguns efeitosquânticos acabam ocorrendo em grande escala em certos sistemas físicos particula-res. A relatividade especial é a área da física que descreve sistemas físicos com altasvelocidades, próximas a velocidade da luz (aproximadamente 3.108 m/s). Ela trata dastransformações de coordenadas de um sistema em relação a outro, e diz como umagrandeza física se transforma em outra baseada nas transformações de Lorentz. Ageneralização da relatividade especial, a relatividade geral, é a área que estuda trans-formações mais gerais, entre referenciais não-inerciais e a gravidade. Esse estudo éutilizado para compreender sistemas muito massivos, com alta densidade de energiacomo sistemas de galáxias e cosmologia.

Tudo estaria resolvido se efeitos de uma escala não se misturassem a outra. Obje-tos como buracos negros possuem grande concentração de massa-energia em umaregião relativamente pequena do espaço, e por isso acaba sendo um exemplo ondetanto a mecânica quântica quanto a relatividade geral devem ser levadas em conta.Outro exemplo ocorre na cosmologia, quando assumimos um cenário cosmológicoonde há o big-bang, pois todo o cenário é descrito pela gravitação (relatividade geral)e quando vamos ao início dos tempos encontramos uma região tão pequena do es-paço que os efeitos quânticos devem ser levados em conta. A questão é que a teoriada gravitação e a teoria quântica não “falam a mesma língua”, e muito pouca prediçãopode ser feita nesses regimes porque não há nenhuma teoria de gravitação quântica.

4

Esta é uma questão de fronteira ainda hoje: desenvolver uma teoria que inclua tantoefeitos quânticos quanto gravitacionais.

1.1.3 A partir desses pilares

Com a física quântica bem estabelecida pode-se desenvolver duas áreas, dentreoutras, muito importante até mesmo do ponto de vista prático: a física nuclear e afísica de partículas. No início do século XX já se tinha um estudo sobre física departículas através da mecânica quântica, mas esta não dava conta de certos proces-sos como a aniquilação pósitron-elétron dando origem a um fóton, pois a mecânicaquântica incluía a conservação do número de partículas do sistema em estudo. Alémdisso, existem sistemas onde as partículas possuem uma velocidade com uma fraçãoconsiderável da velocidade da luz, daí a necessidade de se criar uma teoria quân-tica relativística. Dentre várias tentativas a mais bem-sucedida foi a Teoria Quânticade Campos - TQC (Quantum Field Theory - QFT), desenvolvida em 1926. Posterior-mente, com a TQC foi possível unificar as forças eletromagnética e fraca, força estaque ocorre nas escalas nucleares. Já no estudo da física nuclear, a teoria de gruposmostrou-se cada vez mais importante para a física, predizendo muitos resultados queviriam a ser comprovados experimentalmente posteriormente. A grande questão dafísica nuclear era então (e ainda é) compreender a força forte, conseguir uma teoriaque a modelasse. Nessa tentativa de entendimento foi que nasceu a teoria de cordas.

1.2 O nascimento e primeiros passos

1.2.1 Pouca atenção no início

Em 1968, o físico Gabriele Veneziano estudava certas propriedades da força forte, edescobriu que a função Beta de Euler servia para descrever muitas propriedades daspartículas sob influência da força forte, mas não soube explicar o motivo de tal funçãoconseguir fazê-lo. Foi em 1970 que três físicos, Yoichiro Nambu, Leonard Susskind, eHolger Nielsen, independentemente concluiram que o resultado de Veneziano se ba-seava numa teoria quântica para cordas vibrantes relativísticas, e assim nasce a teoriade cordas. Também em 1970 foi proposta pela primeira vez a Cromodinâmica Quân-tica (Quantum Chromodynamics - QCD), uma TQC no regime da força forte, e vistoo sucesso das TQC (já era conhecida a Eletrodinâmica Quântica - QED - QuantumEletrodynamics), a QCD foi adotada como parte do modelo padrão para a física dasinterações fundamentais, principalmente por ser uma teoria renormalizável. A teoriade cordas possuía um grave problema nessa época pois não era capaz de descreversistemas fermiônicos, e por isso ficou conhecida como Teoria de Cordas Bosônicas.

5

Para muitos parecia o fim da teoria, no entanto, em 1971 Pierre Ramond, André Neveue John Schwarz desenvolvem uma teoria de cordas com férmions e bósons, enquantoGervais e Sakita demonstram que esta nova teoria deve obedecer a uma álgebra su-persimétrica em duas dimensões. [8]

1.2.2 A 1a revolução na teoria de cordas

Em 1974 Joel Scherk e John Schwarz propoem a teoria de cordas como uma candi-data a uma teoria de gravitação quântica, proposta que não foi levada muito a sério naépoca. A teoria de cordas trazia consigo um estado bosônico não-massivo de spin 2,propriedades necessárias para descrever o gráviton, partícula fundamental mediadorada força gravitacional. Esta partícula é a que faltava na física de partículas para quepudesse descrever todas as quatro forças fundamentais da natureza, a qual nenhumateoria havia conseguido contemplar. As partículas fundamentais então seriam objetosunidimensionais ao invés de pontos adimensionais. Essa simples mudança resolveriaproblemas que as TQCs não conseguiam contornar, e eliminaria alguns problemascom infinitos. Não estava tudo resolvido. A teoria bosônica de cordas precisava de26 dimensões espaço-temporais, contra 4 já aceitas pela teoria de Einstein. A teoriade supercordas que viriam depois, em 1981 com Michael Green e John Schwarz re-queriam apenas 10 dimensões, 9 espaciais e 1 temporal. A questão que era colocadalogo de cara era: onde estão todas essas dimensões que não observamos? Existiamoutras complicações piores que esta. Uma delas é que na verdade não existia “a”teoria de supercordas mas “as” teorias. Dependendo de como fossem definidos osobjetos fundamentais quanto as condições de contorno da teoria, corda fechada ouaberta, se há ou não orientabilidade (no sentido topológico) dos objetos, isso resultaem cinco teorias diferentes: Tipo I, Tipo IIA, Tipo IIB, Heterótica E8 × E8, HeteróticaSO(32). Acreditava-se então que apenas uma dessas cinco teorias seria nomeadacomo a teoria de tudo... mas não era verdade. [7][8]

1.2.3 A 2a revolução na teoria de cordas

Após um entendimento mais profundo da matemática envolvida nas teorias de su-percordas, era possível calcular coisas complicadas de uma teoria através de coisasmais simples na outra, tudo graças ao que chamamos de dualidades. Tentando en-tender essas dualidades, Edward Witten (apoiado sobre trabalhos de Paul Townsend,Chris Hull e Michael Duff) desenvolve em 1995 o que chamamos de Teoria-M, ondeas teorias de cordas e a supergravidade são casos limites dessa teoria mais funda-mental que requer 11 dimensões, 10 espaciais e 1 temporal. Agora as cordas, objetosunidimensionais, são apenas um caso particular de objetos mais gerais chamados p-

6

branas. Temos então membranas bidimensionais que são nossas 2-branas, cordasunidimensionais são 1-branas e quaisquer objetos nesse espaço podem variar suasdimensões. Isso cria uma base muito maior para a teoria de cordas, e novas maneirasde se explicar os mecanismos de dimensões extras nessas teorias. [7][8]

1.3 Um resumo não-histórico

Faremos agora uma abordagem não-técnica mas focada nos detalhes da teoria,sem olhar para a história.

1.3.1 Dimensões extras

Como se explica a não-observação dessas dimensões extras? Na teoria de cordas,sem se levar em conta as p-branas, as dimensões espaciais são compactificadas.Podemos imaginar que é mais ou menos o que ocorre conosco e o planeta Terra.Quando olhamos em qualquer uma das direções a nossa volta, temos a impressãode o mundo ser plano e infinito, mas sabemos que vivemos sobre uma superfíciebidimensional esférica. Então algum ser extra-terrestre muito grande poderia olharpara o sistema solar e pensar que não há dimensões extendidas (as que nós vemos),mas na verdade essas dimensões estão “enroladas” na esfera terrestre, e esse sernão pode observá-las. Outra maneira de imaginar essa situação seria pensar numfio muito longo e um ser microscópico. Quando nós olhamos para esse fio vemosapenas um objeto extenso unidimensional, enquanto o ser microscópico observa maisuma dimensão, pois o fio de perto é um cilindro. Essa dimensão extra que forma aespessura do fio cilíndrico é uma dimensão compactificada (ver figura 1.1). Existeoutra maneira de explicar a nossa não-observação até hoje dessas dimensões extraslevando em conta a teoria-M. As cordas abertas são responsáveis pela descrição dosnossos bósons, com excessão do gráviton. Se nós vivemos num Mundo-brana (World-Brane) de três dimensões, nós observaremos cordas que tenham suas extremidadespresas a essa D3-brana, e não conseguimos acessar as demais dimensões por nãoestarmos observando cordas presas a branas com dimensões maiores. [7]

7

Figura 1.1: Vemos à esquerda uma ilustração de compactificação. À direita vemosuma ilustração de uma corda com extremidades fixadas em uma D3-brana.

1.3.2 Entre as cordas e o mundo cotidiano

Nesse contexto, esperasse que tudo seja derivado das cordas. Sabemos da físicaque toda a nossa realidade cotidiana pode ser resumida a átomos e moléculas, obje-tos que podem ser entendidos como conjuntos de partículas menores como prótons,neutrons e elétrons. Neutrons e prótons se dividem em quarks. Mas não acaba por aí.Uma corda pode vibrar de uma certa maneira numa certa frequência e isso significariaque ela está gerando um elétron. Numa outra frequência, seria um quark e assim pordiante. Cada frequência, cada modo normal de vibração das cordas representa umapartícula, um estado de alguma partícula. Vibrando é que esses objetos geram tudo oque conhecemos no mundo, ou estamos para conhecer.

