TEORIA DE ESTRUTURAS - Paginas...

I

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS

TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS

ESTRUTURA MISTA ISOSTÁTICA

ISABEL ALVIM TELES

1.5 m

10 kN/m

A

2 m

3 m

30 kN

1.5 m

8 kN

B DC

E F

I

TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES

versão 0 1/13 TTV – Estrutura mista isostática


EXERCÍCIO PROPOSTO

Considere a estrutura representada na figura.

Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso.

a) Determine o deslocamento e rotação do ponto D;

b) Determine a rotação do ponto A;

c) Determine o deslocamento relativo dos pontos E e B;

d) Determine a variação do ângulo formado pelas barras BF e FC;

e) Confirme com o programa informático FTOOL os resultados obtidos nas alíneas a) e b).

Barras ABCD

Secção: ver figura

Betão: E = 29 GPa

Restantes barras

Perfil tubular:

100 mm x 100 mm

esp = 5 mm

Aço: E = 206 GPa

RESOLUÇÃO

• Cálculo das reacções e esforços nas barras bi-articuladas

→=

↑=

←−=

⇒

=××−−−×⇒=

=−×−−⇒=

=+⇒=

∑

∑

∑

kN 141 H

kN 68 V

kN 141 H

0 3 3 10 6 x 301,5 x 8 2 H 0 M

0 8 3 10 30 V 0 F

0 H H 0 F

E

A

A

EA

AY

EAX

1.5 m

10 kN/m

A

2.0 m

0.30

0.40

3.0 m

30 kN

1.5 m

8 kN

B DC

E F

1.5 m

10 kN/m

A

2 m

3 m

30 kN

1.5 m

8 kN

B DC

E FHE

HA

VA

I




Nó E Barra EF ⇒ NEF = -141 kN (compressão)

Nó F

=α

=α⇒==α⇒=α

13

2 sen

13

3 cos

33,69 32 arctg

32 tg

o

0 F

0 F

y

x

=

=

∑

∑

0 sen N N

0 141 cos N

FCFB

FC

=α+

=+α

=

−=

(tracção) kN 102 N

o)(compressã kN 1347 N

FB

FC

• Características das barras

Barras ABCD

m 10 9 12

0,30 0,40

m 0,12 0,3 0,40 A

kPa 10 29 GPa 29 E

44-3

2

6

×=×=

=×=

×==

I

Barras bi-articuladas EF, FB e FC

m 10 1,9 0,09 0,09 0,10 0,10 A

kPa 10 206 GPa 206 E

23-

6

×=×−×=

×==

• Diagramas de Esforços – sistema real

Barra BC kNm z 5 z . 34 102 (z) M 2−−=⇒

1.5 m

10 kN/m

A

2 m

3 m

30 kN

1.5 m

8 kN

B DC

E F141 kN

141 kN

68 kN

-141kN

-47 1

3 kN

+102

kN

α

102

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

141

-141

-47 1

3 kN

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B

DC

E F

102

-45

ESFORÇO AXIAL (kN)

MOMENTO FLECTOR (kNm)

F

α

NFC

141kN

NFB

I




a) DESLOCAMENTO DO PONTO D

a1) Deslocamento vertical do ponto D

→=

↑=

←−=

⇒

=×−×⇒=

=−⇒=

=+⇒=

∑

∑

∑

kN 3 H

kN 1 V

kN 3 H

0 6 1 2 H 0 M

0 1 V 0 F

0 H H 0 F

E

A

A

EA

AY

EAX

Nó E Barra EF ⇒ NEF = -3 kN (compressão)