1.3.3 Escalas de importância

A teoria de cordas é candidata a uma teoria de gravitação quântica, uma teoria detudo. Ela unificaria as quatro forças fundamentais e teríamos então uma descriçãocompleta e unificada da gravitação, relatividade e mecânica quântica. Teorias que de-sempenham um papel principal na escala quântica apresentam a constante de Planck(~) em suas formulações. Teorias relativísticas apresentam a velocidade da luz (c) en-quanto teoria gravitacionais trazem consigo a constante universal da gravitação (G). Ateoria de cordas torna-se indispensável quando se trata de tempos, comprimentos eenergias que envolvam essas três constantes. Essa escala nós chamamos de escalade Planck. São processos que ocorrem num intervalo de tempo da ordem de 10−43s,comprimentos da ordem de 10−35m e massas da ordem de 10−8 kg. Falar de massaspode parecer um tanto desconfortável de se pensar incialmente, mas basta utilizarE = mc2 e obtemos energias da ordem de 108 J, o que equivale a uma ordem de 1027

eV. [1]

8

1.3.4 Espaços de Calabi-Yau

A geometria da teoria de cordas nos diz muito sobre ela. Na verdade podemos di-zer que é a teoria que trata a física toda do ponto de vista geométrico. A geometriariemanniana se presta muito bem a esse papel, pelo menos até certo ponto. Em cer-tos domínios da teoria, é necessária a implementação da geometria quântica, maisespecificamente espaços de Calabi-Yau. Pode-se pensar que a geometria do uni-verso consiste em uma variedade de dez dimensões na forma M × V , onde M é umavariedade de quatro dimensões e V é uma variedade de seis dimensões compactaschamada de espaço de Calabi-Yau. Tal assunto é muito amplo e foge do objetivo destetexto, pessoas interessadas devem buscar mais nas referências bibliográficas. [5]

1.3.5 Alguns problemas

Existem dois problemas gritantes na teoria de cordas. Um é o problema do Lands-cape, pois a teoria prevê um número imenso de universos possíveis e teríamos desaber filtrar qual desses vários é o universo em que vivemos e observamos. A teo-ria de cordas prevê partículas fundamentais com massas muito maiores do que asque nós observamos, e este problema nós chamamos de Problema da Hierarquia deMassas. Essa questão tem relação com a escala de Planck. Ainda por usar comopressuposto a supersimetria, é de se esperar que haja a observação das partículassuperparceiras, até agora não encontradas experimentalmente. A teoria de cordasé baseada numa matemática considerada muito árida e de pouquíssimo acesso nosentido de termos soluções para seus problemas, mas o maior desafio está na com-provação experimental. [1][7]

9

Capítulo 2

Propriedades da teoria bosônicaclássica

Este capítulo é reservado para uma introdução técnica do assunto. Como o títulodo capítulo sugere, será apresentada apenas a teoria bosônica. É feita uma introdu-ção a ação de Nambu-Goto e posteriormente a ação equivalente mas de mais fácilquantização, a ação de Polyakov. É conveniente definir as chamadas unidades na-turais, onde c = ~ = G = 1, dessa maneira comprimento e tempo tem a mesmadimensão, e dimensão inversa às energia e massa. A ideia vem de que a comunidadecientífica da Terra utiliza o sitema internacional (SI) pois são unidades que nós consi-deramos boas, devido às escalas em que temos mais contato e por tanto intimidade,assim tornam-se mais compatíveis com nosso mundo cotidiano. No entanto, socie-dades extra-terrestres podem ter unidades totalmente diferentes. Então descrever asunidades em termos dessas constantes universais seria a maneira mais universal enão ambígua de medir as coisas e assim poder comparar resultados terrestres comextra-terrestres. Quando começarmos a utilizá-las será explicitamente mencionado notexto.

2.1 A ação de Nambu-Goto

Quando estudamos a relatividade do ponto de vista da mecânica lagrangiana, bus-camos construir a ação de maneira que seja invariante sob transformações de Lo-rentz. Isso é possível ao definir a ação como a integral em relação a quantidade“ds”, invariante de Lorentz, definindo assim uma integral de linha da linha-universo oulinha-mundo (world-line) descrita pela partícula relativística:

S = −mc∫ s2

s1

ds = −mc2

∫ τ2

τ1

√1− v2

c2dτ. (2.1)

10

O fator −mc é colocado por questões de consistência, basta expandir a expressão daraíz quadrada em série de Taylor e vemos que aparecem as expressões da energiade repouso e da expressão newtoniana para energia cinética:

−mc2

∫ τ2

τ1

√1− v2

c2dτ = −mc2

∫ τ2

τ1

[1 +

1

2

v2

c2+ · · ·

]dτ.

A função lagrangeana L de tal ação é dada por L = −mc2

√1− v2

c2, donde extraímos

as equações de movimentodpµ

dτ= 0, onde τ é um parâmetro arbitrário e pµ = mc

dxµ

ds.

[2]

A ação de Nambu-Goto é a generalização dessa ideia. Uma partícula pontual gerauma trajetória unidimensional no espaço-tempo, e podemos ver facilmente que qual-quer objeto N-dimensional gerará uma trajetória (N+1)-dimensional no espaço-tempo.Assim uma corda gera uma superfície bidimensional, e a integral de superfície destadefine a ação de Nambu-Goto, como ilustra a figura 2.1:

Figura 2.1: À esquerda vemos a linha-mundo, curva definida pela trajetória da partículapontual. À direita vemos a folha-mundo, superfície definida pela trajetória de umacorda. Ambas representam o movimento do objeto no plano xy e no tempo.

2.1.1 Algumas propriedades

Para realizar a integral de superfície, precisamos de um espaço de parâmetros bi-dimensional e uma aplicação que leve desse espaço para o espaço-tempo, onde seráobservada a dinâmica da corda e descutidos os seus resultados. As variáveis de pa-rametrização serão denotadas por τ e σ , sendo σ a variável responsável por indicarpara qual ponto da corda estamos olhando, e τ será o análogo temporal, descrevendoum tempo do ponto da corda. Deve ser deixado bem claro que τ não necessariamentedeve ser identificado como o tempo do nosso espaço-tempo, mas nosso interesse fí-sico nos leva a considerar tal relação. Essa relação torna-se mais direta no gaugeestático visto mais tarde. O nosso vetor do espaço-tempo será denotado por xµ, en-quanto nossa aplicação que leva o espaço de parâmetros no espaço “real” denotare-

11

mos por Xµ = Xµ (τ, σ). A figura 2.2 se presta ao papel de representar graficamenteo trecho lido afim de uma melhor compreensão de quem lê.

τ

σσ0

Espaço de parâmetros

~x

t

Espaço-tempo

X

Figura 2.2: Aplicação X que leva um ponto do espaço de parâmetros a outro doespaço-tempo.

Pode ser que no início haja uma confusão quanto a essa notação, mas explicita-mente falando, a variável em caixa alta é reservada para a aplicação enquanto emcaixa baixa para os vetores genéricos do espaço-tempo. Adiantando um resultadofuturo, o espaço-tempo na teoria de cordas bosônica possui 26 dimensões. Temosentão:

xµ ∈ R26 ;

B ={

(τ, σ) ∈ R2|τ, σ ∈ R}

;

Xµ : B −→ R26 .

Definimos também a seguinte notação que será muito útil:

Xµ =∂Xµ

∂τX ′µ =

∂Xµ

∂σ.

Tendo bem clara a notação, temos então a ação de Nambu-Goto sendo:

S = −T0

c

∫ τ2

τ1

∫ σ2

σ1

√(X ·X ′

)2

− X2X ′2 dσdτ ,

onde vemos explicitamente o fator de integração representado pela raíz quadrada.

Da forma como foi construída a ação de Nambu-Goto seria muito estranho que elanão descrevesse sistemas relativísticos, no entanto, não assumiremos a priori essadescrição e futuramente demonstraremos que a relatividade está implícita nessa ação.Tal ação goza de certas propriedades importantes que serão utilizadas aqui. Uma des-sas propriedades é a invariância por reparametrização, o que significa que podemosescolher arbitrariamente os parâmetros σ e τ :

(σ, τ) 7→ (σ′, τ ′) ,

12

definindo uma nova aplicação Xµ (σ′, τ ′) entre o espaço de parâmetros e os espaço-tempo, e o formato da nova ação será o mesmo da ação com os parâmetros originais.Essa arbitrariedade define uma ampla liberdade de gauge da teoria, análoga a liber-dade do eletromagnetismo. Para o estudo da teoria de cordas devemos levar emconta que a corda possui um comprimento finito, e isso se traduz no espaço de parâ-metros limitando a variável σ em algum intervalo fechado. Os extremos desse intervalocorresponderão ao extremos da corda. Vista a propriedade de invariância sob repara-metrização, podemos eleger um intervalo qualquer para o nosso estudo, já que paraqualquer intervalo que nos seja dado podemos redefinir nossa aplicação para que te-nha como domínio o espaço paramétrico com σ limitado pelo nosso intervalo fechadofavorito. É de costume no estudo da teoria de cordas usar o intervalo [0, π] por futurassimplicidades nos cálculos que surgirão.

Mas temos ainda a variável τ que nos ajuda a descrever a dinâmica da corda. Que-remos que esta seja responsável pela evolução teporal dos pontos que formam acorda, então esta variável não pode ser limitada da mesma maneira que o σ poisem física as vezes é interessante estudar o limite quando o tempo vai para o infi-nito. Olhando para um ponto qualquer da folha-mundo, traçamos todos os vetorestangentes a este ponto genérico e esperamos que seja possível construir uma basebi-dimensional, sendo um dos vetores tipo-tempo e o outro tipo-espaço. Vemos queisso somente é possível se não houver trechos finitos na corda que se movam comvelocidade da luz. A figura 2.3 ilustra um trecho da corda se movimentando na direçãoy com velocidade c. Podemos traçar vetores tangentes a folha-mundo no ponto P .A semi-circunferência representa todos esses vetores. Cada reta horizontal na fifurarepresenta uma corda num instante posterior. Os pontos P e Q definem um vetortipo-espaço, assim como todo vetor definido por P e R, sendo R um ponto da semi-circunferencia. Isso fica claro quando observamos que o ponto P leva um certo tempopara alcançar o ponto R, e claramente vemos que a distância entre os pontos P e R émaior que a distância entre os pontos P e R, então o movimento de P até R deve sermais rápido que o movimento de P até R, ou seja, uma velocidade maior que a velo-cidade da luz. Ainda nessa análise, para o ponto S, interseção da semi-circunferênciacom o eixo y, temos o vetor definido por P e S sendo tipo-nulo. Então todos os vetorestangentes a folha-mundo no ponto P são tipo-espaço a menos de alguns tipo-nulo.Por continuidade, a análise feita se extende a todos os pontos desse trecho (e assimda corda), daí concluímos que não há significado físico para este, pois não há vetorestipo-tempo.

13

Figura 2.3: Trecho da corda se movendo com velocidade da luz.

A importância dos vetores tipo-tempo é nítida quando lembramos que para umapartícula pontual, descrevendo uma linha-universo, os vetores tangentes (tipo-tempo)permitem definir um observador de Lorentz instantâneo que vê a partícula em re-pouso. Se tivermos um vetor tipo-tempo na folha-mundo, este nos permite descreverum observador de Lorentz instantâneo que vê o ponto em repouso. Na folha-mundo,se existe um vetor tipo-tempo, existem infinitos pelo argumento da continuidade, ecada um destes diferentes vetores tangentes definem um observador que vê o pontoem repouso. Isso só faz sentido se não pudermos identificar cada ponto da cordaindividualmente. Em outras palavras, não se pode imaginar a corda como sendo umobjeto constituído de pontos, devemos olhar a corda como um objeto único e inteiriço.As únicas excessões são os dois pontos extremos da corda aberta. Podemos assimdizer, fisicamente, que a corda é um objeto fundamental na natureza, não é formadapor constituintes, e por tanto não faz sentido levantar a questão “do que as cordas sãofeitas?”.

É conveniente introduzir uma notação resumida para a métrica induzida g, a qualcostuma-se por abuso de linguagem chamar de gαβ:

gαβ =

(X2 X ·X ′

X ·X ′ X ′2

).

Por tal notação, é permitido denotar por g o determinante da métrica. A ação deNambu-Goto em termos da métrica induzida é:

S = −T0

c

∫ τ2

τ1

∫ σ2

σ1

√−g dσdτ ,

o que torna explícita a invariância por reparametrização.

14

Sabemos que segundo o princípio de mínima ação de Hamilton, δS = 0. Vamoscalcular tal variação:

0 = δS =

∫ τ2

τ1

∫ π

0

δ√−g dσdτ =

=

∫ τ2

τ1

∫ π

0

[∂

∂τ

(δXµPτµ

)+

∂

∂σ

(δXµPσµ

)− δXµ

(∂Pτµ∂τ

+∂Pσµ∂σ

)]dσdτ ,

onde usamos a seguinte notação:

Pσµ =∂L∂X ′µ

Pτµ =∂L∂Xµ

.(2.2)

Assumiremos variações em τ tais que δXµ (τ2, σ) = δXµ (τ1, σ) = 0, o que resultana anulação da primeira parcela do integrando. Ficamos com:

0 =

∫ τ2

τ1

∫ π

0

[∂

∂σ

(δXµPσµ

)− δXµ

(∂Pτµ∂τ

+∂Pσµ∂σ

)]dσdτ =

=

∫ τ2

τ1

[δXµPσµ

]π0dτ −

∫ τ2

τ1

∫ π

0

δXµ

(∂Pτµ∂τ

+∂Pσµ∂σ

)dσdτ .

A segunda parcela do integrando nos fornece as equações de movimento, explici-tadas abaixo:

∂Pτµ∂τ

+∂Pσµ∂σ

= 0 . (2.3)

A primeira parcela deve se anular também, para que tenhamos o princípio da mínimaação funcionando, e isso nos fornecerá as condições de contorno necessárias, porquestões de consistência, para que seja válido o princípio variacional de Hamilton:∫ τ2

τ1

[δXµ (τ, π)Pσµ (τ, π)− δXµ (τ, 0)Pσµ (τ, 0)

]dτ . (2.4)

Como µ pode variar entre 0 e N , temos na verdade 2 (N + 1) condições de contorno,com N sendo o número de dimensões espaciais. Para o caso de uma corda abertade extremidades livres (extremidades fixas a uma DN-brana, veremos mais adiante)temos δXµ arbitrário, portanto P σ

µ deve ser nulo. Veremos mais adiante alguns casosem que δXµ não possui tal arbitrariedade, e quais são as consequências disso paraP σµ nas respectivas componentes. [1]

15

2.1.2 Calibre estático (Static Gauge)

No estudo do eletromagnetismo temos interesse em ter em mãos a expressão dopotencial elétrico, por exemplo. Algumas expressões alternativas do potencial tem apropriedade de não alterar o campo elétrico do problema, existe uma certa liberdadede escolha sobre os potenciais escalares e vetoriais V e ~A, que na forma de quadri-vetores são representados por Aµ, Aµ → A′µ + ∂µΛ. Essa liberdade chamamos deliberdade de Calibre, ou liberdade de Gauge. Essa mesma liberdade temos sobre asvariáveis paramétricas, escolher as variáveis σ e τ convenientes equivale a escolherum gauge, e uma classe de gauge que é muito utilizada é o Gauge estático. Geome-tricamente, consiste em cortar a superfície traçada pelo movimento da corda com umhiperplano com τ fixo, e a interseção é a corda nesse dado tempo. O hiperplano nestecaso deve ser nµ = δµ,0, com δi,j sendo o delta de Kronecker:

X0 = cτ = ct ⇒ τ = t .

Corda sobre um eixo fixo

Para ganharmos familiaridade com o conteúdo da corda, vamos estudar agora umexemplo específico, uma corda de extremidades fixas, e que não se desloque para forade um eixo arbitrário, o qual escolheremos como nosso eixo x. Suas extremidadesserão em x = 0 e x = a. Como não há deslocamento da corda, podemos tomar umreferencial no qual ela está parada e assim anulamos a energia cinética. Então nossalagrangiana será proporcional a energia potencial do sistema:

S = −T0

c

∫ ∫ √−g dσdt =

∫Ldt ,

e as expressões para Xµ tornam-se:

Xµ = (ct, f (σ) , 0, ..., 0) ;

Xµ = (c, 0, ..., 0) ;

X ′µ = (0, f ′ (σ) , 0, ..., 0) .

Calculando os termos da ação:

X ·X ′ = 0 ;

X2 = −c2 ;

X ′2 = [f ′ (σ)]2

.

16

Substituindo os valores obtidos na ação teremos:

S = −T0

c

∫ t2

t1

∫ π

0

√c2f ′ (σ)2 dσdt = −T0

c

∫ t2

t1

∫ π

0

cf ′ (σ) dσdt = −T0

∫ t2

t1

∫ π

0

f ′ (σ) dσdt .

Resolvendo a integral em σ e lembrando que f (0) = 0 e f (π) = a teremos o seguinteresultado:

S = −T0

∫ t2

t1

[f (π)− f (0)] dt = −T0

∫ t2

t1

a dt =

∫ t2

t1

(−T0a) dt ,

e o integrando desta última expressão é a função lagrangiana, que neste sistema éproporcional ao potencial já que não há energia cinética.∫ t2

t1

(−T0a) dt =

∫ t2

t1

(−V ) dt⇒ T0a = V .

Neste exemplo a energia total é V = mc2, então vemos que T0 pode ser interpretadocomo uma densidade de energia na corda. Mantendo a tensão T0 constante, aumen-tando a energia aumentamos também o comprimento a da corda.

Ação e velocidade transversal

As vezes torna-se interessante escrever a ação em função da velocidade transver-sal da corda. Antes de tudo, existe uma parametrização por comprimento de arco edenotaremos esse parâmetro por s. Uma parametrização é dita por comprimento dearco quando |f ′ (s) | = 1. Dada a aplicação Xµ, é de interesse nosso representar a

parte espacial como ~X. Temos como velocidade o vetor∂ ~X

∂t, que possui componen-

tes tangencial e transversal. O vetor∂ ~X

∂sé um vetor unitário na direção tangente a

corda. Obtemos a componente transversal da velocidade ~v⊥ simplesmente subtraindodo vetor velocidade a sua componente tangencial, como é feito a seguir:

~v⊥ =∂ ~X

∂t−

(∂ ~X

∂t· ∂

~X

∂s

)∂ ~X

∂s. (2.7)

Será de interesse futuro a utilização da seguinte expressão a ser calculada:

v2⊥ =

[∂ ~X

∂t−

(∂ ~X

∂t· ∂

~X

∂s

)∂ ~X

∂s

]·

[∂ ~X

∂t−

(∂ ~X

∂t· ∂

~X

∂s

)∂ ~X

∂s

]=

(∂ ~X

∂t

)2

−

(∂ ~X

∂t· ∂

~X

∂s

)2

.

17

Como no exemplo anterior, vamos calcular as componentes de g:

Xµ =

(c,∂ ~X

∂t

)⇒ X2 = −c2 +

(∂ ~X

∂t

)2

;

X ′µ =

(0,∂ ~X

∂σ

)⇒ X ′2 =

(∂ ~X

∂σ

)2

;

X ·X ′ = ∂ ~X

∂t· ∂

~X

∂σ.

A velocidade transversal é descrita em termos do parâmetro de arco s enquanto a açãoem termos do parâmetro σ, precisamos reescrever a ação em função do parâmetro s.Para tal, precisamos efetuar uma reparametrização:

S = −T0

c

∫ t2

t1

∫ π

0

√√√√√(∂ ~X∂t· ∂

~X

∂σ

)2

−

−c2 +

(∂ ~X

∂t

)2(∂ ~X

∂σ

)2

dσdt =

= −T0

c

∫ t2

t1

∫ π

0

(ds

dσ

)√√√√√(∂ ~X∂t· ∂

~X

∂s

)2

−

−c2 +

(∂ ~X

∂t

)2(∂ ~X

∂s

)2

dσdt =

= −T0

c

∫ t2

t1

∫ s2

s1

√√√√(∂ ~X∂t· ∂

~X

∂s

)2

+ c2 −

(∂ ~X

∂t

)2

dsdt =

= −T0

c

∫ t2

t1

∫ s2

s1

√c2 − ~v2

⊥ dsdt = −T0

∫ t2

t1

∫ s2

s1

√1− ~v2

⊥c2dsdt .