Nó F

=α

=α⇒==α⇒=α

13

2 sen

13

3 cos

33,69 32 arctg

32 tg

o

0 F

0 F

y

x

=

=

∑

∑

0 sen N N

0 3 cos N

FCFB

FC

=α+

=+α

=

−=

(tracção) kN 2 N

o)(compressã kN 13 N

FB

FC

• Diagramas de Esforços – sistema virtual

Barra BC kNm z 1,5 (z) M −=⇒

1.5 m

A

2 m

3 m

1 kN

1.5 m

B DC

E F3 kN

3 kN

1 kN

-3kN

- 13 kN

+2

kN

α

2

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

3

-3

- 13 kN

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B

DC

E F

1,5

-1,5

ESFORÇO AXIAL (kN)


F

α

NFC

3kN

NFB

I




barras

bi-articuladas

barras

contínuas

• Aplicação do Teorema dos Trabalhos Virtuais (TTV)

A EL N

N dz EMM

dz A ENN

δ 1 vD ∑+×+×=× ∫∫

I

m 105,4698 141 4,5 3 12,0 1029

1 dz

A ENN

4-

6×=×××

××=×

∫

[ ]

m 108,448 ) 33,75 3153 32

153 3

3

26,5 3

45

76,5 ( 26100

1

33,75 dz )153z 153.z 26,5(5z 76,5 26100

1

3

1,51,5)(45 dz )z 5 z . 34 (102z) (1,5 1,5

3

1,5102

1091029

1 dz

EMM

3-234

3

0

23

3

0

2

4-6

×=+×+−++=

=

++−++=

=

×−×−+−−×−+××

×××=×

∫

∫∫I

[ ] m 108,292 13)13(1347 22102 1,53)(141 101,910206

1

A EL N

N 3-

3-6×=×−×−××+×−×−

×××=∑

A EL N

N dz EMM

dz A ENN

δvD ∑+×+×= ∫∫

I

↓=×=×+×+×= cm 1,729 m 101,729 108,292 108,448 105,4698 δ-2-3-3-4v

D

a2) Deslocamento horizontal do ponto D


1.5 m

A

3 m

1 kN

1.5 m

B DC

E F

1 kN

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

1

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B

DC

E F

ESFORÇO AXIAL (kN)


I




barras

bi-articuladas

barras

contínuas


A EL N

N dz EMM

dz A ENN

δ 1 hD ∑+×+×=× ∫∫

I

→=×=×××××

=×∫ mm 0,18 m 101,823 141 4,5 1

12,0 1029

1 dz

A ENN 4-

6

0 dz EMM =×

∫I

0 A EL N

N =∑

→=∑+×+×= ∫∫ mm 0,18 A EL N

N dz EMM

dz A ENN

δhD I

• Deslocamento do ponto D

cm 1,729 180,01,729 )(δ )(δ δ222h

D2v

DD =+=+= �

a3) Rotação do ponto D

→=

=

←−=

⇒

=−×⇒=

=⇒=

=+⇒=

∑

∑

∑

kN 0,5 H

0 V

kN 5,0 H

0 1 2 H 0 M

0 V 0 F

0 H H 0 F

E

A

A

E A

AY

E AX

Nó E Barra EF ⇒ NEF = -0,5 kN (compressão)

Nó F

=α

=α⇒==α⇒=α

13

2 sen

13

3 cos

33,69 32 arctg

32 tg

o

0 F

0 F

y

x

=

=

∑

∑

0 sen N N

0 0,5 cos N

FCFB

FC

=α+

=+α

=

−=

(tracção) kN 31

N

o)(compressã kN 1335,0

N

FB

FC

F

α

NFC

0,5kN

NFB

0,5 kN

0,53-

13 kN1 3

+

1.5 m

A

2 m

3 m

1 kNm

1.5 m

B DC

E F

0,5 kN

-0,5kN

α

I




barras

bi-articuladas

barras

contínuas


Barra BC kNm z 31

(z) M −=⇒


A EL N

N dz EMM

dz A ENN

1 D ∑+×+×=θ× ∫∫I

rad 109,116 141 4,5 0,5 12,0 1029

1 dz

A ENN 5-

6×=×××

××=×

∫

rad 10,2846 ) 33,75 32

34 3

934

3125

( 26100

1

33,75 dz )z .43z 343

z35

( 26100

1

2

)1(1,545 dz )z 5 z . 34 (102z)