Verifica-se assim que a lagrangiana é:

L = −T0

∫ s2

s1

√1− ~v2

⊥c2ds ,

tendo explicitamente o fator relativístico, como era de se esperar, já que sua constru-ção é relativística. É inevitável a comparação de tal lagrangiana com a da partícularelativística, e acabamos por ver que a lagrangiana obtida acima se comporta como aunião de vários pontos de dinâmica relativística.

18

Vamos calcular as quantidades Pσµ e Pτµ utilizando as equações (2.2):

Pσµ = −T0

c

(∂ ~X

∂σ· ∂

~X

∂t

)Xµ −

−c2 +

(∂ ~X

∂t

)2X ′µ

ds

dσ

√1− v2

⊥c2

;

Pτµ = −T0

c

(∂ ~X

∂σ· ∂

~X

∂t

)X ′µ −

−c2 +

(∂ ~X

∂t

)2 Xµ

ds

dσ

√1− v2

⊥c2

.

Agora podemos verificar os valores de cada componente dos nossos vetores (2.2),bastando escolher o valor para µ. Vamos verificar o que ocorre com a componentetemporal e espacial, separadamente:

Pσ0 = T0

(∂ ~X

∂s· ∂

~X

∂t

)√

1− v2⊥c2

. (2.8)

Olhando para a equação (2.4) e assumindo que as extremidades da corda estãopresas a uma DN-brana (extremidades livres para se mover por todo o espaço), paraqualquer parametrização escolhida, temos que nas extremidades da corda Pσµ = 0,também por consistência. Aplicando esta condição à equação acima concluímos que∂ ~X

∂s

∂ ~X

∂t= 0. Em palavras, a corda tem o movimento de suas extremidades sendo

ortogonal a direção do seu comprimento. Agora olhando para ~Pσ:

~Pσ = −T0

c

(∂ ~X

∂s· ∂

~X

∂t

)∂ ~X

∂t+ c2∂

~X

∂s−

(∂ ~X

∂t

)2∂ ~X

∂s√1− v2

⊥c2

,

utilizando a ortogonalidade entre∂ ~X

∂se∂ ~X

∂t, obtida a partir da equação (2.8), nesta

última expressão e na equação (2.7), obtemos a seguinte expressão final:

~Pσ = −T0

√1− v2

⊥c2

∂ ~X

∂s, (2.9)

donde concluímos que v2⊥ = c2, pois ~Pσ = 0. Vemos que nas extremidades então, além

19

da velocidade ser ortogonal a direção da corda elas se movem com a velocidade daluz. Toda essa dedução tem como pressuposto que a corda tem extremidades livres,como veremos agora, está presa a uma DN-brana. Veremos o que ocorre num casomais geral a seguir.

Nessa subseção, vimos que a ação da corda pode ser vista como a “soma” deações relativísticas de uma partícula, onde os extremos da corda apresentam comovelocidades máximas a velocidade da luz c e movem-se ortogonalmente à corda.

2.1.3 Corda na Dp-brana

Queremos estudar a dinâmica de uma corda aberta quando esta tem suas extremi-dades presas a uma brana de p dimensões, ou seja, uma Dp-brana. Uma Dp-branaé um tipo especial de p-brana na qual as extremidades de uma corda podem se fixar.O D é devido à condição de Dirichlet imposta a componentes da corda. Uma p-branaé uma hipersuperfície p-dimensional imersa num espaço N-dimensional, com p ≤ N .Vamos denotar por j as componentes do vetor Xµ que estão contidas nessa brana epor a as demais componentes espaciais fora da brana. Assim Xµ = (X0, Xj, Xa) enas extremidades devemos considerar que Xa (τ, σextremidade) = 0, onde j = 1, 2, ..., p

e a = p + 1, ..., N . Nas extremidades temos Xa = 0 ⇒ ∂Xa

∂t= 0. Calculando as

expressões (2.2) teremos (lembrando que estamos utilizando o gauge estático):

Pσµ = −T0

c

(XjX ′j + XaX ′a

)Xµ −

(−c2 + XjXj + XaXa

)X ′µ√(

XjX ′j + XaX ′a

)2

+(c2 − X2

j + X2a

) (X ′2j +X ′2a

) . (2.10)

Vamos analisar alguns casos interessantes sobre o comportamento de uma cordapresa a uma Dp-brana a partir da equação (2.10). É importante ter em mente tambéma equação (2.4), donde tiramos o comportamente de δXµ dependendo a qual Dp-brana as extremidades estão fixadas, e também que δX0 6= 0, o que nos leva a concluirque Pσ0 = 0.

• D0-brana

Nenhuma das componentes do vetor Xµ está contida na brana, já que ela éadimensional. Então podemos denotar Xa = ~X e consequentemente Pσa = ~Pσ.Também é feita uma reparametrização por comprimento de arco s. Reescre-vendo (2.10) sem a existência do índice j, obtemos as expressões para µ = 0 e

20

µ = a:

Pσ0 = T0

∂ ~X

∂t· ∂

~X

∂s√√√√(∂ ~X∂t· ∂

~X

∂s

)2

+ c2 −

(∂ ~X

∂t

)2⇒ Pσext0 = 0 ;

~Pσ = −T0

c

(∂ ~X

∂t· ∂

~X

∂s

)∂ ~X

∂t−

−c2 +

(∂ ~X

∂t

)2 ∂ ~X

∂s√√√√(∂ ~X∂t· ∂

~X

∂s

)2

+ c2 −

(∂ ~X

∂t

)2⇒ ~Pσext = −T0

∂ ~X

∂s.

Neste caso vemos que a condição Pσ0 = 0 é automaticamente satisfeita. Tambémpor não haver liberdade nenhuma nas extremidades, δ ~X = 0, não há restriçõessobre ~Pσ, de acordo com a equação (2.4).

• D1-brana

Aqui só existe uma única projeção do vetor Xµ que está contida na brana,temos então a componente µ = 0, µ = j = 1 e µ = a, δX1 é arbitrário enquanto asdemais componentes são nulas. Denotaremos agora Xa = ~Xa e Xj = X1 (poissó existe uma única componente j). A notação nos leva a considerar Pσa = ~Pσae Pσj = Pσ1 .

Pσ0 = T0

∂X1

∂t

∂X1

∂s+∂ ~Xa

∂t· ∂

~Xa

∂s√1− ~v2

⊥c2

extremidade=⇒ ∂X1

∂t

∂X1

∂s= 0 .

Temos então∂X1

∂s= 0 já que o movimento na brana é arbitrário. Assim como

no caso das extremidades livres (caso de uma DN-brana), o movimento dasextremidades da corda presa a uma D1-brana é ortogonal à direção da corda.Em outras palavras, a corda se fixa ortogonalmente à D1-brana. Daí concluímos

também que∂ ~X

∂t= ~v⊥. Prosseguiremos a análise com essas informações em

mãos.

Pσext1 = −T0

c

[c2 −

(∂X1

∂t

)2]∂X1

∂s√1− ~v2

⊥c2

= −T0

√1− ~v2

⊥c2

∂X1

∂s= 0 .

21

Vemos na última igualdade que não há restrição para a velocidade das extremi-dades (obviamente não excedendo c), o que não ocorre na DN-brana.

• Dp-brana; p ≥ 2

Como mencionado previamente, na equação (2.4) temos para as componen-tes µ = j que Pσj = 0 pois δXj é arbitrária. Será utilizada a notação de Einsteinpara somatórios, a menos que haja menção explícita do contrário. Olhando paraa equação (2.10), vemos:

Pσ0 =T0

c

∂ ~X

∂t· ∂

~X

∂s√1− ~v2

⊥c2

extremidades=⇒ ∂Xj

∂t

∂Xj

∂s= 0 .

Agora não necessariamente cada componente de∂ ~X

∂sna brana deve ser zero.

Utilizando o resultado obtido partimos para as componentes µ = j:

Pσextj = −T0

√1− ~v2

⊥c2

∂Xj

∂s= 0 ,

e daí tiramos duas possibilidades. A primeira é que se pelo menos uma das

componentes j de∂ ~X

∂snão for nula, a única maneira de termos satisfeita a extre-

mização da ação (vide equação (2.4)) é se |~v⊥| = c. Caso só haja componentesnulas conclui-se que a corda é ortogonal a Dp-brana, no entanto não há restri-ções ao que se refere à velocidade das extremidades. [1]

2.2 A ação de uma p-brana

A ação de Nambu-Goto apresenta-se com uma construção muito simples e de fácilgeneralização para objetos multidimensionais. A corda nada mais é do que um casoespecial de brana, uma 1-brana. Da mesma maneira como foi construída para a 1-brana, podemos contruir a ação geral para uma p-brana, que se move num espaçoD-dimensional com D > p. A evolução temporal de uma p-brana no espaço-tempo D-dimensional descreverá uma hipersuperfície (p+ 1)-dimensional, da qual integramoso elemento de volume para obter sua ação:

Sp = −Tp∫

dµp ,

22

com Tp sendo a tensão da p-brana e dµp sendo o elemento de volume (p+ 1)-dimensionaldado por:

dµp =√−detGαβ d

p+1σ .

Introduziu-se a métrica induzida dada por:

Gαβ = gµν (X) ∂αXµ∂βX

ν , α, β = 0, · · · , p .

Para podermos escrever como ação física definimos σ0 = τ . [3]

2.3 Ação de Polyakov ou Modelo – σ

Embora a ação de Nambu-Goto tenha uma boa interpretação física, ela é de difícilquantização por haver uma raíz quadrada. Daí motivou-se o advento de uma nova des-crição do modelo, que possuísse uma ação equivalente, levando às mesmas equaçõesde movimento, mas que não tivesse uma raíz quadrada envolvendo as variáveis dinâ-micas, tornando a quantização mais simples. Para tal tarefa define-se um campo auxi-liar hαβ (τ, σ). Usaremos a notação hαβ para a métrica da folha-universo (world-sheet)pois gµν denota a métrica do espaço-tempo. Denotaremos também h = det (hαβ). Utili-zaremos a partir daqui as unidades naturais mencionadas no início do capítulo. Tendoclara a notação e as unidades utilizadas, a ação do modelo-σ é dada por:

S = −T2

∫ ∫ √−hhαβ∂αX · ∂βX dσdτ , (2.14)

na qual o campo auxiliar hαβ e as coordenadas Xµ são tratados como campos inde-pendentes. Classicamente, esta ação é equivalente à ação de Nambu-Goto.

Para alcançarmos rapidamente alguns resultados definiremos a métrica da folha-universo como sendo a métrica de Minkowski

(hαβ = ηαβ

). Então h = −1 e a ação se

reescreve como:S = −T

2

∫ ∫ (X ′2 − X2

)dσdτ . (2.15)

Da equação (2.15) deduzimos as equações de movimento e as condições de contornoatravés do princípio de mínima ação de Hamilton:

0 = δS = −T2

∫ ∫δ(X ′2 − X2

)dσdτ = −T

∫ ∫ (X ′µδX

′µ − XµδXµ)dσdτ =

= −T∫ ∫ (

X ′µ∂

∂σδXµ − Xµ

∂

∂τδXµ

)dσdτ .

23

Utilizaremos agora o seguinte fato:

∂

∂α

[∂Xµ

∂αδXµ

]=∂2Xµ

∂α2δXµ +

∂Xµ

∂α

∂

∂αδXµ

⇒ ∂Xµ

∂α

∂

∂αδXµ =

∂

∂α

[∂Xµ

∂αδXµ

]− ∂2Xµ

∂α2δXµ ,

e daí temos:

0 = −T∫ ∫ [

∂

∂σ

(∂Xµ

∂σδXµ

)− ∂2Xµ

∂σ2δXµ − ∂

∂τ

(∂Xµ

∂τδXµ

)+∂2Xµ

∂τ 2δXµ

]dσdτ =

=

∫ [∂Xµ

∂σδXµ

]π0

dτ +

∫ ∫ (∂2Xµ

∂σ2− ∂2Xµ

∂τ 2

)δXµ dσdτ ,

o que nos leva à equação de movimento, conhecida como equação da onda:

∂2Xµ

∂σ2− ∂2Xµ

∂τ 2= 0 , (2.16)

e também às condições de contorno:∫ τ2

τ1

[X ′µ (τ, π) δXµ (τ, π)−X ′µ (τ, 0) δXµ (τ, 0)

]dτ = 0 . (2.17)

A simplicidade da equação (2.16) esconde uma grande complicação cuja origemnão está explicitada aqui. A ação de Polyakov completa, com os campos auxiliareshαβ leva a condições adicionais. Escolhendo adequadamente as variáveis σ e τ essascondições podem ser reduzidas às duas condições:(

∂Xµ

∂τ

)2

±(∂Xµ

∂σ

)2

= 1 . (2.18)

Essas são condições de contorno quadráticas que devem ser respeitadas pela solu-ção. [1][6]

Lembrando da definição dada nas equações (2.2), podemos observar que a equa-ção (2.16) tem escrita similar à equação (2.3). A equação (2.16) é obtida da ação deNambu-Goto (2.3) se é escolhido o gauge do cone-de-luz, e uma escolha associada aσ, vista mais adiante.

Em física teórica é sempre bom termos em mente quais são as simetrias que temosno modelo em estudo, o que nos diz se a teoria será relativística, conserva energia,momento e outras quantidades que desejarmos. Classicamente, no espaço de Min-kowski, nossa ação (2.14) é invariante por:

24

• Transformações de Poincaré

São transformções de caráter global definidas por δXµ = aµνXν+bµ e δhαβ = 0,

com aµν = −aνµ, onde aµν e bµ são constantes.

• Reparametrização

É uma transformação de caráter local, onde mudamos nosso espaço de pa-râmetros, como feito na ação de Nambu-Goto. A reparametrização aqui alteratanto Xµ quanto hαβ.

• Transformações de Weyl

Também transformações de caráter local definidas por hαβ → eφ(τ,σ)hαβ eδXµ = 0

O estudo específico de cada uma dessas simetrias pode se tornar um texto muitoextenso e não será tratado aqui. Pessoas interessadas devem verificar a fonte biblio-gráfica onde encontrarão boas fontes. [3]

25

Capítulo 3

Soluções (clássicas) para a equaçãode movimento

A equação de movimento (podendo chamar de equações, no plural, se olharmospara cada uma de suas componentes) obtida a partir da ação é mais conhecida comoequação de onda, e tem a seguinte solução geral:

Xµ (τ, σ) =1

2[fµ (τ − σ) + gµ (τ + σ)] , (3.1)

onde qualquer constante é “absorvida” nas funções f e g, e o denominador 2 é co-locado para simplificação futura. Considerando a corda aberta totalmente livre parase mover no espaço inteiro, o que significa termos uma DN-brana (sabemos que seráuma D25-brana), concluímos da equação (2.4) que Pσµ = 0. Das equações (2.15) e(2.2) temos Pσµ = X ′µ (τ, 0) = X ′µ (τ, π) = 0, e com a equação (3.1):

X ′µ (τ, σ) =1

2[−f ′µ (τ − σ) + g′µ (τ + σ)] .

Como f e g são funções de uma variável, então f ′ e g′ significam as derivadascom respeito aos seus respectivos argumentos τ − σ e τ + σ. Da expressão acima,apliquemos os valores de σ nas extremidades, começando por σ = 0 :

0 = −f ′µ (τ) + g′µ (τ) =⇒ f ′µ (τ) = g′µ (τ) .

As derivadas nas extremidades são iguais, então as funções diferem apenas porum constante, que chamaremos de cµ, e então gµ (τ) = fµ (τ) + cµ. Podemos noentanto “absorver” a constante na própria função f , e assim temos que gµ (τ) = fµ (τ).Nossa equação (3.1) torna-se então:

Xµ (τ, σ) =1

2[fµ (τ − σ) + fµ (τ + σ)] . (3.2)

26

Com o mesmo procedimento mas agora sobre a equação (3.2) e com σ = π, temos:

0 = −f ′µ (τ − π) + f ′µ (τ + π)⇒ f ′µ (τ + 2π) = f ′µ (τ) ,

e podeoms ver que as derivadas tem periodicidade 2π entre si (esta é uma das mo-tivações de se escolher σ ∈ [0, π]). Por essa periodicidade podemos expandir essafunção em série de Fourier. Para um argumento geral qualquer u, temos então paraf ′µ (u):

f ′µ (u) = fµ1 +∑n∈N

[aµncos (nu) + bµnsen (nu)] ,

e integrando com respeito a variável u a equação acima, temos então a expressãopara nossa função fµ (u):

fµ (u) = fµ0 + fµ1 u+∑n∈N

[Aµnsen (nu) +Bµncos (nu)] , (3.3)

onde foram “absorvidos” os fatores 1n

resultantes da integração em novos coeficientesAµn e Bµ

n . Com essa nova expressão para fµ (u) podemos reescrever a equação (3.2)como:

Xµ (τ, σ) = fµ0 + fµ1 τ +∑n∈N

[Aµncos (nτ) +Bµnsen (nτ)] cos (nσ) . (3.4)

Podemos calcular agora Pτµ que pela equação (2.15) é TXµ. O fator T no entanto,conhecido como tensão da corda pode ser reescrito em termos do parâmetro slope(“slope parameter” na literatura, onde preferimos não traduzí-lo por não haver uma boacorrespondência com a língua portuguesa) α′, o qual tem relação quadrática com ocomprimento da corda ls. Temos a seguinte relação:

T =1

2πα′. (3.5)

De posse desta relação, continuemos com a análise antes em andamento:

Pτµ =X

2πα′=

1

2πα′fµ1 +O (τ, σ) ,

onde a função O (τ, σ) não será explicitada por conveniência. A integral de Pτµ emralação a σ define uma grandeza conservada pµ, a qual interpretamos como quadri-momento total da corda.

pµ =

∫ π

0

Pτµ dσ =1

2α′fµ1 =⇒ fµ1 = 2α′pµ .

Podemos substituir fµ0 por xµ0 e reescrever os termos de Fourier em função de τ

27

para a forma de exponenciais complexas, obtendo a expressão seguinte:

Xµ (τ, σ) = xµ0 + 2α′pµτ − i√

2α′∑n∈N

[aµ∗n e

inτ + aµne−inτ] cos (nσ)√

n.

Os coeficientes aµn terão relação com os operadores de criação de aniquilaçãoquando quantizarmos a corda. Por hora, nos restrigiremos ao estudo clássico e fa-remos mais algumas simplificações da expressão utilizando outra notação. Vamosdefinir então αµ0 =

√2α′pµ, αµn = aµn

√n e αµ−n = aµ∗n

√n. Observamos que αµ−n = (αµn)∗

e a nova expressão, mais simplificada se torna então:

Xµ (τ, σ) = xµ0 +√

2α′αµ0τ + i√

2α′∑

n∈Z\{0}

1

nαµne

−inτcos (nσ) . (3.6)

Podemos ver na equação (3.6) que se todos os αµn se anularem temos a expressãodo movimento de uma partícula pontual, o que nos sugere ser o centro de massada corda. A expressão contida no somatório é devida a oscilação da corda. Paraseguirmos nosso estudo devemos fazer uma “boa” escolha para a parametrização emσ, assim podemos enxergar algumas coisas interessantes. A equação (3.6) mostraque a evolução da corda está totalmente determinada pelos parâmetros x0 e αµn. Restaainda, impor as condições de contorno quadráticas. A seguir discutimos isso. [1]

3.1 Parametrização σ e generalização do gauge está-

tico

Até aqui já fizemos uma escolha da parametrização τ , faremos agora uma escolhaassociada a esta para a variável σ. Nossa escolha é definida da seguinte maneira:utilizando o gauge estático, olhamos para a corda num instante t = 0 para um certoparâmetro σ. Num instante infinitesimal t = ε após, podemos traçar segmentos de retaentre a corda definida em t = 0 e t = ε que sejam perpendiculares a corda em t = 0,como mostra a figura 3.1 abaixo.