31

( 1091029

1 dz

EMM

4-234

3

0

23

3

0

2

4-6

×=−×−+=

=

+−+=

=

−××−+

−−×−

×××=×

∫

∫∫I

rad 101,382

13)133

5,0(1347 2

31

102 1,5)5,0(141 101,910206

1

A EL N

N

3-

3-6

×=

=

×−×−××+×−×−

×××=∑

A EL N

N dz EMM

dz A ENN

D ∑+×+×=θ ∫∫I

rad 102,102 101,382 106,284 109,116 -3-3-4-5

D ×=×+×+×=θ

�

0,53-

13 kN

1 3

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

0,5

-0,5

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B

DC

E F

-1

ESFORÇO AXIAL (kN)


I




barras

bi-articuladas

b) ROTAÇÃO DO PONTO A


Barra BC kNm z 31

1 (z) M −=⇒

• Aplicação do TTV

rad 109,116 141 4,5 0,5 12,0 1029

1 dz

A ENN 5-

6×=×××

××=×

∫

rad 10,4086 ) 3102 32

68 3

919

3125

76,5 ( 26100

1

dz )102 z 68.z 3

19z

35

(5,76 26100

1

dz )z 5 z . 34 (102z) 31

1( 2

11,5102

1091029

1 dz

EMM

3-234

3

0

23

3

0

2

4-6

×=×+×−++=

=

+−++=

=

−−×−+××

×××=×

∫

∫∫I

rad 101,382

13)133

5,0(1347 2

31

102 1,5)5,0(141 101,910206

1

A EL N

N

3-

3-6

×=

=

×−×−××+×−×−

×××=∑

rad 107,881 101,382 106,408 109,116 A EL N

N dz EMM

dzA ENN

3-3-3-5-

A ×=×+×+×=∑+×+×=θ ∫∫I

A EL N

N dz EMM

dz A ENN

1 A ∑+×+×=θ× ∫∫I

0,5 kN

-0,5kN

α0,5 kN

0,53-

13 kN1 3

+

1 kNm

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

�

0,53-

13 kN

1 3

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

0,5

-0,5

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B

DC

E F

1

ESFORÇO AXIAL (kN)


barras

contínuas

I




c) DESLOCAMENTO RELATIVO E-B

Como o ponto E está fixo (apoio sem assentamento), o deslocamento relativo dos pontos E e B ( B-E δ ) será

igual ao deslocamento do ponto B na direcção EB (EB dir - B

δ ).

=β

=ββ

==β⇒=β

0,8 sen

0,6 cos

53,13 1,52

arctg 1,52

tgo

←−=

↓−=

=

⇒

=×β×+×⇒=

=β×+⇒=

=β×++⇒=

∑

∑

∑

kN 0,6 H

kN 0,8 V

0 H

0 5,1 sen1 2 H 0 M

0 sen1 V 0 F

0 cos1 H H 0 F

E

A

A

E A

AY

E AX

Nó E Barra EF ⇒ NEF = 0,6 kN (tracção)

Nó F

=α

=α⇒==α⇒=α

13

2 sen

13

3 cos

33,69 32 arctg

32 tg

o

0 F

0 F

y

x

=

=

∑

∑

0 sen N N

0 0,6 cos N

FCFB

FC

=α+

=−α

−=

=

o)(compressã kN 0,4 N

(tracção) kN 130,2 N

FB

FC

F

α

NFC

0,6kN

NFB

1.5 m

B DC

E F

α

1 kN

β

β

HE

HA

VA

1.5 m

A

2 m

3 m

0,2 13 kN

-0,4

kN

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F0,6kN

α0,6 kN

1 kN

β

0,8 kN

β

I




barras

bi-articuladas

barras

contínuas


Barra BC kNm z 4,02,1 (z) M +−=⇒


A EL N

N dz EMM

dz A ENN

δ 1EB dir - B

∑+×+×=× ∫∫I

m 107,293 141 3 0,6 12,0 1029

1 dz

A ENN 5-

6×=×××

××=×

∫

[ ]

m 10,5176 ) 3122,4 32

81,6 3

3

7,6 3

42

61,2 ( 26100

1

dz )122,4 z 81,6.z 6,72z(2,61 26100

1

dz )z 5 z . 34 (102z) 4,02,1( 3

5,11,2)(102

1091029

1 dz

EMM

3-234

3

0

23

3

0

2

4-6

×−=×−×+−−−=

=

−+−−+−=

=

−−×+−+×−×

×××=×

∫

∫∫I

[ ]m 101,658

13132,01347 2)4,0(102 1,56,0141 101,910206

1

A EL N

N

3-

3-6

×−=

=××−×−×+××−×××

=∑

A EL N

N dz EMM

dz A ENN

δEB dir - B

∑+×+×= ∫∫I

m 108,102 101,658 106,517 107,293 δ-3-3-3-5

EB dir - B×−=×−×−×=

mm 8,102 δ δEB dir - BB-E −== (os pontos E e B aproximaram-se)

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

0,6

0,6

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

ESFORÇO AXIAL (kN)


-0,4

0,2 13 kN

-1,2

I




d) VARIAÇÃO DO ÂNGULO BFC

Nó F

=α

=α⇒==α⇒=α

13

2 sen

13

3 cos

33,69 32 arctg

32 tg

o

0 F

0 F

y

x

=

=

∑

∑

0 cos

13

1 sen N N

0 sen 13

1 0,5 cos N

FCFB

FC

=α+α+

=α−+α

=

−=

0 N

o)(compressã kN 13

1,5 N

FB

FC


2 m

1.5 m

A

3 m 1.5 m

B DC

E F1 kNm

1 kNm

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

0,5 kN

0,5 kN

1

13kN

1

13kN

F α

NFC

0,5kN

NFB

1

13kNα

1,5

13

kN

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

0,5

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

ESFORÇO AXIAL (kN)


-

1.5 m

A

2 m

3 m 1.5 m

B DC

E F

0,5 kN

0,5kN

1

13kN

1

13kN

α

-1,5

13

kN

I




barras

bi-articuladas

barras

contínuas


A EL N

N dz EMM

dz A ENN

1 BFC ∑+×+×=ϕ∆× ∫∫I

rad 106,078 141 3 0,5 12,0 1029

1 dz

A ENN 5-

6×=×××

××=×

∫

0 dz EMM =×

∫I

rad 106,494 101,910206

13)13

5,1(1347

A EL N

N 4-

3-6×=

×××

×−×−=∑

A EL N

N dz EMM

dz A ENN

BFC ∑+×+×=ϕ∆ ∫∫I

rad 10,1027 106,494 106,078 -4-4-5

BFC ×=×+×=ϕ∆ (o ângulo BFC aumentou)

I




e) PROGRAMA FTOOL

GEOMETRIA

ESFORÇO TRANSVERSO

(kN)

MOMENTO FLECTOR

(kNm)

DEFORMADA

I




Deslocamentos e rotações obtidos com o programa FTOOL

Deslocamento e rotação do ponto D

Sentidos positivos:

Node

Results

Nodal

Displacements:

Dx = 1.823e-002 cm

Dy = -1.729e+000 cm

Rz = -2.105e-003 rad

Rotação do ponto A

Sentidos positivos:

Member

Displacements and Rotations

Init: Dx: 0.000e+000 cm

Dy: 0.000e+000 cm

Rz: -7.881e-003 rad

End:

Dx: 6.078e-003 cm

Dy: -1.036e+000 cm

Rz: -4.950e-003 rad

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