Podemos repetir esse processo para tempos infinitesimais posteriores e assim de-finimos nosso gauge de maneira que valha para todo σ a seguinte equação:

∂ ~X

∂t· ∂

~X

∂σ= 0 ,

e a consequência mais direta disso é que∂ ~X

∂t= ~v⊥. Devido ao objetivo do texto,

alguns resultados serão apresentados sem demonstrações, caso contrário tornar-se-ia muito extenso. A pessoa interessada nos detalhes é remetida a [1] nas referências

28

Figura 3.1: Instantes t = 0 e t = ε com movimento do ponto σ0 ortogonal a corda.

bibliográficas.

Pelo gauge estático, existe um hiperplano interseptando a folha-universo, e tal hi-perplano chamaremos de nµ. Para o caso em que nµ = (1, 0, · · · , 0) é direto olhar paraa componente µ = 0 na equação de movimento e concluir que n · Pτ é constante nacorda. Para generalizar com um nµ arbitrário, a demanda é que nµPτµ = n · Pτ sejaconstante na corda. Outra propriedade que temos é a invariância por reparametriza-ção σ → σ, e utilizando-se disso:

n · Pτ (σ, τ) =dσ

dσn · Pτ (σ, τ) .

Se temos uma corda que faça com que n ·Pτ (σ, τ) dependa de σ podemos repara-

metrizar de maneira que n · Pτ (σ, τ) não dependa de σ, basta ajustar o valor dedσ

dσ, e

assim o lado direito da equação (3.7) só depende de τ . Com outra reparametrizaçãoglobal podemos fazer com que σ ∈ [0, π]. Portanto:

n · Pτ (σ, τ) = a (τ) , (3.7)

com a (τ) sendo uma função que só dependa de τ . No entanto a (τ) não pode depen-der de τ , basta integrar a equação (3.7) para termos claro esse fato:∫ π

0

a (τ) dσ =

∫ π

0

n · Pτ dσ =⇒ a (τ) =n · pπ

,

29

donde concluímos:n · Pτ =

n · pπ

(3.8)

A equação (3.8) é uma constante de movimento da corda aberta, mais especifica-mente da folha-mundo gerada por ela. Utilizando a equação (2.3) conseguimos umaconclusão extra:

∂ (n · Pτ )∂τ

+∂ (n · Pσ)

∂σ= 0 =⇒ ∂ (n · Pσ)

∂σ= 0 ,

vemos que n ·Pσ não depende de σ. Na corda aberta podemos concluir que n ·Pσ = 0

porque basta isso ocorrer em um ponto e então valerá para os demais, e assumimosque n · Pσ = 0 nas extremidades. Para a corda fechada devemos fazer uma análiseanáloga, com a diferença que o domínio de σ agora vai de 0 a 2π, o que muda oslimites de integração que aplicamos a equação (3.7). Por isso na corda fechada nóstemos a seguinte expressão:

n · Pτ =n · p2π

. (3.9)

Além disso, não podemos afirmar que n · Pσ = 0 na corda fechada, pois não existenenhum ponto especial, diferente dos demais, como os pontos extremos da cordaaberta.

O gauge estático como vimos em seções passadas, estabelece uma proporcionali-dade direta entre a componente X0 e a variável τ , a qual identificamos como o tempot do nosso espaço-tempo. Essa é apenas uma escolha dentre as possíveis escolhasde uma classe mais geral de gauge, onde escolhemos nµ = δµ0, sendo δij o delta deKronecker. Em geral temos, para uma constante qualquer λ:

n ·X = λτ . (3.10)

Sem demonstração, afirmamos que n ·p é constante na folha-mundo, possibilitandoentão substituir λ por λ (n · p) na equação (3.10). λ está ali presente por questões dedimensionalidade, e vemos que λ deve ser proporcional a α′:

n ·X ∝ α′ (n · p) τ . (3.11)

Simplificações importantes ocorrem se escolhemos variáveis muito especiais, co-nhecidas como variáveis de cone-de-luz. A principal simplifiacação obtida atravésdessa escolha é poder resolver explicitamente os vínculos quadráticos. [1]

30

3.2 Variáveis de cone-de-luz

Definimos as variáveis de cone-de-luz com o hiperplano determinado por n0 = n1 =1√2

e as demais componentes nulas. Assim temos:

n ·X =X0 +X1

√2

= X+ , n · p =p0 + p1

√2

= p+ . (3.12)

A estratégia por trás do gauge cone-de-luz é usar a simplicidade das expressõescom X+ para mostrar que não há dinâmica em X− e toda a dinâmica está nas com-ponentes transversais, as quais denotaremos por XI , com I correndo de 2 a N . Utili-

zando o fato de que(X ±X ′

)2

= 0, consequência da escolha do gauge em σ, temosque, no cone de luz:(

X ±X ′)2

= 0 =⇒ −2(X+ ±X ′+

)(X− ±X ′−

)+(XI ±X ′I

)2

= 0 ,

donde obtemos, a partir das equações (3.11) e (3.12) a seguinte expressão:(X− ±X ′−

)=

1

βα′1

2p+

(XI ±X ′I

)2

, (3.13)

com β = 1 para a corda aberta e β = 2 para a corda fechada. Tal definição para β émotivada também pelas equações (3.8) e (3.9), e ficamos com:

n · Pτ =n · pβπ⇒ n · p = βπ n · Pτ .

Olhando para as equações (3.12) e (3.11) escrevemos:

X+ = 2α′p+τ =√

2α′α+0 τ .

Olhando para a equação (3.6) vemos que X+ não possui os modos normais devibração

(α+n = α+

−n = 0)

e x+0 = 0, o que não ocorre com as componentes I:

XI (τ, σ) = xI0 +√

2α′αI0τ + i√

2α′∑

n∈Z\{0}

1

nαIne

−inτcos (nσ) ,

e utilizando a equação acima, a equação (3.6) para µ = − e o vínculo quadrático(X ±X ′

)2

= 0, conseguimos o seguinte resultado:

√2α′α−n =

1

2p+

∑p∈Z

αIn−pαIp =

1

p+L⊥n ,

onde L⊥n é chamado de modo transversal de Virasoro. Conhecer as componentes XI

31

implica em conhecer os modos de Virasoro, e a partir desses, conhecendo p+, x−0determinamos completamente a dinâmica da corda. Temos então a expressão praX− (τ, σ):

X− (τ, σ) = x−0 +1

p+L⊥0 τ +

i

p+

∑n∈Z\{0}

1

nL⊥n e

−inτcos (nσ) .

Da mesma maneira que o quadri-momento está associado a translação no espaço-tempo e o momento angular à rotação, os modos de Virasoro são os geradores detransformações associadas à reparametrização da corda. A álgebra que eles satis-fazem é de importância fundamental para a quantização da corda. É possível aindacalcular a massa M da corda através da relação relativística M2 = −p2, obtendo aseguinte expressão:

M2 =1

α′

∑N

naI∗n aIn , (3.14)

onde aIn√n = αIn e aI∗n

√n = αI−n com n ∈ N. Vemos que a massa é uma quantidade

positiva, pois a∗a = |a| ≥ 0. Ainda assim, a expressão não é boa para descreverestados não-massivos, e ainda podemos ajustar os coeficiantes a e a∗ e obter valo-res arbitrários para a massa. Veremos que esses problemas não aparecem quandoestudarmos a corda do ponto de vista quântico. [1]

32

Capítulo 4

A teoria bosônica em nível quântico

Para uma descrição quântica da corda ao invés de “simples funções” teremos agoraoperadores. Veremos aqui a primeira quantização da corda. A segunda quantizaçãonos fornece uma teoria de campos de cordas, a qual foge totalmente do escopo destetrabalho e não será tratada aqui. Utilizaremos a ação de Polyakov apenas, já que suaintrodução foi realizada motivada por uma quantização mais simples de se fazer.

4.1 Quantização covariante

Da primeira quantização de uma partícula pontual, é sabido que, no sistema naturalde unidades (~ = c = G = 1) a seguinte relação é válida:

[xm, xn] = 0 ; (4.1a)

[pm, pn] = 0 ; (4.1b)

[xm, pn] = iδmn . (4.1c)

A equação (4.1c) se baseia numa física não relativística, com métrica euclidiana.Para uma teoria relativística devemos fazer a alteração δmn → ηµν . Não trabalharemoscom o momento pµ e sim com a densidade de momento Pτµ = TXµ. Além disso,nosso estudo não se concentra em vetores arbitrários de posição do espaço-tempo,mas em vetores resultantes da aplicação que leva o espaço de parâmetros neste,Xµ (σ, τ). Para estar de acordo isso, as relações de comutação (4.1c) se tornam:

[Xµ,Pτν ] = iηµν .

Doravante, a equação (4.1a) nos leva a demandar que as componentes Xµ (σ, τ) eXν (σ′, τ) comutem desde que em pontos diferentes da corda, ou seja, σ′ 6= σ. Por

motivos de comodidade, a partir de agora denotaremos∂

∂τpor ∂τ ,

∂

∂σpor ∂σ. Vamos

33

explicitar a derivação em Xµ escrevendo ∂τXµ (σ, τ). Assim temos:

[Xµ (σ, τ) , ∂τXν (σ′, τ)] = iηµνδ (σ − σ′) ; (4.2a)

[Xµ (σ, τ) , Xν (σ′, τ)] = 0 ; (4.2b)

[∂τXµ (σ, τ) , ∂τX

ν (σ′, τ)] = 0 , (4.2c)

onde introduzimos o delta de Dirac, δ (x) com as seguintes propriedades:

δ (x) =

{0 ; x 6= 0

∞ ; x = 0;

∫ ∞−∞

δ (x) dx = 1 ,

e vemos que δ (σ − σ′) = 0 desde que σ 6= σ′, como queríamos. Deve ficar bem claroque as equações (4.2) são válidas para um valor fixo de τ . Vamos utilizar então asvariáveis de cone-de-luz definidas como σ± = τ ± σ, o que nos leva, pela regra dacadeia a: {

∂τ = ∂+ + ∂−

∂σ = ∂+ − ∂−,

onde ∂± =∂

∂σ±. Estas novas variáveis nos trazem outras relações de comutação, a

qual devem ser explicitadas. Para isso comecemos reescrevendo a equação (4.2c)em termos destas:

0 = [∂τXµ (σ, τ) , ∂τX

ν (σ′, τ)] =[(∂+ + ∂−)Xµ (σ, τ) ,

(∂′+ + ∂′−

)Xν (σ′, τ)

]=

+[∂+X

µ (σ, τ) , ∂′+Xν (σ′, τ)

]+[∂+X

µ (σ, τ) , ∂′−Xν (σ′, τ)

]+[∂−X

µ (σ, τ) , ∂′+Xν (σ′, τ)

]+[∂−X

µ (σ, τ) , ∂′−Xν (σ′, τ)

].

(4.4)

Lembrando que ∂′± atuam somente sobre σ′, e não sobre σ. Do mesmo modo, ∂σsomente atua sobre a variável σ e enxerga σ′ como uma constante. É convenientetambém o cálculo de iηµν∂σδ (σ − σ′) através da equação (4.2a):

iηµν∂σδ (σ − σ′) = [∂σXµ (σ, τ) , ∂τX

ν (σ′, τ)]

=[(∂+ − ∂−)Xµ (σ, τ) ,

(∂′+ + ∂′−

)Xν (σ′, τ)

]=

+[∂+X

µ (σ, τ) , ∂′+Xν (σ′, τ)

]+[∂+X

µ (σ, τ) , ∂′−Xν (σ′, τ)

]−[∂−X

µ (σ, τ) , ∂′+Xν (σ′, τ)

]−[∂−X

µ (σ, τ) , ∂′−Xν (σ′, τ)

].

(4.5)

Ainda utilizando-se as equações (4.2), é possível mostrar que[∂+X

µ (σ, τ) , ∂′−Xν (σ′, τ)

]=[

∂−Xµ (σ, τ) , ∂′+X

ν (σ′, τ)]

= 0. Com este resultado, somando e subtraindo as equa-

34

ções (4.4) e (4.5), obtemos as novas relações de comutação:

[∂+X

µ (σ, τ) , ∂′+Xν (σ′, τ)

]=iηµν

2T∂σδ (σ − σ′) ; (4.6a)

[∂−X

µ (σ, τ) , ∂′−Xν (σ′, τ)

]= −iη

µν

2T∂σδ (σ − σ′) ; (4.6b)[

∂+Xµ (σ, τ) , ∂′−X

ν (σ′, τ)]

=[∂−X

µ (σ, τ) , ∂′+Xν (σ′, τ)

]= 0 . (4.6c)

Olhando para a equação (3.2), vemos que Xµ (σ, τ) pode ser descrito como combi-nação linear de duas funções Xµ

dir (σ, τ) e Xµesq (σ, τ), representando respectivamente,

modos vibracionais se movimentando para direita e para a esquerda. Assim ∂−Xµ (σ, τ) =

∂−Xµdir (σ, τ) enquanto ∂+X

µ (σ, τ) = ∂+Xµesq (σ, τ). Usaremos a equação (3.3) para as

variáveis σ+ e σ− e para ficarmos de acordo com a equação (3.4), faremos as subs-tituições fµ0 → xµ0 , fµ1 → α′pµ e reescreveremos as funções sen (nu) e cos (nu) emtermos das exponenciais complexas. Anteriormente, “absorvemos” os fatores 1

nnas

constantes, deixaremos explícitos aqui. A equação do movimento para a esquerda éentão:

Xµesq (σ, τ) = xµ0 + α′pµσ+ + i

√2α′

∑n∈Z\{0}

αµnne−inσ+ .

Agora, será interessante ao invés de utilizar o parâmetro slope, o parâmetro decomprimento da corda

(ls = ~c

√α′):

Xµesq (σ, τ) = xµ0 + l2sp

µσ+ +ils√

2

∑n∈Z\{0}

αµnne−inσ+ .

Derivando em relação a σ+, temos:

∂+Xµesq (σ, τ) = l2sp

µ +ls√2

∑n∈Z\{0}

αµne−inσ+ =

ls√2

∑n∈Z

αµne−inσ+ ,

pois em termos de ls, o fator αµ0 =(ls/√

2)pµ. Vamos calcular agora a relação de

comutação para ∂+Xµ via equação (4.6a):

[∂+X

µesq (σ, τ) , ∂′+X

νesq (σ′, τ)

]=

[ls√2

∑n∈Z

αµne−in(τ+σ),

ls√2

∑n∈Z

ανne−in(τ+σ′)

]=

=l2s2

∑n∈Z

∑m∈Z

e−in(τ+σ)e−im(τ+σ′) [αµn, ανm] =

l2s2

∑n∈Z

∑m∈Z

e−i(n+m)τe−i(nσ+mσ′) [αµn, ανm] ,

(4.7)o qual deve ser proporcional à ∂σδ (σ − σ′), e não pode haver dependência em τ . Aexponencial que depende de τ deve ser nula quando m+ n 6= 0, e resolvemos tal pro-blema se existir na expressão um delta de Kronecker δn+m,0. Ou seja, só há resultado

35

não nulo da expressão quando m = −n. Isso interfere na exponencial com dependên-cia em σ e σ′, pois teremos agora como expoente −in (σ − σ′). Vamos utilizar agora aseguinte expressão para o delta de Dirac:

δ (σ − σ′) =1

2π

∑n∈Z

e−n(σ−σ′) ,

por tanto:

∂σδ (σ − σ′) = − i

2π

∑n∈Z

ne−n(σ−σ′) . (4.8)

Lembrando da relação (3.5), utilizando esta equação (4.8) e as equações (4.7) e(4.6a), obtemos:

[αµn, ανm] = n ηµνδn+m,0 .

Uma análise análoga é feita utilizando as equações (4.6c) e obtemos todas as relaçõesde comutação (incluindo a explicitada acima):

[αµn, ανm] = n ηµνδn+m,0 ; (4.9a)

[αµn, ανm] = n ηµνδn+m,0 ; (4.9b)

[αµn, ανm] = 0 . (4.9c)

[4][6]

4.2 Corda aberta

Ao final da seção anterior, obtivemos como resultado os comutadores (4.9) masainda, para a corda aberta temos a relação de comutação para o centro de massa dacorda:

[xµ, pν ] = iηµν ,

e por esta última, as relações (4.9) se reduzem apenas a (4.9a).

Sabemos dos nossos estudos iniciais sobre mecânica quântica que para o osciladorharmônico, podemos definir operadores de escada de “subida” e “descida”, os quaisserão, nas teorias de campos quânticos, interpretados como operadores de criação eaniquilação, obedecendo à seguinte álgebra de comutação:

[a, a†

]= 1 .

Definimos também, o operador de número, N = a†a, o qual obedece a seguinte

36

equação de auto-valores (e auto-vetores):

N |n〉 = n |n〉 .

É sabido que para o operador hamiltoniano, H |n〉 = En |n〉, e podemos escrevê-locomo H = ~ω

(a†a+ 1

2

)= ~ω

(N + 1

2

). Não se espera outra coisa para um sistema

de corda vibrante, que não seja uma descrição por oscilações harmônicas. Entãofaremos a analogia entre os operadores a e a† com os operadores αµn, através daequação (4.9a), que a reescreveremos sem o termo δn+m,0 = δn,−n explicitamente:

[αµn, ανm] =

[αµn, α

ν−n]

= n ηµν , (4.10)

relação que não é exatamente a mesma que para um sistema de osciladores quân-ticos, já que para os operadores α0

±n temos uma proporcionalidade com η00 = −1,tendo então estados de norma negativa. O operador de número se define comoNn = α−n ·αn, com n ∈ N. O operador de número total é definido como N =

∑n∈NNn.

Para não extender demais o texto, omitiremos uma rápida análise que demonstraque αµn atua como operador de aniquilação enquanto αµ−n atua como operador decriação, o que nos permite deduzir também que αµn |0〉 = 0. Os modos de vibração dacorda carregam momento, então devemos rotular nosso estado quântico por |n, k〉, epara nosso estado de vácuo temos:

pµ |0, k〉 = kµ |0, k〉 . (4.11)

Pelo motivo de a métrica de Minkowski η estar presente nas relações de comuta-ção, torna-se possível haver estados de norma negativa, como mencionado rapida-mente acima. Para mostrar isso explicatamente, basta tomar o primeiro estado exci-tado de momento kµ, o estado α0

−1 |0, k〉. De fato(α0−1

)†= α0

1, e calculamos a normadeste estado excitado utilizando (4.10) e (4.11):

|α0−1 |0, k〉 | = 〈0, k|α0

1α0−1 |0, k〉 = −1 .

Para entender o que acontece aqui, recorremos aos modos de Virasoro, os quaissão descritos como operadores no contexto quântico. Olhando para a expressão clás-sica, há uma certa ambigüidade quando vamos definir os operadores, pois agora aordem do produto é importante. Temos certa arbitrariedade para construir tais objetos,no que concerne a ordem dos operadores αµn no produto. Para definir tais operadoresa partir das expressões clássicas, utiliza-se a técnica conhecida como “ordenamentonormal”, que consiste mover os operadores de aniquilação para a direita e de criação

37

para a esquerda. Isso garante que os auto-valores dos operadores de Virasoro sejamfinitos. O produto ordenado é denotado por duas colunas, isto é : a†a :. Escrevemosentão os operadores de Virasoro:

Lm =1

2

∑n∈Z

: αm−n · αn : .

Olhando para a equação (4.9a), fazendo n→ n−m vemos que αµn−m e αµm comutamsempre que n 6= 0. O ordenamento normal para L0 resulta em:

: L0 : =1

2α2

0 +∑n∈N

α−n · αn , (4.12)

onde foi feito o seguinte desenvolvimento:

L0 =1

2

∑n∈Z

α−n · αn =1

2α0 · α0 +

1

2

∑n∈N

α−n · αn +1

2

∑n∈N

αn · α−n =

=1

2α2

0 +1

2

∑n∈N

α−n · αn +1

2

∑n∈N

([αµn, α−nµ] + α−n · αn) =

=1

2α2

0 +∑n∈N

α−n · αn +1

2

D−1∑µ=0

ηµµ∑n∈N

n =1

2α2

0 +∑n∈N

α−n · αn +D

2

∑n∈N

n ,

(4.13)

com D sendo o número de dimensões espaço-temporais. Vemos claramente que a úl-tima parcela da equação (4.13) faz a expressão diferir da expressão ordenada (4.12).A expressão

∑n∈N n é claramente uma série divergente, e por tanto, precisamos uti-

lizar a técnica de regularização. Existe uma função conhecida como Função Zeta deRiemann, a qual é definida no corpo dos reais como:

ζ (s) =∑n∈N

n−s . (4.14)

Vemos que a função ζ (s) é bem definida desde que s > 1 Essa função tem grandeimportância em algumas áreas da matemática, e existe uma extensão analítica delapara o corpo complexo, de tal forma que a função se torna bem definida para s = −1:

ζ (−1) = − 1

12.

Para tornar a expressão (4.13) um valor finito bem definido, utilizamos a funçãoZeta de Riemann e a liberdade de adicionar uma constante à expressão, de tal maneiraque:

D

2

∑n∈N

n −→ D

2

∑n∈N

n+ b = a ,

38

podemos reescrever então:L0 − a = : L0 : .

Agora temos um parâmetro a mais para ajustar. Queremos que a teoria carregueos grupos de simetria que tinhamos classicamente, mantendo então a invariância deGauge por reparametrização, além do caráter relativístico. É possível construir osgeradores das transformações de Lorentz em termos dos operadores de criação eaniquilação e checar que a álgebra de Poincarè é satisfeita. Tal análise conduz aconclusão de que o parâmetro a = −1 e D = 26. [6]

Prosseguindo com a análise, podemos obter o operador de massa através de p2 +

m2 = 0. Vamos calcular então:

L0 |ψ〉 = 0 =⇒

(1

2α2

0 +∑n∈N

α−n · αn − 1

)|ψ〉 = 0 ,

e lembrando que αµ0 =√

2α′pµ temos:

α′p2 +∑n∈N

α−n · αn − 1 = 0 =⇒ M2 =1

α′

(−1 +

∑n∈N

α−n · αn

),

ou em termos do operador número:

M2 =1

α′(N − 1) .

Vamos calcular as massas (auto-valores do operador M2) para alguns casos:

• O estado fundamental

Vamos calcular o quadrado da massa do estado |0〉:

M2 |0〉 =1

α′(N − 1) |0〉 = − 1

α′|0〉 ,

já que N |0〉 = 0. Vemos que para o estado fundamental m2 < 0, o que nosleva a concluir pelas transformações de Lorentz que é um estado que se movi-menta mais rapidamente que a luz, o que chamamos de táquion. É um estadonão-físico e não pode ser removido da teoria bosônica. O advento das teoriasde cordas supersimétricas, conhecidas como supercordas, eliminam tal estadotaquiônico, mas foge do objetivo do texto e não será tratado aqui. Pessoas inte-ressadas devem buscar por [3] nas referências bibliográficas.

• O primeiro estado excitado

39

Escrevemos o primeiro estado excitado como αj−1 |0〉 e então:

M2αj−1 |0〉 =1

α′(N − 1)αj−1 |0〉 =

1

α′(αj−1α

j1α

j−1 − α

j−1

)|0〉 = 0 ,

já que todos os termos do somatório se anulam e o que sobrevive se anula como termo fora dele. É possível mostrar também que o spin desse estado é 1, eque existem D−2 sentidos de polarização, o que nos leva a concluir que se tratade um fóton. A teoria bosônica traz naturalmente consigo os estados fotônicos,por tanto, temos as partículas mediadoras das interações eletromagnéticas nateoria.

Doravante, temos estados massivos a partir de |2〉, e devemos tomar nota do fatoimportante de que o espectro de massa é discreto, como observado na natureza. Ateoria bosônica então prevê as massas de todas as partículas (lembrando que só hábósons na teoria). [6]

4.3 Corda fechada

De tudo o que foi feito na corda aberta, podemos fazer uma análise análoga, coma diferença de que todas as relações de comutação (4.2) são levadas em conta. Oque não foi omitido na seção anterior para não haver quebra no raciocínio até o cáculodos auto-valores de M2, é que os operadores Ln formam uma álgebra fechada, de umtipo de grande interesse em matemática, uma álgebra de Lie com infinitos gereadores.Ainda, se faz uma extensão da álgebra, e a denominamos de álgebra de Virasoro comextensão central :

[Lm, Ln] = (m− n)Lm+n +D

12

(m3 −m

)δm+n,0 ; m,n ∈ Z .

A álgebra de Virasoro é de importância central na teoria pois tem papel análago aosoperadores de criação e aniquilação, mas criando e aniquilando modos normais devibração, que são interpretados mais tarde como estados de partículas. Além disso,estão associados às reparametrizações da teoria, e por tanto aos Gauges da teoria.Não faz parte do escopo do texto averiguar propriedades da álgebra, no entanto, parao caso de haver interesse num aprofundamento do assunto, esse tipo de álgebra échamada de álgebra SL (2, R), representação equivalente ao grupo SU (2). [9]

Fazendo o estudo análogo ao realizado acima para L0 |ψ〉, e para M2 |ψ〉, consegui-mos resultados análogos, com a diferença de que na corda fechada, há uma propa-gação para direita e outra para a esquerda, que se sobrepõem na corda, tendo então

40

operadores de números:

NR =∑n∈N

α−nαn ; NL =∑n∈N

α−nαn ,

e os estados são agora rotulados como modos para os dois lados:

|ψ〉 = |jj, k〉 =∏n∈N

D−1∏µ=0

(αµ−n)j (αµ−n)j |0, k〉 .

A álgebra de Virasoro agora é:

[Lm, Ln] = (m− n)Lm+n +D

12

(m3 −m

)δm+n,0

[Lm, Ln

]= (m− n) Lm+n +

D

12

(m3 −m

)δm+n,0 .

O operador de massa M2 se escreve como:

M2 =2

α′(NL +NR − 2) ,

onde os estados físicos só aparecem quando NR = NL. Temos então para o estado

fundamental |0〉 que M2 = − 4

α′, e como justificado anteriormente, se tratando então

de dois estados taquiônicos, um se propagando para direita e ourto para a esquerda.Também, como no caso da corda aberta, são estados que não podem ser eliminadosda teoria e por isso são um problema.

O estudo para o primeiro estado excitado, como no caso da corda aberta, resultaem estados não-massivos. No caso da corda fechada podemos mostrar que entreestes se encontra o estado de uma partícula de spin-2, o que nos leva a concluir quese trata de um gráviton, partícula teorizada para ser a mediadora da força gravitacio-nal. Os outros estados não-massivos são o campo de Kalb-Ramon e o Dílaton, porconsistência matemática. [6]

Por tanto, a teoria bosônica traz naturalmente a partícula mediadora das interaçõeseletromagnéticas e gravitacionais. Podemos fazer uma tabela para facilitar a apresen-tação destes resultados:

41

Corda aberta Corda fechadaN 0 1 −− −−

NL = NR −− −− 0 1

M2 − 1

α′0 − 4

α′0

Partícula Táquion Fóton Táquion Gráviton

Vamos neste resultado de grande importância para a teoria a presença do parâme-tro slope, o qual possui relação com a tensão da corda, presente na definição da ação.Vemos certa semelhança com a ação de uma partícula relativística novamente, ondena ação da partícula temos o parâmetro m de massa, e na ação da corda temos oparâmetro T , relacionado diretamente às massas preditas pela teoria.

42

Conclusão

A teoria de cordas bosônica traz uma ampla fenomenologia do ponto de vista clás-sico, donde conseguimos ter uma certa intuição sobre como se comporta a teoria.Estudaram-se as simetrias e as consequências da existência destas para a teoria.Uma propriedade muito importante do ponto de vista técnico são as invariâncias deGauge, que nesta teoria possuem uma natureza um pouco diferente da que estamosacostumados a ver em outros campos da física teórica. Os Gauges possuem naturezageométrica, a partir da invariância por reparametrização. O estudo da ação de Polya-kov foi resumido ao mais simples dos casos possíveis, pelo caráter elementar do textoe mesmo assim foi possível obter resultados interessantes, tanto na fenomenologiaclássica, quanto mais a partir de sua quantização. Na corda quântica, foi possível de-terminar o número de dimensões espaço-temporais do universo previsto pela teoria,bem como as massas através do operador M2. Vimos a importância dos operadoresde Virasoro, e como eles possuem um papel central na teoria. Por terem sido mencio-nadas as p-branas no texto, tangenciamos uma abordagem um pouco mais modernada teoria, vide capítulo 1, pois a teoria-M é posterior às teorias supersimétricas de cor-das. Concluímos também que mesmo que a teoria bosônica traga consigo os estadosque representam as partículas mediadoras das quatro forças fundamentais, a teorianão é realística por não suportar estados fermiônicos, além de trazer táquions comoestados fundamentais. Ainda assim, a teoria é de grande importância do ponto devista de estudo inicial, já que através desta se pode adquirir certa familiaridade comos conceitos e técnicas que são utilizadas em teorias mais modernas com resultadosmais realísticos.

43

Bibliografia

[1] ZWIEBACH, Barton. A first course in string theory - Cambridge university press(2004) ;

[2] POLCHINSKI, Joseph. String theory. Vol. 1: An introduction to the bosonic string -Cambridge, UK: Univ. Pr 402 (1998) ;

[3] BECKER, Katrin and BECKER, Melanie and SCHWARZ, John H. String theoryand M-theory: A modern introduction - Cambridge University Press (2006) ;

[4] KIRITSIS, Elias - String theory in a nutshell. Princeton University Press (2011) ;

[5] GREENE, Brian. String theory on Calabi-Yau manifolds - arXiv preprint hep-th/9702155 (2009) ;

[6] DEMYSTIFIED, String Theory - Demystified Series (2009) ;

[7] GREENE, Brian. O universo elegante: supercordas, dimensões ocultas e a buscada teoria definitiva - Companhia das Letras, São Paulo (2001) ;

[8] SCHWARZ, Patricia. The Official String Theory Web Site. http://www.

superstringtheory.com ;

[9] Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/SL2(R)

44